Projekt okładki i stron tytułowych: Piotr Fedorczyk

Fotografia na okładce: Andose24/Dreamstime

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Irena Puchalska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Dział reklamy: Magdalena Lewocka (magdalena.lewocka@pwn.pl)
Urszula Obrycka (urszula.obrycka@pwn.pl)

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.: Michał Latusek

Recenzent: dr hab. inż. Renata Żochowska, profesor Politechniki Śląskiej

Publikacja została dofinansowana przez Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2022

ISBN 978-83-01-22280-2

https://doi.org/10.53271/2022.058

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2022r. (Wydanie I)

Warszawa 2022

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Przedmowa

Człowiekowi, który uważa, że wie już wszystko,

trudno jest się czegokolwiek nauczyć.

Dopiero wtedy, kiedy zdaje sobie sprawę,

jak mało wie, zaczyna szukać i poznawać.

John Templeton

Rozwiązując problemy praktyczne, menedżer inżynier ustawicznie napotyka sytuacje, w których z wielu wariantów projektów danego procesu, produktu czy zjawiska musi wybrać ten najlepszy ze względu na przyjęte priorytety i wyznaczone cele. Podejmowanie racjonalnych decyzji przez decydentów jest trudne i często bardzo złożone ze względu na wielorakość celów poszczególnych interesariuszy biorących udział w procesie decyzyjnym. Tym bardziej, że każda podjęta decyzja jest podstawą kolejnych działań i związanych z nimi decyzji, których sprawność zależy od jakości decyzji podjętych wcześniej.

Decyzje dotyczące złożonych problemów inżynierskich odnoszą się do szerokiego spektrum zagadnień, w tym rozwiązań technicznych i organizacyjnych w zakresie procesów, produktów, eksploatacji, inwestycji lub bezpieczeństwa, przy jednoczesnym uwzględnieniu czynników środowiskowych, gospodarczych i społecznych.

W praktyce inżynierskiej każdemu wyborowi towarzyszą określone okoliczności i czynniki, które muszą być wzięte pod uwagę i które mają wpływ na ostateczną decyzję. Często te czynniki, kryteria, są przeciwstawne, co wpływa na złożoność procesu decyzyjnego i utrudnia jej podejmowanie. Sytuacja decyzyjna, zapisana w postaci formalnej, staje się więc złożonym zadaniem inżynierskim, do którego rozwiązania, oprócz intuicji, konieczne jest także zastosowanie dopasowanego, obiektywnego, niepodważalnego i powtarzalnego aparatu matematycznego opartego na zasadach naukowych.

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat teoria podejmowania decyzji była przedmiotem intensywnych badań ze względu na jej szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach życia – poczynając od oceny procesów, zjawisk, projektowania i wytwarzania produktów, po analizę złożonych układów systemów wielowymiarowych. Podejście oparte na teorii podejmowania decyzji umożliwiło rozwiązywanie w czasie rzeczywistym problemów obarczonych niepewnością, w szczególności związanych ze zrównoważonym rozwojem i bezpieczeństwem w praktyce inżynierskiej. Zastosowanie teorii podejmowania decyzji stało się powszechne i wspiera praktycznie każdą sformalizowaną i zautomatyzowaną działalność człowieka.

W niniejszej monografii przedstawiono istotę wielokryterialnych problemów decyzyjnych i najważniejsze metody ich rozwiązywania oraz przykłady praktycznego zastosowania. Metody wielokryterialnego wspomagania decyzji pozwalają na wyeliminowanie lub zmniejszenie subiektywizmu decydentów, co ułatwia podejmowanie decyzji racjonalnych. Z metod rozwiązywania wielokryterialnych problemów decyzyjnych powinien więc korzystać każdy inżynier.

Układ monografii został opracowany tak, aby czytelnik mógł kolejno zapoznać się z zagadnieniami teoretycznymi, a następnie z praktycznymi realizacjami poszczególnych, najważniejszych metod wspomagania decyzji. I tak w kolejnych rozdziałach przedstawiono:

– wielokryterialny problem decyzyjny oraz podstawowe pojęcia z obszaru wielokryterialnego wspomagania decyzji oraz zależności między kryteriami oceny (rozdz. 1);

– zasady modelowania oraz etapy procedury wielokryterialnego wspomagania decyzji wsparte licznymi schematami w celu lepszego zrozumienia podstaw teoretycznych (rozdz. 2);

– kryteria podziału oraz rodzaje wielokryterialnych problemów decyzyjnych, w tym zagadnienia nadawania wag kryteriom oceny oraz zasady i metody normalizacji ocen rozwiązań (rozdz. 3);

– kryteria i rodzaje metod optymalizacji wielokryterialnej, w tym zagadnienie optymalizacji wektorowej funkcji celu, optimum w sensie Pareto i zagadnienie optymalizacji wielokryterialnej z dystansową funkcją kompromisu, wraz z praktycznymi przykładami (rozdz. 4);

– szczegółową charakterystykę najważniejszych metod wielokryterialnego wspomagania decyzji z uwzględnieniem odniesień do literatury oraz przykładów zastosowań, a dla pięciu wybranych metod: rodziny metod ELECTRE, rodziny PROMETHEE, metody AHP, metody MAJA oraz metody wielokryterialnej oceny punktowej przedstawiono szczegółowe algorytmy postępowania (rozdz. 5);

– przykłady obliczeniowe ilustrujące zasady stosowania pięciu metod wielokryterialnego wspomagania decyzji (MWWD), tj. ELECTRE, PROMETHEE, AHP, MAJA i metody punktowej – wszystkie etapy zostały precyzyjnie opisane, adekwatnie do przedstawionych w rozdziale 5 algorytmów (rozdz. 6);

– istotę badań symulacyjnych i analiz scenariuszowych, zasady budowy modelu symulacyjnego, wady i zalety oraz możliwości zastosowania modeli symulacyjnych w opisie złożonych procesów przy podejmowaniu wielu trudnych decyzji, w tym studium przypadku, które stanowi problem decyzyjny w zakresie wyboru rozwiązania odnośnie do zakresu i rodzaju ograniczeń w dostępności komunikacyjnej jednego z miast dla najmniej ekologicznych pojazdów (rozdz. 7).

Potencjalnymi odbiorcami monografii są praktycy zajmujący się rozwiązywaniem wieloaspektowych problemów decyzyjnych, jak również studenci studiów technicznych, w których programie kształcenia są przedmioty dotyczące modelowania matematycznego, a w szczególności oceny wielokryterialnej rozwiązań. W zamyśle autorki monografii było przedstawienie treści w taki sposób, aby osoby mające doświadczenie praktyczne w tym zakresie i wiedzę mogły ją usystematyzować, a osoby chcące rozpocząć pracę z metodami wielokryterialnego wspomagania decyzji mogły zrobić to w możliwie łatwy sposób.

Gorące podziękowania pragnę przekazać Recenzentom: Panu prof. dr. hab. inż. Mariuszowi Wasiakowi i Pani dr hab. inż. Renacie Żochowskiej, prof. P. Śl. za ich cenne uwagi oraz sugestie, które niewątpliwie wpłynęły na przejrzystość prezentowanych treści. W tym miejscu pragnę również podziękować swoim młodszym Kolegom z Zakładu Inżynierii Systemów Transportowych i Logistyki, Panom: dr. hab. inż. Rolandowi Jachimowskiemu, dr. hab. inż. Michałowi Kłodawskiemu, dr. hab. inż. Konradowi Lewczukowi, dr. hab. inż. Emilianowi Szczepańskiemu, mgr. inż. Michałowi Lasocie za wsparcie i pomoc w doborze przykładów dla prezentowanych metod.

1.

Wprowadzenie do zagadnień wielokryterialnego wspomagania decyzji

1.1. Problemy decyzyjne przy wielorakości celów

Wielokryterialne wspomaganie decyzji, nazywane z francuskiego analizą wielokryterialną (ang. analyse multicritere) lub z angielskiego wielokryterialnym podejmowaniem decyzji (ang. Multiple Criteria Decision Making, MCDM), jest dziedziną naukową wywodzącą się z badań operacyjnych [7], [278], [336]. Dziedzina ta ma na celu wyposażenie decydenta w procedury, narzędzia i metody matematyczno-informatyczne umożliwiające rozwiązywanie wieloaspektowych problemów decyzyjnych, tj. takich, dla których konieczne jest uwzględnienie wielu, często przeciwstawnych punktów widzenia [166], [213], [243], [336], [343]. Co ważne, metody matematyczne wielokryterialnego wspomagania decyzji charakteryzują się przydatnością praktyczną i możliwością zastosowania w różnych obszarach szeroko pojętej nauki oraz życia społeczno-gospodarczego. Podstawową determinantą rozwoju tych metod jest potrzeba wyposażenia decydenta w narzędzia umożliwiające rozwiązywanie problemów decyzyjnych, w których wiele, przeciwstawnych, punktów widzenia musi być uwzględnionych.

Jak podkreśla autor pracy [245], wielokryterialne wspomaganie decyzji to w dużej mierze działalność analityka, który jest zarazem ekspertem i doradcą decydenta w procesie decyzyjnym. To analityk pomaga decydentowi uzyskać odpowiedź na pytanie związane z poszukiwaniem najbardziej pożądanych rozwiązań przy uwzględnieniu wielu kryteriów cząstkowych (wielu celów), dla danej sytuacji decyzyjnej. Po stronie decydenta pozostaje ustalenie celów procesu decyzyjnego, zdefiniowanie preferencji i ostateczna ocena otrzymanego rozwiązania. Natomiast do analityka, który jest podmiotem zewnętrznym w stosunku do rozważanego problemu decyzyjnego, należy przygotowanie i nadzór przebiegu procesu wspomagania decyzji (rys. 1.1).

Rys. 1.1. Procedura rozwiązywania problemu decyzyjnego

Źródło: opracowanie własne

Na przykład w obszarze transportu wielokryterialne ujęcie klasycznego problemu decyzyjnego jest przedstawione w pracy [336]. W swym podejściu autor opisuje problem minimalizacji funkcji celu złożonej z wielu kryteriów cząstkowych. Jako kryteria cząstkowe przyjmuje: koszt transportu, czas dostawy, ilość dostarczanych towarów, niezawodność lub bezpieczeństwo usługi transportowej, wielkość charakteryzującą niewykorzystanie zdolności produkcyjnej czy wielkość opisującą niezaspokojone zapotrzebowanie i inne.

Zasadniczo wielokryterialne problemy decyzyjne dzieli się na cztery grupy [140], [243], [304]:

– problemy wielokryterialnego wyboru, w których problem decyzyjny polega na określeniu jednego wariantu spośród zbioru wariantów dopuszczalnych;

– problemy wielokryterialnego porządkowania, w których problem decyzyjny polega na uporządkowaniu zbioru wariantów;

– problemy wielokryterialnej klasyfikacji polegające na zdefiniowaniu klas oraz przydzieleniu do nich poszczególnych wariantów;

– problemy wielokryterialnego opisu.

Jak pisze autorka pracy [345], podejmowanie decyzji jest procesem, który składa się z ciągu czynności realizowanych po sobie i wzajemnie zależnych, a dotyczących:

– wyznaczenia co najmniej dwóch propozycji rozwiązania problemu – określenie alternatyw (wariantów),

– zdefiniowania kryteriów oceny ustalonych wariantów – uwzględnienie jak najszerszego spojrzenia na problem,

– oszacowania każdego wariantu względem każdego kryterium – estymacja ilościowa lub jakościowa i uporządkowanie ocen,

– ustalenia ważności kryteriów – uszeregowanie kryteriów i określenie ich wag,

– wyboru jednego rozwiązania lub podzbioru rozwiązań.

Powyższe rozważania wskazują, że problem decyzyjny to złożone zadanie, które powstaje w sytuacji, gdy decydent musi wybrać najlepszy wariant spośród wielu wariantów dopuszczalnych. Najczęściej nie jest to wybór prosty ze względu na potrzebę dokonania oceny poszczególnych wariantów z punktu widzenia różnych kryteriów cząstkowych. Ponadto zbiór wariantów decyzyjnych może być określony domyślnie w postaci zbioru warunków, jakie każdy wariant decyzyjny musi spełnić. Oczywiście może wystąpić sytuacja, gdy zbiór wariantów decyzyjnych jest skończony i nie jest on zbyt duży.

Formalnie wielokryterialny problem decyzyjny to sytuacja, w której mając zdefiniowany zbiór decyzji (wariantów) oraz kryteriów dąży się do [166], [243], [279], [318], [343]:

– określenia zbioru decyzji uważanych za najlepsze w odniesieniu do zbioru kryteriów,

– podziału zbioru decyzji na podzbiory ustalone wg określonych reguł lub norm,

– uporządkowania lub uszeregowania decyzji od najlepszych do najgorszych.

Do analizy tego typu problemów niezbędna jest znajomość zasad programowania matematycznego. Jak wielu badaczy wskazuje, kluczowym zagadnieniem teorii i praktyki programowania matematycznego przy wielorakości celów jest ustalenie zasad optymalności rozwiązania [46], [140], [166], [215], [223], [271]. Problematyka ta ma swoje korzenie w pracach V. Pareto, który badając budżety rodzinne, zauważył, że decyzje dotyczące wydatków nie zawsze są podporządkowane tylko jednemu kryterium i zaproponował pojęcie rozwiązania sprawnego (czasami wielu rozwiązań sprawnych) [7], [52], [140], [166].

Należy również zauważyć, że przy uwzględnieniu w zadaniach więcej niż jednej funkcji celu można znacznie dokładniej odwzorować rzeczywiste problemy decyzyjne. Przy rozwiązywaniu tego rodzaju problemów mało przydatne staje się klasyczne rozumienie optymalności, gdyż konieczne jest uzyskanie rozwiązań optymalnych, jednocześnie z wielu punktów widzenia. W takich przypadkach bardziej realne wydaje się być pojęcie rozwiązania kompromisowego, uwzględniającego zarówno preferencje decydenta, jak i analizę strat i zysków między kryteriami.

Zasadne staje się zatem stwierdzenie, że podejmowane decyzje w praktyce inżynierskiej dotyczące sytuacji w gospodarce, ekonomii czy też wyboru wariantu inwestycji polegają na rozwiązaniu problemów decyzyjnych, których złożoność wynika m.in. z faktu, że żąda się, aby podjęta decyzja była najlepsza pod względem wielu aspektów [123], [140], [213], [243], [266]. Co istotne, dąży się do tego, aby przyjęte rozwiązanie zapewniało najlepszą realizację wszystkich kryteriów (celów) cząstkowych uwzględnianych w procesie decyzyjnym, które mogą być ze sobą sprzeczne.

Właśnie zagadnienia optymalizacji wielokryterialnej dotyczą celów niezgodnych, tj. takich, między którymi zachodzi relacja polegająca na tym, że podwyższenie stopnia osiągnięcia jednego celu oznacza obniżenie stopnia osiągnięcia innego celu. Stąd istotą wielokryterialnego problemu optymalizacyjnego jest poszukiwanie wspólnej miary ilościowej służącej do mierzenia stopnia osiągnięcia celów niezgodnych [139]. Znaczy to, że pewne rozwiązanie może być lepsze od innego ze względu na jedno kryterium, a gorsze ze względu na inne, np. podjęcie decyzji w zakresie wyboru wariantu organizacji dostaw do centrum miasta powinno być zależne m.in. od pojemności pojazdu, rodzaju silnika, wartości emisji spalin, kosztów społecznych itp. Warto w tym miejscu nadmienić, że gdy cząstkowe cele są zgodne i realizują się w jednym punkcie, problem sprowadza się do jednego kryterium – wówczas wielokryterialny problem decyzyjny można zastąpić jednokryterialnym.

1.2. Pojęcia stosowane w problematyce podejmowania decyzji

W życiu gospodarczym, społecznym oraz w szeroko rozumianej praktyce inżynierskiej podejmowanych jest wiele decyzji na każdym szczeblu menedżerskim. Decyzje podejmowane są przez decydenta, tj. przez osobę, podmiot (grupę osób lub podmiotów, instytucji itp.), który wybiera rozwiązanie (podejmuje decyzję) najbardziej go satysfakcjonujące lub kompromisowe. Według autorów prac [101], [312] podejmowanie właściwych, a w zasadzie racjonalnych decyzji przez decydentów z różnych obszarów gospodarki, produkcji, usług, procesów, a także podczas wyboru projektów inwestycyjnych, jest trudne i często bardzo złożone. Wynika to m.in. z wielorakości celów poszczególnych interesariuszy, którzy biorą udział w procesie decyzyjnym. Na ogół ich cele są sprzeczne i dotyczą różnych aspektów [166].

Ostateczny wybór zależy od decydenta, tj. jego cech oraz preferencji formułowanych w odniesieniu do rozpatrywanego problemu decyzyjnego. A zatem, niezależnie od rodzaju problemu decyzyjnego i zastosowanych narzędzi, końcowe rozwiązanie, tj. ostateczna decyzja zależy od decydenta.

Z wielokryterialnym podejmowaniem decyzji w praktyce inżynierskiej wiąże się kilka pojęć, takich jak: inżynieria, sytuacja decyzyjna, kryterium oceny, zmienne decyzyjne, rozwiązanie dopuszczalne, optymalizacja. Pojęcie inżynieria dotyczy stosowania zasad naukowych i matematycznych do celów praktycznych, takich jak realizacja procesów, wytwarzanie, projektowanie czy eksploatacja i utrzymanie zasobów, przy jednoczesnym uwzględnieniu ograniczeń wynikających z czynników środowiskowych, gospodarczych i społecznych. W praktyce inżynierskiej występuje wiele sytuacji, w których należy podjąć decyzje dotyczące poszczególnych projektów, procesów, wyboru technologii produkcyjnej itp., uwzględniając analizę danego problemu z różnych punktów widzenia czy odmienne preferencje poszczególnych interesariuszy.

Sytuacje, w których decydent jest zmuszony do podjęcia decyzji, są nazywane sytuacjami decyzyjnymi. Każdy decydent w swojej praktyce menedżerskiej podejmuje wiele różnych decyzji zarówno mało znaczących, jak i bardzo ważnych. Na decyzje te ma wpływ wiele czynników, jak np. stan zasobów, sytuacja finansowa przedsiębiorstwa czy oczekiwania poszczególnych interesariuszy. Niejednokrotnie podejmowane są takie decyzje, jakie w danej chwili wydają się być najsłuszniejsze ze względu na posiadaną wiedzę. Oczywiście, na ogół, każdy decydent chce podjąć jak najlepszą decyzję.

Przystępując jednak do oceny skutków podejmowanej decyzji, decydent musi określić, z jakiego punktu widzenia (celu) będzie tego dokonywał oraz w jakich warunkach ograniczających działa. Powstaje zatem pytanie: jak zmierzyć czy porównać dane decyzje? Ze względu na cel, który stawia sobie decydent, jedna decyzja może być lepsza, a inna gorsza. Dopiero po sprecyzowaniu takiego celu można dokonać wyboru działania konsekwentnie przybliżającego cel. Wybór właściwego celu jest bardzo istotną częścią składową procesu podejmowania decyzji.

Ścisłe zdefiniowanie punktu widzenia (celu), z jakiego będzie oceniana dana decyzja, jest określane jako kryterium oceny (wyboru), wskaźnik jakości oceny lub funkcja celu. W praktyce inżynierskiej ważne jest nie tylko wytwarzanie najskuteczniejszych systemów, technologii, procesów, maszyn itp., mających określoną wartość użytkową, ale również istotne znaczenie ma strona ekonomiczna tej działalności [169], [224]. Na przykład podczas dostaw towaru do produkcji kryterium oceny może być czas lub koszt dostawy. Natomiast w przypadku wyboru pojazdu przeznaczonego do dostaw do centrum miasta jako istotne można wskazać kryterium ekologiczne. Oznacza to, że ustalane kryterium musi wynikać z celu lub celów, jakie zostały postawione przed decydentem. Decydent jest zainteresowany taką decyzją, która pozwoli na uzyskanie jak najlepszego wyniku, np. najkrótszego czasu lub najniższego kosztu dostawy, lub, w przypadku wyboru pojazdu do dostaw do centrum miasta, najniższego stopnia zanieczyszczenia środowiska. A zatem wybór właściwej decyzji to konsekwencja precyzyjnie określonego celu procesu decyzyjnego.

Sama dostawa towaru czy wybór pojazdu to proces, który można scharakteryzować wieloma wielkościami, np. prędkością przemieszczania, trasą przemieszczania, pojemnością silnika, rodzajem/typem pojazdu itp. Wymienione wielkości są nazywane zmiennymi stanu, ponieważ charakteryzują one stan procesu. Tego typu wielkości, które mają wpływ w końcowym efekcie na wskaźnik oceny jakości rozwiązania, a których wartości należy ustalić, są nazywane zmiennymi decyzyjnymi lub sygnałem sterującym. W procesie decyzyjnym występują również pewne z góry ustalone dane nazywane parametrami danego problemu decyzyjnego.

Oczywiście każda decyzja podejmowana jest w pewnych warunkach, które zawężają niejako nasze poszukiwania. Na przykład czas realizacji dostawy nie może przekroczyć 2 dni. jego koszt 30 000 zł czy też dopuszczalna masa całkowita pojazdów (DMC), które będą realizowały dostawy do centrum miasta, nie może być większa niż 3 tony. W praktyce inżynierskiej można wskazać wiele przykładów zawężania zbioru poszukiwania najlepszego rozwiązania. I tak, konstruktor projektując nowe urządzenie, poszukuje najlepszych parametrów dopuszczalnych, a więc możliwych do przyjęcia. Technolog natomiast, na ogół, poszukuje parametrów, przy zastosowaniu których mógłby uzyskać produkt o wymaganej jakości, a organizator produkcji poszukuje takich rozwiązań, które pozwolą na akceptowalne efekty ekonomiczne. Warunki brzegowe oraz różnego typu ograniczenia, które zawężają poszukiwanie właściwego rozwiązania, określają tzw. zbiór rozwiązań dopuszczalnych, tj. zbiór możliwych decyzji, z których należy wybrać tę najlepszą.

Warunki ograniczające są zapisywane za pomocą układu równań lub nierówności. W równaniach tych (lub nierównościach) występują zarówno parametry zadania (z góry ustalone dane), jak i zmienne decyzyjne. Poza tym mogą również być uwzględnione warunki dotyczące znaku zmiennych decyzyjnych (ujemne czy dodatnie) lub typu zmiennych (np. binarne, całkowitoliczbowe, ciągłe).

Proces ustalenia najlepszej decyzji z uwagi na dane kryterium nazywa się optymalizacją danego zjawiska, procesu, działania itp. Można zatem powiedzieć, że:

Optymalizacja to działanie, którego celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu przy danych warunkach brzegowych i przy określonym kryterium oceny. Otrzymany wynik najlepszy z punktu widzenia danego kryterium będzie nazywany optymalnym.

W literaturze przedmiotu można znaleźć wiele definicji optymalizacji. Postrzegana jest ona jako m.in.:

– organizowanie jakichś działań, procesów itp. w taki sposób, aby dały jak największe efekty przy jak najmniejszych nakładach [171];

– poszukiwanie za pomocą metod matematycznych najlepszego, ze względu na wybrane kryterium, rozwiązania danego zagadnienia, przy uwzględnieniu określonych ograniczeń [166];

– poszukiwanie takich wartości zmiennych, dla których wartość funkcji tych zmiennych jest największa lub najmniejsza, zmienne te są nazywane zmiennymi decyzyjnymi lub instrumentalnymi [276];

– proces poszukiwania wartości zmiennych decyzyjnych pozwalających na osiągnięcie maksymalnej lub minimalnej wartości funkcji kryterium [231].

Jak wskazuje wielu badaczy, poszukiwanie rozwiązań optymalnych na drodze eksperymentalnej jest, na ogół, pracochłonne i niezwykle kosztowne. Wykorzystanie natomiast metod matematycznych przy poszukiwaniu optymalnych rozwiązań zazwyczaj bardzo przyspiesza otrzymanie poszukiwanego wyniku.

Wyróżnia się dwie grupy matematycznych metod optymalizacji: statyczną i dynamiczną. Pierwsza polega na poszukiwaniu wartości parametrów, przy których rozwiązanie najlepiej spełnia stawiane przed nim oczekiwania (np. minimalizacja lub maksymalizacja) w kontekście ustalonych uwarunkowań. Rozwiązaniem zadania optymalizacyjnego są więc optymalne wartości parametrów dla ustalonego stanu. Jeżeli natomiast działanie danego systemu zależy od funkcji zmiennej w czasie, tj. takiej, na której przebieg można wpływać, to wówczas mówi się o optymalizacji dynamicznej. Wtedy kryterium optymalizacji jest sygnał sterujący (wskaźnik jakości), na który nakładane są ograniczenia. Samo zadanie optymalizacyjne sprowadza się do poszukiwania takiego sygnału sterującego, ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych, dla którego wskaźnik jakości przyjmuje wartość optymalną [139].

Oczywiście w wielu przypadkach optymalizacja nie polega na stosowaniu bardzo skomplikowanych metod. Często wystarczy właściwie uporządkować posiadane informacje, zastanowić się nad tym, do czego dążymy i jaki cel chcemy osiągnąć, aby wybrać z dużym prawdopodobieństwem rozwiązanie zbliżone do optymalnego.

Analizując proces podejmowania decyzji, można zauważyć, że przy wyborze najlepszych decyzji decydent posługuje się na ogół nie jednym, lecz wieloma kryteriami jednocześnie. Jako przykład można wskazać sytuację, w której decydent dąży do tego, by tworzone przez niego plany realizacji dostaw charakteryzowały się minimalnymi kosztami i jednocześnie minimalizowały czas dostaw oraz maksymalizowały jakość realizowanych zadań. Fakt ten determinuje potrzebę poszukiwania odpowiednich metod i niezawodnych narzędzi wspomagania decyzji pozwalających na ocenę decyzji z punktu widzenia wielu kryteriów. Uzasadnienie to dotyczy w pierwszej kolejności formułowanych celów, które z istoty swojej są złożone i mają, na ogół, wielowymiarową strukturę.

Mając na uwadze różnorodność aspektów, które należy wziąć pod uwagę, całość wielokryterialnego wspomagania decyzji sprowadza się do wyboru decyzji najlepszej przy wszystkich ograniczeniach oraz preferencjach decydenta. Co ważne, dla każdego wariantu powinna być przeprowadzona analiza ryzyka możliwości realizacji danej decyzji i jej skutków w przypadku wdrożenia (rys. 1.2).

Niejednokrotnie w praktyce inżynierskiej tworząc układ (obiekt) optymalny dotyczący jednego zagadnienia, który perfekcyjnie zdaje egzamin w określonym miejscu, decydent nie przypuszcza, że w ten sposób pogarsza działanie układu innego, czasami ważniejszego. Na przykład dla procesu produkcyjnego najtaniej jest produkować jeden typ asortymentu. Wówczas koszty będą najniższe. Natomiast w realnym świecie potrzebne są produkty o różnym kształcie i różnych wymiarach, poczynając od zróżnicowanej wielkości śrub, pojemności pojazdów czy też wielkości statków powietrznych.

Rys. 1.2. Ogólne ujęcie wyboru najlepszego wariantu decyzji spośród decyzji dopuszczalnych

Źródło: opracowanie własne

1.3. Relacje między celami w podejmowaniu decyzji

Przedstawione w podrozdziałach 1.1 i 1.2 rozważania wskazują, że w każdym przypadku decyzję podejmuje się po to, aby osiągnąć jakiś cel. Na ogół cel ten dotyczy przyszłości, tj. pożądanego wyniku przedsięwzięcia lub działalności i najczęściej jest formułowany w postaci ilościowej, chociaż może być również formułowany w postaci jakościowej.

Cel jest zatem pewnym wytyczonym końcowym czy ostatecznym punktem, do której zmierza decydent. Bardzo często jednak to, co jest końcowym punktem jednego procesu, może być też traktowane jako początek innego procesu. W praktyce inżynierskiej, jak już wskazano, cel może dotyczyć jednego aspektu, ale równie dobrze może być wieloaspektowy, przy czym na ogół wymaga się jego kwantyfikacji. Trudno jest zatem definiować cele uniwersalne, ponieważ zwykle odnoszą się do konkretnego zjawiska lub procesu przebiegającego w określonych warunkach.

Stopień realizacji (osiągania) celu można mierzyć w sposób naturalny (liczenie, ważenie), w stosunku zaś do innego – określając jego odległość od tzw. rozwiązania idealnego [7], [144], [166]. Mając na uwadze potrzebę zastosowania metod ilościowych w podejmowaniu decyzji oraz z punktu widzenia modeli optymalizacyjnych, generalnie przyjmuje się założenie o mierzalności celów. Warunki te łącznie są określane jako założenie o kwantyfikowalności celów [7], [144], [166].

Sprawdzianem stopnia realizacji danego celu jest kryterium, które stanowi pewnego rodzaju miarę ilościową tego pomiaru. Z formalnego punktu widzenia kryterium jest zatem funkcją przyporządkowującą poszczególnym stopniom realizacji celu liczby rzeczywiste z ustalonej skali, w umownych jednostkach miary [140].

Wzajemne relacje między różnymi celami, do których decydent zmierza jednocześnie, są z reguły trudne do ustalenia ze względu na ich złożoność. Wynika to chociażby z faktu, że występuje zarówno relacja zależności, jak i konfliktowości celów. W modelach decyzyjnych zapisanych w języku programowania matematycznego warunki realizacji celu są formułowane w postaci układu równań (lub nierówności) noszących nazwę ograniczeń. Układ warunków ograniczających wraz z ewentualnymi warunkami brzegowymi generują zbiór tzw. decyzji dopuszczalnych [139].

Uwzględniając dwa różne warunki g₁ i g₂ realizacji dwóch celów C₁ i C₂, można wyróżnić następujące rodzaje zależności między zbiorami decyzji dopuszczalnych (rys. 1.3):

Rys. 1.3. Relacje między dwoma zbiorami decyzji

Źródło: [139]

– identyczne zbiory decyzji dopuszczalnych D₁ i D₂ ze względu na cele (rys. 1.3a), w tym przypadku warunki g₁ i g₂ wyznaczają identyczne zbiory decyzji dopuszczalnych, tj. D₁ = D₂ = D, D₁ ∩ D₂ = D;

– zbiory decyzji dopuszczalnych D₁ i D₂ wyróżnione ze względu na cele nie pokrywają się (rys. 1.3b), istnieje jednakże niepusty iloczyn zbiorów decyzji dopuszczalnych D₁ ∩ D₂ ≠ ∅;

– zbiór decyzji dopuszczalnych ze względu na jeden warunek g₁ jest podzbiorem zbioru decyzji dopuszczalnych ze względu na drugi warunek g₂ (rys. 1.3c), tj. D2 ⊂ D₁, oznacza to, że niepusty iloczyn zbiorów decyzji dopuszczalnych jest równy D₁ ∩ D₂ = D₂;

– wzajemnie rozłączne zbiory decyzji dopuszczalnych D₁ i D₂ ze względu na cele (rys. 1.3d), tj. warunki g₁ i g₂ wyznaczają dwa zbiory wzajemnie się wyłączające, tj. (D₁ ∩ D₂ ≠ ∅), co oznacza, że iloczyn zbiorów decyzji dopuszczalnych jest pusty.

Analiza mnogościowych relacji zachodzących między zbiorami decyzji dopuszczalnych odpowiadających poszczególnym celom wskazuje, że warunkiem koniecznym wzajemnej zależności celów w problemie optymalizacji wielokryterialnej jest istnienie wspólnego zbioru decyzji dopuszczalnych D. Zbiór taki istnieje w przypadku relacji jak na rysunkach 1.3a, b, c. Cele, którym odpowiada jeden z wymienionych typów relacji, to cele zależne. Natomiast na rysunku 1.3d przedstawiono przypadek celów niezależnych.

Zbiorem rozwiązań dopuszczalnych D problemu optymalizacji wielokryterialnej nazywa się zbiór decyzji wspólnych dla wszystkich uwzględnionych w modelu celów mierzalnych. Założenie o zależności celów jest zatem równoważne z założeniem o istnieniu zbioru decyzji D problemu optymalizacji wielokryterialnej.

Jak już wspomniano, zagadnienia optymalizacji wielokryterialnej dotyczą celów niezgodnych, tj. takich, między którymi zachodzi relacja polegająca na tym, że podwyższenie stopnia osiągnięcia jednego celu oznacza obniżenie stopnia osiągnięcia innego celu. Istotą wielokryterialnego problemu optymalizacyjnego jest poszukiwanie wspólnej miary ilościowej służącej do mierzenia stopnia osiągnięcia celów niezgodnych [139]. Do tego służy funkcja kryterium, która opisuje zależność między decyzją a celem.