Okładka

Strona tytułowa

Strona redakcyjna

Projekt okładki i stron tytułowych
Przemysław Spiechowski
Ilustracja na okładce
Artistdesign29/Shutterstock
Wydawca
Katarzyna Rosińska
Redakcja i korekta
Grażyna Polkowska-Nowak
Produkcja
Mariola Grzywacka
Recenzenci
prof. dr hab. Małgorzata Doman
dr hab. Krzysztof Piontek, prof. UE we Wrocławiu
Książka doﬁnansowana przez Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, powstała w wyniku realizacji projektu badawczego o numerze 2016/21/B/HS4/00662 pt.
„Wielowymiarowe modele zmienności – wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych” ﬁnansowanego ze środków Narodowego Centrum Nauki.

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN

Monika Lipiec / Woblink

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2020

ISBN 978-83-01-21036-6

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2020 r., (wyd. I)

Warszawa 2020

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Spis treści

Wstęp

Rozdział 1. Estymatory wariancji zbudowane na podstawie zakresu cen

1.1. Rozstęp cen jako miara zmienności stóp zwrotu i jego własności

1.1.1. Stosowane miary zmienności

1.1.2. Teoretyczne własnosci zakresu cen

1.1.3. Empiryczne charakterystyki zakresu cen

1.2. Podstawowe estymatory wariancji skonstruowane na podstawie zakresu cen

1.2.1. Estymator Parkinsona

1.2.2. Estymator Garmana-Klassa

1.2.3. Estymator Rogersa-Satchella

1.2.4. Korekty estymatorów uwzględniające skoki cen na otwarcie rynku

1.3. Inne estymatory wariancji z zastosowaniem cen: otwarcia, minimalnych, maksymalnych i zamknięcia

1.3.1. Estymator Yanga-Zhanga

1.3.2. Estymator Buescu-Taksara-Koné

1.3.3. Estymator Kunitomo

1.3.4. Estymatory Fiszedera-Perczaka

1.3.5. Estymator Meilijsona

1.3.6. Estymatory MNW

1.3.6.1. Estymator dla zerowej wartości dryfu

1.3.6.2. Estymator dla dowolnej wartości dryfu

1.4. Badania porównawcze estymatorów skonstruowanych na podstawie zakresu cen

1.5. Podsumowanie

Rozdział 2. Jednowymiarowe modele zmienności - wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych

2.1. Model GARCH skonstruowany na podstawie cen zamknięcia

2.2. Metody stosowane tradycyjnie do opisu wartości oczekiwanych procesów finansowych

2.2.1. Proste metody prognozowania zmienności

2.2.2. Wyniki badan empirycznych

2.3. Ceny minimalne i maksymalne w modelach zmienności opisujących warunkowa wariancje stóp zwrotu

2.3.1. Modele GARCH z estymatorem wariancji skonstruowanym na podstawie zakresu cen

2.3.1.1. Model RGARCH

2.3.1.2. Model RGARCHsd

2.3.1.3. Model RHARCH

2.3.1.4. Model GARCH-TR

2.3.2. Model REGARCH

2.3.3. Cykliczny model zmienności

2.3.4. Modyfikacje modelu CARR na podstawie estymatorów wariancji opartych na zakresie cen

2.4. Modele zmienności opisujące warunkowy zakres cen

2.4.1. Model CARR

2.4.2. Model SV zakresu cen

2.4.3. Asymetryczny wpływ dodatnich i ujemnych stóp zwrotu na zmienność

2.4.3.1. Model ACARR

2.4.3.2. Asymetryczny model SV zakresu cen

2.4.4. Inne modele zakresu

2.4.4.1. Model TARR

2.4.4.2. Model TVLCARR

2.4.4.3. Model STCARR

2.4.4.4. Model STARR

2.4.4.5. Przełącznikowy model Markowa zakresu

2.4.4.6. Model FICARR

2.4.4.7. Model CARGPR

2.5. Modele z funkcja wiarygodności określoną na podstawie cen minimalnych i maksymalnych

2.5.1. Modele GARCH

2.5.2. Model zmienności stochastycznej

2.6. Podsumowanie

Rozdział 3. Estymatory kowariancji i wielowymiarowe modele zmiennoŚci - wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych

3.1. Własności kowariancji stóp zwrotu oszacowanej na podstawie cen minimalnych i maksymalnych

3.2. Estymatory kowariancji i korelacji zbudowane na podstawie zakresu cen

3.2.1. Ko-zakres procesów

3.2.2. Dwuwymiarowa koncepcja zakładajaca brak mozliwosci arbitrazu

3.2.3. Estymator Rogersa-Zhou

3.2.4. Estymator Popova

3.3. Modele BEKK i DCC skonstruowane na podstawie cen zamkniecia

3.3.1. Model BEKK

3.3.2. Modele DCC

3.3.2.1. Model DCC Engle’a

3.3.2.2. Model DCC Tsego-Tsui

3.4. Wielowymiarowe metody stosowane tradycyjnie do opisu wartosci oczekiwanych procesów finansowych

3.4.1. Hybrydowa wielowymiarowa metoda EWMA oraz model VAR

3.4.2. Wyniki badan empirycznych

3.5. Wielowymiarowe modele zakresu cen

3.5.1. Modele DCC zakresu

3.5.1.1. Model DCC-CARR

3.5.1.2. Przełacznikowy model Markowa DCC zakresu

3.5.1.3. Model RR-HGADCC

3.5.1.4. Model DCC-RGARCH

3.5.1.5. Model DCC-REGARCH

3.5.2. Model DSTCC-CARR

3.5.3. Modele kopuli skonstruowane na podstawie zakresu cen

3.5.3.1. Model Wu-Lianga

3.5.3.2. Model Chianga-Wanga

3.5.4. Wielowymiarowy model zmienności stochastycznej zakresu dla kursów walutowych

3.6. Wielowymiarowe modele ko-zakresu cen

3.6.1. Model BEKK-HL

3.6.2. Model DCC ko-zakresu

3.6.3. Trzyrównaniowy model CARR

3.7. Podsumowanie

Rozdział 4. Analiza kursów walutowych na rynku Forex

4.1. Podstawowe własnosci statystyczne badanych szeregów czasowych

4.2. Modelowanie kursów walutowych

4.3. Prognozowanie wariancji i kowariancji stóp zwrotu

4.3.1. Prognozowanie wariancji

4.3.2. Prognozowanie kowariancji

4.3.3. Prognozowanie macierzy kowariancji i korelacji

4.4. Model Markowitza

4.4.1. Dynamiczny proces budowy portfela

4.4.2. Ocena efektywnosci konstrukcji portfela dla kursów walutowych

Zakończenie

Bibliograﬁa

O Autorze

Wstęp

Zmienność jest jednym z ważniejszych pojęć współczesnych ﬁnansów i odgrywa ważną rolę zarówno w teorii ﬁnansów, jak i w zastosowaniach praktycznych. Z punktu widzenia badań empirycznych kluczowe znaczenie mają pomiar i prognozowanie zmienności. Wyniki wielu analiz wskazują, że rozszerzanie modeli zmienności i formułowanie kolejnych parametryzacji, dążących do coraz lepszego dopasowania modelu do danych empirycznych, jest często mniej efektywne niż wykorzystanie informacji powszechnie dostępnych na rynku (np. Blair, Poon, Taylor 2001; Martens 2002; Doman, Doman 2004; Fiszeder 2009). Do takich danych można zaliczyć dzienne ceny minimalne, maksymalne i otwarcia, które dla większości aktywów są dostępne na równi z dziennymi cenami zamknięcia. W modelowaniu oraz prognozowaniu zmienności i zależności na rynkach finansowych wykorzystywane są na ogół ceny zamknięcia instrumentów finansowych, tymczasem ceny minimalne i maksymalne znacząco zwiększają zasób informacji o kształtowaniu się procesów finansowych w ciągu dnia. Wartości minimalne i maksymalne były dużo wcześniej stosowane w takich dziedzinach, jak: meteorologia (np. do opisu warunków termicznych), hydrologia (np. do opisu poziomu wody), sozologia (np. do opisu stężeń zanieczyszczeń powietrza), energetyka (np. do określenia zapotrzebowania na moc), inżynieria (np. do kontroli jakości). Za jedno z pierwszych zastosowań cen minimalnych i cen maksymalnych w ﬁnansach można uznać pracę Benoît Mandelbrota (1971), w której zakres cen, czyli różnicę między ceną maksymalną a minimalną, wykorzystano do badania występowania długoterminowych zależności cen aktywów finansowych. Ceny minimalne i maksymalne łącznie z cenami otwarcia i zamknięcia były dużo wcześniej stosowane w analizie technicznej. Wykorzystywane są one przez inwestorów między innymi do: prognozowania cen na rynkach finansowych na podstawie analizy świec japońskich (metoda powstała w XVIII w. w Japonii) (Nison 1991; 1994), pomiaru zmienności [J. Welles Wilder (1978) wprowadził pojęcie prawdziwego zakresu zmian jako miary zmienności, Stephen J. Taylor (1987) pokazał zaś, że wykorzystując ceny minimalne i maksymalne do konstrukcji średnich ruchomych, można uzyskać trafniejsze prognozy zmienności], pomiaru siły trendu za pomocą wskaźników ruchu kierunkowego (Wilder 1978).

Ze względu na to, że zakres cen jest miarą rozproszenia, podstawowe zastosowanie cen minimalnych i maksymalnych w ﬁnansach dotyczy modelowania i prognozowania zmienności. Szersze wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych w pracach naukowych rozpoczęło się w latach 80. XX w. Michael Parkinson (1980) jako pierwszy skonstruował estymator wariancji wyznaczony na podstawie cen minimalnych i maksymalnych, który jest prawie pięć razy efektywniejszy od klasycznego estymatora skonstruowanego na bazie cen zamknięcia (oznacza to, że wariancja estymatora klasycznego jest prawie pięć razy większa od wariancji estymatora Parkinsona; patrz podrozdział 1.2). W kolejnych latach powstało wiele alternatywnych estymatorów wariancji skonstruowanych na podstawie cen: otwarcia, minimalnych, maksymalnych i zamknięcia, których efektywność jest od ponad sześciu do nawet kilkunastu razy większa od klasycznego estymatora (np. Garman, Klass 1980; Rogers, Satchell 1991; Yang, Zhang 2000). Estymatory te są określonymi transformacjami zakresów cen (zakresy cen mogą być obliczane między różnymi rodzajami cen, np. między ceną maksymalną a ceną otwarcia lub między ceną zamknięcia a ceną otwarcia), dlatego będą dalej nazywane estymatorami wariancji skonstruowanymi na podstawie zakresu cen. W tej pracy przedstawiono kilkanaście wybranych postaci estymatorów wariancji zbudowanych na podstawie zakresu cen. Mimo bardzo dobrych własności statystycznych estymatory te nie znalazły w początkowym okresie licznego zastosowania w badaniach naukowych ze względu na niemożność formułowania na ich podstawie wielookresowych dynamicznych prognoz zmienności.

W ostatnich kilkunastu latach powstało wiele dynamicznych modeli zmienności skonstruowanych na podstawie zakresu cen, jego transformacji lub estymatorów wariancji opartych na zakresie cen (np. Alizadeh, Brandt, Diebold 2002; Chou 2005; Brandt, Jones 2006; Li, Hong 2011; Asai, Brugal 2012; Molnár 2016). W tym opracowaniu zaprezentowano ponad dwadzieścia jednowymiarowych specyfikacji takich modeli. Ceny minimalne i maksymalne mogą być ponadto wykorzystywane nie tylko do budowy samego modelu, lecz także do konstrukcji funkcji wiarygodności służącej do estymacji parametrów modelu (Lildholdt 2002; Venter, de Jongh, Griebenow 2005; Horst, Rodriguez, Gzyl, Molina 2012; Perczak, Fiszeder 2014; Fiszeder, Perczak 2016). Zastosowanie cen minimalnych i maksymalnych prowadzi na ogół do dokładniejszych szacunków zmienności oraz trafniejszych prognoz, a często także do otrzymania modelu, który opisuje zmienność instrumentów finansowych w zdecydowanie odmienny sposób. Według modeli, do estymacji których zastosowano ceny minimalne i maksymalne, wpływ szoków w poprzednim okresie na bieżącą wariancję jest większy, a zatem szybsza jest reakcja na zmieniającą się sytuację rynkową (np. Wu, Liang 2011; Perczak, Fiszeder 2014; Fiszeder, Perczak 2016; Molnár 2016). Wiele prac aplikacyjnych dotyczących różnych zastosowań finansowych powstało po wprowadzeniu modelu CARR (Chou 2005). Ze względu na stosunkowo prostą specyﬁkację i łatwość estymacji parametrów model ten stał się najpopularniejszym dynamicznym modelem zakresu cen. Jest on powszechnie stosowany jako benchmark w stosunku do innych modeli skonstruowanych z zastosowaniem cen minimalnych i maksymalnych.

W aplikacjach finansowych bardzo rzadko zastosowanie jednowymiarowych modeli, o których była mowa wyżej, okazuje się wystarczające. Portfele inwestorów składają się z wielu aktywów, których stopy zwrotu są często powiązane i mają zmienne w czasie warunkowe wariancje. Analiza procesów wielowymiarowych jest konieczna na przykład przy konstrukcji i wycenie portfeli instrumentów finansowych oraz zarządzaniu ich ryzykiem. Mimo przytłaczających dowodów na to, że wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych prowadzi do dokładniejszych szacunków zmienności (patrz większość cytowań do modeli przedstawionych w rozdziale drugim), jeszcze do niedawna wielowymiarowe modele zmienności konstruowane były prawie wyłącznie na podstawie cen zamknięcia. W ostatnich latach powstało kilkanaście specyfikacji modeli z zastosowaniem cen minimalnych i maksymalnych, wśród których najpopularniejszy jest model DCC zakresu (Chou, Wu, Liu 2009), stosowany najczęściej jako benchmark w stosunku do innych wielowymiarowych modeli zmienności. Zdecydowana większość istniejących w literaturze specyfikacji wielowymiarowych, w których wykorzystuje się ceny minimalne i maksymalne, to modyfikacje modelu DCC, w których w pierwszym kroku estymacji wykorzystuje się jednowymiarowy model zmienności skonstruowany na bazie cen minimalnych i maksymalnych.

Zakres lub jego transformacja w postaci estymatorów zakresu są coraz częściej wykorzystywane jako miara zmienności ex post do oceny trafności dziennych prognoz zmienności wyznaczonych na podstawie modeli parametrycznych (np. Mapa 2003; Chou 2005; Liu, Hung 2010; Patton 2011). Stosowany do tego celu kwadrat dziennej stopy zwrotu może prowadzić do znaczących błędów poznawczych i wyboru mniej trafnych metod prognozowania zmienności (Hansen, Lunde 2006; Patton 2011). W przypadku dostępności dobrych jakościowo danych śróddziennych najlepszym rozwiązaniem jest zastosowanie nieparametrycznych metod pomiaru zmienności skonstruowanych na podstawie danych o wysokiej częstotliwości, takich jak zmienność zrealizowana (Andersen, Bollerslev 1998) i jej modyfikacje. Zakres cen oraz miary zbudowane na jego podstawie są jednak mniej wrażliwe w porównaniu ze zmiennością zrealizowaną na niektóre efekty mikrostruktury rynku, związane na przykład z występowaniem spreadu bid-ask (np. Alizadeh, Brandt, Diebold 2002; Shu, Zhang 2006), dlatego mogą być wartościowym uzupełnieniem lub w wielu przypadkach – alternatywą.

Ceny minimalne i maksymalne mogą być również wykorzystane do konstrukcji nieparametrycznych metod pomiaru zmienności skonstruowanych na podstawie danych o wysokiej częstotliwości, takich jak zrealizowany zakres cen (Christensen, Podolskij 2007; Martens, van Dijk 2007). Ta tematyka nie będzie jednak rozwijana w monograﬁi, ponieważ jest ona poświęcona metodom i modelom budowanym na podstawie danych dziennych. Ceny minimalne i maksymalne mogą być również rozpatrywane z punktu widzenia teorii wartości ekstremalnych, znajdującej coraz powszechniejsze zastosowanie w analizie ryzyka na rynkach finansowych. Wartości ekstremalne są w tym przypadku rozumiane jednak szerzej, jako wartości, które przekraczają ustaloną wartość progową i nie ograniczają się do cen minimalnych i maksymalnych. Ta tematyka również nie będzie poruszana w tej pracy.

Prezentowana monograﬁa jest pierwszą publikacją w literaturze światowej poświęconą modelom zmienności zakresu cen. Mimo wielu prac, jakie powstały na temat wykorzystania cen minimalnych i maksymalnych w analizie rynków finansowych, jedyną pracą przeglądową był dotychczas artykuł Raya Y. Chou, Heng-Chiha Chou i Nathana Liu (2009) wraz z jego późniejszym wznowieniem (Chou, Chou, Liu 2015). Modelom wielowymiarowym poświęcono w nim zaledwie jeden podpunkt, liczący niecałe dwie strony.

Głównymi celami pracy są:

1. Prezentacja oraz klasyﬁkacja jednowymiarowych i wielowymiarowych modeli zmienności skonstruowanych na podstawie cen minimalnych i maksymalnych.

2. Pokazanie na podstawie badań empirycznych, że zastosowanie kowariancji stóp zwrotu skonstruowanych na bazie zakresów cen do budowy wielowymiarowych modeli zmienności prowadzi do trafniejszych prognoz macierzy kowariancji oraz zwiększa efektywność alokacji aktywów w stosunku do modeli skonstruowanych na podstawie cen zamknięcia.

Dodatkowym wkładem do literatury jest porównanie wielowymiarowych modeli zmienności zakresu cen z wielowymiarowymi modelami ko-zakresu cen, czyli modelami, w których zastosowano estymatory kowariancji skonstruowane na podstawie zakresu cen.

Monograﬁa składa się z czterech rozdziałów. Rozdział pierwszy ma charakter wprowadzający w tematykę wykorzystania cen minimalnych i maksymalnych w modelowaniu finansowych szeregów czasowych. W podrozdziale 1.1 omówiono własności rozstępu cen – najpierw dla procesu geometrycznego ruchu Browna, następnie dla empirycznych szeregów finansowych. Podrozdział 1.2 został poświęcony najpopularniejszym estymatorom wariancji skonstruowanym na podstawie zakresu cen, tj. estymatorom Parkinsona, Garmana–Klassa oraz Rogersa–Satchella. W podrozdziale 1.3 zaprezentowano pozostałe estymatory, do budowy których wykorzystano ceny minimalne i maksymalne. Podrozdział 1.4 zawiera omówienie wyników najważniejszych badań dotyczących porównania własności estymatorów wariancji budowanych na podstawie zakresu cen. W ostatnim podrozdziale 1.5 dokonano podsumowania informacji na temat omówionych estymatorów wariancji.

W rozdziale drugim przedstawiono jednowymiarowe modele zmienności. W podrozdziale 2.1 omówiono klasyczny model GARCH konstruowany na bazie stóp zwrotu wyznaczonych z cen zamknięcia. Model ten należy traktować jako benchmark dla wszystkich modeli omawianych w dalszej części tego rozdziału. W podrozdziale 2.2 zaprezentowano wybrane proste jednowymiarowe metody stosowane tradycyjnie do opisu cen lub stóp zwrotu, które można również wykorzystać dodatkowo do badania zmienności. Zawarto też przegląd badań dotyczących takich modeli na rynkach finansowych. W podrozdziałach 2.3 i 2.4 omówiono jednowymiarowe modele zmienności opisujące odpowiednio warunkową wariancję stóp zwrotu oraz warunkowy zakres cen lub ich transformacje. Ze względu na to, że parametry tych modeli są estymowane w oparciu o inne rodzaje danych, nie jest możliwe ich bezpośrednie porównanie. Rozdział 2.5 zawiera modele, dla których ceny minimalne i maksymalne wykorzystywane są do konstrukcji funkcji wiarygodności służącej do estymacji parametrów. Takie podejście jest najbardziej zaawansowane metodologicznie. W ostatnim podrozdziale 2.6 przedstawiono sugestie dotyczące wyboru modeli do badań empirycznych.

Rozdział trzeci poświęcono metodom wielowymiarowym. W podrozdziale 3.1 przedstawiono podstawowe teoretyczne i empiryczne własności kowariancji skonstruowanej na podstawie cen minimalnych i maksymalnych. Podrozdział 3.2 zawiera omówienie estymatorów kowariancji opartych na zakresie cen. Prezentację modeli wielowymiarowych rozpoczęto od krótkiego przedstawienia w podrozdziale 3.3 klasycznych modeli BEKK i DCC budowanych na podstawie stóp zwrotu wyznaczonych z cen zamknięcia. Modele te należy traktować jako benchmarki dla modeli omawianych w dalszej części tego rozdziału. Podrozdział 3.4 zawiera przegląd badań dotyczących wybranych wielowymiarowych metod z zastosowaniem cen minimalnych i maksymalnych stosowanych tradycyjnie do opisu zależności między cenami lub stopami zwrotu, które można również wykorzystać do analizy zmienności na rynkach finansowych. W podrozdziale 3.5 przedstawiono wielowymiarowe modele zmienności, w których ceny minimalne i maksymalne wykorzystywane są do konstrukcji wariancji stóp zwrotu, natomiast w podrozdziale 3.6 zaprezentowano modele, w których ceny te są wykorzystywane dodatkowo bezpośrednio przy konstrukcji kowariancji stóp zwrotu. W ostatnim podrozdziale 3.7 zawarto podsumowanie i sugestie dotyczące wyboru modeli do badań empirycznych.

W rozdziale czwartym zbadano skuteczność siedmiu wybranych wielowymiarowych modeli GARCH, w tym czterech skonstruowanych na bazie cen minimalnych i maksymalnych, w analizie kursów walutowych na rynku Forex. W wybranej grupie modeli znalazły się trzy propozycje autora tej monograﬁi. Badanie zostało przeprowadzone dla trzech kursów: euro, jena japońskiego i funta szterlinga względem dolara amerykańskiego. W podrozdziale 4.1 zbadano podstawowe własności statystyczne analizowanych szeregów finansowych, w tym przede wszystkim charakterystyki dotyczące różnych miar zmienności i kowariancji, na podstawie których skonstruowane są modele zmienności. Podrozdział 4.2 poświęcony jest modelowaniu kursów walutowych. Zbadano, który z modeli najlepiej opisywał zarówno warunkowe macierze kowariancji, jak i warunkowe macierze korelacji stóp zwrotu. Ponadto analizowano, jak informacja o cenach minimalnych i maksymalnych, uwzględniona w budowie poszczególnych modeli, wpływa na oceny parametrów modeli, a przez to na opisywaną przez te modele dynamikę warunkowych wariancji i kowariancji stóp zwrotu. W podrozdziale 4.3 zbadano trafność prognoz wariancji, kowariancji, a także macierzy kowariancji i korelacji stóp zwrotu budowanych na podstawie rozważanych modeli zmienności. Wyodrębniono modele, dla których konstruuje się dokładniejsze prognozy. Podrozdział 4.4 został poświęcony analizie portfelowej. Dokonano oceny efektywności budowy portfeli skonstruowanych w oparciu o wybrane wielowymiarowe modele zmienności. Ocenę przeprowadzono dla dwóch kryteriów: oszacowanej ex post wariancji portfela oraz współczynnika Sharpe’a.

Prezentowana praca jest podsumowaniem siedmioletnich badań autora poświęconych wykorzystaniu cen minimalnych i maksymalnych w modelowaniu procesów finansowych. Analizy prowadzone były w ramach dwóch projektów badawczych ﬁnansowanych przez Narodowe Centrum Nauki: projekt nr 2012/05/B/HS4/00675 „Modelowanie i prognozowanie zmienności – wykorzystanie dodatkowych informacji o cenach minimalnych i maksymalnych” oraz projekt numer nr 2016/21/B/HS4/00662 „Wielowymiarowe modele zmienności – wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych”. Z drugiego źródła została sﬁnansowana publikacja monograﬁi.

Ceny minimalne i maksymalne, w przeciwieństwie do cen śróddziennych, są na ogół dostępne razem z cenami zamknięcia, dlatego tematyka wykorzystania cen minimalnych i maksymalnych w analizie finansowych szeregów czasowych jest ważna z praktycznego punktu widzenia. Omawiane metody mogą okazać się użyteczne przy podejmowaniu decyzji o wyborze odpowiednich narzędzi do prognozowania, szacowania VaR, konstrukcji portfeli, wyceny instrumentów pochodnych czy szacowania współczynnika zabezpieczenia. Tematyka wykorzystania cen minimalnych jest także ściśle związana z badaniami mikrostruktury rynku oraz z efektem zarażania.

Szczególne podziękowania kieruję do recenzentów monograﬁi – Pani prof. dr hab. Małgorzaty Doman oraz Pana dr hab. Krzysztofa Piontka, prof. UE we Wrocławiu, za bardzo wnikliwe uwagi, dzięki którym udało się wyeliminować wiele uchybień. Przedstawione w recenzjach pomocne komentarze miały znaczący wpływ na ostateczny kształt pracy. Za pozostałe niedoskonałości wyłączną odpowiedzialność ponosi autor.

Rozdział 1
Estymatory wariancji
zbudowane na podstawie
zakresu cen

Badania naukowe dotyczące zmienności na rynkach finansowych prowadzone były początkowo w większości przypadków na podstawie dziennych cen zamknięcia. Rzadziej stosowano tygodniowe lub miesięczne obserwacje. Wprowadzone w latach 80. XX w. estymatory wariancji skonstruowane na podstawie zakresu cen pozwoliły na znacznie dokładniejszy pomiar zmienności dzięki zastosowaniu dodatkowo cen minimalnych i maksymalnych (niekiedy również cen otwarcia) w ciągu dnia. Ceny te znacząco zwiększają zasób informacji o kształtowaniu się procesów finansowych. Efektywność estymatorów wariancji opartych na zakresie cen jest od około pięciu do nawet kilkunastu razy większa od estymatora wariancji skonstruowanego na podstawie cen zamknięcia. Przewaga estymatorów zbudowanych z wykorzystaniem cen minimalnych i maksymalnych, wynikająca z teoretycznych analiz dla procesów z czasem ciągłym (patrz cytowania do prac przedstawionych w podrozdziałach 1.2 i 1.3), została potwierdzona w późniejszym okresie w wielu badaniach wykonanych na bazie symulacji Monte Carlo oraz rzeczywistych procesów finansowych (patrz cytowania do prac przedstawionych w podrozdziale 1.4).

Estymatory wariancji, w których zastosowano ceny minimalne i maksymalne, zbudowane są na podstawie zakresów cen lub ich modyfikacji. Również wiele modeli zmienności przedstawionych w kolejnych rozdziałach zostało skonstruowanych z wykorzystaniem rozstępów cen i ich transformacji. Z tego powodu na początku pracy, w podrozdziale 1.1, omówiono własności rozstępu cen – najpierw dla procesu arytmetycznego ruchu Browna, następnie dla empirycznych szeregów finansowych. Podrozdział 1.2 został poświęcony najpopularniejszym estymatorom wariancji budowanym na podstawie zakresu cen, tj. estymatorom Parkinsona, Garmana–Klassa oraz Rogersa–Satchella. Inne estymatory, w których zastosowano ceny minimalne i maksymalne, zostały zaprezentowane w podrozdziale 1.3. Podrozdział 1.4 zawiera omówienie najważniejszych badań dotyczących porównania własności estymatorów wariancji wyznaczanych na podstawie zakresu cen. Rozdział kończy podsumowanie, w którym zawarto sugestie dotyczące wyboru estymatorów wariancji do badań empirycznych.