Projekt okładki i stron tytułowych Marek Goebel

Wydawca Katarzyna Włodarczyk-Gil

Redaktor prowadzący Iwona Lewandowska

Redaktor merytoryczny Ewa Czarnecka-Żołek

Produkcja Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN Magdalena Wojtas / 88em.eu

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA
Warszawa 2017

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2017 r., (wyd. I)
Warszawa 2017

ISBN 978-83-01-19243-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA
02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2
tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 228
infolinia 801 33 33 88
e-mail: pwn@pwn.com.pl, www.pwn.pl

Spis treści

Od Autorów

Wprowadzenie

1. Podstawowe wiadomości z wytrzymałości materiałów

1.1. Wprowadzenie

1.2. Podział naprężeń i odkształceń

1.2.1. Naprężenia normalne

1.2.2. Naprężenia styczne

1.2.3. Naprężenia zastępcze

1.2.4. Podział odkształceń

1.3. Kryteria wytrzymałościowe

1.3.1. Naprężenia dopuszczalne w obciążeniach statycznych

1.3.2. Badania wytrzymałościowe na rozrywanie

1.3.3. Statyczny współczynnik bezpieczeństwa

2. Obliczenia wytrzymałościowe na rozciąganie i ściskanie

2.1. Wprowadzenie

2.2. Naprężenia rozciągające

2.2.1. Rozrywanie własnym ciężarem

2.2.2. Prawo Hooke’a

2.3. Naprężenia ściskające

2.4. Odkształcenia

2.4.1. Odkształcenia wzdłużne

2.4.2. Odkształcenie poprzeczne

2.5. Obliczanie elementów na rozciąganie i ściskanie

2.6. Przykłady obliczeń wymiarów elementów rozciąganych i ściskanych

3. Naprężenia rozciągające w zbiornikach

3.1. Naprężenia w ściankach cylindrycznych – walczakach

3.1.1. Rozrywające naprężenia obwodowe

3.1.2. Rozrywające naprężenia wzdłużne

3.2. Naprężenia i grubość ścianki zbiorników cylindrycznych

3.3. Naprężenia i grubość ścianki zbiornika kulistego

3.4. Obliczanie śrub w połączeniach kołnierzowych zbiorników

3.5. Obliczanie powłok cienkościennych zbiorników

3.6. Obliczanie łączne powłok cienkościennych i śrub

4. Nacisk powierzchniowy

5. Ścinanie i styczne naprężenia ścinające

5.1. Wprowadzenie

5.2. Naprężenia tnące

5.3. Naprężenia dopuszczalne na ścinanie

6. Obliczanie naprężeń σr, σśc, σn i τt

6.1. Połączenia gwintowane

6.1.1. Obliczanie połączeń gwintowych

6.2. Połączenia spawane

6.2.1. Obliczanie połączeń spawanych

6.3. Połączenia nitowane

6.3.1. Obliczanie połączeń nitowych

7. Naprężenia wyboczające

7.1. Wprowadzenie

7.2. Współczynnik smukłości λ

7.3. Momenty bezwładności Ix, Iy, Io, Imin

7.3.1. Twierdzenie Steinera

7.3.2. Sposób liczenia osiowych momentów bezwładności przekrojów złożonych

7.4. Siła krytyczna Fkr

7.5. Zakresy wyboczenia

7.5.1. Wyboczenie sprężyste

7.5.2. Wyboczenie niesprężyste (plastyczne)

7.6. Współczynnik zamocowania α i przypadki wyboczenia

7.7. Obliczanie wytrzymałościowe na wyboczenie

7.7.1. Obliczanie dopuszczalnych obciążeń dla elementów o danych wymiarach

7.7.2. Obliczanie wymiarów dla zadanych obciążeń wyboczających

7.8. Przykłady obliczeń wytrzymałości na wyboczenie

8. Podsumowanie omówionych naprężeń

8.1. Wprowadzenie

8.2. Sposób postępowania

8.2.1. Sposób prowadzenia obliczeń na konkretnym przykładzie

8.3. Przykłady obliczeniowe

9. Podstawy mechaniki ogólnej

9.1. Wprowadzenie

9.2. Podstawy statyki

9.2.1. Stosowane w mechanice jednostki

9.2.2. Prawa Newtona

9.2.3. Zasady stosowane w statyce

9.2.4. Podpory, węzły i ich reakcje

9.2.5. Płaski zbieżny układ sił

9.2.6. Płaski równoległy układ sił

9.2.7. Graficzne metody wyznaczania reakcji

9.2.8. Przestrzenny układ sił

9.2.9. Siły tarcia

10. Naprężenia dopuszczalne oraz zmęczenie materiału

10.1. Naprężenia dopuszczalne w obciążeniach dynamicznych

10.2. Zmęczeniowe współczynniki bezpieczeństwa

10.3. Naprężenia dopuszczalne

11. Naprężenia skręcające

11.1. Naprężenia skręcające

11.1.1. Naprężenia dopuszczalne

11.1.2. Kryterium kąta skręcenia

11.2. Przykłady obliczeniowe „czystego” skręcania

12. Naprężenia zginające

12.1. Moment gnący

12.2. Wskaźnik wytrzymałości na zginanie

12.3. Kryterium naprężeń dopuszczalnych na zginanie

12.4. Kryterium odkształceń dopuszczalnych – strzałka ugięcia

12.5. Metoda analityczna obliczania zginanych belek

12.5.1. Sposób prowadzenia obliczeń na konkretnym przykładzie

12.6. Metoda graficzna obliczania zginanych belek

12.7. Inne przypadki naprężeń zginających

12.8. Przykłady obliczeniowe

13. Zginanie ze skręcaniem – moment zastępczy

13.1. Zginanie ze skręcaniem

13.2. Naprężenia zastępcze w obliczeniach wałów

13.3. Przykłady obliczeniowe

13.3.1. Obliczenia wału mieszadła reaktora

13.3.2. Obliczenia momentów zastępczych

13.4. Naprężenia zastępcze dwupłaszczyznowe w wałach

13.4.1. Obliczenia wału skręcanego i zginanego w dwóch płaszczyznach

13.5. Praktyczne zastosowanie wiedzy z obliczania wałów

14. Podsumowanie omówionych naprężeń

14.1. Wprowadzenie

14.2. Przykłady

14.2.1. Projekt zamocowania reklamy

14.2.2. Projekt układu ruchowego

Spis symboli wielkości całościowych jednostek miar stosowanych w obliczeniach wytrzymałościowych

Okładka

Strona tytułowa

Strona redakcyjna

Spis treści

Od Autorów

11. Naprężenia skręcające

11.1. Naprężenia skręcające

11.1.1. Naprężenia dopuszczalne

11.1.2. Kryterium kąta skręcenia

11.2. Przykłady obliczeniowe „czystego” skręcania

Od Autorów

Oddajemy do rąk Czytelników książkę, będącą owocem i podsumowaniem naszych wieloletnich doświadczeń projektowych i dydaktycznych, zdobytych podczas projektowania urządzeń, stanowisk badawczych i aparatury chemicznej, a także nauczania przedmiotów technicznych i mechanicznych, takich jak: rysunek techniczny, maszynoznawstwo, mechanika, wytrzymałość materiałów, projektowanie zbiorników, napędów i aparatury chemicznej, studentów Wydziału Chemicznego Politechniki Gdańskiej na kierunkach: chemia, technologia chemiczna, biotechnologia, technologie ochrony środowiska, zielone technologie i monitoring, chemia budowlana, konserwacja i degradacja materiałów i innych oraz studentów Wydziału Wzornictwa Przemysłowego Akademii Sztuk Pięknych w Gdańsku.

Ta grupa studentów, o dużym potencjale intelektualnym i motywacyjnym, ale nieukierunkowanym na zagadnienia techniczno-matematyczne, wymagała jednak specyficznego potraktowania. Wielokrotne próby odwoływania się do doświadczeń i wiedzy z takich przedmiotów, jak: podstawy konstrukcji maszyn, teoria mechanizmów, wytrzymałość materiałów i innych, które bardzo dobrze się sprawdziły na wydziałach mechanicznych (Budowa Maszyn, Budownictwo Lądowe, Budownictwo Okrętowe) w tym przypadku się nie powiodły, nawet wtedy, gdy do ich nauczania powoływani byli specjaliści z tych wydziałów.

Zdobyte doświadczenia dydaktyczne i projektowe, opisane fragmentarycznie w wielu opracowaniach, takich jak: W.M. Lewandowski, Maszynoznawstwo chemiczne. Ćwiczenia projektowe, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1979, W.M. Lewandowski, Maszynoznawstwo chemiczne, Fundacja Poszanowania Energii, Gdańsk 1998, W.M. Lewandowski, Techniczne podstawy wzornictwa przemysłowego, Fundacja Poszanowania Energii, Gdańsk 2003, W.M. Lewandowski, A. Melcer, Zadania z maszynoznawstwa chemicznego, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2011, W.M. Lewandowski, Techniczno-technologiczne i aparaturowe aspekty ochrony powietrza, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2011, W.M. Lewandowski, M. Ryms, Biopaliwa. Proekologiczne odnawialne źródła energii, WNT, Warszawa 2013 oraz W.M. Lewandowski, R. Aranowski, Technologie ochrony środowiska w przemyśle i energetyce, PWN, Warszawa 2016, zainspirowały nas do całościowego ujęcia zagadnień technicznych w jednej formie, przystępnej wszystkim Czytelnikom i to nie tylko mechanikom. Mamy nadzieję, że książka ta, na wyczerpująco graficznie zilustrowanych przykładach: zbiorników, instalacji, połączeń i napędów, pozwoli zrozumieć zagadnienia mechaniczne kompleksowo, od proponowanych rozwiązań technicznych, poprzez obliczenia wytrzymałościowe ich elementów składowych, do koncepcji końcowych rozwiązań projektowych.

11Naprężenia skręcające

11.1. Naprężenia skręcające

Naprężenia skręcające, które działają w płaszczyźnie przekroju poprzecznego skręcanego elementu, podobnie jak ścinające, są naprężeniami stycznymi. Ich wartość zależy od wartości momentu skręcającego Ms oraz od odległości r od obojętnej osi obrotu, na której mają wartość zerową. Wartość maksymalną osiągają na zewnętrznej powierzchni skręcanej belki, dla r = R (rys. 11.1).

(11.1)

Rys. 11.1. Wycinek skręcanej belki

11.1.1. Naprężenia dopuszczalne

Wartość naprężeń skręcających τs, które są stałe na całej długości belki l, wyraża stosunek momentu skręcającego Ms do wskaźnika wytrzymałości na skręcanie W₀:

(11.2)

Moment skręcający Ms w belce utwierdzonej jest iloczynem pary sił F oraz ich odległości 2b:

(11.3)

Skręcaniu ulegają również wały zamocowane obrotowo, a moment skręcający, równy momentowi obrotowy Mo (tarcie w łożyskach można pominąć), jest opisany zależnością:

(11.4)

w której: N jest mocą przenoszoną przez wał, w tej zależności w kW, ω jest prędkością kątową w rad/s, a n prędkością obrotową wału w obr/min.

Rys. 11.2. Skręcanie belki utwierdzonej

Rys. 11.3. Skręcanie wałów obrotowych

Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, w zależności (11.2), jest stosunkiem biegunowego momentu bezwładności przekroju I₀ do e – odległości skrajnych włókien od osi obrotu: W₀= I₀/e.

Dla przekroju kołowego (pełny wałek o średnicy d) I₀ = π ∙ d⁴/32 oraz e= d/2 stąd W₀ = π ∙ d³/16 ≈ 0,2 · d³ i odpowiednio dla rury: W₀ ≈ 0,2 · (dz – dw)³. Dla innych bardziej skomplikowanych przekrojów wartości momentów i wskaźników podane są w katalogach kształtowników (kątowniki, teowniki, ceowniki itd.).

Naprężenia dopuszczalne na skręcanie ks w funkcji granicy plastyczności Re podano w tabeli 10.2. Definicję granicy plastyczności zamieszczono na rys. 1.4, a wartości Re dla różnych stali węglowych zebrano w tabeli 1.1.

11.1.2. Kryterium kąta skręcenia

Drugim, po naprężeniach dopuszczalnych ks, kryterium wytrzymałościowym na skręcanie jest dopuszczalny kąt skręcenia ϕdop, którego przekroczenie prowadzi również do zniszczenia całej konstrukcji lub jej elementów.

Poprzeczne odkształcenie skręcające, wyrażane kątem skręcenia ϕ (rys. 11.2), jest odpowiednikiem wzdłużnego odkształcenia podczas rozciągania lub ściskania ∆l (zależność (2.5)) i również jest proporcjonalne do przyczyny, w tym wypadku Ms i długości l oraz odwrotnie proporcjonalne do modułu sztywności poprzecznej G i biegunowego momentu bezwładności Io:

(11.5)

Ze znajomości naprężeń dopuszczalnych na skręcanie ks [MPa] i dopuszczalnego kąta skręcania ϕdop ≈ 0,004 rad/m lub ϕdop ≈ ¼ deg/m z równań (11.2) i (11.5) można wyznaczyć, jaka musi być średnica wału ds i dϕ [m], aby wytrzymał on działanie i momentu skręcającego Ms [MNm] i nie doszło w nim do przekroczenia dopuszczalnej wartości kąta skręceniaϕdop:

(11.6)

oraz

(11.7)

Średnica projektowanego wałka musi spełniać jednocześnie dwa warunki, być większa od obliczonej ze względu na skręcanie d > ds oraz od średnicy obliczonej w oparciu o dopuszczalny kąt skręcenia d > dϕ.

11.2. Przykłady obliczeniowe „czystego” skręcania

Samo skręcanie, bez jednoczesnego zginania – tzw. czyste skręcanie zachodzi w technice rzadko, bo nawet jeżeli na wał lub belkę nie działają siły bezpośrednio generujące momenty gnące, to pojawią się one jako siły odśrodkowe, grawitacyjne, nierównomiernego rozkładu mas itd. Dlatego omówione w tym rozdziale przykłady skręcania czystego dotyczą:

wałów pionowych, których siła grawitacji nie zgina, lecz rozciąga je lub ściska,

przypadków, w których moment obrotowy od silnika jest doprowadzony symetrycznie przez sprzęgło, a nie przez przekładnie zębatą lub paskową.

Siły odśrodkowe, siły bicia (nierównomierne rozłożenie mas), niesymetryczności wirników itd. zostały tu pominięte.

Zadanie 11.1.

Oblicz wymiary stalowego wału mieszadła przedstawionego na rys 11.4, obracającego się z prędkością n = 1410 obr/min jeżeli moc mieszania oszacowano na N = 1,5 kW, współczynnik przeciążenia silnika wynosi k₁ = 1,2, moduł Younga dla stali E = 2∙10⁵ MN/m², dopuszczalny kąt skręcania ϕdop = 0,004 rad/m oraz wartość naprężeń dopuszczalnych na skręcanie ks = 75 MN/m².

Rys. 11.4. Widok i wynik obliczenia wału mieszadła reaktora

ROZWIĄZANIE

Dane: N = 1,5 kW

n = 1410 obr/min

k₁ = 1,2

E = 2∙10⁵ MN/m²

ϕdop = 0,004 rad/m

ks = 75 MN/m²

Szukane: RA, RB, Ms, Mel, (Ms), (dt), (dk)

Ponieważ rozkład sił w wirniku mieszadła jest symetryczny, więc ich suma równa się zero, a to świadczy, że na wał nie działają siły gnące i w łożyskach poprzeczne siły reakcji nie występują: RAy = RBy = 0. Natomiast siły ciężaru wału Q oraz wzdłużnego oddziaływania mieszanego płynu na wirnik W muszą być zrównoważone siłami reakcji RAx i RBx, tak aby był spełniony warunek równowagi:

∑Fy = F – F = 0 oraz ∑Fx = –Q +/– W + RAx + RBx = 0.

Siły G i W oraz wzdłużne siły reakcji RAx i RBx nie mają wpływu na skręcania wału i dlatego w tych rozważaniach zostały pominięte.

Znając parametry silnika (moc Nel = N · k₁ i prędkość obrotową n) z równania (11.4), możemy obliczyć moment skręcający Ms:

Wał na całej swojej długości ulega jedynie stałemu momentowi skręcania, wywołującemu naprężenia skręcające:

∑Mo = Mel – Ms= 0, stąd: M = Mel

Średnicę wału ds ze względu na moment skręcający Ms można wyznaczyć z warunku na naprężenia skręcające (11.2) przy znajomości wartości naprężeń dopuszczalnych na skręcanie, która dla wału mieszadła wynosi ks = 75 MPa:

Ze znajomości momentu skręcającego Ms, modułu sztywności poprzecznej G = 0,4∙E oraz dopuszczalnego kąta skręcania ϕdop ≈ 0,004 rad/m, z zależności (11.7), wyznaczyć można średnicę wału mieszadła dϕ, przy której nie dojdzie w nim do przekroczenia dopuszczalnej wartości kąta skręcenia ϕdop.

Teoretyczna średnica projektowanego wału musi spełniać jednocześnie dwa warunki, być większa od obliczonej ze względu na skręcanie dt > ds oraz od średnicy obliczonej w oparciu o dopuszczalny kąt skręcenia dt > dϕ. Obliczona średnica wału musi zatem mieć na całej długości l co najmniej 25 mm i na jej bazie można rozpocząć konstrukcyjne projektowanie średnicy mieszadła dk > dt (rys.11.4).

Zadanie 11.2.

Oblicz przedstawiany na rys. 11.5 wał napędowy, będący fragmentem mechanizmu zamykania i otwierania żaluzji wentylacyjnej. Do przesuwania lewej i prawej jej części służą po dwie listwy zębate, współpracujące z dwoma kołami zębatymi o średnicy D = 0,12 m. Siła wzdłużna, jaką jest w stanie przenieść listwa, wynosi F = 500 N. Oblicz średnicę wału i moc silnika dla n = 1000 obr/min, k₁ = 1,2, E = 2∙10⁵ MN/m², ϕdop = 0,004 rad/m oraz ks = 75 MN/m².

Rys. 11.5. Widok i wynik obliczenia wału mechanizmu

ROZWIĄZANIE

Dane: F = 0,5 kN

D = 0,12 m

n = 1000 obr/min

k₁ = 1,2

E = 2∙10⁵ MN/m²

ϕdop = 0,004 rad/m

ks = 75 MN/m²

Szukane: RA, RB, Ms, Mel, (Ms), (dt), (dk)

Suma sił F równa się zero, a to oznacza, że na wał nie działają siły gnące, a więc i poprzeczne siły reakcji w łożyskach nie występują: RAy = RBy = 0. W tej sytuacji łożyska te dobiera się ze względu na siłę wzdłużną, czyli ciężar wału Q, wiedząc, że muszą one przenieść wzdłużne siły reakcji RAx i RBx, tak aby spełniony był warunek:

∑Fy = F – F = 0 oraz ∑Fx = – Q + RAx + RBx = 0.

Jednak tak jak i w poprzednim zadaniu siły, które nie mają wpływu na skręcanie wału zostaną pominięte.

Momenty skręcające wał dla tych samych średnic D i sił F wynoszą:

Ms1 = Ms2 = 2 ∙ F ∙ D/2 = F ∙ D = 0,5 ∙ 0,12 = 0,06 kNm

Z warunku równowagi momentów obrotowych wynika, że:

∑Mo = –Ms – Ms + Mel = 0, stąd: Mel = 2 ∙ Ms = 2 · 0,06 = 0,12 kNm

Moc silnika wyznaczona z równania (11.4) jest równa:

Z wartości momentów skręcających, działających na wał i równych: Ms,A-B =0, Ms,B-C = Ms1=0,06 kNm i Ms,C-E = Mel = 0,12 kNm, korzystając z zależności (11.2), można obliczyć średnice wału ds:

Podobnie z zależności (11.7), przyjmując moduł sztywności poprzecznej G = 0,4∙E, obliczyć można dϕ dla tych samych przedziałów:

Na podstawie obliczonych dla poszczególnych fragmentów wału średnic ds(x) i dϕ(x), do dalszych rozważań przyjmuje się większe z nich, jako dt(x) i dla nich projektuje się średnice konstrukcyjne dk(x), jak pokazano to na rys. 11.5.

Zadanie 11.3.

Przedstawiony na rys. 11.6 mieszalnik ma dwie tarcze łopatkowe o średnicy D₁ = 0,35 m i D₂ = 0,5 m. Eksperymentalnie wyznaczono, że optymalna prędkość mieszania wynosi n = 45 obr/min, a opór ośrodka działający na jedną łopatkę przy tej prędkości wynosi F = 1,25 kN. Dla pozostałych danych i założeń upraszczających, takich samych jak w poprzednim zadaniu, oblicz średnicę wału dt(x) oraz dobierz moc silnika Nel.

Rys. 11.6. Widok i wynik obliczenia wału mieszalnika

ROZWIĄZANIE

Dane: F = 1,15 kN

D₁ = 0,35 m

D₂ = 0,5 m

n = 45 obr/min

k₁ = 1,20

E = 2∙10⁵ MN/m²

ϕdop = 0,004 rad/m

ks = 75 MN/m²

Szukane: RA, RB, Ms, Mel, (Ms), (dt), (dk), Nel

Również i w tym przypadku pomijamy rozważanie sił poprzecznych działających na wał, gdyż są one rozłożone symetrycznie i wzajemnie się znoszą.

Z warunku na równowagę momentów obrotowych wynika:

∑Mo = Mel – Ms1 – Ms2 = 0

stąd, przy założeniu, że wszystkie cztery łopatki na obydwu tarczach są takie same, można wyznaczyć Ms1, Ms2, Mel i moc silnika Nel:

Ms1 = 4∙F · D₁/2 = 4∙1,25∙0,5/2 = 1,25 kNm,

Ms2 = 4∙F · D₂/2 = 4∙1,25∙0,35/2 = 0,875 kNm,

Mel = Ms1 + Ms2 = 4∙F ∙ (D₁ + D₂)/2 = 2,125 kNm

oraz

co po uwzględnieniu wartości współczynnika przeciążeń k₁ = 1,2, daje Nel = 10,01 · 1,2 = = 12 kW.

Średnice wału mieszadła, zgodnie z zależnością na naprężenia skręcające (11.2) oraz wartościami momentów skręcających w przedziałach A-B (Ms1 = 1,25 kNm) i B-E (Mel = 2,125 kNm), których przebieg pokazano na rys. 11.6, są następujące:

W oparciu o te same momenty skręcające i również o zależność (10.7) , przyjmując modułu sztywności poprzecznej G = 0,4∙E, można wyznaczyć średnice wału ze względu na dopuszczalny kąt jego skręcenia:

Bazując na tych teoretycznych wartościach średnic dt(x) oraz w oparciu o znormalizowane średnice typoszeregów łożysk, sprzęgieł, piast a także wymiary wpustów, pierścieni osadczych, tulejek dystansowych itd., można rozpocząć konstrukcyjne projektowanie wału mieszadła dk(x), którego wynik zaproponowano na rys. 11.6.