Dane oryginału

Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands

The Feynman Lectures on Physics, vol. 2. New Millenium Edition

Copyright © 1963, 2006, 2010 by California Institute of Technology, Michael A. Gottlieb, and Rudolf Pfeiffer.
First published in the United States by Basic Books, a member of the Perseus Books Group

All rights reserved.

No part of this book may be reproduced in any manner whatsoever without written permission except in the

case of brief quotations embodied in critical articles and reviews.

For information, address Basic Books, 250 West 57th Street, 15th Floor, New York, NY, 10107.

Zdjęcie na okładce Barauskaite/Shutterstock

Projekt okładki i stron tytułowych Agnieszka Machnicka

Przekład z języka angielskiego Andrzej Lenda (rozdziały 22–41)

Stanisław Bażański (rozdział 42)

Redakcja naukowa Stanisław Bażański

Wydawca Izabela Ewa Mika

Produkcja Mariola Grzywacka

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2014 r., (wyd. 6, poprawione)

Warszawa 2022

Copyright © for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe

Warszawa 1968

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2001, 2007, 2014

ISBN 978-83-01-22160-7

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

infolinia 801 33 33 88

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN SA: mobisfera.pl

22. Obwody prądu zmiennego

22.1. Oporności pozorne[1]

Większość naszych wysiłków w tym cyklu wykładów zmierzała do otrzymania pełnych równań Maxwella. W dwóch poprzednich rozdziałach[2] rozważaliśmy konsekwencje wynikające z tych równań. Przekonaliśmy się, że równania te opisują zarówno wszystkie zjawiska statyczne, o których mówiliśmy wcześniej, jak i zjawiska związane z falami elektromagnetycznymi i światłem, którymi to zjawiskami dość szczegółowo zajmowaliśmy się w tomie I. Równania Maxwella opisują bądź jeden, bądź drugi rodzaj zjawisk, w zależności od tego, czy obliczamy pola w pobliżu ładunków i prądów, czy też od nich daleko. Niewiele interesującego można powiedzieć o obszarze pośrednim; żadne specjalne zjawiska tam nie występują.

W elektromagnetyzmie pozostaje jednakże do rozważenia jeszcze kilka zagadnień, którymi chcemy się zająć.Chcemy rozważyć zagadnienie: teoria względności a równania Maxwella – co się stanie, gdy spojrzeć na równania Maxwella w odniesieniu do poruszających się układów współrzędnych. Jest także problem zasady zachowania energii dla układów elektromagnetycznych. Następnie pozostaje do rozważenia obszerne zagadnienie elektromagnetycznych właściwości materii; dotąd – z wyjątkiem badania właściwości dielektryków – zajmowaliśmy się tylko polem elektromagnetycznym w pustej przestrzeni (próżni). A chociaż w tomie I (cz. 2) omówiliśmy dość szczegółowo zagadnienia związane z promieniowaniem świetlnym, pozostaje kilka spraw, do których chcielibyśmy jeszcze raz powrócić z punktu widzenia równań pola.

W szczególności chcemy jeszcze raz zająć się zagadnieniem współczynnika załamania, zwłaszcza dla substancji gęstych. Pozostają jeszcze wreszcie do rozpatrzenia zjawiska dotyczące fal zamkniętych w ograniczonym obszarze przestrzeni. O zjawiskach tych wspomnieliśmy już pokrótce, gdy omawialiśmy fale dźwiękowe. Równania Maxwella także prowadzą, między innymi, do rozwiązań, które odpowiadają ograniczonym falom pola elektrycznego i pola magnetycznego. Zagadnienie to ma ważne aspekty techniczne i zajmiemy się nim w następnych rozdziałach. Aby dojść do niego, zaczniemy od omówienia właściwości obwodów elektrycznych dla małych częstości. Pozwoli nam to potem porównać sytuacje, do których mają zastosowanie prawie statyczne przybliżenia równań Maxwella, z sytuacjami, w których dominują efekty wielkich częstości.

Tak więc zstępujemy z niebotycznych i dostępnych tylko dla wtajemniczonych wyżyn problemów przedstawionych w kilku poprzednich rozdziałach i zabieramy się do rozważenia stosunkowo dość banalnego zagadnienia obwodów elektrycznych. Zobaczymy jednak, że nawet tak przyziemne zagadnienie, rozpatrywane z dostateczną wnikliwością, może kryć w sobie sporo skomplikowanych problemów.

Pewne właściwości obwodów elektrycznych omówiliśmy już w rozdz. 23 i 25 tomu I (cz. 1). Teraz zajmiemy się niektórymi z nich ponownie, ale już bardziej szczegółowo. Tak jak i poprzednio, będziemy rozważali tylko układy liniowe oraz napięcia i prądy, które zmieniają się sinusoidalnie; można więc przedstawić wszystkie napięcia i prądy za pomocą liczb zespolonych, używając zapisu w postaci funkcji wykładniczej przedstawionego w rozdz. 23 tomu I (cz. 1). Tak więc zmienne w czasie napięcie $V(t) $ można zapisać jako

$\displaystyle V(t)=\hat{V}{\rm e}^{i\omega t},$
(22.1)

gdzie $\hat V $ jest liczbą zespoloną, niezależną od $t $. Rozumie się tu oczywiście, że faktyczne, zmienne w czasie napięcie $V(t) $ dane jest przez rzeczywistą część funkcji zespolonej występującej po prawej stronie tego równania.

Podobnie zakładamy, że wszystkie nasze zależne od czasu wielkości będą się zmieniać sinusoidalnie z tą samą częstością $\omega $. Piszemy więc

\begin{equation*}\left.\begin{aligned} I&=\hat{I}{\rm e}^{i\omega t}\quad(\text{... ...^{i\omega t}\quad(\text{pole elektryczne}), \end{aligned}\right\}\end{equation*}
(22.2)

i tak dalej.

W większości wypadków będziemy podawać równania na $V, I,\allowbreak \ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi ,\dots$ (a nie na $\hat V,\hat I,\hat \ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi ,\dots$), pamiętając jednak, że wielkości te zależą od czasu, tak jak to podano we wzorach (22.2).

W naszych poprzednich rozważaniach o obwodach zakładaliśmy, że są nam znane takie pojęcia jak: indukcyjność, pojemność i oporność. Teraz chcemy się zastanowić nieco dokładniej nad tym, co należy rozumieć przez te idealne elementy obwodu. Zaczniemy od indukcyjności[3].

Indukcyjność powstaje przez nawinięcie wielu zwojów drutu w kształcie cewki i wyprowadzenie obu końców drutu do zacisków znajdujących się w pewnej odległości od cewki, tak jak pokazano to na rys. 22.1. Zakładamy, że pole magnetyczne wytworzone przez prądy w cewce znajduje się praktycznie tylko w jej bezpośrednim sąsiedztwie i nie oddziaływa z innymi elementami obwodu. Zwykle uzyskuje się to nadając cewce kształt torusa lub ograniczając pole magnetyczne przez nawinięcie cewki na odpowiednim rdzeniu żelaznym albo też przez umieszczenie cewki w odpowiedniej osłonie metalowej, jak to pokazano schematycznie na rys. 22.1. W każdym razie zakładamy, że pole magnetyczne w obszarze zewnętrznym, w pobliżu zacisków $a $ i $b $, można pominąć. Założymy także, że możemy pominąć opór drutu i ładunek elektryczny pojawiający się na powierzchni drutu w związku z powstawaniem pól elektrycznych.

Rys. 22.1. Cewka indukcyjna

Jeśli spełnione zostaną wszystkie założenia, otrzymamy to, co nazywamy „indukcyjnością” doskonałą. (Później powrócimy jeszcze do opisu indukcyjności rzeczywistej.) Twierdzimy, że w przypadku indukcyjności doskonałej napięcie pomiędzy zaciskami jest równe $L({\rm d}I/{\rm d}t)$. Zobaczmy, dlaczego tak jest. Gdy przez indukcyjność płynie prąd, wewnątrz cewki (indukcyjności) powstaje pole magnetyczne o natężeniu proporcjonalnym do tego prądu. Jeżeli prąd będzie się zmieniać w czasie, pole magnetyczne również będzie się zmieniać. Mówiąc ogólnie, rotacja pola E równa jest $-\partial{\bf B}/\partial t$, czyli – inaczej – całka krzywoliniowa pola E wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej równa jest strumieniowi wektora B przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą. Przypuśćmy teraz, że nasza krzywa wygląda następująco: zaczyna się przy zacisku $a $ i biegnie wzdłuż zwojów (pozostając zawsze wewnątrz drutu) do zacisku $b $; następnie powraca od zacisku $b $ do zacisku $a $ poprzez pustą przestrzeń na zewnątrz cewki. Całkę krzywoliniową z pola E wzdłuż takiej krzywej zamkniętej można zapisać jako sumę dwóch całek:

$\displaystyle \oint\textbf E\cdot {\rm d}\textbf s= \!\!\underset{\text{przez c... ...rset{\text{na zewnątrz}}{\int\limits_b^a}\!\! \textbf E\cdot {\rm d}\textbf s.$
(22.3)

Jak się przekonaliśmy poprzednio, wewnątrz przewodnika doskonałego nie mogą istnieć pola elektryczne. (Najmniejsze nawet pola prowadziłyby do powstania nieskończenie wielkich prądów.) Wynika stąd, że całka wzdłuż drogi od $a $ do $b $ poprzez cewkę jest równa zeru. Całkowity wkład do całki z pola E pochodzi od krzywej łączącej zaciski $a $ i $b $ na zewnątrz cewki. Ponieważ założyliśmy, że na zewnątrz osłony nie ma pola magnetycznego, ta część całki nie zależy od wyboru drogi całkowania i możemy określić potencjały obu zacisków. Różnica ich stanowi to, co nazywamy „różnicą potencjałów” albo po prostu – napięciem $V$. Mamy więc

Całka krzywoliniowa wzdłuż krzywej zamkniętej określa to, co poprzednio nazwaliśmy siłą elektromotoryczną, i jest oczywiście równa szybkości zmian strumienia magnetycznego w cewce. Poprzednio przekonaliśmy się, że ta siła elektromotoryczna równa jest szybkości zmian prądu wziętej ze znakiem minus. Mamy więc

gdzie $L $ jest indukcyjnością cewki. Ponieważ ${\rm d}I/{\rm d}t = i\omega I$, mamy

$\displaystyle V=i\omega LI.$
(22.4)

Sposób, w jaki opisaliśmy indukcyjność doskonałą, ilustruje ogólną metodę podejścia do zagadnienia doskonałych elementów obwodu nazywanych zwykle elementami „skupionymi”. Własności elementu są w pełni opisane przez wartości prądów i napięć, które pojawiają się na zaciskach. Przez poczynienie odpowiednich założeń upraszczających możliwe jest pominięcie złożonej natury pól powstających wewnątrz danego obiektu. To, co się dzieje wewnątrz obiektu, jest całkowicie oddzielone od tego, co się dzieje na zewnątrz.

Dla każdego elementu obwodu możemy znaleźć związek typu (22.4), w którym napięcie jest proporcjonalne do prądu, przy czym stała proporcjonalności jest na ogół liczbą zespoloną. Ten zespolony współczynnik proporcjonalności nazywamy opornością pozorną (indukcyjnością) i oznaczamy zwykle symbolem $Z$. Jest on przeważnie funkcją częstości $\omega $. Tak więc dla dowolnego elementu skupionego możemy napisać

$\displaystyle \frac{V}{I}=\frac{\hat{V}}{\hat{I}}=Z.$
(22.5)

Dla indukcyjności mamy

$\displaystyle Z($indukcyjna$\displaystyle )=Z_L=i\omega L.$
(22.6)

Jako następny doskonały element obwodu rozpatrzmy teraz kondensator. Kondensator składa się z pary przewodzących płytek, z których wyprowadzono dwa druty w postaci końcówek. Płytki mogą mieć zupełnie dowolny kształt i często przedziela się je jakimś dielektrykiem. Schemat takiego kondensatora widzimy na rys. 22.2. I w tym wy padku poczynimy kilka założeń upraszczających. Zakładamy, że płytki i druty są przewodnikami doskonałymi. Zakładamy też, że izolator pomiędzy płytkami jest doskonały, tak że ładunek elektryczny nie może przepłynąć przez niego z jednej płytki na drugą. Następnie zakładamy, że płytki są blisko siebie, ale daleko od innych przewodników, tak że wszystkie linie sił pola, wychodzące z jednej płytki, kończą się na drugiej. Wówczas ładunki na obu płytkach są zawsze równe i mają przeciwny znak, przy czym ładunki na płytkach są znacznie większe od ładunków na powierzchni przewodów doprowadzających. Załóżmy jeszcze, że w pobliżu kondensatora nie ma żadnych pól magnetycznych.

Rys. 22.2. Kondensator (lub „pojemność”)

Rozważmy teraz całkę krzywoliniową z pola E wzdłuż krzywej zamkniętej, która zaczyna się przy zacisku $a $, biegnie wzdłuż drutu do górnej płytki kondensatora, przeskakuje odstęp pomiędzy płytkami, przebiega od dolnej płytki wzdłuż drutu do zacisku $b $ i powraca do zacisku $a $ poprzez przestrzeń na zewnątrz kondensatora. Ponieważ nie ma pola magnetycznego, całka krzywoliniowa z pola E wdłuż takiej krzywej zamkniętej jest równa zeru. Całkę tę możemy rozbić na sumę trzech całek:

$\displaystyle \oint\textbf E\cdot {\rm d}\textbf s= \underset{\substack{\text{w... ...text{na}\\ \text{zewnątrz}}}{\int\limits_b^a} \textbf E\cdot {\rm d}\textbf s.$
(22.7)

Całka pola E wzdłuż drutów jest równa zeru, ponieważ wewnątrz przewodników doskonałych nie ma pól elektrycznych. Całka pola E od zacisku $b $ do $a $ na zewnątrz kondensatora jest równa różnicy potencjałów na zaciskach, wziętej ze znakiem minus. Ponieważ założyliśmy, że obie płytki są w jakiś sposób izolowane od otoczenia, całkowity ładunek na nich musi być równy zeru; jeśli na górnej płytce jest ładunek $Q $, to na dolnej jest równy mu co do wielkości, ale o przeciwnym znaku ładunek $- Q$. Przekonaliśmy się uprzednio, że jeżeli dwa przewodniki mają równe, ale o przeciwnym znaku ładunki $Q $ i $- Q$, to różnica potencjałów pomiędzy nimi wynosi $Q/C $, gdzie $C$ nazywamy pojemnością obu przewodników. Z równania (22.7) wynika, że różnica potencjałów pomiędzy zaciskami $a $ i $b $ jest równa różnicy potencjałów pomiędzy płytkami. Mamy więc

Prąd elektryczny $I$, dopływający do kondensatora przez zacisk $a $ (i opuszczający go przez zacisk $b)$, równy jest szybkości zmian ładunku elektrycznego na płytkach: ${\rm d}Q/{\rm d}t$. Podstawiając ${\rm d}V/{\rm d}t$ jako $i\omega V $, możemy wyrazić zależność pomiędzy prądem a napięciem dla kondensatora w następujący sposób:

czyli

$\displaystyle \noalign{\hspace{-\parindent}\text{czyli}\vs{-4}} V=\frac{I}{i\omega C}.$
(22.8)

Oporność pozorna $Z$ kondensatora jest więc równa

$\displaystyle Z($pojemnościowa$\displaystyle )=Z_C=\frac{1}{i\omega C}.$
(22.9)

Trzecim elementem obwodu, którym chcemy się zająć, jest opór omowy. Jednakże ponieważ nie rozważaliśmy dotąd elektrycznych właściwości materiałów rzeczywistych, nie jesteśmy jeszcze przygotowani do dyskusji nad tym, co się dzieje wewnątrz rzeczywistego przewodnika. Będziemy musieli po prostu zgodnie z doświadczeniem przyjąć, że w materiałach rzeczywistych mogą istnieć pola elektryczne, że te pola elektryczne powodują przepływ ładunku elektrycznego, to znaczy pojawienie się prądu, i że prąd ten jest proporcjonalny do całki z pola elektrycznego, wziętej od jednego końca przewodnika do drugiego. Możemy wówczas wyobrazić sobie idealny opornik, zbudowany tak jak pokazuje rys. 22.3.

Rys. 22.3. Opornik

Dwa druty, o których zakładamy, że są przewodnikami doskonałymi, łączą zaciski $a $ i $b $ z dwoma końcami sztabki z materiału oporowego. Przeprowadzając rozumowanie analogiczne jak w przypadku cewki i kondensatora, przekonujemy się, że różnica potencjałów pomiędzy zaciskami $a $ i $b $ jest równa całce krzywoliniowej z zewnętrznego pola elektrycznego, co z kolei jest równe całce krzywoliniowej z pola elektrycznego przenikającego przez naszą sztabkę. Wynika stąd, że prąd $I$ przepływający przez opornik jest proporcjonalny do napięcia na zaciskach $V$:

gdzie $R $ nazywamy oporem. Zobaczymy później, że zależność pomiędzy prądem a napięciem dla materiałów rzeczywistych jest tylko w przybliżeniu liniowa. Przekonamy się także, że ta przybliżona proporcjonalność okaże się niezależna od częstości zmian prądu i napięcia tylko w przypadku częstości niezbyt wielkich. Tak więc dla prądów zmiennych napięcie na końcach opornika jest zgodne w fazie z prądem, co oznacza, że oporność pozorna jest liczbą rzeczywistą

$\displaystyle Z($oporowa$\displaystyle )=Z_R=R.$
(22.10)

Wyniki naszych rozważań dotyczące trzech skupionych elementów obwodu przedstawia rys. 22.4. Na tym rysunku, jak i na rysunkach poprzednich, zaznaczyliśmy napię cie za pomocą strzałki skierowanej od jednego zacisku do drugiego. Jeżeli napięcie jest „dodatnie”, to znaczy, jeżeli zacisk $a $ ma wyższy potencjał niż zacisk $b $, strzałka wskazuje kierunek dodatniego „spadku napięcia”.

Rys. 22.4. Doskonałe elementy skupione obwodu (bierne)

Chociaż mówimy o prądach zmiennych, możemy oczywiście uwzględnić specjalny przypadek obwodów prądu stałego, przechodząc w naszych wzorach do granicy częstości $\omega $ dążącej do zera. Dla częstości równej zeru, tzn. dla prądu stałego, oporność pozorna indukcyjności dąży do zera; pomiędzy końcówkami następuje zwarcie. Dla prądu stałego oporność pozorna kondensatora dąży do nieskończoności; kondensator staje się przerwą w obwodzie. Ponieważ oporność omowa nie zależy od częstości, jedynym elementem obwodu prądu stałego jest opór omowy.

W opisywanych dotychczas elementach obwodu napięcie i prąd były nawzajem proporcjonalne. Jeżeli znikało jedno, to znikało i drugie. Zwykle rozumujemy tak: przyłożone napięcie jest „odpowiedzialne” za prąd lub prąd „powoduje” powstanie napięcia na zaciskach; tak więc w pewnym sensie elementy „reagują” na „przyłożone” warunki zewnętrzne. Z tego powodu te elementy nazywamy elementami biernymi. Można im przeciwstawić elementy czynne, takie jak generatory, będące źródłami zmiennych prądów lub napięć w obwodzie. Elementami tymi zajmiemy się w następnym podrozdziale.

22.2. Generatory

Chcemy teraz pomówić o czynnym elemencie obwodu – takim, który jest źródłem prądów i napięć w obwodzie – mianowicie o generatorze.

Przypuśćmy, że podobnie jak w wypadku indukcyjności mamy cewkę, ale o bardzo małej liczbie zwojów, tak że możemy pominąć pole magnetyczne płynącego przez nią prądu. Jednakże cewka ta jest umieszczona w zmiennym polu magnetycznym, na przykład takim, jakie można wytworzyć za pomocą obracającego się magnesu, jak to pokazano schematycznie na rys. 22.5. (Przekonaliśmy się wcześniej, że takie zmienne pole magnetyczne można wytworzyć również przez odpowiedni układ cewek z prądami zmiennymi.) Znowu musimy dokonać kilku upraszczających założeń. Będą to takie same założenia, jakie zrobiliśmy, gdy była mowa o indukcyjności.

W szczególności zakładamy, że zmienne pole magnetyczne jest ograniczone do skończonego obszaru w pobliżu cewki i że nie ma go na zewnątrz generatora, w przestrzeni pomiędzy zaciskami.

Rys. 22.5. Generator składający się z zamocowanej cewki i obracającego się pola magnetycznego

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie jak w wypadku indukcyjności, rozważamy całkę krzywoliniową z pola E wzdłuż zamkniętej pętli, która zaczyna się przy zacisku $a $, przebiega przez cewkę do zacisku $b $ i powraca do punktu początkowego poprzez przestrzeń dzielącą oba zaciski. I tym razem dochodzimy do wniosku, że różnica potencjałów pomiędzy zaciskami jest równa całce krzywoliniowej wzdłuż pętli:

Ta całka krzywoliniowa jest równa sile elektromotorycznej w obwodzie, tak więc różnica potencjałów pomiędzy zaciskami generatora jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego przenikającego cewkę:

$\displaystyle V=-\mathcal{E}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}($strumienia$\displaystyle ).$
(22.11)

W przypadku generatora doskonałego zakładamy, że strumień magnetyczny przenikający cewkę jest określony przez warunki zewnętrzne, takie jak prędkość kątowa obrotu pola magnetycznego, i że nie wpływają nań prądy przepływające przez generator. Tak więc generator – a przynajmniej rozważany przez nas generator doskonały – nie jest opornością. Różnica potencjałów pomiędzy zaciskami jest określona poprzez dowolnie zadaną siłę elektromotoryczną $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi (t)$. Taki doskonały generator przedstawiamy za pomocą symbolu pokazanego na rys. 22.6. Mała strzałka pokazuje kierunek siły elektromotorycznej, kiedy jest ona dodatnia. Dodatnia siła elektromotoryczna w generatorze z rys. 22.6 wytwarza napięcie $V = \ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi $, przy czym potencjał zacisku $a $ jest wyższy niż potencjał zacisku $b $.

Rys. 22.6. Symbol oznaczający generator doskonały

Rys. 22.7. Generator składający się z cewki obracającej się w stałym polu magnetycznym

Można zbudować generator w inny sposób. Generator taki będzie się różnił od generatora opisanego powyżej, jeżeli chodzi o konstrukcję wewnętrzną, ale będzie identyczny z punktu widzenia tego, co się dzieje na zewnątrz, poza zaciskami. Przypuśćmy, że mamy cewkę z drutu, która obraca się w stałym polu magnetycznym, tak jak pokazano to na rys. 22.7. Istnienie pola magnetycznego zaznaczono schematycznie na rysunku przez umieszczenie sztabki magnesu; można by ją oczywiście zastąpić innym źródłem stałego pola magnetycznego, np. dodatkową cewką z prądem stałym. Jak pokazano na rysunku, połączenia cewki z otoczeniem zrealizowano za pomocą kontaktów ślizgowych. I tym razem interesuje nas różnica potencjałów pojawiająca się pomiędzy zaciskami $a $ i $b $, która jest oczywiście równa całce z pola elektrycznego, od zacisku $a $ do zacisku $b $, wzdłuż drogi leżącej na zewnątrz generatora.

Tym razem w układzie z rys. 22.7 nie ma zmiennych pól magnetycznych; na pozór mogłoby się więc wydawać dziwne, w jaki sposób na zaciskach generatora w ogóle może się pojawić napięcie. Istotnie, wewnątrz generatora nie ma żadnych pól elektrycznych. Jak zwykle, w przypadku naszych elementów doskonałych zakładamy, że przewody wewnątrz generatora są zrobione z materiału doskonale przewodzącego, a jak mówiliśmy już wiele razy, pole elektryczne wewnątrz doskonałego przewodnika jest równe zeru. Ale okazuje się, że to twierdzenie jest fałszywe w przypadku, gdy przewodnik porusza się w polu magnetycznym. Prawdziwe jest natomiast twierdzenie, że całkowita siła działająca na każdy ładunek wewnątrz przewodnika doskonałego musi być równa zeru. W przeciwnym bowiem wypadku następowałby nieskończenie wielki przepływ ładunków swobodnych. Tak więc jest zawsze prawdą, że suma pola elektrycznego E i iloczynu wektorowego prędkości przewodnika przez pole magnetyczne B, która jest całkowitą siłą działającą na ładunek, musi być wewnątrz przewodnika równa zeru:

(22.12)

gdzie v jest prędkością przewodnika. Nasze poprzednie twierdzenie, mówiące, że wewnątrz przewodnika doskonałego nie istnieje pole elektryczne, pozostaje prawdziwe, jeżeli prędkość przewodnika, v, jest równa zeru; w innych wypadkach poprawne twierdzenie jest dane w postaci równania (22.12).

Powracając do naszego generatora (rys. 22.7), widzimy teraz, że całka krzywoliniowa z pola elektrycznego E, od zacisku $a $ do zacisku $b $, wzięta wzdłuż drogi „prowadzącej” wewnątrz generatora, musi być równa (ze znakiem minus) całce krzywoliniowej z  $\bf v\times B$ wziętej wzdłuż tej samej drogi:

$\displaystyle \underset{\substack{\text{wewnątrz}\\ \text{przewodnika}}}{\int\... ...}}{\int\limits_a^b}\!\!\!\!\! (\textbf v\times\textbf B)\cdot {\rm d}\textbf s.$
(22.13)

Nadal pozostaje jednak prawdą, że całka krzywoliniowa z pola E wzdłuż pętli zamkniętej, której część stanowi powrót z $b $ do $a $ na zewnątrz generatora, musi być równa zeru, ponieważ nie ma zmiennych pól magnetycznych. Tak więc nasza pierwsza całka w równaniu (22.13) jest także równa $V$, napięciu pomiędzy zaciskami. Okazuje się, że całka po prawej stronie równania (22.13) określa po prostu szybkość zmian strumienia przenikającego cewkę. Szybkość ta, jak wynika z reguły strumienia, równa jest sile elektromotorycznej w cewce. A zatem znowu różnica potencjałów pomiędzy zaciskami jest równa sile elektromotorycznej w obwodzie, zgodnie z równaniem (22.11). Tak więc, czy mamy generator, w którym pole magnetyczne zmienia się wokół nieruchomej cewki, czy też generator, w którym cewka porusza się w stałym polu magnetycznym, ich „efektywne” właściwości są takie same. Pomiędzy zaciskami powstaje napięcie $V$, które nie zależy od prądu w obwodzie, a zależy jedynie od dowolnie określonych warunków wewnątrz generatora. Ponieważ staramy się zrozumieć działanie generatorów z punktu widzenia równań Maxwella, możemy się również zainteresować zwykłym ogniwem chemicznym, takim np. jak bateryjka latarki. Jest to również generator, tzn. źródło napięcia, chociaż występuje jedynie w obwodach prądu stałego. Najprostszy schemat ogniwa pokazano na rys. 22.8.

Rys. 22.8. Ogniwo chemiczne

Widzimy tu dwie metalowe płytki zanurzone w roztworze jakiejś substancji chemicznej. Przypuśćmy, że roztwór ten zawiera jony dodatnie i ujemne oraz że jedne z nich, powiedzmy jony ujemne, są o wiele cięższe od jonów naładowanych przeciwnie, tak że prędkość ich ruchu w roztworze, zachodzącego wskutek dyfuzji, jest dużo mniejsza od prędkości jonów dodatnich. Przypuśćmy dalej, że udało się nam w jakiś sposób uzyskać różne stężenie roztworu w poszczególnych partiach cieczy, tak że liczba jonów obu znaków jest dużo większa w pobliżu np. dolnej płytki niż w okolicach płytki górnej. Z powodu swej znacznej ruchliwości jony dodatnie będą przechodzić szybciej do obszarów o niższym stężeniu, tak że na górnej płytce wytworzy się nadwyżka ładunku dodatniego. Płytka górna będzie więc naładowana dodatnio, a dolna uzyska pewien wypadkowy ładunek ujemny.

W wyniku dyfuzji coraz to nowych jonów w kierunku górnej płytki potencjał jej będzie wzrastać do momentu, w którym siła działająca na jony ze strony wytworzonego pomiędzy płytkami pola elektrycznego dokładnie skompensuje różnicę ich ruchliwości. Tak więc po krótkim czasie pomiędzy płytkami ogniwa wytworzy się różnica potencjałów charakterystyczna dla parametrów wewnętrznych danego ogniwa.

Przeprowadzając rozumowanie identyczne, jakie przeprowadziliśmy w przypadku kondensatora, przekonamy się, że różnica potencjałów pomiędzy zaciskami $a $ i $b $ jest równa całce krzywoliniowej z pola elektrycznego istniejącego pomiędzy płytkami w sytuacji, gdy nie ma już wypadkowej dyfuzji jonów. Oczywiście, pomiędzy takim ogniwem chemicznym a kondensatorem istnieje zasadnicza różnica. Jeśli zewrzemy na chwilę zaciski kondensatora, ulegnie on rozładowaniu, po czym nie wystąpi już różnica napięć pomiędzy zaciskami. W wypadku ogniwa chemicznego możemy pobierać z jego zacisków prąd w sposób ciągły, co nie powoduje zmiany siły elektromotorycznej, dopóki oczywiście składniki chemiczne ogniwa nie zostaną zużyte. Okazuje się, że w rzeczywistym ogniwie napięcie pomiędzy końcówkami maleje ze wzrostem pobieranego prądu. Pozostając jednak w kręgu naszych abstrakcyjnych rozważań, możemy sobie wyobrazić ogniwo doskonałe, w którym napięcie pomiędzy zaciskami jest niezależne od prądu. Rzeczywiste ogniwo można wówczas rozpatrywać jak ogniwo doskonałe połączone szeregowo z pewną opornością.

22.3. Sieć elementów doskonałych; prawa Kirchhoffa

Z poprzedniego podrozdziału przekonaliśmy się, że opis doskonałego elementu obwodu oparty na analizie zjawisk zachodzących na zewnątrz elementu jest całkiem prosty. Pomiędzy prądem a napięciem istnieje zależność liniowa. Ale to, co dzieje się wewnątrz elementu, jest wielce skomplikowane, a dokładny opis tych zjawisk w świetle równań Maxwella napotyka poważne trudności. Wyobraźmy sobie próbę dokładnego opisu pól elektrycznych i magnetycznych wewnątrz radioodbiornika, który zawiera setki oporników, kondensatorów i cewek indukcyjnych. Analiza takiego układu przy użyciu równań Maxwella jest zadaniem niemal niemożliwym. Ale poczyniwszy wiele upraszczających założeń opisanych w podrozdz. 22.2 i wyrażając podstawowe cechy rzeczywistych elementów obwodu w języku idealizacji, będziemy mogli dokonać analizy obwodu elektrycznego w stosunkowo prosty sposób. Pokażemy teraz, jak to można zrobić.

Rys. 22.9. Suma spadków napięć wzdłuż każdego zamkniętego obwodu jest równa zeru

Przypuśćmy, że mamy obwód zawierający generator i kilka połączonych oporności pozornych, jak na rys. 22.9. Zgodnie z naszymi upraszczającymi założeniami w otoczeniu poszczególnych elementów obwodu nie ma pola magnetycznego. Stąd całka krzywoliniowa z pola E wzdłuż krzywej, która nie przechodzi przez żaden z elementów, równa jest zeru. Rozważmy więc krzywą $\varGamma$, oznaczoną na rys. 22.9 linią przerywaną, łączącą poszczególne punkty obwodu. Całka krzywoliniowa z pola E, wzięta wzdłuż tej krzywej, składa się z kilku całek; każda z nich jest całką krzywoliniową wzdłuż krzywej łączącej zaciski danego elementu obwodu. Taką całkę krzywoliniową określiliśmy jako spadek napięcia na elemencie obwodu. A więc pełna całka krzywoliniowa jest równa po prostu sumie spadków napięć na wszystkich elementach obwodu:

Ponieważ całka krzywoliniowa jest równa zeru, wynika stąd, że suma różnic potencjałów jest równa zeru wzdłuż każdej pełnej pętli sieci:

$\displaystyle \underset{\substack{\text{wzdłuż każdej}\\ \text{pętli}}}{\sum} V_n=0.$
(22.14)

Rezultat ten wynika z jednego z równań Maxwella, które mówi, że w obszarze, gdzie nie ma pól magnetycznych, całka krzywoliniowa z pola E wzdłuż każdej zamkniętej pętli jest równa zeru.

Przypuśćmy, że rozważamy teraz obwód taki jak na rys. 22.10. Linia pozioma łącząca zaciski $a, b,c $ i $d $ wskazuje, że wszystkie te zaciski są złączone razem lub też połączone drutami o oporze możliwym do pominięcia. W każdym razie oznacza to, że zaciski $a, b,c $ i $d $ mają wszystkie ten sam potencjał, podobnie jak i zaciski $e,f,{g}, h $ mają jeden wspólny potencjał. Wówczas spadek napięcia, $V$, na każdym z czterech elementów jest taki sam.

Rys. 22.10. Suma prądów w każdym węźle jest równa zeru

Jedno z naszych upraszczających założeń mówiło, że ładunki elektryczne zbierające się na wyjściu oporności pozornych można pominąć. Z kolei zakładamy, że ładunki elektryczne na przewodach łączących oporności pozorne można również pominąć. Wówczas z zasady zachowania ładunku wynika, że każdy ładunek opuszczający jeden element obwodu musi natychmiast dopływać do innego elementu obwodu lub, co na to samo wychodzi, żądamy, aby algebraiczna suma prądów dopływających do danego rozgałęzienia była równa zeru. Przez rozgałęzienie rozumiemy dowolny układ zacisków, takich jak $a, b,c $ i $d $, które są połączone. Taki układ połączonych zacisków zwykle nazywamy „węzłem”. Z zasady zachowania ładunku wynika wówczas; że dla obwodu takiego jak na rys. 22.10

$\displaystyle I_1-I_2-I_3-I_4=0.$
(22.15)

Suma prądów dopływających do węzła złożonego z czterech zacisków $e, f, g$ i $h $ musi być także równa zeru:

$\displaystyle -I_1+I_2+I_3+I_4=0.$
(22.16)

Jest to oczywiście takie samo równanie, jak równanie (22.15). Te dwa równania są zależne. Ogólne prawo mówi, że suma prądów w każdym węźle musi być równa zeru:

$\displaystyle \underset{\text{w węźle}}{\sum} I_n=0.$
(22.17)

Nasz poprzedni wniosek mówiący, że suma spadków napięć jest równa zeru wokół każdej zamkniętej pętli, musi mieć zastosowanie do każdej pętli, jaką możemy wyodrębnić z danej sieci. Również nasz wniosek, że suma prądów w węźle jest równa zeru, musi być prawdziwy dla każdego węzła. Te dwa równania są znane jako prawa Kirchhoffa. Przy użyciu tych dwóch praw można znaleźć prądy i napięcia w dowolnej sieci.

Rys. 22.11. Opis obwodu przy użyciu praw Kirchhoffa

Przypuśćmy, że rozważamy bardziej złożony obwód (rys. 22.11). Jak znaleźć prądy i napięcia w tym obwodzie? Możemy to zrobić w taki oto bezpośredni sposób. Rozważamy oddzielnie każdą z czterech pomocniczych zamkniętych pętli znajdujących się w obwodzie. (Jedna taka pętla zaczyna się na przykład przy zacisku $a $, przechodzi poprzez zaciski $b $ i $e $ do zacisku $d $ i stamtąd powraca do zacisku $a $.) Dla każdej z tych pętli wypisujemy równanie pierwszego prawa Kirchhoffa, które mówi, że suma napięć wokół każdej pętli jest równa zeru. Musimy pamiętać, że spadek napięcia liczymy jako dodatni, gdy posuwamy się zgodnie z kierunkiem prądu, a jako ujemny, jeżeli posuwamy się wzdłuż elementu w kierunku przeciwnym niż prąd; musimy też pamiętać, że spadek napięcia na generatorze, jeżeli posuwamy się zgodnie z kierunkiem jego siły elektromotorycznej, jest równy tej SEM ze znakiem ujemnym. Tak więc rozważając małą pętlę zaczynającą się i kończącą przy zacisku $a $, otrzymujemy

Stosując to samo prawo do pozostałych pętli, otrzymamy jeszcze trzy dalsze równania tego samego typu.

Następnie musimy napisać równanie prądu dla każdego węzła obwodu. Sumując na przykład prądy w węźle przy zacisku $b $, otrzymamy równanie:

Podobnie dla węzła $e $ otrzymamy równanie prądu:

Dla rozpatrywanego obwodu otrzymamy pięć takich równań prądu. Okazuje się jednak, że dowolne z tych równań można wyprowadzić z pozostałych czterech, tak że są tylko cztery niezależne równania prądu. Mamy zatem układ ośmiu niezależnych równań liniowych: cztery równania na napięcie i cztery równania na prąd. Rozwiązując te osiem równań, otrzymamy osiem szukanych prądów. Jeżeli już znamy prądy, to nasz obwód jest całkowicie określony. Spadek napięcia na każdym elemencie określa iloczyn prądu płynącego przez dany element i jego oporności pozornej (w wypadku gdy element jest źródłem napięcia, spadek napięcia na nim jest już znany).

Widzieliśmy, że wypisując równania prądu, otrzymaliśmy jedno równanie, które jest zależne od pozostałych. Ogólnie biorąc, może się zdążyć, że wypiszemy również zbyt wiele równań napięcia. Tak na przykład w obwodzie z rys. 22.11 oprócz rozważanych przez nas czterech małych pętli istnieje spora liczba innych pętli, dla których moglibyśmy napisać równanie dla napięć. Tak jest dla pętli abcfeda lub dla innej pętli – abcfehgda. Widać, że jest wiele takich pętli. Analizując obwód złożony, bardzo łatwo można otrzymać zbyt dużo równań. Istnieją reguły, które określają procedurę prowadzącą do otrzymania najmniejszej liczby równań, ale zwykle przy odrobinie zastanowienia się możemy dostrzec, jak otrzymać właściwą liczbę równań o najprostszej postaci. Poza tym wypisanie jednego lub dwóch dodatkowych równań nie przynosi żadnej szkody. Nie doprowadzą one do niewłaściwych wyników, a najwyżej narażą nas na trochę niepotrzebnych rachunków.

W rozdziale 25 w tomie 1, część 1, pokazaliśmy, że jeśli połączymy szeregowo oporności pozorne (impedancje) $Z_{1}$ i $Z_{2}$, oporność zastępcza całego obwodu $Z_{s}$ jest równa

$\displaystyle Z_s=Z_1+Z_2.$
(22.18)

Pokazaliśmy też, że jeśli połączymy dwie impedancje równoległe, równoważną im impedancję $Z_{R}$ opisuje wzór

$\displaystyle Z_R=\frac{1}{(1/Z_1)+(1/Z_2)}=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}.$
(22.19)

Rys. 22.12. Obwód, który można opisać za pomocą metody połączeń szeregowych i równoległych

Rys. 22.13. Obwód, którego nie można opisać za pomocą metody połączeń szeregowych i równoległych

Jeśli by się zastanowić, zauważymy, że wyprowadzając te wzory, użyliśmy praw Kirchoffa. Bardziej skomplikowany obwód można często analizować, stosując kolejno powyższe wzory dla połączeń równoległych i szeregowych kilku oporności pozornych. W ten sposób można na przykład analizować obwód z rys. 22.12. Najpierw można zastąpić równolegle połączone oporności pozorne (impedancji) $Z _{4} $ i $Z _{5} $ ich pozorną opornością zastępczą, podobnie jak i oporności pozorne $Z _{6} $ i $Z _{7} $. Następnie możemy dodać do siebie oporność pozorną $Z_{2}$ i pozorną oporność wypadkową równolegle połączonych oporności pozornych $Z _{6} $ i $Z _{7} $, korzystając z reguły dodawania oporności połączonych szeregowo. Postępując w ten sposób, można zredukować cały obwód do generatora połączonego szeregowo z jedną opornością pozorną Z. Prąd płynący przez generator jest wówczas równy po prostu $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi /Z$. Następnie, powtarzając wstecz całą operację, można znaleźć prądy w każdej z oporności pozornych.

Istnieją jednakże całkiem proste obwody, do których ta metoda opisu nie ma zastosowania, jak na przykład obwód z rys. 22.13. Aby przeanalizować taki obwód, musimy wypisać równania prądu i napięcia wynikające z praw Kirchhoffa. Zróbmy to. Mamy tylko jedno równanie prądu:

z którego natychmiast wynika, że

Aby uprościć nasze rachunki, skorzystajmy od razu z powyższego wyniku, wypisując równania napięć. Dla tego obwodu są dwa niezależne równania napięć; mianowicie

oraz

Mamy więc dwa równania i dwa szukane prądy. Obliczając z tych równań $I_{1} $ i $I_{2} $, otrzymujemy

$\displaystyle I_1=\frac{Z_2\mathcal{E}_2-(Z_2+Z_3)\mathcal{E}_1}{Z_1(Z_2+Z_3)+Z_2Z_3}$ | (22.20)
oraz
$\displaystyle \noalign{\hspace{-\parindent}\text{oraz}} I_2=\frac{Z_1\mathcal{E}_2+Z_3\mathcal{E}_1}{Z_1(Z_2+Z_3)+Z_2Z_3}.$ | (22.21)

Suma tych dwóch prądów określa nam prąd $I_{3} $.

Rys. 22.14. Mostek

Inny przykład obwodu, którego nie można zanalizować za pomocą reguł na szeregowe i równolegle łączenie oporności pozornych, pokazano na rys. 22.14. Taki obwód nazywamy „mostkiem”; występuje on często w przyrządach służących do pomiaru oporności pozornych. W wypadku takiego układu interesuje nas zwykle odpowiedź na następujące pytanie: Jakie zależności muszą panować pomiędzy poszczególnymi opornościami pozornymi, aby przez oporność pozorną $Z _{3} $ nie płynął prąd? Znalezienie odpowiedzi na to pytanie pozostawiamy czytelnikowi.

22.4. Obwody zastępcze

Przypuśćmy, że do obwodu zawierającego skomplikowane połączenia oporności pozornych podłączymy generator o sile elektromotorycznej $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi $, jak pokazano schematycznie na rys. 22.15a. Wszystkie równania, które otrzymujemy z praw Kirchhoffa, są liniowe, tak że gdy obliczymy z nich prąd $I$ przepływający przez generator, przekonamy się, iż prąd ten jest proporcjonalny do siły elektromotorycznej E $\mathcal{E}$ . Możemy to zapisać w postaci zależności

Rys. 22.15. Każdy dwuzaciskowy obwód złożony z elementów biernych jest równoważny zastępczej oporności pozornej

gdzie $Z_{{\rm ef}}$ jest teraz pewną liczbą zespoloną, funkcją algebraiczną wszystkich elementów obwodu. (Jeżeli poza wspomnianym generatorem obwód nie zawiera innych generatorów, to w powyższym wzorze nie ma dodatkowego członu, niezależnego od siły elektromotorycznej.) Ale równanie to jest identyczne z równaniem, jakie napisalibyśmy dla obwodu z rys. 22.15b. Dopóki interesujemy się tylko tym, co dzieje się po lewej stronie dwóch zacisków $a $ i $b $, oba obwody z rys. 22.15 są równoważne. Możemy więc wypowiedzieć ogólne twierdzenie, że dowolną sieć o dwóch zaciskach, składającą się z elementów biernych, można zastąpić pojedynczą opornością pozorną $Z _{\rm ef} $, co nie zmieni prądów i napięć w pozostałej części obwodu. Twierdzenie to jest oczywiście dalszym wnioskiem wypływającym z praw Kirchhoffa, a przede wszystkim z liniowości równań Maxwella.

Rys. 22.16. Każdy dwuzaciskowy obwód można zastąpić generatorem połączonym szeregowo z opornością pozorną

Powyższą metodę można uogólnić dla obwodu, który prócz oporności pozornych zawiera również generatory. Przypuśćmy, że rozpatrujemy taki obwód „z punktu widzenia” jednej z oporności pozornych, którą oznaczamy $Z_{n}$, jak na rys. 22.16. Jeżeli rozwiązalibyśmy równanie dla całego obwodu, okazałoby się, że napięcie $V_{n} $ pomiędzy zaciskami $a $ i $b $ jest liniową funkcją $I$, co możemy zapisać jako

$\displaystyle V_n=A-BI_n,$
(22.22)

gdzie wielkości $A $ i $B $ zależą od generatorów i od oporności pozornych w części obwodu na lewo od zacisków. Tak na przykład dla obwodu z rys. 22.13 znajdujemy $V_{1}= I_{1}Z_{1} $. Można to zapisać [korzystając z równania (22.20)] w postaci zależności

$\displaystyle V_1=\biggl[ \biggl(\frac{Z_2}{Z_2+Z_3}\biggr)\mathcal{E}_2-\mathcal{E}_1 \biggr]-\frac{Z_2Z_3}{Z_2+Z_3}I_1.$
(22.23)

Pełne rozwiązanie otrzymamy, zestawiając teraz to równanie z równaniem dla oporności pozornej $Z_{1}$, a mianowicie z $V_{1}= I_{1}Z_{1} $ lub w wypadku ogólnym – zestawiając równanie (22.22) z równaniem

Jeżeli teraz rozważymy przypadek, w którym oporność pozorna $Z_{n}$ jest przyłączona do prostego obwodu składającego się z połączonych szeregowo generatora i oporności, jak na rys. 22.15b, to równaniem będącym odpowiednikiem równania (22.22) jest równanie

które jest identyczne z równaniem (22.22), jeżeli podstawimy $\mathcal{E}_{\text{ef}} = A $ i $Z _{\rm ef}= B$. Tak więc, jeżeli interesuje nas tylko to, co dzieje się na prawo od zacisków $a $ i $b $, dowolny obwód z rys. 22.16 można zawsze zastąpić równoważnym mu szeregowym połączeniem generatora z opornością pozorną.

22.5. Energia

Widzieliśmy, że aby przez oporność indukcyjną przepływał prąd $I$, musi zostać dostarczona z obwodu zewnętrznego energia $U = \frac12LI ^{2} $. Kiedy prąd maleje z powrotem do zera, energia ta zostaje zwrócona obwodowi zewnętrznemu. W wypadku doskonałej oporności indukcyjnej nie zachodzi więc zjawisko straty energii. Gdy przez oporność indukcyjną przepływa prąd zmienny, energia jest ciągle wymieniana pomiędzy tą opornością a resztą obwodu, ale średnia szybkość, z jaką energia jest dostarczana obwodowi, równa jest zeru. Mówimy, że oporność indukcyjna jest elementem nierozpraszającym; energia elektryczna nie jest rozpraszana, czyli – innymi słowy – nie jest „tracona” w takim elemencie obwodu.

Podobnie, energia kondensatora $U =\frac12CV^{2} $ zostaje w czasie jego rozładowywania zwrócona do obwodu zewnętrznego. Kiedy kondensator znajduje się w obwodzie prądu zmiennego, energia do niego dopływa i od niego odpływa, ale wypadkowy strumień energii w każdym okresie jest równy zeru. Doskonały kondensator jest więc także elementem nierozpraszającym.

Wiemy, że siła elektromotoryczna jest źródłem energii. Gdy prąd $I$ płynie zgodnie z kierunkiem siły elektromotorycznej, energia jest dostarczana do obwodu zewnętrznego z szybkością ${\rm d}U/{\rm d}t = \ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi I$. Jeżeli zaś prąd – pochodzący od innego generatora w obwodzie – będzie przepływać w kierunku przeciwnym do kierunku siły elektromotorycznej, SEM będzie pochłaniać energię też z szybkością $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi I $; teraz jednak ponieważ $I$ jest ujemne, ${\rm d}U/{\rm d}t$ będzie również ujemne.

Jeżeli generator połączony jest z opornikiem $R $, prąd przepływający przez opornik jest równy $I= \ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi /R$. Energia dostarczana przez generator z szybkością $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi I $ jest zatem przez opornik pochłaniania. Ta część energii elektrycznej obwodu zmienia się w oporniku w energię cieplną i jest z obwodu tracona. Mówimy wtedy, że energia elektryczna jest w oporniku rozpraszana. Przy tym jest ona tam rozpraszana z szybkością równą ${\rm d}U/{\rm d}t = RI^{2}. $

Średnia strata energii w obwodzie prądu zmiennego na oporniku jest równa średniej z $RI^{2} $ dla jednego okresu. Ponieważ $I = \hat I{\rm e}^{i_{\omega}t} $ – co w rzeczywistości oznacza, że $I$ zmienia się jak $\cos \omega t $ – średnia z $I^{2} $ dla jednego okresu jest równa $\vert\hat I\vert ^{2}/2 $, ponieważ maksymalny prąd jest równy $\vert\hat I\vert$, a średnia z  $\cos^{2}\omega t $ wynosi $\frac12$.

Co możemy powiedzieć o stratach energii w wypadku, gdy generator jest połączony z dowolną opornością pozorną $Z$? (Przez „stratę” rozumiemy oczywiście przemianę energii elektrycznej w energię cieplną.) Dowolną oporność pozorną Z można zapisać w postaci sumy jej części rzeczywistej i części urojonej, tzn.

$\displaystyle Z=R+iX,$
(22.24)

gdzie $R $ i $X $ są liczbami rzeczywistymi. Z punktu widzenia obwodów zastępczych można powiedzieć, że każda oporność pozorna jest równoważna szeregowemu połączeniu oporu i czysto urojonej oporności pozornej – zwanej reaktancją– jak to pokazano na rys. 22.17.

Rys. 22.17. Każda oporność pozorna jest równoważna połączeniu szeregowemu czystego oporu i czystej oporności urojonej

Przekonaliśmy się poprzednio, że oporność pozorna obwodu zawierającego tylko elementy $L $ i $C$ jest liczbą czysto urojoną. Ponieważ średnia strata energii w każdym z elementów $L $ i $C$ jest równa zeru, dla czystej oporności urojonej składającej się z elementów $L $ i $C$ nie mamy straty energii. Powyższy wniosek, jak łatwo stwierdzić, musi być ogólnie słuszny, tzn. dla dowolnej reaktancji.

Jeżeli generator o sile elektromotorycznej E $\mathcal{E}$ jest połączony z opornością pozorną $Z$ z rys. 22.17, siła elektromotoryczna musi być związana z prądem płynącym z generatora równaniem:

$\displaystyle \mathcal{E}=I(R+iX).$
(22.25)

Aby znaleźć średnią szybkość, z jaką energia jest dostarczana, potrzebna nam jest średnia z iloczynu $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi I $. Musimy teraz być ostrożni. W wypadku takich iloczynów istotnymi dla nas wielkościami są wielkości rzeczywiste $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi (t)$ i $I(t).$ (Części rzeczywiste funkcji zespolonych mogą służyć do opisu wielkości fizycznych tylko w wypadku, gdy odpowiednie równania będą równaniami liniowymi; tymczasem teraz rozważamy iloczyny, które z pewnością nie są liniowe).

Przypuśćmy, że tak wybraliśmy początek liczenia czasu $t $, że amplituda $I$ jest liczbą rzeczywistą, równą powiedzmy $I_{0} $; wówczas faktyczna zmiana prądu $I$ w czasie będzie równa

a siła elektromotoryczna z równania (22.25) będzie częścią rzeczywistą wielkości $I_0{\rm e}^{i\omega t}(R+iX)$, czyli

$\displaystyle \mathcal{E}=I_0R\cos\omega t-I_0X\sin\omega t.$
(22.26)

Te dwa człony w równaniu (22.26) odpowiadają spadkom napięcia na elementach $R $ i $X $ (rys. 22.17). Widzimy, że spadek napięcia na oporze jest zgodny w fazie z prądem, podczas gdy spadek napięcia na czysto urojonej części oporności pozornej jest w stosunku do prądem przesunięty w fazie.

Średnia strata energii z generatora, $\< P>_{\text{śr}} $, jest całką z iloczynu $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi I $ po jednym okresie zmian, podzieloną przez okres $T $; innymi słowy

Pierwsza całka po prawej stronie równania jest równa $\frac12I_{0}^{2}R$, a druga całka – zeru. Tak więc średnia strata energii na impedancji $Z = R+iX $ zależy tylko od rzeczywistej części Z i równa jest $I_{0}^{2}R/ 2 $, co jest zgodne z naszym poprzednim wynikiem dotyczącym strat energii na oporniku. Na urojonej części nie ma zaś żadnych strat energii.

22.6. Obwód łańcuchowy[4]

Chcielibyśmy teraz rozważyć interesujący obwód, który można opisać posługując się metodami połączeń szeregowych i równoległych. Przypuśćmy, że zaczniemy od obwodu z rys. 22.18a. Widać natychmiast, że oporność pozorna pomiędzy zaciskami $a $ i $b $ jest po prostu równa $Z_{1}+Z_{2}$. Weźmy teraz nieco bardziej skomplikowany obwód, taki jak na rys. 22.18b. Moglibyśmy przeprowadzić jego analizę za pomocą praw Kirchhoffa, ale możemy to uczynić równie łatwo, posługując się metodą połączeń szeregowych i równoległych. Dwie oporności pozorne w części prawej obwodu możemy zastąpić jedną opornością pozorną $Z _{3}= $ $Z _{1}+ $$Z _{2j} $, tak jak to pokazano na części c) rysunku. Następnie połączone równolegle oporności pozorne $Z_{2}$ i $Z _{3} $ można zastąpić równoważną im opornością pozorną $Z _{4} $ – jak pokazano na części d) rysunku. W końcu oporności pozorne $Z_{1}$ i $Z _{4} $ są równoważne jednej oporności pozornej $Z _{5} $ – część e) rysunku.

Rys. 22.18. Zastępcza oporność pozorna obwodu łańcuchowego

Rys. 22.19. Zastępcza oporność pozorna nieskończonego obwodu łańcuchowego

Moglibyśmy teraz zadać sobie zabawne pytanie: Co się stanie, jeśli do obwodu z rys. 22.18b będziemy dodawać bez końca podobne mu ogniwa, co zaznaczono na rys. 22.19a linią przerywaną? Czy możemy rozwiązać taki nieskończony układ? No cóż, nie jest to takie trudne. Przede wszystkim zauważmy, że taki nieskończony układ się nie zmieni, jeśli na jego „przodzie” dodamy jeszcze jedno ogniwo. No tak, jeżeli do nieskończonego obwodu dodamy jeszcze jedno ogniwo, to otrzymamy taki sam nieskończony obwód. Oznaczamy oporność pozorną pomiędzy zaciskami $a $ i $b $ nieskończonego obwodu przez $Z _{0} $; wówczas oporność pozorna całej reszty, na prawo od zacisków $c $ i $d $, jest także równa $Z _{0} $. Stąd zaś wynika, że dopóki interesuje nas tylko to, co się dzieje na samym przodzie, możemy wyobrazić sobie obwód taki, jak na rys. 22.19b. Łączac równolegle oporności pozorne $Z_{2}$ i $Z _{0} $ i dodając ich oporność zastępczą do $Z_{1}$ – zgodnie z regułą dodawania połączeń szeregowych – możemy bezpośrednio określić oporność pozorną całego takiego obwodu:

$\displaystyle Z=Z_1+\frac{1}{(1/Z_2)+(1/Z_0)},$   czyli$\displaystyle \qquad Z=Z_1+\frac{Z_2Z_0}{Z_2+Z_0}.$

Ale oporność ta jest także równa $Z _{0} $, mamy więc równanie

Obliczając z niego Z₀, otrzymujemy

$\displaystyle \noalign{\hspace{-\parindent}\text{Obliczając z~niego \(Z _{0} \), otrzymujemy}} Z_0=\frac{Z_1}{2}+\sqrt{(Z_1^2/4)+Z_1Z_2}.$
(22.27)

Znaleźliśmy więc oporność pozorną nieskończonego łańcucha złożonego z powtarzających się szeregowych i równoległych połączeń oporności pozornych. Oporność pozorną $Z _{0} $ nazywamy charakterystyczną opornością pozorną (impedancją charakterystyczną) takiego nieskończonego obwodu.

Rozważmy teraz specjalny przypadek, w którym elementami połączonymi szeregowo są indukcyjności $L $, a elementami bocznikującymi – pojemności $C$, jak pokazano to na rys. 22.20a. Oporność pozorną takiego nieskończonego obwodu znajdziemy, podstawiając $Z_{1} = i\omega L $ i  $Z_{2} = 1/i\omega C$. Zauważmy, że pierwszy człon w równaniu (22.27), $Z_{1}/ 2 $, jest równy połowie oporności pozornej pierwszego elementu. Będzie więc rzeczą bardziej naturalną, a przynajmniej trochę prostszą, jeżeli narysujemy nasz nieskończony obwód tak, jak na rys. 22.20b. Rozważając ten nieskończony obwód w punkcie $a '$, przekonamy się, że charakterystyczna oporność pozorna

$\displaystyle Z_0=\sqrt{(L/C)-(\omega^2L^2/4)}.$
(22.28)

Rys. 22.20. Łańcuch $LC$ narysowany dwoma równoważnymi sposobami

Istnieją teraz dwa interesujące przypadki w zależności od częstości $\omega $. Jeżeli $\omega^{2} $ jest mniejsze od $4 /LC$, to drugi człon pod pierwiastkiem będzie mniejszy od pierwszego i oporność pozorna $Z _{0} $ będzie liczbą rzeczywistą. Przeciwnie, jeżeli $\omega^{2} $ jest większe od $4 /LC$, oporność $Z _{0} $ będzie liczbą czysto urojona, co możemy zapisać w postaci

Powiedzieliśmy poprzednio, że obwód zawierający tylko urojone oporności pozorne, takie jak indukcyjność i pojemność, będzie miał czysto urojoną zastępczą oporność pozorną. W jaki więc sposób dla obwodu, który obecnie rozważamy, a który zawiera tylko elementy $L $ i $C$, oporność pozorna może być czystym oporem dla częstości mniejszych od $\sqrt{4/LC}$. Dla większych zaś częstości oporność pozorna jest czysto urojona, zgodnie z naszym poprzednim twierdzeniem. Dla częstości mniejszych oporność jest więc czystym oporem i będzie wobec tego pochłaniać energię. Ale w jaki sposób obwód składający się tylko z indukcyjności i pojemności może w sposób ciągły pobierać energię, tak jak to się dzieje w wypadku oporu? Odpowiedź: Ponieważ mamy nieskończoną liczbę pozornych oporności indukcyjnych i pojemnościowych, podłączone do obwodu źródło energii będzie najpierw dostarczało energii do pierwszej indukcyjności i pojemności, potem kolejno do drugiej, do trzeciej i do następnej. W obwodzie tego typu energia będzie z generatora pobierana w sposób ciągły i ze stałą szybkością i będzie ciągle przepływać do obwodu, gdzie zostaje zmagazynowana w kolejnych opornościach indukcyjnych i pojemnościowych.

Powyższe rozważania nasuwają ciekawą myśl o sytuacji w obwodzie. Moglibyśmy się spodziewać, że jeśli podłączymy źródło do przedniej części obwodu, to efekty źródła będą się przemieszczać w głąb obwodu, aż do jego krańca w nieskończoności. Przenoszenie fal wzdłuż obwodu jest zjawiskiem bardzo podobnym do promieniowania anteny, która pobiera energię ze źródła zasilania; możemy tu jednak oczekiwać wystąpienia takiej propagacji tylko w wypadku, gdy oporność pozorna będzie rzeczywista, co zachodzi dla częstości $\omega $ mniejszych od $\sqrt{4/LC}$. Natomiast, gdy oporność pozorna jest czysto urojona, co zachodzi dla częstości $\omega $ większych od $\sqrt{4/LC}$, wystąpienia propagacji tego typu oczekiwać nie możemy.

22.7. Filtry

Z poprzedniego podrozdziału dowiedzieliśmy się, że nieskończony obwód łańcuchowy (rys. 22.20) pochłania energię w sposób ciągły, jeżeli jest „sterowany” częstością mniejszą od pewnej krytycznej częstości $\sqrt{4/LC}$, którą nazwiemy częstością graniczną $\omega_{0} $. Postawiliśmy hipotezę, że efekt ten można wytłumaczyć ciągłym transportem energii w głąb obwodu. Lecz dla wielkich częstości pochłanianie energii w sposób ciągły nie zachodzi. Powinniśmy się więc wtedy spodziewać, że prądy nie „przenikną” daleko w głąb obwodu. Zobaczmy, czy nasze hipotezy są słuszne.

Przypuśćmy, że początek obwodu łańcuchowego połączyliśmy z jakimś generatorem prądu zmiennego i pytamy, jakie jest napięcie, powiedzmy, w 754-tym ogniwie łańcucha. Ponieważ obwód jest nieskończony, zmiana napięcia pomiędzy jednym jego ogniwem a następnym jest taka sama. Rozpatrzmy więc, co się dzieje, gdy przechodzimy od pewnego ogniwa, np. $n$-tego, do następnego. Zdefiniujemy prądy $I_{n} $ i napięcia $V_{n} $, tak jak to pokazano na rys. 22.21a.

Rys. 22.21. Szukanie stałej przenoszenia dla obwodu łańcuchowego

Zależność napięcia $V_{n+1} $ od napięcia $V_{n} $ znajdziemy, pamiętając, że zawsze możemy zastąpić resztę łańcucha po $n$-tym ogniwie jego charakterystyczną opornością pozorną $Z _{0} $; wówczas pozostaje nam tylko do przeanalizowania taki obwód, jak na rys. 22.21b. Zauważmy po pierwsze, że dowolne napięcie $V_{n} $, jako spadek napięcia na impedancji $Z _{0} $, musi być równe $I_{n}Z_{0}$. Po drugie, różnica pomiędzy napięciami $V_{n} $ i $V_{n+1} $ jest po prostu równa $I_{n}Z_{1}$:

Otrzymujemy więc stosunek

Stosunek ten nazywamy współczynnikiem przenoszenia dla jednego ogniwa obwodu łańcuchowego; oznaczymy go symbolem $\alpha$. Jest on oczywiście dla wszystkich ogniw taki sam:

$\displaystyle \alpha=\frac{Z_0-Z_1}{Z_0}.$
(22.29)

Napięcie na końcach $n$-tego ogniwa wynosi więc

$\displaystyle V_n=\alpha^n\mathcal{E}.$
(22.30)

Możemy więc teraz znaleźć napięcie na końcach 754-go ogniwa; jest ono po prostu równe 754-tej potędze $\alpha$ pomnożonej przez E$\mathcal{E}$.

Przypuśćmy, że szukamy $\alpha$ dla obwodu łańcuchowego $LC$ z rys. 22.20a. Podstawiając $Z _{0} $ z równania (22.27) i $Z_{1} = i\omega L $, otrzymujemy

$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{(L/C)-(\omega^2L^2/4)}-i(\omega L/2)} {\sqrt{(L/C)-(\omega^2L^2/4)}+i(\omega L/2)}.$
(22.31)

Jeżeli częstość sterująca jest mniejsza od częstości granicznej $\omega _{0}= \sqrt{ 4/ LC}$, pierwiastek w tym wzorze jest liczbą rzeczywistą, a wartości bezwzględne liczb zespolonych w liczniku i mianowniku są sobie równe. Tak więc wartość bezwzględna $\alpha$ jest równa jedności; możemy to zapisać w postaci

co oznacza, że wartość bezwzględna napięcia jest taka sama w każdym ogniwie; zmienia się jedynie jego faza. Zmiana fazy $\delta $ jest w rzeczywistości liczbą ujemną i przedstawia „opóźnienie” napięcia w trakcie jego przenoszenia się wzdłuż obwodu.

Dla częstości większych od częstości granicznej $\omega_{0} $ wygodniej jest podzielić licznik i mianownik wyrażenia po prawej stronie równania (22.31) przez $i$, a następnie równanie to przepisać w postaci

$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{(\omega^2L^2/4)-(L/C)}-(\omega L/2)} {\sqrt{(\omega^2L^2/4)-(L/C)}+(\omega L/2)}.$
(22.32)

Współczynnik przenoszenia $a $ jest w tym wypadku liczbą rzeczywistą mniejszą od jedności. Oznacza to, że napięcie w każdym ogniwie jest zawsze mniejsze od napięcia w ogniwie poprzednim, przy czym stosunek tych napięć wynosi a. Dla wszystkich częstości większych od $\omega_{0} $ napięcie gwałtownie maleje, w miarę jak posuwamy się w głąb obwodu. Wykres bezwzględnej wartości $\alpha$ w funkcji częstości wygląda jak na rys. 22.22.

Rys. 22.22. Stała przenoszenia dla jednego ogniwa łańcucha $LC$

Widzimy, że zachowanie się $\alpha$, tak dla częstości powyżej, jak i poniżej $\omega_{0} $, pozostaje w zgodzie z naszą poprzednią interpretacją, z której wynikało, że obwód przenosi energię dla $\omega < \omega_{0} $, a zatrzymuje ją dla $\omega > \omega_{0}$. Mówimy, że obwód „przepuszcza” małe, a „odrzuca” lub „filtruje” wielkie częstości. Każdy obwód skonstruowany tak, aby jego właściwości zmieniały się w znany sposób z częstością, nazywamy „filtrem”. Opisaliśmy tu „filtr dolnoprzepustowy”.

Można by się dziwić, po co te całe rozważania o nieskończonym obwodzie, który w rzeczywistości nigdy przecież nie występuje. Rzecz w tym, że te same właściwości co obwód nieskończony ma obwód skończony, jeżeli zakończymy go opornością pozorną równą charakterystycznej oporności pozornej $Z _{0} $. W praktyce nie da się jednak dokładnie odtworzyć charakterystycznej oporności pozornej za pomocą kilku prostych elementów, jak elementy $R, L$ i $C$. Ale da się to często zrobić z niezłym przybliżeniem dla danego zakresu częstości. W ten sposób można zbudować skończony obwód filtrujący, którego własności są bardzo zbliżone do własności obwodów nieskończonych. Tak na przykład łańcuch $LC$ zachowuje się w sposób całkiem zbliżony do opisanego powyżej, jeżeli jest zakończony czystym oporem $R = \sqrt{L/C}. $

Rys. 22.23. (a) Filtr górnoprzepustowy; (b) stała przenoszenia tego filtru jako funkcja $1/\omega$

Jeżeli w naszym obwodzie łańcuchowym $LC$ zamienimy miejscami elementy $L $ i $C$, otrzymamy obwód taki jak na rys. 22.23a. Obwód ten jest filtrem przepuszczającym wielkie, a odrzucającym małe częstości. Można łatwo stwierdzić, co się z takim obwodem dzieje, korzystając z naszych poprzednich wyników. Zauważmy, że jeżeli zamieniamy element $L $ na $C$ i odwrotnie, to zmieniamy jednocześnie każde $i\omega $ na $1/i\omega $. Tak więc to, co się przedtem „działo” dla $\omega $, będzie się teraz „działo” dla $1/\omega$. W szczególności otrzymamy nową zależność $\alpha$ od częstości, korzystając z rys. 22.22 i zmieniając zmienną osi odciętych na l$/ \omega $, tak jak zrobiono to na rys. 22.23b.

Rys. 22.24. Napięcie na wyjściu prostownika dwukierunkowego

Opisane przez nas filtry dolno- i górnoprzepustowe mają szerokie zastosowanie techniczne[5]. Dolnoprzepustowy filtr $L $-$C$ jest często używany jako filtr „wygładzający” w zasilaczu prądu stałego. Jeżeli chcemy przetworzyć prąd zmienny na prąd stały, musimy zacząć od prostownika, który pozwala prądowi płynąć tylko w jednym kierunku. Z prostownika otrzymujemy ciąg impulsów, wyglądający jak wykres funkcji $V(t) $ z rys. 22.24. Kiepski to jednak prąd stały, ponieważ jego napięcie ciągle się zmienia. Przypuśćmy, że chcielibyśmy dostać „czyściutki” prąd stały, taki jak z akumulatora. Możemy to osiągnąć z dużą dokładnością, wstawiając filtr dolnoprzepustowy pomiędzy prostownik a obciążenie.

Z rozdziału 50 tomu I (cz. 2) dowiedzieliśmy się, że funkcję czasu taką, jakiej wykres widzimy na rys. 22.24, można przedstawić w postaci superpozycji stałego napięcia i fal sinusoidalnych o coraz to większych częstościach, czyli w postaci szeregu Fouriera. Jeżeli nasz filtr jest liniowy (co nastąpi, gdy jak założyliśmy, elementy $L $ i $C$ nie będą się zmieniać z napięciami i prądami), to wówczas na jego wyjściu pojawia się superpozycja napięć wyjściowych dla każdej ze składowych, które mieliśmy na wejściu. Jeżeli tak dobierzemy częstość graniczną $\omega_{0} $ naszego filtru, że będzie ona dużo mniejsza od najmniejszej z częstości występujących w funkcji $V(t) $, to prąd stały (dla którego $\omega = 0) $ przejdzie przez filtr gładko, ale amplituda pierwszej harmonicznej będzie już wyraźnie zmniejszona, a amplitudy wyższych harmonicznych będą zmniejszone w jeszcze większym stopniu. Możemy więc otrzymać na wyjściu napięcie tak gładkie, jak sobie tego życzymy, w zależności jedynie od liczby użytych przez nas ogniw filtru.

Filtru górnoprzepustowego używamy, gdy chcemy się pozbyć pewnych małych częstości. Tak na przykład we wzmacniaczu gramofonu filtru górnoprzepustowego można użyć do „oczyszczenia” muzyki z niskich tonów pochodzących od silnika obracającego talerza.

Można również zbudować filtry „pasmowe”, które odrzucają częstości poniżej pewnej częstości $\omega_{1} $ oraz powyżej innej częstości $\omega_{2}$ (większej od $\omega_{1})$, a przepuszczają częstości leżące między $\omega_{1} $ i  $\omega_{2}$. Można to zrobić prosto przez złożenie filtru gómoprzepustowego z filtrem dolnoprzepustowym, ale częściej używa się do tego celu obwodu łańcuchowego, w którym oporności ${Z}_{1} $ i $Z_{2}$ są bardziej złożone – każda z nich jest kombinacją elementów $L $ i $C$. Taki filtr pasmowy może mieć taką stałą przenoszenia, jak na przykład ta, którą widzimy na rys. 22.25a. Znajduje on zastosowania na przykład w rozdzielaniu sygnałów zajmujących tylko pewien przedział częstości, takich jak kanały głosowe telefonicznego kabla wielkiej częstości lub takich jak modulowane fale nośne w radiotechnice.

Rys. 22.25. (a) Filtr pasmowy; (b) prosty filtr rezonansowy

W rozdziale 25 tomu I (cz. 1) widzieliśmy, że tego typu rozdzielenie można również uzyskać, korzystając z własności selektywnych zwykłej krzywej rezonansu, którą dla porównania pokazujemy na rys. 22.25b. Filtr rezonansowy nie jest jednak dla pewnych celów tak dobry jak filtr pasmowy. Pamiętamy (tom I, cz. 2, rozdz. 48), że gdy nośna o częstości $\omega _{c} $ jest modulowana sygnałem o częstości $\omega_{s}$, to pełny sygnał zawiera nie tylko częstość nośną, ale składa się również z pasm bocznych o częstościach $\omega_{c}+\omega_{s} $ i  $\omega_{c}-\omega_{s}$. W przypadku filtru rezonansowego te pasma boczne będą zawsze nieco osłabione, przy czym jak widać z rysunku, osłabienie jest tym większe, im większa jest częstość sygnału. Mamy więc do czynienia z kiepską „charakterystyką częstości”. Przez taki filtr nie będą więc przechodzić wyższe tony muzyczne. Ale jeżeli użyjemy filtru pasmowego tak skonstruowanego, aby różnica $\omega_{2}-\omega_{1} $ była co najmniej dwa razy większa od największej częstości sygnału, to charakterystyka częstości będzie „płaska” dla wszystkich potrzebnych nam sygnałów.

Chcielibyśmy jeszcze zrobić jedną uwagę dotyczącą filtru łańcuchowego; obwód łańcuchowy $LC$, taki jak na rys. 22.20, stanowi także przybliżenie linii przesyłowej. Jeżeli mamy długi przewodnik biegnący równolegle względem drugiego przewodnika – tak jak drut w kablu koncentrycznym lub drut zawieszony nad ziemią – to pomiędzy oboma przewodnikami istnieje pewna pojemność, a także pewna indukcyjność pochodząca od istniejącego pomiędzy przewodnikami pola magnetycznego. Jeżeli wyobrazimy sobie, że linia jest podzielona na małe odcinki $\Delta l$, to każdy taki odcinek jest odpowiednikiem ogniwa łańcucha $LC$, z szeregową pozorną opornością indukcyjną $\Delta L $ i bocznikującą pozorną opornością pojemnościową $\Delta C$. Możemy więc zastosować w przypadku linii nasze wyniki dla filtru łańcuchowego. Jeżeli bowiem przejdziemy do granicy, przy $\Delta l$ dążącym do zera, otrzymamy dobry opis linii przesyłowej. Zauważmy, że dla coraz to mniejszych $\Delta l$ zarówno $\Delta L $, jak i $\Delta C$ maleją, ale w tym samym stosunku, tak że iloraz $\Delta L/\Delta C $ pozostaje stały. Tak więc, przy przejściu do granicy w równaniu (22.28) dla $\Delta L $ i $\Delta C$ dążących do zera pozorna oporność charakterystyczna $Z _{0} $ jest czystym oporem, którego wartość wynosi $\sqrt{\Delta L/\Delta C}$. Możemy również zapisać iloraz $\Delta L/\Delta C $ jako $L_{0}/C_{0}$, gdzie $L_{0} $ i $C _{0} $ są pozorną opornością indukcyjną i pojemnościową linii o jednostkowej długości; mamy wówczas

$\displaystyle Z_0=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}.$
(22.33)

Zauważmy także, że dla $\Delta L $ i $\Delta C$ dążących do zera, częstość graniczna $\omega _{0}= \sqrt{ 4/ LC}$ dąży do nieskończoności. Tak więc w przypadku doskonałej linii przesyłowej częstość graniczna nie istnieje.

22.8. Inne elementy obwodu

Zdefiniowaliśmy dotąd tylko impedancje obwodu idealnego – indukcyjność, pojemność i opór – a także doskonały generator napięcia. Chcemy teraz pokazać, że inne elementy obwodu, takie jak indukcyjności wzajemne, tranzystory czy też lampy elektronowe, można opisać za pomocą tylko tych właśnie elementów podstawowych. Przypuśćmy, że mamy dwie cewki i że część strumienia jednej z nich, celowo lub też nie, przenika drugą cewkę, jak to pokazano na rys. 22.26a.

Rys. 22.26. Układ zastępczy indukcyjności wzajemnej

Wówczas obie cewki będą miały pewną indukcyjność wzajemną $M$, taką że zmiana prądu w jednej z cewek powoduje powstanie napięcia w drugiej cewce. Czy możemy rozważyć taki efekt, posługując się naszymi obwodami zastępczymi? Owszem, możemy to zrobić następująco. Wiemy, że siła elektromotoryczna indukowana w każdej z dwóch oddziałujących cewek może być zapisana jako suma dwóch sił elektromotorycznych:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{E}_1&=-L_1\,\frac{{\rm d}I_1}{{\rm d}t... ...d}I_2}{{\rm d}t}\pm M\,\frac{{\rm d}I_1}{{\rm d}t}. \end{aligned}\end{equation*}
(22.34)

Pierwszy człon po prawej stronie tych równań pochodzi od samoindukcji cewki, a drugi – od jej indukcyjności wzajemnej względem drugiej cewki. Znak drugiego członu może być plus lub minus, w zależności od sposobu, w jaki strumień jednej cewki przenika drugą. Robiąc te same założenia upraszczające, których użyliśmy, opisując indukcyjność doskonałą, możemy powiedzieć, że różnica potencjałów na zaciskach każdej z cewek jest równa sile elektromotorycznej w cewce. Wówczas oba równania (22.34) są identyczne z równaniami, jakie otrzymalibyśmy dla obwodu z rys. 22.26b, pod warunkiem że siła elektromotoryczna w każdym z obu pokazanych obwodów zależy od prądu w przeciwległym obwodzie, zgodnie ze związkami:

$\displaystyle \mathcal{E}_1=\pm i\omega MI_2, \qquad \mathcal{E}_2=\pm i\omega MI_1.$
(22.35)

Tak więc nasze postępowanie w tym przypadku będzie polegać na przedstawieniu w normalny sposób efektu samoindukcji oraz na zastąpieniu efektu indukcyjności wzajemnej pomocniczym idealnym generatorem napięcia. Oprócz tego musimy mieć oczywiście równanie, które wiąże tę siłę elektromotoryczną z prądem w innych częściach obwodu; ale dopóki równanie to jest liniowe, dopóty dodajemy tylko do naszych równań obwodu kilka równań liniowych, a wszystkie nasze poprzednie wnioski dotyczące obwodów zastępczych pozostają w dalszym ciągu słuszne.

Oprócz indukcyjności wzajemnej mogą istnieć również pojemności wzajemne. Mówiąc dotąd o kondensatorach, wyobrażaliśmy sobie zawsze, że mamy do czynienia tylko z dwoma elektrodami. Ale w wielu sytuacjach, jak na przykład w lampie elektronowej, takich elektrod, jedna obok drugiej, może być wiele. Jeżeli na jedną z takich elektrod wprowadzimy ładunek elektryczny, jego pole elektryczne wytworzy ładunki indukcyjne na pozostałych i będzie oddziaływało na potencjał elektrody pierwotnej. Jako przykład rozważmy układ czterech płytek na rys. 22.27a. Przypuśćmy, że płytki te połączono z zewnętrznymi obwodami za pomocą drutów $A, B, C $ i $D$. Dopóki interesują nas tylko efekty elektrostatyczne, obwód zastępczy takiego układu elektrod wygląda jak na części b) rysunku. Elektrostatyczne oddziaływanie każdej elektrody z pozostałymi jest równoważne istnieniu pewnej pojemności pomiędzy każdą parą elektrod.

Rys. 22.27. Układ zastępczy pojemności wzajemnej

Pomyślmy na koniec, jak powinniśmy przedstawić w obwodzie prądu zmiennego tak skomplikowane urządzenia, jak tranzystory i lampy radiowe. Zaznaczmy od razu, że tego typu urządzenia często pracują w taki sposób, że zależność pomiędzy prądami a napięciami nie jest wcale liniowa. W takich przypadkach te nasze twierdzenia, które były uwarunkowane liniowością równań, przestają być oczywiście prawdziwe. Lecz w wielu zastosowaniach charakterystyki pracy są na tyle liniowe, że możemy uważać tranzystory i lampy za urządzenia liniowe. Oznacza to, że prądy zmienne, dajmy na to w anodzie lampy elektronowej, są liniowo zależne od napięć pojawiających się na innych elektrodach, np. na siatce i katodzie. Gdy mamy tego rodzaju zależności liniowe, możemy rozpatrywać dane urządzenie, używając naszej metody obwodów równoważnych.

Rys. 22.28. Układ zastępczy triody dla małych częstości

Nasz opis, tak jak w przypadku indukcyjności wzajemnej, będzie musiał zawierać pomocnicze generatory napięcia, które opisują wpływ napięć i prądów w jednej części urządzenia na napięcia i prądy w innej części. Tak na przykład obwód anodowy triody można zwykle przedstawić jako szeregowe połączenie oporu z idealnym generatorem napięcia, którego siła elektromotoryczna jest wprost proporcjonalna do napięcia siatki. Układ zastępczy, jaki otrzymamy, wygląda tak jak na rys. 22.28[6]. Podobnie obwód kolektora w tranzystorze wygodnie jest przedstawić jako opór połączony szeregowo z idealnym generatorem napięcia, którego siła elektromotoryczna jest wprost proporcjonalna do prądu płynącego z emitera do bazy. Układ zastępczy wygląda wówczas jak na rys. 22.29. Dopóki równania, które opisują działanie przyrządu, są liniowe, możemy używać tego typu układów zastępczych dla lamp lub tranzystorów. Także wówczas, gdy są one włączone w obwód złożony, nasze ogólne wnioski dotyczące układów zastępczych dowolnych połączeń elementów pozostaną słuszne.

Rys. 22.29. Układ zastępczy tranzystora dla małych częstości

Obwody zawierające tranzystory i lampy elektronowe mają jedną zadziwiającą cechę, różniącą je od obwodów złożonych tylko z samych oporności pozornych: część rzeczywista zastępczej oporności pozornej $Z _{\rm ef} $ obwodu może stać się ujemna. Wiemy, że część rzeczywista $Z _{\rm ef} $ odpowiada za straty energii. Zasadniczą więc cechą tranzystorów bądź lamp jest zdolność dostarczania energii do obwodu. (Oczywiście, nie „robią” one energii z niczego; pobierają energię z obwodów prądu stałego zasilacza i zamieniają ją na energię prądu zmiennego.) Możemy więc mieć obwód z oporem ujemnym. Jeżeli teraz taki obwód połączyć z opornością pozorną, której część rzeczywista, a więc opór, jest dodatnia, i tak ustalić warunki, aby suma tych dwóch części rzeczywistych była równa zeru, to w powstałym obwodzie energia nie jest rozpraszana. Jeżeli więc nie ma strat energii, to dowolne napięcie zmienne raz dostarczone do obwodu pozostanie w nim na zawsze. Jest to podstawowa zasada działania oscylatora lub generatora sygnałów, który może być użyty jako źródło napięcia zmiennego o dowolnie żądanej częstości.

23. Rezonatory wnękowe

23.1. Rzeczywiste elementy obwodu

Każdy dowolny obwód składający się z doskonałych oporności pozornych i generatorów jest, jeżeli rozpatrywać go przy dowolnej parze zacisków, równoważny przy danej częstości szeregowemu połączeniu generatora z pewną opornością pozorną $Z$.

Wynika to z faktu, że jeżeli przykładamy do zacisków napięcie $V$ i rozwiązujemy wszystkie równania, aby znaleźć prąd $I$, to musimy otrzymać pomiędzy prądem a napięciem zależność liniową. Ponieważ wszystkie równania są liniowe, równanie określające prąd $I$ musi zależeć od napięcia $V$ również tylko liniowo. Najogólniejszą zaś zależność liniową można wyrazić następująco:

$\displaystyle I=\frac{1}{Z}(V-\mathcal{E}).$
(23.1)

W ogólnym przypadku zarówno oporność Z, jak i siła elektromotoryczna E$\mathcal{E}$ , mogą zależeć w jakiś skomplikowany sposób od częstości $\omega $. Równanie (23.1) jest jednak związkiem, jaki otrzymaliśmy, gdy poza zaciskami był tylko generator o sile elektromotorycznej $\ifmmode\mathcal{E}\else$\mathcal{E}$\xspace\fi (\omega) $ połączony szeregowo z opornością pozorną ${Z}(\omega) $.

Istnieje także problem odwrotny: Jeżeli mamy dowolne urządzenie elektromagnetyczne o dwóch zaciskach i dokonujemy pomiaru zależności pomiędzy prądem $I$ i napięciem $V$, aby określić siłę elektromotoryczną E $\mathcal{E}$ i oporność pozorną $Z$ jako funkcje częstości, to czy można znaleźć taki układ naszych doskonałych elementów, który jest równoważny wewnętrznej oporności pozornej $Z$? Okazuje się, że dla każdej mającej sens fizyczny funkcji $Z(\omega)$ można z dowolną dokładnością przybliżać sytuację obwodem zawierającym skończony zbiór elementów doskonałych. Nie chcemy rozważać teraz zagadnienia ogólnego, ale rozpatrzyć kilka szczególnych przypadków, posługując się argumentami czysto fizycznymi.

Jeżeli rozważamy rzeczywisty opornik, to wiemy, że płynący przez niego prąd wytwarza pole magnetyczne. Tak więc każdy rzeczywisty opornik powinien mieć także pewną pozorną oporność indukcyjną.

Oprócz tego, gdy na końcach opornika istnieje różnica potencjałów, muszą znajdować się tam ładunki, aby wytworzyć niezbędne pola elektryczne. Ze zmianą napięcia będzie następowała, proporcjonalna doń, zmiana ładunków, a więc opornik będzie miał pewną pozorną oporność pojemnościową. Można oczekiwać, że układ zastępczy rzeczywistego opornika będzie wyglądał tak, jak na rys. 23.1. W prawidłowo skonstruowanym oporniku tzw. „pasożytnicze” elementy $L $ i $C$ są małe, tak że dla danego przedziału częstości $\omega L $ jest znacznie mniejsze od $R $, a  $1/\omega C$ jest znacznie większe od $R $ i dlatego można je pominąć. Jednak ze wzrostem częstości stają się one w końcu istotne i opornik zaczyna wyglądać jak obwód rezonansowy.

Rys. 23.1. Obwód zastępczy rzeczywistego opornika

Rys. 23.2. Obwód zastępczy rzeczywistej cewki indukcyjnej przy małych częstościach

Rzeczywista indukcyjność nie jest także równa wyidealizowanej indukcyjności, której oporność pozorna wynosi $i\omega L$. Prawdziwy zwój drutu będzie mieć pewien opór, a więc przy małych częstościach cewka jest w rzeczywistości równoważna szeregowemu połączeniu indukcyjności i pewnego oporu, jak to pokazano na rys. 23.2a. Ale przecież w prawdziwej cewce nie można rozdzielić oporu i indukcyjności – opór jest rozłożony wzdłuż całego drutu, a więc jest „zmieszany” z indukcyjnością. Powinno się w takim razie użyć raczej obwodu takiego, jak na rys. 23.2b, który składa się z połączonych szeregowo elementów o małych $R $ i $L $. Ale całkowita oporność pozorna takiego obwodu jest równa $\sum R+ \sum i\omega L$, co jest równoważne prostszemu schematowi z części a) rysunku.

Ze wzrostem częstości pogarsza się przybliżenie rzeczywistej cewki sumą indukcyjności i oporu. Ładunki, które muszą pojawić się na drutach, aby wytworzyć napięcia, będą odgrywać ważną rolę. Wygląda to tak, jakby pomiędzy zwojami cewki były małe kondensatory, jak to naszkicowano na rys. 23.3a. Można by próbować zastąpić rzeczywistą cewkę obwodem takim, jak na rys. 23.3b. Dla małych częstości można go z powodzeniem zastąpić prostszym obwodem z części c) rysunku (jest to znowu ten sam obwód rezonansowy, który był modelem opornika przy wielkich częstościach). Jednak dla większych częstości lepszy jest bardziej złożony obwód z rys. 23.3b. W istocie, im dokładniej chcemy przedstawić faktyczną oporność pozorną rzeczywistej, fizycznej cewki, tym więcej doskonałych elementów musi zawierać jej sztuczny model.

Rys. 23.3. Obwód zastępczy rzeczywistej cewki indukcyjnej przy większych częstościach

Przypatrzmy się nieco dokładniej temu, co się dzieje w cewce rzeczywistej. Oporność pozorna indukcyjności zmienia się jak $\omega L $, a więc dla małych częstości staje się równa zeru i indukcyjność staje się wtedy „zwarciem”; pozostaje tylko opór drutu. Gdy zwiększamy częstość, wielkość $\omega L $ wkrótce staje się znacznie większa od wielkości $R $ i cewka zachowuje się bardzo podobnie do doskonałej indukcyjności. Jeżeli jednak w dalszym ciągu będziemy zwiększać częstość, ważną rolę zaczną odgrywać pojemności. Ich oporność pozorna jest proporcjonalna do $1/\omega C$, a więc jest duża dla małych $\omega $. Dla dostatecznie małych częstości kondensator stanowi „przerwę” w obwodzie i gdy równolegle do niego jest podłączony inny obwód, nie przewodzi prądu. Natomiast przy wielkich częstościach prąd woli wpływać do pojemności pomiędzy zwojami niż do indukcyjności. Tak więc prąd w cewce przeskakuje z jednego zwoju do drugiego, a nie zadaje sobie trudu, aby kręcić się w kółko i tracić siłę elektromotoryczną. Chociaż więc moglibyśmy sobie życzyć, aby prąd przepływał wzdłuż pętli, wybierze on łatwiejszą drogę – drogę o najmniejszej oporności pozornej.

Gdyby zagadnienie to było przedmiotem powszechnego zainteresowania, to opisane powyżej zjawisko nazwałoby się „barierą wielkich częstości” lub jakoś podobnie. Zjawiska tego typu zachodzą w różnych odległych nieraz dziedzinach. W aerodynamice, na przykład, obiekty skonstruowane dla mniejszych prędkości nie działałyby, gdybyśmy spróbowali nadać im prędkość większą od prędkości dźwięku. Nie oznacza to, że napotykają one „barierę” nie do przebycia, lecz po prostu oznacza, że taki obiekt wymaga innej konstrukcji. Tak więc cewka zaprojektowana przez nas jako „indukcyjność”, nie będzie przy wielkich częstościach działać jak dobra indukcyjność, ale jak coś innego. Dla wielkich częstości musimy skonstruować inną cewkę.

23.2. Kondensator przy wielkich częstościach

Chcemy teraz dokładnie omówić zachowanie się kondensatora – doskonałego, jeżeli chodzi o jego geometrię – podczas wzrostu częstości i dokonać obserwacji towarzyszących temu zmian jego własności. (Wolimy rozważać kondensator niż cewkę indukcyjną, ponieważ geometria pary płytek jest znacznie prostsza od geometrii cewki.)

Rozważmy kondensator pokazany na rys. 23.4a, składający się z dwóch równoległych kolistych płytek, połączonych parą drutów z zewnętrznym generatorem. Jeżeli ładujemy kondensator prądem stałym, to na jednej płytce będzie się zbierać ładunek dodatni, a na drugiej – ładunek ujemny; pomiędzy płytkami wytworzy się natomiast jednorodne pole elektryczne.

Rys. 23.4. Pole elektryczne i magnetyczne pomiędzy płytkami kondensatora

Przypuśćmy teraz, że zamiast prądu stałego przyłożymy do płytek prąd zmienny o małej częstości. (Później będziemy w stanie dokładniej określić, co to jest „mała”, a co „wielka” częstość). Powiedzmy, że połączymy kondensator z generatorem małych częstości. Gdy napięcie zmienia znak, z górnej płytki znika ładunek dodatni, a pojawia się na niej ładunek ujemny. Gdy to się dzieje, pole elektryczne znika, a następnie pojawia się ze zwrotem przeciwnym. Zmiany pola elektrycznego podążają za przeskokami ładunku tam i z powrotem. W każdej chwili pole elektryczne jest jednorodne, jak pokazano na rys. 23.4b, jedynie na krawędziach płytek zachodzą od tego pewne odstępstwa, które pominiemy. Wartość pola elektrycznego możemy zapisać jako

$\displaystyle E=E_0{\rm e}^{i\omega t},$
(23.2)

gdzie $E_{0} $ jest pewną stałą.

Czy opis ten pozostanie słuszny przy wzroście częstości? Nie, ponieważ na skutek ciągłych zmian kierunku pola przez każdą pętlę, taką jak na przykład $\Gamma_{1}$ z rys. 23.4a, przepływa strumień pola elektrycznego. A jak wiemy, zmienne pole elektryczne powoduje powstanie pola magnetycznego. Jedno z równań Maxwella mówi, że gdy istnieje, tak jak w tym przypadku, zmienne pole elektryczne, musi istnieć całka krzywoliniowa z pola magnetycznego. Ta całka z pola magnetycznego wzdłuż krzywej zamkniętej, pomnożona przez $c ^{2} $, jest równa szybkości zmian w czasie strumienia elektrycznego poprzez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej (jeżeli nie ma żadnych prądów):

$\displaystyle c^2\oint_\Gamma\textbf B\cdot {\rm d}\textbf s=\frac{{\rm d}}{{\r... ...} \underset{\text{wewnątrz $\Gamma$}}{\int} \textbf E\cdot\textbf n\,{\rm d}a.$
(23.3)

Jakież jest więc natężenie tego pola magnetycznego? Nietrudno to obliczyć. Przypuśćmy, że weźmiemy pętlę $\Gamma_{1}$, która jest okręgiem o promieniu $r$. Z symetrii widać, że pole magnetyczne jest stałe wzdłuż takiego okręgu, tak jak to pokazano na rysunku. Wówczas całka krzywoliniowa z pola B jest równa $2 \pi rB$. A ponieważ pole elektryczne jest jednorodne, strumień pola elektrycznego jest po prostu równy $E$ pomnożonemu przez $\pip r ^{2} $, czyli przez powierzchnię koła:

$\displaystyle c^2B\cdot2\pip r=\frac{\partial{}}{\partial{t}}E\cdot\pip r^2.$
(23.4)

Pochodna ${\bf E} $ względem czasu jest dla naszego zmiennego pola równa po prostu $i\omega E_{0}{\rm e}^{i\omega t}$. Znajdujemy więc, że w naszym kondensatorze wystąpi pole magnetyczne

$\displaystyle B=\frac{i\omega r}{2c^2}E_0{\rm e}^{i\omega t}.$
(23.5)

Innymi słowy, pole magnetyczne także oscyluje, a jego natężenie jest proporcjonalne do $r$.

Jakie są tego konsekwencje? Gdy istnieje zmienne pole magnetyczne, będą także indukowane pola elektryczne i kondensator zacznie działać nieco podobnie do cewki indukcyjnej. Ze wzrostem częstości rośnie natężenie pola magnetycznego; jest ono proporcjonalne do szybkości zmian pola $E$, a więc do częstości $\omega $. Oporność pozorna kondensatora nie będzie już po prostu równa $1/i\omega C$.

Zwiększajmy w dalszym ciągu częstość i rozpatrzmy dokładniej, co się wówczas będzie działo. Mamy pole magnetyczne o zmiennym natężeniu. Ale wtedy pole elektryczne nie może być jednorodne, tak jak to zakładaliśmy! Gdy istnieje zmienne pole magnetyczne, musi, zgodnie z prawem Faradaya, istnieć także całka krzywoliniowa z pola elektrycznego. Jeżeli więc istnieje znaczne pole magnetyczne, jak to się zaczyna dziać przy wielkich częstościach, pole elektryczne nie może być takie samo w różnych odległościach od środka. Pole elektryczne musi zmieniać się z $r$, tak aby całka krzywoliniowa z pola elektrycznego była równa zmiennemu strumieniowi pola magnetycznego.

Zobaczymy, czy potrafimy obliczyć poprawne pole elektryczne. Można to zrobić, obliczając „poprawkę” do jednorodnego pola, którego istnienie pierwotnie założyliśmy w przypadku małych częstości. Oznaczmy to jednorodne pole przez $E_{1} $ i przyjmijmy, że jest ono w dalszym ciągu równe $E _{0} {\rm e} ^{i\omega t} $; poprawne pole możemy wtedy zapisać jako

gdzie $E_{2} $ jest poprawką pochodzącą od zmiennego pola magnetycznego. Pole na osi kondensatora zapiszemy dla każdego $\omega $ jako $E _{0} {\rm e} ^{i\omega t} $ (określając w ten sposób $E_{0})$, a więc na osi nie będziemy mieć poprawki; $E_{2}= 0 $ dla $r = 0 $.

Aby znaleźć pole $E_{2} $, możemy skorzystać z całkowej postaci równania Faradaya:

$\displaystyle \oint_\Gamma\textbf E\cdot {\rm d}\textbf s=-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}($strumienia $B $$\displaystyle ).$

Całki te będą łatwe do obliczenia, jeżeli weźmiemy je wzdłuż pokazanej na rys. 23.4b krzywej $\Gamma_ 2$, która przebiega w górę wzdłuż osi, następnie wzdłuż promienia górnej płytki na odległość $r$ od osi, opada pionowo do dolnej płytki i powraca do osi. Całka krzywoliniowa z pola $E_{1} $ wzdłuż tej krzywej jest oczywiście równa zeru; a więc jedyny przyczynek do całki pochodzi od pola $E_{2} $ i jest równy $-E_2(r)\cdot h$, gdzie $h $ jest odległością pomiędzy płytkami. ($E$ przyjmiemy za dodatnie, jeżeli ma zwrot ku górze.) Całka ta jest równa $-$szybkość zmian strumienia $B $, który znajdujemy obliczając całkę po zakreślonej powierzchni $S$ wewnątrz pętli $\Gamma_{2}$ na rys. 23.4b. Strumień przez pionowy pasek o szerokości ${\rm d}r$ jest równy $B(r)h\,{\rm d}r$, a więc całkowity strumień jest równy

Przyrównując $-\partial/\partial t$ strumienia do całki krzywoliniowej z pola $E_{2} $, mamy

$\displaystyle E_2(r)=\frac{\partial{}}{\partial{t}}\int B(r)\,{\rm d}r.$
(23.6)

Zauważmy, że $h $ znikło; pola nie zależą od odstępu pomiędzy płytkami. Podstawiając $B(r) $ z równania (23.5), otrzymamy

Pochodna względem czasu „dorzuca” jeszcze jeden czynik $i\omega $; otrzymujemy

$\displaystyle E_2(r)=-\frac{\omega^2r^2}{4c^2}E_0{\rm e}^{i\omega t}.$
(23.7)

Tak jak mogliśmy się tego spodziewać, indukowane pole działa w kierunku zmniejszenia pierwotnego pola eletrycznego na większych odległościach od osi. Poprawione pole $E = E_{1}+E_{2} $ jest zatem równe

$\displaystyle E=E_1+E_2=\biggl(1-\frac{1}{4}\frac{\omega^2r^2}{c^2} \biggr)E_0{\rm e}^{i\omega t}.$
(23.8)

Rys. 23.5. Pole elektryczne pomiędzy płytkami kondensatora przy wielkiej częstości (pominięto efekty krawędziowe)

Przypisy

[1] W elektrotechnice i elektronice funkcjonuje pojęcie impedancji (przyp. red. wyd. polskiego).

[2] Chodzi o rozdz. 20 i 21, które w polskim przekładzie znalazły się w cz. 1 tomu II (przyp. red. wyd. polskiego).

[3] Zarówno w języku polskim, jak i w angielskim istnieją w tym przypadku pewne niekonsekwencje w używanej terminologii. I tak, wydawałoby się, że poprawnie należy stosować takie terminy, jak „indukcyjność”, „pojemność” do określania pojęć (własności obiektów), a terminy „cewka indukcyjna”, „kondensator” – do „nazywania” tych właśnie obiektów (elementów obwodu). Sam jednak autor twierdzi, że w tym przypadku lepiej używać terminów, które choć stosowane nie zawsze poprawnie, zdobyły sobie pełne prawo obywatelstwa. Dlatego mówimy „indukcyjność”, rozumiejąc pod tym zarówno cewkę indukcyjną, jak i jej oporność indukcyjną L. Z drugiej strony, nikt nie używa terminu „oporność pojemnościowa”, pozostając przy zwykłej „pojemności” (przyp. tłum.).

[4] W elektrotechnice i elektronice obwód taki jest nazywany obwodem drabinkowym (przyp. red. wyd. polskiego).

[5] Są to tak zwane filtry drabinkowe (przyp. red. wyd. polskiego).

[6] Pokazany układ zastępczy ma zastosowanie tylko dla małych częstości. Dla wielkich częstości układ zastępczy staje się o wiele bardziej skomplikowany i zawiera różne tzw. „pasożytnicze” pojemności i indukcyjności.