Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Barbara Jaworska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Recenzent: dr hab. Jerzy Matczuk, profesor uczelni Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego

Książka została dofinansowana przez Politechnikę Białostocką

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2024

ISBN 978-83-01-23355-6

https://doi.org/10.53271/2023.158

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2024 r. (wyd. I)

Warszawa 2024

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Przedmowa

Podręcznik został opracowany na podstawie wykładów i ćwiczeń z algebry dla studentów kierunku matematyka stosowana na studiach pierwszego stopnia na Politechnice Białostockiej. Zawiera podstawową wiedzę o trzech fundamentalnych strukturach algebraicznych: grupach, pierścieniach i ciałach. Do zrozumienia wykładu wymagana jest wstępna wiedza z teorii mnogości, algebry liniowej, elementarnej teorii liczb, analizy matematycznej funkcji jednej zmiennej oraz matematyki dyskretnej.

Podręcznik składa się z czterech głównych części podzielonych na czternaście, tematycznie spójnych, rozdziałów. Wyjątek stanowi ostatni rozdział piętnasty, w którym prezentujemy wiedzę uzupełniającą dotyczącą metod rozwiązywania równań algebraicznych stopni 2, 3 i 4, dowód istnienia i jednoznaczności algebraicznego domknięcia ciała oraz dowody niewymierności ważnych stałych liczbowych: liczby π i potęg liczby e o wykładniku wymiernym. Każdy rozdział kończy się kilkunastoma ćwiczeniami o różnym stopniu trudności. Niektóre z trudniejszych zadań pochodzą z egzaminów kwalifikacyjnych na studia doktoranckie na prestiżowych amerykańskich uniwersytetach ([12]) oraz z popularnych w Stanach Zjednoczonych studenckich zawodów im. Williama L. Putnama ([11]). Ostatnia część zawiera szkice rozwiązań ponad 260 zadań.

Czytelnikowi zainteresowanemu dalszym pogłębianiem wiedzy z teorii grup, pierścieni i ciał polecane są książki C. Bagińskiego Wstęp do teorii grup ([2]), seria książek A.I. Kostrikina Wstęp do algebry ([7, 8]) oraz monografie J. Browkina Wybrane zagadnienia algebry ([4]) i Teoria ciał ([5]) i A. Białynickiego-Biruli Zarys algebry ([3]). Różne aspekty zastosowań algebry omawiane są w książce W.J. Gilberta i W.K. Nicholsona Algebra współczesna z zastosowaniami ([6]).

Autor pragnie podziękować recenzentowi tej książki, profesorowi Jerzemu Matczukowi, za trud w wykryciu wielu nieścisłości i przeoczeń oraz za uwagi merytoryczne, a także magistrowi Kamilowi Zabielskiemu za cenne uwagi i pomoc redakcyjną.

W podręczniku zastosowano standardowe oznaczenia dla zbiorów liczbowych:

— ℕ – zbiór liczb naturalnych,

— ℤ – pierścień liczb całkowitych,

— ℚ – ciało liczb wymiernych,

— ℝ – ciało liczb rzeczywistych,

— ℂ – ciało liczb zespolonych,

— ℤm = – pierścień reszt z dzielenia przez liczbę naturalną m > 1.

I. Elementy teorii grup

Część pierwsza jest wstępem do teorii grup i podzielona jest na pięć rozdziałów. Zakładamy, że Czytelnik zapoznał się z pojęciem grupy i pomijamy dowody najprostszych własności.

W rozdziale pierwszym podajemy serię ważnych przykładów grup oraz określenia podstawowych pojęć, takich jak: podgrupa, warstwa, indeks, rząd. Szczególną uwagę poświęcamy grupom permutacji zbiorów skończonych oraz grupom izometrii własnych wielokątów foremnych, zwanych grupami diedralnymi. Dowodzimy twierdzenie Lagrange’a ustalające związek między rzędem grupy a rzędem i indeksem podgrupy. Wyjaśniamy pojęcie izomorfizmu grup oraz opisujemy, z dokładnością do izomorfizmu, wszystkie grupy cykliczne. W dalszej kolejności omawiamy skończone grupy cykliczne, wyjaśniając między innymi strukturę podgrup grup cyklicznych.

W rozdziale drugim wyróżniamy pojęcie podgrupy normalnej, zwanej również dzielnikiem normalnym. Wprowadzamy i dowodzimy podstawowe własności homomorfizmów grup. Przedstawiamy konstrukcję grupy ilorazowej i dowodzimy twierdzenie o izomorfizmie dla grup wraz z jego konsekwencjami.

W rozdziale trzecim omawiamy konstrukcje zewnętrznego i wewnętrznego iloczynu prostego grup. Głównym celem jest tu twierdzenie o strukturze skończonych grup abelowych; dowodzimy, że każda skończona grupa abelowa jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

W rozdziale czwartym wprowadzamy pojęcie działania grupy na zbiorze i pojęcia z nim powiązane, takie jak: orbita, stabilizator, punkt stały działania. Dowodzimy lemat Burnside’a o liczbie orbit działania, mający liczne zastosowania w teorii grup i poza nią. Opisujemy grupy obrotów wielościanów foremnych oraz pokazujemy kilka zagadnień natury kombinatorycznej, w których stosujemy lemat Burnside’a.

W ostatnim rozdziale, przedstawiamy dalsze zastosowania działań grup na zbiorach. Dotyczą one opisu struktury grup skończonych. Dowodzimy twierdzenie Cauchy’ego o istnieniu elementów dowolnego rzędu pierwszego, dzielącego rząd grupy. Następnie przedstawiamy dowód twierdzenia Sylowa o maksymalnych p-podgrupach, czyli podgrupach rzędu będącego potęgą liczby pierwszej p. Omawiamy pojęcie grupy prostej, czyli grupy bez właściwych podgrup normalnych. Dowodzimy, że grupy alternujące An są proste dla n ≥ 5. Następnie, używając twierdzenia Sylowa, analizujemy strukturę pewnych grup skończonych o zadanym rzędzie grupy.

1. Przykłady grup i podstawowe pojęcia

Teoria grup jest jest jednym z głównych działów współczesnej algebry. Jej początki, datowane na pierwszą połowę XIX wieku, powiązane były z pracami młodego matematyka francuskiego E. Galois, który wprowadził termin grupy w kontekście badań nad permutacjami zbiorów pierwiastków wielomianów.

W tym rozdziale przedstawiamy naturalne przykłady grup i definiujemy wstępne pojęcia.

Grupą nazywamy niepusty zbiór G z dwuargumentowym działaniem : G × G → G, spełniającym następujące warunki:

(a) a (b c) = (a b) c, dla dowolnych a,b,c ∈ G (warunek łączności),

(b) istnieje element e ∈ G, że a e = e a = a dla dowolnego a ∈ G (istnienie elementu neutralnego),

(c) dla każdego a ∈ G istnieje taki element b ∈ G, że a b = b a = e (istnienie elementu odwrotnego).

Z łatwością można wywnioskować, że każda grupa ma dokładnie jeden element neutralny oraz, że każdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny, który na ogół jest oznaczany przez a⁻¹ (lub −a, gdy dla działania stosujemy notację addytywną, tzn. = +). Warunek łączności gwarantuje poprawność następującej notacji potęgowej:

Jeżeli G ma skończenie wiele elementów, to ich liczbę oznaczamy przez |G| i nazywamy rzędem grupy G. Jeżeli g ∈ G i istnieje taka liczba naturalna n, że gn = e, to najmniejszą liczbę o tej własności nazywamy rzędem elementu g i oznaczamy o(g). O elementach nieposiadających rzędu skończonego mówimy, że mają rząd nieskończony. Jeżeli w grupie G zachodzi warunek przemienności a b = b a dla dowolnych a,b ∈ G, to G nazywana jest grupą abelową.

Działania w skończonej grupie G można opisać za pomocą tabelki, której wiersze i kolumny są ponumerowane elementami grupy, zaś w pozycji (g,h) występuje element g h. Jeżeli G = {g₁,g₂,…,gn}, to tabelka działania w G ma postać Tabeli 1.1.

Tabela 1.1. Tabelka działania w grupie G

| g₁ | … | gj | … | gn
g₁ | g₁ g₁ | … | g₁ gj | … | g₁ gn
… | … | … | … | … | …
gi | gi g₁ | … | gi gj | … | gi gn
… | … | … | … | … | …
gn | gn g₁ | … | gn gj | … | gn gn

Przykłady

1. Grupy liczbowe. Zbiór liczb całkowitych ℤ z działaniem dodawania i elementem neutralnym 0 jest grupą abelową. Podobnie zbiory liczb wymiernych ℚ, liczb rzeczywistych ℝ oraz liczb zespolonych ℂ z działaniami dodawania liczb są grupami abelowymi. Nazywa się je odpowiednio addytywnymi grupami liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych.

Zbiory ℚ∗ = ℚ \{0}, ℝ∗ = ℝ \{0} oraz ℂ∗ = ℂ \{0} z działaniem mnożenia i elementem neutralnym 1 są grupami abelowymi, zwanymi grupami multiplikatywnymi ciał liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, odpowiednio.

2. Grupy permutacji. Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Przypomnijmy, że bijekcją zbioru X nazywamy dowolną funkcję f : X → X, która jest różnowartościowa i odwzorowuje X na X, to znaczy obraz Im(f) = {f(x)∣x ∈ X} pokrywa się ze zbiorem X. Każda bijekcja posiada funkcję odwrotną f⁻¹: X → X taką, że

gdzie oznacza składanie funkcji, zaś idX jest funkcją identycznościową (tzn. idX(x) = x dla dowolnego x ∈ X). Ponieważ składanie funkcji jest operacją łączną zbiór SX wszystkich bijekcji zbioru X, z działaniem składania funkcji jest grupą. Nazywamy ją grupą permutacji zbioru X. W przypadku gdy X ma n ≥ 2 elementów można jego elementy nazwać kolejnymi liczbami naturalnymi, tzn. X = {1,2,…,n}. Grupę SX oznaczamy wówczas przez Sn i nazywamy grupą symetryczną stopnia n. Elementy grupy symetrycznej zapisujemy w postaci dwuwierszowej tablicy:

Z łatwością stwierdzamy, że |Sn| = n! i dla n ≥ 3 grupy Sn są nieabelowe.

W opisie grupy symetrycznej istotną rolę odgrywają cykle, czyli permutacje f, dla których istnieje taki podzbiór A = {a₁,a₂,…,ak}⊆{1,2,…,n}, że f(i) = i dla i∉A oraz

Taki cykl zapisujemy w skróconej postaci f = (a₁,a₂,…,ak). Liczbę k nazywa się długością cyklu f. Zbiór A nazywany jest nośnikiem cyklu f. Cykle o rozłącznych nośnikach nazywa się rozłącznymi. Cykle rozłączne są przemienne. Nietrudno jest pokazać, że każda nietożsamościowa permutacja daje się przedstawić w postaci iloczynu cykli rozłącznych i przedstawienie to jest jednoznacznie z dokładnością do kolejności czynników.

Cykle długości 2 nazywane są transpozycjami. Z łatwością sprawdzamy tożsamość:

Tak więc każdy cykl długości k jest iloczynem k − 1 transpozycji. Co więcej, każda permutacja jest zatem iloczynem transpozycji. Co prawda nie ma jednoznaczności przedstawienia danej permutacji w postaci iloczynu transpozycji, lecz parzystość liczby czynników nie zależy od przedstawienia. Szczegółowe dowody tego faktu można znaleźć w [2], [5] lub [10]. W związku z tym wyróżnia się permutacje parzyste (nieparzyste) jako permutacje, które są iloczynami parzystej (odp. nieparzystej) liczby transpozycji. Przez An oznaczany jest zbiór wszystkich permutacji parzystych. Jest to grupa ze względu na działanie składania permutacji; zwana grupą alternującą stopnia n. Zauważmy, że dla ustalonej transpozycji τ = (i,j) i dla dowolnej permutacji σ, permutacja στ jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest parzysta. Stąd wynika, że |An| = |Sn| = n!.

3. Grupy cykliczne. Grupę G, w której istnieje taki element g, że każdy element jest postaci gm, dla pewnej liczby całkowitej m, nazywa się cykliczną. Można wówczas zapisać: G = {gm∣m ∈ℤ}. Element g nazywa się generatorem grupy G; piszemy G = g . Zauważmy, że addytywna grupa liczb całkowitych (ℤ,+) jest cykliczna; ℤ = 1 . Generator jest tu elementem rzędu nieskończonego. Inny przykład grupy cyklicznej stanowi podzbiór zbioru liczb zespolonych G = {1,−1,i,−i}. Z łatwością sprawdzamy, że G = i = −i . Ogólniej, dla dowolnej liczby naturalnej n > 1, niech 𝜖n = cos + isin oznacza zespolony pierwiastek stopnia n z jedynki. Wówczas Cn = {𝜖nk∣k = 0,1,…,n − 1} jest n-elementową grupą cykliczną generowaną przez 𝜖n. Można wykazać (por. Stwierdzenie 1), że generatorami grupy Cn są elementy 𝜖nm, o ile NWD(m,n) = 1.

Strukturę grupy cyklicznej posiada zbiór ℤn = {0,1,2,…,n− 1}reszt dzielenia liczb całkowitych przez n ze względu na działanie +n dodawania modulo n, czyli

Oczywiście grupa ℤn jest generowana przez 1.

Poniżej (Tabela 1.2) prezentujemy tabelki działań w addytywnych grupach cyklicznych ℤ₃ i ℤ₄.

Tabela 1.2. Tabelki działań w ℤ₃ i ℤ₄

+3 | 0 | 1 | 2
0 | 0 | 1 | 2
1 | 1 | 2 | 0
2 | 2 | 0 | 1

+₄ | 0 | 1 | 2 | 3
0 | 0 | 1 | 2 | 3
1 | 1 | 2 | 3 | 0
2 | 2 | 3 | 0 | 1
3 | 3 | 0 | 1 | 2

4. Grupy diedralne. Przypomnijmy, że izometrią własną figury F na płaszczyźnie ℝ² nazywa się przekształcenie φ: ℝ² →ℝ² zachowujące odległości między punktami oraz spełniające warunek φ(F) = F . Bez trudu można sprawdzić, że dla dowolnej figury F zbiór (F) wszystkich izometrii własnych figury F jest grupą. Rozważymy przypadek, gdy F jest n-kątem foremnym. Wówczas grupę (F) nazywa się grupą diedralną i oznacza przez Dn.

Oznaczmy wierzchołki n-kąta foremnego kolejnymi liczbami 1,2,…,n, numerując przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Niech h oznacza obrót o kąt wokół środka wielokąta oraz niech s będzie symetrią osiową względem osi przechodzącej przez środek wielokąta i wierzchołek 1. Wówczas oczywiście h(1) = 2, h(2) = 3,..., h(n) = 1. Zauważmy, że obroty h,h²,…,hn−1,hn = id wyznaczają n-elementową grupę cykliczną. Każda izometria własna φ n-kąta foremnego jest oczywiście jednoznacznie wyznaczona przez obrazy wierzchołków 1 i 2. Jeżeli φ(1) = k, to oczywiście φ(2) = k + 1 lub φ(2) = k − 1. W pierwszym przypadku otrzymujemy, że φ = hk, zaś w drugim φ = hk s. Grupa Dn ma zatem dokładnie 2n elementów. Dokładniej, po zastosowaniu multiplikatywnej notacji hks zamiast hk s, grupa Dn ma następujący opis

a po uwzględnieniu równości hs = shn−1 = sh⁻¹,

Dn | = |  |
| = . |  |

Będziemy stosowali również opis relacyjny grupy diedralnej Dn, jako grupy generowanej przez dwa elementy s,h:

5. Grupy macierzowe. Niech Mn(K) oznacza zbiór macierzy n × n o współczynnikach w ciele K. Zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego o wyznacznikach det(AB) = det(A) ⋅ det(B). Stąd wynika, że zbiór macierzy

jest grupą, względem działania mnożenia macierzy i macierzą jednostkową jako elementem neutralnym. Nazywa się ją pełną grupą liniową stopnia n nad ciałem K. Inny przykład otrzymujemy, rozważając macierze o wyznaczniku 1.

Jest to specjalna grupa liniowa stopnia n nad ciałem K.

Kolejnym ważnym przykładem są grupy ortogonalne O(n) i specjalne grupy ortogonalne SO(n):

gdzie AT oznacza macierz transponowaną do A. W przypadku n = 3, grupa SO(3) jest grupą obrotów właściwych trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, czyli obrotów wokół pewnej osi. Więcej szczegółów można znaleźć na przykład w [6] i [9].

Podstawowe pojęcia i własności

Niech (G,⋅), (H, ) będą grupami. Odwzorowanie f : G → H nazywa się izomorfizmem grup, jeżeli f jest bijekcją oraz dla dowolnych x,y ∈ G zachodzi równość

Wówczas mówimy, że grupy G i H są izomorficzne i piszemy G H. Odnotujmy teraz proste własności izomorfizmów.

Lemat 1.1. Niech (G,⋅), (H, ) będą grupami. Jeżeli f : G → H jest izomorfizmem grup, to odwzorowanie odwrotne f⁻¹: H → G jest też izomorfizmem grup.

Dowód. Dla elementów a,b ∈ H dobierzmy takie elementy x,y ∈ G, że f(x) = a,f(y) = b. Wówczas

Odwzorowanie f⁻¹ jest oczywiście bijekcją, a więc z powyższej równości wnioskujemy, że jest izomorfizmem grup. □

Lemat 1.2. Niech (G,⋅), (H, ) będą grupami z elementami neutralnymi eG,eH, odpowiednio. Jeżeli f : G → H jest izomorfizmem grup, to

1. f(eG) = eH;

2. dla dowolnego x ∈ G, f(x⁻¹) = f(x)⁻¹.

Dowód. 1. Dla a ∈ H niech x ∈ G oraz f(x) = a. Mamy wówczas

Podobnie stwierdzamy, że f(eG) a = a. f(eG) jest zatem elementem neutralnym grupy H, a więc f(eG) = eH.

2. Z równości

wynika, że f(x⁻¹) jest elementem odwrotnym do f(x). □

Opiszemy teraz wszystkie grupy cykliczne z dokładnością do izomorfizmu.

Twierdzenie 1.1. 1. Dowolna skończona grupa cykliczna rzędu n jest izomorficzna z addytywną grupą reszt ℤn.

2. Dowolna nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych ℤ.

Dowód. 1. Niech g będzie generatorem grupy G. Wówczas G = {e,g,g²,…, gn−1} oraz gn = e. Przypomnijmy, że zgodnie z algorytmem dzielenia z resztą, dla dowolnych liczb całkowitych m i n > 1 istnieje dokładnie jedna taka para (q,r), że q ∈ ℤ, r ∈ oraz m = qn + r. Liczba q nazywana jest ilorazem a liczba r resztą z dzielenia m przez n. Zatem jeżeli k + l = qn + r, to

Stąd odwzorowanie f : ℤn → G dane wzorem f(k) = gk jest bijekcją zachowującą działania w grupach, a więc jest izomorfizmem grup.

2. Niech g oznacza generator nieskończonej grupy cyklicznej G, czyli G = {gm∣m ∈ ℤ}. Zauważmy, że dla dowolnych różnych liczb całkowitych k,l mamy nierówność gk≠gl. W przeciwnym razie otrzymalibyśmy gk−l = e, co przeczy założeniu, że g jest elementem rzędu nieskończonego. Odwzorowanie f : ℤ → G zdefiniowane wzorem f(m) = gm jest zatem bijekcją oraz dla dowolnych liczb całkowitych m,n

Stąd G ℤ. □

Niepusty podzbiór H ⊆ G nazywa się podgrupą w G, jeżeli H jest grupą po ograniczeniu do H działania grupy G. Oznacza to, że

1. dla dowolnych a,b ∈ H element ab należy do H;

2. dla każdego a ∈ H odwrotność a⁻¹ należy do H.

Piszemy wówczas H ≤ G. Jeżeli H≠{e} i H≠G, to H nazywa się podgrupą właściwą. Z łatwością możemy wykazać, że

Niech a ∈ G oraz H ≤ G. Zbiór Ha = (odp. aH = ) nazywa się warstwą prawostronną (odp. lewostronną) podgrupy H w G. Element a nazywa się reprezentantem warstwy. Zachodzi następujący

Lemat 1.3. Dla dowolnych a,b ∈ G zachodzi jedna z równości: Ha = Hb lub Ha ∩ Hb = ∅. Innymi słowy, dwie różne warstwy prawostronne podgrupy H są rozłączne.

Dowód. Przypuśćmy, że Ha ∩ Hb≠∅ i niech g ∈ Ha ∩ Hb. Istnieją wtedy elementy h₁,h₂ ∈ H, że g = h₁a = h₂b. Stąd a = h₁⁻¹(h₂b) = (h₁⁻¹h₂)b ∈ Hb, a więc Ha ⊆ Hb. Analogicznie mamy b = h₂⁻¹(h₁a) = (h₂⁻¹h₁)a ∈ Ha, czyli Hb ⊆ Ha. Ostatecznie Ha = Hb. □

W grupach abelowych nie ma różnicy między warstwami prawostronnymi a lewostronnymi. Różnice pojawiają się w ogólnym przypadku.

Przykład 1.1. Niech G = S₃, H = oraz a = (2,3). Mamy

oraz

a więc Ha≠aH.

Zauważmy, że funkcja fa: H → Ha dana wzorem f(h) = ha jest bijekcją. Rzeczywiście, ma ona funkcję odwrotną fa⁻¹: Ha → H daną wzorem fa⁻¹(x) = xa⁻¹. Mamy bowiem

| fa fa⁻¹(ha) = fa((ha)a⁻¹) = f a(h) = ha   oraz |  |
| fa⁻¹ fa(h) = fa⁻¹(ha) = (ha)a⁻¹ = h. |  |

Wynika stąd, że dowolne warstwy podgrupy H są równoliczne z podgrupą H. Liczbę wszystkich warstw prawostronnych podgrupy H oznacza się |G : H| i nazywa indeksem H w G. Z powyższej uwagi oraz Lematu 1.3 wynika

Twierdzenie 1.2 (Twierdzenie Lagrange’a). Jeżeli H jest podgrupą skończonej grupy G, to

W szczególności rząd dowolnej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy G.

Identyczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla warstw lewostronnych. Zatem indeks |G : H| jest również liczbą wszystkich warstw lewostronnych podgrupy H.

Dla g ∈ G zbiór potęg elementu g: g = jest podgrupą cykliczną w G. Oczywiście rząd g jest równy rzędowi elementu g. Tak więc mamy

Wniosek 1.1. Rząd elementu grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy.

Dzięki tym obserwacjom łatwo jest opisać strukturę grup skończonych rzędu pierwszego. Otóż, dla dowolnego elementu g≠e takiej grupy, podgrupa cykliczna g ma rząd większy od 1, a więc równy |G|. Zatem G = g .

Wniosek 1.2. Każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą jest grupą cykliczną.

Z łatwością można sprawdzić, że część wspólna dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgrupą. Tak więc dla ustalonego podzbioru X ⊂ G, część wspólna wszystkich podgrup zawierających X jest najmniejszą podgrupą zawierającą X. Nazywa się ją podgrupą generowaną przez X i oznacza przez  X . Zauważmy, że

1. Jeżeli X = ∅, to  X = {e}.

2. Jeżeli X = {g} jest zbiorem jednoelementowym, to  X = {gm∣m ∈ℤ} jest podgrupą cykliczną, oznaczaną przez g .

3. Jeżeli X jest niepustym podzbiorem grupy G, to

Bezpośrednio z definicji wynika następująca własność rzędu elementu

Uwaga 1.1. Dla dowolnego elementu g ∈ G, rząd podgrupy cyklicznej generowanej przez g jest równy rzędowi elementu g, czyli

Dla liczb całkowitych k,n przez NWD(k,n) oznaczymy ich największy wspólny dzielnik.

Stwierdzenie 1.1. Niech g będzie elementem grupy G.

1. Jeżeli o(g) = n < ∞, to dla dowolnej liczby całkowitej k, gk = e wtedy i tylko wtedy, gdy n∣k.

2. Jeżeli o(g) = n < ∞, to dla dowolnej liczby całkowitej k

W szczególności g = gk wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(k,n) = 1.

Dowód. 1. Niech q, r oznaczają kolejno iloraz i resztę z dzielenia k przez n, czyli k = qn + r i 0 ≤ r < n. Mamy równości

Stąd wynika, że r = 0, czyli n∣k.

2. Niech d = NWD(k,n) oraz n = md, k = ld. Wtedy

Z punktu (1) wynika, że o(gk)∣m. Podobnie jeżeli s = o(gk), to e = (gk)s = gks, a więc na mocy (1) n∣ks. Stąd dm∣dls, a więc m∣ls. Jednak liczby m i l są względnie pierwsze, więc m∣s. Ostatecznie o(gk) = m. □

Twierdzenie 1.3. Podgrupa grupy cyklicznej jest grupą cykliczną.

Dowód. Niech G = g oraz {e}≠H ≤ G. Zauważmy, że jeśli k jest liczbą całkowitą i gk ∈ H, to g−k = (gk)⁻¹ ∈ H. Możemy zatem wybrać najmniejszą liczbę naturalną k taką, że gk ∈ H. Udowodnimy, że H = gk . Oczywiście gk ⊆ H. Wybierzmy dowolny element h ∈ H. Wówczas h = gm dla pewnej liczby całkowitej m. Niech m = qk + r, gdzie 0 ≤ r < k. Mamy

Z wyboru k wynika, że r = 0, czyli h = (gk)q ∈ gk . Ostatecznie H = gk . □

W obrębie skończonych grup cyklicznych twierdzenie Lagrange’a dopuszcza swoje odwrócenie.

Twierdzenie 1.4. Niech G będzie grupą cykliczną rzędu n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k dzielącej n istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu k.

Dowód. Niech G = g oraz n = km. Wówczas element gm ma rząd k, a więc gm jest podgrupą cykliczną rzędu k. Przypuśćmy, że A, B są dwiema różnymi podgrupami grupy G rzędu k. Na mocy powyższego twierdzenia są one cykliczne, a więc istnieją elementy a,b ∈ G, że A = a , B = b . W podgrupie a,b elementy mają postać aibj. Zauważmy, że (aibj)k = (ak)i(bk)j = e. Oznacza, to że dowolny element podgrupy a,b ma rząd nieprzekraczający liczby k. Z drugiej strony a,b ma rząd większy niż k (bo A≠B), a więc nie może być grupą cykliczną. Przeczy to Twierdzeniu 1.3. □

Przypomnijmy, że dla liczby całkowitej n > 1 w zbiorze ℤn = {0,1,2,…,n− 1} reszt z dzielenia przez n poza dodawaniem mamy działanie mnożenia ⋅n

Zbiór elementów odwracalnych względem tego działania oznaczamy przez ℤn∗i nazywamy grupą multiplikatywną pierścienia ℤn.

Przykład 1.2. Dla n > 2 grupa multiplikatywna ℤ2n∗ nie jest cykliczna. Zawiera ona bowiem trzy różne elementy rzędu 2: −1,2n−1 − 1,2n−1 + 1. Rzeczywiście, (2n−1 − 1)² = 22n−2 − 2n + 1 ≡ 1 (mod 2n) oraz (2n−1 + 1)² = 22n−2 +2n+1 ≡ 1 (mod 2n). To nie może się zdarzyć w grupie cyklicznej na mocy Twierdzenia 1.4.

Przykład 1.3. Dla ustalonej liczby pierwszej p rozważmy ciąg grup cyklicznych Cpn, gdzie n ≥ 1. Możemy je utożsamiać z grupami pierwiastków zespolonych stopni pn z 1. Zauważmy, że jeżeli n < m, to Cpn ⊂ Cpm. Stąd z łatwością wnosimy, że

jest nieskończoną niecykliczną grupą, której każda właściwa podgrupa jest skończoną grupą cykliczną. Nazywa się ją grupą quasi-cykliczną.

ĆWICZENIA

1.1. Dla liczb rzeczywistych a,b, niech Ta,b oznacza funkcję liniową Ta,b: ℝ → ℝ daną wzorem Ta,b(x) = ax + b. Niech G = .

(a) Wykazać, że G z działaniem składania funkcji jest grupą.

(b) Wykazać, że H = jest nieabelową podgrupą w G.

(c) Wykazać, że K = jest abelową podgrupą w G.

(d) Wykazać, że ghg⁻¹ ∈ H dla dowolnych g ∈ G oraz h ∈ H.

(e) Czy prawdą jest, że gkg⁻¹ ∈ K dla dowolnych g ∈ G oraz k ∈ K?

1.2. Niech f : ℝ² → ℝ², g: ℝ² → ℝ² będą przekształceniami płaszczyzny danymi wzorami:

(a) Wykazać, że g f = f g⁻¹.

(b) Wykazać, że G = jest nieabelową grupą rzędu 8.

1.3. Wykazać, że w grupie abelowej (G,∗) zachodzi równość

gdzie a,b ∈ G, n ∈ ℤ.

1.4. Wykazać, że jeżeli a² = e dla każdego elementu a grupy G, to G jest grupą abelową.

1.5. Wykazać, że każda grupa rzędu parzystego zawiera element rzędu 2.

1.6. W grupie S₄ wyznaczyć wszystkie elementy x, spełniające równanie x⁴ = id.

1.7. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy permutacji S₃.

1.8. Wykazać, że dla dowolnego elementu a grupy G podzbiór C(a) = {g ∈ G∣ga = ag} jest podgrupą. Nazywa się go centralizatorem elementu a. Wyznaczyć centralizatory wszystkich elementów w grupie S₃.

1.9. Wykazać, że jeżeli G jest grupą abelową, to podzbiór G² = jest podgrupą. Podać przykład nieabelowej grupy G, dla której G² nie jest podgrupą.

1.10. Wykazać, że jeżeli G jest grupą abelową, to podzbiór T = jest podgrupą.

1.11. Wykazać, że jeżeli G nie zawiera właściwych podgrup, to G jest grupą cykliczną rzędu pierwszego (tzn. |G| jest liczbą pierwszą).

1.12. Opisać grupy ℤm∗ za pomocą tabelki dla m = 6,8,12,24.

1.13. Udowodnić, że w grupach ℤm∗, dla m = 3,5,16 wszystkie elementy spełniają warunek x⁴ = 1. Wykazać, że jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to 240∣p⁴ − 1.

1.14. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą i niech G będzie zbiorem macierzy postaci

gdzie a,b,c ∈ ℤp. Wykazać, że G z działaniem mnożenia macierzy jest grupą nieabelową oraz, że każdy element g ∈ G spełnia równość gp = e.

1.15. Wykazać, że jeżeli w niepustym zbiorze G określone jest łączne działanie ∗, takie że dla dowolnych a,b ∈ G istnieją jednoznacznie określone rozwiązania x,y ∈ G równań:

to G jest grupą.

1.16. Niech G będzie grupą. Dla a,b ∈ G rozważmy funkcję φ: G → G taką, że φ(g) = agb. Udowodnić, że

1. φ jest bijekcją,

2. jeżeli φ jest izomorfizmem, to a = b⁻¹,

3. jeżeli a = b⁻¹, to φ jest izomorfizmem.

1.17. Niech A i B będą właściwymi podgrupami grupy G, przy czym żadna z nich nie jest zawarta w drugiej. Udowodnić, że G≠A ∪ B.

1.18. Podać przykład grupy, która jest sumą mnogościową trzech właściwych podgrup.

1.19. Niech G będzie skończoną grupą abelową nieposiadającą elementów rzędu 2. Wykazać, że funkcja f : G → G dana wzorem f(g) = g² jest izomorfizmem. Czy założenie skończoności grupy jest istotne?

1.20. Niech G będzie skończoną grupą abelową nieposiadającą elementów rzędu p, gdzie p jest pewną liczbą pierwszą. Wykazać, że funkcja f : G → G dana wzorem f(g) = gp jest izomorfizmem.

1.21. Niech G będzie niepustym zbiorem z dwuargumentowym działaniem , spełniającym warunki

(a)  jest łączne,

(b) jeżeli a b = a c, to b = c (lewostronne skracanie),

(c) jeżeli b a = c a, to b = c (prawostronne skracanie),

(d) dla każdego a ∈ G, zbiór {an∣n > 0} jest skończony.

Czy G jest grupą?

2. Homomorfizmy grup

Podgrupy normalne

Podgrupę H nazywa się normalną lub dzielnikiem normalnym, jeżeli gH = Hg, dla dowolnego elementu g ∈ G. Piszemy wtedy H G. Oczywiście każda podgrupa grupy abelowej jest dzielnikiem normalnym. Nietrudno jest zauważyć, że jeżeli |G : H| = 2, to H G. Mamy bowiem gH = H = Hg dla g ∈ H, zaś dla g∉H gH = G\H = Hg, gdyż H ∪gH = G = H ∪Hg oraz H ∩gH = H ∩Hg = ∅.

Wniosek 2.1. An jest podgrupą normalną w Sn.

Uwaga 2.1. Grupa A₄ ma 12 elementów, przy czym nie ma elementów rzędów 4 oraz 6. Zawiera 3 elementy rzędu 2: (1,2)(3,4),(1,3)(2,4), (1,4)(2,3), 8 elementów rzędu 3: (1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(1,3,4), (1,4,3),(2,3,4),(2,4,3), i oczywiście permutację identycznościową. Bez trudu można wykazać, że A₄ nie zawiera podgrupy rzędu 6, a więc twierdzenia Lagrange’a nie można odwrócić.

Stwierdzenie 2.1. Niech G będzie grupą i H ≤ G. Następujące warunki są równoważne:

1. H G;

2. g⁻¹Hg ⊆ H dla każdego g ∈ G;

3. g⁻¹Hg = H dla każdego g ∈ G.

Dowód. 1 ⇒ 2 Niech g ∈ G i h ∈ H. Z równości warstw gH = Hg wynika, że istnieje element h₁ ∈ H, spełniający równość hg = gh₁. Zatem g⁻¹hg = g⁻¹gh₁ = h₁ ∈ H, czyli g⁻¹Hg ⊆ H.

2 ⇒ 3 Niech g ∈ G. Z założenia wynika, że g⁻¹Hg ⊆ H oraz gHg⁻¹ ⊆ H. Tak więc H = g⁻¹(gHg⁻¹)g ⊆ g⁻¹Hg, czyli ostatecznie zachodzi równość g⁻¹Hg = H.

3 ⇒ 1 Niech g ∈ G. Z założenia g⁻¹Hg = H wynika, że gH = g(g⁻¹Hg) = Hg, czyli Hg = gH dla dowolnego elementu g ∈ G. Tak więc H G. □

Niech H G. Wprowadźmy oznaczenie [a] = aH = Ha. Oznaczmy zbiór wszystkich warstw podgrupy normalnej H przez G/H. Udowodnimy, że G/H ma naturalną strukturę grupy. Określmy działanie mnożenia warstw równością

Zauważmy, że definicja ta jest poprawna (to znaczy nie zależy od wyboru reprezentantów warstw). Niech [a] = [a₁] oraz [b] = [b₁]. Wówczas istnieje taki element h ∈ H, że h = a₁a⁻¹, a więc

Działanie mnożenia warstw jest łączne. Niech bowiem [a],[b],[c] ∈ G/H. Wówczas

Elementem neutralnym jest warstwa [e] = H, zaś elementem odwrotnym do warstwy [a] jest [a⁻¹]. Otrzymaną grupę nazywa się grupą ilorazową względem podgrupy normalnej H.

Homomorfizmy grup

Niech G i G′ będą grupami. Odwzorowanie f : G → G′ nazywa się homomorfizmem grup, jeżeli

dla a,b ∈ G. Odnotujmy, że w powyższej równości po lewej stronie jest działanie w grupie G, a po prawej działanie w G′. Homomorfizm jest zatem funkcją między grupami zachowującą działania w tych grupach. Zauważmy, że f(e) = f(ee) = f(e)f(e). Mnożąc obie strony ostatniej równości przez f(e)⁻¹, otrzymujemy, że f(e) = e′, gdzie e′ oznacza element neutralny grupy G′. Rozważmy podzbiór kerf wszystkich elementów grupy G odwzorowywanych na e′, czyli

Podzbiór kerf nazywany jest jądrem homomorfizmu f. Z definicji oraz Stwierdzenia 2 wynika, że kerf jest dzielnikiem normalnym w G.

Lemat 2.1. Homomorfizm f : G → G′ jest odwzorowaniem różnowartościowym wtedy i tylko wtedy, gdy kerf = .

Dowód. Jeżeli f jest odwzorowaniem różnowartościowym, to oczywiście kerf = . Przypuśćmy, że kerf = oraz f(a) = f(b). Wtedy f(ab⁻¹) = f(a)f(b⁻¹) = f(a)f(b)⁻¹ = e′, a więc ab⁻¹ ∈ kerf. Oznacza to, że ab⁻¹ = e, czyli a = b. □

Homomorfizmy różnowartościowe nazywa się monomorfizmami grup. Łatwo sprawdzić, że obraz odwzorowania f, Im(f) = , jest podgrupą w G′. Jeżeli Im(f) = G′, to f nazywa się epimorfizmem. Zgodnie z terminologią przyjętą w rozdziale 1, homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem nazywa się izomorfizmem grup. Grupy izomorficzne oznaczamy symbolem G G′.

Zauważmy, że jeżeli H G, to odwzorowanie ηH: G → G/H dane wzorem

jest homomorfizmem odwzorowującym G na grupę ilorazową G/H. Istotnie,

Ponadto kerηH = = = H. Homomorfizm ηH nazywa się kanonicznym epimorfizmem grupy G na grupę ilorazową G/H.

Twierdzenie 2.1 (Twierdzenie o izomorfizmie). Niech f : G → G′ będzie homomorfizmem grup oraz H = kerf. Wówczas istnieje dokładnie jeden monomorfizm f′: G/H → G′spełniający równość f′ ηH = f.

W szczególności grupy G/H oraz Im(f) są izomorficzne.

Dowód. Odwzorowanie f′ określamy wzorem f′([g]) = f(g). Zauważmy, że definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów warstw. Niech bowiem [g] = [g₁]. Wówczas g₁ = hg dla pewnego h ∈ H = kerf, czyli

Dla dowolnych warstw [a], [b] mamy

Jeżeli teraz [a] ∈ kerf′, to f(a) = e′, czyli a ∈ kerf = H. Oznacza to, że kerf′ = , a więc f′ jest monomorfizmem. □

Niech A,B będą podgrupami grupy G. Zbiór

nazwiemy iloczynem algebraicznym podgrup A i B.

Twierdzenie 2.2 (Drugie twierdzenie o izomorfizmie). Niech A,B będą podgrupami grupy G, przy czym B G. Wówczas AB ≤ G, A ∩ B A oraz

Dowód. Dla dowolnego a ∈ A mamy aB = Ba, ponieważ B G. Stąd wnosimy, że AB = BA. Na podstawie ćwiczenia 2.2 mamy AB ≤ G. Ponieważ B ⊆ AB, więc z definicji podgrupy normalnej wynika, że B AB. Rozważmy odwzorowanie f : A → AB/B dane wzorem f(a) = aB. Z łatwością sprawdzamy, że jest to epimorfizm grup oraz ker f = A ∩ B. Teza wynika z twierdzenia o izomorfizmie 2.1. □

Przykład 2.1. Niech C₂ = oznacza multiplikatywną grupę cykliczną rzędu 2.

1. Rozważmy funkcję f : Sn → C₂ daną wzorem:

Oczywiście f jest epimorfizmem grup oraz kerf = An. Z twierdzenia o izomorfizmie wynika zatem, że Sn/An C₂.

2. Rozważmy grupę diedralną Dn = {sihj∣i = 0,1 oraz  j = 0,1,…,n − 1}. Funkcja f : Dn → C₂ dana wzorem f(sihj) = (−1)i jest epimorfizmem grup oraz kerf = = h jest cykliczną grupą obrotów. Mamy więc Dn/ h C₂.

3. Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że funkcja det: GLn(K) → K∗ jest epimorfizmem grup, którego jądrem jest specjalna grupa liniowa SLn(K). Mamy zatem izomorfizm grup

W każdej grupie wyróżnia się dwie ważne podgrupy normalne, mierzące w pewnym stopniu jej nieprzemienność. Są nimi komutant i centrum grupy.

Komutant grupy

Dla x,y ∈ G element [x,y] = x⁻¹y⁻¹xy nazywany jest komutatorem elementów x i y. Zauważmy, że x,y są ze sobą przemienne wtedy i tylko wtedy, gdy [x,y] = e. Przez [G,G] oznaczmy podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory [x,y]. Nazwiemy ją komutantem grupy G. Tak więc

Zauważmy, że G jest grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy [G,G] = .

Stwierdzenie 2.3. Dla dowolnej grupy G jej komutant [G,G] jest zbiorem elementów postaci

gdzie m ≥ 1 oraz x₁,y₁,…,xm,ym ∈ G. Każdy element komutanta jest zatem iloczynem komutatorów.

Dowód. Oczywiście iloczyny komutatorów należą do [G,G]. Ponadto

Zatem zbiór iloczynów komutatorów jest podgrupą. □

Twierdzenie 2.3. Dla dowolnej grupy G jej komutant [G,G] jest podgrupą normalną. Ponadto dla dowolnego homomorfizmu grup f : G → H obraz Im(f) jest grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy [G,G] ⊆ kerf.

Dowód. Dla x,y,g ∈ G mamy równość

Stąd wynika, że

Na podstawie Stwierdzenia 2 stwierdzamy, że [G,G] jest podgrupą normalną.

Niech f : G → H będzie takim homomorfizmem grup, że obraz Im(f) jest grupą abelową. Wtedy dla dowolnych x,y ∈ G mamy f(x)f(y) = f(y)f(x), czyli

Stąd

a więc [x,y] ∈ kerf. Zatem [G,G] ⊆ kerf.

Załóżmy teraz, że [G,G] ⊆ kerf. Wtedy dla dowolnych x,y ∈ G

a stąd f(x)f(y) = f(y)f(x), czyli Im(f) jest grupą abelową. □

W kolejnych przykładach wyznaczymy komutanty grup symetrycznych oraz diedralnych.

Przykład 2.2. Grupa symetryczna Sn. Udowodnimy, że jeżeli n > 2, to [Sn,Sn] = An.

Dowód. Niech n > 2. Ponieważ komutator dowolnych dwóch permutacji jest permutacją parzystą, więc [Sn,Sn] ⊆ An. Zauważmy, że dowolny cykl długości 3, jest komutatorem dwóch transpozycji. Dla τ₁ = (a,b), τ₂ = (a,c) mamy równość

Tak więc cykle długości 3 należą do komutanta [Sn,Sn]. Z drugiej strony z równości

gdzie różne litery oznaczają różne elementy ze zbioru wynika, że każda permutacja parzysta jest iloczynem cykli długości 3. Stąd otrzymujemy równość

Przykład 2.3. Grupa diedralna Dn. Przypomnijmy, że

Udowodnimy, że [Dn,Dn] = h , jeżeli n jest liczbą nieparzystą oraz [Dn,Dn] = h² , jeżeli n jest liczbą parzystą.

Dowód. Niech H = h będzie podgrupą cykliczną generowaną przez h. Wówczas |Dn : H| = 2, a więc H Dn. Ponieważ Dn/H C₂, na mocy Twierdzenia 2.3 mamy inkluzję [Dn,Dn] ⊆ H. Z relacji określających Dn wynika, że [s,h] = s⁻¹h⁻¹sh = ssh² = h², czyli h² ∈ [Dn,Dn]. Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to o(h) = o(h²) = n (por. Stwierdzenie 1), a więc H = h² . Wynika stąd, że [Dn,Dn] = H w przypadku, gdy n jest liczbą nieparzystą. Załóżmy, że n jest liczbą parzystą. Ponieważ s⁻¹h²s = sh²s = h⁻¹shs = h⁻²s² = h⁻² ∈ h² , więc h² Dn oraz Dn/ h² abelową grupą rzędu 4. Z Twierdzenia 2.3 wynika teraz, że [Dn,Dn] ⊆ h² , czyli ostatecznie [Dn,Dn] = h² . □

Centrum grupy

Podgrupę Z(G) = nazywa się centrum grupy G. Oczywiście Z(G) jest podgrupą normalną oraz G jest grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy Z(G) = G. Wyznaczymy centra grup symetrycznych i diedralnych.

Przykład 2.4. Z(S₂) = S₂ oraz Z(Sn) = dla n > 2.

Dowód. Jeżeli n > 2, to dla dowolnych a,b,c ∈ mamy (a,b)(a,c) = (a,c,b)≠(a,b,c) = (a,c)(a,b). Stąd żadna transpozycja nie należy do Z(Sn). Ponadto dla cyklu (a₁,a₂,…,am) długości m ≥ 3 mamy

oraz

czyli żaden cykl długości m ≥ 3 nie należy do centrum Z(Sn). Stąd i z faktu, że każda permutacja nietożsamościowa jest iloczynem rozłącznych cykli wnosimy, że Z(Sn) = . □

Przykład 2.5. Jeżeli n = 2k jest liczbą parzystą, to Z(Dn) = . Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to Z(Dn) = .

Dowód. Ponieważ sh = h⁻¹s, żaden z generatorów s, h nie należy do centrum. Ponadto z relacji shk = h−ks wynika, że [hk,s] = h−kshks = h−2k. Tak więc elementy s i hk (gdzie 1 ≤ k < n) są przemienne ze sobą, o ile h2k = e, czyli n = 2k. Stąd wnosimy, że jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to Z(Dn) = . Jeżeli zaś n = 2k, to Z(Dn) = . □

ĆWICZENIA

2.1. Niech G będzie grupą i H G. Wykazać, że jeżeli M jest podgrupą w G/H, to M = {x ∈ G∣xH ∈M} jest podgrupą w G i H ⊆ M. Wykazać, ze jeżeli M jest podgrupą normalną w G/H, to M jest podgrupą normalną w G oraz M/H = M.

2.2. Wykazać, że jeżeli A, B są podgrupami grupy G, to zbiór AB = jest podgrupą w G wtedy i tylko wtedy, gdy AB = BA. Podać przykład nieabelowej grupy G, w której AB nie jest podgrupą dla pewnych podgrup A i B.

2.3. Wykazać, że jeżeli A, B są takimi skończonymi podgrupami grupy G, że rzędy |A| i |B| są liczbami względnie pierwszymi, to |AB| = |A|⋅|B|.

2.4. Niech A i B będą skończonymi podgrupami grupy G. Udowodnić, ze zbiór AB = {ab∣a ∈ A, b ∈ B} ma (|A|⋅|B|)/|A ∩ B| różnych elementów.

2.5. Niech G będzie grupą skończoną i załóżmy, że podgrupy A i B spełniają nierówności |A| > i |B| > . Udowodnić, że A ∩ B≠{e}.

2.6. Niech G będzie grupą taką, że (ab)i = aibi dowolnych a,b ∈ G oraz pewnych trzech kolejnych liczb naturalnych i. Wykazać, że G jest grupą abelową. Czy teza pozostanie prawdziwa, jeżeli ”trzy kolejne liczby” zastąpimy ”dwiema kolejnymi liczbami”?

2.7. Niech G będzie grupą, w której (ab)³ = a³b³ oraz (ab)⁵ = a⁵b⁵ dla wszystkich a,b ∈ G. Wykazać, że G jest grupą abelową.

2.8. Niech H będzie podgrupą grupy G oraz . Wykazać, że N jest podgrupą w G taką, że y⁻¹Ny = N dla każdego y ∈ G.

2.9. Czy prawdą jest, że jeżeli A,B są takimi podgrupami grupy G, że A B i B G, to A G? Odpowiedź uzasadnić.

2.10. Niech G będzie grupą wszystkich funkcji f : [0,1] → ℝ z działaniem dodawania funkcji. Niech H = {f ∈ G∣f() = 0}. Wykazać, że grupa ilorazowa G/H jest izomorficzna z grupą liczb rzeczywistych z dodawaniem.

2.11. Niech ℝ∗ = ℝ \{0} będzie grupą multiplikatywną ciała liczb rzeczywistych oraz niech N = {−1,1}. Wykazać, że grupa ilorazowa ℝ∗/N jest izomorficzna z grupą liczb dodatnich z działaniem mnożenia.

2.12. Wykazać, że jeżeli p > 2 jest liczbą pierwszą, to każda grupa rzędu 2p zawiera dokładnie jedną podgrupę rzędu p. Wykazać, że każda nieabelowa grupa rzędu 2p zawiera p elementów rzędu 2.

2.13. Wykazać, że jeżeli a,b ∈ G spełniają warunek aba⁻¹ = bi, to dla dowolnej liczby naturalnej r zachodzi równość arba−r = bir .

2.14. Element a ∈ G ma rząd 5, zaś element b ∈ G \{e} spełnia równość aba⁻¹ = b². Wyznaczyć rząd o(b).

2.15. Niech G i H będą grupami skończonymi, których rzędy są względnie pierwsze. Wykazać, że jedynym homomorfizmem f : G → H jest homomorfizm trywialny (tzn. f(g) = e dla każdego g ∈ G).

2.16. Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e oraz niech funkcja f : G → G spełnia równość

o ile g₁g₂g₃ = e = h₁h₂h₃. Wykazać, że istnieje taki element a ∈ G, że funkcja φ(x) = af(x) jest homomorfizmem grup.

2.17. Wykazać, że jeżeli grupa G zawiera dokładnie jeden element rzędu 2, to Z(G)≠. Czy istnieje grupa zawierająca dokładnie dwa elementy rzędu 2?

2.18. Wykazać, że jeżeli K jest ciałem, to Z(GLn(K)) K∗.