Dane oryginału
Logical Foundations of Probability
Licensed by The University of Chicago Press, Chicago, Illinois, U.S.A.
© 1950, 1962 by The University of Chicago. All rights reserved.

Okładkę przygotował Przemysław Spiechowski
na podstawie projektu Wiesława Kosińskiego.

Wydawca Mikołaj Tajchman, Sylwia Ciuła

Redaktor prowadzący Agnieszka Kowalska

Recenzent prof. dr hab. Jan Woleński

Opracowanie redakcyjne Bartosz Działoszyński

Korekta Piotr Sanetra, Nina Julia Sanetra

Indeks Grzegorz Antoszek

Produkcja Anna Bączkowska

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Publikacja finansowana w ramach programu Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego pod nazwą „Narodowy Program Rozwoju Humanistyki” w latach 2017–2024, nr projektu 22H 16 0405 84.

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA Warszawa 2024

Copyright © for the text by Uniwersytet Warszawski
Warszawa 2024

ISBN 978-83-01-22950-4

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2024 r. (Wydanie I)

Warszawa 2024

Wydawnictwo Naukowe PWN SA
02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2
tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288
infolinia: 801 33 33 88
e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Druk i oprawa: OSDW Azymut Sp. z o.o.

WSTĘP

Refleksja nad rozumowaniami, a zwłaszcza indukcją, towarzyszyła myśli naukowej od samych jej początków, a coraz bardziej systematycznie od czasu jońskich filozofów po pierwsze pełne koncepcje poznania naukowego, zwłaszcza u Arystotelesa. Jej zasadniczej roli upatrywano w dochodzeniu do wniosków wyrażających teoretycznie doniosłe prawidłowości o charakterze ogólnym na podstawie jednostkowych obserwacji. Dostrzegano też odrębność wnioskowań indukcyjnych w stosunku do wnioskowań dedukcyjnych, dla których wzorcem stały się Elementy Euklidesa, pokazujące, jak z kilku podstawowych postulatów (aksjomatów) można dowieść pozostałych twierdzeń geometrii. Tradycyjnie utrwaliło się odróżnienie indukcji jako wnioskowania od szczegółu do ogółu oraz dedukcji jako wnioskowania od ogółu do szczegółu. Średniowiecze, idąc zwłaszcza za Platonem i Arystotelesem, odziedziczyło przekonanie, że zasadniczym rodzajem wnioskowań w nauce jest dedukcja (sylogistyka), posługująca się hierarchicznym układem aksjomatów od najbardziej ogólnych do obowiązujących tylko w określonych dyscyplinach naukowych. Mimo to pojawiły się wówczas zalążki systematycznej teorii wnioskowań indukcyjnych (m.in. szkoła z Chartres, Roger Bacon), choć w bardziej systematycznej postaci rozwijano ją dopiero od czasów nowożytnych, a istotnym bodźcem do tego stała się publikacja dzieła Novum Organum (1620) Franciszka Bacona. Dzieło to było zamierzone jako nowatorskie opracowanie teorii indukcji i jako takie miało stanowić dopełnienie Organonu Arystotelesa, prezentującego sylogistykę, czyli teorię dedukcyjnych wnioskowań naukowych. John Stuart Mill w Systemie logiki dedukcyjnej i indukcyjnej (1843), traktując dedukcję i indukcję jako zasadniczo równorzędne gałęzie logiki, przedstawił rozwiniętą koncepcję wnioskowań indukcyjnych. Koncepcja indukcji zainicjowana przez Bacona i rozwijana później przez Milla obejmowała m.in. teorię indukcji eliminacyjnej, czyli wnioskowania polegającego na eliminacji kolejnych składników wyjściowej alternatywy z wyjątkiem jednego, będącego wnioskiem. Jednak w przypadku, gdy będąca główną przesłanką alternatywa jest zdaniem prawdziwym logicznie, indukcję eliminacyjną można zinterpretować jako procedurę dedukcyjną (Henryk Greniewski, Jerzy Łoś). Trudniej o taką interpretację w odniesieniu do indukcji enumeracyjnej niezupełnej, w której twierdzenie ogólne wyprowadza się na podstawie wyliczenia (wybranych) przypadków jednostkowych, zgodnych z ogólnym wnioskiem. Tego rodzaju wnioskowań dotyczy przede wszystkim problem indukcji, sformułowany przez Dawida Hume’a w dziele Badania dotyczące rozumu ludzkiego (1748). Hume w punkcie wyjścia przyjął dychotomię: wiedza jest albo pewna, ale dotyczy wówczas tylko idei konstruowanych przez umysł (np. przedmioty matematyczne), albo dotyczy faktów, ale wtedy pozbawiona jest pewności, gdyż można pojąć inny związek faktów niż ten znany z doświadczenia. Zatem wybrane przypadki jednostkowe (np. egzemplifikacje pewnej regularności czy fakty zaobserwowane w przeszłości) jako niepowiązane w sposób konieczny nie stanowią podstawy do wyprowadzenia w oparciu o nie stwierdzeń ogólnych w sposób racjonalny. Wnioskowania indukcyjne przeprowadzane są na zasadzie asocjacji, w której konieczny związek, jaki może zachodzić wyłącznie w przypadku idei umysłowych, zastępuje się psychologicznym nawykiem do stwierdzania stałego następstwa jednych zdarzeń po innych.

Immanuel Kant uznał problem indukcji za zasadnicze wyzwanie wobec wiedzy przyrodniczej, zwłaszcza zaksjomatyzowanej mechaniki Newtonowskiej. Rozwiązanie, które zaproponował, zasadzało się na wprowadzeniu kategorii apriorycznych, stanowiących warunek możliwości poznania. Późniejsi myśliciele neokantowscy, zainspirowani powstaniem fizyki relatywistycznej, wprowadzili relatywizację kategorii apriorycznych. Neokantyzm stał się jedną z istotnych inspiracji filozoficznych Carnapa, której dał szczególnie dobitny wyraz w rozprawie habilitacyjnej Logiczna struktura świata (1928/2011), ale towarzyszyła ona również późniejszym jego poglądom epistemologicznym.

Jednocześnie zakwestionowano tradycyjne przekonanie o koniecznym charakterze poznania przyrodniczego, którego nie można uznać za ukończony system wiedzy, lecz raczej za ciąg następujących po sobie teorii, z których kolejne są coraz bliższe rzeczywistości, lecz żadna z nich nie stanowi ostatecznej postaci wiedzy o świecie. W tym kontekście kwestia pewności wiedzy przyrodniczej ustąpiła miejsca pytaniu o uzasadnienie prawdopodobieństwa twierdzeń naukowych o różnym stopniu ogólności. Był to jeden z czynników inspirujących współczesne próby stworzenia nowoczesnej logiki indukcji, które podejmowano od lat dwudziestych XX w. na wzór współczesnej logiki dedukcyjnej (m.in. Jean Nicod, Richard von Mises, Hans Reichenbach, Harold Jeffreys, John Maynard Keynes). Drugim ważnym nurtem myślowym, który dostarczył narzędzi do formalizacji logiki indukcji, był rozwój podstaw teorii prawdopodobieństwa (Thomas Bayes, Pierre Laplace oraz autorzy pierwszych aksjomatycznych teorii prawdopodobieństwa, m.in. Andriej Kołmogorow i Stefan Mazurkiewicz), jak również logiki dedukcyjnej i metalogiki (George Boole, Gottlob Frege, Jan Łukasiewicz, Alfred Tarski, Ludwig Wittgenstein, Janina Hosiasson-Lindenbaum, Rudolf Carnap).

W związku z uściśleniem definicji kluczowych pojęć logiki matematycznej, jak konsekwencja czy wynikanie, zarzucono tradycyjną charakterystykę wnioskowań dedukcyjnych, a co za tym idzie, również indukcyjnych. Odniesieniem dla tego odróżnienia stała się charakterystyka dedukcji oparta na pojęciu wynikania logicznego wniosku z przesłanek, które gwarantuje prawdziwość wniosku pod warunkiem prawdziwości przesłanek. W związku z tym wnioskowania dedukcyjne określono jako niezawodne, natomiast szeroko ujmowana indukcja obejmuje wszystkie wnioskowania nie-niezawodne, np. przez analogię czy wnioskowania statystyczne, których wnioski mogą nie mieć postaci zdań ogólnych. Mimo to pojęcie indukcji, w przeciwieństwie do pojęcia dedukcji, nie ma jednak wyraźnej i powszechnie uznanej definicji. W węższym rozumieniu do wnioskowań indukcyjnych zalicza się te wnioskowania niededukcyjne, które mają określoną postać, często spotykaną w nauce. Szczególnie istotne dla poznania w naukach empirycznych są przypadki konfrontacji hipotez i praw naukowych z wynikami obserwacji oraz rozstrzygnięcie, czy oraz w jakim stopniu te pierwsze są potwierdzone przez te ostatnie.

Możliwość oraz zasadność skonstruowania teorii wnioskowań indukcyjnych zakwestionował współcześnie Karl Popper. Uznając trafność problemu indukcji sformułowanego przez Hume’a, przyjął bardziej radykalne stanowisko, że nauki empiryczne w ogóle nie posługują się rozumowaniami indukcyjnymi. Jego zdaniem wybór hipotez nie ma związku z ich stopniem prawdopodobieństwa, gdyż cenione w nauce walory hipotez, zwłaszcza ich zawartość treściowa, zapewniająca hipotezom moc predykcyjną oraz falsyfikowalność, są odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa hipotez. Ponadto, obserwacje, z którymi konfrontowane są hipotezy naukowe, błędnie, zdaniem Poppera, uznawano za niezależne od teorii oraz za punkt wyjścia indukcji. Wyróżnikiem rozumowań naukowych dla niego jest natomiast falsyfikacja jako prawomocne wnioskowanie dedukcyjne, które zmierza do obalenia śmiałej hipotezy w oparciu o dane empiryczne.

Zakwestionowanie wartości rozumowań indukcyjnych w nauce nie musi jednak oznaczać rezygnacji z teorii indukcji, czego przykładem jest tzw. behawiorystyczna interpretacja indukcji. Przyjmował ją m.in. Jerzy Spława-Neyman – później również Klemens Szaniawski – dla którego wnioskowania indukcyjne są wyznaczone przez reguły „zachowania” indukcyjnego (inductive behavior). Są to reguły podejmowania decyzji w oparciu o dane, które nie są wystarczające, by z całą pewnością uznać wniosek stwierdzający stan rzeczy, którego dotyczy podjęte działanie. Zwolennicy tej koncepcji nie kwestionują możliwości sformułowania formalnych kryteriów poprawności czy racjonalności procedury indukcyjnej, którą traktują jako formę zachowania, a nie rozumowanie.

Filozoficzne pytania dotyczące indukcji, jej uzasadnienia, zasadności i racjonalności oddziela się od pytań dotyczących logiki indukcji jako teorii poprawnego przeprowadzania wnioskowań indukcyjnych. Do czasu powstania współczesnej logiki matematycznej teoria indukcji miała charakter głównie deskryptywny i sprowadzała się zasadniczo do wyszczególniania i charakterystyki najważniejszych odmian wnioskowań indukcyjnych, jak indukcja enumeracyjna, eliminacyjna, wnioskowanie przez analogię itp. Nie formułowano kryteriów poprawności wnioskowań indukcyjnych, poprzestając na ogólnych stwierdzeniach, np. że poprawność uogólnienia indukcyjnego zależy od liczby zaobserwowanych przypadków i ich różnorodności. Podanie kanonicznej postaci logiki dedukcyjnej przez B. Russella i A. Whiteheada w Principia Mathematica, a następnie wyniki z zakresu metalogiki m.in. Alfreda Tarskiego, dostarczyły narzędzi, które wykorzystywano w próbach formalizacji logiki indukcji, posiłkując się również pojęciami z zakresu teorii prawdopodobieństwa, które adoptowano na potrzeby charakterystyki relacji zachodzących między poszczególnymi zdaniami (zwłaszcza prawdopodobieństwo warunkowe traktowane jako tzw. „wynikanie cząstkowe” jednego zdania z drugiego).

W kanonicznym aksjomatycznym ujęciu matematycznym prawdopodobieństwo jest definiowane dla zbioru zdarzeń losowych, którego elementem wyróżnionym jest m.in. zdarzenie pewne, które zawsze zachodzi, oraz zdarzenie niemożliwe, które nigdy nie zachodzi. Na elementach tego zbioru można przeprowadzać działania (suma, iloczyn, negacja), których wyniki również należą do tego zbioru, będącego algebrą Boole’a. Prawdopodobieństwo jest miarą wyrażoną jako funkcja rzeczywista dla tego zbioru, która zjawiskom spełniającym warunki przewidziane dla zbioru zdarzeń losowych przypisuje określone liczby rzeczywiste z przedziału od zera do jedności włącznie. Na ogół w teorii prawdopodobieństwa za Andriejem Kołmogorowem (1933) przyjmuje się następujące aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa P(.). Dla x, y będących elementami zbioru zdarzeń losowych oraz Ω będącego zdarzeniem pewnym zachodzą zależności: (1) 0 ≤ P(x) ≤ 1, (2) P(Ω) = 1, (3) jeżeli x ∩ y = ∅, to P(x ∪ y) = P(x) + P(y). Warunek pierwszy określa prawdopodobieństwo jako funkcję dowolnego zdarzenia losowego, która przyjmuje wartości rzeczywiste w przedziale zamkniętym między zerem a jednością włącznie. Warunek drugi stwierdza, że prawdopodobieństwo przyjmuje wartość maksymalną jedności dla zdarzenia pewnego. Warunek trzeci dotyczy sumy prawdopodobieństw dwóch zdarzeń wykluczających się, która jest równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń (suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi jeden). Zdarzenia wykluczają się, gdy ich iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym. Dla każdego zbioru zdarzeń losowych istnieje wiele funkcji spełniających te aksjomaty, gdyż nie determinują one jednej funkcji prawdopodobieństwa, ale pewną ich klasę. W zarysowanym tu ujęciu Kołmogorowa prawdopodobieństwo jest funkcją jednej zmiennej, w oparciu o którą na podstawie definicji wprowadza się funkcję dwóch zmiennych P(x, y) – tzw. prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia x pod warunkiem zajścia zdarzenia y, które często symbolicznie jest przedstawiane jako P(x|y). Prawdopodobieństwo warunkowe definiuje się następująco: dla dwóch zdarzeń x, y, gdzie P(y) > 0 (y nie jest zdarzeniem niemożliwym), prawdopodobieństwo warunkowe jest wyrażone zależnością P(x|y) = P(x ∩ y)/P(y). Dla zastosowań w logicznej teorii indukcji podstawową rolę odgrywa prawdopodobieństwo jako funkcja dwuargumentowa, którą interpretuje się jako miarę cząstkowego wynikania jednego zdania z drugiego. Dlatego też w początkach współczesnych formalnych probabilistycznych teorii indukcji chętnie wykorzystywano nie teorię Kołmogorowa, lecz polskiego matematyka Stefana Mazurkiewicza, który jako pojęciem pierwotnym w swojej aksjomatyce posługiwał się prawdopodobieństwem jako funkcją dwóch zmiennych. To ujęcie w literaturze upowszechniała od lat trzydziestych Janina Hosiasson-Lindenbaum.

Matematyczne pojęcie prawdopodobieństwa jako czysto formalne dopuszcza różne interpretacje tego pojęcia w kontekście stosowania rachunku prawdopodobieństwa do różnych dziedzin rzeczywistości, w tym w dziedzinie sądów w sensie logicznym. Podstawowym warunkiem takiego zastosowania jest to, że zbiór będący dziedziną tej funkcji, posiada własności ciała Boole’a – może być to np. zbiór stanów rzeczy, zdań lub sądów w sensie logicznym. Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa do danej dziedziny rzeczywistości wymaga określenia metody przyporządkowania konkretnym elementom tej dziedziny wartości liczbowych w taki sposób, żeby te wartości spełniały twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa. Sam rachunek prawdopodobieństwa wyznacza jedynie wartości funkcji prawdopodobieństwa dla elementu maksymalnego i minimalnego. W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa wartość funkcji prawdopodobieństwa interpretuje się jako miarę nasilenia pewnych cech przedmiotów należących do dziedziny tej funkcji. Różne interpretacje zdefiniowanego aksjomatycznie pojęcia prawdopodobieństwa są wyznaczone przez to, jaką własność ma mierzyć prawdopodobieństwo. Do najważniejszych interpretacji prawdopodobieństwa należą: klasyczna, częstościowa, subiektywna, skłonnościowa (ang. propensity) oraz logiczna.

Autorem jednej z pierwszych interpretacji prawdopodobieństwa, zwanej klasyczną z uwagi na rolę, jaką odegrała, był Pierre S. de Laplace. Powstała w kontekście gier hazardowych i stosowano ją do sytuacji, w której każda z wykluczających się możliwości ma jednakową szansę zajścia: prawdopodobieństwo wyniku określano jako stosunek tych możliwości, które są zgodne z tym wynikiem, do liczby wszystkich możliwości. Jeśli istnieje n zdarzeń prostych, wzajemnie się wykluczających i tak samo możliwych, a dane zdarzenie A jest zgodne z m spośród tych n zdarzeń prostych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A wyraża się stosunkiem m do n: P(A) = m/n. Trudnością, na jaką napotyka ta interpretacja, jest określenie pojęcia równych szans zajścia zdarzeń w sposób, który będzie niezależny od pojęcia prawdopodobieństwa. W tym celu Laplace wprowadził zasadę, określoną później jako tzw. zasada racji niedostatecznej (ang. principle of insufficient reason) lub zasada obojętności (ang. principle of indifference): wyniki mają równe szanse zajścia, jeżeli nie znamy żadnego powodu ich zajścia z różną częstością. Z uwagi na subiektywny charakter stała się ona przedmiotem kontrowersji.

Inną rozpowszechnioną interpretacją prawdopodobieństwa, zwłaszcza wśród prowadzących badania empiryczne, jest tzw. interpretacja częstościowa (lub frekwentystyczna – od ang. frequency), zainicjowana przez Johna Venna, a systematycznie rozwinięta przez Richarda von Misesa. Uznaje się, że prawdopodobieństwo dotyczy tylko nieskończonego ciągu zdarzeń, który traktuje się jako idealizację empirycznego ciągu zdarzeń (np. rzutów monetą). Dany rodzaj zdarzeń A stanowi pewien podciąg i ma on określone prawdopodobieństwo, gdy istnieje granica częstości względnej elementów A w ciągu. Jeśli A oznacza rodzaj zdarzeń występujących w ramach ciągu zdarzeń B oraz n(A) i n(B) oznaczają odpowiednio ilość pojawień się obu zjawisk, to prawdopodobieństwo A jest wyznaczone jako częstość względna A względem B, gdy B zmierza do nieskończoności: Wymóg losowości ciągu, wprowadzony przez von Misesa, został zastąpiony przez Hansa Reichenbacha i Wesleya Salmona przez postulat wyboru odpowiedniej klasy odniesienia w każdym konkretnym zastosowaniu prawdopodobieństwa, który zależy od aktualnego stanu wiedzy. Interpretacja częstościowa prawdopodobieństwa przez jej zwolenników uznawana jest za obiektywną i empiryczną, jednak, jak dobitnie wyraził to Keynes, jest ona mocno wyidealizowana: „na dłuższą metę wszyscy będziemy martwi”.

Pośrednio z częstością względną wiąże się tzw. „skłonnościowa” (ang. propensity) interpretacja prawdopodobieństwa zaproponowana przez Poppera, która prawdopodobieństwo odnosi do potencjalnej skłonności przedmiotów do określonych zachowań, które ujawniają się z określonymi częstościami. Kostka do gry ma np. potencjalną skłonność do spadania na każdy z sześciu boków z częstością bliską 1/6. Prawdopodobieństwo nie jest jednak własnością ciągu rzutów kostką, lecz cechą kostki, która jej przysługuje niezależnie od tego, czy kiedykolwiek zostanie nią wykonany jakiś rzut. Obserwowane częstości względne można traktować co najwyżej jako przejaw takiej skłonności.

Wśród interpretacji prawdopodobieństwa istnieją takie, które dotyczą tego rodzaju przedmiotów, dla których określa się relacje logiczne: zdania, sądy w sensie logicznym czy przekonania. Interpretację, która przypisuje prawdopodobieństwo zdaniom (lub sądom w sensie logicznym), określa się jako logiczną. Jest to podstawowa interpretacja dla zwolenników logiki indukcji (Keynes, Hosiasson-Lindenbaum, Rudolf Carnap). Przy tej interpretacji podstawową kategorią jest dwuargumentowa funkcja prawdopodobieństwa warunkowego P(.|.), która określa stopień potwierdzania jednego zdania przez drugie („implikacja cząstkowa”). Ten sposób interpretacji prawdopodobieństwa warunkowego zainicjował Jan Łukasiewicz, traktując je jako odwrotność relacji wynikania logicznego, jednak na gruncie logiki wielowartościowej rozwijał on interpretację frekwentystyczną na podstawie częstości względnej zdań prawdziwych. W swoich późniejszych pracach zmienił stanowisko i krytykował indukcję.

W logicznej interpretacji prawdopodobieństwa zbiór zdań danego języka traktuje się jako ciało Boole’a, w którym iloczyn interpretuje się jako koniunkcję, sumę jako alternatywę, dopełnienie jako negację, zaś elementami wyróżnionymi są prawda logiczna i fałsz logiczny – prawdopodobieństwo zdania logicznie prawdziwego jest równe jedności, a zdania logicznie fałszywego zeru. Szczególnym przypadkiem jest wynikanie logiczne jednego zdania z drugiego, gdy prawdopodobieństwo osiąga maksymalną wartość jedności, oraz obalenie jednego zdania przez drugie (falsyfikacja), gdy prawdopodobieństwo osiąga minimalną wartość zera. Dla pozostałych przypadków miarę prawdopodobieństwa często określa się jako stosunek liczby stanów rzeczy, w których prawdziwe są oba zdania, np. p i_006 q, do liczby stanów rzeczy, w których prawdziwe jest drugie zdanie q, przy założeniu, że q nie jest logicznie niemożliwe (w szczególnym przypadku oba zbiory są tożsame bądź pierwszy z nich jest pusty). Analogicznie, jeśli A(.) oraz B(.) są jednoargumentowymi predykatami, a n{.} wyraża liczność zbioru i przy założeniu niepustości zbioru {x: B(x)} przedmiotów spełniających B(.), prawdopodobieństwo warunkowe zdania A(x) względem B(x) jest określone jako stosunek ilości przedmiotów spełniających A(x) i_006 B(x) do ilości przedmiotów spełniających B(x): W odniesieniu do wnioskowań naukowych prawdopodobieństwo logiczne ma określać stopień potwierdzenia (konfirmacji) hipotezy h przez materiał (dowód) empiryczny e: P(h|e) – im wyższa wartość tego prawdopodobieństwa, tym silniejszy jest związek logiczny h oraz e, a jeśli h wynika logicznie z e, to P(h|e) ma maksymalną wartość jedności. Dla uniknięcia tzw. paradoksów wnioskowań statystycznych, Carnap rozumie dowód empiryczny e jako dowód całkowity (ang. total evidence), który obejmuje całość dotychczasowej wiedzy, w tym wszystkie istotne dla danej hipotezy obserwacje. Wymóg dowodu całkowitego, jak podkreśla, wprowadzony jest nie ze względu na brak precyzji w samym systemie (czystej) logiki indukcji, lecz ze względu na możliwe nieporozumienia przy jej zastosowaniu w danej sytuacji poznawczej. W systemie logiki indukcji bowiem każdej parze zdań przypisany jest jednoznacznie określony stopień konfirmacji. Lecz gdy ten stopień konfirmacji, np. hipotezy h ze względu na dane empiryczne e, odnosi się do określonej sytuacji poznawczej, wówczas powstaje możliwość, że dostępna jest jeszcze inna istotna wiedza, która nie została zawarta w e. W takim przypadku nie jest uzasadnione przekonanie, że h jest potwierdzone przez e w określonym stopniu, gdyż wykorzystując tę dodatkową wiedzę, wraz z e ten stopień konfirmacji może ulec zmianie. Taka możliwość zostanie natomiast wykluczona, jeśli wprowadzi się wymóg dowodu całkowitego: aby określić stopień potwierdzenia danej hipotezy w zastosowaniu logiki indukcji do danej sytuacji poznawczej, należy wykorzystać całą dostępną wiedzę, która jest istotna dla h, w sformułowaniu dowodu empirycznego e, w oparciu o który ustala się stopień konfirmacji tej hipotezy. Tego rodzaju wymóg jest zbędny w przypadku logiki dedukcyjnej, jak podkreśla Carnap, gdyż w przypadku, gdy h wynika logicznie z e oraz dany podmiot X wie, że e, wówczas może on prawomocnie uznać h, niezależnie od jakiejkolwiek innej wiedzy, jaką posiada ten podmiot. Tak określony stopień potwierdzenia, podobnie jak pojęcie wynikania logicznego, ma charakter formalny i jest zależny od struktury logicznej zdań, a nie od doświadczenia (jak ma to miejsce w przypadku prawdopodobieństwa częstościowego, które ma charakter empiryczny). Carnap, w przeciwieństwie do Keynesa, który prawdopodobieństwo określał tylko dla wybranych zdań, uważał, że możliwe jest określenie stopnia prawdopodobieństwa dla dowolnej pary zdań danego języka.

Logiczna interpretacja prawdopodobieństwa napotyka na szereg trudności. Jedną z nich jest wyznaczenie, spośród możliwych, takiego sposobu lub sposobów określania miary prawdopodobieństwa, które nie byłyby arbitralne. Drugim wyzwaniem jest wprowadzenie tej miary w taki sposób, aby możliwe było uczenie się z doświadczenia, tak aby wraz z rosnącą liczbą obserwacji zgodnych z daną hipotezą wzrastało również jej prawdopodobieństwo. Keynes uważał, że pierwszego problemu nie da się całkowicie rozstrzygnąć i że istotną rolę w przypisaniu wyjściowych wartości prawdopodobieństwa zdaniom musi odgrywać tzw. intuicja indukcyjna. Carnap, by rozwiązać oba problemy, w konstrukcji swojego systemu wykorzystał stworzone wcześniej pojęcia semantyczne, które dla bardzo prostych języków (z predykatami jednoargumentowymi) pozwalały mu na charakterystykę każdego z możliwych stanów rzeczy (opis stanu – ang. state description) oraz stanów rzeczy o takiej samej strukturze (opis struktury – ang. structure description). Opisy stanu wykluczają się parami, alternatywa wszystkich opisów stanu w danym języku jest prawdziwa logicznie oraz każde zdanie tego języka jest logicznie równoważne alternatywie tych wszystkich opisów stanu, w których ono zachodzi (jest prawdziwe). Aby określić miarę prawdopodobieństwa, wystarczy każdemu opisowi stanu przypisać liczbę z przedziału od zera do jedności w taki sposób, żeby po zsumowaniu tych wartości dla wszystkich opisów stanu otrzymać wartość równą jeden. Następnie, na podstawie definicji prawdopodobieństwa warunkowego, otrzymamy wartości funkcji konfirmacji dla dowolnej pary zdań tego języka (pod warunkiem, że drugie z nich nie jest logicznie niemożliwe, a więc że istnieje przynajmniej jeden opis stanu, w którym ono zachodzi).

Rozwiązanie, które opierałoby się na zasadzie obojętności Laplace’a i polegałoby na przypisaniu tej samej wartości każdemu z opisów stanu, nie rozwiązuje jednak drugiej ze wspomnianych trudności. Hipoteza miałaby zawsze tę samą wartość potwierdzenia niezależnie od tego, ile przypadków ją potwierdzających zostałoby wskazanych w dowodzie empirycznym. Mówiąc inaczej, takie rozwiązanie nie dawałoby możliwości uczenia się z doświadczenia – hipoteza miałaby zawsze ten sam stopień potwierdzenia, niezależnie od tego, ile dokonano by obserwacji ją potwierdzających. Między innymi dlatego Carnap wprowadził kategorię opisów struktury jako strukturalnie izomorficznych opisów stanu i to im właśnie przypisał te same wartości prawdopodobieństw. Carnap początkowo skłaniał się ku definicji jednej funkcji miary prawdopodobieństwa. W późniejszych pracach zdefiniował klasę takich funkcji za pomocą parametru, który interpretował jako stopień ostrożności indukcyjnej, a którego wartość jest wyznaczana każdorazowo na potrzeby konkretnej aplikacji. Ten temat jest rozwinięty szczegółowiej poniżej.

Przedmiotem dyskusji jest to, czy i w jakim stopniu od lat sześćdziesiątych Carnap przeszedł od logicznej interpretacji prawdopodobieństwa do jego interpretacji subiektywnej, w której prawdopodobieństwo jest rozumiane jako miara siły przekonania o prawdziwości zdania. Za przejaw siły przekonania uznaje się tu zwykle zachowania ujawniane podczas podejmowania zakładów, a maksymalna wartość stawki, którą uczestnik jest gotów wpłacić do wspólnej puli zakładu i którą traktuje, jako uczciwą, reprezentuje miarę jego stopnia przekonania o prawdziwości zdania opisującego wynik tego zakładu. W ten sposób zakłady wyznaczają wartości tzw. funkcji przekonań osoby X. Ujawnione w ten sposób preferencje danej osoby mogą zostać potraktowane jako miara probabilistyczna, pod warunkiem że są one zgodne (ang. coherent), czyli nie narażają tej osoby na ujemne saldo w serii zakładów niezależnie od tego, jaki stan rzeczy zajdzie. Takie preferencje są uznawane za nieracjonalne, gdyż niezależnie od wyniku zakładu jest pewne, że dana osoba z całą pewnością straci w tej serii zakładów. Frank P. Ramsey i Bruno de Finetti udowodnili twierdzenie, że warunkiem koniecznym i wystarczającym zgodności preferencji jest to, aby spełniały one twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa, co jest traktowane w tej interpretacji prawdopodobieństwa jako sytuacja analogiczna do niesprzeczności w logice dedukcyjnej. Różne wersje subiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa są zależne od tego, czy – i ewentualnie jakie – wprowadza się dodatkowe wymogi w stosunku do stopni przekonań, oprócz aksjomatów prawdopodobieństwa. Tę interpretację prawdopodobieństwa wprowadzili Ramsey oraz de Finetti, a upowszechnił ją wśród statystyków Leonard J. Savage.

Niezależnie od preferowanej interpretacji prawdopodobieństwa dość powszechnie wśród epistemologów i logików przyjmuje się, że przekonania cząstkowe, co do których nie ma absolutnej pewności o ich wartości logicznej prawdy lub fałszu, należy reprezentować za pomocą narzędzi opracowanych w ramach teorii prawdopodobieństwa.

W początkowej fazie rozwijania logiki indukcji przez neopozytywistów dominowało stanowisko Reichenbacha, który swoją koncepcję opierał na prawdopodobieństwie częstościowym, traktowanym tu jako względna częstość zdań prawdziwych w zbiorze zdań danego rodzaju. Halina Mortimer za zasadniczą wadę uzależniania reguł indukcji od tak rozumianego prawdopodobieństwa uznała to, że oszacowanie takiego prawdopodobieństwa zdań wymaga uprzedniego przyjęcia pewnych reguł indukcji. Inspiracją do budowania teorii indukcji bazującej na interpretacji logicznej stały się spostrzeżenia Ludwiga Wittgensteina, które jako pierwszy systematycznie starał się rozwinąć jego uczeń Friedrich Waismann, a od lat czterdziestych kontynuował je Carnap, publikując pierwsze wyniki w artykułach, a następnie nadając im usystematyzowaną postać w monografii Logiczne podstawy prawdopodobieństwa, której pierwsze wydanie ukazało się w 1950 r. (drugie w 1962 r.), a bezpośrednią kontynuacją była niewielka książka The Continuum of Inductive Methods, opublikowana w 1952 r., oraz późniejsze prace, publikowane we współpracy m.in. z Richardem Jeffreyem, Johnem Kemenym oraz Wolfgangiem Stegmüllerem. Carnap zaprezentował w nich systematycznie rozwiniętą logikę indukcji, opracowaną na podstawie logicznej interpretacji prawdopodobieństwa jako miary stopnia potwierdzania (konfirmacji) jednego zdania przez drugie.

Projekt, któremu Carnap poświęcił resztę swojego życia, traktował jako egzemplifikację nowej metody filozoficznej, określanej przez niego jako „eksplikacja” – pojęcie to pojawia się już w jego artykułach publikowanych w latach czterdziestych, ale jego pierwszy systematyczny wykład rozpoczyna Logiczne podstawy prawdopodobieństwa, chociaż – jak podkreśla Carnap – ten metodologiczny wstęp stanowi poniekąd samodzielną całość, niezależną od pozostałej części książki, która jest egzemplifikacją tej metody tylko na jednym z przykładów. Stanowi ona alternatywę wobec dwóch przeciwstawnych nurtów brytyjskiej filozofii analitycznej: analizy za pomocą języka potocznego (George Moore) oraz analizy za pomocą języka logiki (Russell). Eksplikacja jest pomyślana jako metoda konstrukcji, a nie analizy czy rozbioru logicznego znaczenia wyrażeń. Polega ona zasadniczo na zastąpieniu niejasnego i nieprecyzyjnego pojęcia (eksplikandum) przez nowo skonstruowane jasne i precyzyjne pojęcie (eksplikat). Właściwą procedurę eksplikacji, jaką jest konstruowanie eksplikatu, poprzedza faza wstępna, polegająca na dookreśleniu eksplikandum w jego typowym kontekście dotychczasowego użycia w języku potocznym lub (niedojrzałym) naukowym. Pozwala to na oddzielenie zamierzonych sposobów użycia, które zostaną włączone do eksplikacji, od niezamierzonych, które zostaną wykluczone z dalszego procesu. Eksplikacja zawsze jest umotywowana określonym celem, jakiemu ma służyć nowe pojęcie, w związku z czym dopuszczalne są różne eksplikacje tego samego eksplikandum. Eksplikacja powinna spełniać kilka podstawowych wymogów. Powinna zapewniać precyzję eksplikatu, co wiąże się z wykorzystaniem jasnego i precyzyjnego aparatu pojęciowego, który został opracowany niezależnie od danej eksplikacji. Eksplikacja powinna również zachować podobieństwo znaczeniowe eksplikatu i eksplikandum, tak aby eksplikat zachował istotne użycia eksplikandum. Choć niemożliwe jest przeprowadzenie eksplikacji w taki sposób, by eksplikat i eksplikandum były synonimiczne bądź równozakresowe, a więc eksplikat może wykluczać niektóre z dopuszczalnych użyć eksplikandum, zwłaszcza gdy wiąże się to z celem przeprowadzenia eksplikacji. Kolejnym wymogiem w stosunku do eksplikacji jest jej owocność, związana z tym, że eksplikat znajduje istotne zastosowania w języku naukowym do formułowania nowych powiązań z dotychczasowymi terminami języka naukowego, czego nie można powiedzieć o eksplikandum. Eksplikat powinien również charakteryzować się prostotą w porównaniu z eksplikandum, ale to kryterium ma charakter wtórny i dotyczy tylko przypadków, gdy istnieją alternatywne wersje eksplikatu, różniące się między sobą stopniem złożoności. Na ogół eksplikacja będzie wiązała się z przejściem od pojęcia jakościowego lub porównawczego do pojęcia ilościowego. Zasadniczym krokiem w eksplikacji jest formalizacja, czyli konstrukcja systemu formalnego dla pojęć danej teorii w postaci systemu aksjomatycznego. Kolejnym krokiem jest podanie interpretacji terminów pierwotnych tego systemu w postaci reguł określających ich zamierzone znaczenie. Ten drugi krok odgrywa szczególnie istotną rolę poza obszarem wiedzy matematycznej w naukach empirycznych. Peter Strawson zarzucił metodzie eksplikacji, że poprzez zastąpienie eksplikandum przez eksplikat pomija ona właściwy problem filozoficzny i dokonuje się przez to zmiana tematu. W odpowiedzi Carnap podkreślił, że w tradycyjnym podejściu do problemów filozoficznych formułuje się je w języku potocznym, z całą towarzyszącą temu niejasnością i brakiem precyzji, co w wielu przypadkach oznacza, że same problemy i leżące u ich podstaw intuicje potoczne mają źródło w braku precyzji i niejasności języka potocznego. Po zastosowaniu do tych problemów bardziej precyzyjnego języka jest możliwe, że pierwotny problem zniknie lub zostanie zastąpiony przez problem sformułowany w sposób jasny i precyzyjny, co wskazuje, iż pierwotny problem był pozorny. Carnap był przeciwny poglądowi, że obecna wersja języka potocznego jest konstytutywnym składnikiem ludzkiego poznania. Nie powinno się wyróżniać tego języka i uważać innych form językowych (w tym sztucznie konstruowanych) za jedynie wtórne wobec aktualnie używanego języka potocznego, a sama granica między nimi jest dość płynna. Willard V. Quine, który początkowo odrzucał pojęcie eksplikacji, ostatecznie posługiwał się nim w dość radykalnej postaci jako eliminacji.

Logiczne podstawy prawdopodobieństwa stanowią egzemplifikację opisanej w części pierwszej metody eksplikacji. Kluczowym osiągnięciem wstępnego etapu tej metody jest wyodrębnienie dwóch różnych pojęć prawdopodobieństwa jako eksplikandów. Pierwsze z tych pojęć, określane przez Carnapa jako „prawdopodobieństwo₁”, oznacza stopień potwierdzenia hipotezy h przez dowód empiryczny e. Jest to pojęcie logiczne, a dotyczące go zdania są analityczne. Z kolei „prawdopodobieństwo₂” oznacza empiryczne pojęcie częstości względnej, a dotyczące go zdania mają charakter faktualny, gdyż ich prawdziwość jest uwarunkowana zajściem określonego stanu rzeczy. Dotychczasowe polemiki zwolenników obu pojęć Carnap uznał za jałowe, gdyż wynikały one z braku świadomości możliwości różnego wyeksplikowania obu z nich, uwzględniając różne istotne funkcje, jakie pełnią one w nauce. Opracowana w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa eksplikacja prawdopodobieństwa₁ jako ilościowego stopnia potwierdzania (stopnia konfirmacji) spełnia, zdaniem Carnapa, wymienione w części pierwszej tej książki wymogi stawiane eksplikacji. Przebiega ona zasadniczo dwuetapowo. Pierwszy etap polega na określeniu możliwie szeroko zakrojonej klasy funkcji konfirmacji, którą Carnap określa jako regularne funkcje konfirmacji, czyli takie, które bazują na takich rodzajach miary prawdopodobieństwa, które wszystkim logicznie niesprzecznym światom możliwym (opisom stanu w układach językowych Carnapa) przypisują niezerowe wartości. Drugi etap polega bądź na wskazaniu jednej funkcji w tej klasie, bądź podklasy takich funkcji scharakteryzowanych przez określony parametr. W artykułach z lat czterdziestych oraz w pierwszym wydaniu Logicznych podstaw prawdopodobieństwa (1950) Carnap skłaniał się ku wyróżnieniu jednej funkcji konfirmacji, w szczególności 𝔠*, która jest uogólnieniem tzw. reguły prostej, znanej z prac Laplace’a oraz Łukasiewicza, który podał jej postać uogólnioną. Poczynając od The Continuum of Inductive Methods z 1952 r., Carnap skłaniał się ku drugiemu rozwiązaniu, w którym podklasa funkcji konfirmacji jest scharakteryzowana przez parametr λ, traktowany jako wyznacznik ostrożności indukcyjnej – od wartości tego parametru zależy, jaką wagę w wyznaczeniu wartości stopnia konfirmacji będzie miał czynnik empiryczny, a jaką czynnik logiczny (aprioryczny). W skrajnych przypadkach wartość parametru λ jest wyłącznie funkcją ilości predykatów pierwotnych danego języka (czynnik czysto aprioryczny), bądź jest ona wyłącznie funkcją częstości względnej (czynnik czysto empiryczny). W pozostałych przypadkach oba czynniki, w mniejszym lub większym stopniu, mają wpływ na wartość parametru λ.

W przeciwieństwie do wcześniejszych prób, zwłaszcza Keynesa, Carnap opracował metodę, która pozwalała efektywnie obliczyć wartości prawdopodobieństwa logicznego dla wszystkich zdań określonego języka w sposób zależny tylko od struktury logicznej zdań. Jednak ograniczeniem owocności tej eksplikacji stopnia konfirmacji zdań jest fakt, że dotyczy ona języków o bardzo prostej strukturze. Takie założenie Carnap uzasadniał początkową fazą prac nad logiką indukcji i przewidywał na etapie późniejszym rozszerzenie tej teorii na bardziej złożone języki, tak aby umożliwić reprezentowanie w pełnym zakresie pojęć wykorzystywanych w operacjach arytmetycznych oraz naukach przyrodniczych.

Tego rodzaju język, dla którego Carnap definiuje prawdopodobieństwo, oprócz spójników i kwantyfikatorów zawiera zasadniczo tylko dwa rodzaje stałych pozalogicznych. Są to nazwy indywiduowe przedmiotów należących do uniwersum dyskursu, do których odnosi się dany język. Przy czym każdy przedmiot jednostkowy w tym uniwersum ma jedną nazwę, a ich liczba może być skończona lub nie, co wyznacza w koncepcji Carnapa dwa zasadnicze rodzaje systemów językowych. Drugi rodzaj stałych to liczba κ predykatów jednoargumentowych Pκ(x), czyli wyrażeń reprezentujących cechy przedmiotów jednostkowych. Również w tym przypadku to upraszczające założenie Carnap przyjmował ze względu na wstępny charakter teorii indukcji, planując w późniejszych pracach wprowadzenie predykatów dwu- i wieloargumentowych, które reprezentowałyby relacje między przedmiotami. Carnap szczególną rolę w swojej teorii przypisał tzw. Q-predykatom, czyli predykatom złożonym za pomocą spójników logicznych, stanowiących koniunkcje wszystkich predykatów prostych bez powtórzeń, poprzedzone znakiem negacji lub nie. Poszczególne Q-predykaty danego języka różnią się między sobą rozkładem negacji wśród predykatów prostych. W związku z tym liczba π różnych Q-predykatów w danym języku jest wyznaczona przez liczbę predykatów prostych następującą zależnością: π = 2κ. W najprostszym przypadku języka, zawierającego tylko jeden predykat prosty, wystąpią dwa Q-predykaty (predykat prosty z negacją lub bez), a w języku zawierającym dwa predykaty proste P1(x) oraz P2(x), wystąpią cztery Q-predykaty mające postać koniunkcji tych dwóch predykatów prostych, poprzedzonych znakiem negacji bądź nie (brak negacji przy obu, negacja tylko przed pierwszym bądź drugim, bądź przed obydwoma). Ponieważ każdy przedmiot w uniwersum musi mieć jedną z cech wyznaczonych przez Q-predykaty danego języka i żaden przedmiot nie posiada dwóch takich cech, Q-predykaty wyznaczają podział logiczny przedmiotów występujących w uniwersum na podzbiory, zwane Q-zbiorami, które są parami rozłączne, a ich suma stanowi zbiór uniwersum. Dowolny predykat Mj(x) języka, niezależnie, czy jest to predykat prosty czy też złożony z predykatów prostych za pomocą spójników logicznych, jest równoważny pewnej alternatywie Q-predykatów. Każdy system językowy, którego dotyczy logika indukcji Carnapa, jest charakteryzowany przez liczbę π Q-predykatów oraz przez liczbę nazw stałych indywiduowych jednoznacznie przypisanych do wszystkich przedmiotów uniwersów, co m.in. pozwala na kombinatoryczne ustalenie liczby wszystkich dopuszczalnych możliwości w systemach skończonych.

Carnap wyodrębnił zasadniczo dwie grupy systemów językowych w zależności od liczby nazw indywiduowych: skończone N (𝔏N) oraz nieskończone (𝔏∞). W każdym z nich kluczową rolę odgrywają dwa rodzaje zdań, od których bezpośrednio zależy sposób wyznaczenia wartości prawdopodobieństwa w tych systemach językowych. Carnap określa je jako opisy stanów (state descriptions), które należy traktować jako opisy stanu świata, oraz opisy struktury (structure descriptions), które grupują strukturalnie izomorficzne opisy stanu. Opisem stanu jest tak skonstruowana koniunkcja predykatów pierwotnych danego systemu językowego, aby każdemu przedmiotowi z uniwersum tego systemu przypisać dany predykat bądź jego negację. Jest to więc zupełny opis wszystkich przedmiotów danego uniwersum, który dla każdej możliwej w tym systemie językowym cechy określa, czy dany przedmiot ją posiada, czy nie.

Opis stanu jest syntaktycznie zdefiniowanym światem możliwym w danym systemie językowym i stanowi pierwowzór światów możliwych, które semantycznie zdefiniował później Saul Kripke dla semantyki modalnej, wprowadzając do niej relację dostępności między poszczególnymi światami. W swoich późniejszych pracach również Carnap zmodyfikował sposób definiowania opisów stanu, posługując się kategoriami semantycznymi. Każdy opis stanu stanowi zupełną charakterystykę uniwersum w danym systemie językowym, gdyż stwierdza o uniwersum wszystko, co da się wyrazić w tym systemie językowym, i każde możliwe zdanie tego systemu językowego jest albo niezgodne z danym opisem stanu, albo z niego wynika. W związku z tym każdy opis stanu wyznacza logicznie możliwą, zupełną charakterystykę świata uniwersum (złożonego z N indywiduów), czyli jeden z kombinatorycznie możliwych światów. Ponieważ każde dwa różne opisy stanu są ze sobą logicznie niezgodne, więc świat uniwersum może być zgodny tylko z jednym z tych opisów (światów możliwych). Ponadto świat uniwersum musi być zgodny z jednym opisem stanu, ponieważ zbiór wszystkich opisów stanu wyczerpuje wszystkie możliwości logiczne co do tego, jaki jest świat uniwersum. Carnap w ten sposób sformalizował wyrażoną przez Leibniza ideę światów możliwych, która była inspiracją wcześniejszych pomysłów Wittgensteina i Waismanna, dotyczących wyznaczania równoprawdopodobnych możliwości na drodze analizy logicznej.

Każdy opis stanu przyporządkowuje dowolny przedmiot uniwersum do określonego Q-zbioru. Różne opisy stanu przypisują te same przedmioty do różnych Q-zbiorów, wobec czego nieistotna jest różnica w kolejności członów koniunkcji. Zatem liczba wszystkich różnych od siebie opisów stanu w danym systemie językowym jest równa r = πN, gdzie liczba π Q-predykatów jest wyznaczona przez liczbę predykatów pierwotnych w danym języku i wynosi 2κ. Zatem liczba opisów stanu (światów logicznie możliwych) dla uniwersum zawierającego N przedmiotów jednostkowych jest równa r = πN.

Załóżmy, że system językowy 𝔏₃ składa się z dwóch predykatów pierwotnych (κ = 2), np. P₁(x) – „x jest niebieski” oraz P₂(x) – „x jest kwadratowy”, oraz z trzech przedmiotów jednostkowych (N = 3) a, b, c. W tym systemie językowym każde z trzech indywiduów jest charakteryzowane pod względem dwóch cech wyrażonych za pomocą predykatów pierwotnych, w związku z czym otrzymujemy cztery możliwe Q-predykaty: Q₁: P₁(x) i_007 P₂(x); Q₂: P₁(x) i_007 ¬P₂(x); Q₃: ¬P₁(x) i_007 P₂(x); Q₄: ¬P₁(x) i_007 ¬P₂(x), które charakteryzują dany przedmiot pod względem (nie)posiadania każdej z możliwych cech (np. Q₁ – dany przedmiot jest niebieski i kwadratowy, Q₄ – dany przedmiot nie jest niebieski i nie jest kwadratowy). Opis stanu jest koniunkcją Q-predykatów dla każdego z przedmiotów danego uniwersum, zatem łączna liczba wszystkich możliwych opisów stanu (światów możliwych) w przypadku tego systemu językowego wynosi r = πN = (2²)³ = 64. Przykładowe opisy stanu to: Q₁(a) i_007 Q₁(b) i_007 Q₁(c) (wszystkie przedmioty są niebieskie i kwadratowe); Q₁(a) i_007 Q₂(b) i_007 Q₁(c) (przedmioty a i c są niebieskie i kwadratowe, a przedmiot b jest niebieski i nie jest kwadratowy); Q₄(a) i_007 Q₄(b) i_007 Q₄(c) (żaden przedmiot nie jest niebieski ani kwadratowy). Z uwagi na to, że opisy stanu określają rozkład cech dla poszczególnych przedmiotów w uniwersum, Carnap określa je jako opisy indywiduowe i przeciwstawia opisom struktury traktowanym jako opisy statystyczne, gdyż informacja o poszczególnych indywiduach nie jest w nich uwzględniona, natomiast określona jest tylko liczba poszczególnych Q-predykatów, które występują w opisach stanu. Tego rodzaju opisy izomorficzne pod względem struktury z pominięciem rozkładów wśród poszczególnych indywiduów Carnap określił mianem opisów struktury. Opis struktury jest więc alternatywą wszystkich opisów stanu o tej samej liczbie poszczególnych Q-predykatów. Każdy opis struktury jest pewną charakterystyką świata uniwersum, ale mniej dokładną niż opis stanu, gdyż jest to charakterystyka statystyczna. Jak zauważył Sandy Zabell, w zasadzie ten sam pomysł sformułował jeszcze w latach dwudziestych angielski filozof William E. Johnson. W powyższym przykładzie, gdzie były 64 możliwe opisy stanu, występuje s = 20 różnych opisów struktury, np. Q₁(a) i_007 Q₁(b) i_007 Q₁(c) obejmuje tylko jeden opis stanu, gdy wszystkie przedmioty są charakteryzowane przez ten sam Q-predykat; z kolei opis struktury {Q₂(a) i_007 Q₂(b) i_007 Q₄(c)} V {Q₂(a) i_007 Q₄(b) i_007 Q₂(c)} V{Q₄(a) i_007 Q₂(b) i_007 Q₂(c)} obejmuje trzy opisy stanu, w których dwa przedmioty są charakteryzowane przez Q₂ a jeden przez Q₄. Przypadek opisu struktury, w którym każdy przedmiot jest charakteryzowany przez inny Q-predykat (np. Q₁, Q₃, Q₄), obejmuje sześć opisów stanu.

Opisy stanu Carnap oznacza symbolem „ℨ” (czyli „Z”), zaś opisy struktury symbolem „𝔖𝔱𝔯” (czyli „Str”). Każde dwa różne opisy ℨ są ze sobą logicznie niezgodne, a więc nie mogą być oba prawdziwe (w terminologii Carnapa są one parami „L-rozłączne”), natomiast spośród wszystkich opisów stanu jeden jest prawdziwy, ponieważ zbiór wszystkich opisów ℨ wyczerpuje zbiór wszystkich logicznie możliwych opisów stanu uniwersum w danym systemie językowym (w terminologii Carnapa są one „L-alternatywne”). Te same własności mają opisy statystyczne. Ponadto dowolne zdanie danego systemu językowego jest logicznie równoważne alternatywie pewnych opisów stanu ℨ, które są z tym zdaniem zgodne (w których ono zachodzi). Alternatywę opisów indywiduowych równoważną danemu zdaniu Carnap nazywa normalną postacią tego zdania, zaś zbiór wszystkich opisów stanu ℨ występujących w postaci normalnej określa jako zakres logiczny tego zdania. Jeśli więc zdanie p wynika logicznie ze zdania q, to zakres logiczny q zawiera się w zakresie p; gdyby bowiem istniał taki opis ℨ, który należałby do zakresu q, ale nie należałby do zakresu p, to istniałaby taka możliwość logiczna, że q jest prawdziwe, zaś p fałszywe (taki możliwy świat, w którym q jest prawdziwe, a p fałszywe); co jest wykluczone przez fakt, że zdanie p wynika ze zdania q. Gdyby natomiast zdania p i q były logicznie niezgodne, to nie istniałby możliwy stan uniwersum, w których oba te zdania byłyby prawdziwe, a więc żaden ℨ nie może należeć jednocześnie do zakresu p i q; zakresy p i q w takim przypadku są rozłączne. W pozostałych przypadkach, gdy p i q są logicznie zgodne, ale nie zachodzi między nimi relacja wynikania logicznego, ich zakresy logiczne zachodzą na siebie w większym lub mniejszym stopniu. Oznacza to, że istnieją pewne opisy stanu, które należą do zakresu każdego z tych zdań, ale istnieją również takie opisy stanu, które należą tylko do zakresu p, i takie, które należą tylko do zakresu q. Miarę związku logicznego, jaki zachodzi między dwoma zdaniami danego systemu językowego, Carnap określa za Waismannem za pomocą zakresów obu zdań i uznaje ją za uogólnienie pojęcia wynikania logicznego (wynikanie cząstkowe), ponieważ osiąga ona maksimum, gdy p wynika z q, zaś minimum, gdy p i q są logicznie niezgodne, natomiast pomiędzy tymi skrajnymi wartościami mieszczą się różne stopnie pośrednie, zależnie od tego, jaki jest stosunek zakresów obu zdań. Carnap posłużył się tu ideą Waismanna, traktując prawdopodobieństwo logiczne jako miarę stopnia zachodzenia na siebie zakresów logicznych zdań. Tę miarę Carnap określa jako stopień konfirmacji i oznacza symbolem 𝔠(.|.): 𝔠(p|q) = 𝔪(p i_007 q)/𝔪(q), gdy 𝔪(q) > 0 (q nie jest zdaniem logicznie niemożliwym). Funkcja konfirmacji 𝔠 jest funkcją dwuargumentową (prawdopodobieństwo warunkowe) jako miara związku logicznego dwóch zdań: wartość 𝔠(p|q) ma reprezentować stopień konfirmacji zdania p przez zdanie q, który jest uwarunkowany wyłącznie związkiem zakresów tych zdań i który odzwierciedla związek logiczny pomiędzy tymi zdaniami.

W podobny sposób, jak w przypadku definicji prawdopodobieństwa warunkowego w systemie Kołmogorowa, Carnap definiuję dwuargumentową funkcję stopnia konfirmacji przez jednoargumentową funkcję miary 𝔪(p), spełniającą aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa. Miara 𝔪(p) jest prawdopodobieństwem pierwotnym zdania p, którego wartość jest ustalana niezależnie od dostępnych dowodów empirycznych, a więc jest to tzw. prawdopodobieństwo pierwotne (ang. a priori probability). Z uwagi na to, że dla każdego zdania danego systemu językowego można podać jego postać normalną w postaci alternatywy opisów stanu, które są rozłączne, więc po określeniu dla każdego opisu stanu ℨ ich wartości miary 𝔪(ℨ), wartość 𝔪(p) dla każdego zdania p jest po prostu równa sumie wartości 𝔪(ℨ) dla wszystkich opisów stanu ℨ, które występują w postaci normalnej zdania p. Alternatywa wszystkich opisów stanu w danym systemie językowym jest zdaniem logicznie prawdziwym, więc wartość miary 𝔪(.) jest dla tej alternatywy maksymalna i równa jedności. Aby miara 𝔪(.) dla zdań danego układu językowego spełniała aksjomaty prawdopodobieństwa, należy określić wartości 𝔪(.) dla wszystkich opisów stanu w tym układzie językowym w taki sposób, żeby każda wartość 𝔪(.) dla każdego opisu stanu była liczbą z przedziału od 0 do 1 i żeby suma wszystkich tych wartości była równa 1. Z uwagi na to, że istnieje wiele sposobów określenia tej miary, powstaje problem, jak przypisać te wartości w sposób niearbitralny.

Carnap zawęził klasę miar, które mają być podstawą logiki indukcji, do tzw. miar regularnych, czyli takich, które każdemu z logicznie możliwych stanów w danym uniwersum przypisują wartość niezerową. W Logicznych podstawach prawdopodobieństwa Carnap wyszczególnił kilka takich miar regularnych, m.in. funkcje 𝔪†(.) oraz 𝔪*(.). Wartości funkcji 𝔪†(.) bazują bezpośrednio na ilości opisów stanu w danym układzie językowym i są równe dla każdego opisu stanu. Zatem w podanym wcześniej przykładzie każdy z r = 64 opisów stanu będzie miał przypisaną miarę 𝔪†(.) równą 1/r, czyli 1/64. Pojawia się tu jednak wspomniany wcześniej problem braku możliwości uczenia się. Funkcja stopnia konfirmacji zdefiniowana została w oparciu o 𝔪†(.) z uwzględnieniem zakresu wspólnego dla h i e oraz e następująco: 𝔠†(h|e) = 𝔪†(h i_007 e)/𝔪†(e). Tak zdefiniowana funkcja konfirmacji będzie wskazywać tę samą wartość potwierdzenia h dla e niezależnie od tego, jak liczne będą przypadki zgodne z tą hipotezą, które zostały zaobserwowane i ujęte w dowodzie empirycznym e: 𝔠†(h|e) = 𝔠†(h|t), gdzie t jest zdaniem prawdziwym logicznie (tautologią). Innymi słowy, funkcja 𝔠†(h|e) nie pozwala na reprezentowanie uczenia się z doświadczenia, co Carnap określa jako nierelewancję dowodów empirycznych dla stopnia konfirmacji hipotezy, który pozostanie taki sam, jak w przypadku braku wiedzy empirycznej (taka wiedza zawiera tylko tautologie logiczne). Jest to jeden z powodów, dla których Carnap w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa skłaniał się ku innej funkcji stopnia konfirmacji 𝔠*(h|e), opartej na funkcji miary 𝔪*(.). Wartości tej ostatniej funkcji zależą od dwóch czynników: 1) ilości s różnych opisów struktury w danym układzie językowym oraz 2) od liczby r wszystkich opisów stanu, które występują w ramach tego samego opisu struktury, czyli są izomorficzne. Wartości funkcji 𝔪*(.) są więc określone następującą zależnością: 𝔪*(.) = 1/r·s. Taki dwustopniowy sposób zastosowania zasady obojętności, w którym najpierw każdy z s różnych opisów struktury 𝔖𝔱𝔯i otrzymuje wartość 𝔪*(𝔖𝔱𝔯i) = 1/s, a następnie w obrębie każdego opisu struktury 𝔖𝔱𝔯 każdy z r występujących w nim opisów stanu otrzymuje tę samą wartość 𝔪*(ℨj) = 𝔪*(𝔖𝔱𝔯i)/r = (1/s)/r = 1/r·s, pozwala na uniknięcie problemu braku efektu uczenia się z doświadczenia – wartość stopnia konfirmacji 𝔠*(h|e) dla hipotezy h będzie tym wyższa, im więcej będzie przypadków z nią zgodnych, stwierdzonych w dowodzie empirycznym e. To rozwiązanie napotyka jednak na zarzut, omówiony poniżej, wprowadzenia probabilistycznej zależności między zdaniami, które są logicznie niezależne.

W poprzednim przykładzie systemu językowego z dwoma predykatami pierwotnymi i trzema indywiduami otrzymujemy 20 opisów struktury, które różnią się między sobą pod względem zawartych w nich Q-predykatów. I tak np. opis struktury, w którym występuje tylko jeden Q-predykat, np. Q₁, a więc wszystkie przedmioty są tego samego rodzaju Q₁(x), opis struktury zawiera tylko jeden opis stanu, w związku z czym w tym przypadku funkcja 𝔪*(.) dla tego opisu stanu przyjmie wartość równą 1/20·1 = 1/20. Natomiast w przypadku opisu struktury, w którym występują trzy różne Q-predykaty, np. Q₂, Q₃, Q₄, jest on alternatywą sześciu różnych opisów stanu, w zależności od tego, które indywidua egzemplifikują poszczególne rodzaje Q-predykatów, a więc funkcja 𝔪*(.) dla każdego z tych opisów stanu zostanie obliczona w taki sposób, że wartość tej miary, 1/20 dla opisu struktury, zostanie podzielona równo między 6 zawartych w nim opisów stanu i dla każdego z tych opisów stanu przyjmie wartość równą (1/20)/6 = 1/120.

Wartości funkcji 𝔪* w przypadku systemów językowych o nieskończonym uniwersum przedmiotów indywidualnych Carnap definiuje poprzez ciąg systemów języków o skończonej liczbie przedmiotów, który jest skonstruowany tak, że uniwersum kolejnego systemu językowego 𝔏N w tym ciągu jest zawarte w uniwersum kolejnego systemu językowego 𝔏N₊₁. Dla każdego systemu językowego otrzymujemy więc ciąg funkcji miar 𝔪1, 𝔪₂, ..., 𝔪N. Wartość funkcji miary dla systemu językowego o nieskończonym uniwersum 𝔪∞ Carnap definiuje jako granicę tego ciągu, gdy N dąży do nieskończoności. W przypadku zdań jednostkowych, np. hipotezy przewidującej, że kolejny zaobserwowany przedmiot będzie miał charakterystykę taką, jaka wystąpiła u dotychczas zaobserwowanych przedmiotów, lub zdań złożonych z jednostkowych za pomocą spójników logicznych, wartość funkcji miary 𝔪* w nieskończonym systemie językowym pozostanie taka sama jak w systemie skończonym: 𝔪*∞ (p) = 𝔪*N (p). Inaczej natomiast przedstawia się kwestia tych zdań ogólnych, które nie są logicznie prawdziwe. W ich przypadku wartość funkcji miary w nieskończonym układzie językowym wynosi zero: 𝔪*∞ (p) = 0. W każdym skończonym systemie językowym Carnapa zdanie ogólne jest równoważne koniunkcji zdań jednostkowych, lecz wraz ze wzrostem N rośnie również liczba członów tej koniunkcji. Im większa liczba zdań jednostkowych w koniunkcji, której równoważne jest zdanie ogólne, tym mniejsza wartość miary dla ich łącznego zakresu, a tym samym również dla całej koniunkcji. W przypadku, gdy liczba N indywiduów w uniwersum systemów językowych zmierza do nieskończoności, wartość funkcji miary osiąga zero. Zatem dla każdej hipotezy h, która jest zdaniem ogólnym i nie jest prawdziwa logicznie, w nieskończonych układach językowych stopień konfirmacji h wyniesie 0. Carnap przyznał, że jest to nieintuicyjna własność jego systemu logiki indukcji, gdyż w nauce przyjęło się określać prawa naukowe jako „dobrze potwierdzone”. Mimo że ta nieintuicyjna własność jego systemu indukcji stała się jednym z głównych przedmiotów krytyki, starał się on jej bronić, podkreślając, że w praktyce naukowej przecenia się rolę zdań ogólnych, gdyż konfrontacji z doświadczeniem poddaje się jednostkowe hipotezy dotyczące przewidywania wystąpienia kolejnego przypadku (ang. instance confirmation) zgodnego z danym prawem, a nie hipotezy w postaci zdań ściśle ogólnych. Mimo to Carnap przyznawał, że zdania ogólne, jak prawa naukowe i hipotezy, pełnią istotną rolę w poznaniu naukowym.

Hipotezy jednostkowe, które przewidują, że kolejny zaobserwowany przedmiot an+1 będzie miał własność F(an₊₁), mogą dotyczyć zarówno własności prostych (np. „jest niebieski”) lub złożonych (np. „jest niebieski i kwadratowy”). Ich pierwotne prawdopodobieństwo logiczne, przed uzyskaniem jakichkolwiek dowodów empirycznych, wyznaczone przez miarę 𝔪* wyraża się stosunkiem liczby fi Q-predykatów, które występują w postaci normalnej tej hipotezy, do ogólnej liczby π Q-predykatów w danym układzie językowym. To prawdopodobieństwo wzrośnie wraz z zaobserwowaniem ni przedmiotów w tym uniwersum, które będą również miały własność F. Jeśli więc dowód empiryczny en stwierdza, że wśród dotychczas zaobserwowanych przedmiotów a₁, ..., an wystąpiło ni przedmiotów o własności F, to stopień konfirmacji hipotezy, że kolejny niezaobserwowany przedmiot też będzie miał tę własność, wyniesie: 𝔠*(F(an+1)|en) = Wraz ze wzrostem liczby obserwacji występujący w tej zależności czynnik aprioryczny w postaci liczby Q-predykatów będzie miał coraz mniejszy wpływ na wartość stopnia konfirmacji, w coraz większym stopniu będzie zależał od częstości względnej, czyli stosunku ni ilości zaobserwowanych przedmiotów o własności F do n, czyli ilości zaobserwowanych dotychczas przedmiotów.

W The Continuum of Inductive Methods, zapowiadanym w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa jako tom drugi, a opublikowanym w postaci kilkudziesięciostronicowej broszury, zauważalne są dość istotne zmiany w podejściu Carnapa do teorii indukcji. Najważniejszą z nich jest rezygnacja Carnapa z określenia jednej funkcji, która wyznaczałaby stopień konfirmacji hipotezy przez dowód empiryczny. W jej miejsce wprowadza on tytułowe kontinuum takich funkcji, które są charakteryzowane przez parametr λ, będący według Carnapa wyrazem „ostrożności indukcyjnej” badacza – im wyższa jego wartość, tym mniej badacz ma zaufania do dotychczasowych obserwacji, a więcej do czynników apriorycznych. W celu wyznaczenia tego kontinuum wprowadza on również nowe pojęcie, jakim jest funkcja charakterystyczna, służąca do zdefiniowania stopnia konfirmacji jednostkowej hipotezy, że kolejny zaobserwowany przedmiot an₊₁ będzie miał własność opisaną za pomocą Q-predykatu Qi stwierdzoną u si przedmiotów spośród s dotychczas zaobserwowanych. Funkcja charakterystyczna G(κ, s, si) jest funkcją trójargumentową, w której jako trzeci parametr występuje κ, czyli liczba predykatów pierwotnych w danym układzie językowym, która wyznacza liczbę π wszystkich Q-predykatów w tym układzie. Funkcja charakterystyczna jest sumą ważoną dwóch czynników: empirycznego s/si oraz logicznego 1/κ i przyjmuje następującą wartość wyrażoną za pomocą parametru λ: G(κ, s, si) = Funkcja charakterystyczna pozwala jednoznacznie zdefiniować miarę prawdopodobieństwa dla każdego opisu stanu w danym układzie językowym, a w konsekwencji także stopień konfirmacji hipotezy przewidującej, że kolejne zaobserwowane indywiduum również znajdzie się w tej samej kategorii, opisanej przez Qi, zgodnie z zależnością: G(κ, s, si) = = 𝔠(Qi(as₊₁)|es). Wartością parametru λ może być dowolna liczba rzeczywista od zera do ∞, a po jej określeniu funkcja charakterystyczna jednoznacznie określa wartość miary prawdopodobieństwa dla każdego zdania danego układu językowego, a więc i stopień konfirmacji dla dowolnej pary zdań.

Charakteryzowane w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa funkcje można otrzymać jako przypadki szczególne funkcji charakterystycznej. I tak, gdy parametr λ ma wartość równą κ, otrzymujemy funkcje 𝔪* i 𝔠*, gdzie 𝔠*(Qi(an₊₁)|en) =  Szczególnym przypadkiem tej zależności jest szeroko dyskutowana w literaturze tzw. reguła następstwa Laplace’a: W przypadku, gdy wartość λ wynosi 0, wartość funkcji charakterystycznej jest zależna wyłącznie od czynnika empirycznego: 𝔠(Qi(an₊₁)|en) = ni/n. Jest to tzw. prosta reguła (ang. straight rule), która określa stopień konfirmacji zdania stwierdzającego, że kolejny zaobserwowany przedmiot an₊₁ będzie należał do kategorii Qi, jest wyznaczony przez częstość względną Qi wśród dotychczas zaobserwowanych rodzajów przedmiotów.

Wraz z tym, jak zwiększa się wartość parametru λ, waga częstości względnej wyrażonej stosunkiem ni do n maleje, a coraz większy wpływ na wartość stopnia konfirmacji ma czynnik logiczny, jakim jest 1/κ, całkowicie niezależny od doświadczenia i wyrażający liczbę predykatów pierwotnych w danym układzie językowym. W przypadku drugiej ze skrajnych wartości, gdy wartość parametru λ dąży do ∞, wartość funkcji charakterystycznej, a tym samym również stopień konfirmacji w danym układzie, zależy już wyłącznie od czynnika logicznego 1/κ. Zatem dla λ = ∞ otrzymujemy funkcje charakteryzowane w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa jako 𝔪† i 𝔠†, gdzie 𝔠†(Qi(an₊₁)|en) = 1/κ, czyli stopień konfirmacji przewidywania, że kolejny zaobserwowany przedmiot będzie rodzaju Qi, jest całkowicie niezależny od dotychczasowych obserwacji n przedmiotów, a jedynie od parametru 1/κ charakteryzującego strukturę języka danego układu.

Poprzez ustalenie wartości parametru λ można dokonać wyboru funkcji stopnia konfirmacji z pełnego kontinuum funkcji, którego jedną skrajnością jest funkcja „czysto empiryczna” w postaci reguły prostej, zależnej tylko od częstości względnej, a drugą – czysto logiczna czy aprioryczna, zależna tylko od struktury języka. Carnap odrzuca obie te skrajności. Wadą funkcji czysto empirycznej jest ustalanie wartości stopnia konfirmacji wyłącznie na podstawie częstości względnej, nawet w przypadkach, gdy liczba zaobserwowanych przedmiotów jest niewielka, a więc niemiarodajna dla całego uniwersum. Z kolei wadą funkcji czysto logicznej jest całkowita niezależność od doświadczenia, w związku z czym nawet bardzo duża liczba obserwacji zgodnych z hipotezą nie jest w stanie zmienić jej apriorycznie przypisanego stopnia konfirmacji. Ustalenie wartości parametru λ jest zdaniem Carnapa jednak decyzją pragmatyczną, opartą na rozważaniach dotyczących konkretnego kontekstu badań naukowych, w których ma być wykorzystana konkretnie wyznaczona funkcja konfirmacji. Podkreślał on jednak, że funkcja 𝔠* jest najprostsza w kontinuum z rachunkowego punktu widzenia. Jednak w artykule The Aim of Inductive Logic (1962) Carnap, posługując się analogią z odróżnieniem matematyki czystej i stosowanej, stwierdził, że wybór konkretnej funkcji charakterystycznej, a więc funkcji stopnia konfirmacji i również pewnej logiki indukcji, nie jest kwestią samej logiki, lecz jej zastosowań. Taka decyzja może być przedmiotem normatywnej teorii racjonalnych decyzji, sformułowanej w oparciu o postulaty dotyczące racjonalności decyzji. Z tego też względu Carnap nie wprowadził do swojej logiki indukcji pojęcia akceptacji (uznawania hipotez potwierdzonych przez doświadczenie), które – idąc za tokiem argumentacji Hume’a – uważał za wątpliwe filozoficznie i zbędne wobec pojęć teorii decyzji, zgodnie z którą do dokonania wyboru jednej z hipotez wystarczy określenie ich prawdopodobieństwa logicznego, a następnie przypisanie im określonej wartości użyteczności.

Pewne wątpliwości w odniesieniu do systemów logiki indukcji może budzić uzasadnienie dokonanych przez Carnapa rozstrzygnięć w odniesieniu do zależności logicznych między zdaniami, zwłaszcza że traktuje on tę logikę jako uogólnienie logiki dedukcji w związku z tym, iż pojęcie wynikania logicznego można potraktować jako szczególny przypadek ogólniejszego pojęcia cząstkowego wynikania. To ostatnie pojęcie jednak nie ma ściśle określonego znaczenia, a jedynie pewien sens intuicyjny, który należałoby wyartykułować i ustalić własności związane z intuicyjnym rozumieniem wynikania cząstkowego. Za jedną z takich własności można by uznać warunek, że wynikanie cząstkowe osiąga maksymalną wartość, gdy między dwoma zdaniami zachodzi wynikanie logiczne w sensie ścisłym. Taka zależność nie zachodzi jednak w systemie logiki indukcji Carnapa dla nietautologicznych zdań ogólnych w nieskończonych systemach jednostkowych, którym funkcja miary 𝔪 przypisuje wartość zerową. Inną własnością związaną z cząstkowym wynikaniem jest to, że zdania, które są od siebie logicznie niezależne, powinny również mieć miary probabilistyczne, które są od siebie niezależne. Tę własność zachowuje jedynie funkcja konfirmacji 𝔠† oparta na funkcji miary 𝔪†, która przypisuje taką samą wartość każdemu z opisów stanu. Jednak w przypadku tej funkcji stopień konfirmacji hipotezy pozostanie zawsze taki sam, niezależnie od tego, jak zmienia się wiedza empiryczna, zwłaszcza związana z kolejnymi obserwacjami, które potwierdzają tę hipotezę. W przypadku natomiast pozostałych funkcji konfirmacji zdania logicznie niezależne są zależne probabilistycznie, co zdaniem Wesleya Salmona można by jedynie uzasadniać związkiem statystycznym, czyli empirycznym, tych zdań, a nie związkiem o charakterze logicznym.

Innym przykładem wprowadzenia pozalogicznej podstawy dla probabilistycznej zależności między zdaniami jest uzależnienie jej nie tylko od struktury logicznej tych zdań, ale także od liczby predykatów danego języka. Henry Kyburg uogólnił ten zarzut, podkreślając, że poza niezadowalającą funkcją konfirmacji 𝔠† wszystkie pozostałe funkcje są oparte na jakimś założeniu, które wprowadza zależność probabilistyczną zdań, które są logicznie niezależne. Tego rodzaju założeń nie można uzasadnić względami natury logicznej.

Carnap kontynuował prace nad koncepcją logiki indukcji aż do śmierci w 1970 roku. We współpracy m.in. z Wolfgangiem Stegmüllerem i Johnem Kemenym opracował on nowsze wersje logiki indukcji, których konstrukcja nie jest zależna od ilości predykatów językowych oraz dopuszcza grupowanie predykatów w większe kategorie (np. kolor, kształt itp.). Jednym z efektów tych prac było podanie logiki indukcji w postaci aksjomatycznej, która w jasny sposób wskazuje na główne założenia tej konstrukcji. Carnap i Kemeny, posługując się wprowadzoną przez Hosiasson-Lindenbaum aksjomatyczną definicją stopnia konfirmacji, udowodnili, że kontinuum systemów indukcyjnych z parametrem λ można uzyskać na podstawie następujących pięciu aksjomatów dla języka predykatów jednoargumentowych i dwuargumentowej funkcji propozycjonalnej c(h|e): funkcja c(.|.) spełnia aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa, jest skończenie regularna (przyjmuje wartość maksymalną jedności tylko, gdy e wynika logicznie z h), jest symetryczna względem indywiduów (jej wartość jest niezmienna dla dowolnej permutacji stałych indywiduowych w h i e), jest symetryczna względem predykatów (jej wartość jest niezmienna względem dowolnej permutacji Q-predykatów) oraz jej wartość dla hipotezy, że kolejne zaobserwowane indywiduum będzie egzemplifikowało własność opisaną przez Q-predykat Qi, jest funkcją częstości występowania tej własności wśród dotychczas zaobserwowanych n przedmiotów.

Oprócz Carnapa próby uogólnienia jego teorii podejmowali również inni filozofowie analityczni, w tym przedstawiciele tzw. szkoły fińskiej (Jaakko Hintikka, Risto Hilpinen, Ilkka Niiniluoto, Juha Pietarinen, Raimo Tuomela), a także Theo Kuipers i Roberto Festa. W połowie lat sześćdziesiątych Hintikka ogłosił pierwsze wyniki prac nad logiką indukcji, konstruowaną na gruncie istotnie zmodyfikowanych założeń Carnapa. Systemy zaproponowane przez Hintikkę z założenia mają charakter nie semantyczny, lecz pragmatyczny, czyli uwzględniający stosunek użytkownika do relacji konfirmacji. Dotyczy to przede wszystkim definiowanego w tych systemach pojęcia akceptacji hipotezy. Inną, często podkreślaną różnicą jest niezerowy stopień konfirmacji zdań ogólnych w systemach wprowadzonych przez Hintikkę. Zdefiniowane przez Henryka von Wrighta dystrybutywne postacie normalne Hintikka uogólnił dla języka logiki pierwszego rzędu z relacjami i wykorzystał do zdefiniowania tzw. konstytuentów, czyli zdań określających za pomocą zanegowanych lub nie kwantyfikatorów, które z Q-predykatów są niepuste oraz puste w uniwersum. Wszystkie konstytuenty, z wyjątkiem pustego (sprzecznego logicznie), charakteryzują jakiś świat możliwy danego uniwersum, a ich alternatywa jest tautologią. Każde zdanie ogólne można wyrazić jako alternatywę konstytuentów o skończonej liczbie składników. Wprowadzony w 1966 r. tzw. dwuwymiarowy system α-λ jest uogólnieniem kontinuum systemów indukcyjnych Carnapa, w którym parametr α, analogicznie do parametru λ charakteryzującego wpływ rozważań apriorycznych na stopień konfirmacji hipotezy przez dane dla zdań jednostkowych, charakteryzuje ostrożność indukcyjną dla zdań ogólnych. Systemy Carnapa można otrzymać jako szczególne przypadki systemu α-λ Hintikki, np. dla α = 0, otrzymujemy miarę jak 𝔪†, a dla α → ∞ uniwersum danego systemu jest silnie zatomizowane (z uwagi na założenie, że wszystkie Q-predykaty są egzemplifikowane w uniwersum) i nie istnieją w nim ogólne prawidłowości. W pozostałych przypadkach wartości parametru α, wraz ze wzrostem ilości przypadków potwierdzających daną hipotezę ogólną jej prawdopodobieństwo zmierza do jedności. Hintikka dla swojego dwuwymiarowego kontinuum również podał wersję aksjomatyczną, jednak ostatni z aksjomatów podanych dla kontinuum Carnapa zastąpił innym, który oprócz indukcji enumeracyjnej dopuszcza również indukcję eliminacyjną. W tym aksjomacie wartość prawdopodobieństwa hipotezy, że kolejne zaobserwowane indywiduum będzie rodzaju Qi, zależy nie tylko od częstości względnej tego rodzaju wśród zaobserwowanych indywiduów, ale także od tego, jak wiele rodzajów indywiduów dotychczas zaobserwowano (a pośrednio także od tego, ile hipotez jest sfalsyfikowanych przez dowód empiryczny e).

Systemom logiki indukcji Carnapa i Hintikki, w których prawdopodobieństwo jest interpretowane jako miara związku logicznego między parami zdań, zarzucono brak podstaw do ustalenia kryteriów przypisania określonych wartości liczbowych prawdopodobieństwa zdaniom. W tych systemach natomiast wartości prawdopodobieństw warunkowych kształtowane są przez intuicyjny sposób oceny wnioskowań indukcyjnych. W systemie Carnapa na przykład taką własnością funkcji konfirmacji jest to, że prawdopodobieństwo jednostkowej hipotezy przewidującej, iż kolejne zaobserwowane indywiduum będzie miało cechę F, wraz ze wzrostem liczby zaobserwowanych przedmiotów zbliża się do stwierdzonej wśród nich częstości F. Podobnie w systemie Hintikki taką własnością wnioskowań przez indukcję enumeracyjną jest wzrost prawdopodobieństwa hipotezy ogólnej wraz ze wzrostem liczby potwierdzających ją obserwacji. Carnap tego rodzaju zarzutu nie traktował jako istotnego, gdyż uważał, że systemy logiki indukcji podają systematyczną logiczną charakterystykę stopnia konfirmacji, natomiast kwestia wyboru określonej funkcji, a tym samym sposobu przypisywania wartości prawdopodobieństw, jest rozstrzygana w kontekście konkretnych aplikacji tych systemów w praktyce naukowej.

Potwierdzanie jako relacja logiczna, zdaniem Carnapa, może być w trakcie eksplikacji potraktowane jako jedno z trzech rodzajów pojęć: jakościowe (jak „ciepły”), porównawcze (jak „cieplejszy”) oraz ilościowe (jak „temperatura”). We wstępie do drugiego wydania Logicznych podstaw prawdopodobieństwa wyraźnie wskazuje, że pojęcie stopnia konfirmacji jest dla niego podstawowym eksplikatem, gdyż na podstawie tego pojęcia ilościowego można zdefiniować pozostałe dwa rodzaje pojęć potwierdzania: jakościowe i porównawcze. Stopień konfirmacji określa wartość liczbową z zakresu od zera do jedności włącznie, która jest miarą stopnia wynikania jednego zdania z drugiego, co za Waismannem Carnap interpretuje jako stosunek zawierania się zakresu jednego zdania w drugim (przy czym zakresem zdania jest suma wszystkich możliwych stanów rzeczy, w których to zdanie jest prawdziwe, czyli w których ono zachodzi). Określenie miary stopnia konfirmacji pozwala m.in. ustalić, czy dana hipoteza jest potwierdzona przez dane empiryczne (jakościowe pojęcie potwierdzania), co za pomocą stopnia konfirmacji wyraża się jako dodatnia różnica między stopniem potwierdzenia tej hipotezy przez dowód empiryczny a stopniem jej potwierdzenia, gdy wiedza empiryczna jest pusta (w tym przypadku na wiedzę składają się wyłącznie tautologie logiki), czyli prawdopodobieństwa wtórnego i pierwotnego hipotezy h względem dowodu empirycznego e: 𝔠(h,e) – 𝔠(h,t) > 0. W przeciwieństwie do Hintikki Carnap odrzucił możliwość istnienia wartości progowej stopnia konfirmacji 𝔠(p,q) > v (np. v = ½), która pozwalałaby na uznanie danego zdania p za potwierdzone przez q, przede wszystkim z uwagi na problem indukcji Hume’a, a także z uwagi na tzw. paradoks loterii, który jest krótko scharakteryzowany poniżej. Przekroczenie tej wartości progowej stopnia konfirmacji danego zdania jest interpretowane jako jego potwierdzenie, co sprowokowało dyskusję w odniesieniu do systemów Hintikki, czy w przypadku dopuszczenia tego rodzaju reguł akceptacji mamy do czynienia z sytuacją analogiczną do znanej z logiki dedukcyjnej reguły modus ponendo ponens (potwierdzenia poprzednika implikacji).

Stopień konfirmacji jako pojęcie ilościowe, zdaniem Carnapa, pozwala także zdefiniować kilka rodzajów porównawczych pojęć potwierdzania w zależności od tego, czy w porównaniu wystąpią różne hipotezy oraz różne dowody empiryczne. Najważniejszym z nich dla badań naukowych jest porównanie stopnia konfirmacji dwóch różnych hipotez z uwagi na ten sam dowód empiryczny, co można wyrazić za pomocą ilościowego pojęcia stopnia ich konfirmacji jako ich różnicę: 𝔠(h₁,e) – 𝔠(h₂,e). Carnap w ten sposób pośrednio odniósł się do krytyki Poppera, który zarzucił wieloznaczność pojęciu stopnia konfirmacji w pierwszym wydaniu Logicznych podstaw prawdopodobieństwa. Natomiast bezpośrednim adwersarzem Poppera, reprezentującym w tym sporze poglądy Carnapa, był Yehoshua Bar-Hillel. W dużej mierze krytyka Poppera, jak zwrócił na to uwagę Kemeny, wynikała z przyjęcia przez niego innego pojęcia potwierdzania: dla Carnapa zasadnicze pytanie dotyczyło potwierdzenia danego zdania, gdy mamy dostępną określoną wiedzę empiryczną, natomiast dla Poppera to pytanie dotyczyło różnicy w potwierdzeniu danego zdania, gdy dysponujemy tą wiedzą i gdy nią nie dysponujemy. Carnap zgodziłby się z Popperem, że jego pojęcie stopnia potwierdzania nie jest adekwatnym eksplanansem w stosunku eksplikatu, który charakteryzował Popper. Popper podkreślał jednak, że ta wieloznaczność ma już źródło we wczesnych pracach Carnapa dotyczących prawdopodobieństwa. Szczegółowy przegląd całej dyskusji zaprezentował Alex Michalos w swojej książce z 1971 roku. Imre Lakatos (1968), przyjmując krytyczną perspektywę Poppera, scharakteryzował logikę indukcji Carnapa jako program degenerujący. W prywatnym komentarzu do tego tekstu, poprzedzającym jego publikację, Carnap (1967) zwrócił uwagę na zawarte w nim liczne błędy rzeczowe.

W Logicznych podstawach prawdopodobieństwa Carnap starał się odpowiedzieć na zarzut, że ilościowe pojęcie stopnia konfirmacji nie może stanowić adekwatnego eksplanansu dla jakościowego pojęcia potwierdzania, które jest wyjściowym eksplanandum. W odpowiedzi posłużył się on analogią z pokryciem pola koła za pomocą kwadratów. Jak przyznaje, nie jest możliwe pokrycie każdego punktu koła, nawet jeśli do dyspozycji mamy kwadraty o różnej wielości. Natomiast, wpisując kwadraty w pole tego koła na różne sposoby mamy gwarancję, że każdy punkt pola koła znajdzie się w polu jakiegoś kwadratu, pod warunkiem zastosowania różnych sposobów wpisywania kwadratów w pole tego koła. Podobnie jest w przypadku systemów logiki indukcyjnej eksplikujących ilościowe pojęcie potwierdzania – nawet jeśli pojedynczy system nie wyczerpuje pełnej treści jakościowego pojęcia potwierdzania, to w treści tego pojęcia nie ma takich elementów, których nie dałoby się ująć, stosując różne systemy ilościowej logiki indukcyjnej.

Zasadniczo możliwość skonstruowania logiki indukcji jako adekwatnej teorii stopnia konfirmacji zakwestionował Hilary Putnam. Posługując się argumentem diagonalnym, dowiódł on, że przy założeniu, iż funkcja konfirmacji (w tym również preferowana przez Carnapa funkcja 𝔠*) spełnia pewien warunek obliczalności, istnieje obliczalna hipoteza dotycząca przeliczalnie nieskończonego uporządkowanego zbioru indywiduów, dla której ta funkcja konfirmacji nie będzie zbieżna do 1 przy liczbie obserwacji n dążącej do nieskończoności, mimo że każdy dowód empiryczny odpowiada zbiorowi przypadków potwierdzających tę hipotezę w odniesieniu do tych n indywiduów. Putnam tym dowodem zainicjował nurt badań nad formalnymi teoriami uczenia się. Rozpoczęto także poszukiwania optymalnej metody indukcyjnej, która ma gwarancję osiągania co najmniej tak samo dobrych wyników w uczeniu się z doświadczenia, jak dowolna inna metoda indukcyjna. Carnap, komentując argumentację Putnama, podkreślał, że wykazuje ona wewnętrzną niespójność założeń przyjętych w tej argumentacji, a ponadto wymaga wprowadzenia reguł akceptacji w logice indukcji, czemu Carnap był przeciwny. Zgodził się natomiast z tym elementem argumentacji Putnama, że w przypadku bardziej zaawansowanych języków naukowych, np. języka dojrzałej fizyki, istotnym elementem dowodu empirycznego może być, oprócz stwierdzeń obserwacyjnych, także odniesienie do wcześniej zaproponowanych hipotez lub praw.

Zwolennicy reguł akceptacji, wprowadzonych w systemach Hintikki, zarzucają Carnapowi, że ogranicza on w ten sposób pojęcie indukcji do pewnego rodzaju zachowań (przypisanie stopnia prawdopodobieństwa jako punkt wyjścia do decyzji, uwzględniającej również użyteczność), a nie wnioskowań. Wobec braku uznawania czy akceptacji zdań potwierdzonych nie ma wniosków indukcyjnych, a tym samym pojęcie wnioskowania indukcyjnego staje się problematyczne, gdyż wszystkie wnioskowania prowadzące do ustalenia stopnia konfirmacji mają charakter dedukcyjny. Takie pojęcie indukcji implikuje też nieintuicyjny charakter wiedzy naukowej, która miałaby polegać wyłącznie na przypisywaniu i uaktualnianiu prawdopodobieństw zdaniom, natomiast należałoby zarzucić tradycyjne pojęcie wiedzy empirycznej, na którą składają się potwierdzone, a w związku z tym uznane – choćby tymczasowo, jak w fallibilizmie Poppera – hipotezy lub prawa naukowe. W systemach Hintikki reguły akceptacji zdań ogranicza się wyłącznie do zdań ogólnych, z uwagi na sformułowany przez Kyburga paradoks loterii. Załóżmy, że w pewnym systemie logiki indukcji obowiązuje reguła akceptacji, że jeśli prawdopodobieństwo zdania przekroczy wartość ½, to uznaje się to zdanie. Dalej, niech n będzie dużą liczbą kuponów w uczciwej loterii, gwarantującej wygraną dla jednego z tych kuponów, z których każdy ma takie samo prawdopodobieństwo wygranej 1/n. Ponieważ to prawdopodobieństwo dla każdego kuponu jest dużo niższe od wartości progowej ½, w związku z tym każde zdanie o postaci „Kupon n wygrywa loterię” nie spełnia reguł akceptacji i zostaje odrzucone. Jeśli jednak odrzucone zostaną wszystkie n zdań o każdym z kuponów, co jest równoważne stwierdzeniu, że żaden z n kuponów nie wygra tej loterii, to powstaje sprzeczność, gdyż z założenia wiadomo, że jeden z n kuponów na pewno wygra tę loterię. Hintikka udowodnił, że w jego systemie istnieje taka wartość progowa prawdopodobieństwa zdań ogólnych, iż w ich przypadku nie zachodzi paradoks loterii, a zatem możliwe jest wprowadzenie reguł akceptacji dla zdań ogólnych. Natomiast zdania jednostkowe są akceptowalne wyłącznie, jeśli są podstawieniem zaakceptowanego zdania ogólnego.

Na kilka lat przed publikacją Logicznych podstaw prawdopodobieństwa Nelson Goodman, odnosząc się do pierwszych artykułów Carnapa na temat stopnia konfirmacji, sformułował pierwszą wersję problemu, określonego później w książce Fact, Fiction, and Forecast (wydanie pierwsze w 1955 r.) jako tzw. nowa zagadka indukcji (ang. new riddle of induction) lub paradoks ziebieskich (ang. grue paradox). Dotyczy on logiki indukcji Carnapa i w bardziej fundamentalny od tradycyjnego Hume’owskiego problemu problematyzuje metafizyczne założenia indukcji. Załóżmy, że przedmiotem badań jest hipoteza, iż kolejny zaobserwowany szmaragd będzie zielony. Z uwagi na to, że wszystkie zaobserwowane do czasu t (pewien moment czasu w przyszłości) szmaragdy są zielone, stopień konfirmacji tej hipotezy w logice indukcji Carnapa będzie zmierzał do jedności wraz z każdą kolejną obserwacją potwierdzającą tę hipotezę. Goodman zaproponował wprowadzenie nowego predykatu do tego języka – „ziebieski” (ang. grue, od połączenia dwóch wyrazów „gr-een” oraz „bl-ue”), który jest zdefiniowany następująco: Dany przedmiot jest ziebieski wtedy i tylko wtedy, gdy został zaobserwowany do czasu t i jest zielony, albo później i jest niebieski. W związku z tym wszystkie dotychczas zaobserwowane szmaragdy można opisać jako ziebieskie. Dla obserwacji przeprowadzanych do czasu t hipoteza, że kolejny szmaragd będzie ziebieski, ma więc taki sam stopień konfirmacji, jak hipoteza, że będzie on zielony. Jednak dla obserwacji po czasie t hipoteza ziebieska jest równoważna, w tradycyjnym języku kolorów, przewidywaniu, że kolejny zaobserwowany szmaragd będzie niebieski, co wyklucza się z hipotezą, że będzie on zielony. Mimo więc, że do czasu t hipoteza zielona oraz ziebieska mają ten sam stopień konfirmacji, dla przewidywania wyniku obserwacji po czasie t w równym stopniu uzasadniają one dwa niezgodne ze sobą przewidywania. Niezależnie więc od tego, jak trafnie byłaby skonstruowana miara stopnia konfirmacji w systemie logiki indukcji, powstaje paradoks uzyskania tego samego stopnia potwierdzenia dla dwóch niezgodnych ze sobą przewidywań. Krótka polemika Carnapa z Goodmanem dotyczyła pierwotnej wersji tego paradoksu. Carnap przede wszystkim zakwestionował konstrukcję predykatów typu ziebieski z uwagi na to, że zawiera on w definicji odniesienie do pojęć ilościowych. W odpowiedzi Goodman zdefiniował predykat typu zielony analogicznie do predykatu typu ziebieski: przedmiot jest zielony wtedy i tylko wtedy, gdy został zaobserwowany do czasu t i jest ziebieski, albo później i jest nielony (złożenie od „nie-bieski” oraz „zie-lony”). Goodman twierdził, że dla uniknięcia tego paradoksu konieczne jest wyartykułowanie założeń o charakterze filozoficznym, które są presuponowane przez logikę indukcji. Goodman na gruncie nominalizmu upatrywał asymetrii predykatów zielony i ziebieski w dotychczasowej praktyce językowej, w której zakorzenione jest używanie predykatu zielony, co różni go zasadniczo od predykatu ziebieski. Ogólnie Carnap uznał ten problem za kwestię, która nie dotyczy samej logiki indukcji, lecz jej aplikacji w określonym kontekście, i związana jest z dokonaniem wyboru określonego rodzaju systemu językowego. Do tej dyskusji włączył się także Quine, który wraz z publikacją artykułu Natural kinds zainicjował nurt dyskusji metafizycznej w filozofii analitycznej, argumentując, że różnica między obydwoma predykatami ma zasadniczo charakter metafizyczny: zielony, w przeciwieństwie do ziebieskiego, reprezentuje rodzaj naturalny (jako kategorię ontologiczną). Ta dyskusja, m.in. za sprawą prac Davida Armstronga czy później Davida Lewisa, stała się inspiracją do odrodzenia nurtu metafizycznego we współczesnej filozofii analitycznej.

Dla właściwego odczytania Logicznych podstaw prawdopodobieństwa istotny jest, podobnie jak w odniesieniu do innej klasycznej monografii Carnapa, Logicznej struktury świata (1928/2011), kontekst filozoficzny, w którym ukształtowały się zasadnicze kategorie, którymi posługuje się Carnap. Za sprawą Alfreda J. Ayera, a później także Quine’a i Goodmana, przyjęło się odczytywać filozoficzne stanowisko Carnapa w odniesieniu do tradycji brytyjskich empirystów, usiłujących wykazać, iż doświadczenie zmysłowe jest podstawą ludzkiej wiedzy. Dopiero stosunkowo niedawne prace Michaela Friedmana, Alana Richardsona i innych, omówione obszernie we wstępie do Logicznej struktury świata, uświadomiły czytelnikom prac Carnapa, że bardziej właściwym odniesieniem jego epistemologii jest neokantyzm. W książce Strucutral reliabilism (2003) pokazałem, że to istotnie podważa rozpowszechnione współcześnie odczytywanie logiki indukcji Carnapa w kategoriach bayesowskiej interpretacji prawdopodobieństwa.

Z całą pewnością trwałym dziedzictwem Logicznych podstaw prawdopodobieństwa oraz późniejszych prac Carnapa poświęconych logice indukcji jest upowszechnienie probabilistycznej reprezentacji przekonań cząstkowych oraz powszechne dziś wykorzystanie twierdzenia Thomasa Bayesa w epistemologii formalnej. Jest to tym bardziej warte podkreślenia, że w czasie gdy powstawały prace Carnapa podejście bayesowskie w literaturze filozoficznej, ale także matematycznej i statystycznej, było całkowicie zmarginalizowane wobec dominującej ówcześnie tradycji frekwentystycznej, bazującej na częstościowej interpretacji pojęcia prawdopodobieństwa oraz sposobach przeprowadzania wnioskowań opisanych przez Ronalda Fischera, Egona Pearsona i Neymana. W przypadku typowej dla większości odmian stanowiska bayesowskiego interpretacji prawdopodobieństwo hipotezy ze względu na dane odzwierciedla siłę subiektywnego przekonania danego podmiotu czy naukowca o jej potwierdzeniu przez te dane. Dla Carnapa przyjęta przez naukowca funkcja konfirmacji jest aplikacją do konkretnego kontekstu jednej z dostępnych funkcji miary, które są wyznaczone przez zrelatywizowane kategorie aprioryczne (w sensie neokantowskim) w odniesieniu do teorii naukowej, która wyznacza dany układ językowy. Istnienie zrelatywizowanych kategorii apriorycznych jest warunkiem racjonalności procedur naukowych, w związku z czym trudno byłoby traktować funkcję stopnia konfirmacji jako przybliżenie do jakieś miary stopnia przekonania – nawet dalece – wyidealizowanego podmiotu poznawczego. Mimo tej zasadniczej różnicy w epistemologicznych podstawach system logiki indukcji Carnapa zaprezentowany w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa ma liczne punkty zbieżne ze współczesną bayesowską epistemologią formalną, w tym wykorzystywanie twierdzenia Bayesa jako zasadniczej reguły racjonalności dynamicznej (uaktualniania stopni przekonań względem nowej wiedzy empirycznej), wykorzystanie interpretacji prawdopodobieństw jako uczciwych ilorazów zakładów w celu uzasadnienia aksjomatów prawdopodobieństwa czy traktowanie logiki indukcji nie tylko jako instrumentu rozumowań naukowych, lecz także jako przewodnika w życiu, wskazującego sposób podejmowania racjonalnych decyzji w oparciu o szacunki częstości względnych w celu maksymalizacji oczekiwanej użyteczności tych decyzji.

Uwagi do polskiego przekładu

Podstawą przekładu jest drugie wydanie książki Carnapa Logical Foundations of Probability. W stosunku do wydania pierwszego zasadniczym uzupełnieniem jest przedmowa do drugiego wydania. Zawiera ona odpowiedź na polemikę ze strony Poppera, dotyczącą wieloznaczności pojęcia „stopnia konfirmacji”. Popper podkreślał, że może być on rozumiany w odniesieniu do konkretnej wartości bądź jako różnica między stopniem konfirmacji wtórnej (uwzględniającym pozyskany materiał empiryczny) a stopniem konfirmacji pierwotnej (opartym wyłącznie na „tautologicznym” materiale dowodowym). W odpowiedzi na tę krytykę w dodanej przedmowie Carnap wyjaśnia to nieporozumienie, posługując się terminem „firmness”, mającym wspólny rdzeń „firm” z czasownikiem „confirm”. Dla oddania tego związku w polskim tłumaczeniu wprowadzony został termin „utwierdzanie”, w podobny sposób pokrewny terminowi „potwierdzanie”.

Głównym pojęciem, którego teorii ma dostarczyć logika indukcji, jest pojęcie potwierdzania („confirmation”). Ze względu jednak na wyróżnione przez Carnapa trzy rodzaje pojęć (jakościowe, porównawcze, ilościowe) oraz specyfikę procedury eksplikacji, która na podstawie potocznego i chwiejnego znaczeniowo pojęcia ma dostarczyć pojęcie doprecyzowane semantycznie, które jest pojęciem ilościowym i jako takie nadającym się do stworzenia jego teorii logicznej, w tłumaczeniu, nawiązując do dotychczasowej tradycji terminologicznej w polskiej literaturze, wyodrębniono termin „konfirmacja” oraz „stopień konfirmacji” w odniesieniu do ilościowego pojęcia potwierdzania, które jest podstawą konstruowanej przez Carnapa logiki indukcji. Mimo wielości znaczeń, podstawowym znaczeniem analizy jako procedury filozoficznej jest podanie dla analizowanego pojęcia („analizandum”) równoważnego mu (zakresowo, treściowo) zestawu warunków koniecznych i wystarczających w postaci „analyzansa”. W przeciwieństwie do analizy eksplikacja nie podaje równoważnika eksplikowanego terminu („eksplikandum”), lecz termin, który ma być jego precyzacją („eksplikat”), z zachowaniem zasadniczego podobieństwa znaczeniowego. Carnap podkreśla, że jest to rzeczą bardzo trudną, jednak konieczną do tego, by wyeksplikowany termin mógł funkcjonować w języku naukowym. Wzorcem eksplikacji są terminy zaczerpnięte z języka potocznego („punkt”, „prosta” itd.), które zostały wyeksplikowane w geometrii. Oprócz warunku dokładności, jaki powinien spełniać eksplikat, dla poznania naukowego istotna jest jego owocność poznawcza, związana przede wszystkim z formułowaniem za pomocą tego eksplikatu nowych praw naukowych. Istotnym kryterium dla dokładnych i owocnych eksplikatów jest ich prostota.

Carnap wprowadził w swojej książce termin „(qualified) instance confirmation”. Odgrywa on istotną rolę z uwagi na to, że w zaproponowanej logice indukcji stopień konfirmacji praw ogólnych jest zerowy, co przez większość czytelników Logicznych podstaw prawdopodobieństwa jest odczytywane jako niezgodne z aparaturą pojęciową i praktyką stosowaną w naukach przyrodniczych. Carnap, broniąc tego rozstrzygnięcia, starał się tę aparaturę zinterpretować jako zorientowaną na (nie)istnienie jednostkowych przypadków niezgodnych z prawem. Tłumaczenie tego terminu jako „konfirmacja przez przypadek” jest wieloznaczne, gdyż może sugerować, że takie potwierdzenie zachodzi w sposób niezamierzony, co byłoby całkowicie niezgodne z intencjami Carnapa. Dlatego niekiedy konieczne było dodanie terminu „jednostkowy”. Gdy taki przypadek został już odnotowany w materiale dowodowym, Carnap używa terminu „qualified” („kwalifikowany”) dla wyodrębnienia tej sytuacji od jednostkowego przypadku danego prawa, który jeszcze nie został rozpoznany jako egzemplifikacja tegoż prawa.

Konstrukcja teorii stopnia konfirmacji jest nabudowana na opracowanej we wcześniejszych pracach Carnapa teorii semantyki logicznej, w ramach której dokonano zdefiniowania podstawowych pojęć, występujących również w Logicznych podstawach prawdopodobieństwa. Ich tłumaczenia zasadniczo zachowano z wcześniejszych polskich tłumaczeń prac Carnapa. Występują jednak nieliczne rozbieżności. Najbardziej istotna z nich dotyczy tłumaczenia terminu „range”. Dotychczas najczęściej był on tłumaczony jako „zasięg”, np. zdania lub opisu stanu. Termin ten w pracach Carnapa jest anglojęzycznym tłumaczeniem niemieckiego „Spielraum”, dla którego nie ma jednoznacznego odpowiednika w języku polskim. Ze względu m.in. na konieczność zachowania odrębności od terminu „zasięg” („scope”), standardowo odnoszonego do kwantyfikatorów, w niniejszym tłumaczeniu wprowadzono termin „zakres”. Inne przykłady odrębności od wcześniejszych tłumaczeń to m.in. „matrix” jako „matryca” (logiczna), a nie „macierz”, czy „truth table” jako „tablica prawdziwościowa”.

Oprócz logiki indukcji, która dla Carnapa jest głównym przedmiotem zainteresowań w książce, bardzo istotnym jej wkładem do filozofii okazała się nowatorska koncepcja metody filozoficznej, jaką jest eksplikacja. Ten ostatni termin stanowi dziś elementarną składową instrumentarium filozoficznego. Jednak w języku polskim nie ukształtowała się jeszcze tradycja posługiwania się dwoma elementami tej metody, a mianowicie „explicatum” oraz „explicandum”. Dla ujednolicenia tej terminologii w tłumaczeniu wprowadzono więc spolszczone wersje tych dwóch terminów, analogicznie do funkcjonowania takich terminów, jak „definiens” oraz „definiendum”.

Terminem, który ma wiele alternatywnych tłumaczeń w literaturze filozoficznej, jest „evidence”. W niniejszym tłumaczeniu przekładany jest on jako „dowód”, a jedynie w przypadkach, które mogą budzić wątpliwości odnośnie do pomyłki z dowodem logicznym lub matematycznym („proof”), stosowano „materiał dowodowy”.

Ważnym obszarem nazewnictwa, które występuje w książce, jest terminologia z zakresu statystyki. W odniesieniu do oryginału ówcześni statystycy zwracali uwagę na odrębność terminologiczną książki Carnapa. Tę odrębność zachowano w niniejszym tłumaczeniu, tylko w uzasadnionych przypadkach posługując się standardową terminologią, która występuje m.in. w polskich tłumaczeniach prac cytowanych przez Carnapa, zwłaszcza podręcznika Haralda Craméra. Najczęściej występującym przykładem tego rodzaju terminu jest „estimate” przekładana w niniejszym tłumaczeniu jako „szacunek” (w tłumaczeniu Wiktora Oktaby – „ocena”).

We wszystkich pozostałych przypadkach, zwłaszcza terminów technicznych, starałem się zachować zgodność z ich powszechnie przyjętymi tłumaczeniami, dosyć zróżnicowanymi w tekstach filozoficznych. Praca Carnapa w dalszym ciągu oddziałuje szeroko poza dyskusjami w zakresie filozofii, dlatego pozafilozoficzne terminy, takie jak: „rule of succession”, „principle of indifference” czy „principle of uniformity”, zostały przełożone zgodnie z ich standardowym użyciem w tekstach pozafilozoficznych.

Carnap, najwyraźniej za Popperem (a nie źródłowo), przywołuje cytat z jednej z prac Einsteina, który w Logik der Forschung miał ilustrować dedukcjonistyczny, a więc anty-indukcjonistyczny, sposób myślenia Einsteina. Sposób zacytowania tego fragmentu przez Carnapa może sugerować, że pochodzi on z pracy pt. Zur Methodik der theoretischen Physik. Dzięki uprzejmości archiwum prac Einsteina mogłem dotrzeć do oryginału tego fragmentu w rękopisie i jednoznacznie ustalić, że występuje on wyłącznie w pracy Motive des Forschens (© The Hebrew University of Jerusalem with permission of the Albert Einstein Archives). Idąc za tokiem myślenia Carnapa, w książce przywołano tłumaczenie z polskojęzycznego wydania Logiki odkrycia naukowego. Ten sam fragment można także odnaleźć w innym tłumaczeniu prac Einsteina: Jak wyobrażam sobie świat (Kraków 2017). W obu jednak przypadkach nie występują kluczowe dla tego fragmentu terminy: „Einfühlung” oraz „Intuition”. Przekład ten powinien więc zawierać kluczową frazę dotyczącą „intuicji opartej na wczuciu się w doświadczenie”. Przy takim jednak tłumaczeniu mniej jednoznaczna staje się interpretacja zaproponowana przez Poppera w Logice odkrycia naukowego. Być może właśnie z tego względu w książce Carnapa występuje także odnośny fragment w oryginale niemieckim.

Paweł Kawalec

BIBLIOGRAFIA

A. Wybrane prace Carnapa

On inductive logic. Philosophy of Science, 1945, 12.

The two concepts of probability. Philosophy and Phenomenological Research, 1945, 5.

Remarks on induction and truth. Philosophy and Phenomenological Research, 1946, 6.

On the application of inductive logic. Philosophy and Phenomenological Research, 1947, 8.

Probability as a guide in life. Journal of Philosophy, 1947, 44.

Reply to Nelson Goodman. Philosophy and Phenomenological Research, 1948, 8.

Empiricism, semantics, and ontology. Revue Internationale de Philosophie, 1950, 4.

Logical Foundations of Probability. Chicago 1950. Wyd. 2, 1962.

The problem of relations in inductive logic. Philosophical Studies, 1951, 2.

The Continuum of Inductive Methods, Chicago 1952.

Inductive logic and science. Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, 1953, 80.

Semantic information. British Journal for the Philosophy of Science, 1953, 14. Z Y. Bar-Hillelem.

Inductive Logik und Warscheinlicheit, Wien 1959. Z W. Stegmüllerem.

The aim of inductive logic. W: Logic, Methodology and Philosophy of Science: Proceeding of the 1960 International Congress, red. E. Nagel, P. Suppes, A. Tarski, Stanford 1966, 44.

Letter to Lakatos dated June 29 1967. W: Carnap Correspondence. Richard C. Jeffrey Papers. Pittsburgh 1967, ASP.2003.02.

Inductive logic and inductive intuition. W: The Problem of Inductive Logic, red. I. Lakatos, Los Angeles 1968.

A basic system of inductive logic. Part 1. W: Studies in Inductive Logic and Probability, red. R. Carnap, R. Jeffrey, Los Angeles 1971.

Inductive logic and rational decisions. W: Studies in Inductive Logic and Probability, red. R. Carnap, R. Jeffrey, Los Angeles 1971.

A basic system of inductive logic, Part 2. W: Studies in Inductive Logic and Probability, red. R. Jeffrey, Los Angeles 1980.

Logiczna struktura świata, wstęp i tłumaczenie P. Kawalec, Warszawa 2011.

Pisma semantyczne, red. B. Stanosz, tłum. T. Ciecierski, Warszawa 2007.

B. Wybrane opracowania

Agassi J., Woleński J., Łukasiewicz and Popper on Induction, History and Philosophy of Logic, 2010, 31.

Ajdukiewicz K., Logika pragmatyczna, Warszawa 1965.

Bar-Hillel Y., Comments on „Degree of Confirmation” by Professor K. R. Popper, British Journal for the Philosophy of Science, 1955, 6.

Goodman N., Fact, Fiction, and Forecast. Cambridge, MA 1955. Wyd. 4. z przedmową H. Putnama 1983.

Greniewski H., Elementy logiki indukcji, Warszawa 1955.

Hempel C. G., On the Logical Form of Probability-Statements, Erkenntnis, 1937, 7.

Hempel C. G., Studies in the Logic of Confirmation, Mind, 1945, 54.

Hilpinen R., Rules of Acceptance and Inductive Logic, Amsterdam 1968.

Hintikka J., Aspects of Inductive Logic, Dordrecht 1966.

Hintikka J., Inquiry as Inquiry: A Logic of Scientific Discovery, Dordrecht 1999.

Hintikka J., Suppes P., red. Aspects of Inductive Logic, Dordrecht 1966.

Hosiasson J., Wahrscheinlichkeit und Schluss aus Teilpämissen. W: Actes du huitième Congrès International de Philosophie Prague 1934, Praga 1936.

Hosiasson J., Why do we prefer probabilities relative to many data?, Mind, 1931, 30.

Hosiasson J., Wahrscheinlichkeit und Schluß aus Teilprämissen, Erkenntnis, 1935, 5.

Hosiasson-Lindenbaum J., On Confirmation, The Journal of Symbolic Logic, 1940, 5.

Jeffrey R. C., red., Studies in Inductive Logic and Probability, tom 2, Berkeley 1980.

Kawalec P., Structural Reliabilism. Inductive Logic as a Theory of Justification, Dordrecht 2003.

Kawalec P., Założenia i konsekwencje epistemologiczne eksplikacji formalnej pojęcia uzasadniania w szkole fińskiej, Roczniki Filozoficzne, 2001, 49.

Keynes M., A Treatise on Probability, London 1921.

Kołmogorow A., Osnownyje poniatia teorii wierojatnotiej, Moskwa 1936.

Kuipers T. A., Studies in Inductive Probability and Rational Expectation, Dordrecht 1978.

Kuipers T. A., The Carnap-Hintikka Programme in Inductive Logic. W: Knowledge and Inquiry: Essays on Jaakko Hintikka’s Epistemology and Philosophy of Science, red. M. Sintonen, Dordrecht 1997.

Kyburg H., Probability and Inductive Logic, London 1970.

Kyburg H., Smokler H., red., Studies in Subjective Probability, New York 1964.

Lakatos I., The Problem of Inductive Logic, Amsterdam 1968.

Laplace P., Théorie analitique des probabilités, Paris 1812.

Łoś J., Podstawy analizy metodologicznej kanonów Milla, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska. Sectio F, 1951, 2.

Łukasiewicz J., Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, opracowanie i wstęp J. Słupecki, Warszawa 1961.

Mazurkiewicz S., Podstawy rachunku prawdopodobieństwa, Warszawa 1956.

Michalos A. C., The Popper-Carnap Controversy, The Hague 1971.

Mises R. von, Probability, Statistics and Truth, New York 1957.

Mortimer H., Logika indukcji, Warszawa 1982.

Niinuloto I., Induction and Probability in the Lvov-Warsaw School. W: The Lvov-Warsaw School and Contemporary Philosophy. red. K. Kijania-Placek, J. Woleński, Dordrecht 1998.

Pawłowski T., red., Logiczna teoria nauki, Warszawa 1966.

Pietarinen J., Lawlikeness, Analogy and Inductive Logic, Amsterdam 1972.

Popper K. R., Degree of Confirmation, British Journal for the Philosophy of Science, 1954, 5.

Popper K. R., The Propensity Interpretation of Probability, British Journal for the Philosophy of Science, 1960, 10.

Popper K., Logika odkrycia naukowego, tłum. U. Niklas, Warszawa 1977.

Przełęcki M., Szaniawski K., Wójcicki R, red., Formal Methods in the Methodology of Empirical Sciences, Dordrecht 1976.

Reichenbach H., Kausalität und Wahrscheinlichkeit, Erkenntnis, 1930, 1.

Reichenbach H., The Theory of Probability: An Inquiry into the Logical and Mathematical Foundations of the Calculus of Probability, University of California Press 1949, wyd. 2 (wydanie 1. w j. niemieckim 1934).

Schilpp P. A., red., The Philosophy of Rudolf Carnap, Lassalle 1963.

Szaniawski K., O nauce, rozumowaniu i wartościach, Warszawa 1994.

Spohn W., red., Erkenntnis Orientated: A Centennial Volume for Rudolf Carnap and Hans Reichenbach, Dordrecht 1991.

Swinburne R. G., Choosing Between Confirmation Theories, Philosophy of Science, 1970, 37.

Sznajder M., Inductive Logic as Explication: The Evolution of Carnap’s Notion of Logical Probability, The Monist, 2018, 101.

Waismann F., Logische Analyse des Wahrscheinlichkeitsbegriffs, Erkenntnis, 1930, 1.

Woleński J., Metalogical Remarks on Induction, Axiomathes, 2021.

Zabell S., Carnap and the Logic of Inductive Inference. W: Handbook of the History of Logic, Elsevier, 2011, 10.

PRZEDMOWA

Cel tej pracy. Niniejsza książka przedstawia nowe podejście do starego zagadnienia indukcji i prawdopodobieństwa. Opracowaną tutaj teorię charakteryzują następujące podstawowe koncepcje: (1) wszelkie rozumowanie indukcyjne, w szerokim znaczeniu rozumowania niededukcyjnego lub niedemonstratywnego, jest rozumowaniem w kategoriach prawdopodobieństwa; (2) zatem logika indukcyjna, teoria zasad rozumowania indukcyjnego, jest tym samym, co logika prawdopodobieństwa; (3) pojęcie prawdopodobieństwa, na którym ma się opierać logika indukcyjna, jest logiczną relacją między dwoma zdaniami lub sądami (propositions); jest to stopień konfirmacji hipotezy (lub wniosku) na podstawie określonego dowodu (czy przesłanek); (4) tak zwane częstościowe pojęcie prawdopodobieństwa, stosowane w badaniach statystycznych, jest samo w sobie ważnym pojęciem naukowym, ale nie jest odpowiednie jako podstawowe pojęcie logiki indukcyjnej; (5) wszystkie zasady i twierdzenia logiki indukcyjnej są analityczne; (6) zatem prawomocność rozumowania indukcyjnego nie jest zależna od żadnych syntetycznych założeń, takich jak szeroko dyskutowana zasada jednorodności świata (uniformity of the world). Jednym z zadań tej książki jest omówienie ogólnych problemów filozoficznych dotyczących natury prawdopodobieństwa i rozumowania indukcyjnego, które doprowadzą do wspomnianych koncepcji. Jednak główny cel książki wykracza poza to. Jest nim skonstruowanie systemu logiki indukcyjnej, teorii opartej na wskazanych koncepcjach, ale dostarczającej dowodów licznych twierdzeń dotyczących takich pojęć, jak: ilościowe pojęcie stopnia konfirmacji, relewancji i nierelewancji, (porównawcze) pojęcie mocniejszej konfirmacji oraz ogólna metoda estymacji. System ten zostanie skonstruowany przy pomocy metod logiki symbolicznej i semantyki. (Wcześniejsza znajomość tych dziedzin nie jest konieczna; wszystkie symbole i terminy techniczne użyte w książce zostaną w niej wyjaśnione). W ten sposób po raz pierwszy stanie się możliwe skonstruowanie systemu logiki indukcyjnej, który będzie mógł zająć należne mu miejsce obok nowoczesnych, precyzyjnych systemów logiki dedukcyjnej. System, który ma zostać tutaj skonstruowany, nie stosuje się jeszcze do całego języka nauki z występującymi w nim wielkościami ilościowymi, takimi jak masa, temperatura itp., lecz tylko do systemu językowego, który jest znacznie prostszy (odpowiadający temu, co jest znane technicznie jako logika funkcyjna niższego rzędu, obejmująca relacje i tożsamość), choć bardziej wszechstronny niż język, do którego ograniczała się logika dedukcyjna przez ponad dwa tysiące lat od Arystotelesa do Boole’a.

Ponieważ niniejsza książka ma połączyć różne cele, zawiera różnego rodzaju materiały. W ramach przygotowań do budowy nowego systemu logiki indukcyjnej przedstawione zostały ogólne dyskusje o charakterze filozoficznym lub metodologicznym (w rozdziałach I, II i IV); ich celem jest argumentacja i klaryfikacja; mają one doprowadzić do zrozumienia bazowej koncepcji natury prawdopodobieństwa i indukcji, która jest tu przyjęta jako podstawa do budowy systemu. W drugiej części książki (rozdziały V-IX) przeprowadzono konstrukcję systemu. Ta część zawiera mniej argumentacji; postępuje more geometrico, poprzez techniczne kroki definiowania i dowodzenia twierdzeń. Jednym z celów tej części jest pokazanie na przykładach, jakie rodzaje problemów można podjąć i rozwiązać w tych podstawowych częściach logiki indukcyjnej. Drugi cel to same wyniki. Wiele twierdzeń (zwłaszcza w rozdziałach V i VIII) znanych jest z klasycznej teorii prawdopodobieństwa; celem ponownego ich przytoczenia tutaj jest ich dokładniejsze sformułowanie i interpretacja oraz dowody w nowych ramach. Wiele innych twierdzeń zostało tutaj sformułowanych i udowodnionych po raz pierwszy (zwłaszcza w rozdziałach VI, VII i IX). Wiele twierdzeń (dotyczących zarówno logiki dedukcyjnej w rozdziale III, jak i logiki indukcyjnej w dalszych rozdziałach) podano głównie dla odwołań; nie zaleca się czytania ich wszystkich od razu. Czytelnik z łatwością odnajdzie interesujące go fragmenty. Aby w tym pomóc, każdy rozdział i każdy paragraf poprzedzony jest streszczeniem (często zastanawiam się, dlaczego wiele książek, które muszę przeczytać, nie pomaga mi w ten sam sposób; czy ich autorzy chcą zmusić mnie do przeczytania każdego słowa, które napisali?); najważniejsze definicje i twierdzenia zaznaczono znakiem „+”; wielu twierdzeniom towarzyszą krótkie uwagi w nietechnicznym języku wskazujące na ich zawartość i funkcje. Materiały, które nie są absolutnie niezbędne do zrozumienia głównego tekstu, są drukowane małą czcionką, np. dygresje dotyczące bardziej technicznych problemów, przykłady, dowody, odniesienia do innych autorów itp. Słowniczek znajdujący się na końcu książki zawiera nieformalne wyjaśnienia najczęściej używanych terminów technicznych. (Twierdzenia i definicje w tej książce są oznaczone w celu jednoznacznego odwołania w następujący sposób: Każde twierdzenie ma oznaczenie takie jak „T20-5”, co znaczy „twierdzenie nr 5 w paragrafie 20”; twierdzenie często zawiera części oznaczone literami „a”, „b” itd. Definicje są oznaczone w podobny sposób literą „D” zamiast „T”. Odwołanie „T5c” występujące w § 20 odnosi się do T20-5, część c. Liczby przypisane paragrafom nie zawsze zachowują kolejność; niekiedy pomijano liczbę, aby umożliwić późniejsze uzupełnienia; to samo dotyczy numerów twierdzeń w paragrafie oraz liter przypisanych do części danego twierdzenia).

Czytelnik, który jest głównie zainteresowany ogólnymi problemami filozoficznymi, a mniej kwestiami technicznymi, może najpierw przeczytać rozdziały I, II i IV, a następnie następujące paragrafy z innych rozdziałów: §§ 14-20 na temat formy i semantyki naszych systemów językowych; §§ 79-81 na temat porównawczego pojęcia potwierdzania; §§ 86-88 na temat pojęcia potwierdzającego dowodu; §§ 98-100 na temat estymacji. Czytelnika, który jest zaznajomiony z klasyczną teorią prawdopodobieństwa lub współczesną teorią opartą na klasycznej koncepcji i który chce poznać związek między naszą teorią a klasyczną, odsyłamy do rozdziałów II, IV i VIII. Zwolennik częstościowej koncepcji prawdopodobieństwa w postaci przyjmowanej przez R. von Misesa czy H. Reichenbacha może być zainteresowany rozdziałami II i IV (szczególnie §§ 41-44). Jeśli czytelnik zaznajomiony z metodami współczesnej statystyki matematycznej, np. szkoły R. A. Fishera bądź J. Neymana, E. S. Pearsona i A. Walda, poszukuje logicznych podstaw wnioskowania statystycznego, testowania hipotez i estymacji, może przeczytać rozdziały II (zwłaszcza §§ 9 i 10), IV (zwłaszcza §§ 41-44, 50, 51), VIII (§§ 94-96), a przede wszystkim IX (zwłaszcza §§ 98-100). Zainteresowanych, z punktu widzenia etyki stosowanej lub ekonomii matematycznej, zagadnieniem, w jaki sposób racjonalny podmiot powinien określać swoje praktyczne decyzje i jaką funkcję pełni w tym kontekście logika indukcyjna, odsyłamy do §§ 50 i 51.

Niniejszy tom jest pierwszym z planowanej dwutomowej pracy Prawdopodobieństwo i indukcja. Rozpoczyna się od krótkiego, wprowadzającego rozdziału, który nie zajmuje się prawdopodobieństwem, lecz ogólnym problemem eksplikacji, czyli zadaniem znalezienia dokładnie zdefiniowanego pojęcia, „eksplikatu”, które zastąpi dane pojęcie, „eksplikandum”, wykorzystywane w praktyce, ale jeszcze niezdefiniowane dokładnie. Jednym z głównych zadań każdej nowej teorii prawdopodobieństwa jest dostarczenie odpowiednich eksplikatów dla pojęcia prawdopodobieństwa i metod rozumowania indukcyjnego, które są obecnie stosowane w nauce i statystyce. Wydaje się jednak, że nie ma dostatecznej jasności i zgody co do wymagań, które musi spełniać adekwatny eksplikat dla każdego eksplikandum. Dlatego wydawało się celowe, by zawrzeć w niniejszej książce rozdział poświęcony eksplikacji, chociaż temat ten należałoby właściwie podjąć w książce poświęconej tworzeniu pojęć w nauce. Również rozdział III jest poza dziedziną prawdopodobieństwa. Daje przegląd tych części logiki dedukcyjnej, które są potrzebne jako podstawa do naszej konstrukcji logiki indukcyjnej. Jednak wybrana tutaj szczególna forma logiki dedukcyjnej może być interesująca sama w sobie. Skonstruowany tutaj system nie ma powszechnej postaci rachunku logicznego, opartego na zdaniach pierwotnych i regułach wnioskowania; przyjmuje on postać systemu zinterpretowanego. Dlatego teoria tego systemu nie należy do dziedziny znanej jako składnia logiczna, ale do dziedziny semantyki. Podstawowe pojęcia logiki dedukcyjnej, np. prawda logiczna i implikacja logiczna, są tutaj wyeksplikowane jako pojęcia semantyczne, zdefiniowane za pomocą opisów stanów, czyli zdań opisujących możliwe światy, oraz pojęcia zakresu zdania, czyli klasy opisów stanów, w których to zdanie zachodzi. Rozdział III służy za wprowadzenie do tej nowej semantycznej metody radzenia sobie z logiką dedukcyjną, a ponadto zawiera obszerny zbiór twierdzeń, do których odwołują się późniejsze dowody twierdzeń w logice indukcyjnej.

Rozdziały II i IV zawierają szczegółowe dyskusje na temat prawdopodobieństwa i indukcji. W rozdziale II pokazano, że termin „prawdopodobieństwo”, używany przez naukowców, obejmuje dwa zupełnie różne eksplikanda, nazwane tutaj „prawdopodobieństwo₁” i „prawdopodobieństwo₂”. Pierwsze charakteryzuje status dowolnej hipotezy naukowej, np. przewidywania lub prawa, w odniesieniu do danego dowodu; pojęcie to jest wyeksplikowane za pomocą pojęcia stopnia konfirmacji, które posłuży jako podstawowe pojęcie logiki indukcyjnej. Pojęcie prawdopodobieństwa₂ oznacza częstość względną pewnego rodzaju zdarzenia w długim ciągu zdarzeń. Pojęcie to jest wykorzystywane w nauce i statystyce do opisu i analizy statystycznej zjawisk masowych. Ponieważ oba pojęcia są użyteczne i praktycznie niezbędne dla nauki, ważne jest, aby podać eksplikacje i opracować teorie dla obu z nich. Dlatego wydaje mi się, że długi i gwałtowny spór między „szkołą częstościową” a „szkołą logiczną” prawdopodobieństwa na temat tego, który z dwóch obozów posiada „właściwą koncepcję prawdopodobieństwa”, nie służy żadnemu przydatnemu celowi. Rozdział IV dalej omawia naturę i znaczenie logicznego pojęcia prawdopodobieństwa₁ oraz problemy i trudności związane ze znalezieniem pojęcia stopnia konfirmacji jako ilościowego eksplikatu dla prawdopodobieństwa₁. Zakładając, że możliwe było znalezienie tego rodzaju eksplikatu i na jego podstawie skonstruowanie systemu logiki indukcyjnej, podjęto pytania o przydatność takiego systemu zarówno dla celów teoretycznych nauki, jak i dla celów praktycznych określenia najlepszych decyzji dotyczących działania podejmowanego w danych sytuacjach. W tym drugim kontekście analizowane jest wykorzystanie szacunków nieznanych wartości wielkości, a w szczególności zasada maksymalizacji estymowanej użyteczności wybranego działania. Ta dyskusja ma na celu klaryfikację problemu, który jest przedmiotem intensywnego zainteresowania we współczesnej ekonomii matematycznej.

Druga część niniejszej książki, składająca się z rozdziałów V-IX, zawiera konstrukcję techniczną podstawowych części logiki indukcyjnej w oparciu o ogólne koncepcje rozwinięte w części pierwszej. Po pierwsze, wprowadzono pojęcie funkcji konfirmacji, w skrócie „𝔠-funkcji”. Jest to funkcja liczbowa, która dowolnej parze zdań przypisuje liczbę rzeczywistą z przedziału od 0 do 1. Jeśli 𝔠 jest funkcją tego rodzaju, to „𝔠(h,e) = r” oznacza: „stopień konfirmacji hipotezy h na podstawie dowodu e wynosi r”. Klasa regularnych 𝔠-funkcji jest zdefiniowana jako nieskończona, bardzo obszerna klasa funkcji opisanego rodzaju. Najbardziej podstawowa część logiki indukcyjnej składa się z tych twierdzeń, które odnoszą się do wszystkich regularnych 𝔠-funkcji (rozdział V); wśród nich jest słynne i szeroko dyskutowane twierdzenie Bayesa. Później (w rozdziale VIII) udowodnione są twierdzenia dotyczące węższej klasy funkcji, tzw. symetrycznych 𝔠-funkcji. Wśród tych ostatnich twierdzeń są dwa należące do najważniejszych wyników klasycznej teorii prawdopodobieństwa, a mianowicie prawo dwumianu i twierdzenie Bernoulliego; lecz w kontekście naszej teorii interpretacja tych twierdzeń jest zmodyfikowana. Jeśli dostępny dowód uzupełni się o nową informację, wtedy stopień konfirmacji danej hipotezy albo się zwiększy, albo zmniejszy, albo pozostaje niezmieniony. Tę nową informację określa się więc odpowiednio jako dodatnio relewantną dla hipotezy albo ujemnie relewantną, albo nierelewantną. Podane są twierdzenia dotyczące tych pojęć relewancji, a także ilościowej miary relewancji, która reprezentuje poziom relewancji dodatniej bądź ujemnej (rozdział VI).

Niektórzy badacze prawdopodobieństwa uważają, że logicznego pojęcia prawdopodobieństwa nie da się wyeksplikować za pomocą ilościowego pojęcia stopnia konfirmacji, czyli pojęcia mającego wartości liczbowe. Uważają oni, że można co najwyżej wskazać eksplikat w formie porównawczej, np. „hipoteza h jest mocniej potwierdzona przez dowody e niż h′ przez e′”. Chociaż nie podzielam tego sceptycznego poglądu, myślę, że porównawcze pojęcie potwierdzania jest interesujące. Podana jest definicja tego rodzaju pojęcia, niezawierająca żadnych pojęć ilościowych, a na jej podstawie skonstruowany został system porównawczej logiki indukcyjnej (rozdział VII). Ostatni rozdział tego tomu (rozdział IX) podejmuje zagadnienie estymacji. Należy on do najważniejszych problemów związanych z rozumowaniem indukcyjnym. Badania współczesnych statystyków dotyczące próbkowania i estymacji doprowadziły do wielu interesujących i owocnych rezultatów. Jednak nie ma wśród nich zgody co do logicznej natury estymacji i prawomocności poszczególnych metod estymacji. Nowe podejście do tego problemu zaproponowano tu w ramach naszego systemu logiki indukcyjnej. Ogólną funkcję estymacji zdefiniowano za pomocą pojęcia stopnia konfirmacji. Ta procedura dostarcza potrzebnych logicznych podstaw dla ogólnej teorii estymacji. W szczególności przebadano zastosowanie tej ogólnej funkcji estymacji do szacunku częstości.

W ostatnich latach, po zakończeniu tworzenia rękopisu niniejszego tomu, opublikowano pewne nowe książki omawiające problematykę prawdopodobieństwa i indukcji. Dlatego nie są one tutaj omówione bądź tylko skrótowo. Do najważniejszych należą te autorstwa Williama Kneale’a, C. I. Lewisa i Bertranda Russella (patrz Bibliografia). Jestem zwłaszcza usatysfakcjonowany z powodu wielkiego podobieństwa między koncepcjami natury logicznego pojęcia prawdopodobieństwa, które zostały opracowane niezależnie przez Lewisa i przeze mnie. Lewis nie próbuje konstruować technicznej eksplikacji prawdopodobieństwa, ale podaje szczegółową i dogłębną analizę roli prawdopodobieństwa w całym systemie naszej wiedzy empirycznej, a zwłaszcza w interpretacji i potwierdzaniu twierdzeń o świecie rzeczy w kategoriach oczekiwań dotyczących przyszłych obserwacji. Ta analiza, która łączy prawdopodobieństwo i epistemologię ściślej niż w dotychczasowych dokonaniach filozofów, jest bardzo cenną pomocą w klaryfikacji współczesnych dyskusji w obu dziedzinach.

Przygotowywany obecnie tom drugi będzie realizował głównie dwa zadania. Pierwszym będzie kontynuacja konstrukcji logiki indukcyjnej rozpoczętej w niniejszym tomie. Podczas gdy podane tutaj twierdzenia odnoszą się do ogólnych klas 𝔠-funkcji, w drugim tomie wybrana zostanie jedna szczegółowa 𝔠-funkcja, symbolizowana przez „𝔠*”, jako nasz ilościowy eksplikat dla prawdopodobieństwa₁, reprezentujący pojęcie stopnia konfirmacji. Twierdzenia w niniejszym tomie mogą mieć tylko postać warunkową (np. szczegółowa zasada dodawania: „jeśli 𝔠-funkcja ma wartości r₁ oraz r₂, odpowiednio dla dwóch niezgodnych hipotez h₁ i h₂ na podstawie dowodu e, to ma ona wartość r₁ + r₂ dla alternatywy h₁ V h₂ względem tego samego dowodu”). Z drugiej strony będzie można sformułować twierdzenia dotyczące funkcji 𝔠*, udowodnione na podstawie jej definicji, które pozwalają nam faktycznie obliczyć wartość tej funkcji dla dowolnych dwóch zdań (w obrębie naszych prostych systemów językowych). Krótkie podsumowanie teorii 𝔠*, wraz z podaniem jej definicji i niektórych twierdzeń, znajduje się w Apendyksie do niniejszego tomu, § 110. Nie twierdzi się, że 𝔠* jest koniecznie najlepszym możliwym eksplikatem. Teoria tej funkcji zostanie opracowana głównie w celu zaprezentowania konkretnego przykładu pewnego ilościowego systemu logiki indukcyjnej, który jest zupełny (w odniesieniu do wybranych prostych systemów językowych). Ponadto wyniki opracowane dla 𝔠* dają okazję do dyskusji na temat ogólnych problemów dotyczących logiki indukcyjnej. Na przykład w tym kontekście szczegółowo omówiony zostanie problem potwierdzenia uniwersalnego prawa na podstawie skończonej liczby wyników obserwacji, a także pytanie, czy naukowa procedura indukcyjna prowadząca do przewidywania pojedynczego zdarzenia musi koniecznie obejmować prawa uniwersalne, jak się zwykle zakłada.

Drugim głównym zadaniem tomu drugiego będzie opracowanie ogólnych procedur porównywania zalet metod indukcyjnych. Procedury mają charakter ogólny w tym sensie, że znajdują zastosowanie nie tylko do pewnych metod, które zostały faktycznie zaproponowane (wśród nich omówimy np.: Laplace’a regułę sukcesji, R. A. Fishera metodę estymacji za pomocą maksymalnej wiarygodności, Reichenbacha regułę indukcji, nasz system 𝔠* i inne), ale także do wszelkich innych metod indukcyjnych, które mogą być zaproponowane lub rozważane. Porównania będą dokonywane nie w odniesieniu do powodów wyboru metody indukcyjnej podanych przez autora, ale raczej w odniesieniu do wyników, do których prowadzą te metody; dokładniej, w tym kontekście zbadamy nie filozoficzną słuszność podstawowych koncepcji leżących u podstaw danej metody indukcyjnej, ale raczej pomyślne zastosowanie danej metody w porównaniu z inną metodą. Możemy, na przykład, rozważyć możliwe uniwersum o danej strukturze, reprezentowane przez opis stanu; wyobrażamy sobie, że dwie osoby, jako przedstawiciele dwóch różnych metod indukcyjnych, tworzą kompleksowy system zakładów (ang. wagers). Każdy z tych zakładów oparty jest na powszechnej wiedzy o jakiejś części zakładanego świata i odnosi się do hipotezy dotyczącej nieznanej jednostki; a każdy zakład jest obstawiony w taki sposób, że jest oceniany przez każdą z dwóch osób jako korzystny dla niej z punktu widzenia jej metody indukcyjnej. Na podstawie podanego opisu stanu możemy określić dla każdego zakładu, która z dwóch osób wygrywa; możemy więc obliczyć całkowity bilans dla całego systemu zakładów, którym po kolei objęte są wszystkie części świata. Stosując tę procedurę dla wszystkich możliwych światów, tj. opisów stanów, ustalimy, w którym z nich jedna metoda indukcyjna jest bardziej skuteczna, a w którym druga. Ustalimy, że dla dowolnych dwóch podanych metod indukcyjnych, bez względu na to, jak nieadekwatna może nam się wydać pierwsza w porównaniu z drugą, zawsze istnieją opisy stanów, w których pierwsza wygrywa z drugą. Nigdy nie możemy więc powiedzieć o jednej metodzie, że jest ona absolutnie gorsza od innej metody w tym sensie, że jest gorsza w każdym dającym się pojąć świecie. Niemniej jednak wynik porównania dwóch metod indukcyjnych we wskazany sposób może praktycznie wpłynąć na nasze preferencje. Załóżmy na przykład, że porównując dwie podane metody indukcyjne, stwierdzamy, że liczba opisów stanów, w których druga metoda jest skuteczniejsza, jest milion razy większa niż liczba tych, w których pierwsza metoda jest skuteczniejsza. W takim razie może być tak, że ten wynik nie skłoni nas do uważania pierwszej metody za bardziej adekwatną od drugiej ani do wybrania pierwszej zamiast drugiej do określania naszych praktycznych decyzji w rzeczywistym świecie, którego cała struktura nie jest nam znana i w związku z tym nie możemy też wiedzieć, która z dwóch metod indukcyjnych byłaby bardziej skuteczna na dłuższą metę.

Omówienie procedur porównywania skuteczności określonych metod indukcyjnych w naturalny sposób doprowadzi do pytania, czy badanie tego rodzaju musi koniecznie ograniczać się do nielicznych znanych metod indukcyjnych, czy też można je uogólnić. Znane metody są, by tak rzec, arbitralnie wybrane przez przypadek historyczny z ogółu możliwych metod indukcyjnych. Ten ogół nie jest systemem odrębnych bytów, ale kontinuum. Gdybyśmy mogli scharakteryzować każdą metodę za pomocą kilku, powiedzmy n, charakterystycznych liczb lub parametrów, to każda metoda byłaby reprezentowana przez punkt w n-wymiarowej ciągłej przestrzeni. Umożliwiłoby to nam opracowanie ogólnej teorii metod indukcyjnych w prostej postaci. Moglibyśmy więc na przykład zbadać zmiany, jakim uległaby dana metoda indukcyjna, gdybyśmy zmienili wartości jej parametrów w określony sposób. Tego rodzaju system zostanie opracowany. Wprawdzie nie będzie on zawierał wszystkich możliwych do wyobrażenia metod indukcyjnych, ale wciąż bardzo obszerną, nieskończoną ich klasę, w tym wszystkie znane metody indukcyjne (wśród nich te wymienione powyżej) i te wszystkie inne, które są choć w niewielkim stopniu podobne w swojej ogólnej strukturze do już znanych. Okaże się, co zaskakujące, że można to osiągnąć za pomocą tylko dwóch parametrów; a w odniesieniu do dowolnego określonego systemu językowego wystarczy jeden parametr. Ten parametr będzie oznaczony jako „λ”; a system metod indukcyjnych będzie nazywany λ-systemem. Jeśli określony jest system językowy 𝔏, to każda metoda indukcyjna dla 𝔏 jest całkowicie scharakteryzowana przez jej λ-wartość w następującym sensie: jedna liczba λ jednoznacznie określa stopień konfirmacji jakiejkolwiek hipotezy w odniesieniu do dowolnego dowodu wyrażonego w 𝔏 oraz szacunku częstości względnej, z jaką dana własność występuje w klasie jednostek na podstawie dowolnego dowodu dającego się wyrazić w 𝔏; innymi słowy, dwie metody indukcyjne mają to samo λ tylko wtedy, gdy zawsze prowadzą do tych samych wyników liczbowych tego rodzaju, jaki został tu opisany. λ-system umożliwi nam stosunkowo prostą analizę różnych metod indukcyjnych, które chcemy rozważyć. Ponadto możliwe staje się rozwiązywanie problemów nowego rodzaju, a mianowicie konstruowanie metod indukcyjnych, które są najbardziej odpowiednie do określonych celów. Załóżmy na przykład, że dany jest opis możliwego świata reprezentującego pewną strukturę; załóżmy ponadto, że wybieramy jakąś procedurę pomiaru skuteczności metod indukcyjnych w możliwych światach (np. poprzez ogólny bilans systemu zakładów obejmującego cały świat, jak wskazano wcześniej, lub przez określenie błędów szacunków częstości względnej w wielu klasach także obejmujących cały świat). Miara całościowego sukcesu S dla danego świata będzie zależeć od zastosowanej metody indukcyjnej. Ponieważ teraz każda metoda indukcyjna jest całkowicie scharakteryzowana przez λ, więc możemy przedstawić S jako funkcję samego λ: S(λ). Łatwo można więc określić wartość λ, dla której S(λ) osiąga swoje maksimum; innymi słowy, skonstruować tę konkretną metodę indukcyjną, która jest najbardziej skuteczna dla danego świata. Zaskakujący fakt, że ten i podobne problemy można teraz rozwiązać w tak prosty sposób, jest konsekwencją zastosowania λ-systemu, w którym różne metody indukcyjne nie są już traktowane jako oddzielne byty o nieporównywalnych cechach, ale jako elementy w kontinuum, które jest kontrolowane liczbowo.

Drugi tom będzie zawierał również dociekania na temat różnych innych zagadnień, zwłaszcza tych związanych z zadaniem rozszerzenia naszego systemu logiki indukcyjnej na bogatsze systemy językowe, a ostatecznie na cały ilościowy język nauki. W przypadku większości tych zagadnień nie zostaną zaoferowane pełne ich rozwiązania. Wstępne rozwiązanie zostanie zaproponowane dla pierwszego kroku takiego rozszerzenia, a mianowicie system językowy, w którym jednostki należą do dyskretnego porządku liniowego, który można traktować jako czasowy ciąg zdarzeń (por. § 15B). W systemie tego rodzaju występują nowe problemy indukcyjne, ponieważ regularności następstwa czasowego stają się relewantne dla stopnia konfirmacji. Dla tego rodzaju systemu zdefiniowane zostanie pojęcie losowego porządku, czy raczej ilościowe pojęcie stopnia losowości danego porządku i jego odwrotność – stopień jednorodności. Doprowadzi to do nowej definicji stopnia konfirmacji, która będzie odpowiednia dla tego rozszerzonego systemu. Za pomocą tych pojęć będzie można sformułować i omówić zagadnienie założenia jednorodności świata i jego rzekomą konieczność dla prawomocności rozumowania indukcyjnego w sposób bardziej precyzyjny niż w niniejszym tomie (§ 41F).

Podziękowania. Większość cech teorii logiki indukcji przedstawionych w tym tomie, a także wiele wyników dotyczących funkcji 𝔠*, zostało opracowanych w latach 1942-44 podczas urlopu zorganizowanego przez Uniwersytet Chicago i sfinansowanego przez Fundację Rockefellera. Obu instytucjom pragnę wyrazić wdzięczność za ich pomoc. Liczne dyskusje z wieloma przyjaciółmi i kolegami stymulowały mnie do rozwijania i klaryfikacji moich koncepcji i ich sformułowania w niniejszej książce. Jestem szczególnie wdzięczny profesorom Herbertowi Feiglowi, Carlowi G. Hemplowi, W. V. Quine’owi i Gerhardowi Tintnerowi, którzy przeczytali wcześniejszą wersję manuskryptu i przedstawili wiele pomocnych krytycznych komentarzy. Pragnę podziękować Panu Herbertowi G. Bohnertowi za pomoc w przygotowaniu manuskryptu.

Redaktorom Philosophy of Science, Philosophy and Phenomenological Research oraz Journal of Philosophy dziękuję za wyrażenie zgody na wykorzystanie materiałów z moich prac opublikowanych w tych czasopismach w latach 1945-48 (patrz Bibliografia).

Uniwersytet w ChicagoRudolf Carnap

marzec 1950 roku

PRZEDMOWA DO DRUGIEGO WYDANIA

Pierwsze wydanie tej książki od jakiegoś czasu jest niedostępne. W drugim wydaniu przedrukowano tekst oryginalny bez zmian, z wyjątkiem kilku drobnych poprawek[1]. Dodałem Bibliografię uzupełniającą, wymieniając ważniejsze publikacje w tej dziedzinie, które ukazały się od 1950 r.

Celem tej nowej przedmowy jest, po pierwsze, przedstawienie krótkich wskazówek dotyczących rozwoju dziedziny logiki indukcyjnej w ciągu ostatniej dekady oraz analiza obecnej sytuacji, jak mi się ona przedstawia. Po drugie, sprecyzuję kilka konkretnych punktów, w których moje poglądy zmieniły się od czasu napisania tej książki. Ale główne cechy mojej teorii, opracowane w niniejszej książce, są nadal zachowane. Dotyczy to zarówno podstawowej filozoficznej koncepcji natury logicznego prawdopodobieństwa, wyjaśnionej w pierwszej połowie książki, jak i systemu formalnego skonstruowanego w jej drugiej połowie.

Do tej pory ukazała się tylko niewielka część wyników pracy, którą wykonałem w międzyczasie we współpracy z moimi przyjaciółmi, zwłaszcza Johnem G. Kemenym i Richardem C. Jeffreyem. Porzuciłem swój pierwotny plan napisania tomu towarzyszącego niniejszej książce, który zapowiedziałem we wstępie do pierwszego wydania. Obecnie następuje tak szybki rozwój i zmiany w tej dziedzinie, że książka, próbująca wyczerpująco opisać obecną sytuację, prawdopodobnie byłaby nieaktualna przed jej pojawieniem się. Dlatego planujemy zamiast tego publikować serię niewielkich tomów o roboczym tytule „Studia z Prawdopodobieństwa i Logiki Indukcyjnej” (Studies in Probability and Inductive Logic), z których każdy tom ma zawierać kilka artykułów, niektóre wyjaśniające, a inne o charakterze technicznych raportów z badań.

Wśród przyszłych tematów zaanonsowanych w pierwotnej przedmowie była budowa parametrycznego systemu metod indukcyjnych, tj. 𝔠-funkcji i odpowiadających im funkcji estymacji, określonego jako system lambda. Przedstawiłem ten system w [Continuum] (patrz Bibliografia Uzupełniająca). Niniejsza monografia zawiera również omówienie funkcji estymacji dla częstości względnej, wskazuje na poważne słabości niektórych funkcji estymacji szeroko stosowanych w statystyce matematycznej i proponuje nowe funkcje pozwalające uniknąć tych słabości.

Aksjomatyczny system logiki indukcyjnej podany w [Continuum] został później rozwinięty. Jego bardziej obszerna postać została opublikowana w [Replies], § 26 oraz w Carnap-Stegmüller [Wahrsch.], Anhang B. Ten system jest nadal w procesie zmian i rozwoju.

Moja koncepcja prawdopodobieństwa logicznego (określana w niniejszej książce jako „prawdopodobieństwo₁”) ma kilka podstawowych cech wspólnych z koncepcjami innych autorów, np. Johna Maynarda Keynesa, Franka P. Ramseya, Harolda Jeffreysa, Bruna De Finettiego, B. O. Koopmana, Georga Henrika von Wrighta, I. J. Gooda i Leonarda J. Savage’a, by wymienić tylko bardziej znane nazwiska. Wszystkie te koncepcje mają następujące cechy. Różnią się one od koncepcji częstościowej („prawdopodobieństwo₂” w niniejszej książce). Podkreślają względność prawdopodobieństwa w odniesieniu do dowodu. (Z tego powodu niektórzy autorzy nazywają swoją koncepcję „subiektywną”; jednak termin ten nie wydaje się w pełni odpowiedni dla prawdopodobieństwa logicznego [patrz s. 61-62, 339-40]). Ponadto liczbowe prawdopodobieństwo wystąpienia nieznanego możliwego zdarzenia można traktować jako uczciwy iloraz zakładów (fair betting quotient). I wreszcie, jeśli relacje logiczne (np. implikacja logiczna lub niezgodność) zachodzą między danymi sądami, to ich prawdopodobieństwa muszą, zgodnie z tymi koncepcjami, spełniać określone warunki (zwykle określone przez aksjomaty), aby zapewnić racjonalność przekonań i działań, np. zakładów opartych na tych prawdopodobieństwach. Mam wrażenie, że rośnie liczba tych, którzy zajmują się tym tematem i pracują w tym kierunku. Tak jest z pewnością wśród filozofów. Wydaje się jednak, że także wśród tych, którzy zajmują się statystyką matematyczną, coraz więcej osób zaczyna uważać, że powszechne ograniczanie się do częstościowego pojęcia prawdopodobieństwa jest niezadowalające, i poszukują innego pojęcia.

Prawie każdy autor w tej dziedzinie, łącznie ze mną, na początku pracował praktycznie sam, podążając własną drogą. Ale teraz jest coraz więcej wzajemnego wpływu. Z pewnością ja i moi przyjaciele nauczyliśmy się wiele od innych autorów, zarówno w zakresie czysto matematycznej teorii prawdopodobieństwa, jak i metodologii jej stosowania. Często pewne podejście do problemu wydawało nam się najlepsze lub przynajmniej akceptowalne w pewnym momencie, ale kilka lat później zauważyliśmy, że trzeba je porzucić bądź zmodyfikować. Wymagana zmiana była czasami powodowana przez klaryfikację podstawowych idei, czasami przez odkrycie nowego podejścia do konkretnego problemu, czasami przez nowo udowodnione konkretne wyniki matematyczne. Zachodzi więc gwałtowna zmiana i, mamy nadzieję, postęp w tej dziedzinie.

Utrzymuję pogląd, wspólnie z niektórymi, ale nie wszystkimi ze wspomnianych autorów, że pojęcie prawdopodobieństwa logicznego może służyć jako podstawa do budowy systemu logiki indukcyjnej, rozumianej jako logiczna teoria wszystkich rozumowań indukcyjnych. Ponadto, w przeciwieństwie do tradycyjnego poglądu, że wynik procesu rozumowania indukcyjnego na temat hipotezy h na podstawie podanego dowodu e polega na akceptacji (bądź odrzuceniu, bądź czasowym zawieszeniu) h, uważam, że wynikiem raczej powinno być ustalenie wartości liczbowej prawdopodobieństwa h względem e. Chociaż osąd (judgment) na temat h (np. możliwego wyniku zaplanowanego eksperymentu) zwykle nie jest formułowany wprost jako stwierdzenie w kategoriach prawdopodobieństwa, to uważam, że tego rodzaju stwierdzenie jest przyjmowane niejawnie (implicitly). Oznacza to, że racjonalną rekonstrukcję myśli i decyzji badacza można najlepiej przeprowadzić w ramach logiki prawdopodobieństwa. Wydaje mi się ponadto, że wskazana koncepcja formy rozumowania indukcyjnego pozwala udzielić zadowalającej odpowiedzi na zarzut Hume’a[2].

Poniżej wyjaśnię kilka szczególnych punktów, w których moje poglądy zmieniły się od czasu, gdy napisałem tę książkę.

A. Znaczenie prawdopodobieństwa logicznego (prawdopodobieństwo₁) zostało nieformalnie wyjaśnione w § 41 na kilka sposobów: (a) jako stopień, w jakim hipoteza h jest potwierdzona lub poparta dowodem e; (b) jako uczciwy iloraz zakładów; oraz (c) jako szacunek częstości względnej. Nawet wtedy uważałem (a) za mniej zadowalające niż (b) czy (c); dzisiaj unikałbym sformułowań takich jak (a) z powodu ich niejednoznaczności (patrz punkty B i C poniżej). Chociaż pojęcie prawdopodobieństwa logicznego w zamierzonym tutaj sensie jest pojęciem czysto logicznym, myślę, że znaczenie stwierdzeń takich jak „prawdopodobieństwo h względem e wynosi 2/3” można najlepiej scharakteryzować, wyjaśniając ich użycie, w połączeniu z pojęciem użyteczności, posługując się regułą służącą do wyznaczania racjonalnych decyzji (§ 51A, reguła Rs). Wyjaśnienie prawdopodobieństwa jako ilorazu zakładów jest uproszczonym przypadkiem szczególnym tej reguły.

B. Dwie trójki pojęć. W tej książce wyróżniłem trzy rodzaje pojęć naukowych (§ 4): klasyfikacyjne, porównawcze i ilościowe; np. (1) „x jest ciepły”, (2) „x jest cieplejszy niż y”, (3) „temperatura x wynosi u” („T(x) = u”). Jeśli dostępne jest pojęcie ilościowe T, to (1) i (2) można przeformułować w następujący sposób: (1) „T(x) > b”, gdzie b jest ustaloną liczbą, wybraną jako dolna granica dla „ciepły”; (2) „T(x) > T(y)”.

Ale podałem tylko jedną trójkę pojęć związanych z prawdopodobieństwem₁ (§ 8). Obecnie wydaje mi się bardziej odpowiednie, aby określić dwie trójki pojęć, I i II. Pojęcia I dotyczą pytania, jak prawdopodobna jest hipoteza h na podstawie dowodu e. Pojęcia II odnoszą się do pytania, czy i o ile zwiększa się prawdopodobieństwo h, gdy uzyskuje się nowy dowód i (oprócz wcześniejszego materiału dowodowego, który dla uproszczenia będziemy tutaj traktować jako tautologiczny). Powiedzmy (wyłącznie na potrzeby obecnej dyskusji): „h jest utwierdzona (firm)” zamiast „h jest prawdopodobna” i „h jest bardziej utwierdzona (firmer)” zamiast „h staje się bardziej prawdopodobna”; możemy więc określić pojęcia I jako „pojęcia utwierdzania”, a pojęcia II „pojęciami wzrostu utwierdzania”. Wyszczególnię teraz, w każdej z trójek I i II, (1) pojęcie klasyfikacyjne, (2) (a) ogólne pojęcie porównawcze i (3) pojęcie ilościowe; w (2) dodaję dwa przypadki szczególne, ponieważ są one używane częściej niż ogólne pojęcie, a mianowicie (b) porównanie dwóch dodatkowych dowodów i i i′ dla tej samej hipotezy h oraz (c) porównanie dwóch hipotez h i h′ w odniesieniu do tego samego dowodu i. Dla każdego z tych pojęć w ostatniej kolumnie podano wyrażenie w kategoriach 𝔠; 𝔠 należy rozumieć jako prawdopodobieństwo₁ w sensie wyjaśnionym powyżej w punkcie A. Te wzory więc jasno wskażą, co oznacza każde z wymienionych pojęć.

I. TRZY POJĘCIA UTWIERDZANIA

I 1. h jest utwierdzone względem e.

I 2. (a) h względem e jest bardziej utwierdzone niż h′ względem e′.

    (b) h jest bardziej utwierdzone względem e niż e′.

    (c) h jest bardziej utwierdzone niż h′ względem e.

I 3. (Stopień) utwierdzenia h względem e wynosi u.

𝔠(h,e) > b, gdzie b jest ustaloną liczbą

𝔠(h,e) > 𝔠(h′,e′)

𝔠(h,e) > 𝔠(h,e′)

𝔠(h,e) > 𝔠(h′,e)

𝔠(h,e) = u

II. TRZY POJĘCIA WZROSTU UTWIERDZENIA

Dla uproszczenia rozważymy tutaj tylko początkowy wzrost utwierdzenia, tj. przypadek, w którym dowód pierwotny (prior evidence) jest tautologiczny. Dokładna interpretacja tych pojęć zależy od sposobu, w jaki mierzymy wzrost utwierdzenia, czyli wzrost 𝔠. Można to osiągnąć za pomocą różnych funkcji (porównaj różne funkcje relewancji omówione w rozdziale VII). Na potrzeby niniejszego przeglądu przyjmijmy najprostszą funkcję tego rodzaju, różnicę, którą definiujemy: D(h,i) ≝ 𝔠(h,i) – 𝔠(h,t).

I 1. i zwiększa utwierdzenie h.

I 2. (a) zwiększenie utwierdzenia h przez i jest większe niż h′ przez i′.

    (b) zwiększenie utwierdzenia h przez i jest większe niż przez i′.

    (c) zwiększenie utwierdzenia h przez i jest większe niż h′.

I 3. (Wielkość) wzrostu utwierdzenia h przez i wynosi u.

D(h,e) > 0; zatem 𝔠(h,i) > 𝔠(h,t).

D(h,i) > D(h′,i′).

D(h,i) > D(h,i′); zatem: 𝔠(h,i) > 𝔠(h,i′).

D(h,i) > D(h′,i).

D(h,i) = u.

Ponieważ traktowaliśmy t jako dowód pierwotny, są to pojęcia wstępnego wzrostu utwierdzenia. Widzimy, że pojęcie klasyfikacyjne II 1 jest takie samo jak wstępna dodatnia relewancja (D65-2a). (Ogólne pojęcia relewancji byłyby względne w stosunku do zmiennego dowodu pierwotnego e. W tym przypadku pojęcie II 1 oznaczałoby „𝔠(h,e ■ i) > 𝔠(h,e)”, a zatem byłoby takie samo jak ogólne pojęcie dodatniej relewancji, D65-1a).

[Należy zauważyć, nawiasem mówiąc, że dla szczególnego przypadku 2b pojęcia porównawczego z jedną hipotezą, pojęcie II 2b pokrywa się z I 2b (podobnie jest, jeśli uwzględnimy zmienny dowód pierwotny e zamiast t). Ale ten wynik zależy od wyboru funkcji, za pomocą której mierzymy stopień wzrostu utwierdzenia; zachodzi on również dla ilorazu [zakładów], ale nie zachodzi ogólnie dla innych funkcji].

Trójki pojęć (1), (2a) i (3), zarówno w I, jak i w II, są analogiczne do trójki Ciepły, Cieplejszy i Temperatura[3]. Dostrzeżemy to łatwo, porównując wzory zawierające literę „T”, podane dla tych ostatnich pojęć na początku punktu B, ze wzorami podanymi tutaj odpowiednio w I i II.

Szczegółowo omówiłem pojęcie klasyfikacyjne w § 86, a pojęcie porównawcze w pierwszych paragrafach rozdziału VII. (Później, w punktach D i E, wrócę do problemów omówionych w tych paragrafach). Jeśli chcemy ustalić, co właściwie rozumiałem przez te pojęcia, powinniśmy się zająć nie parafrazami słownymi (które czasami okazywały się mylące, jak za chwilę stwierdzimy w punkcie C), ale raczej odpowiednimi wzorami z „𝔠” (zawsze rozumianym jako prawdopodobieństwo₁). Stwierdzamy więc (ze wzoru (4), s. 657), że pojęcie klasyfikacyjne było rozumiane w znaczeniu II 1; i podobnie (ze wzoru (2), s. 612), że pojęcie porównawcze rozumiano w znaczeniu I 2a. (We wzorze (2) wybrałem „≥” zamiast „>” ze względu na wygodę techniczną; różnica ta jest nieistotna dla naszych obecnych rozważań). Ponieważ pojęcie ilościowe zawsze rozumiane było jako I 3, moja trójka pojęć składa się z II 1, I 2 oraz I 3. Zatem moje trzy pojęcia, choć każde z nich jest interesujące, nie pasowały do siebie w taki sposób, o jaki mi chodziło, a więc jako odpowiedniki pojęć Ciepły, Cieplejszy oraz Temperatura. Jeśli weźmiemy I 1, zamiast II 1, mamy odpowiednią trójkę rodzaju I. Ciekawe jest to, że w mojej dyskusji na temat badań Hempla uważałem I 1 za alternatywną formę pojęcia klasyfikacyjnego, ale wyjaśniłem powody preferowania II 1 (patrz punkt D poniżej), które jest rzeczywiście bardziej interesującym pojęciem z tych dwóch.

C. Kwestie terminologiczne. Kiedy dzisiaj przyglądam się rozróżnieniu między pojęciami utwierdzenia a pojęciami wzrostu utwierdzenia, parafrazom i nieformalnym wyjaśnieniom, które podałem w książce dla różnych pojęć, zdaję sobie sprawę, że często są one niejednoznaczne, a czasem mogą nawet wprowadzać w błąd. Na przykład pojęcie porównawcze rozumiano (jak wspomniałem powyżej) w sensie I 2, a więc jako porównanie utwierdzenia. Jednak moje sformułowania „… mocniej potwierdzone (lub poparte, … potwierdzone, itp.)…” (s. 31, (ii) (a)) mogą raczej sugerować porównanie wzrostu utwierdzenia w sensie II 2.

Biorąc pod uwagę fakt, że czasownik „potwierdzać” (to confirm) jest niejednoznaczny i być może ma konotację „zwiększać utwierdzenie” (making firmer) nawet częściej niż „utwierdzać” (making firm), może być wskazane używanie wyrażeń o postaci „e jest dowodem potwierdzającym dla h” lub „h jest potwierdzone przez e”, jeśli w ogóle, to tylko w znaczeniu II 1 (jak zrobiłem w § 86), a nie w znaczeniu I 1.

Mam wątpliwości, co zaproponować dla pojęcia I 3. Wydaje mi się wykonalne, by pomimo dwuznaczności [terminu] „potwierdzać”, zachować termin „stopień konfirmacji” jako termin techniczny dla I 3, tak jak uczyniłem to w całej książce. Jeśli tak postąpimy, to musimy pamiętać, że „stopień konfirmacji” oznacza nie wielkość wzrostu utwierdzenia, ale stopień utwierdzenia, jaki hipoteza ma obecnie w swojej podstawie (po tym, jak została ona bardziej bądź mniej utwierdzona przez dodatkowy potwierdzający (confirming) lub obalający (disconfirming) ją dowód)[4].

Inna możliwość to potraktowanie starego, dobrego terminu „prawdopodobieństwo” również jako terminu technicznego (nie tylko w postaci „prawdopodobieństwa₁” jako nietechnicznego terminu na określenie eksplikandum, jak czynię w niniejszej książce). Z pewnością od początku chciałbym pójść za Keynesem i Jeffreysem, używając tego terminu również jako technicznego terminu na określenie eksplikatu. Ale z żalem postanowiłem tego nie robić, ponieważ w literaturze ze statystyki matematycznej, która rozrosła się w ostatnich dziesięcioleciach do olbrzymich rozmiarów, termin „prawdopodobieństwo” jest prawie wyłącznie używany w innym sensie prawdopodobieństwa₂, pojęcia częstościowego. Chociaż uważałem to użycie za bezprawną uzurpację, ponieważ jestem przekonany, że autorzy klasyczni mieli na myśli głównie nie prawdopodobieństwo₂, ale coś w rodzaju prawdopodobieństwa₁ (§ 12B), wydawało mi się wtedy niewskazane używanie terminu „prawdopodobieństwo” w sensie odbiegającym od tego, które dominuje w statystyce. Dziś sytuacja wygląda inaczej. Jak wspomniano na początku niniejszej przedmowy, jest obecnie wielu autorów, których pojęcia prawdopodobieństwa są podobne do prawdopodobieństwa₁. Zwykle na początku podkreślają różnicę między ich pojęciem prawdopodobieństwa a pojęciem częstościowym, czasami dołączając do słowa „prawdopodobieństwo” kwalifikujący przymiotnik, taki jak „subiektywny”, „personalny” czy „intuicyjny”. Ale potem używają w swoich pracach głównie prostego terminu „prawdopodobieństwo”. Myślę, że wolałbym postąpić tak samo, gdybym zdecydował się zrezygnować z terminu „stopień konfirmacji”.

W punkcie B powyżej wyjaśniłem, że moje trzy pojęcia nie utworzyły trójki zamierzonego rodzaju; tutaj, w punkcie C, zwróciłem uwagę, że moje nieformalne wyjaśnienia słowne często nie są właściwe. Pragnę podkreślić, że te dwie uwagi nie dotyczą treści mojego systemu, na który składają się formalne definicje i twierdzenia[5].

D. Klasyfikacyjne pojęcie potwierdzania zostało omówione w § 86. Tam sparafrazowałem to pojęcie w następujący sposób: „i jest potwierdzającym dowodem dla h” (s. 657, druga postać). W tym przypadku sformułowanie jest właściwe, bo miałem na myśli nie I 1, ale II 1; w związku z tym jako odpowiadający temu wzór z „𝔠” podałem: „𝔠(h,i) = 𝔠(h,t)” (s. 657, wzór (4)), jak w II 1 powyżej. Później, omawiając badania Hempla, sformułowałem przypuszczenie (s. 673), że jego oryginalne eksplikandum było takie samo jak moje (tj. II 1), np. kiedy odnosił się on do „danych korzystnych dla h” lub gdy stwierdził, że i „wzmacnia h”. Ale potem zwróciłem uwagę, że w niektórych innych miejscach rodzaj argumentów, które podał, przypuszczalnie wskazywał na to, że nieumyślnie przeszedł do innego eksplikandum, a mianowicie, „stopień konfirmacji h względem i jest większy niż r, gdzie r jest ustaloną wartością, być może wynoszącą 0 lub 1/2” (s. 673), a więc I 1. Tak więc, jeśli moje przypuszczenie o występowaniu dwóch eksplikandów u Hempla jest poprawne, to brakowało tam rozróżnienia między I a II, prawdopodobnie pod wpływem, jak w moim przypadku, dwuznaczności słowa „potwierdzanie”.

Szczególnym celem moich badań nad pojęciem klasyfikacyjnym w § 86 było znalezienie definicji, która nie będzie zawierała pojęć ilościowych, takich jak 𝔠, ale tylko L-pojęcia. Podałem taką definicję dla pojęcia ℭ′ ((s. 659, wzór (8)). Jednak nie przyjąłem ℭ′ jako eksplikatu, ponieważ stwierdziłem, że pojęcie to jest zbyt wąskie; co pokazałem za pomocą dwóch kontrprzykładów (s. 661). Dziś nadal jestem zdania (które wyraziłem w ostatnim akapicie § 86), że znalezienie nieilościowego eksplikatu jest szczególnie interesujące dla tych, którzy są sceptyczni co do możliwości ilościowego eksplikatu dla prawdopodobieństwa. W ramach ilościowej logiki indukcyjnej mamy szczegółową teorię relewancji (rozdział VI), która zawiera pojęcie II 1 jako pojęcie relewancji dodatniej, zdefiniowane ilościowo. Jeśli chodzi o pojęcie I 1, może ono być przydatne w codziennej komunikacji, np. „prawdopodobne jest, że jutro będzie padać”, ale jego przydatność w pracy naukowej jest niewiele większa niż pojęcia ciepła w fizyce.

E. Pojęcie porównawcze, rozumiane w sensie I 2, zostało przestudiowane w rozdziale VII. W tym przypadku również szukałem eksplikacji w kategoriach nieilościowych. Zaproponowałem definicję tego rodzaju (D81-1). Ale Bar-Hillel pokazał (Note 1953), że mój eksplikat był zbyt wąski. Użył tych samych dwóch kontrprzykładów, których użyłem w § 86 przeciwko ℭ′. Do mojej wcześniejszej uwagi (s. 662), że wydawało się wątpliwe, by dla pojęcia klasyfikacyjnego można znaleźć prostą definicję opartą na L-terminach, dodałem później uwagę ([Comparative], s. 318), że w przypadku pojęcia porównawczego powody dla takiej wątpliwości są jeszcze mocniejsze. W każdym razie taka definicja musiałaby wykraczać daleko poza proste L-relacje pomiędzy czterema zdaniami, których to dotyczy, a także odnosić się do wewnętrznej struktury tych zdań. Definicja tego rodzaju nie byłaby zapewne prosta. Zadanie znalezienia takiej definicji nie wydaje się dziś bardzo istotne, gdy uznajemy, że można opracować teorię ilościową.

Pomijając kwestię wyraźnej, nieilościowej definicji, pojęcie porównawcze może być interesujące jako pojęcie pierwotne w jakimś systemie aksjomatycznym. Wielu autorów zajmujących się prawdopodobieństwem (w sensie nie częstościowym) rozpoczyna od systemu aksjomatycznego dla pojęcia porównawczego. Procedura ta ma zalety, ponieważ kierując się intuicją, często łatwiej jest nam dokonać oceny porównawczej niż ilościowej. Zaproponowałem, aby do zwykłych aksjomatów porównawczych dodać kilka nowych, między innymi aksjomat symetrii w odniesieniu do poszczególnych stałych oraz aksjomat relewancji jednostkowego przypadku ([Comparative], s. 316).

F. Wymóg logicznej niezależności (§ 18B) został zniesiony. Kemeny (1951) i Bar- Hillel (1951) wskazali, niezależnie od siebie, że wymóg ten wykluczałby wszelkie pierwotne predykaty dwuargumentowe, które ze względu na swoje znaczenie, posiadają pewne własności strukturalne. Na przykład, jeśli pierwotny predykat „W” oznacza relację Cieplejszy, a zatem jest asymetryczny ze względu na swoje znaczenie, wtedy zdania atomiczne „Wab” i „Wba” są niezgodne, a zatem żaden opis stanu zawierający oba nie reprezentowałby możliwego przypadku. Możemy jednak dopuścić jako pierwotne predykaty tego rodzaju, który właśnie wskazano, a także predykaty jednoargumentowe z zachodzącymi między nimi związkami znaczeniowymi (np. predykaty oznaczające różne kolory, a przez to niezgodne), jeśli zastosujemy następującą procedurę, którą po raz pierwszy zaproponował Kemeny. Wymagamy, aby wszystkie takie związki znaczeniowe i własności strukturalne były wyrażone za pomocą szczegółowych postulatów, które nazywam postulatami znaczeniowymi czy A-postulatami ([Postulaty]; por. Kemeny, Extension 1952, Measure function 1953). Następnie definiujemy jako dopuszczalne te opisy stanów, w których zachodzą wszystkie A-postulaty. Zdania analityczne (czy A-prawdziwe), tj. te, które są prawdziwe na mocy samych znaczeń, definiuje się jako te, które zachodzą we wszystkich dopuszczalnych opisach stanów. W logice indukcyjnej bierzemy pod uwagę tylko dopuszczalne opisy stanów. Przypisujemy 𝔪-wartość równą 1 nie tylko wszystkim L-prawdziwym zdaniom (T57-1d), ale wszystkim A-prawdziwym zdaniom.

G. Zniesiono wymóg zupełności zbioru predykatów pierwotnych (§ 18B). Przyjęto specjalne aksjomaty, które zapewniają niezmienniczość wartości 𝔠 w odniesieniu do rozszerzenia języka poprzez dodanie albo nowych stałych indywiduowych, albo nowych rodzin predykatów pierwotnych.

Niezmienniczość w przypadku dodania nowej rodziny nie zachodziła w moim pierwotnym systemie. Staje się ona jednak możliwa dzięki modyfikacji traktowania predykatów pierwotnych. Wskażę teraz tę modyfikację; dla uproszczenia będę odnosił się tylko do predykatów jednoargumentowych.

Predykaty pierwotne są podzielone na rodziny (procedura ta została wskazana w § 18C, ale nie została zastosowana w książce). Na przykład może być to rodzina kolorów, inna rodzina kształtów i tym podobne. Zapewniamy, albo przez A-postulaty, albo przez odpowiednią, specjalną postać opisów stanów, aby w każdym dopuszczalnym opisie stanu dla każdej jednostki zachodził jeden i tylko jeden predykat z danej rodziny. Należy więc wprowadzić następujące zmiany. Rozdziały od IV do IX pozostają zasadniczo niezmienione, z wyjątkiem kilku miejsc (głównie w § 107A), w których omówione są systemy językowe 𝔏π. Wyjaśnienia i wyniki w tych miejscach, a ponadto w Dodatku dotyczącym funkcji 𝔠* oraz w monografii [Continuum], dotyczącej systemu lambda, należy teraz rozumieć jako ograniczone do przypadków obejmujących predykaty tylko jednej dowolnej rodziny. Liczbę π niezależnych predykatów pierwotnych należy zignorować, a liczbę κ Q-predykatów należy rozumieć jako liczbę predykatów w danej rodzinie.

Jako przykład rozważmy dowolny wzór zawierający „π” lub „κ”, lub oba, np. wzór w § 110 niniejszej książki dotyczący 𝔠*, powiedzmy (6) lub (7), albo wzór w [Continuum] na dotyczący 𝔠-funkcji systemu lambda, np. (11-4). Zastosujmy tę formułę do przypadku π = 3, więc κ = 8. Ten wynik pierwotnie zinterpretowano jako odnoszący się do następującej sytuacji: mamy trzy niezależne predykaty pierwotne, „P₁”, „P₂” oraz „P₃”, a zatem osiem Q-predykatów (czy w terminologii z § 18C, którą teraz preferuję: mamy trzy rodziny zawierające każda po dwa predykaty; pierwsza rodzina zawiera „P₁” i jego negację; druga i trzecia są analogiczne). Dzisiaj inaczej zinterpretowałbym ten wzór. Ma on zastosowanie do opisanej sytuacji jedynie w przybliżeniu (ponieważ pomija wpływ analogii); natomiast dokładnie zachodzi w innej sytuacji, a mianowicie jednej rodziny z ośmioma pierwotnymi predykatami, np. ośmioma różnymi kolorami wyczerpującymi uniwersum kolorów. Aby uzyskać dokładne wartości 𝔠 dla poprzedniej sytuacji, potrzebujemy metody dla trzech rodzin, metody innej niż wszystkie omówione w tej książce czy w [Continuum]. Wspólnie z Kemenym opracowałem ogólną metodę dla dowolnej liczby n rodzin F¹, ..., Fn, gdzie rodzina Fm (m = 1, ..., n) zawiera dowolną liczbę km predykatów pierwotnych. Wzór dla dwóch rodzin jest podany i wyjaśniony w Carnap-Stegmüller [Wahrsch.], Anhang B VIII.

Rudolf Carnap

Uniwersytet Kalifornijski w Los Angeles

styczeń 1962

NOTA

W niektórych wzorach, w których sumowanie jest wyrażone w postaci takiej jak „∑np₌₁”, znak równości p = 1 jest niewyraźny, tak że indeks dolny wygląda jak „p–1” zamiast „p = 1”. To samo występuje w innych miejscach w przypadku znaku iloczynu „∏”.

I. O EKSPLIKACJI

Po krótkim wskazaniu zagadnień, którymi należy się zająć w tej książce – zagadnienia stopnia konfirmacji, indukcji i prawdopodobieństwa (§ 1) – pozostała część tego rozdziału zawiera omówienie kilku ogólnych pytań o charakterze metodologicznym. Przez eksplikację rozumiemy przekształcenie nieprecyzyjnego, przednaukowego pojęcia, eksplikandum, w pojęcie precyzyjne, eksplikatum (§ 2). Eksplikat musi spełniać wymóg podobieństwa do eksplikandum, precyzji, owocności i prostoty (§ 3). Rozróżnia się trzy rodzaje pojęć: klasyfikacyjne (np. Ciepły), porównawcze (np. Cieplejszy) i ilościowe (np. Temperatura) (§ 4). Omówiono rolę pojęć porównawczych i ilościowych jako eksplikatów (§ 5). Krótko scharakteryzowano metodę aksjomatyczną, ze szczególnym podkreśleniem rozróżnienia między jej dwoma fazami: formalizacją i interpretacją (§ 6). W tym rozdziale kwestie metodologiczne są omówione w sposób ogólny, bez odniesienia do szczegółowych zagadnień podejmowanych w niniejszej książce. Dopiero w dalszych rozdziałach wyniki tych wstępnych wyjaśnień zostaną zastosowane do dyskusji dotyczących potwierdzenia i prawdopodobieństwa.

§ 1. Wprowadzenie: nasze zagadnienia

Podano krótkie, wstępne wskazanie zadań, które niniejsza książka spróbuje rozwiązać: klaryfikacja (1) stopnia konfirmacji, (2) indukcji, (3) prawdopodobieństwa.

Głównymi zadaniami tej książki będą:

1) klaryfikacja i, jeśli to możliwe, definicja pojęcia stopnia konfirmacji;

2) klaryfikacja logicznej natury indukcji i, jeśli to możliwe, konstrukcja systemu logiki indukcyjnej;

3) klaryfikacja pojęcia prawdopodobieństwa.

Teraz podanych zostanie tylko kilka wstępnych wyjaśnień tych zagadnień.

1. Kiedy naukowcy mówią o naukowym prawie lub teorii, czy też o jednostkowym stwierdzeniu, na przykład przewidywaniu, z jednej strony, oraz o określonych danych obserwacyjnych czy wynikach eksperymentalnych, z drugiej, to często stwierdzają związek między tymi elementami w następującej postaci:

a. „Ten eksperyment ponownie potwierdza teorię T” (lub: „… dostarcza nowego dowodu na…”).

b. „Teorię kwantową potwierdzają w znacznie większym stopniu dane eskperymentalne znane obecnie niż te dostępne dwadzieścia lat temu” (lub: „… mocniej wspierają …”). Pojęcia dowodu potwierdzającego (confirming evidence) lub stopnia konfirmacji używane w tego rodzaju stwierdzeniach są zwykle wystarczająco dobrze zrozumiane w przypadku prostych, praktycznych celów, ale rzadko kiedy są precyzyjnie wyjaśniane. Jednym z głównych zadań tej książki będzie sprecyzowanie tego rodzaju pojęć i opracowanie teorii relacji logicznych zachodzących między jakąkolwiek hipotezą a jakimkolwiek fragmentem wiedzy, który można uznać za dowód potwierdzający hipotezę.

2. Zagadnienie indukcji w najszerszym znaczeniu – dotyczące hipotezy o dowolnej, niekoniecznie uniwersalnej postaci – jest w istocie tym samym, co zagadnienie logicznej relacji między hipotezą a jakimś potwierdzającym ją dowodem. A zatem, ustalając definicję pojęcia stopnia konfirmacji oraz konstruując logiczną teorię opartą na tym pojęciu, opracujemy system logiki indukcyjnej. Podczas gdy logikę dedukcyjną można uznać za teorię opartą na pojęciu konsekwencji logicznej lub dedukowalności, logika indukcyjna jest teorią opartą na czymś, co można by nazwać stopniem indukowalności, czyli stopniem konfirmacji.

3. Zagadnienie prawdopodobieństwa jest również blisko związane z zagadnieniem indukcji. Często dokonywano takiej konstatacji, przynajmniej w odniesieniu do jednej z różnych koncepcji prawdopodobieństwa, które znajdujemy w rozwoju historycznym (czasami określanej jako prawdopodobieństwo indukcyjne). Spróbujemy wykazać, że musimy rozróżnić dwa główne pojęcia prawdopodobieństwa; jedno z nich jest określone w kategoriach częstości i ma zastosowanie empiryczne, drugie jest pojęciem logicznym i jest tym samym, co stopień konfirmacji. Zostanie pokazane, że oba są ważne dla metody naukowej, a tym samym spór między dwoma „koncepcjami” prawdopodobieństwa zostanie zażegnany.

Widzimy zatem, że jedno lub kilka zagadnień, które zamierzamy podjąć, ma następujący charakter. Istnieje pewien termin („potwierdzający dowód”, „stopień konfirmacji”, „prawdopodobieństwo”), który jest używany w języku potocznym i przez naukowców bez dokładnego zdefiniowania, a my postaramy się, aby użycie tych terminów stało się bardziej precyzyjne czy też, jak to określimy, aby podać ich eksplikację. Zadanie eksplikacji ma bardzo ogólne znaczenie dla konstrukcji pojęć. Dlatego pozostałą część tego rozdziału (§§ 2-6) poświęcimy omówieniu ogólnego charakteru metody eksplikacji, a dopiero w następnym rozdziale (§ 8) powrócimy do naszych szczegółowych zagadnień konfirmacji i prawdopodobieństwa.

§ 2. Klaryfikacja eksplikandum

Przez procedurę eksplikacji rozumiemy przekształcenie nieprecyzyjnego, przednaukowego pojęcia, eksplikandum, w nowe, precyzyjne pojęcie, eksplikat. Chociaż eksplikacji nie można podać za pomocą precyzyjnych terminów, musi być ona ujęta tak jasno, jak to możliwe, za pomocą nieformalnych wyjaśnień i przykładów.

Zadanie eksplikacji polega na przekształceniu danego, mniej lub bardziej nieprecyzyjnego pojęcia w pojęcie precyzyjne, a raczej na zastąpieniu pierwszego przez drugie. Dane pojęcie (czy termin użyty na jego określenie) nazywamy eksplikandum, a precyzyjne pojęcie zaproponowane w miejsce pierwszego (lub zaproponowanego dla niego terminu) – eksplikat. Eksplikandum może należeć do języka potocznego lub do wcześniejszego etapu rozwoju języka naukowego. Eksplikat musi być określony przez jawne reguły jego użycia, na przykład poprzez definicję, która włącza je do dobrze skonstruowanego systemu naukowych pojęć bądź logiczno-matematycznych, bądź empirycznych.

Termin „eksplikat” został mi zasugerowany przez następujące dwa użycia. Kant określa sąd jako eksplikatywny, jeśli predykat uzyskuje się poprzez analizę podmiotu. Husserl, mówiąc o syntezie identyczności między mętnym, niewyartykułowanym sensem a później zamierzonym wyraźnym, wyartykułowanym sensem, nazywa ten ostatni „Eksplikatem” tego pierwszego. (W przypadku obu użyć patrz Dictionary of philosophy [1942], red. D. Runes, s. 105). To, co rozumiem przez „eksplikandum” i „eksplikat”, jest do pewnego stopnia podobne do tego, co C. H. Langford określa „analizandum” i „analizansem”: „analiza określa następnie odpowiednią relację równoważności między analizandum a analizansem” („The notion of analysis in Moore’s philosophy”, w: The Philosophy of G. E. Moore [1943], red. P. A. Schilpp, s. 321-42; patrz s. 323); stwierdza on, że motywem analizy „jest zazwyczaj zastąpienie stosunkowo niejasnej idei przez bardziej precyzyjną” (ibid., s. 329).

(Być może zamiast określenia „eksplikat” można by rozważyć „eksplikans”, wydaje mi się jednak, że analogia z terminami „definiendum” i „definiens”' nie byłaby użyteczna, ponieważ jeśli eksplikacja polega na podaniu jawnej definicji, to zarówno definiens, jak i definiendum w tej definicji wyrażają eksplikat, podczas gdy eksplikandum nie występuje w niej). Procedura eksplikacji jest tu rozumiana szerzej niż procedury analizy i klaryfikacji, które mają na myśli Kant, Husserl i Langford. Eksplikat (w moim sensie) jest w wielu przypadkach wynikiem analizy eksplikandum (i to zmotywowało mój dobór terminów); w innych przypadkach jednak celowo odbiega od eksplikandum, ale nadal w jakiś sposób zajmuje jego miejsce; stanie się to jasne po kolejnych przykładach.

Problem eksplikacji jest charakterystycznie różny od zwykłych zagadnień naukowych (logicznych czy empirycznych), w których zarówno dane, jak i rozwiązanie są, w sprzyjających warunkach, sformułowane w sposób precyzyjny (na przykład: „Jaki jest iloczyn 3 i 5?”, „Co się dzieje, gdy prąd elektryczny przechodzi przez wodę?”). W zagadnieniu eksplikacji to, co dane, a mianowicie eksplikandum, nie jest sformułowane za pomocą precyzyjnych terminów; gdyby tak było, żadna eksplikacja nie byłaby konieczna. Ponieważ to, co dane, jest nieprecyzyjne, sam problem nie jest sformułowany precyzyjnie; a mimo to oczekuje się, że podamy precyzyjne rozwiązanie. To jedna z zagadkowych osobliwości eksplikacji. Wynika z tego, że proponując rozwiązanie problemu eksplikacji, nie możemy dokładnie rozstrzygnąć, czy jest ono poprawne, czy nie. Ściśle mówiąc, pytanie, czy rozwiązanie jest poprawne, czy nie, nie ma sensu, ponieważ nie ma wyraźnej odpowiedzi. Należy raczej zapytać, czy proponowane rozwiązanie jest zadowalające, czy bardziej zadowalające niż inne, i tym podobne. Wkrótce stanie się jaśniejsze, co rozumie się przez te pytania.

Zanim przejdziemy do głównego pytania, a mianowicie, jakie są wymagania wobec zadowalającego rozwiązania problemu eksplikacji, to znaczy wobec zadowalającego eksplikatu, przyjrzyjmy się nieco dokładniej sposobowi, w jaki ten problem ma być sformułowany, czyli w jaki sposób ma zostać sformułowane eksplikandum. Istnieje pokusa, by pomyśleć, że skoro eksplikandum i tak nie może być sformułowane za pomocą precyzyjnych terminów, to nie ma znaczenia, jak sformułujemy ten problem. Ale to byłoby całkowicie niewłaściwe. Wręcz przeciwnie, skoro nawet w najlepszym przypadku nie możemy osiągnąć pełnej precyzji, więc aby dyskusja na temat tego problemu nie stała się całkowicie jałowa, musimy uczynić wszystko, co w naszej mocy, aby przynajmniej praktycznie stało się jasne, co rozumie się przez eksplikandum. To, co X rozumie przez określony termin w kontekstach pewnego rodzaju, jest przynajmniej praktycznie jasne dla Y, jeśli Y jest w stanie poprawnie przewidzieć X-a interpretację w odniesieniu do większości prostych, zwykłych przypadków użycia tego terminu w tych kontekstach. Wydaje mi się, że filozofowie, podnosząc zagadnienia analizy czy eksplikacji, bardzo często naruszają ten wymóg. Zadają pytania w rodzaju: „Czym jest przyczynowość?”, „Czym jest życie?”, „Czym jest umysł?”, „Czym jest sprawiedliwość?” itd. Następnie często od razu zaczynają szukać odpowiedzi bez uprzedniego zbadania milczącego założenia, że terminy w tych pytaniach są przynajmniej praktycznie na tyle jasne, żeby mogły służyć za podstawę do badania, analizy czy eksplikacji. Chociaż terminy, o których mowa, są terminami niesystematycznymi, nieprecyzyjnymi, istnieją sposoby osiągnięcia względnie dobrego wzajemnego zrozumienia tego, jakie jest ich zamierzone znaczenie. Wskazanie znaczenia za pomocą kilku przykładów zamierzonego użycia i innych przykładów użycia, które nie jest obecnie zamierzone, może pomóc w zrozumieniu. Można dodać nieformalne wyjaśnienie w terminach ogólnych. Wszystkie wyjaśnienia tego rodzaju służą jedynie temu, by jasne stało się, co należy rozumieć przez eksplikandum; nie formułują one jeszcze eksplikacji, powiedzmy, definicji eksplikatu; należą jeszcze do sformułowania problemu, a nie do konstrukcji odpowiedzi. (Przykłady. 1. Mógłbym powiedzieć, na przykład: „Przez eksplikandum ‘sól’ mam na myśli nie jego szerokie znaczenie, jakie ma w chemii, ale jego wąskie znaczenie, w jakim jest używany w języku potocznym”. To wyjaśnienie nie jest jeszcze eksplikacją; tę ostatnią można podać na przykład przez złożone wyrażenie „chlorek sodu” lub synonimiczny z nim symbol „NaCl” w języku chemii. 2. „Szukam eksplikacji terminu ‘prawdziwy’, nie jako używanego w wyrażeniach takich jak ‘prawdziwa demokracja’, ‘prawdziwy przyjaciel’ itp., ale w życiu codziennym, w postępowaniu sądowym, w logice i nauce, w sensie ‘poprawny’, ‘trafny’, ‘prawdomówny’, ‘nie fałszywy’, ‘ani błąd, ani kłamstwo’, jako stosowany do stwierdzeń, asercji, raportów, opowiadań itp.”. To wyjaśnienie nie jest jeszcze eksplikacją; eksplikacja może być sformułowana za pomocą definicji w ramach pojęć semantycznych, na przykład za pomocą definicji „prawdziwy” Tarskiego podanej w [Wahrheitsbegriff] (skrócone tytuły w nawiasach kwadratowych odsyłają do Bibliografii na końcu niniejszego tomu) lub za pomocą D17-1 poniżej. Dzięki wyjaśnieniom tego rodzaju czytelnik może krok po kroku uzyskać jaśniejszy obraz tego, co jest zamierzone do uwzględnienia, a co do wykluczenia; w ten sposób można dojść do zrozumienia zamierzonego znaczenia, które jest dalekie od doskonałości teoretycznej, ale może być wystarczające dla praktycznych celów dyskusji na temat możliwych eksplikacji.

§ 3. Wymogi dla eksplikatu

Pojęcie musi spełniać następujące wymogi, aby było adekwatnym eksplikatem dla danego eksplikandum: (1) podobieństwo do eksplikandum, (2) precyzja, (3) owocność, (4) prostota.

Załóżmy, że chcemy wyeksplikować pewne przednaukowe pojęcie, które zostało wystarczająco wyklaryfikowane za pomocą przykładów i wyjaśnienień, tak jak właśnie omówiono. Co ma osiągnąć eksplikacja tego pojęcia? Stwierdzić, że dane pojęcie przednaukowe ma zostać przekształcone w pojęcie precyzyjne, oznacza oczywiście, że należy wprowadzić pojęcie precyzyjne odpowiadające danemu pojęciu. Jakiego rodzaju zgodność jest wymagana między pierwszym pojęciem, eksplikandum, a drugim, eksplikatem?

Ponieważ eksplikandum jest mniej lub bardziej niejasne, a na pewno bardziej niż eksplikat, jest oczywiste, że nie możemy wymagać, aby zgodność między tymi dwoma pojęciami była całkowitym przypadkiem. Ale można by pomyśleć, że eksplikat powinien być tak bliski lub tak podobny do eksplikandum, jak pozwala na to niejasność tego ostatniego. Jednak łatwo zauważyć, że wymóg ten byłby zbyt mocny, że faktyczna procedura naukowców często nie jest z nim zgodna, i to z dobrych powodów. Jako przykład rozważmy przednaukowy termin „ryba”. Tworząc systematyczny język zoologii, pojęcie Ryby określane za pomocą tego terminu zostało zastąpione przez naukowe pojęcie określane za pomocą tego samego terminu „ryba”; użyjmy dla tego ostatniego pojęcia terminu „piscis”, aby uniknąć nieporozumień. Kiedy porównamy eksplikandum Ryba z eksplikatem Piscis, dostrzegamy, że nie pokrywają się one nawet w przybliżeniu. Ta ostatnia jest znacznie węższa niż pierwsza; wiele gatunków zwierząt objętych pojęciem ryby, na przykład wieloryby i foki, jest wykluczonych z pojęcia Piscis. [Sytuację tę nieadekwatnie opisuje stwierdzenie: „Wcześniejsze przekonanie, że wieloryby (w języku niemieckim nazywane nawet „Walfische”) są również rybami, zostało obalone przez zoologię”. Przednaukowy termin „ryba” oznaczał mniej więcej tyle, co „zwierzę żyjące w wodzie”; dlatego jego stosowanie do wielorybów itp. było całkowicie poprawne. Zmiana, jakiej w tym względzie dokonali zoologowie, nie była korektą w zakresie wiedzy faktualnej, ale zmianą reguł języka; ta zmiana, co prawda, była motywowana faktualnymi odkryciami]. To, że eksplikandum Ryba zostało zastąpione przez eksplikatum Piscis, nie oznacza, że poprzedni termin zawsze można zastąpić tym drugim; ze względu na wspomnianą różnicę znaczeń oczywiście tak nie jest. Pierwsze pojęcie zostało zastąpione przez drugie w tym sensie: pierwsze nie jest już potrzebne w dyskursie naukowym; większość z tego, co zostało stwierdzone wcześniej za pomocą pierwszego pojęcia, można teraz powiedzieć za pomocą drugiego (choć często w innej formie, a nie przez proste zastąpienie). Ważne jest, aby w postępowaniu zoologów zwrócić uwagę zarówno na konwencjonalne, jak i faktualne elementy. Konwencjonalny element polega na tym, że mogli oni postępować w inny sposób. Zamiast pojęcia Piscis mogli wybrać inne pojęcie – użyjmy dla niego terminu „piscis*” – który również byłby precyzyjnie zdefiniowany, ale który byłby znacznie bardziej podobny do pojęcia przednaukowego Ryby, nie wykluczając wielorybów, fok itp. Jaki był ich motyw, aby nawet nie brać pod uwagę szerszego pojęcia, takiego jak Piscis*, a zamiast tego sztucznie skonstruować nowe pojęcie piscis, dalekie od jakiegokolwiek pojęcia w języku przednaukowym? Powodem było to, że zdali sobie sprawę z faktu, że pojęcie Piscis dawało nadzieję na bycie pojęciem znacznie bardziej owocnym niż jakiekolwiek pojęcie bardziej podobne do pojęcia Ryby. Pojęcie naukowe jest tym bardziej owocne, im bardziej można je powiązać z innymi pojęciami na podstawie zaobserwowanych faktów; innymi słowy, im bardziej można je wykorzystać w formułowaniu praw. Zoolodzy odkryli, że zwierzęta, do których odnosi się pojęcie Ryby, czyli żyjące w wodzie, mają zdecydowanie mniej innych wspólnych własności niż zwierzęta żyjące w wodzie, będące kręgowcami zimnokrwistymi i przez całe życie posługujące się skrzelami. Stąd pojęcie Piscis zdefiniowane przez te ostatnie własności pozwala na bardziej ogólne stwierdzenia niż jakiekolwiek pojęcie zdefiniowane tak, aby było bardziej podobne do pojęcia Ryby; i to właśnie sprawia, że pojęcie Piscis jest bardziej owocne.

Oprócz owocności naukowcy w swoich pojęciach cenią prostotę. Miarą prostoty pojęcia może być, po pierwsze, prostota formy jego definicji, a po drugie – prostota formy praw łączących je z innymi pojęciami. Ta własność ma jednak drugorzędne znaczenie. Naukowcy wprowadzają wiele skomplikowanych pojęć, które okazują się bardzo przydatne. Ogólnie rzecz biorąc, prostota jest brana pod uwagę tylko w przypadku, gdy pojawia się kwestia wyboru między kilkoma pojęciami, które osiągają mniej więcej to samo i wydają się równie owocne; jeśli te pojęcia wykazują wyraźną różnicę w stopniu prostoty, naukowiec z reguły wybierze najprostsze z nich.

Zgodnie z tymi rozważaniami zadanie eksplikacji można scharakteryzować w następujący sposób. Jeżeli pojęcie podane jest jako eksplikandum, to zadanie polega na znalezieniu innego pojęcia jako jego eksplikatu, który w wystarczającym stopniu spełnia poniższe wymogi.

1. Eksplikat ma być podobny do eksplikandum w taki sposób, aby w większości przypadków, w których do tej pory używano eksplikandum, można było użyć eksplikatu; jednakże ścisłe podobieństwo nie jest wymagane i dopuszczalne są znaczące różnice.

2. Charakterystyka eksplikatu, czyli reguł jego użycia (np. w postaci definicji), ma być podana w dokładnej postaci, tak aby wprowadzić eksplikatum do dobrze powiązanego systemu pojęć naukowych.

3. Eksplikat ma być pojęciem owocnym, czyli przydatnym do formułowania wielu zdań uniwersalnych (praw empirycznych w przypadku pojęcia nielogicznego, twierdzeń logicznych w przypadku pojęcia logicznego).

4. Eksplikat powinien być tak prosty, jak to tylko możliwe; czyli tak prosty, jak pozwalają na to ważniejsze wymogi (1), (2) i (3).

Filozofowie, naukowcy i matematycy bardzo często dokonują eksplikacji. Jednak nierzadko dyskutują wprost o ogólnych regułach, którymi niejawnie się posługują. Dobre jawne sformułowanie podał Karl Menger w związku z jego eksplikacją pojęcia wymiaru („What is dimension?”, Amer. Math. Monthly, 50 [1943], 2-7; patrz s. 5: § 3 „Kryteria zadowalającej definicji” [eksplikacji, w naszej terminologii]). Sformułował on następujące wymogi. Eksplikacja „musi obejmować wszystkie byty, które są zawsze denotowane, i musi wykluczać wszystkie byty, które nigdy nie są denotowane” przez eksplikandum. Eksplikacja „powinna poszerzyć użycie tego słowa, ujmując przedmioty nieznane lub nieujęte w języku potocznym. W odniesieniu do takich bytów definicja [eksplikacja] nie może być pomocna, będąc arbitralną”. Eksplikacja „musi prowadzić do wielu konsekwencji”, twierdzeń posiadających „ogólność i prostotę” oraz łączących eksplikatum z pojęciami występującymi w innych teoriach. Por. także dyskusje C. H. Langforda, które były przywołane w § 2.

Uwagi terminologiczne. 1. Słowo „pojęcie” jest używane w niniejszej książce jako wygodne wspólne określenie odnoszące się do własności, relacji i funkcji. [Należy zwrócić uwagę, że (a) nie odnosi się ono do terminów, tj. słów lub fraz, ale do ich znaczeń i (b) nie odnosi się do mentalnych wystąpień pojmowania, ale do czegoś obiektywnego]. Bardziej szczegółowe wyjaśnienia znajdują się w [Semantics], s. 230; [Meaning], s. 21. 2. Jeżeli mówię o jakimś wyrażeniu (np. słowie, frazie, zdaniu itp.) w odróżnieniu od jego znaczenia czy desygnatów, to umieszczam je w cudzysłowie. To, że takie rozróżnienie jest konieczne, aby uniknąć nieporozumień, staje się coraz bardziej jasne wraz z najnowszymi osiągnięciami logiki i analizy języka. 3. Jeśli chcę mówić o pojęciu (własności, relacji lub funkcji) będącym desygnatem słowa, czasami posługuję się tym słowem pisanym z wielkiej litery, zwłaszcza jeśli nie jest to rzeczownik (por. [Meaning], s. 17n). Na przykład mógłbym napisać „relacja Cieplejszy”; napisanie zamiast tego „relacja cieplejszy” wyglądałoby dziwnie i byłoby sprzeczne z gramatyką języka polskiego; napisanie „relacja x jest cieplejszy od y” byłoby niewygodne ze względu na długość; powszechny sposób zapisu „relacja ‘cieplejszy’” nie byłby do końca poprawny, ponieważ „cieplejszy” nie jest relacją, lecz słowem oznaczającym relację. Podobnie niekiedy będę pisał: „własność (lub pojęcie) Ryby” (zamiast „własność bycia rybą”); „własność (lub pojęcie) Czerwony” (zamiast „własność bycia czerwonym” lub „własność czerwieni”), i tym podobnie.

Arne Naess definiuje i posługuje się pojęciem, które wydaje się być związane z naszą koncepcją Eksplikatu („Interpretation and preciseness. I. Survey of basic concepts” [Oslo Universitetets Studentkontor, 1947] [powielone]; to jest pierwszy rozdział mającej się ukazać książki). Naess definiuje „sformułowanie U jest bardziej precyzyjne niż T (w tym sensie, że U można z korzyścią wstawić w miejsce T)” poprzez „istnieją interpretacje T, które nie są interpretacjami U, ale nie ma interpretacji U, które nie byłyby także interpretacjami T” (ibid., s. 38). To porównawcze pojęcie umożliwia Naessowi posługiwanie się serią następujących po sobie „precyzacji” danego pojęcia. Naess zapowiada, że późniejszy rozdział (iii) jego książki będzie „poświęcony zagadnieniu tego, jak mierzyć stopnie wieloznaczności, niejasności i podobnych własności”. Wspomniane pojęcie porównawcze i te pojęcia ilościowe mogą okazać się skutecznymi narzędziami do przeprowadzenia bardziej wnikliwej analizy eksplikacji.

§ 4. Pojęcia klasyfikacyjne, porównawcze i ilościowe

Pojęcie klasyfikacyjne (np. Ciepły) służy do klasyfikowania rzeczy na dwa rodzaje. Pojęcie porównawcze to relacja oparta na porównaniu, w znaczeniu „więcej (pod pewnym względem)” (np. Cieplejszy) lub „więcej lub równo”. Pojęcie ilościowe służy do opisania czegoś za pomocą wartości liczbowych (np. temperatura).

Wśród rodzajów pojęć stosowanych w nauce trzy mają szczególne znaczenie. Określamy je jako pojęcia klasyfikacyjne, porównawcze i ilościowe. Wykorzystamy to rozróżnienie w naszej późniejszej dyskusji potwierdzania i prawdopodobieństwa. W myśleniu przednaukowym najczęściej stosuje się pojęcia klasyfikacyjne. W toku rozwoju nauki zastępowane są one w sformułowaniach naukowych coraz powszechniej pojęciami dwóch pozostałych rodzajów, choć zawsze pozostają one użyteczne przy formułowaniu wyników obserwacji. Pojęcia klasyfikacyjne to te, które służą do klasyfikacji rzeczy lub przypadków na dwa lub kilka wzajemnie wykluczających się rodzajów. Stosuje się je na przykład, dzieląc substancje na metale i niemetale, a następnie metale na żelazo, miedź, srebro itp.; podobnie, gdy dzieli się zwierzęta i rośliny na gromady, a następnie na rzędy, rodziny, rodzaje i wreszcie gatunki[6]; gdy rzeczy, które nas otaczają, są opisywane jako ciepłe lub zimne, duże lub małe, twarde lub miękkie itd., bądź gdy są klasyfikowane jako domy, kamienie, stoły, ludzie itd. W tych przykładach pojęciami klasyfikującymi są własności. W innych przypadkach są to relacje, na przykład te, oznaczone przez wyrażenia „x jest blisko y” oraz „osoba x jest zaznajomiona z dziedziną nauki y”. (Relację można traktować jako własność par uporządkowanych). Pojęcia ilościowe (zwane także pojęciami metrycznymi lub numerycznymi, lub funkcjami liczbowymi) to te, które służą do charakteryzowania rzeczy lub zdarzeń, lub niektórych ich cech, poprzez przypisywanie wartości liczbowych; wartości te można określić bezpośrednio przez pomiar bądź pośrednio przez obliczenia na podstawie innych wartości tego samego lub innego pojęcia. Przykładami pojęć ilościowych są długość, długość czasu, prędkość, objętość, masa, siła, temperatura, ładunek elektryczny, cena, IQ, śmiertelność noworodków itp. W wielu przypadkach pojęcie ilościowe odpowiada pojęciu klasyfikacyjnemu. Zatem temperatura odpowiada własności Ciepły; a pojęcie odległości mniejszej niż pięć mil odpowiada relacji bliskości. Metodę pojęć ilościowych, a tym samym pomiaru, stosowano początkowo tylko w odniesieniu do zdarzeń fizycznych, ale później coraz częściej również w innych dziedzinach, zwłaszcza w ekonomii i psychologii. Pojęcia ilościowe są bez wątpienia najskuteczniejszymi instrumentami w arsenale naukowym. Czasami naukowcy, zwłaszcza w dziedzinie nauk społecznych i psychologii, stoją na stanowisku, że w przypadkach, w których nie znaleziono sposobu na wprowadzenie pojęcia ilościowego, pozostaje tylko użycie pojęć najprostszych, to znaczy klasyfikacyjnych. Tutaj jednak przeoczają oni możliwość i użyteczność pojęć porównawczych, które w pewnym sensie stoją między tymi dwoma pozostałymi rodzajami. Pojęcia porównawcze (czasami określane jako pojęcia topologiczne lub porządkowe) służą do sformułowania wyniku porównania w postaci stwierdzenia więcej-mniej bez użycia wartości liczbowych. Zanim wprowadzono naukową, ilościową koncepcję temperatury, język potoczny zawierał pojęcia porównawcze. Zamiast jedynie klasyfikowania rzeczy na kilka rodzajów za pomocą terminów takich jak „gorący”, „ciepły”, „letni”, „zimny”, możliwe było bardziej efektywne scharakteryzowanie za pomocą stwierdzeń, że x jest cieplejszy niż y (lub zimniejszy, lub równie ciepły, w zależności od danego przypadku).

Pojęcie porównawcze jest zawsze relacją. Jeżeli leżącym u podstaw pojęciem klasyfikacyjnym jest własność (np. Ciepły), to pojęciem porównawczym jest relacja diadyczna, to znaczy taka, która zawiera dwa argumenty (np. Cieplejszy). Jeśli pojęcie klasyfikacyjne jest relacją diadyczną (np. relacja x bycia zaznajomionym z (dziedziną) y), to pojęcie porównawcze ma na ogół cztery argumenty (np. relacja x bycia lepiej zaznajomionym z y niż u z v). Czasami użyteczne jest traktowanie relacji tetradycznej jako relacji diadycznej między dwiema parami. (Możemy na przykład powiedzieć: „relacja bycia zaznajomionym zachodzi dla pary x, y w wyższym stopniu niż dla pary u, v”.). Czasami preferowane jest wprowadzenie relacji triadycznej zamiast relacji tetradycznej. Jeśli nie wiemy, jak porównać stopień wiedzy Petera z fizyki z wiedzą Jacka z historii, być może zadowoli nas użycie jednej lub obu triadycznych relacji wyrażonych następującymi frazami: „x jest lepiej zaznajomiony z (dziedziną) y niż z v”, „x jest zaznajomiony z y lepiej niż u”. Pierwsza z tych relacji wymaga, abyśmy byli w stanie porównać stopień wiedzy Petera z fizyki z jego wiedzą z historii, co może wydawać się problematyczne. Druga relacja dotyczy porównania wiedzy Petera z fizyki z wiedzą Jacka; tutaj wydaje się łatwiejsze wymyślenie odpowiednich testów.

Każde z podanych powyżej przykładowych pojęć porównawczych ma znaczenie „więcej” lub „w wyższym stopniu” w odniesieniu do danego pojęcia klasyfikacyjnego. Dla każdego z tych klasyfikacyjnych pojęć (np. Ciepły) możemy podobnie skonstruować pojęcie porównawcze oznaczające „mniej” lub „w niższym stopniu” (np. Mniej ciepły; innymi słowy, Zimniejszy); jest to odwrotność pierwszego pojęcia porównawczego. W obu przypadkach pojęcie porównawcze, traktowane jako relacja diadyczna (zachodząca dla prostych bytów, par itp.), ma oczywiście następujące własności relacyjne: jest niezwrotne, przechodnie i (zatem) asymetryczne. (Definicje tych i innych terminów teorii relacji znajdują się w D25-2).

Oprócz wspomnianej postaci pojęć porównawczych istnieje inna, mniej znana, ale często bardziej użyteczna. Pojęcie tego drugiego rodzaju nie oznacza „więcej”, ale „więcej lub równo” w odniesieniu do leżącego u podstaw pojęcia klasyfikacyjnego, innymi słowy, „co najmniej w tym samym stopniu”, to znaczy „w tym samym stopniu lub wyższym” (np. relacja x bycia co najmniej tak ciepłym jak y). Albo może oznaczać „mniej lub równo” (np. relacja x bycia mniej ciepłym niż y lub równie ciepłym jak y; innymi słowy, relacja x bycia co najwyżej tak ciepłym jak y). Jak łatwo zauważyć, pojęcie porównawcze tego drugiego rodzaju, traktowane jako relacja diadyczna, jest zwrotne i przechodnie, ale ani nie jest symetryczne, ani asymetryczne. Relacja porównawcza jest czasami takiego rodzaju, że dla dowolnych x oraz y zachodzi albo między x i y, albo między y i x (albo w obu kierunkach). W takim przypadku relacja (na przykład Cieplejszy-Lub-Równie-Ciepły) nadaje swoim elementom rodzaj liniowego porządku. Jeśli jednak ten warunek nie zostanie spełniony, to wtedy istnieją przypadki nieporównywalne. Może więc być tak, że uda nam się porównać osiągnięcia naukowe dwóch osób, jeśli obie pracują w tej samej dziedzinie, podczas gdy nie znamy sposobu, w jaki można porównać fizyka z historykiem.

W języku potocznym pierwsza postać pojęcia porównawczego jest znacznie bardziej powszechna niż druga. Istnieje wiele pojedynczych słów na określenie tej pierwszej postaci, na przykład „powyżej”, „poza”, „po” itp., a zwłaszcza porównań, na przykład „więcej”, „cieplejszy” itp., podczas gdy nie ma prawie żadnych słów dla tych o drugiej postaci. Z drugiej strony, istnieje ogólna tendencja w rozwoju języka nauki w kierunku pojęć, które są szersze niż odpowiadające im pojęcia z języka przednaukowego dzięki temu, że obejmują przypadki ekstremalne, zwłaszcza przypadki o wartości zero, identyczności czy równości; na przykład termin „liczba” jest obecnie traktowany jako obejmujący 0, „klasa” jako obejmujący klasę pustą, „prędkość” jako obejmujący przypadek spoczynku traktowany jako prędkość wynoszącą 0 itd. W odniesieniu do pojęć porównawczych trend ten oznacza rozwój od tych pierwszego rodzaju do drugiego, ponieważ te drugie obejmują graniczny przypadek równości. Jedną z zalet tych drugiego rodzaju jest to, że na podstawie „więcej lub równo” możemy zdefiniować „równy”, jak też i „więcej” („x = y” można zdefiniować przez „x ≥ y oraz y ≥ x”; „x > y” przez „x ≥ y, ale nie y ≥ x”), podczas gdy na podstawie „więcej” nie możemy zdefiniować ani „równy”, ani „więcej lub równy”. Z tych powodów, kiedy przejdziemy do dyskusji na temat porównawczego pojęcia potwierdzania (§ 8), przyjmiemy jedną z tych drugich postaci, wyrażoną przez: „h jest potwierdzone przez e w tym samym lub wyższym stopniu niż h′ przez e′”.

Analiza pojęć porównawczych i ilościowych oraz wyjaśnienie kroków, jakie należy podjąć przy konstruowaniu tego rodzaju pojęć, znajduje się w: Carnap, Physikalische Begriffsbildung (Karlsruhe, 1926). C. G. Hempel i P. Oppenheim opracowali i poprawili charakterystykę tych dwóch rodzajów pojęć i zilustrowali ich role w różnych dziedzinach nauki w swojej książce Der Typusbegriff im Lichte der neuen Logik: Wissenschaftstheoretische Untersuchungen zur Konstitutionsforschung und Psychologie (Leiden, 1936).

§ 5. Pojęcia porównawcze i ilościowe jako eksplikaty

Rola pojęć porównawczych i ilościowych jako eksplikatów została omówiona w ramach przygotowań do późniejszej dyskusji na temat porównawczych i ilościowych pojęć potwierdzania.

Pojęcia klasyfikacyjne to najprostszy i najmniej efektywny rodzaj pojęć. Pojęcia porównawcze są mocniejsze, a pojęcia ilościowe jeszcze bardziej; to znaczy, że pozwalają nam precyzyjniej opisać konkretną sytuację i, co ważniejsze, sformułować bardziej kompleksowe prawa ogólne. Dlatego też historyczny rozwój języka często przebiega następująco: pewna cecha wydarzeń obserwowanych w przyrodzie jest najpierw opisywana za pomocą pojęcia klasyfikacyjnego; następnie pojęcie porównawcze jest używane zamiast lub dodatkowo do pojęcia klasyfikacyjnego; a jeszcze później wprowadza się pojęcie ilościowe. (Oczywiście te trzy etapy rozwoju nie zawsze występują w tym porządku czasowym).

Sytuację można zilustrować na przykładzie tych pojęć, które doprowadziły do ilościowego pojęcia temperatury. Stan ciał w odniesieniu do ciepła można opisać w najprostszy i najbardziej prymitywny sposób za pomocą pojęć klasyfikacyjnych, takich jak Gorący, Ciepły i Zimny (i być może kilku innych). Możemy sobie wyobrazić wczesny, niezarejestrowany etap rozwoju naszego języka, na którym dostępne były tylko te terminy klasyfikacyjne. Później nastąpiło zasadnicze udoskonalenie języka poprzez wprowadzenie terminu porównawczego, takiego jak „cieplejszy”. W przypadku tego przykładu, podobnie jak w wielu innych, ten drugi krok został już dokonany w języku przednaukowym. Wreszcie podczas konstrukcji języka naukowego wprowadzono odpowiadające mu pojęcie ilościowe, czyli temperaturę.

Pojęcie Temperatury może być traktowane jako eksplikatum dla porównawczego pojęcia Cieplejszy. Pierwszy z wymogów dotyczących eksplikatów, omówionych w § 3, dotyczący podobieństwa czy zgodności z eksplikandum, oznacza w niniejszym przypadku, co następuje: pojęcie Temperatury ma być takie, że w większości przypadków, jeśli x jest cieplejsze niż y (w sensie przednaukowym, opartym na odczuciach ciepła przez skórę), to temperatura x jest wyższa niż y. W tym miejscu można poczynić kilka uwag.

(i) Ten wymóg odnosi się do większości, ale nie do wszystkich, przypadków. Łatwo zauważyć, że wymóg ten jest spełniony tylko w tym ograniczonym sensie. Załóżmy, że dwukrotnie wchodzę do umiarkowanie ogrzanego pomieszczenia, najpierw wychodząc z przegrzanego pomieszczenia, a później z zimna, które jest na zewnątrz. Wtedy może się zdarzyć, że zadeklaruję na podstawie moich doznań, iż pomieszczenie za drugim razem jest cieplejsze niż za pierwszym, podczas gdy za drugim razem termometr wskazuje taką samą temperaturę jak za pierwszym (lub nawet nieco niższą). Tego rodzaju doświadczenia wcale nie prowadzą do wniosku, że pojęcie Temperatura zdefiniowane w odniesieniu do termometru jest nieadekwatne jako eksplikatum dla pojęcia Cieplejszy. Wręcz przeciwnie, przyzwyczailiśmy się uznawać, że we wszystkich przypadkach niezgodności pojęcie naukowe ma pierwszeństwo przed przednaukowym. Innymi słowy, termin „cieplejszy” przeszedł zmianę znaczeniową. Jego znaczenie pierwotnie opierało się bezpośrednio na porównywaniu doznań ciepła, ale po akceptacji naukowego pojęcia Temperatury w naszym codziennym języku słowo „cieplejszy” jest używane w znaczeniu „mający wyższą temperaturę”. Zatem doświadczenie opisane powyżej jest teraz formułowane w następujący sposób: „Byłem przekonany, że za drugim razem pokój był cieplejszy niż za pierwszym razem, ale to był błąd; pokój faktycznie nie był cieplejszy; zdałem sobie z tego sprawę za pomocą termometru”. W odniesieniu do tego drugiego, naukowego znaczenia „cieplejszy” będziemy używać w dalszej dyskusji terminu „cieplejszy*”.

(ii) Odwrotność powyższego wymogu byłaby taka: pojęcie Temperatura ma być takie, że jeśli x nie jest cieplejsze niż y (w sensie przednaukowym), to temperatura x nie jest wyższa niż y. Należy zdać sobie sprawę, że nie jest to wymagane, nawet „w większości przypadków”. Kiedy różnica między temperaturami x i y jest niewielka, to z reguły nie zauważamy różnicy w naszych doznaniach ciepła. To znowu nie jest powodem odrzucenia pojęcia Temperatury. Wręcz przeciwnie, tutaj ponownie przyzwyczailiśmy się do nowego, naukowego pojęcia Cieplejszy*, i dlatego mówimy: „x jest faktycznie cieplejszy* niż y, chociaż nie odczuwamy tej różnicy”.

(iii) Zatem mamy dwa naukowe pojęcia odpowiadające przednaukowemu pojęciu Cieplejszy. Jedno to pojęcie porównawcze Cieplejszy*, a drugie to pojęcie ilościowe Temperatury. Każde z nich może być uznane za eksplikat dla Cieplejszy. Oba są zdefiniowane w odniesieniu do termometru. Ponieważ termometr ma większą moc rozróżniania niż nasze doznania ciepła, oba pojęcia naukowe przewyższają pojęcie przednaukowe, ponieważ pozwalają na precyzyjniejsze opisy. Procedura prowadząca od eksplikandum do jednego z tych dwóch eksplikatów jest następująca. Na początku pojęcie przednaukowe kieruje nami w wyborze eksplikatum (z możliwymi wyjątkami, jak omówiono wcześniej). Gdy eksplikatum zostanie zdefiniowane w stosunkowo prosty sposób, postępujemy zgodnie z jego wskazaniami w przypadkach, w których pojęcie przednaukowe nie jest wystarczająco rozróżniające. Byłoby możliwe, ale wysoce niewskazane, zdefiniowanie pojęcia Temperatury w taki sposób, że mówi się, iż x i y mają tę samą temperaturę, ilekroć nasze doznania nie wykazują różnicy między nimi. Takie pojęcie byłoby bardziej zgodne z eksplikandum niż faktycznie używane pojęcie Temperatury. Jednak to ostatnie ma tę zaletę, że jest dużo prostsze zarówno w odniesieniu do jego definicji – innymi słowy w odniesieniu do metody jego pomiaru – jak i w formułowanych przy jej pomocy prawach.

(iv) Spośród dwóch terminów naukowych „cieplejszy*” i „temperatura” to ten ostatni jest ważny dla nauki; a pierwszy służy jedynie jako wygodny skrót dla „mający wyższą temperaturę”. Ilościowe pojęcie Temperatury dowiodło swojej wielkiej owocności przez fakt, że występuje ono w wielu ważnych prawach. Nie zawsze tak jest w przypadku pojęć ilościowych w nauce, nawet jeśli są one dobrze zdefiniowane przez dokładne reguły pomiaru. Na przykład w psychologii zdarzało się czasem, że pojęcie ilościowe było definiowane przez dokładny opis testów, ale nie spełniało się oczekiwanie znalezienia praw łączących wartości w ten sposób zmierzone z wartościami innych pojęć; potem pojęcie zostało ostatecznie odrzucone jako nieowocne. Jeśli chodzi o eksplikację przednaukowego pojęcia, to sytuacja opisanego rodzaju, w której nie udaje nam się znaleźć adekwatnego ilościowego eksplikatum, nie powinna całkowicie zniechęcać nas do prób eksplikacji. Być może uda się znaleźć odpowiedni porównawczy eksplikat. Pokażemy to na fikcyjnym przykładzie. Doświadczenie prowadzące do pojęcia Temperatury było najpierw porównawcze; okazało się, że jeśli x jest cieplejsze niż y (w sensie przednaukowym) i doprowadzamy do kontaktu obiektu z rtęci najpierw z x, a później z y, to za pierwszym razem ma on większą objętość niż za drugim. Za pomocą pewnego urządzenia możliwy był pomiar niewielkich różnic w objętości rtęci; i to zostało potraktowane jako podstawa dla ilościowego pojęcia Temperatury. Załóżmy teraz fikcyjnie, że nie znaleźliśmy technicznych środków do pomiaru różnic w objętości rtęci, chociaż byliśmy w stanie zaobserwować, czy rtęć rozszerza się, czy kurczy. W takim przypadku nie powinniśmy mieć podstaw do ilościowego pojęcia Temperatury, ale nadal byłoby możliwe zdefiniowanie porównawczego pojęcia Cieplejszy* w odniesieniu do rozszerzania się rtęci. To naukowe pojęcie Cieplejszego* mogło następnie zostać potraktowane jako eksplikat w odniesieniu do przednaukowego pojęcia Cieplejszego. Tutaj, w fikcyjnym przypadku, pojęcie Cieplejszy* miałoby większe znaczenie niż w rzeczywistej fizyce, ponieważ byłby to jedyny eksplikat. Zauważmy, że Cieplejszy* jest tutaj zasadniczo tym samym pojęciem, co Cieplejszy* we wcześniejszej dyskusji, ale istnieje różnica w postaci obu definicji. W pierwszym przypadku zdefiniowaliśmy Cieplejszy* w kategoriach wyższej temperatury, a więc za pomocą pojęcia ilościowego; tutaj, w fikcyjnym przypadku, definiuje się go w odniesieniu do porównawczego pojęcia rozszerzania się rtęci bez użycia pojęć ilościowych. Rozróżnienie między tymi dwoma sposobami definiowania pojęcia porównawczego, sposobem ilościowym i sposobem czysto porównawczym, czyli nieilościowym, będzie miało znaczenie później, gdy będziemy omawiać porównawcze pojęcie potwierdzenia.

Aby osłabić fikcyjne założenie, przypuśćmy, że można zmierzyć różnicę objętości, a zatem że można zdefiniować ilościowe pojęcie Temperatury, ale – co jest fikcyjną cechą – nie odkryto żadnych ważnych praw zawierających to pojęcie. W tym przypadku to pojęcie zostałoby odrzucone jako nieowocne. Zatem też w tym przypadku pojęcie porównawcze Cieplejszy* byłoby potraktowane jako jedyny eksplikat dla Cieplejszy.

Później, omawiając problem eksplikacji dla pojęcia potwierdzania, wyróżnimy trzy pojęcia: klasyfikacyjne, porównawcze i ilościowe. Są one analogiczne do pojęć Ciepły, Cieplejszy i Temperatura; zatem wyniki niniejszej dyskusji zostaną w niej wykorzystane.

§ 6. Formalizacja i interpretacja

Metoda aksjomatyczna składa się z dwóch faz: formalizacji i interpretacji. Formalizacja teorii polega na budowie systemu aksjomatycznego. To jest system półformalny; terminy aksjomatyczne pozostawia się bez interpretacji, podczas gdy niektóre terminy logiczne przyjmowane są w ich powszechnym znaczeniu. Interpretację systemu aksjomatycznego podaje się za pomocą reguł, które określają znaczenie terminów aksjomatycznych. Dla zilustrowania odróżnienia tych dwóch faz wyjaśniono różnicę między Peano aksjomatycznym systemem arytmetyki a systemem arytmetyki Fregego-Russella, który podaje interpretację.

Wprowadzenie nowych pojęć do języka nauki – jako eksplikatów dla pojęć przednaukowych, bądź też niezależnie – odbywa się niekiedy w dwóch oddzielnych etapach: formalizacji i interpretacji. W ciągu ostatniego półwiecza znaczenie procedury rozdzielania tych etapów stale rosło. Te dwa etapy to dwie fazy tak zwanej metody aksjomatycznej (lub postulacyjnej) w jej nowoczesnej postaci (w odróżnieniu od jej tradycyjnej formy pochodzącej od Euklidesa). Często sam pierwszy krok jest już bardzo przydatny, a czasami upływa sporo czasu, zanim następuje drugi krok.

Formalizacja (czy aksjomatyzacja) teorii lub pojęć teorii jest tutaj rozumiana w sensie konstrukcji systemu formalnego, systemu aksjomatycznego (czy systemu postulatów) dla tej teorii.

Nie mówimy tutaj o systemie formalnym w ścisłym tego słowa znaczeniu, określanym niekiedy jako rachunek (w ścisłym sensie) lub system syntaktyczny; w systemie tego rodzaju wszystkie reguły są czysto syntaktyczne, a wszystkie występujące znaki są pozostawione bez interpretacji (patrz [Semantics] § 24). Z drugiej strony, nie mówimy o tradycyjnych systemach aksjomatycznych, które są w całości interpretowane. W rozważaniach w tej książce mamy raczej na myśli te pół-formalne, pół-zinterpretowane systemy, które współcześni autorzy, zwłaszcza matematycy, konstruują pod tytułem systemów aksjomatycznych (lub systemów postulatów). W systemie tego rodzaju terminy aksjomatyczne (na przykład w Hilberta systemie aksjomatycznym geometrii terminy „punkt”, „linia”, „leżący na”, „między” i inne) pozostają niezinterpretowane, podczas gdy dla wszystkich lub niektórych występujących w nim terminów logicznych (np. „nie”, „lub”, „każdy”), a czasami dla pewnych wyrażeń arytmetycznych (np. „jeden”, „dwa”) zakładana jest – w większości przypadków milcząco – ich powszechna interpretacja. (Wyjaśnienie pół-formalnego charakteru systemów aksjomatycznych podano w [Foundations] § 16).

Interpretacja systemu aksjomatycznego polega na interpretacji jego pierwotnych terminów aksjomatycznych. Interpretację tę podają reguły określające znaczenia, jakie zamierzamy nadać tym terminom; te reguły mają więc charakter semantyczny. (Nazywa się je czasami definicjami korelacyjnymi („Zuordnungsdefinitionen” Reichenbacha) lub korelacjami epistemicznymi (Northrop)). Czasami interpretację terminu można podać w prostej formie jawnej definicji; definicję tę można uznać za regułę semantyczną, która stwierdza, że dany termin ma mieć takie samo znaczenie jak określone wyrażenie złożone składające się z terminów, o których znaczeniu zakłada się, że jest znane.

W naszych późniejszych rozważaniach na temat prawdopodobieństwa bardzo ważne będzie jasne rozpoznanie charakteru metody aksjomatycznej, a zwłaszcza rozróżnienia między formalizacją a interpretacją. Niektórzy autorzy są przekonani, że podali rozwiązanie problemu prawdopodobieństwa, w naszej terminologii, że podali eksplikację prawdopodobieństwa, po prostu konstruując system aksjomatyczny dla prawdopodobieństwa bez podania jego interpretacji; jednakże dla eksplikacji interpretacja jest nieodzowna. Zilustrujemy teraz metodę aksjomatyczną i rozróżnienie między jej dwiema fazami, rozważając przykład arytmetyki liczb naturalnych. Terminami przednaukowymi w tej dziedzinie są liczebniki „jeden”, „dwa” itd. (lub odpowiadające im cyfry) oraz terminy odnoszące się do operacji arytmetycznych, takie jak „plus” (poprzednio „i”), „razy” itp., gdyż są one używane w języku potocznym do liczenia rzeczy i obliczeń dokonywanych za pomocą liczb odnoszących się do rzeczy. Wstępne kroki w kierunku usystematyzowania tej teorii i eksplikacji jej terminów czyniono od kilku tysięcy lat w postaci reguł obliczeń. Pierwszym systemem aksjomatycznym dla arytmetyki, który spełnia współczesne wymagania odnoszące się do precyzji sformułowania, jest słynny system aksjomatów G. Peano. System ten przyjmuje jako pierwotne terminy aksjomatyczne „0”, „liczba” i „następnik”. Składa się z pięciu aksjomatów, między innymi: „0 jest liczbą” oraz „następnik liczby to liczba”. Na podstawie wspomnianych terminów pierwotnych, można wprowadzić terminy dla zwykłych operacji arytmetycznych za pomocą definicji rekurencyjnych. Na podstawie aksjomatów i definicji rekurencyjnych można udowodnić zwykłe twierdzenia arytmetyki elementarnej. W tej procedurze wymienione terminy pierwotne i terminy wprowadzone na ich podstawie pozostają niezinterpretowane. Jedynie ze względów dydaktycznych i psychologicznych nie wybiera się arbitralnie symboli jako terminów prymitywnych, ale powszechne znaki lub słowa. Ich dobrze znane znaczenia ułatwiają posługiwanie się znakami w dedukcjach, ale dedukcje te są formalne w tym sensie, że w żadnej kwestii nie wykorzystują znaczeń terminów aksjomatycznych.

System aksjomatyczny Peano, dostarczając powszechnych formuł arytmetyki, osiąga w tej dziedzinie wszystko to, co jest wymagane z punktu widzenia matematyki formalnej. Jednak nie osiągnął on jeszcze eksplikacji terminów arytmetycznych „jeden”, „dwa”, „plus” itd. Aby to zrobić, należy podać interpretację dla tego półformalnego systemu aksjomatycznego. Istnieje nieskończona liczba prawdziwych interpretacji tego systemu, to znaczy zbiorów bytów spełniających aksjomaty lub, jak się zwykle mówi, modeli dla tego systemu. Jednym z nich jest zbiór liczb naturalnych, których używamy w życiu codziennym. Ale można wykazać, że wszystkie zbiory dowolnych bytów wykazujące taką samą strukturę jak zbiór liczb naturalnych pod względem rzędu ich wielkości – w terminologii Russella, wszystkie progresje – również są modelami systemu Peano. Z punktu widzenia systemu formalnego nie ma rozróżnienia między tymi nieskończenie licznymi modelami. Jednak aby sformułować tę jedyną interpretację, do której dążymy, musimy wyeksplikować terminy „jeden”, „dwa” itp., tak jak są one rozumiane, kiedy stosujemy je w życiu codziennym.

Pierwsze dokładne eksplikacje zwykłych terminów arytmetycznych zostały podane przez G. Fregego, a później w podobny sposób przez Bertranda Russella. Zarówno Frege, jak i Russell podają eksplikaty dla pojęć arytmetycznych poprzez jawne definicje na podstawie czysto logicznego systemu, o którego terminach pierwotnych zakłada się z góry, że są interpretowane. Na podstawie tej interpretacji terminów arytmetycznych aksjomaty Peano stają się twierdzeniami w logice, które można udowodnić. Historycznie i psychologicznie zaskakujący jest fakt, że ta eksplikacja była tak trudnym zadaniem i została osiągnięta tak późno, chociaż jej eksplikanda, elementarne pojęcia arytmetyki, są rozumiane i poprawnie używane przez każde dziecko oraz od tysięcy lat są z powodzeniem stosowane, a do pewnego stopnia również zostały usystematyzowane.

Ważne jest, aby wyraźnie dostrzec różnicę między systemami arytmetycznymi Peano i Fregego. Jak już wspomniano, system Peano nie wykracza poza granice matematyki formalnej. Tylko system Fregego pozwala nam zastosować pojęcia arytmetyczne do opisu faktów; umożliwia nam przekształcenie zdania takiego jak „liczba palców mojej prawej ręki to 5” do postaci, która nie zawiera żadnych wyrażeń arytmetycznych. System Peano również zawiera termin „5”, ale tylko jako niezinterpretowany symbol. Pozwala nam on wyprowadzić formuły takie jak „3 + 2 = 5”, ale nie mówi nam, jak rozumieć termin „5”, gdy występuje w zdaniu faktualnym, takim jak zdanie o palcach. Tylko system Fregego pozwala nam zrozumieć zdania tego rodzaju, to znaczy wiedzieć, co musimy zrobić, aby dowiedzieć się, czy to zdanie jest prawdziwe, czy nie.

Ogólny wynik tych rozważań jest następujący. Gdy tylko przejdziemy od matematyki formalnej do wiedzy o faktach przyrodniczych, innymi słowy, do nauk empirycznych, które obejmują matematykę stosowaną, potrzebujemy czegoś więcej niż zwykłego rachunku lub systemu aksjomatycznego; do tego systemu należy dodać interpretację.

Odnośnie do systemów arytmetycznych Peano, Fregego i Russella: G. Peano, Arithmetices principia (1889); G. Frege, Grundlagen der Arithmetik (1884); Grundgesetze der Arithmetik (2 tomy; 1893, 1903); Bertrand Russell, The principles of mathematics (1903); z A. N. Whiteheadem, [Princ. Math.]. Omówienie różnicy między arytmetyką Peano a arytmetyką Fregego i Russella w: Russell, Introduction to mathematical philosophy (1918), rozdz. 1 i 2; oraz Carnap [Foundations] §§ 17n.

II. DWA POJĘCIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Różne teorie prawdopodobieństwa są próbą wyeksplikowania tego, co jest uważane za przednaukowe pojęcie prawdopodobieństwa. W rzeczywistości jednak istnieją dwa zasadniczo odmienne pojęcia, dla których termin „prawdopodobieństwo” jest w powszechnym użyciu. Te dwa pojęcia są następujące, wyróżnione tutaj indeksem dolnym.

(i) Prawdopodobieństwo₁, to stopień konfirmacji hipotezy h w odniesieniu do dowodu e, np. raportu obserwacyjnego. To jest pojęcie logiczne, semantyczne. Zdanie o tym pojęciu opiera się nie na obserwacji faktów, lecz na analizie logicznej; jeśli jest prawdziwe, to jest L-prawdziwe (analityczne).

(ii) Prawdopodobieństwo₂ to częstość względna (na dłuższą metę) jednej własności zdarzeń lub rzeczy w odniesieniu do innej. Zdanie o tym pojęciu jest faktualne, empiryczne.

Oba pojęcia są ważne dla nauki. Wielu autorów, którzy przyjmują jedno z dwóch pojęć jako eksplikandum, nie zdaje sobie sprawy z wagi, a nawet istnienia, drugiego pojęcia. Doprowadziło to do jałowych kontrowersji. Prawdopodobieństwo₂ jest oczywiście pojęciem obiektywnym. Ważne jest, aby uświadomić sobie, że prawdopodobieństwo₁ jest tak samo obiektywne. Wydaje mi się, że większość autorów od czasów klasycznych do współczesnych, którzy nie akceptują częstościowej interpretacji prawdopodobieństwa, ma na myśli coś w rodzaju prawdopodobieństwa₁ jako eksplikandum, a same ich systemy są obiektywistyczne. Ten ostatni fakt jest często przesłonięty przez stosowanie mylących subiektywistycznych sformułowań, głównie we wstępnych wyjaśnieniach, np. w terminach stopni faktycznego czy rozsądnego przekonania. Ten psychologizm w logice indukcyjnej, czyli w teorii prawdopodobieństwa₁, jest dość analogiczny do dobrze znanego psychologizmu w logice dedukcyjnej, który jest coraz bardziej eliminowany w logice współczesnej.

§ 8. Semantyczne pojęcia potwierdzania

Pojęcia potwierdzania, którymi zajmiemy się w tej książce, są semantyczne, czyli oparte na znaczeniu, oraz logiczne, czyli niezależne od faktów. Należą one nie do logiki dedukcyjnej, lecz indukcyjnej. Wyróżniamy trzy semantyczne pojęcia potwierdzania: (i) klasyfikacyjne pojęcie potwierdzania („hipoteza h jest potwierdzona przez dowód e”, symbolicznie „ℭ(h,e)”); (ii) porównawcze pojęcie potwierdzania („h jest potwierdzone przez e co najmniej tak samo jak h′ przez e′”, „𝔐ℭ(h,e,h′,e′)”); (iii) ilościowe pojęcie potwierdzania, pojęcie stopnia konfirmacji („h jest potwierdzone przez e w stopniu q”, „𝔠(h,e) = q”.

Jednym z głównych zadań tej książki będzie eksplikacja pewnych pojęć związanych z naukową procedurą potwierdzania bądź obalania hipotez za pomocą obserwacji, które będziemy krótko określać pojęciami potwierdzania. Na późniejsze rozdziały pozostawiamy zadanie określenia definicji eksplikatów; obecnie zajmujemy się tylko wyjaśnieniem eksplikandów – innymi słowy, sformułowaniem naszego problemu, a nie jego rozwiązaniem.

Procedura potwierdzania jest złożoną procedurą, na którą składają się różnego rodzaju komponenty. W tej książce zajmujemy się tylko tym, co można nazwać logicznym aspektem potwierdzania, a mianowicie pewnymi relacjami logicznymi między zdaniami (czy sądami logicznymi wyrażonymi przez te zdania). W praktyce procedury potwierdzania, relacje te interesują naukowca na przykład w następującej sytuacji. Zamierza on zbadać pewną hipotezę h; dokonuje wielu obserwacji konkretnych wydarzeń, które uważa za istotne dla oceny hipotezy h; formułuje wyniki wszystkich dokonanych obserwacji, lub tylu z nich, ile jest istotne, w raporcie e, który jest długim zdaniem. Następnie próbuje określić, czy, i w jakim stopniu, hipoteza h jest potwierdzona przez dowód obserwacyjny e. Tylko to ostatnie pytanie jest zagadnieniem, którym będziemy się zajmować. Nazywamy to pytaniem logicznym, ponieważ po sformułowaniu hipotezy w h oraz całego możliwego materiału dowodowego w e (nie musi być to materiał dowodowy faktycznie zaobserwowany), zagadnienie, czy i o ile h jest potwierdzone przez e, może rozwiązać jedynie logiczna analiza h i e oraz ich relacji. To zagadnienie nie jest kwestią faktów w tym sensie, że do znalezienia odpowiedzi wymagana jest wiedza faktualna. Zdania h oraz e, które są badane, z pewnością odnoszą się do faktów. Ale kiedy już podano h oraz e, wspomniane pytanie wymaga jedynie, abyśmy byli w stanie je zrozumieć, to znaczy uchwycić ich znaczenia i ustalić określone relacje, które są oparte na ich znaczeniach. Ponieważ traktujemy semantykę jako teorię znaczeń wyrażeń języka, a zwłaszcza zdań (zostanie to wyjaśnione później), relacje między h oraz e, które mają zostać zbadane, można scharakteryzować jako semantyczne; dlatego nazywamy je semantycznymi pojęciami potwierdzania.

Zagadnienie potwierdzania, które nas tutaj interesuje, zostało scharakteryzowane powyżej jako zagadnienie logiczne. Aby uniknąć nieporozumień, należy w tym miejscu sformułować zastrzeżenie. Wspomniane zagadnienie nie należy do logiki dedukcyjnej, ale do logiki indukcyjnej. Podobieństwa i różnice między tymi dwoma gałęziami logiki zostaną później szczegółowo omówione (§ 43B). Obie gałęzie łączy to, że rozwiązanie ich problemów nie wymaga wiedzy faktualnej, a jedynie analizy znaczenia; dlatego obie części logiki należą do semantyki. To podobieństwo pozwala wyjaśnić logiczny charakter relacji potwierdzania przez analogię z bardziej znaną relacją w logice dedukcyjnej, a mianowicie relacją h bycia logiczną konsekwencją e, w naszej terminologii, relacją L-implikacji (tj. implikacji logicznej czy konsekwencji, w odróżnieniu od implikacji materialnej) między e a h. Niech e będzie zdaniem „wszyscy ludzie są śmiertelni i Sokrates jest człowiekiem”, a h zdaniem „Sokrates jest śmiertelny”. Zarówno e, jak i h mają treść faktualną. Ale, aby odpowiedzieć na pytanie, czy e L-implikuje h, nie potrzebujemy żadnej wiedzy faktualnej, nie musimy wiedzieć, czy e jest prawdziwe, czy fałszywe, czy h jest prawdziwe, czy fałszywe, czy ktoś wierzy w e, a jeśli tak, to na jakiej podstawie. Wystarczy tylko logiczna analiza znaczenia obu zdań. Analogicznie, aby odpowiedzieć na pytanie, na ile hipoteza h jest potwierdzona przez raport obserwacyjny e – pytanie z zakresu logiki, ale tutaj logiki indukcyjnej, a nie dedukcyjnej – nie musimy wiedzieć, czy e jest prawdziwe, czy fałszywe, czy h jest prawdziwe, czy fałszywe, czy ktokolwiek wierzy w e, a jeśli tak, to czy na podstawie obserwacji, czy po prostu z wyobraźni, czy też w jakikolwiek inny sposób. Potrzebujemy tylko logicznej analizy znaczeń obu zdań. To jest powód, dla którego nasz problem nazywamy logicznym lub semantycznym problemem potwierdzania, w odróżnieniu od tego, co można by nazwać metodologicznymi problemami potwierdzania (§ 44A), np. jak najlepiej skonstruować aparat i przygotować go do pewnych eksperymentów, jak przeprowadzać eksperymenty, obserwować wyniki itp., a wszystko to w celu eksperymentalnego zbadania danej hipotezy.

W tej książce zajmiemy się trzema semantycznymi koncepcjami potwierdzania. Chociaż w przedstawionym powyżej zastosowaniu dowodem jest zwykle raport obserwacyjny, a hipoteza jest prawem lub przewidywanie, nie będziemy ograniczać naszych pojęć potwierdzania do jakichkolwiek określonych treści czy postaci obu zdań. Te trzy semantyczne pojęcia potwierdzania należą do trzech poziomów pojęć wyjaśnionych wcześniej (§ 4).

(i) Klasyfikacyjne pojęcie potwierdzania to relacja między dwoma zdaniami h i e, która jest zwykle wyrażana zdaniami o następującej postaci:

„h jest potwierdzone przez e”.

„h jest wsparte (supported) przez e”.

„e stanowi pewien (pozytywny) dowód h”.

„e jest dowodem popierającym (czy korroborującym) założenie h”.

Tutaj e jest zwykle, tak jak w poprzednim przykładzie, raportem obserwacyjnym, ale może również odnosić się do określonych stanów rzeczy, które nie są jeszcze znane, ale są jedynie zakładane, i może nawet obejmować zakładane prawa; h zwykle jest stwierdzeniem o nieznanym stanie rzeczy, np. przewidywaniem, lub może to być prawo, lub inna hipoteza. Jasne jest, że to pojęcie potwierdzania jest relacją między dwoma zdaniami, a nie własnością jednego z nich. Jest zatem analogiczne do przykładów, jak „bliski” lub „zaznajomiony” dla pojęć klasyfikacyjnych z § 4, a nie do tych dotyczących własności. Powszechne sformułowania, które wspominają tylko o hipotezie, są oczywiście eliptyczne; dowód został milcząco zrozumiany. Na przykład, kiedy fizyk głosi: „Ta hipoteza jest dobrze potwierdzona”, ma na myśli „… na podstawie dowodu wyników obserwacyjnych znanych dzisiaj fizykom”. (Wady tych eliptycznych sformułowań patrz poniżej, §§ 10A oraz 42A). W rozważaniach na temat eksplikatów dla klasyfikacyjnego pojęcia potwierdzania będziemy używać symbolu „ℭ” (§ 86); zatem „ℭ(h,e)” będzie odpowiadać sformułowaniom wymienionym powyżej.

(ii) Porównawcze pojęcie potwierdzania jest zwykle wyrażane w zdaniach o następującej lub podobnej postaci:

a. „h jest mocniej potwierdzone (lub wsparte, poparte, skorroborowane itp.) przez e niż h′ przez e′”.

Mamy tu relację tetradyczną między czterema zdaniami. Można ją również traktować jako relację diadyczną między dwiema parami zdań, h,e oraz h′,e′. Ogólnie rzecz biorąc, dwie hipotezy h oraz h′ różnią się od siebie, podobnie jak dwa zbiory dowodów e i e′. Niektórzy naukowcy być może zwątpią, czy porównanie o tej najbardziej ogólnej postaci jest możliwe, i mogą, być może, ograniczać stosowanie pojęcia porównawczego do tych sytuacji, w których porównuje się dwa zbiory dowodów w odniesieniu do tej samej hipotezy (przykład (b)), lub w których dwie hipotezy są analizowane w odniesieniu do jednego dowodu (przykład (c)). W obu przypadkach pojęcie porównawcze jest relacją triadyczną między trzema zdaniami.

b. „Ogólna teoria względności jest mocniej potwierdzona przez wyniki eksperymentów laboratoryjnych i obserwacji astronomicznych, które są dziś znane, niż przez te znane w 1905 r.”.

c. „Zjawiska optyczne dostępne fizykom w XIX wieku zostały adekwatniej wyjaśnione przez falową teorię światła niż teorię korpuskularną; innymi słowy, dały one silniejsze wsparcie pierwszej teorii niż drugiej”.

Punkty (a), (b) i (c) używają tego rodzaju pojęcia porównawczego, które oznacza „więcej (pod pewnym względem)”. Jak widzieliśmy wcześniej (§ 4), istnieje drugi rodzaj, który oznacza „więcej lub równo” i który, choć mniej powszechny, jest czasem bardziej przydatny. Tak jest również w przypadku pojęć potwierdzania. Dlatego, gdy później przejdziemy do problemu eksplikacji dla porównawczego pojęcia konfirmacji (rozdział VII), to jako eksplikandum potraktujemy relację wyrażoną zwykle w zdaniach o następującej lub podobnej postaci:

d. „h jest potwierdzone przez e co najmniej tak mocno (tj. albo mocniej, albo równo) jak h′ przez e′”.

Następnie użyjemy „𝔐ℭ” jako symbolu rozważanego eksplikatu. Zatem „𝔐ℭ((h,e,h′,e′)” odpowiada powszechnemu sformułowaniu (d).

(iii) Ilościowe (lub metryczne) pojęcie potwierdzania, pojęcie stopnia konfirmacji. Zdaje się, że opinie są podzielone co do tego, czy tego rodzaju pojęcie kiedykolwiek pojawia się w powszechnym dyskursie naukowców, to znaczy, czy kiedykolwiek przypisują wartość liczbową temu, w jakim stopniu hipoteza jest poparta przez dany materiał obserwacyjny, czy też wykorzystują oni jedynie klasyfikacyjne i porównawcze pojęcia potwierdzania. W niniejszej dyskusji pozostawiamy to pytanie otwarte; nawet gdyby to drugie miało miejsce, próba znalezienia ilościowego eksplikatu dla porównawczego eksplikandum byłaby wartościowa (byłoby to analogiczne do omawianego wcześniej przykładu (§ 5): dla porównawczego eksplikandum Cieplejszy, wskazano nie tylko porównawczy eksplikat Cieplejszy*, ale także adekwatny ilościowy eksplikat). Opinie są dziś także podzielone co do tego, czy istnieją dobre perspektywy znalezienia zadowalającego ilościowego pojęcia potwierdzania. Omówimy szczegółowo ten problem. W naszych ogólnych rozważaniach na temat możliwych rozwiązań, symbol „𝔠” będzie używany na określenie stopnia konfirmacji (za Hosiasson). Zatem „𝔠(h,e) = q” zostanie zapisane w miejsce: „stopień konfirmacji h względem e wynosi q”; tutaj, h i e są zdaniami, a q jest liczbą rzeczywistą z przedziału 0–1. W tomie II zdefiniujemy specyficzne pojęcie tego rodzaju i zaproponujemy je jako eksplikatum; w odniesieniu do niego użyty będzie symbol „𝔠*”. Na podstawie tego pojęcia skonstruowany zostanie system logiki indukcyjnej.

§ 9. Dwa pojęcia prawdopodobieństwa

Różne teorie prawdopodobieństwa oferują wiele różnych eksplikatów. Czasami dzieli się je na trzy grupy: (i) koncepcja klasyczna, (ii) koncepcja logiczna, (iii) koncepcja częstotliwości. Jednak okazuje się, że różne teorie nie są odpowiedziami na ten sam problem, tj. eksplikacjami tego samego eksplikandum. Istnieją dwa główne eksplikanda, dwa zasadniczo różne znaczenia słowa „prawdopodobieństwo” w użyciu przedsystematycznym: (i) prawdopodobieństwo₁ = stopień konfirmacji oraz (ii) prawdopodobieństwo₂ = częstość względna. Kontrowersje między koncepcją częstościową a teoriami po drugiej stronie są postrzegane jako jałowe, wywołane głównie przez fakt, że większość autorów po każdej ze stron nie zdaje sobie sprawy, że ci po drugiej stronie rozpoczynają od innego eksplanandum, którego eksplikacja ma również wielkie znaczenie dla nauki. Zostanie podanych kilka wyjaśnień dotyczących prawdopodobieństwa₂.

Historia teorii prawdopodobieństwa to historia prób znalezienia eksplikacji dla przednaukowego pojęcia prawdopodobieństwa. Liczba rozwiązań, jakie zaproponowano dla tego problemu w trakcie jego historycznego rozwoju, jest dość duża. Różnice, choć czasami niewielkie, w wielu przypadkach są znaczne. Aby uporządkować tę zdumiewającą mnogość, podjęto kilka prób uporządkowania tych licznych rozwiązań w kilka grup. Poniżej znajduje się prosta i dość wiarygodna klasyfikacja różnych koncepcji prawdopodobieństwa na trzy grupy (zaproponowane przez Nagela [Principles]): (i) koncepcja klasyczna, zapoczątkowana przez Jacoba Bernoulliego, systematycznie rozwijana przez Laplace’a i reprezentowana w różnych formach przez ich kontynuatorów; tutaj prawdopodobieństwo definiuje się jako stosunek liczby korzystnych przypadków do liczby wszystkich możliwych przypadków; (ii) koncepcja prawdopodobieństwa jako pewnego obiektywnego związku logicznego między sądami logicznymi (czy zdaniami); głównymi przedstawicielami tej koncepcji są John M. Keynes i Harold Jeffreys; (iii) koncepcja prawdopodobieństwa jako częstości względnej, rozwinięta najpełniej w teoriach Richarda von Misesa, Hansa Reichenbacha i we współczesnej statystyce matematycznej.

Obecnie nie będziemy omawiać tych różnych koncepcji. Chociaż głównym przedmiotem zainteresowania zarówno autorów, jak i odbiorców różnych teorii prawdopodobieństwa są zwykle rozwiązania proponowane w tych teoriach, my przyjrzymy się tym teoriom z innego punktu widzenia. Nie będziemy pytać, jakie rozwiązania proponują ci autorzy, ale raczej jakie problemy mają rozstrzygnąć te rozwiązania; innymi słowy, nie będziemy pytać, jakie eksplikaty są proponowane, ale raczej jakie pojęcia są przyjmowane jako eksplikanda.

Pytanie to może wydawać się zbędne, a fakt oczywisty, że eksplikandum dla każdej teorii prawdopodobieństwa jest przednaukowe pojęcie prawdopodobieństwa, tj. znaczenie, w jakim słowo „prawdopodobieństwo” jest używane w języku przednaukowym. Czy jednak słuszne jest założenie, że ze słowem „prawdopodobieństwo” w jego powszechnym użyciu wiąże się tylko jedno znaczenie, czy też że jedno znaczenie zostało przez tych autorów wybrane jako eksplikandum? Kiedy spoglądamy na sformułowania, które sami ci autorzy proponują, aby wyjaśnić, jakie znaczenia „prawdopodobieństwa” zamierzają przyjąć jako swoje eksplikanda, znajdujemy wyrażenia tak różne, jak „stopień przekonania”, „wiarogodność”, „stopień rozsądnego oczekiwania”, „stopień możliwości”, „stopień bliskości do pewności”, „stopień cząstkowej prawdziwości”, „częstość względna” i wiele innych. Ta wielość fraz pokazuje, że jakiekolwiek założenie o unikalnym eksplikandum wspólnym dla wszystkich autorów jest nie do utrzymania. Można by nawet pokusić się o pójście w drugą skrajność i stwierdzić, że ci autorzy mają do czynienia nie z jednym, ale z kilkunastoma, lub nawet więcej, różnymi pojęciami. Uważam jednak, że ta wielość jest myląca. Wydaje mi się, że liczba eksplikandów we wszystkich różnych teoriach prawdopodobieństwa nie wynosi ani jeden, ani kilkanaście, ale pod wszystkimi istotnymi względami – pomijając niewielkie odchylenia – bardzo niewiele, a głównie dwa. W dalszych rozważaniach będziemy używać indeksów dolnych, aby rozróżnić te dwa główne znaczenia terminu „prawdopodobieństwo”, od których rozpoczyna się większość różnych teorii prawdopodobieństwa; rozróżniamy oczywiście dwa eksplikanda, a nie różne eksplikaty oferowane przez te teorie, których liczba jest znacznie większa. Te dwa pojęcia to (i) prawdopodobieństwo₁ = stopień konfirmacji; (ii) prawdopodobieństwo₂ = częstość względna na dłuższą metę. Ściśle mówiąc, istnieją dwie grupy pojęć, ponieważ zarówno dla (i), jak i dla (ii) istnieje pojęcie klasyfikacyjne, porównawcze i ilościowe; jednakże w chwili obecnej możemy odłożyć na bok te rozróżnienia.

Chciałbym jeszcze raz podkreślić, że dokonane tutaj rozróżnienie odnosi się do dwóch eksplikand, a nie dwóch ekslikatów. To, że istnieje więcej niż jeden eksplikat, jest oczywiste; i rzeczywiście, ich liczba jest znacznie większa niż dwa. Jednak większość badaczy zajmujących się prawdopodobieństwem najwyraźniej uważa, że wszystkie różne teorie prawdopodobieństwa mają na celu rozwiązanie tego samego problemu, a więc że jakiekolwiek dwie teorie, które zasadniczo różnią się od siebie, są niekompatybilne. W konsekwencji stwierdzamy, że większość przedstawicieli częstościowej koncepcji prawdopodobieństwa odrzuca wszystkie inne teorie, i odwrotnie, większość autorów innych teorii odrzuca koncepcję częstościową. Ta cała kontrowersja wydaje się jałowa i niepotrzebna.

Kilka przykładów może pokazać, jak wiele daremnych kontrowersji między przedstawicielami różnych koncepcji prawdopodobieństwa wynika z braku świadomości, po obu stronach, istnienia i znaczenia pojęcia prawdopodobieństwa u drugiej strony. Jako przykłady wybieramy wybitnego współczesnego przedstawiciela każdej z koncepcji: Misesa, który skonstruował pierwszą kompletną teorię opartą na koncepcji częstościowej, oraz Jeffreysa, który skonstruował najbardziej zaawansowaną teorię opartą na prawdopodobieństwie₁. Mises wydaje się wierzyć, że to prawdopodobieństwo₂ jest jedyną podstawą Rachunku Prawdopodobieństwa ([Probab.], wykład pierwszy). Mówienie o prawdopodobieństwie śmierci określonej osoby wydaje mu się bezsensowne. Jakiekolwiek użycie terminu „prawdopodobieństwo” w życiu codziennym inne niż w statystycznym znaczeniu prawdopodobieństwa₂, jego zdaniem, nie ma nic wspólnego z Rachunkiem Prawdopodobieństwa i nie może przyjmować wartości liczbowych. Fakt, że uważa on koncepcję prawdopodobieństwa Keynesa za całkowicie subiektywistyczną, jasno wskazuje na jej niezrozumienie (patrz poniżej, § 12A).

Z drugiej strony Jeffreys stawia pewne wymogi, które każda teoria prawdopodobieństwa (a to oznacza dla niego prawdopodobieństwo₁) powinna spełniać, a następnie odrzuca wszystkie teorie częstości, czyli teorie prawdopodobieństwa₂, ponieważ nie spełniają one jego wymogów. Stwierdza więc: „Żadna ‘obiektywna’ definicja prawdopodobieństwa w kategoriach faktycznych lub możliwych obserwacji… nie jest dopuszczalna” ([Probab.], s. 11), ponieważ wyniki obserwacji są początkowo nieznane, a w konsekwencji nie możemy znać podstawowych zasad tej teorii i nie mielibyśmy punktu wyjścia. Posunął się on nawet do stwierdzenia, że „w praktyce żaden statystyk nigdy nie używa definicji częstości, ale wszyscy posługują się pojęciem stopnia rozsądnego przekonania, zwykle nawet nie zauważając, że się nim posługują” (s. 300). Zainteresowanie Misesa wyeksplikowaniem empirycznego pojęcia prawdopodobieństwa₂ za pomocą granicy częstości względnej w ciągu nieskończonym doprowadziło go do stosowania terminu „prawdopodobieństwo” tylko w przypadkach, gdy taka granica istnieje. Natomiast Jeffreys całkowicie błędnie zrozumiał tę procedurę i oskarżał empirystę Misesa o aprioryzm: „Istnienie granicy jest przyjęte przez Misesa jako postulat. … Postulat ten jest stwierdzeniem apriorycznym o możliwych eksperymentach i sam w sobie jest problematyczny” (s. 304). Znajdujemy się więc w takiej sytuacji: obaj, Mises i Jeffreys, twierdzą, że istnieje tylko jedno pojęcie prawdopodobieństwa, które ma znaczenie naukowe i które można przyjąć za podstawę Rachunku Prawdopodobieństwa. Pierwszy z nich utrzymuje, że pojęciem tym jest prawdopodobieństwo₂, a na pewno nie jest nim nic w rodzaju prawdopodobieństwa₁; drugi stawia to odwrotnie.

W dziejach nauki wielokrotnie zdarzało się, że między zwolennikami dwóch lub więcej eksplikatów dochodziło do gwałtownych, ale jałowych sporów, które podzielały błędne przekonanie, że mają one to samo eksplikandum; kiedy w końcu stało się jasne, że ich znaczeniem są różne eksplikanda, niestety niefortunnie desygnowane przez ten sam termin, oraz że te różne eksplikaty są więc ze sobą zgodne, a ponadto okazały się równie owocnymi pojęciami naukowymi, spór całkowicie zniknął.

Jednym z wyróżniających się przykładów jest spór między zwolennikami Kartezjusza i Leibniza dotyczący pojęcia siły życiowej („vis viva”, zwanej także „ilością ruchu”). Obie strony uważały, że jest praktycznie wystarczająco jasne, jakie jest znaczenie „siły życiowej” poruszającego się ciała; obaj zgodzili się, że wielkość ta rośnie wraz z masą i prędkością ciała. Ale nie zgadzali się co do swoich eksplikacji dotyczących tego rzekomo jednego eksplikandum. Pierwsza grupa jako eksplikatum zaproponowała mv, iloczyn masy i prędkości; druga to odrzuciła i zaproponowała zamiast tego mv². Minęło dużo czasu, zanim stało się jasne, że te dwie asercje obu stron sporu nie były dwiema sprzecznymi odpowiedziami na ten sam problem, ale dwiema poprawnymi odpowiedziami na dwa różne problemy. Oba pojęcia uznano za owocne i niezbędne dla mechaniki; pierwsza to wielkość nazywana teraz pędem, druga (z dołączonym do niej czynnikiem 1/2) nazywana jest teraz energią kinetyczną. Dla współczesnego fizyka, zaznajomionego z obydwoma pojęciami, historyczny spór o kwestię, które z tych dwóch pojęć jest „tym właściwym”, wydaje się nieco dziwne. Gdy tylko dostrzeżemy różnicę między prawdopodobieństwem₁ a prawdopodobieństwem₂, współczesny spór o prawdopodobieństwo wyda nam się równie dziwny i jałowy.

Obie strony sporu często nie dostrzegają rozróżnienia między tymi dwoma pojęciami, które służą jako eksplikanda. Wynika to przede wszystkim z niefortunnego faktu, że oba pojęcia są desygnowane przez to samo znane, ale wieloznaczne, słowo „prawdopodobieństwo”. Chociaż wiele języków zawiera dwa słowa (np. angielskie „probable” i „likely”, łacińskie „probabilis” i „verisimilis”, francuskie „probable” i „vraisemblable”), to w większości przypadków te słowa zdają się być używane w mniej więcej ten sam sposób, a w każdym razie nie odpowiadać dwóm wyróżnionym przez nas pojęciom. Niektórzy autorzy (np. C. S. Peirce, R. A. Fisher i Jeffreys) zasugerowali wykorzystanie wielości dostępnych słów do rozróżnienia pewnych pojęć. Później (§ 6o) użyjemy terminu „wiarygodność” (likelihood) w pewnym szczególnym znaczeniu, w którym został on zaproponowany przez Jeffreysa. Te dwa pojęcia prawdopodobieństwo₁ i prawdopodobieństwo₂ będziemy jednak rozróżniać po prostu za pomocą indeksów dolnych. Terminy „prawdopodobieństwo₁” i „prawdopodobieństwo₂” będą używane głównie w naszych rozważaniach na temat eksplikandów, zwłaszcza podczas analizy powszechnych sformułowań z języka przednaukowego oraz sformułowań innych autorów. Z drugiej strony, omawiając możliwe eksplikaty, będziemy najczęściej używać terminów „(stopień) konfirmacji” i „częstość względna”.

Prawdopodobieństwo₁, logiczne pojęcie prawdopodobieństwa jako eksplikandum, zostało wyjaśnione w poprzednim paragrafie i zostanie później przeanalizowane bardziej szczegółowo (§ 41). Można tutaj podać kilka wyjaśnień dotyczących prawdopodobieństwa₂, tylko po to, aby wyraźnie odróżnić je od prawdopodobieństwa₁. Teoria prawdopodobieństwa₂ wykracza poza ramy tej książki, która dotyczy logiki indukcyjnej, a więc prawdopodobieństwa₁. Typowym przykładem użycia terminu „prawdopodobieństwo” w sensie prawdopodobieństwa₂ jest następujące stwierdzenie:

„Prawdopodobieństwo wyrzucenia oczka (ace) tą kostką wynosi 1/6”.

Stwierdzenia o tej postaci odnoszą się do dwóch własności (lub klas) zdarzeń: (i) klasy odniesienia K, tutaj to klasa rzutów tą kostką; oraz (ii) specyficzna własność M, tutaj to własność bycia rzutem dowolną kostką, który skutkuje wyrzuceniem oczka. Stwierdzenie to głosi, że prawdopodobieństwo₂ M w odniesieniu do K wynosi 1/6. To stwierdzenie jest testowane za pomocą badań statystycznych. Wykonywana jest dostatecznie długo seria, powiedzmy, n rzutów kostką, o której mowa, oraz zliczana jest liczba m tych rzutów, w których wypadło oczko. Jeżeli częstość m/n oczek w tej serii jest wystarczająco bliska 1/6, stwierdzenie to uznaje się za potwierdzone. Zatem, na odwrót, stwierdzenie to należy rozumieć jako przewidywanie, że względna częstość oczek wyrzuconych tą kostką w wystarczająco długiej serii będzie wynosić około 1/6. To sformułowanie jest wprawdzie nieprecyzyjne; ale ma na celu jedynie wskazanie znaczenia „prawdopodobieństwa₂” jako eksplikandum. Sprecyzowanie tego pojęcia jest zadaniem eksplikacji.

Istnieją dwie szkoły, które traktują pojęcie częstościowe, prawdopodobieństwo₂, jako eksplikandum. Pierwsza, zwykle nazywana częstościową teorią prawdopodobieństwa, przyjmuje jako eksplikat dla tego eksplikandum granicę częstości względnej M w ciągu nieskończonym; w naszym przykładzie i podobnych, ta sekwencja może składać się ze zdarzeń z klasy K, którą uznaje się za nieskończoną, w ich porządku czasowym. Ta eksplikacja została po raz pierwszy zaproponowana przez Venna ([Logic] (wydanie 2, 1876), rozdział V, paragrafy 36, 37; (wydanie 3, 1888), rozdział VI, paragrafy 36, 37). Systematycznie rozwinęli ją Mises i Reichenbach. Definicja Misesa wymaga, aby odnośny ciąg charakteryzował się losowym porządkiem. To pojęcie losowości wiąże się z pewnymi trudnościami. Pierwotnie zostało zdefiniowane w zbyt mocnej postaci, o której wykazano, że prowadzi do sprzeczności. Odpowiednią redefinicję, unikającą tej sprzeczności, zaproponował Wald [Kollektiv]. Zagadnienia z nią związane są nadal przedmiotem dyskusji. Druga szkoła to współczesna statystyka matematyczna opracowana w ciągu ostatnich dziesięcioleci przez R. A. Fishera, J. Neymana, E. S. Pearsona i innych. (Publikacje wspomnianych autorów podane są w bibliografii; techniczne systematyczne przedstawienie całej teorii zob. Wilks [Statistics] oraz Cramér [Statistics]; Wald [Principles] podaje jasny przegląd podstawowych idei i metod). „Prawdopodobieństwo” jest tu traktowane jako niezdefiniowany termin systemu aksjomatycznego. Klasa odniesienia K, zwana populacją, nie musi być przeliczalna, jak wymagano w pierwszej szkole, ale może być ona kontinuum; dlatego pojęcie granicy nie ma bezpośredniego zastosowania do niej. Jednak zarówno na podstawie sformułowania aksjomatów, jak i nieformalnych wyjaśnień terminu „prawdopodobieństwo” jest jasne, że jest on rozumiany w znaczeniu częstości względnej (patrz np. Fisher [Foundations], s. 312; Wilks [Statistics], s. 3-6; Cramér [Statistics], s. 148-51). [Dalsze uwagi dotyczące pojęcia granicy w powiązaniu z prawdopodobieństwem₂ zostaną poczynione później, w § 106B].

Jest jasne, że pojęcie prawdopodobieństwa₂ obejmuje statystykę zjawisk masowych i ich częstości. Nie jest to jednak wyróżniająca cecha tego pojęcia. To samo często dotyczy prawdopodobieństwa₁ w tym sensie, że dowód, do którego odnosi się stwierdzenie prawdopodobieństwa₁, ma, jak zobaczymy (§ 44B), często charakter statystyczny, określając, na przykład, częstość występowania określonej własności w danej populacji lub w danej próbce pobranej z populacji.

Wrócimy później (§ 42) do dyskusji na temat rozróżnienia między prawdopodobieństwem₁ a prawdopodobieństwem₂, a w szczególności do zagadnienia, w jaki sposób słowo „prawdopodobieństwo”, które pierwotnie oznaczało tylko prawdopodobieństwo₁, zaczęło być używane również w znaczeniu prawdopodobieństwa₂.

§ 10. Natura logiczna dwóch pojęć prawdopodobieństwa

Zarówno prawdopodobieństwo₁, jak i prawdopodobieństwo₂, traktowane jako pojęcia ilościowe, są funkcjami dwóch argumentów, których wartości są liczbami rzeczywistymi z przedziału 0–1. A. Argumentami prawdopodobieństwa₁ są zdania (lub wyrażone przez nie sądy). Prawdopodobieństwo₁ ma dwa argumenty, hipotezę i dowód. Odniesienie do tego ostatniego jest często pomijane; ale to pominięcie prowadzi czasami do zignorowania względności prawdopodobieństwa₁, a tym samym do nieporozumień. Elementarne stwierdzenie prawdopodobieństwa₁ nie jest faktualne, ale L-zdeterminowane. B. Argumenty prawdopodobieństwa₂ są własnościami; jego elementarne stwierdzenia są faktualne, empiryczne. Jednak twierdzenia teorii prawdopodobieństwa₂ określają nie wartości tej funkcji, ale ogólne relacje między takimi wartościami i są L-prawdziwe. Jest jasne, że ci autorzy, którzy popierają częstościową teorię prawdopodobieństwa, jako eksplikandum przyjmują prawdopodobieństwo₂. Jestem przekonany, że eksplikandum dla większości pozostałych jest prawdopodobieństwo₁, pomimo zróżnicowania podawanych przez nich wyjaśnień.

Na podstawie poprzednich wyjaśnień scharakteryzujmy teraz te dwa pojęcia prawdopodobieństwa nie w odniesieniu do ich znaczenia, ale jedynie w odniesieniu do ich logicznej natury, a dokładniej, w odniesieniu do rodzaju bytów, do których są stosowane, oraz logicznego charakteru najprostszych zdań, w których są używane. [Ponieważ przednaukowe użycie tych dwóch pojęć jest często zbyt mętne i niezupełne, np. z powodu pominięcia drugiego argumentu (tj. dowodu lub klasy odniesienia), bierzemy tutaj pod uwagę ostrożniejsze użycie przez autorów zajmujących się prawdopodobieństwem. Jednakże bardziej będziemy się zajmować ich ogólnymi dyskusjami niż szczegółami skonstruowanych przez nich systemów]. Dla uproszczenia rozważmy te dwa pojęcia jedynie w ich postaci ilościowej. Można także zająć się ich postaciami porównawczą i klasyfikacyjną (jak wyjaśniono dla prawdopodobieństwa₁, tj. potwierdzaniem, w § 8), a te inne postaci wykazywałyby analogiczne różnice. Prawdopodobieństwo₁ i prawdopodobieństwo₂, traktowane jako pojęcia ilościowe, mają wspólną następującą charakterystykę: każda z nich jest funkcją dwóch argumentów; ich wartości są liczbami rzeczywistymi należącymi do przedziału 0–1. Zostaną teraz wyjaśnione ich charakterystyczne różnice.

A. Prawdopodobieństwo₁, stopień konfirmacji

1. Te dwa argumenty są różnie opisywane: jako zdarzenia (w sensie dosłownym, patrz poniżej), stany rzeczy, okoliczności i tym podobne. Dlatego każdy argument można wyrazić za pomocą zdania, a zatem w naszej terminologii jest to sąd. Inna alternatywa polega na potraktowaniu jako argumenty zdań wyrażających te sądy, opisujących zdarzenia, itp. Wybierzemy tę alternatywę i potraktujemy prawdopodobieństwo₁ jako pojęcie semantyczne (jak w § 8). (Zasadniczo nie ma wielkiej różnicy, czy jako argumenty potraktuje się sądy, czy zdania; ale druga metoda ma pewne zalety techniczne, które zostaną wyjaśnione później, w § 52).

2. Elementarne stwierdzenie prawdopodobieństwa₁, tj. takie, które dwóm określonym argumentom przypisuje określoną liczbę jako wartość prawdopodobieństwa₁, jest albo L-prawdziwe (tj. logicznie prawdziwe, analityczne), albo L-fałszywe (tj. logicznie fałszywe, sprzeczne logicznie), a więc w każdym przypadku jest ono L-określone, a nie faktualne (syntetyczne). (Wyjaśnienie L-terminów znajduje się w § 20). Dlatego stwierdzenie tego rodzaju należy ustalić wyłącznie za pomocą analizy logicznej (semantycznej), jak wyjaśniono wcześniej (§ 8). Jest ono niezależne od przygodności faktów, ponieważ nie mówi nic o faktach (chociaż te dwa argumenty ogólnie odnoszą się do faktów).

Wielu empirystów odrzuciło logiczne pojęcie prawdopodobieństwa₁ jako odróżnione od prawdopodobieństwa₂, ponieważ są przekonani, że jego użycie narusza zasadę empiryzmu, a zatem prawdopodobieństwo₂ jest jedynym pojęciem dopuszczalnym w empiryzmie, a tym samym w nauce. Jeden z powodów podawanych dla tego poglądu jest następujący. Pojęcie prawdopodobieństwa₁ stosuje się również w przypadkach, w których hipoteza h jest przewidywaniem dotyczącym konkretnego zdarzenia, np. przewidywaniem, że jutro będzie padać lub że w następnym rzucie kostką wypadnie oczko. Niektórzy filozofowie są przekonani, że tego rodzaju zastosowanie narusza zasadę weryfikowalności (lub potwierdzalności). Mogliby na przykład zapytać: „W jaki sposób można zweryfikować stwierdzenie, że prawdopodobieństwo jutrzejszego deszczu na podstawie dowodu, jakim są określone obserwacje meteorologiczne, wynosi jedną piątą?”. Jutro zaobserwujemy deszcz albo jego brak, ale nie zaobserwujemy niczego, co mogłoby zweryfikować wartość jedna piąta”. Zarzut ten jest jednak oparty na błędnym przekonaniu co do natury stwierdzenia prawdopodobieństwa₁. Stwierdzenie to nie przypisuje wartości prawdopodobieństwa₁ wynoszącej 1/5 jutrzejszemu deszczowi, ale raczej pewnej logicznej zależności między przewidywaniem deszczu a raportem meteorologicznym. Ponieważ ta relacja jest logiczna, więc jeśli to stwierdzenie jest prawdziwe, jest ono L-prawdziwe; nie wymaga więc ono weryfikacji przez obserwację jutrzejszej pogody ani żadnych innych faktów. Sytuację można wyjaśnić przez porównanie z logiką dedukcyjną. Niech h będzie zdaniem „jutro będzie deszcz”, a j zdaniem „jutro będzie deszcz i wiatr”. Załóżmy, że ktoś dokonuje stwierdzenia w logice dedukcyjnej: „h wynika logicznie z j”. Z pewnością nikt nie zarzuci mu aprioryzmu ani za to stwierdzenie, ani za to, że utrzymuje, iż do jego weryfikacji nie jest wymagana żadna wiedza faktualna. Stwierdzenie „prawdopodobieństwo₁ h względem dowodu e wynosi 1/5” ma taki sam ogólny charakter jak poprzednie stwierdzenie; dlatego nie może pogwałcać empiryzmu bardziej niż to pierwsze. Oba stwierdzenia wyrażają czysto logiczny związek między dwoma zdaniami. Różnica między tymi dwoma stwierdzeniami jest jedynie taka: podczas gdy pierwsze określa pełną implikację logiczną, drugie określa jedynie, by tak rzec, cząstkową implikację logiczną; zatem, podczas gdy pierwsza należy do logiki dedukcyjnej, druga należy do logiki indukcyjnej. Ogólnie rzecz biorąc, asercja dotycząca zdań czysto logicznych, czy to w logice dedukcyjnej, czy indukcyjnej, nigdy nie może pogwałcić empiryzmu; jeśli są fałszywe, pogwałcają reguły logiki. Zasadę empiryzmu może pogwałcić jedynie asercja zdania faktualnego (syntetycznego) bez dostatecznej podstawy empirycznej lub teza aprioryzmu, gdy utrzymuje ona, że wiedza w odniesieniu do pewnych zdań faktualnych nie wymagana podstawy empirycznej.

Bardzo ważny jest fakt, że prawdopodobieństwo₁ jest względne w stosunku do określonego dowodu i dlatego pełne stwierdzenie prawdopodobieństwa₁ musi zawierać odniesienie do dowodu. Keynes jako pierwszy podkreślił tę względność ([Probab.], s. 6n). Pominięcie jakiegokolwiek odniesienia do dowodu jest często nieszkodliwe, jeśli eliptyczny charakter tego stwierdzenia jest jasno uznany. Jednak takie pomijanie było powszechnym zwyczajem u wcześniejszych autorów i często powodowało niejasność. Czasami skutkowało to tym, że autorzy przeoczyli względność prawdopodobieństwa₁ i tym samym doszli do przekonania, że prawdopodobieństwo₁ jest zależne od naszej wiedzy, a stąd że prawomocność stwierdzenia dotyczącego prawdopodobieństwa₁ była jedynie subiektywna. W innych przypadkach prowadziło to do przekonania, że ta prawomocność była zależna od pewnych faktów fizycznych. Myślę, że pewną fundamentalną trudność Kriesa koncepcji prawdopodobieństwa można chyba wyjaśnić tym pominięciem przez niego dowodu jako istotnego argumentu pojęcia prawdopodobieństwa. Z jednej strony mówi o prawdopodobieństwie założeń lub oczekiwań; odnosi się do „związków logicznych, które, gdy pewne rzeczy uważane są za pewne, stanowią dla innych rzeczy mniejsze lub większe prawdopodobieństwo” (o charakterze porównawczym, a nie ilościowym) ([Prinzipien], s. 26); pokazuje to, że ma on na myśli prawdopodobieństwo₁, a nie prawdopodobieństwo₂ (które jawnie odrzuca, s. 18n). Z drugiej strony głosi, że zdania dotyczące prawdopodobieństwa mają treść empiryczną (np. s. 170). Wydaje mi się, że to pominięcie względności w odniesieniu do dowodu doprowadziło go do błędu przypisywania faktualnej treści naszej wiedzy, np. dotyczącej fizycznych warunków, w których rzuca się kostką lub gra w ruletkę, samemu zdaniu prawdopodobieństwa zamiast dowodowi. W podobny sposób można chyba wyjaśnić poglądy Reichenbacha, że nawet te stwierdzenia prawdopodobieństwa, które dotyczą tego, co nazywa „wagą” lub „logiczną koncepcją prawdopodobieństwa”, mają charakter empiryczny ([Experience], §§ 32-34; por. nasze rozważania poniżej, w § 41E). Słusznie wyczuwa on, że stwierdzenie „waga (czy wartość predykcyjna) przewidywania, że jutro będzie padał deszcz, wynosi 3/4” musi w jakiś sposób opierać się na naszej wiedzy empirycznej, w szczególności na naszych obserwacjach obecnej sytuacji meteorologicznej i wynikach statystycznych dotyczących obserwacji pogody w przeszłości, zwłaszcza częstości względnej, z jaką obserwowano wystąpienie deszczu po sytuacji meteorologicznej podobnej do dzisiejszej. To prowadzi go do koncepcji, że samo stwierdzenie o wadze 3/4 należy interpretować jako stwierdzenie dotyczące zaobserwowanej częstości względnej 3/4, a zatem jako stwierdzenie faktualne, empiryczne. Nasza koncepcja jest zgodna z koncepcją Reichenbacha co do tego, że wartość wagi, nasze prawdopodobieństwo₁, opiera się na zaobserwowanej częstości względnej; ale uważamy, że stwierdzenie dotyczące wagi jest eliptyczne. Właściwa wiedza empiryczna, w tym obserwacja obecnego stanu pogody i wyniki z przeszłości, zwłaszcza zaobserwowana częstość względna, ma zostać wyrażona w dowodzie e; a pełne sformułowanie stwierdzenia dotyczącego wagi jest stwierdzeniem o prawdopodobieństwie₁, które nie zawiera e ani nie jest wyprowadzone z e, ale zawiera odniesienie do e. Zatem nasza wiedza empiryczna nie stanowi części treści twierdzenia o prawdopodobieństwie₁ (co uczyniłoby to stwierdzenie empirycznym), ale raczej zdania e, o którym mowa w stwierdzeniu prawdopodobieństwa₁. Zatem to ostatnie, choć odwołuje się do wiedzy empirycznej, samo pozostaje czysto logiczne.

Wielu autorów zajmujących się prawdopodobieństwem formułuje odniesienie do dowodu w postaci klauzuli warunkowej, na przykład:

(I) „Jeśli urna zawiera sto kul, z których siedemdziesiąt jest białych, a trzydzieści czarnych, to prawdopodobieństwo, że następna kula wyciągnięta z tej urny będzie biała, wynosi 0,7”.

To sformułowanie jest lepsze od eliptycznego, ponieważ unika się tutaj niebezpieczeństwa przeoczenia dowodu. Ale nie jest całkiem poprawne. We właściwym zdaniu warunkowym o postaci „Jeśli A, to B”, na przykład:

(2) „Jeśli pada deszcz, Jack nie przyjdzie”,

zdanie główne B jest zdaniem sensownym, kompletnym samym w sobie (jeśli pominiemy sprawy dotyczące zaimków). Z drugiej strony, główna klauzula w stwierdzeniu prawdopodobieństwa (1) „prawdopodobieństwo, że następna kula wyciągnięta z tej urny będzie biała, wynosi 0,7” jest niekompletna, ponieważ brakuje odniesienia do dowodu. Wielu autorów, nawet wśród najlepszych współczesnych autorów zajmujących się prawdopodobieństwem₁, stosowało czasami to warunkowe sformułowanie stwierdzeń o prawdopodobieństwie. W niektórych przypadkach ta postać wprowadziła ich w błąd co do poglądu, że dowód wyrażony w tej klauzuli warunkowej, jeśli jest znany, stanowi podstawę lub przesłankę, z której można wywnioskować prawdopodobieństwo wyrażone w klauzuli głównej. Pogląd ten jest oparty na fałszywej analogii z powodu niepoprawnego sformułowania warunkowego. Jeżeli właściwe stwierdzenie warunkowe „Jeśli A, to B” jest znane, a „A” jest podane jako informacja dodatkowa, to można rzeczywiście wywnioskować „B”. Istnieje zatem pokusa, aby postępować analogicznie z (1). Załóżmy, że (1) jest znane jako [jednostkowy] przypadek (instance) ogólnego twierdzenia dotyczącego prawdopodobieństwa i że otrzymaliśmy informację, że ta konkretna urna zawiera siedemdziesiąt białych i trzydzieści czarnych kul; wtedy moglibyśmy powiedzieć, że możemy wywnioskować z tych informacji, że prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi 0,7. Jednak ten rzekomy wniosek jest niekompletny, a zatem, ściśle mówiąc, bezsensowny. Jeśli chcemy użyć słowa „wnioskowanie”, jak to jest w zwyczaju, w szerszym znaczeniu, niż ma to miejsce w logice dedukcyjnej, tak, iż możemy mówić o „wnioskowaniu niededukcyjnym” czy „wnioskowaniu niedemonstratywnym”, czy pozytywnie o „wnioskowaniu o prawdopodobieństwie” lub „wnioskowaniu indukcyjnym” (§ 44B), możemy powiedzieć, że hipoteza h została wyprowadzona indukcyjnie z dowodu e. Ale w tym przypadku musimy być ostrożni, aby nie przeoczyć faktu, że wartość prawdopodobieństwa nie charakteryzuje hipotezy („następna kula będzie biała”), ale raczej wnioskowanie na podstawie dowodu o hipotezie, czy też, mówiąc ściślej, charakteryzuje logiczną relację zachodzącą między dowodem a hipotezą.

Widzimy więc, że z dowodu e wraz ze stwierdzeniem „prawdopodobieństwo h względem e wynosi 1/5” nie możemy wywnioskować (w ścisłym tego słowa znaczeniu) ani samej hipotezy h, która może być fałszywa, ani stwierdzenia prawdopodobieństwa h, co byłoby bezsensowne. Faktycznie, nic nie można wywnioskować z tych dwóch przesłanek (z wyjątkiem, trywialnie, wniosków, które wynikają z samego e). Ta negatywna odpowiedź na często dyskutowany problem stanie się jasna w toku późniejszego rozwijania naszej teorii.

B. Prawdopodobieństwo₂, częstość względna

1. Te dwa argumenty są własnościami, rodzajami, klasami, zwykle zdarzeń lub rzeczy. [Alternatywnie, wyrażenia predykatowe desygnujące te własności mogą być potraktowane jako argumenty. Jednak w niniejszym przypadku, w odróżnieniu od (1), nie wydaje się, aby metoda ta miała jakąkolwiek przewagę; por. § 52].

2. Elementarne stwierdzenie dotyczące prawdopodobieństwa₂ jest faktualne i empiryczne; mówi coś o faktach przyrodniczych i dlatego musi opierać się na procedurze empirycznej, obserwacji odnośnych faktów. Od tych elementarnych stwierdzeń należy jasno odróżnić twierdzenia matematycznej teorii prawdopodobieństwa. Te ostatnie nie podają określonej wartości prawdopodobieństwa₂, ale mówią coś o związkach między wartościami prawdopodobieństwa₂ w sposób ogólny, zwykle w postaci warunkowej, na przykład: „jeśli wartościami takiego a takiego prawdopodobieństwa₂ są q₁ oraz q₂, to wartość prawdopodobieństwa₂ odniesiona w określony sposób do tych wyjściowych jest taką to a taką funkcją, powiedzmy, iloczynem lub sumą q₁ oraz q₂”. Te twierdzenia nie są faktualne, ale L-prawdziwe (analityczne). Zatem teoria prawdopodobieństwa, np. system skonstruowany przez Misesa lub przez Reichenbacha, nie ma charakteru empirycznego, lecz logicznomatematyczny; jest gałęzią matematyki, zasadniczo odmienną od jakiejkolwiek gałęzi nauk empirycznych, np. fizyki.

Mises wielokrotnie stwierdzał (np. [Comments 1], s. 45), że jego teoria prawdopodobieństwa jest empiryczna, że jest gałęzią nauk przyrodniczych, takich jak fizyka. Jednak jego twierdzenia, chociaż odnoszą się do zjawisk masowych, są w oczywisty sposób czysto analityczne; dowody tych twierdzeń (w odróżnieniu od przykładów zastosowań) wykorzystują, oprócz jego definicji „prawdopodobieństwa”, jedynie metody logicznomatematyczne, a nie jakiekolwiek wyniki obserwacyjne dotyczące zjawisk masowych. Dlatego jego teoria należy do czystej matematyki, a nie do fizyki. Ta kwestia została szczegółowo omówiona i całkowicie wyjaśniona przez F. Waismanna [Wahrsch.], s. 239n.

Prawdopodobieństwo₂ będziemy czasami nazywać, w odróżnieniu od prawdopodobieństwa₁, pojęciem empirycznym. Nie należy tego rozumieć jako stwierdzenie, że jego definicja odnosi się do pojęć nielogicznych, co oczywiście nie ma miejsca, ale jedynie jako stwierdzenie, że jej zwykłe zastosowanie, to znaczy zastosowanie do faktualnych własności jako argumentów, ma być sformułowane w stwierdzeniach faktualnych, empirycznych; innymi słowy, określenie jego wartości w zwykłych przypadkach jest procedurą empiryczną. Prawdopodobieństwo₂ jest pod tym względem podobne do pojęcia liczby kardynalnej jakiejś własności. Definicja tego ostatniego pojęcia jest również czysto logiczna; niemniej jednak jego zastosowanie do własności faktualnych prowadzi do faktualnych, empirycznych stwierdzeń, a jego wartości w tych przypadkach ustala empiryczna procedura liczenia.

Pomimo fundamentalnej różnicy między pojęciami prawdopodobieństwo₁ oraz prawdopodobieństwo₂ wiele twierdzeń dotyczących tych pojęć wykazuje uderzającą analogię. Późniejsze dyskusje rzucą nieco światła z różnych punktów widzenia na podstawy tej analogii. Zobaczymy, że w niektórych przypadkach prawdopodobieństwo₁ można interpretować jako szacunek częstości względnej czy prawdopodobieństwa₂ (§ 41D). Później, na podstawie analizy zdań za pomocą ich zakresów, okaże się, że prawdopodobieństwo₁ można podobnie potraktować jako stosunek miar dwóch klas (patrz § 55B); pozostaje jednak istotna różnica, że w tym przypadku ten stosunek jest określany w sposób czysto logiczny, natomiast w przypadku prawdopodobieństwa₂ jest określany empirycznie.

Uwaga terminologiczna dotycząca słowa „zdarzenie” wydaje się niezbędna w świetle (A1) i (B1). Bardzo ważne jest jasne rozróżnienie pomiędzy rodzajami zdarzeń (wojna, narodziny, śmierć, rzut jakąś kostką, rzut tą kostką, rzut tą kostką dający oczko, itp.) a zdarzeniami (śmierć Cezara, rzut tą kostką wykonany wczoraj o 10:00, ta seria wszystkich rzutów tą kostką w przeszłości i przyszłości). To rozróżnienie jest szczególnie ważne dla dyskusji na temat prawdopodobieństwa, ponieważ jedna z charakterystycznych różnic między dwoma pojęciami prawdopodobieństwa jest taka: pierwsze pojęcie odnosi się czasami do dwóch zdarzeń, drugie do dwóch rodzajów zdarzeń (patrz A1 i B1). Wielu autorów zajmujących się prawdopodobieństwem używa słowa „zdarzenie” (lub odpowiadających mu słów „Ereignis” i „événement”), kiedy chodzi im nie o zdarzenia, ale o ich rodzaje. Takie użycie ma długą historię w literaturze dotyczącej prawdopodobieństwa, ale jest bardzo niefortunne. Służyło jedynie wzmocnieniu powszechnego ignorowania fundamentalnej różnicy między dwoma pojęciami prawdopodobieństwa, które wyrosło pierwotnie z dwuznacznego użycia słowa „prawdopodobieństwo”, a tym samym zwiększyło ogólne zamieszanie w dyskusjach na temat prawdopodobieństwa. Autorzy, którzy używają terminu „zdarzenie”, gdy mają na myśli rodzaje zdarzeń, oczywiście wpadają w kłopoty, gdy chcą mówić o konkretnych zdarzeniach. Tradycyjnym rozwiązaniem jest powiedzenie „zajście (czy wystąpienie) pewnego zdarzenia” zamiast „zdarzeń pewnego rodzaju”; czasami do zdarzeń odnosi się za pomocą terminu „pojedyncze zdarzenie”. Ale ta fraza jest raczej myląca; istotna różnica między zdarzeniami a rodzajami zdarzeń to nie to samo, co nieistotna różnica między pojedynczymi zdarzeniami (pierwszy rzut wykonany dzisiaj tą kostką) a zdarzeniami wielokrotnymi lub złożonymi (seria wszystkich rzutów wykonanych tą kostką). Keynes, jeśli dobrze go zinterpretowałem, zauważył wieloznaczność terminu „zdarzenie”. Stwierdził ([Probab.], s. 5), że powszechne użycie wyrażeń, takich jak „zajście zdarzenia” jest „mętne i niewieloznaczne”, co, jak przypuszczam, jest błędem w druku zamiast „mętne i wieloznaczne”; ale nie precyzuje on tej wieloznaczności. Proponuje on całkowitą rezygnację z terminu „zdarzenie” i użycie w zamian terminu „sąd” [w sensie logicznym] (proposition). Późniejsi autorzy zajmujący się prawdopodobieństwem₁, jak na przykład Jeffreys, podążali za nim w takim użyciu.

Wielu autorów wprowadzało rozróżnienie między dwoma (lub czasami więcej) rodzajami prawdopodobieństwa. Niektóre z tych rozróżnień są zupełnie inne od rozróżnienia dokonanego tutaj między prawdopodobieństwem₁ a prawdopodobieństwem₂. Na przykład czasami dokonuje się rozróżnienia między prawdopodobieństwem matematycznym a prawdopodobieństwem filozoficznym; ich charakterystyczna różnica wydaje się polegać na tym, że pierwsze przyjmuje wartości liczbowe, a drugie nie. Jednak różnica ta wydaje się nieistotna; znajdujemy zarówno pojęcie przyjmujące wartości liczbowe, jak i pojęcie bez nich, innymi słowy, zarówno ilościowe, jak i porównawcze pojęcie po obu stronach rozróżnienia między dwoma zasadniczo różnymi znaczeniami „prawdopodobieństwa”. Dokonano innego rozróżnienia między prawdopodobieństwem subiektywnym a obiektywnym. Jestem przekonany jednak, że praktycznie wszyscy autorzy naprawdę mają na myśli obiektywne pojęcie prawdopodobieństwa, a pozory koncepcji subiektywistycznych są w większości przypadków spowodowane jedynie sporadycznymi niefortunnymi sformułowaniami; zostanie to omówione wkrótce (§ 12).

Inne rozróżnienia, które wprowadzano, są mniej lub bardziej podobne do naszego rozróżnienia między prawdopodobieństwem₁ a prawdopodobieństwem₂. Na przykład F. P. Ramsey ([Foundations] (1926), s. 157) mówi: „... wobec ogólnej różnicy zdań między statystykami, którzy przeważnie przyjmują częstościową teorię prawdopodobieństwa, a logikami, którzy w większości ją odrzucają, jest całkiem możliwe, że te dwie szkoły faktycznie dyskutują o różnych rzeczach i że słowo ‘prawdopodobieństwo’ jest używane przez logików w jednym sensie, a przez statystyków w innym”.

Wydaje mi się, że praktycznie u wszystkich autorów piszących o prawdopodobieństwie chodziło o prawdopodobieństwo₁ lub prawdopodobieństwo₂ jako eksplikandum, pomimo faktu, że ich różne wyjaśnienia wydają się odnosić do wielu zupełnie różnych pojęć.

W przypadku jednej grupy autorów łatwo znaleźć odpowiedź na pytanie o ich eksplikandum. Wszyscy, którzy popierają częstościową teorię prawdopodobieństwa, tj. definiują swoje eksplikaty w kategoriach częstości względnej (np. jako granicę lub w inny sposób), nie mają wątpliwości, że ich eksplikandum jest prawdopodobieństwo₂. Ich sformułowania są na ogół przedstawione w sposób jasny i jednoznaczny. Często stwierdzają wprost, że ich eksplikandum jest częstość względna. A nawet w przypadkach, w których się tego nie robi, ich rozważania na temat eksplikatów nie pozostawiają wątpliwości, jakie jest znaczenie eksplikandum.

Obejmuje to jednak tylko jedną z różnych koncepcji, tj. zaproponowanych eksplikatów, i tylko jedno z wielu różnych wyjaśnień eksplikand, które zostały podane i dla których wcześniej zostało wymienionych kilka przykładów. Wydaje się jasne, że pozostałe wyjaśnienia nie odnoszą się do statystycznego, empirycznego pojęcia częstości względnej, i jestem przekonany, że praktycznie wszystkie z nich, pomimo ich pozornej odmienności, mają odnosić się do prawdopodobieństwa₁. Niestety, wiele z użytych zwrotów jest bardziej mylących niż pomocnych w naszych próbach ustalenia, co ich autorzy tak naprawdę rozumieli przez eksplikandum. Jest w szczególności jeden punkt, w którym wielu autorów w dyskusjach na temat prawdopodobieństwa₁, czy ogólnie problemów logicznych, wprowadza typowe zamieszanie lub nieostrożnie przyjmuje sformułowania innych autorów, które je zawierają. Odnoszę się tu do tego, co czasami nazywa się psychologizmem logicznym. Zostanie to omówione w następnych dwóch paragrafach.

§ 11. Psychologizm w logice dedukcyjnej

Relacje logiczne, np. konsekwencja logiczna, są (i) logiczne, tj. niefaktualne, oparte wyłącznie na znaczeniach, (ii) obiektywne, tj. niezależne od czyjegoś myślenia o nich. Większość logików traktuje je w swoich systemach jako relacje obiektywne, ale mimo to wielu charakteryzuje je w ogólnych uwagach wstępnych za pomocą terminów subiektywistycznych, np. w odniesieniu do faktycznego myślenia czy przekonania. Nazywamy tę rozbieżność prymitywnym psychologizmem w logice (dedukcyjnej). Wyrafinowany psychologizm odnosi się nie do rzeczywistego myślenia, ale do poprawnego czy racjonalnego myślenia. Zwykle jest to rozumiane w sensie obiektywistycznym; w tym przypadku odwołanie się do myślenia jest niepotrzebne.

Ci, którzy zajmują się historią nauki lub metodologią nauki, wiedzą, że często istnieje rozbieżność między tym, co autor faktycznie robi, a tym, co głosi, że robi; w szczególności między sensem, w jakim faktycznie używa terminu lub zdania, a znaczeniem, które jawnie im przypisuje. Dotyczy to zwłaszcza terminów abstrakcyjnych i ogólnych zasad. W konsekwencji, aby określić, jaki sens ma dany termin dla autora, często nie wystarczy przyjrzeć się jego jawnym wyjaśnieniom. Powinniśmy również zbadać, w jaki sposób używa tego terminu, a zwłaszcza jak argumentuje na rzecz twierdzeń za lub przeciw, w których ten termin występuje. A jeśli te dwa testy nie są ze sobą zgodne, ten drugi jest bardziej miarodajny niż pierwszy; daje lepsze wskazanie faktycznego sensu tego terminu dla autora, to znaczy jego ogólnego nawyku używania tego terminu. Załóżmy na przykład, że chcielibyśmy wiedzieć, co pewien historyk lub politolog rozumie przez „demokrację”. Najlepszym sposobem jest obserwacja, w jakich warunkach stosuje to określenie, a co ważniejsze, jakie powody podaje dla tych zastosowań; możemy przyspieszyć tę procedurę, zadając mu pytania, czy i dlaczego zastosowałby ten termin do kraju, którego forma rządów jest taka a taka. Oczywiście bezpośrednie zapytanie: „Co masz na myśli, mówiąc o ‘demokracji’?” jest znacznie prostsze i szybsze i w wielu przypadkach wystarczające. Ale zawsze istnieje niebezpieczeństwo, że zamiast zdefiniować jego faktyczne znaczenie, poda definicję, którą przeczytał w książce teoretycznej jakiegoś politologa czy nawet filozofa.

Omawiana tutaj rozbieżność występuje również w dziedzinach ścisłych. Frege wielokrotnie wykazywał (zwłaszcza w swoim Über die Zahlen des Herrn H. Schubert [Jena, 1899]), że definicje „liczby” podawane przez niektórych matematyków są niedopuszczalnie nieadekwatne i prowadzą do absurdalnych i nigdy niezamierzonych zastosowań, podczas gdy faktyczne użycie tego terminu w konstrukcji teorii liczb jest całkiem poprawne.

Omawiana rozbieżność przybiera szczególną postać w przypadku logiki. Zanim przejdziemy do logicznego pojęcia prawdopodobieństwa₁, które jest jednym z podstawowych pojęć logiki indukcyjnej, przyjrzyjmy się starszemu i bardziej znanemu obszarowi logiki dedukcyjnej, logice w węższym znaczeniu. Zadanie logiki (w tym sensie) było takie samo dla Arystotelesa, jak dla logiki nowoczesnej (symbolicznej), chociaż postać systemów skonstruowana w celu rozwiązania tego zadania uległa znacznym zmianom w trakcie rozwoju. Zadanie polega na ustanowieniu pewnych relacji między zdaniami (czy sądami wyrażonymi przez te zdania), zwanych zwykle relacjami logicznymi, wśród nich, jako jednym z podstawowych pojęć logiki, stosunkiem konsekwencji logicznej czy dedukowalności. Nie możemy tu podać pełnej i dokładnej charakterystyki tych relacji, wskażemy jedynie niektóre z ich cech. (i) Są one niezależne od przygodności faktów przyrodniczych, a więc formalne (w sensie tradycyjnym, a nie syntaktycznym; patrz [Semantics], s. 232, znaczenie II); w konsekwencji, aby określić jedną z tych relacji w konkretnym przypadku, potrzebujemy jedynie znać znaczenie powiązanych nią zdań, a nie ich wartości logiczne. (ii) Te relacje są obiektywne, a nie subiektywne, w tym sensie: to, czy któraś z tych relacji zachodzi lub nie w konkretnym przypadku, nie zależy od tego, czy lub co jakaś osoba może sobie wyobrazić, pomyśleć, wierzyć lub wiedzieć w odniesieniu do tych zdań. Jako przykład: niech i będzie zdaniem „wszystkie łabędzie są białe”, a j zdaniem „wszystkie rzeczy nie-białe są nie-łabędziami” i załóżmy, że doszliśmy do porozumienia co do znaczenia wszystkich występujących w nich terminów. Załóżmy, że osoba X jest obecnie przekonana, że j jest logiczną konsekwencją i, podczas gdy wcześniej wierzył, że tak nie jest. To, że relacja jest obiektywna, jest rozumiane w tym sensie: zmiana przekonania X w odniesieniu do tej relacji nie ma wpływu na status samej tej relacji; jeśli jej obecne przekonanie jest słuszne (jak sądzę), to jej poprzednie przekonanie było błędne; a jeśli jej poprzednie przekonanie było słuszne, jej obecne przekonanie jest błędne. Nie ma nawet sensu zakładać, że każde z dwóch przekonań było słuszne w swoim czasie, tj. że relacja logicznej konsekwencji zachodzi teraz między dwoma zdaniami, ale nie zachodziła poprzednio; ta relacja jest bezczasowa, tj. wartość czasu nie jest jej argumentem. Mam nadzieję, że nikt błędnie nie zinterpretuje mojego stwierdzenia o obiektywizmie relacji logicznych jako stwierdzenia metafizycznego o „trwaniu” (subsistence) tych relacji w platońskim niebie (jak błędnie zinterpretowano moje wcześniejsze stwierdzenia). Stwierdzenie to ma na celu jedynie wskazanie następującej charakterystyki, którą pojęcia logiczne mają wspólną z pojęciami fizycznymi – od których zasadniczo różnią się pod innymi względami: zdanie, które przypisuje jedno z tych pojęć w konkretnym przypadku (np. „j jest konsekwencją i”, podobnie jak „ten kamień jest cięższy od tamtego”), jest pełnym zdaniem bez żadnego odniesienia do własności czy zachowania jakiejkolwiek osoby. (Nie stoi to w sprzeczności z oczywistym faktem, że rozpoznanie relacji logicznej, fizycznej czy jakiegokolwiek innego rodzaju wymaga osoby). W odróżnieniu od pojęć logicznych i fizycznych niektóre inne pojęcia są subiektywne w tym sensie: ich zastosowanie wymaga odniesienia do osoby lub rodzaju osoby; np. „znany”, „znajomy”, „przyjemny”, „potwierdzony” (w sensie pragmatycznym, w odróżnieniu od sensu semantycznego, w którym posługujemy się tym terminem w naszych rozważaniach tutaj, patrz § 8). Na przykład zdanie „ten wzór jest znajomy” nie jest pełnym zdaniem; musi być uzupełnione o coś w rodzaju „dla mnie”, „dla pana X”, „dla osób takiej a takiej klasy”.

Ta obiektywistyczna koncepcja logiki (w tym paragrafie zawsze rozumiana w sensie logiki dedukcyjnej), pogląd, że pojęcia logiki, a więc zasady i twierdzenia logiki, które wykorzystują te pojęcia, są obiektywne, z pewnością nie jest nowa. Wręcz przeciwnie, charakteryzuje pracę praktycznie wszystkich logików. Kiedy ustanawiają swoje zasady i reguły lub na tej podstawie rozwiązują problem logiczny, posługują się sformułowaniami obiektywistycznymi, od Arystotelesa przez tradycję arystotelesowską, aż po logikę współczesną. Mówią na przykład: „z przesłanek o postaci takiej a takiej wynika konkluzja o postaci takiej to a takiej” lub „… daje się wyprowadzić”, lub „dedukcja (wnioskowanie)… z… jest prawomocna”, lub tym podobne. Tutaj, w pracy nad swoimi systemami, niemal nigdy nie użyliby sformułowań subiektywistycznych, to znaczy odnoszących się do osób, na przykład „taki a taki wniosek jest dla mnie prawomocny” czy „... prawomocny dla osób typu introwertycznego”. I żeby przekonać się, czy z danych przesłanek wynika określony wniosek, faktycznie nie dokonują eksperymentów psychologicznych na temat zwyczajów myślowych ludzi, ale raczej analizują dane zdania i wykazują ich relacje pojęciowe. Jeśli jednak zbadamy nie ich rzeczywistą procedurę rozwiązywania problemów logicznych, ale ogólne uwagi dotyczące zadania i natury logiki, głównie we wstępnych paragrafach ich książek, to często znajdujemy coś zupełnie odmiennego. Tutaj logikę często określa się jako sztukę myślenia, a zasady logiki nazywane są zasadami lub prawami myśli. Te i podobne sformułowania odnoszą się do myślenia, a zatem mają charakter subiektywistyczny. Te odniesienia do myślenia są w większości przypadków całkowicie niezgodne z tym, co ten sam autor robi w swojej pracy. Mamy więc tutaj szczególny przypadek rozbieżności wskazanej na początku tego paragrafu. Tego rodzaju rozbieżność, w której same problemy mają charakter obiektywny, ale opisy, za pomocą których autor ma zamiar przedstawić ogólną charakterystykę tych problemów, są ujęte w subiektywistycznych, psychologicznych terminach (jak „myślenie”), często nazywa się psychologizmem. Tak więc sformułowania tego rodzaju, które pojawiają się często w książkach o logice, są przykładami psychologizmu w logice dedukcyjnej. W niektórych przypadkach sytuacja jest jeszcze gorsza niż ta właśnie opisana. Zdarza się, że autor nie tylko zwodzi czytelników swoimi psychologicznymi ogólnymi uwagami, ale sam siebie wprowadza w błąd; w takim przypadku ślady subiektywizmu odnajdujemy w samym systemie logicznym, w omawianiu zagadnień logicznych, pomieszane z obiektywnymi składnikami logicznymi; wynik jest nieuchronnie dość dezorientujący. [Zupełnie inaczej przedstawia się sytuacja w przypadkach, w których nie tylko ogólna charakterystyka, ale także omawianie samych zagadnień jest konsekwentnie subiektywistyczne. Tego rodzaju procedura, nawet jeśli jej autor nadał jej tytuł „Logika”, nie może być krytykowana jako psychologizm, ponieważ nie ma w niej mieszanki heterogenicznych składników; zachodzi tu jedynie różnica terminologiczna w posługiwaniu się terminem „logika”. Wydaje mi się, że Johna Deweya Logic, the theory if inquiry (Nowy Jork, 1938) jest tego rodzaju przypadkiem. Ta książka dotyczy tego rodzaju zachowań, które są odpowiednie w sytuacjach problemowych i prowadzą do ich „rozwiązania”; nie zajmuje się logiką w naszym rozumieniu (z wyjątkiem kilku paragrafów, które wydają się nieco nie na miejscu i mają niewielki związek z resztą książki). Fakt, że wielu logików, czyli ludzi zajmujących się logiką w naszym rozumieniu, błędnie scharakteryzowało tę dziedzinę jako sztukę myślenia, spowodował, że Dewey, który faktycznie zajmuje się sztuką myślenia, czyli teorią i techniką procedur pokonywania trudnych sytuacji, wybrał tytuł „Logic”].

Psychologizm znajdujemy w logice dedukcyjnej nie tylko w literaturze z zakresu logiki tradycyjnej, ale także w logice współczesnej. Narzucającym się przykładem jest tytuł książki, którą można uznać za wyznaczającą początek nowoczesnej logiki symbolicznej, Boole’a Laws of thought (Prawa myślenia). Ale jednym z ważnych osiągnięć w rozwoju nowoczesnej logiki była stopniowa eliminacja psychologizmu i stopniowa klaryfikacja natury logiki. Wydaje się, że zdecydowana większość współczesnych autorów zajmujących się współczesną logiką – choć nie tych zajmujących się logiką w stylu tradycyjnym – jest wolna od psychologizmu. Jest to przede wszystkim zasługa wysiłków matematyka Gottloba Fregego i filozofa Edmunda Husserla, którzy podkreślali konieczność jasnego rozróżnienia między empirycznymi zagadnieniami psychologicznymi a nieempirycznymi zagadnieniami logicznymi oraz wskazywali na zamieszanie wywołane przez psychologizm. Pod tym względem wpłynęli także pośrednio na postawę wielu logików, którzy nigdy nie czytali ich dzieł.

Odnośnie do podkreślania przez Fregego obiektywności logiki i arytmetyki oraz jego odrzucenia psychologizmu, patrz jego Grundlagen der Arithmetik (1884), §§ 26, 27, i Grundgesetze der Arithmetik, t. I (1893), przedmowa, s. LXn. Własne stanowisko Husserla było pierwotnie psychologiczne (Philosophie der Arithmetik [1891]); ale później, pod wpływem Fregego, stał się jednym z czołowych przeciwników psychologizmu (Logische Untersuchungen, tom I [1900], przedmowa i rozdziały 3-11). Na temat tego rozwoju poglądów Husserla por. Marvin Farber, The foundations of phenomenology (1943).

Prymitywne psychologiczne wyjaśnienie relacji konsekwencji logicznej wyglądałoby chyba mniej więcej tak. To, że j jest logiczną konsekwencją i, oznacza, że jeśli ktoś wierzy w i, nie może powstrzymać się przed tym, żeby wierzyć również w j. Faktycznie jednak wyjaśnienie psychologiczne prawie nigdy nie zostanie podane w takiej prymitywnej formie, ponieważ jego nieadekwatność jest zbyt oczywista. Podane dosłownie takie wyjaśnienie wymagałoby od nas zbadania wyników statystycznych serii eksperymentów psychologicznych. Nie ma wielu logików, którzy uznaliby tę procedurę za właściwą.

Niezłą ilustracją, choć nietraktowaną całkiem poważnie, prymitywnego psychologizmu w arytmetyce – będącej częścią logiki dedukcyjnej – jest następujący fragment z P. E. B. Jourdaina (The philosophy of Mr. B*rtr*nd R*ss*ll [1918]: s. 88, przytoczony przez Jeffreysa [Probab.], s. 37): „Czasami mam ochotę zastosować metodę historyczną do tabliczki mnożenia. Powinienem przeprowadzić statystyczne badanie wśród dzieci w wieku szkolnym, zanim ich nieskazitelna mądrość została zniekształcona przez nauczycieli. Powinienem odnotować ich odpowiedzi, ile wynosi 6 razy 9, obliczyć średnią z ich odpowiedzi z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku, a następnie zdecydować, że na obecnym etapie rozwoju człowieka ta średnia jest wartością iloczynu 6 razy 9”.

Wielu logików preferuje sformułowania, które można uznać za rodzaj wyrafinowanego psychologizmu. Przyznają, że logika nie zajmuje się faktycznymi procesami przekonania, myślenia, wnioskowania, bo wtedy stałaby się częścią psychologii. Ale wciąż trzymając się przekonania, że musi istnieć jakiś ścisły związek między logiką a myśleniem, mówią, że logika zajmuje się poprawnym czy racjonalnym myśleniem. W ten sposób mogliby wyjaśnić znaczenie relacji konsekwencji logicznej: „jeśli ktoś ma wystarczające powody, by wierzyć w przesłankę i, to te same powody uzasadniają również jego wiarę we wniosek j”. Wydaje mi się, że tak osłabiony psychologizm praktycznie stracił swoją treść; słowo „myślenie” czy „przekonanie” wciąż jest obecne, ale jego użycie wydaje się zbędne. Wyjaśnienie logicznej konsekwencji, o którym właśnie wspomniałem, nie mówi nic więcej niż sformułowanie w terminach niepsychologicznych, obiektywistycznych, na przykład: „każdy dowód na rzecz i jest również dowodem na rzecz j”; lub: „jeśli i jest prawdziwe, to j z konieczności jest również prawdziwe” (gdzie „koniecznie” oznacza nie więcej niż „w każdym możliwym przypadku, niezależnie od tego, jakie są fakty”); rzeczywiście, moglibyśmy powiedzieć, że można wyprowadzić z niego sformułowanie w kategoriach uzasadnionego przekonania. Stąd takie sformułowanie nie jest błędne. Charakterystyka logiki w kategoriach poprawnego, racjonalnego czy uzasadnionego przekonania jest równie słuszna, ale nie bardziej pouczająca, niż stwierdzenie, że mineralogia mówi nam, jak prawidłowo myśleć o minerałach. W obu przypadkach można równie dobrze porzucić odniesienie do myślenia. Wtedy powiemy po prostu: mineralogia wypowiada stwierdzenia o minerałach, a logika o relacjach logicznych. Aktywność w dowolnej dziedzinie wiedzy wymaga oczywiście myślenia, ale to nie znaczy, że myślenie należy do przedmiotu każdej dziedziny. Należy do przedmiotu psychologii, a nie do dziedziny logiki, podobnie nie należy do dziedziny mineralogii.

Ze względu na częste rozbieżności między wstępnymi uwagami ogólnymi a faktyczną roboczą wersją teorii autora powinniśmy być ostrożni w osądzaniu tej drugiej na podstawie pierwszej. Fakt, że autor sporadycznie posługuje się niektórymi sformułowaniami psychologistycznymi w ogólnych uwagach na temat zadania logiki lub we wstępnych wyjaśnieniach znaczenia pewnych podstawowych terminów logiki, nie jest wystarczającym powodem, aby przypuszczać, że ma subiektywistyczną koncepcję logiki. Jeśli wyjaśnienia są raczej w kategoriach poprawnego, racjonalnego czy uzasadnionego myślenia niż faktycznego myślenia, to w większości przypadków nie są one nawet subiektywistyczne. Odniesienie do poprawności czy uzasadnienia jest przypuszczalnie rozumiane w sensie „zgodnie z regułami logiki”; a większość logików uważa te reguły za obiektywne. Decydującą kwestią do sprawdzenia jest sposób, w jaki autor rozwiązuje swoje problemy logiczne, dowodzi twierdzeń logicznych. Jeśli tutaj jego postępowanie jest obiektywistyczne, to znaczy wolne od odniesień do cech faktycznych procesów myślenia, to jego logikę musimy uznać za obiektywistyczną. Dzieje się tak nawet wtedy, gdy w jego ogólnych uwagach znajdziemy sformułowania nie tylko psychologizmu wyrafinowanego, ale i prymitywnego. Jeśli jego faktyczne postępowanie jest obiektywistyczne, to jego sporadyczne sformułowania psychologiczne powinny być traktowane jako nieistotne relikty tradycyjnego sposobu mówienia, a nie jako charakterystyka jego systemu logiki.

Pogląd ten, dotyczący interpretacji sformułowań psychologistycznych w logice dedukcyjnej, gdzie sytuacja jest stosunkowo prosta, pomoże nam w zrozumieniu analogicznej sytuacji w dziedzinie logiki indukcyjnej, gdzie sytuacja jest obecnie znacznie mniej jasna.

§ 12. Psychologizm w logice indukcyjnej

Sytuacja w odniesieniu do psychologizmu w logice indukcyjnej, czyli w teorii prawdopodobieństwa₁, jest analogiczna do tej w logice dedukcyjnej. Analizujemy tutaj sformułowania niektórych autorów w dwóch grupach. A. Ci, którzy charakteryzują prawdopodobieństwo jako relację logiczną podobną do logicznej konsekwencji (np. Keynes, Jeffreys). W tym przypadku same systemy są całkowicie obiektywistyczne, ale niektóre ogólne uwagi charakteryzuje psychologizm wyrafinowany, np. wyjaśnienie prawdopodobieństwa jako stopień rozsądnego czy uzasadnionego przekonania; jest jasne, że pojęcie, o którym tu mowa, to prawdopodobieństwo₁. B. Autorzy klasycznej teorii prawdopodobieństwa (np. Bernoulli, Laplace). Tutaj znajdujemy ponadto sformułowania prymitywnego psychologizmu, np. wyjaśnienie prawdopodobieństwa jako stopnia przekonania lub oczekiwania. Niemniej jednak wydaje mi się, że same ich teorie były obiektywistyczne; a ponadto, że w większości przypadków mowa jest o prawdopodobieństwie₁, a nie prawdopodobieństwie₂.

A. Prawdopodobieństwo jako relacja logiczna

Logikę dedukcyjną można uznać za teorię relacji logicznej konsekwencji, a logikę indukcyjną za teorię innego pojęcia, które jest podobnie obiektywne i logiczne, a mianowicie prawdopodobieństwa₁ czy stopnia konfirmacji. To, że prawdopodobieństwo₁ jest pojęciem obiektywnym, oznacza że: jeśli określona hipoteza w odniesieniu do określonego dowodu ma określoną wartość prawdopodobieństwa₁, to wartość ta jest całkowicie niezależna od tego, co ktoś pomyśli o tych zdaniach, podobnie jak relacja logicznej konsekwencji jest niezależna w tym zakresie. W konsekwencji definicja eksplikatum dla prawdopodobieństwa₁ nie może odnosić się do żadnej osoby i jej przekonań, a jedynie do tych dwóch zdań i ich własności logicznych w ramach danego systemu językowego.

Teraz pokażemy, że sytuacja w odniesieniu do psychologizmu w logice indukcyjnej jest pod wszystkimi istotnymi względami analogiczna do sytuacji w logice dedukcyjnej omówionej w poprzednim paragrafie.

Wcześniej (§ 9) podzieliliśmy teorie prawdopodobieństwa na trzy grupy. W jednej z tych grup przyjęto częstościową koncepcję prawdopodobieństwa; tutaj eksplikandum jest oczywiście prawdopodobieństwo₂. Pozostałe dwie koncepcje to koncepcja klasyczna (Bernoulli, Laplace) oraz koncepcja prawdopodobieństwa jako pojęcia logicznego pokrewnego z dedukowalnością (Keynes, Jeffreys).

Naszym problemem jest odkrycie, co jest eksplikandum dla różnych autorów w tych dwóch pozostałych grupach. Zacznijmy od ostatniej wymienionej grupy. Tutaj łatwo będzie zauważyć, że eksplikandum jest obiektywnym, logicznym pojęciem prawdopodobieństwa₁. Ale nawet tutaj znajdziemy sformułowania psychologistyczne. Fakt ten pomoże nam później w analizie klasycznych autorów, by spojrzeć przez zwodniczą powłokę psychologistycznych sformułowań na obiektywistyczny rdzeń ich koncepcji.

Keynes stwierdza całkiem jasno, że traktuje prawdopodobieństwo jako obiektywne, logiczne pojęcie: „W sensie ważnym dla logiki prawdopodobieństwo nie jest subiektywne. Nie podlega, mówiąc inaczej, ludzkiemu kaprysowi. Sąd nie jest prawdopodobny, ponieważ tak myślę. Kiedy już podano fakty, które determinują naszą wiedzę, to, co jest prawdopodobne lub nieprawdopodobne w tych okolicznościach, zostało ustalone obiektywnie i jest niezależne od naszej opinii. Teoria prawdopodobieństwa jest zatem logiczna” ([Probab.], s. 4). Keynes przyznaje, że prawdopodobieństwo można również nazwać subiektywnym w innym sensie; wydaje mi się, że w tym przypadku bardziej odpowiedni byłby termin „odniesiony” w znaczeniu „odniesiony do drugiego sądu jako dowodu”. Mówi on (s. 4, we fragmencie bezpośrednio poprzedzającym powyższy cytat): „Sąd jest w tym samym czasie zdolny do różnych stopni tego związku [prawdopodobieństwa], w zależności od wiedzy, do której jest odniesiony, a więc nieistotne jest nazywanie sądu prawdopodobnym, chyba że określimy wiedzę, do której go odnosimy. W tym względzie więc prawdopodobieństwo można nazwać subiektywnym. Ale w sensie… ”. W dalszym ciągu następuje powyższy cytat, który wyjaśnia, że pojęcie Keynesa pod żadnym względem nie jest rozumiane jako subiektywna w sensie przeciwnym do obiektywnego.

Warto teraz zwrócić uwagę, że Keynes, zaraz po cytowanym powyżej fragmencie, w którym jawnie podkreśla obiektywny, logiczny charakter swojego pojęcia, posługuje się sformułowaniami, które wcześniej nazwaliśmy psychologizmem wyrafinowanym. Stwierdza: „Teoria prawdopodobieństwa jest zatem logiczna, ponieważ dotyczy stopnia przekonania, które racjonalnie jest przyjąć w danych warunkach, a nie tylko z faktycznymi przekonaniami poszczególnych jednostek, które mogą, ale nie muszą być racjonalne” (s. 4, kursywa w oryginale). Jego jawne przeciwstawienie racjonalnego i faktycznego stopnia przekonania oraz użycie wyrażenia „ponieważ” jasno pokazuje, że odniesienie do przekonań nie ma na celu w żaden sposób zmiany charakterystyki tego pojęcia jako logicznego ani wprowadzenia subiektywnego komponentu. To sprawi, że będziemy się wahać, czy interpretować podobne sformułowania innych autorów jako autentyczne symptomy koncepcji subiektywistycznej. Sytuacja tutaj jest analogiczna do tej w logice dedukcyjnej. Załóżmy, że hipoteza h ma prawdopodobieństwo₁ q względem dowodu e. Z tego rzeczywiście wynika, że jeśli ktoś wie, że e oraz nic więcej, to jest uzasadnione, by wierzył w h w stopniu q, oraz podobnie jest uzasadnione, by odpowiednio do tego działał, np. obstawiając w zakładzie q na h przeciwko 1 – q. Należy jednak unikać tego odniesienia do przekonań przy charakteryzowaniu prawdopodobieństwa₁, ponieważ zaciera ono ważną granicę między pojęciami logicznymi i psychologicznymi. Oczywiście w pojedynczych nieformalnych wyjaśnieniach prawdopodobieństwa₁ odniesienia do przekonań i zakładów często ułatwiają zrozumienie – jak w analogicznych przypadkach w logice dedukcyjnej i matematyce – ale należy uważać, aby te odniesienia do czegoś pozalogicznego nie zaciemniały natury prawdopodobieństwa₁ jako pojęcia czysto logicznego.

To, że obiektywne pojęcie logiczne, które miał na myśli Keynes, jest tym samym, co to, co nazywamy prawdopodobieństwem₁, tj. logicznym pojęciem potwierdzania, staje się całkiem jasne zarówno dzięki licznym wstępnym wyjaśnieniom, jak i jego rozumowaniom w budowaniu swojego systemu. Stwierdza na przykład „... logiczny związek między jednym zbiorem sądów, które nazywamy naszym dowodem, o którym zakładamy, że posiadamy o nim wiedzę, a innym zbiorem, który nazywamy naszymi wnioskami, i któremu przypisujemy większą lub mniejszą wagę, zgodnie z podstawami przedstawionymi przez ten pierwszy” (s. 5n). Keynes traktuje to pojęcie ogólnie jako nieilościowe, podobnie do naszego porównawczego pojęcia potwierdzania; tylko w szczególnych przypadkach jego teoria pozwala na przypisanie wartości liczbowych, jak nasze ilościowe pojęcie stopnia konfirmacji. To prawda, niektóre stwierdzenia Keynesa dotyczące jego pojęcia prawdopodobieństwa nie są zgodne z naszą koncepcją prawdopodobieństwa₁. Mówi on na przykład: „Definicja prawdopodobieństwa nie jest możliwa ... Nie możemy analizować relacji prawdopodobieństwa w kategoriach prostszych idei” (s. 8); później mówi o „zdolności bezpośredniego rozpoznawania wielu relacji prawdopodobieństwa” (s. 53) za pomocą swego rodzaju „intuicji logicznej” (s. 52). Ale nie sądzę, żeby to był dowód przeciwko naszej interpretacji jego pojęcia w sensie naszego prawdopodobieństwa₁. To, czy dla dwóch osób te same terminy mają to samo znaczenie, to jedno, a zupełnie inną kwestią jest to, czy zgadzają się w swoich opiniach dotyczących tego, co jest tym znaczeniem.

Dla pozostałych przedstawicieli tej grupy sytuacja jest na ogół podobna. Z ich systematycznych konstrukcji, a często także z jawnych wyjaśnień, łatwo widzimy, że ich eksplikandum jest obiektywnym, logicznym pojęciem, a dokładniej, że jest to prawdopodobieństwo₁. Często, ale nie zawsze, napotykamy również sformułowania psychologistyczne, głównie w postaci wyrafinowanej. Z powodów omówionych wcześniej nie traktujemy tych sformułowań jako przejawów autentycznie subiektywistycznej koncepcji, ale jedynie jako pozostałości starej tradycji, która została przezwyciężona w istocie, ale wciąż utrzymuje się w niektórych formach mowy.

Powyższe uwagi ogólne można zilustrować krótkimi odniesieniami do niektórych autorów z tej grupy.

To, że Jeffreys rozumie „prawdopodobieństwo” w sensie prawdopodobieństwa₁, staje się bardzo jasne w całej jego teorii. Już pierwsze zdanie przedmowy jego głównej pracy ([Probab.], s. V) opisuje jego cel, którym jest „dostarczenie metody wyciągania wniosków z danych obserwacyjnych”. Rozpoczyna od pojęcia porównawczego z trzema argumentami („względem danych p, q jest bardziej prawdopodobne niż r”, s. 15), na podstawie którego za pomocą odpowiednich konwencji rozwija pojęcie ilościowe (s. 19). Cała koncepcja jest gruntownie obiektywistyczna, ale towarzyszą jej sporadyczne sformułowania charakterystyczne dla psychologizmu wyrafinowanego, np. „Prawdopodobieństwo, ściśle mówiąc, jest rozsądnym stopniem przeświadczenia (confidence)” (s. 20), „rozsądnym stopniem przekonania” (s. 31). Koncepcja prawdopodobieństwa F. P. Ramseya wydaje się na pierwszy rzut oka bardziej psychologiczna i subiektywistyczna niż koncepcja większości innych autorów ([Truth] i [Considerations], oba opublikowane w [Foundations]; podane odniesienia dotyczą tej ostatniej książki). Głosi, że teoria prawdopodobieństwa jest „logiką przekonania cząstkowego” (partial belief) (s. 159, 166); „musimy zatem spróbować opracować czysto psychologiczną metodę pomiaru przekonań” (s. 166); „Proponuję oprzeć się na ogólnej teorii psychologicznej” (s. 173). Nic więc dziwnego, że wielu autorów oceniło koncepcję Ramseya jako szczególnie wyraźny przypadek subiektywizmu. Wydaje mi się jednak, że bliższa analiza może wzbudzić poważne wątpliwości co do tego osądu. Prawdą jest, że psychologiczna metoda pomiaru rzeczywistego stopnia przekonania osoby w odniesieniu do sądu odgrywa centralną rolę w rozważaniach Ramseya. Ale nie definiuje on prawdopodobieństwa jako faktyczny stopień przekonania ani go z nim nie utożsamia. Mówi: „Nie wystarczy zmierzyć prawdopodobieństwo; aby poprawnie przydzielić nasze przekonanie zgodnie z prawdopodobieństwem, musimy także umieć zmierzyć nasze przekonanie”; „jeśli wyrażenie ‘przekonanie dwie trzecie z pewności’ jest bezsensowne, rachunek [tj. teoria prawdopodobieństwa], którego jedynym celem jest zalecanie takich przekonań, również będzie bezsensowna” (oba na s. 166; kursywa jest moja). Dlatego uważa teorię prawdopodobieństwa nie za część psychologii opisującą faktycznie występujące stopnie przekonań, ale raczej za część logiki określającej standardy lub normy, które mówią nam, jakie stopnie przekonań powinniśmy przyjmować, jeśli chcemy być racjonalni i spójni w naszych przekonaniach. Tę interpretację wydaje się potwierdzać jego stwierdzenie, że „prawa prawdopodobieństwa są prawami spójności, rozszerzeniem logiki formalnej na przekonania cząstkowe, są logiką spójności” (s. 182); „posiadanie stopni przekonania zgodnych z prawami prawdopodobieństwa implikuje dodatkową miarę spójności, a mianowicie taką spójność między stawkami dopuszczalnymi dla różnych sądów, która zapobiegnie stworzeniu zakładu przeciwko tobie”. To pokazuje, że standard nakładany na nasze przekonania przez teorię prawdopodobieństwa jest traktowany jako obiektywny, a mianowicie, pozwalający uniknąć pewnych niekorzystnych wyników w zakładach. Później (s. 191) scharakteryzował on logikę „jako naukę o racjonalnym myśleniu. Odkryliśmy”, kontynuuje, „najpowszechniej akceptowane części logiki, a mianowicie logika formalna, matematyka i rachunek prawdopodobieństwa, wszystkie one dotyczą tego, by zapewnić, że nasze przekonania nie są wewnętrznie sprzeczne”. Ta koncepcja natury logiki jako normatywnej, a nie opisowej, w stosunku do przekonań jest jasno wyrażona w następujących słowach: „Logika, możemy przyznać, nie dotyczy tego, o czym ludzie są naprawdę przekonani, ale tego, o czym powinni być przekonani, lub o czym można być rozsądnie przekonanym” (s. 193). To sformułowanie należy wyraźnie ocenić jako raczej wyrafinowany niż prymitywny psychologizm. Dlatego też nasze poprzednie rozważania, że przejście od psychologizmu prymitywnego do wyrafinowanego ujawnia leżącą u podstaw obiektywistyczną koncepcję, dotyczą również Ramseya. Ten osąd zdaje się potwierdzać późniejsza uwaga Ramseya (napisana w 1929 r.) dotycząca jego wcześniejszej pracy ([Truth], napisana w 1926 r.): „Wada mojego artykułu na temat prawdopodobieństwa polegała na tym, że traktował przekonanie cząstkowe jako zjawisko psychologiczne, które ma być zdefiniowane i zmierzone przez psychologa” (s. 256).

Jeden z rzadkich przypadków, w którym prymitywny psychologizm w odniesieniu do prawdopodobieństwa jest rozumiany dosłownie, można znaleźć w rozważaniach Jamesa Jeansa na temat fal prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej (Physics and philosophy [Nowy Jork, 1943]). W tym miejscu można pominąć kwestię, czy pojęcie prawdopodobieństwa używane w teorii kwantów należy rozumieć w sensie prawdopodobieństwa₁, czy też prawdopodobieństwa₂; być może możliwe są sformułowania obu rodzajów. W każdym razie oba pojęcia są obiektywne; zastosowanie jednego jest kwestią logiki, a drugiego kwestią fizyki; żadne z nich nie jest pojęciem psychologicznym. Jeans uważa jednak, że prawdopodobieństwo w teorii kwantowej jest czymś o naturze mentalnej. Dochodzi więc do wniosku, że fale prawdopodobieństwa Diraca są falami wiedzy; „ostateczny obraz składa się w całości z fal, a jego składniki są całkowicie konstruktami umysłowymi”. Konsekwentnie widzi w tym rozwoju fizyki „wyraźny krok w kierunku mentalizmu”.

B. Klasyczna teoria prawdopodobieństwa

Zobaczmy teraz, do jakiego stopnia psychologizm można znaleźć w tak zwanej klasycznej koncepcji prawdopodobieństwa, zapoczątkowanej przez Jacoba Bernoulliego i Laplace’a. Ta koncepcja przejawia się w definicji prawdopodobieństwa i sposobie, w jaki ta definicja jest używana; innymi słowy, w eksplikatum tych autorów i ich kontynuatorów. Tutaj jednak nie będziemy omawiać ich eksplikatum, lecz ich eksplikandum. Znajdujemy wiele sformułowań psychologistycznych; prawdopodobieństwo wyjaśnia się na przykład jako stopień przekonania, stopień pewności i tym podobne. Dlatego wielu późniejszych autorów charakteryzowało koncepcję klasyczną jako subiektywistyczną. Gdyby te sformułowania potraktować dosłownie, twierdzenia o prawdopodobieństwie byłyby stwierdzeniami praw psychologicznych; większość z nich byłaby oczywiście fałszywa, podobnie jak twierdzenia logiki dedukcyjnej zinterpretowane jako prawa psychologiczne, ponieważ na nasze przekonania często wpływają czynniki irracjonalne. Jest więc zrozumiałe, że wielu zwolenników klasycznej koncepcji wydaje się nie być w pełni usatysfakcjonowanych tymi sformułowaniami i używa, zarówno dodatkowo, jak i zamiast nich, sformułowań wyrafinowanego psychologizmu, na przykład „racjonalny stopień przekonania” i tym podobnych. Jak widzieliśmy wcześniej, sformułowania tego rodzaju można uznać za krok w kierunku wyeliminowania psychologizmu i rzeczywiście nie są już subiektywistyczne, ponieważ zakładają – w większości przypadków milcząco – obiektywne standardy. Zatem występowanie tych sformułowań sugeruje, że być może użycie prymitywnych sformułowań psychologistycznych również nie jest dowodem autentycznie subiektywistycznej koncepcji, a jedynie zwyczajowym, choć nie całkiem adekwatnym, sposobem radzenia sobie z pojęciami, które mają być rozumiane jako logiczne, a nie psychologiczne.

Jacob Bernoulli poczynił kilka ogólnych uwag wyjaśniających na temat natury i zastosowania prawdopodobieństwa na początku części czwartej swojej Ars conjectandi, pracy, która wyznacza początek systematycznych badań nad prawdopodobieństwem. Twierdzi, że „prawdopodobieństwo jest stopniem pewności i różni się od niej jak część od całości” (s. 211). Najwyższą pewność przypisuje tym rzeczom, które poznajemy dzięki objawieniu, rozumowaniu czy percepcji zmysłowej; wszystkie inne rzeczy mają mniej doskonałą miarę pewności. Wszystko to ma psychologiczny wydźwięk. Staje się jednak całkiem jasne, że teoria prawdopodobieństwa Bernoulliego, którą nazywa on sztuką przypuszczania („ars conjectandi sive stochastice”, s. 213), nie jest zamierzona jako opis rzeczywistych procesów rozumowania, ale raczej jako przewodnik poprawnego i użytecznego rozumowania. Definiuje tę sztukę jako „sztukę mierzenia prawdopodobieństw rzeczy tak precyzyjnie, jak to tylko możliwe, abyśmy zawsze mogli wybierać i uwzględniać w naszych osądach i działaniach to, co wydaje się nam lepsze, bardziej odpowiednie, pewniejsze czy słuszne” (s. 213).

Podobnie Laplace rozumie „prawdopodobieństwo” nie w sensie psychologicznym, subiektywnym, ale w sensie obiektywnym, co wyraźnie widać w niektórych fragmentach pod koniec jego pracy filozoficznej ([Essai]; nasze cytaty pochodzą z wydania z 1921 r.), gdzie stwierdza, że teoria prawdopodobieństwa uściśla to, co wyczuwamy swego rodzaju instynktem; że nie pozostawia nic arbitralnego w wyborze naszych opinii, ponieważ za jej pomocą można określić najkorzystniejszy wybór; ponadto że teoria kieruje naszymi osądami i chroni nas przed złudzeniami (II, 105n).

Jeśli eksplikandum, które mieli na myśli autorzy klasyczni, nie było pojęciem subiektywnym, to które z pojęć było pojęciem obiektywnym? Logiczne pojęcie prawdopodobieństwa₁ i empiryczne pojęcie prawdopodobieństwa₂ są obiektywne. Jestem skłonny przypuszczać, że w większości przypadków, choć być może z kilkoma wyjątkami, rozumieli oni coś w rodzaju prawdopodobieństwa₁, to znaczy nie pojęcie empiryczne, lecz logiczne, które charakteryzuje siłę nadaną pewnej hipotezie przez pewną ilość dowodów.

Laplace ([Essai], I, 7) omawia przykład trzech urn – A, B, C. Wiemy, że jedna z nich zawiera tylko czarne kule, ale nie wiemy, która z tych trzech; wiemy ponadto, że dwie pozostałe urny zawierają tylko białe kule. Laplace stawia pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że kula, która zostanie wyciągnięta z urny C, okaże się czarna. Z naszego obecnego punktu widzenia zasadniczym faktem jest to, że Laplace podaje różne wartości prawdopodobieństwa: pierwszą na podstawie wspomnianej wiedzy; potem kolejna to wartość, którą przyjmuje prawdopodobieństwo, gdy dowiemy się, że urna A zawiera tylko białe kule; i wreszcie trzecia wartość, kiedy dowiemy się dodatkowo, że B podobnie zawiera tylko białe kule. To pokazuje, że Laplace nie mówi o prawdopodobieństwie₂ czy jakiejkolwiek innej fizycznej własności urn, ponieważ te własności nie zmieniają się, gdy dowiadujemy się więcej o urnach. To, co ma na myśli, musi być czymś, co zależy od stanu naszej wiedzy; stąd wydaje się, że ma on na myśli coś w rodzaju wagi dowodu (weight of evidence), którego nasza wiedza dostarcza pewnej hipotezie, innymi słowy, coś w rodzaju prawdopodobieństwa₁.

Te sformułowania, za pomocą których autorzy klasyczni zamierzają wyjaśnić, co rozumieją przez „prawdopodobieństwo”, znacznie się różnią, nawet w przypadku tego samego autora, i często nie są tak jasne, jakbyśmy sobie życzyli. Dlatego też musimy oprzeć naszą interpretację również na sposobie, w jaki wnioskują o prawdopodobieństwie w swoich teoriach. Często, gdy próbujemy zinterpretować niejednoznaczny termin użyty przez autora w innym okresie, w innym języku lub w nieznanej terminologii, postępujemy w następujący sposób. Załóżmy, że autor, o którym mowa, jest znany z wielu cennych wyników, które odkrył w tej samej lub pokrewnej dziedzinie; przypuśćmy ponadto, że używa on danego terminu w pewnych miejscach nie w sposób przypadkowy, ale przy formułowaniu twierdzeń, które najwyraźniej są dla niego ważne; przypuśćmy wreszcie, że spośród rozważanych znaczeń terminu jest takie, dla którego te twierdzenia zachodzą, podczas gdy byłyby fałszywe przy innych znaczeniach. Jest zatem jakaś racja, by uważać te fakty za potwierdzające założenie, że to znaczenie terminu, przy którym twierdzenia są prawdziwe, jest znaczeniem zamierzonym przez autora. Oczywiście tej metody należy używać ostrożnie; w przeciwnym razie prowadziłaby do dość arbitralnych interpretacji, a w skrajnym przypadku do absurdalnego wyniku, że wszystkie asercje wszystkich autorów wydają się zgadzać z naszymi opiniami. Ale jako procedura pomocnicza, w połączeniu z uwzględnieniem własnych wyjaśnień autora na temat danego terminu, może być czasami pomocna. Zastosujmy ją do naszego przypadku. Klasyczna teoria prawdopodobieństwa zawiera pewne twierdzenia następującego rodzaju. Jeśli interpretujemy je w sensie prawdopodobieństwa₂, to twierdzenia te będą oczywiście fałszywe (nawet po pewnych modyfikacjach, które wydają się konieczne dla jakiejkolwiek interpretacji, np. dodanie drugiego argumentu do funkcji prawdopodobieństwa). Dlatego przedstawiciele koncepcji częstościowej odrzucili te twierdzenia, a nawet wyrazili zdziwienie, że jakiś rozsądny człowiek mógłby przyjmować absurdy. Twierdzenia te, tak jak praktycznie wszystkie twierdzenia, są oczywiście fałszywe również wtedy, gdy są interpretowane w sensie psychologicznego pojęcia stopnia przekonania. Z drugiej strony, twierdzenia te są prawdziwe lub przynajmniej nie całkiem nieprzekonujące, jeśli zinterpretuje się je w sensie prawdopodobieństwa₁. (Przykładami są pewne uszczegółowienia kontrowersyjnej zasady niezróżnicowania (principle of indifference); sama ta zasada w powszechnej postaci jest jednak zbyt ogólna i prowadzi do sprzeczności). Wydaje mi się, że ten fakt dostarcza dodatkowego wsparcia dla naszego założenia, że eksplikandum, które mieli na myśli autorzy klasyczni podczas większości swoich rozważań, jest prawdopodobieństwo₁ lub coś do niego podobnego. Sformułuję to założenie z tymi ostrożnymi ograniczeniami, ponieważ wydaje mi się, że nie ma jednego znaczenia terminu „prawdopodobieństwo”, które jest stosowane z pełną konsekwencją w całej jego twórczości przez któregokolwiek z autorów klasycznych. Są takie miejsca, w których, jak sądzę, interpretacja jako prawdopodobieństwo₁ nie ma sensu, a tylko interpretacja jako prawdopodobieństwo₂. (Przykładami są odniesienia do „nieznanych prawdopodobieństw”; patrz poniżej, § 41D).

Nasza interpretacja klasycznej teorii w kategoriach prawdopodobieństwa₁ jest zgodna z poglądem Jeffreysa, który przedstawia mocne argumenty na rzecz tej interpretacji w przeciwieństwie do interpretacji jako częstości względnej; jednym z silnych argumentów jest po prostu charakterystyczny tytuł Ars conjectandi książki Bernoulliego. Jeffreys dochodzi do następującego wniosku: „Utrzymuję, że prace pionierów [Bernoulliego, Bayesa i Laplace’a] dość jasno pokazują, że zajmowali się oni konstrukcją spójnej teorii rozsądnych stopni przekonania, a w przypadku Bayesa i Laplace’a podstawami zdrowego rozsądku lub wnioskowania indukcyjnego” ([Probab.], s. 335).

W przypadku późniejszych autorów, którzy podążają za tradycją klasyczną, sytuacja jest dość podobna. Pomimo sformułowań psychologistycznych zazwyczaj jest całkiem jasne, że przyjmują oni koncepcję obiektywistyczną. Być może pewne wątpliwości budzi w tym względzie przypadek De Morgana z powodu jego powtarzających się sformułowań w kategoriach prymitywnego psychologizmu. Ale nawet tutaj okazuje się, że autor nie tylko robi zbawczy krok od psychologizmu prymitywnego ku wyrafinowanemu, ale traktuje ten krok jedynie jako przejście od naturalnego, choć nie do końca adekwatnego, sformułowania do bardziej poprawnego, a nie jako zmianę samej koncepcji: „‘To jest bardziej prawdopodobne niż nieprawdopodobne’ znaczy… „Jestem przekonany, że to się wydarzy, bardziej niż przekonany, że to się nie wydarzy”. A raczej „powinienem być przekonany itd.” ([Logic], s. 172n). [Nawiasem mówiąc, sformułowanie takie jak „Jest bardziej prawdopodobne niż nieprawdopodobne, że będzie padać”, używane przez niektórych autorów, wydaje się nieco pogmatwanym sposobem powiedzenia „Jest bardziej prawdopodobne, że będzie padać, niż że nie będzie padać ”; to tak, jakby powiedzieć: „Jestem przekonany, że będzie padać, bardziej niż nieprzekonany, że będzie padać”].

Wydaje mi się, że na podstawie rozważań w tym paragrafie przekonujące jest założenie, że dla większości, a może praktycznie dla wszystkich, autorów zajmujących się prawdopodobieństwem, którzy nie akceptują koncepcji częstościowej, zachodzi co następuje. (i) Ich teorie prawdopodobieństwa są obiektywistyczne; częste sformułowania charakterystyczne dla psychologizmu, wyrafinowanego czy nawet prymitywnego, są zwykle tylko wstępnymi uwagami, niewpływającymi na ich faktyczną metodę pracy. (ii) Obiektywne pojęcie, które rozumieją, jasno lub mętnie, jako swoje eksplikandum, jest czymś podobnym do prawdopodobieństwa₁; w okresie klasycznym eksplikandum często nie jest jeszcze całkiem jasne; ale wydaje się, że w toku rozwoju historycznego coraz bardziej jasno wyłania się pojęcie prawdopodobieństwa₁.

Nie można; oczywiście, zanegować, że istnieje również subiektywne, psychologiczne pojęcie, dla którego można użyć terminu „prawdopodobieństwo”, i czasami jest on tak używany. Jest to pojęcie stopnia faktycznego, w odróżnieniu od racjonalnego, przekonania: „osoba X w czasie t jest przekonana co do h w stopniu r”. Pojęcie to ma znaczenie dla teorii ludzkich zachowań, a więc dla psychologii, socjologii, ekonomii itp. Ale nie może ono służyć jako podstawa dla logiki indukcyjnej czy rachunku prawdopodobieństwa, wykorzystywanych w nauce jako ogólne narzędzie.

III. Logika dedukcyjna

W tym rozdziale (§§ 14-40) skonstruowane są systemy językowe 𝔏, do których później zostanie zastosowana nasza teoria logiki indukcyjnej; i podany jest zarys logiki dedukcyjnej w odniesieniu do tych systemów językowych, w zakresie koniecznym jako podstawa do późniejszej konstrukcji logiki indukcyjnej.

Pierwsza część tego rozdziału (§§ 14-20) podaje semantyczne podstawy logiki dedukcyjnej. Znajomość tej części jest założona już w kolejnym rozdziale, podczas gdy studiowanie pozostałych części można odłożyć do czasu wykorzystania ich materiału w kolejnych rozdziałach. Systemy językowe 𝔏 są skonstruowane jako systemy reguł semantycznych. Istnieje jeden system 𝔏∞ z nieskończoną liczbą indywiduów oraz inne systemy 𝔏N ze skończoną liczbą N indywiduów. Reguły składni (rules of formation) określają sposoby, w jakie znaki systemów 𝔏 (§ 15) mogą być łączone w zdania (§ 16). Używamy zmiennych indywiduowych jako jedynych zmiennych (stąd nasze systemy odpowiadają temu, co w logice symbolicznej jest znane jako logika funkcyjna niższego rzędu). Reguły prawdziwości podają wystarczające i konieczne warunki prawdziwości zdań (§ 17). Pewne zdania, które podają pełny opis każdego indywiduum w odniesieniu do wszystkich własności i relacji wyrażalnych w danym systemie, nazywane są opisami stanów (ℨ) (D18-1); reprezentują one wszystkie możliwe stany rzeczy dla całej dziedziny indywiduów. Reguły dla zakresów określają dla każdego zdania i, w którym z opisów stanów ono zachodzi (D18-4); klasa tych opisów stanów jest określana jako zakres i (ℜi; D18-6a). W ten sposób te reguły podają interpretację systemu językowego, tj. określają znaczenie każdego zdania; gdyż znać znaczenie zdania to wiedzieć, w których ze wszystkich możliwych przypadków jest ono prawdziwe. Te reguły, określając zakresy, służą również jako podstawa dla tego, co nazywamy L-pojęciami (§ 20). Na przykład, o zdaniu mówi się, że jest L-prawdziwe (logicznie prawdziwe, analityczne), jeśli zachodzi we wszystkich możliwych przypadkach, a więc jeśli jego zakres obejmuje wszystkie opisy stanów (D20-1a); inne L-pojęcia, np. L-fałszywość, L-implikacja, L-równoważność, są podobnie zdefiniowane na podstawie pojęcia zakresu (D20-1). Logikę dedukcyjną można uznać za teorię L-pojęć; dlatego w naszej metodzie opiera się ona na koncepcji zakresu. W dalszym rozdziale podobnie zdefiniujemy funkcje reprezentujące stopień konfirmacji za pomocą pojęcia zakresu; tak więc logika indukcyjna podobnie będzie opierać się na pojęciu zakresu.

Druga część tego rozdziału (§§ 21-24) wylicza twierdzenia logiki dedukcyjnej w celu późniejszych odwołań, większość z nich jest dobrze znana. Zajmują się spójnikami logiki propozycjonalnej (§ 21), zdaniami ogólnymi (§ 22), podstawieniami (§ 23) i identycznością (§ 24).

Trzecia i największa część (§§ 25-38) dotyczy szczegółowych tematów z logiki dedukcyjnej, wybranych ze względu na ich wagę dla logiki indukcyjnej. Zdefiniowano pojęcia stosowane do predykatów czy do desygnowanych przez nie własności i relacji (§ 25). Zdefiniowano izomorfizm zdań (D26-3a). Pojęcie to, zwłaszcza jego zastosowanie do opisów stanów, będzie miało później wielkie znaczenie w logice indukcyjnej. Jeżeli dwa opisy stanów są izomorficzne (§ 27), to można powiedzieć, że przypisują one tę samą strukturę dziedzinie indywiduów. Pewne zdania, które opisują możliwe struktury, nazywane są opisami struktur (𝔖𝔱𝔯, D27-1). Najważniejszy specjalny rodzaj naszych systemów językowych 𝔏 obejmuje te systemy, których predykaty pierwotne desygnują tylko własności, a nie relacje; nazywane są one systemami 𝔏π (§ 31). Systemy te omówiono szczegółowo (§§ 31-38). Wprowadzono predykaty szczególnego rodzaju, „Q₁”, „Q₂” itp. (§ 31). Q-własności desygnowane przez te Q-predykaty są najsilniejszymi własnościami, które można wyrazić w tym systemie. Jeśli podany jest opis stanu, wtedy liczby kardynalne tych Q-własności nazywamy Q-liczbami tego opisu stanu (§ 34). Izomorficzne opisy stanów mają te same Q-liczby, a każda struktura jest zupełnie scharakteryzowana przez swoje Q-liczby. W późniejszym rozdziale Q-liczby zostaną użyte do określenia stopnia konfirmacji. Omówiono niektóre dedukcyjne własności praw uniwersalnych (§ 37), w szczególności praw o postaci warunkowej (§ 38).

W ostatnim paragrafie tego rozdziału (§ 40) wyliczono niektóre definicje i twierdzenia matematyczne w celu odwołania się do nich w tym i w następnych rozdziałach.

§ 14. Wstępne wyjaśnienia

Podkreśla się znaczenie precyzyjnego opisu języków przedmiotowych dla logiki indukcyjnej. Jako metajęzyk używany będzie język angielski, uzupełniony niemieckimi literami i innymi znakami specjalnymi.

Niniejszy rozdział nie dotyczy prawdopodobieństwa ani logiki indukcyjnej, ale dostarcza niezbędnych podstaw do naszych późniejszych rozważań na te tematy. Tutaj opiszemy pewne systemy językowe 𝔏 i zarysujemy logikę dedukcyjną dla tych systemów. W późniejszych rozdziałach zostaną omówione możliwości logiki indukcyjnej, czyli teorii prawdopodobieństwa₁ (stopnia konfirmacji) w zastosowaniu do tych systemów językowych 𝔏 oraz w oparciu o logikę dedukcyjną, która zostanie tutaj zarysowana.

Rozdział ten składa się z trzech części, z których tylko pierwsza jest założona w następnym rozdziale. (i) Pierwsze paragrafy (§§ 14-20) opisują systemy 𝔏 i wyjaśniają niektóre pojęcia semantyczne stosowane w tych systemach. Pojęcia te będą stale używane w kolejnych rozdziałach. Dlatego wydaje się wskazane, aby czytelnik zapoznał się z nimi i ich głównymi charakterystykami; ale nie jest konieczne przestudiowanie teraz wszystkich podanych dla nich twierdzeń; najważniejsze definicje i twierdzenia zaznaczono znakiem „+”. (ii) Niektóre późniejsze paragrafy (§§ 21-24) zawierają głównie dobrze znany materiał z logiki dedukcyjnej. Zostały napisane przede wszystkim w celu późniejszych odwołań, a nie do czytania. Taki sam charakter ma ostatni paragraf tego rozdziału (§ 40); wylicza on niektóre definicje i twierdzenia matematyczne. (iii) Pozostałe paragrafy (§§ 25-38) dotyczą szczegółowych tematów w logice dedukcyjnej, które są potrzebne w niektórych późniejszych rozdziałach. Czytelnik, który niecierpliwi się, aby jak najszybciej przejść do logiki indukcyjnej, może je obecnie pominąć, i powrócić do tego czy innego z nich dopiero później, gdy zajdzie taka potrzeba i zostaną podane wskazówki. (Materiał z §§ 25-27 będzie potrzebny w rozdziale VIII; materiał z §§ 31 i 32 będzie potrzebny w § 107).

Kiedy przejdziemy do logiki indukcyjnej, zobaczymy, że jest w niej nawet bardziej potrzebne niż w logice dedukcyjnej opisanie całej struktury języka, do której ma być zastosowany; to znaczy, wartość stopnia konfirmacji dla dwóch danych zdań zależy nie tylko od obu tych zdań, ale także od szczególnych cech języka, do którego należą te zdania. Chociaż wielu współczesnych autorów posługiwało się logiką symboliczną w swoich dyskusjach na temat prawdopodobieństwa₁ (na przykład Keynes, Jeffreys, Mazurkiewicz, Hosiasson), żaden z nich, nie mówiąc już o wcześniejszych autorach, nie zwrócił dostatecznej uwagi na strukturę języka. Moim zdaniem jest to poważna wada większości teorii od okresu klasycznego do naszych czasów; odpowiada ona za pewne trudności, a nawet za sprzeczności wynikające z pewnych zasad w ich powszechnej postaci. Dlatego konieczne jest szczegółowe określenie naszych systemów językowych przed zastosowaniem do nich logiki indukcyjnej.

Dla konstruowanych tutaj systemów językowych wybieramy względnie prostą strukturę, w której jedynymi zmiennymi są zmienne indywiduowe. [Struktura ta odpowiada w przybliżeniu tak zwanej logice funkcyjnej niższego rzędu tylko ze zmiennymi indywiduowymi czy (w terminologii Alonzo Churcha, [Dictionary], s. 174) prostemu stosowanemu rachunkowi funkcyjnemu pierwszego rzędu]. Faktyczny język naukowy, a nawet ten fizyki elementarnej, ma oczywiście znacznie bardziej złożoną strukturę; punkty czasoprzestrzeni są reprezentowane przez ich współrzędne, a zatem wymagane są zmienne reprezentujące liczby rzeczywiste; zdarzenia są opisywane w sposób ilościowy za pomocą funkcji fizycznych z wartościami liczbowymi. Wydaje się jednak wskazane, aby nie próbować od razu skonstruować logiki indukcyjnej dla języka o tak złożonej formie, ale rozpocząć od prostszych struktur. Logika dedukcyjna, starsza o ponad dwa tysiące lat od logiki indukcyjnej, została podobnie po raz pierwszy zastosowana do prostych form językowych. Logika Arystotelesa, oparta na niej logika tradycyjna, a nawet pierwsze systemy, które wykorzystywały precyzyjne, symboliczne metody logiki współczesnej (skonstruowane przez Boole’a i jego kontynuatorów), zajmują się tylko formami zdań, które stanowią niewielki ułamek tych systemów, które zostaną tutaj skonstruowane. Frege był pierwszym (w Begrifsschrift [1879]), który skonstruował system logiki dedukcyjnej dla formy języka, która osiąga taką złożoność, jakiej tutaj będziemy używać, a nawet wykracza daleko poza nią. W dalszej części zostaną podane wskazówki dotyczące możliwych sposobów rozwiązania problemów rozszerzenia naszego systemu logiki indukcyjnej na bardziej rozbudowane języki. Problemy te dotyczą zwłaszcza języków zawierających podstawowy porządek indywiduów (§ 15) oraz języków zawierających ilościowe pojęcia fizyczne.

Ponieważ zamierzamy skonstruować logikę indukcyjną jako teorię stopnia konfirmacji, opartą na znaczeniach odnośnych zdań – w przeciwieństwie do zwykłego rachunku – skonstruujemy systemy językowe 𝔏 z interpretacją, a więc jako systemy reguł semantycznych, a nie jako niezinterpretowane systemy syntaktyczne. Systemy 𝔏, nasze języki przedmiotowe, są systemami symbolicznymi, zawierającymi powszechne symbole logiki symbolicznej oraz niektóre litery jako stałe pozalogiczne. Ta książka zakłada pewną wiedzę o najprostszych elementach logiki symbolicznej; ale nie zakłada znajomości metody semantycznej rozwiniętej w [Semantics]. Zastosowane tutaj pojęcia semantyczne zostaną wyjaśnione w zakresie niezbędnym dla celów tej książki.

Tych czytelników, którzy chcą uzyskać pełniejsze zrozumienie metody semantycznej, a zwłaszcza semantycznych L-pojęć, odsyłam do bardziej szczegółowych rozważań w [Semantics] i [Meaning]. Szersza dziedzina semiotyki, ogólna teoria znaków, której semantyka jest częścią, została krótko zarysowana w Charlesa Morrisa Foundations of the theory of signs (= „Encyclopedia of unified science”, tom I, nr 2 [1938]) oraz bardziej szczegółowo w jego Signs, language, and behavior (1946).

Jako metajęzyk, w którym opisujemy systemy 𝔏 i formułujemy twierdzenia logiki dedukcyjnej dotyczące tych systemów, a później twierdzenia logiki indukcyjnej, posługujemy się językiem angielskim uzupełnionym pewnymi znakami technicznymi, zwłaszcza literami niemieckimi, w następujący sposób:

„𝔦𝔫” odnosi się do stałych indywiduowych (systemów 𝔏 ogólnie lub omawianego systemu),

„𝔦” do zmiennych indywiduowych,

„𝔭𝔯” do predykatów pierwotnych,

„𝔄” odnosi się do dowolnych wyrażeń (czyli pojedynczych znaków lub skończonych sekwencji znaków),

„𝔖” do zdań,

„𝔐” do (zdaniowych) matryc (czyli zdań lub wyrażeń o analogicznej postaci, ale zawierających zmienne wolne, np. „Px”),

„𝔎” do klas zdań (czasami także do klas innych wyrażeń);

ponadto (patrz późniejsze wyjaśnienia): „ℨ” odnosi się do opisów stanów, „ℜ” do zakresów (§ 18), oraz „𝔖𝔱𝔯” do opisów-struktur (§ 27).

Przyjmujemy termin „matryca” od Quine’a, ponieważ bardziej powszechne terminy „funkcja propozycjonalna” czy „funkcja zdaniowa” są mylące (patrz [Semantics], s. 232n). Zgodnie z użyciem większości matematyków, termin „funkcja” jest stosowany w tej książce tylko do pewnych pojęć (np. „𝔠-funkcje”), ale nie do wyrażeń językowych.

Te niemieckie litery będą używane na dwa sposoby. (i) Niemiecka litera bez indeksu dolnego będzie czasami używana jako wygodny skrót dla odpowiedniego polskiego rzeczownika lub wyrażenia (lub jego liczby mnogiej); na przykład czasami będziemy pisać „wszystkie ℨ są …” jako skrót od „wszystkie opisy stanu są …”, „ten system zawiera trzy 𝔭𝔯” zamiast „… trzy predykaty pierwotne”, „to zdanie nie zawiera 𝔦𝔫” zamiast „… stałej indywiduowej” itd. (ii) Niemiecka litera z jednym z indeksów dolnych „i”, „j” itd. służy jako zmienna metajęzykowa w odniesieniu do rodzaju znaków lub wyrażeń systemów 𝔏 wskazanych powyżej. (Rzadziej niemiecka litera z jednym z indeksów dolnych „1”, „2” itd. jest używana jako stała tego samego rodzaju). Na przykład sformułowanie, takie jak: „Jeśli 𝔖i L-implikuje 𝔖j, wtedy negacja 𝔖j L-implikuje negację 𝔖i” należy rozumieć jako stwierdzenie: „Jeśli pierwsze zdanie L-implikuje drugie zdanie (które niekoniecznie różni się od pierwszego), to negacja drugiego L-implikuje negację pierwszego”. Ponieważ argumentami stopnia konfirmacji są zdania, nasze rozważania i twierdzenia będą zawierały bardzo wiele odwołań do zdań; dlatego wygodnie jest mieć prostsze znaki dla tych odwołań. W tym celu, zamiast „𝔖i”, „𝔖j”, „𝔖k”, „𝔖l” będziemy zwykle pisać po prostu „i”, „j”, „k”, „l”; „e” oraz „h” są używane w ten sam sposób. Należy zwrócić uwagę, że te litery, mimo że są pisane kursywą, nie należą do systemów symbolicznych 𝔏, ale do metajęzyka, to znaczy są używane, podobnie jak litery niemieckie, w kontekście polskim.

Niektóre inne litery niemieckie są używane w metajęzyku nie dla desygnowania wyrażeń języków przedmiotowych, ale dla pewnych semantycznych pojęć logiki indukcyjnej; są to głównie funktory „𝔪” (funkcja miary, § 55A) i „𝔠” (stopień konfirmacji, § 55A); ponadto w niektórych rozdziałach funktory „𝔯” (miara relewancji, § 67) i „𝔢” (szacunek, „estimate”, § 99) oraz predykaty „𝔐ℭ” (porównawcze pojęcie koncepcja potwierdzania, § 79), „ℭ” (klasyfikacyjne pojęcie potwierdzania, § 86) i inne. „𝔏” jest używane do konstruowanych tutaj systemów semantycznych.

W związku z używaniem niemieckich liter ustalamy dwie konwencje. Pierwsza jest powszechna.

Konwencja 14-1. Nazwa w metajęzyku dla wyrażenia złożonego języka przedmiotowego jest tworzona przez proste zestawienie nazw (lub zmiennych) dla znaków, z których składa się wyrażenie złożone.

Na przykład, jeśli „𝔭𝔯i” odnosi się do „R”, „𝔦𝔫j” do „a” oraz „𝔦𝔫k” do „b”, wtedy: „𝔭𝔯i𝔦𝔫j𝔦𝔫k” odnosi się do „Rab”. Ponadto, w celu uproszczenia zapisu symbolicznego w metajęzyku, pozwolimy na używanie symboli języków przedmiotowych jako ich własnych nazw, pod warunkiem, że wystąpienie symbolu metajęzyka, np. litery niemieckiej, sprawia, że jest jasne, iż całe wyrażenie należy do metajęzyka. Z powodu tego ograniczającego warunku nie może powstać żadna dwuznaczność. Dlatego ustalamy następującą konwencję:

Konwencja 14-2. Jeśli złożone wyrażenie symboliczne zawiera niemiecką literę (lub jedną z liter „e”, „h”, …, „l”, które są równoważne literom niemieckim) lub „├” (patrz poniżej), wtedy całe wyrażenie należy rozumieć jako wyrażenie metajęzyka, a każdy występujący w nim symbol języka przedmiotowego należy rozumieć jako nazwę jego samego, to znaczy tak, jakby był ujęty w cudzysłów lub zastąpiony przez odpowiednią literę niemiecką.

Będziemy jednak używać notacji dopuszczonej przez tę konwencję tylko na dwa następujące sposoby:

(a) Aby utworzyć nazwę wyrażenia (zgodnie z Konwencją 1), bardzo często jako nazwy symboli języka przedmiotowego (zwykle symbole inne niż litery lub „t”) traktujemy same te symbole, jak to jest przyjęte. (Na przykład, jeśli „i” odnosi się do „Pa” oraz „j” do „Qb”, to „(~i) V j” odnosi się do „(~Pa) V Qb”; zatem spójniki oraz nawiasy są tutaj używane jako nazwy samych siebie).

(b) Niekiedy (niezbyt często) piszemy wyrażenie języka przedmiotowego zamiast jego nazwy, gdy występuje jako wyrażenie będące argumentem, które następuje po jakimś oznaczonym niemiecką literą funktorze (np. „𝔪”, „𝔠”) lub predykacie (np. „𝔐ℭ”) metajęzyka. (Na przykład możemy napisać „𝔠(Pb, e)” zamiast „𝔠(‘Pb’, e)” czy „𝔠(𝔭𝔯₁𝔦𝔫₂, e)”).

W metajęzyku używane są inne znaki specjalne w połączeniu z niemieckimi literami. Przyjmujemy „├” jako „L-prawdziwy” (wyjaśnione później, § 20); a więc piszemy „├ i” jako skrót od „i jest L-prawdziwe (w danym systemie)”. Stąd (zgodnie z późniejszymi wyjaśnieniami) „├ i ⊃ j” oznacza to samo, co „i L-implikuje j (w omawianym systemie)” (tak więc wcześniejszy przykład zostanie zapisany w ten sposób: „Jeśli├ i ⊃ j, to ├ ~j ⊃ ~i”). Następujące znaki są używane w połączeniu z wyrażeniami dotyczącymi klas w metajęzyku „𝔎i ⊂ 𝔎j” jest zapisane jako skrót od „𝔎i jest podklasą 𝔎j”; „… ∈ 𝔎j”; zamiast „… należy do (jest elementem) 𝔎j”; „𝔎i ∪ 𝔎j” zamiast „klasa będąca sumą 𝔎i oraz 𝔎j”; „𝔎i ∩ 𝔎j” zamiast „klasa będąca iloczynem 𝔎i oraz 𝔎j”; „−𝔎i” zamiast „klasa będąca dopełnieniem 𝔎i” (czyli „klasa wszystkich zdań nienależących do 𝔎i”); „𝔎j − 𝔎i” zamiast „𝔎j ∩ (−𝔎i)”. „{i}” desygnuje klasę, której jedynym elementem jest i; „{j₁, j₂, …, jn}” klasę, której jedynymi elementami są j₁, j₂, …, jn. „≝” jest używany jako znak definicji w metajęzyku. „()(𝔐k)” jest skrótem od „(𝑖k₁)(𝑖k₂) … (𝑖kn)(𝔐k)”, gdzie 𝑖k₁, 𝑖k₂, …, 𝑖kn są zmiennymi wolnymi występującymi w 𝔐k w porządku zgodnym z rosnącymi indeksami.

Ta książka posługuje się logiką symboliczną i zakłada pewną elementarną wiedzę w tej dziedzinie. Wszystkie użyte symbole zostaną wyjaśnione w następnym paragrafie. Elementarne wprowadzenia do logiki symbolicznej: Alfred Tarski, Introduction to logic (Nowy Jork, 1941), John Cooley, A primer of formal logic (Nowy Jork, 1942), Hans Reichenbach, Elements of symbolic logic (Nowy Jork, 1947). Systematyczne prace na wyższym poziomie technicznym: Whitehead i Russell [Princ. Math.], która jest doskonałym standardem dla prac w tej dziedzinie, oraz Quine [Math. Logic], która konstruuje system o nowej postaci.

§ 15. Znaki systemu 𝔏

A. Nieskończony system 𝔏∞ zawiera nieskończony ciąg stałych indywiduowych (𝔦𝔫): „a₁”, „a₂” itd. Dowolny: skończony system 𝔏N zawiera tylko pierwsze N z nich. Wszystkie inne znaki są takie same we wszystkich systemach. Istnieje skończona liczba predykatów pierwotnych (𝔭𝔯) o dowolnych stopniach. Istnieje nieskończony ciąg zmiennych indywiduowych (𝔦): „x₁”, „x₂” itd.; są to jedyne zmienne. Występują też kwantyfikatory ogólne oraz powszechne symbole dla identyczności, negacji, alternatywy i koniunkcji. Powszechne symbole dla kwantyfikatora szczegółowego (existence), zdań warunkowych, równoważności i nieidentyczności są wprowadzane jako nieoficjalne skróty (A1). B. Podano pewne wskazówki dotyczące możliwości skonstruowania bardziej wszechstronnego systemu językowego, opisującego podstawowy porządek indywiduów, oraz dotyczące metody logiki indukcyjnej odpowiedniej dla tego systemu.

A. Symbole występujące w naszych systemach

Nasze systemy językowe 𝔏 zawierają jeden nieskończony system 𝔏∞ oraz skończone systemy 𝔏N; te ostatnie tworzą nieskończony ciąg systemów z N przebiegającym przez wszystkie dodatnie liczby całkowite: 𝔏₁, 𝔏₂, 𝔏₃ itd.

System 𝔏∞ zawiera nieskończony ciąg stałych indywiduowych (𝔦𝔫): „a₁”, „a₂”, „a₃” itd. (w przykładach będziemy niekiedy używać „a”, „b”, „c” itd.); odnoszą się one do wszystkich indywiduów w dziedzinie indywiduów (uniwersum dyskursu) 𝔏∞. Tymi indywiduami mogą być rzeczy, zdarzenia, położenia lub tym podobne. Ponadto 𝔏∞ zawiera skończoną liczbę predykatów pierwotnych (𝔭𝔯) dowolnego stopnia (tj. o dowolnej liczbie argumentów). Te pierwszego stopnia, na przykład „P₁”, „P₂” itd., desygnują własności indywiduów; te drugiego stopnia, na przykład „R₁”, „R₂” itd., desygnują diadyczne relacje między indywiduami; i tak dalej. Własności i relacje będą łącznie określane jako atrybuty. Nie określamy z góry liczby 𝔭𝔯; czasami tak zrobimy, aby uszczegółowić opis 𝔏∞ i innych systemów. Co więcej, nie podajemy interpretacji dla 𝔭𝔯 lub 𝔦𝔫, ponieważ wybór określonej interpretacji jest nieistotny zarówno dla logiki dedukcyjnej, jak i indukcyjnej. Zatem to, co faktycznie skonstruujemy, nie jest, ściśle mówiąc, systemem semantycznym, ale, że tak powiem, szkieletem systemu semantycznego. Zakładamy, że dla każdego konkretnego zastosowania logiki dedukcyjnej lub indukcyjnej te systemy zostaną uzupełniane w następujący sposób: (i) wybiera się skończoną liczbę 𝔭𝔯 i określa się ich stopnie; (ii) interpretacja tych 𝔭𝔯 jest określona za pomocą reguł desygnacji, to znaczy reguł semantycznych o następującej postaci: „𝔭𝔯₁ desygnuje własność Niebieski”; (iii) 𝔦𝔫 interpretuje się na podstawie ogólnej reguły desygnowania o następującej postaci: „W odniesieniu do takiego to a takiego nieskończonego ciągu bytów, n-ta stała indywiduowa (tj. „an”) desygnuje n-te indywiduum w tym ciągu”; zakłada się, że reguła ta jest taka, iż możemy wyłącznie na jej podstawie, bez użycia wiedzy faktualnej, dostrzec, że dowolne dwie różne stałe indywiduowe desygnują różne byty. (Interpretacje 𝔭𝔯 i 𝔦𝔫 muszą spełniać wymóg logicznej niezależności, który zostanie wyjaśniony później, § 18B). Będziemy mówić o klasie indywiduów zwykle tylko w przypadku, gdy indywidua są podawane przez wyliczenie przy pomocy stałych indywiduowych, ale nie w przypadku, gdy zostaną scharakteryzowane za pomocą wspólnej własności. Tak więc, na przykład, powiemy „klasa indywiduów a, b, c” lub „klasa indywiduów, do których odnosi się zdanie e” (co oznacza „klasę indywiduów, których 𝔦𝔫 występują w e”); ale nie będziemy mówić „klasa tych indywiduów, które są P₁” lub „klasa Niebieski”, ale raczej „własność (bytu) P₁” lub „własność Niebieski”.

Gdybyśmy zajmowali się tylko logiką dedukcyjną, nie byłoby powodu do konstruowania skończonych systemów w dodatku do 𝔏∞. Jednak zobaczymy, że konstrukcja logiki indukcyjnej jest technicznie prostsza, jeśli zastosujemy ją nie bezpośrednio do 𝔏∞, ale najpierw do systemów skończonych, a potem z ich pomocą do 𝔏∞. 𝔏N zawiera tylko N pierwszych stałych indywiduowych systemu 𝔏∞; tak więc 𝔏₁ zawiera tylko „a₁”, 𝔏₂ zawiera „a₁” oraz „a₂” itd. 𝔦𝔫 w 𝔏N desygnuje te same indywidua co w 𝔏∞; tak dziedzina indywiduów każdego skończonego systemu jest częścią dziedziny indywiduów 𝔏∞. Jasne jest, że każda stała indywiduowa 𝔏∞ występuje również w niektórych systemach skończonych, a nawet w nieskończenie wielu takich systemach; dla danego n „an” występuje w każdym 𝔏N, dla którego zachodzi N ≥ n. Ponieważ wszystkie inne znaki są takie same we wszystkich systemach, każde zdanie 𝔏∞ występuje w nieskończenie wielu skończonych systemach; jeśli „an” jest stałą indywiduową z najwyższym indeksem występującym w zdaniu i w 𝔏∞, to i występuje także w każdym 𝔏N, dla którego zachodzi N ≥ n.

Każdy system 𝔏, skończony bądź nie, zawiera nieskończoną liczbę zmiennych indywiduowych (i): „x₁”, „x₂”, „x₃” itd. (lub „x”, „y”, „z” itp.). Poszczególne stałe i zmienne indywiduowe są razem nazywane znakami indywiduowymi. Wartościami tych zmiennych w danym systemie są indywidua tego systemu, czyli indywidua desygnowane przez 𝔦𝔫 w tym systemie. Każdy system zawiera kwantyfikatory ogólne ze zmiennymi indywiduowymi; „(x)(Px)” oznacza „dla każdego indywiduum x (z dziedziny indywiduów w danym systemie), x jest P”. Kwantyfikatory egzystencjalne (np. „(∃x)”, „istnieje indywiduum x (w danym systemie)”) nie występują w samych systemach; ale wprowadzimy je według powszechnej definicji dla wygodnych, nieoficjalnych skrótów (A1c). Zgodnie z podanym wyjaśnieniem zdanie „(x)(Px)” w 𝔏N znaczy tyle, co koniunkcja „Pa₁ ■ Pa₂ ■ … ■ PaN” o N czynnikach; i ustalimy reguły semantyczne w taki sposób, że te dwa zdania będą L-równoważne. Zatem w różnych systemach skończonych uniwersalne zdanie „(x)(Px)” ma różne znaczenia. Także w 𝔏∞ to samo zdanie ma również inne znaczenie, ponieważ mówi coś o nieskończenie wielu indywiduach. W 𝔏∞ zasięg (scope) „Px” obejmuje nieskończoną liczbę [jednostkowych] przypadków „Pa₁”, „Pa₂” itd.; dlatego nie możemy utworzyć z nich koniunkcji; ale uniwersalne zdanie jest L-równoważne nieskończonej klasie tych podstawień.

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę z faktu, że to samo zdanie może mieć różne znaczenia w różnych systemach, a zatem i różne własności zarówno w logice dedukcyjnej, jak i indukcyjnej. Być może czytelnik pomyśli, że chociaż mamy ten sam ciąg znaków w różnych systemach, to nie możemy właściwie mówić tutaj o tym samym zdaniu, jeśli znaczenia są różne. Postanowiliśmy jednak rozumieć przez termin „zdanie” jedynie ciąg znaków (dokładniej mówiąc, zdanie-kształt to skończony ciąg znaków-kształtów, patrz [Semantics], §§ 2, 3). Jeśli ktoś woli używać wyrażenia „to samo zdanie” tylko wtedy, gdy zarówno znaki, jak i znaczenia, są identyczne, to nie można mu nic zarzucić; jednak w tym przypadku powinniśmy poszukać innego terminu, który zastąpiłby nasz termin „zdanie”. Relacja między „(x)(Px)” jako elementem występującym w systemie 𝔏₁ a tym samym ciągiem znaków w 𝔏₅ i tym samym w 𝔏∞ nie jest zwykłym przypadkiem typograficznym (jak ma to na przykład miejsce w przypadku „~” w notacji Russella i Hilberta, gdzie nie ma związku ich znaczeń). Znaczenia, choć różne, pozostają ze sobą w ścisłym związku. Znaczenia „(x)(Px)” w systemach 𝔏N z rosnącym N są zbieżne, że tak powiem, z jego znaczeniem w 𝔏∞; fakt ten będzie później miał wielkie znaczenie w logice indukcyjnej dla określenia stopnia konfirmacji w odniesieniu do zdań w 𝔏∞ (§ 56). Z tego powodu nasz sposób mówienia o „tym samym zdaniu” będzie bardzo wygodny.

Zdania w naszych systemach nie zawierają zmiennych wolnych. Systemy te zawierają tylko zmienne indywiduowe, bez zmiennych atrybutowych. (Jest to ta postać niższej logiki funkcyjnej, która była stosowana częściej w ostatnich latach i okazała się być dobrą podstawą prac w logice).

Wszystkie znaki, z wyjątkiem stałych indywiduowych, występują we wszystkich systemach 𝔏. Wszystkie znaki, z wyjątkiem zmiennych indywiduowych, mają takie samo znaczenie, gdziekolwiek się pojawiają; stąd każde zdanie bez zmiennych ma takie samo znaczenie we wszystkich systemach, w których występuje. Poniższe objaśnienia pozostałych znaków dotyczą więc wszystkich systemów.

Systemy zawierają „=” jako powszechny znak identyczności indywiduów; znak ten nie jest traktowany jako predykat i dlatego nie jest wliczany do predykatów pierwotnych (𝔭𝔯). Jak wspomniano wcześniej, zakłada się, że różne stałe indywiduowe desygnują różne indywidua; to znaczy, skonstruujemy reguły semantyczne w taki sposób, że pełne zdanie z „=” oraz dwoma różnymi 𝔦𝔫 (np. „a₁ = a₃”) staje się L-fałszywe (wyjaśnienia terminów z „L-”, patrz § 20). Dalej, oczywiście wprowadzimy te reguły tak, że zdanie z = i dwoma wystąpieniami tego samego 𝔦𝔫 będzie L-prawdziwe. Stąd wszystkie zdania z = będą L-zdeterminowane. „≠” zostanie zdefiniowane jako znak nieidentyczności (A1d).

Systemy 𝔏 zawierają „t” jako zdanie tautologiczne. Oczywiście byłoby możliwe zdefiniowanie „t” jako skrótu dla jakiegoś zdania tautologicznego (np. dla „P₁a₁ ∨ ~P₁a₁”). Jednak wolimy traktować go jako znak pierwotny, należący do samych systemów; wydaje się to wygodne przy konstruowaniu postaci normalnych.

Spośród zwykłych spójników tylko znaki negacji („~”, który znaczy „nie”), alternatywy („V”, „lub” w sensie niewykluczającym) i koniunkcji („ ■ ”, „i”) występują w samych systemach. Znaki implikacji („⊃”, który znaczy „jeśli-to”) i równoważności („≡”, „wtedy i tylko wtedy, gdy”) zostaną wprowadzone przez ich powszechne definicje (A1a i b). Idąc za Quinem, uważamy te i wszystkie inne zdefiniowane znaki za nienależące do samych systemów; wyrażenie zawierające zdefiniowany znak służy, by tak rzec, jako skrót dla odnośnego poszerzonego wyrażenia w pierwotnej notacji. (Odnośnie późniejszego odstępstwa od tego postępowania, patrz uwaga poprzedzająca D33-1.)

Definicje wprowadzające skróty dla wyrażeń języków przedmiotowych, tj. systemów 𝔏, są oznaczone jako „A”; znacznie częstsze definicje wprowadzające słowa, zwroty lub znaki (np. niemieckie litery) w metajęzyku są oznaczone literą „D”, twierdzenia przez „T” itp.; po każdej z tych liter „A”, „D”, „T” itp. następują dwa liczebniki (np. „A15-1”); pierwszy podaje numer paragrafu, a drugi numer konkretnego elementu. W przypadku odwołań w tym samym paragrafie pierwszy liczebnik jest pomijany (na przykład odwołanie „A1a” w niniejszym paragrafie odnosi się do A15-1a). Ważniejsze definicje, twierdzenia itp. są oznaczone znakiem „+” (np. D18-1).

A15-1. Wyrażenia zawierające znaki „⊃”, „≡”, „∃” i „≠” zostaną użyte jako nieoficjalne skróty w następujący sposób.

a. 𝔐i ⊃ 𝔐j dla (~𝔐i) ∨ 𝔐j.

b. 𝔐i ≡ 𝔐j dla (𝔐i ⊃ 𝔐j) ■ (𝔐j ⊃ 𝔐i).

c. (∃ik)(𝔐j) dla ~(ik) (~𝔐j).

d. (𝔄i ≠ 𝔄i) dla ~(𝔄i = 𝔄i).

Na przykład, zgodnie z A1a, napiszemy składowe wyrażenie „P₁x ⊃ P₂y” w zdaniu jako skrót dla „(~P₁x) ∨ P₂y”.

B. Możliwość systemu uporządkowanego

Można poczynić krótkie uwagi dotyczące możliwości przyszłego rozwoju. Jeśli logika indukcyjna ma zostać rozszerzona tak, aby zastosować ją do systemów językowych bardziej wszechstronnych niż nasz system 𝔏 (dla nieskończenie wielu indywiduów, to znaczy 𝔏∞), może być przydatne skonstruowanie silniejszego systemu 𝔏′ posiadającego następujące cechy. Po pierwsze, 𝔏′ odnosi się do uniwersum, którego indywidua wykazują ustalony podstawowy porządek struktury progresji (tj. liniowy, dyskretny porządek z jednym początkowym i bez końcowego elementu). W tym celu 𝔏′ zawiera symbol (funktor) dla pojęcia bezpośredniego następnika w podstawowym porządku (na przykład „a′” jest pisane zamiast „następnik a”). Ten porządek może być zinterpretowany jako rodzaj czasowego porządku zdarzeń, a zatem indywiduów jako pozycji czasowych (w tym uproszczonym uniwersum w dowolnym punkcie czasu zachodzi tylko jedno zdarzenie). Ponadto wydaje się pożądane, aby w 𝔏′ wprowadzić zmienne i stałe dla liczb naturalnych; funkcje arytmetyczne (np. suma, iloczyn itp.) można następnie wprowadzić za pomocą definicji rekurencyjnych; w ten sposób w 𝔏′ można sformułować arytmetykę liczb naturalnych. Częstość własności w danej klasie indywiduów można następnie wyrazić w prosty sposób. System 𝔏′ posiadający opisane cechy można skonstruować za pomocą następującej wygodnej i prostej procedury bez potrzeby stosowania drugiego rodzaju zmiennej. Zamiast „a”, „a′”, „a″” itd. piszemy „0”, „0′”, „0″” itp. Te wyrażenia są głównie interpretowane jako wyrażenia dla liczb naturalnych 0, 1, 2 itd. Każdej pozycji w podstawowym porządku liniowym przypisana jest liczba naturalna jako jej współrzędna: liczba 0 do pozycji początkowej, liczba 1 do kolejnej pozycji, itd. Zdanie atomiczne, powiedzmy „P(0′)”, może wtedy na przykład powiedzieć, że pozycja o współrzędnej 1 to niebieski. Ściśle mówiąc, „P” oznacza tutaj „pozycja ze współrzędną … to niebieski”, a „0′” zastępuje jedynie „(liczbę) 1”. Ale wtedy wygodnie będzie dopuścić, ze względów praktycznych, nieznacznie zmienioną interpretację, że „P” zastępuje „… jest niebieski”, a „0′” zastępuje „pozycja o współrzędnej 1”. Zatem poszczególne wyrażenia, które były interpretowane przede wszystkim jako wyrażenia dla liczb, są traktowane we wtórnej interpretacji jako wyrażenia dla pozycji. Nie pociąga to za sobą żadnej faktycznej dwuznaczności, ponieważ teoretycznie interpretacja pierwotna jest jedyną interpretacją; wtórna interpretacja stanowi jedynie wygodny sposób mówienia w metajęzyku. Zgodnie z wtórną interpretacją, możemy więc pozwolić sobie na stwierdzenie, że pozycje są indywiduami uniwersum tego systemu. Zasadniczą kwestią jest to, że w tym systemie do pozycji jako indywiduów odnosi się nie przez nazwy (jak „a”, „b” itd.), ale przez wyrażenia dotyczące współrzędnych. (Opis języka współrzędnych o podanej tu strukturze znajduje się w [Syntax], § 3; ogólne omówienie semantycznego charakteru języków współrzędnych znajduje się w [Meaning], rozdział II). W konsekwencji zmienne indywiduowe „x”, „y” itd., które również w 𝔏′ są jedynymi zmiennymi, są interpretowane przede wszystkim jako zmienne dla liczb naturalnych, a wtórnie jako zmienne dla pozycji. Rozszerzenie 𝔏 do 𝔏′ może wydawać się tylko nieznaczne, ale w rzeczywistości logiczny charakter nowego systemu 𝔏′ jest zupełnie inny niż 𝔏, nawet w logice dedukcyjnej. [Na przykład, ponieważ 𝔏′ zawiera arytmetykę, zgodnie z wynikiem Goedla, niemożliwe jest skonstruowanie jednego rachunku, w którym można dowieść wszystkich L-prawdziwych zdań w 𝔏′]. Rozszerzenie logiki indukcyjnej do nowego systemu 𝔏′ ma dwie możliwe postaci, które można by skonstruować w dwóch kolejnych krokach; nazywamy je postaciami I oraz II.

Postać I logiki indukcyjnej. Stare definicje stopnia konfirmacji skonstruowane w tej książce dla systemu 𝔏 (w szczególności definicje regularnych 𝔪- oraz 𝔠-funkcji (§§ 55, 56), symetrycznych 𝔪- oraz 𝔠-funkcji (§§ 90, 91) i 𝔠* (§ 110A)) są po prostu przeniesione do systemu 𝔏′. [Jest to możliwe, ponieważ opisy stanów, a zatem także reguły zakresów (§ 18D) pozostają w 𝔏′ zasadniczo takie same]. Głównym zadaniem jest jedynie opracowanie, na podstawie tych definicji, twierdzeń logiki indukcyjnej, które obejmują także nowe zdania 𝔏′. Wydaje się, że można to zrobić bez większych trudności. Struktura postaci I logiki indukcyjnej, jak właśnie opisana dla 𝔏′, jest zasadniczo taka sama, jak ta rozwinięta w tej książce dla 𝔏. Chociaż podstawowy porządek indywiduów można wyrazić w 𝔏′, w postaci I nie bierze się pod uwagę jego wpływu na stopień konfirmacji 𝔠. Załóżmy, że dowód e głosi, że z trzech obserwowanych indywiduów dwa miały własność M, a jedno ~M, a hipoteza h głosi, że pewne niezaobserwowane indywiduum jest M. Stąd, w postaci I, wartość 𝔠(h, e) jest taka sama bez względu na to, czy indywiduum z ~M jest pierwszym, drugim, czy trzecim spośród trzech obserwowanych indywiduów w ich podstawowym porządku oraz jak w stosunku do nich położone jest niezaobserwowane indywiduum. Takie pominięcie porządku czasowego wydarzeń jest powszechne w tradycyjnej teorii prawdopodobieństwa, a nawet w większej części współczesnej statystyki matematycznej, chociaż w życiu codziennym i nauce regularne wzorce czasowe, które zaobserwowaliśmy wśród wydarzeń z przeszłości, często mają decydujący wpływ na nasze oczekiwania na przyszłość.

Postać II logiki indukcyjnej. Drugi krok polega na skonstruowaniu nowych definicji pojęć stopnia konfirmacji, tak aby uwzględnić nie tylko zaobserwowane lub oczekiwane częstości odnośnych własności, ale także kolejność, w jakiej te własności występują.

We współczesnej statystyce matematycznej, w odróżnieniu od tradycyjnej teorii prawdopodobieństwa, bada się ciągi czasowe (np. na temat analizy szeregów czasowych (patrz Wold [Time Series] i Kendall [Statistics], tom II, rozdziały 29 i 30) oraz analizy ciągów (patrz Wald [Sequential])). Jednak badania te nie wskazują sposobu na skonstruowanie adekwatnego eksplikatu 𝔠 opisanego rodzaju. Wstępne studium, które przeprowadziłem, wydaje się wskazywać, że skonstruowanie całkiem adekwatnej definicji nie jest zbyt trudne. Jednak zastosowanie tej definicji do przypadków obejmujących wiele indywiduów i wprowadzenie ogólnych twierdzeń opartych na tej definicji wydaje się być dość skomplikowane. Tu pojawiają się nowe i bardzo interesujące problemy; do przyszłych badań należy ustalenie, czy można znaleźć zadowalające rozwiązania.

Jeśli chcemy wyrazić czasowy porządek zdarzeń tak, aby wpłynął na stopień konfirmacji, jak we właśnie wyjaśnionej postaci II, istnieje alternatywna metoda, która może być nawet zastosowana w naszym obecnym systemie 𝔏 na podstawie obecnych definicji stopnia konfirmacji. Metoda ta polega na desygnowaniu relacji pierwszeństwa czasowego przez predykat pierwotny (dzięki czemu można zdefiniować bezpośrednie pierwszeństwo). Jeśli wybierze się tę metodę, to kolejność zdarzeń jest brana pod uwagę nawet w postaci logiki indukcyjnej opracowanej w tej książce. W tym przypadku porządek czasowy („x jest wcześniejsze niż y”) nie jest wyrażany jako podstawowa relacja pozycyjna, ale przez analogię do empirycznej relacji jakościowej (np. „x jest cieplejszy niż y”). W konsekwencji takie podstawowe cechy porządku czasowego, jak asymetria i przechodniość, są reprezentowane w tej metodzie jako cechy przygodne. Jako przykład rozważmy następujące przewidywanie dotyczące piłek wylosowanych z urny: „pierwsza czerwona kula, która się pojawi, będzie wcześniej niż pierwsza kula niebieska; a ta niebieska kula pojawi się wcześniej niż czerwona”. Hipotezę tę należy uznać na podstawie omawianej metody nie za niemożliwą, lecz, w najgorszym wypadku, za nieprawdopodobną. Jej stopień konfirmacji względem jakiegokolwiek skończonego dowodu nie będzie wynosił 0, lecz będzie miał wartość dodatnią. Wydaje się jednak raczej wątpliwe, czy zdanie to można uznać za wyrażające możliwy wynik obserwacji. Z tego i innych powodów mam wątpliwości co do adekwatności tej metody. Uważam, że porządek czasowy i, ogólniej, porządek czasoprzestrzenny należy traktować jako podstawowy porządek pozycyjny, a nie porządek jakościowy; innymi słowy, bardziej adekwatne jest przedstawienie porządku czasoprzestrzennego w postaci wyrażeń indywiduowych (wyrażeń dotyczących współrzędnych) niż predykatów pierwotnych. W każdym razie konieczna jest dalsza klaryfikacja tego problemu. Obecnie nawet natura samego problemu nie jest jasna. Czy należy je traktować jako pytanie o „prawdziwą naturę” przestrzeni i czasu, na które należy odpowiedzieć metodami ontologicznymi lub fenomenologicznymi? Myślę, że bardziej owocnym podejściem byłoby skonstruowanie systemów językowych w obu postaciach – pierwszy wyrażający relacje czasoprzestrzenne przez predykaty pierwotne, drugi poprzez postać wyrażeń dotyczących współrzędnych dla pozycji – i rozwinięcie logiki indukcyjnej dla obu z nich. Wtedy preferowany będzie ten system językowy, dla którego można opracować bardziej odpowiednią lub wygodniejszą metodę indukcyjną.

§ 16. Reguły tworzenia

Ustanowiono reguły tworzenia. Określają one powszechne postaci matryc (zdaniowych), które obejmują zdania (D2). Zdanie definiuje się jako matrycę bez zmiennych wolnych (D4). Zdefiniowano niektóre rodzaje matryc (D3) i zdań (D6): atomiczne, bazowe (atomiczne lub negacja), molekularne (bez kwantyfikatora lub znaku identyczności), ogólne (z kwantyfikatorem).

Bazując na nieformalnych wyjaśnieniach z poprzedniego paragrafu, rozpoczniemy teraz konstrukcję systemów 𝔏 od przedłożenia ich reguł semantycznych. W tym paragrafie podajemy pierwszy rodzaj tych reguł, reguły tworzenia; podają w formie definicji, jakie rodzaje znaków należą do systemów 𝔏 i jak z tych znaków tworzone są zdania.

D16-1. 𝔄i jest znakiem w 𝔏 ≝ 𝔄i należy do jednego z następujących rodzajów:

a. Stałe indywiduowe (𝔦𝔫). W 𝔏∞, nieskończona liczba: „a₁”, „a₂”, „a₃” itd. (Zamiast „a₁”, …, „a₅” czasami piszemy „a”, „b” , „c”, „d”, „e”). W 𝔏N, liczba skończona N: „a₁”, „a₂”, …, „aN”.

b. Skończona liczba predykatów pierwotnych (𝔭𝔯) dowolnego stopnia: „P₁”, „P₂” itd.; „R₁” itd.

c. Nieskończona liczba zmiennych indywiduowych (i): „x₁”, „x₂” itd. (Zamiast „x₁”, „x₂”, „x₃” czasami piszemy „x”, „y”, „z”).

d. Siedem pojedynczych znaków: „~”, „V”, „ ■ ”, „=”, „t”, „(”, „)”.

Wyrażenie w 𝔏 jest skończonym ciągiem znaków w 𝔏.

D16-2. 𝔄i jest (zdaniową) matrycą (𝔐) w 𝔏 ≝ 𝔄i składa się ze znaków 𝔏 i ma jedną z następujących postaci.

a. 𝔭𝔯i 𝔄j₁ 𝔄j₂ … 𝔄jn, gdzie 𝔭𝔯i ma stopień n, a każde z n wyrażeń będących jego argumentami jest znakiem indywiduowym, tj. 𝔦𝔫 lub 𝔦.

b. 𝔄k = 𝔄j, gdzie 𝔄k i 𝔄j są znakami indywiduowymi.

c. „t”.

d. ~(𝔐i).

e. (𝔐i) ∨ (𝔐j).

f. (𝔐i) ■ (𝔐j).

g. (𝔦k)(𝔐j).

W faktycznym zapisie formuł symbolicznych lub ich opisów w metajęzyku pomijamy zwykle nawiasy zawierające składnik w postaci D2d, e, f lub zasięg w postaci D2g pod zwykłymi warunkami: traktujemy ogólny i szczegółowy kwantyfikator oraz „~” jako wiążące najmocniej (stąd, jeśli po jednym z nich nie następuje wyrażenie zawarte w nawiasach, jego zasięg obejmuje najmniejszą matrycę znajdującą się bezpośrednio po nim), następne w kolejności są „V” i „ ■ ”, i wreszcie „⊃” i „≡”. (Na przykład „~t V P₁a ⊃ P₂x ■ P₃b” jest zatem skrótem od „[(~t) V P₁a] ⊃ [(x)(P₂x ■ P₃b)]”). Ponadto będziemy mówić w zwykły sposób o alternatywach i koniunkcjach z n składnikami dla dowolnego n ≥ 1 (dla n = 1, samo zdanie lub matryca jest jedynym składnikiem alternatywy lub koniunkcji; na przykład, jeśli powiemy: „niech i będzie alternatywą tych zdań, które spełniają taki to a taki warunek” i okazuje się, że tylko j spełnia ten warunek, to znaczy, że i jest samym zdaniem j).

W D3 zdefiniowano pewne szczególne rodzaje matryc.

D16-3. Niech 𝔐i będzie matrycą w 𝔏.

a. 𝔐i jest matrycą stopnia n (dla dowolnego n ≥ 0) ≝ 𝔐i zawiera n różnych zmiennych wolnych.

b. 𝔐i jest matrycą atomiczną ≝ 𝔐i ma postać D2a. (Należy zwrócić uwagę, że postacie D2b i c nie są traktowane jako atomiczne).

c. 𝔐i jest matrycą bazową ≝ 𝔐i jest matrycą atomową albo jej negacją.

d. 𝔐i jest matrycą identycznościową (= –matryca, = –𝔐) ≝ 𝔐i ma postać D2b.

e. 𝔐i jest matrycą molekularną ≝ 𝔐i jest atomowa albo zbudowana z jednej lub więcej matryc atomicznych za pomocą spójników. (Dlatego kwantyfikatory „=” i „t” nie występują w 𝔐i).

f. 𝔐i jest matrycą ogólną ≝ 𝔐i zawiera co najmniej jeden kwantyfikator.

g. 𝔐i jest matrycą nieogólną ≝ 𝔐i nie zawiera kwantyfikatora. (W związku z tym 𝔐i ma albo jedną z postaci D2a, b, c, albo jest zbudowana z takiej postaci za pomocą spójników).

h. 𝔐i jest czysto ogólną matrycą ≝ 𝔐i jest ogólna i nie zawiera 𝔦𝔫.

Przypisy

[1] Podaję tutaj listę miejsc, w których poprawiono faktyczne błędy lub poważne błędy drukarskie. Odnośniki w nawiasach odnoszą się do poprawek, które zostały już dokonane w drugim nakładzie (1951) oraz w wydaniu brytyjskim: 12/5 (czyli strona 12, wiersz 5, licząc od dołu); (66/6n); (77/20); (81, T6/1) (czyli strona 81, twierdzenie T19-6, wiersz 1); (99, T90/1); (99/T11g); (101/T2a); (124/10); 158/6-8 oraz 15-18; 166/1n; 229/11; 312/15; (318/10); 321, T5a/2; 325, T6j/1; (334, T1d/7); 361/13; 362, T1/1; 409/5; (441/11); 507/4; 533/3n; 542/11; 543/2; 544/24.

[2] Wyjaśniłem ten pogląd w ostatnich akapitach [Aim].

[3] Przypis tłumacza: Carnap posługuje się wprowadzoną w tekście konwencją pisania wyrazów wielką literą w przypadku, gdy chodzi o pojęcia, a nie same terminy.

[4] Terminu „stopień konfirmacji” użyłem najpierw dla pragmatycznego pojęcia odnoszącego się do osoby w danym czasie ([Testability] 1936, § 3; [Analiza] 1939), a później dla odpowiadającego mu pojęcia semantycznego. Z nieformalnych wyjaśnień jasno wynika, że nawet w tamtym czasie pojęcie to było pomyślane jako miara pewności (certainty), a nie wzrost pewności; w ten sposób powiedziałem ([Analiza], s. 222): „Rezultatem takiej procedury testowania hipotezy jest albo potwierdzenie, albo osłabienie tej hipotezy, albo raczej zwiększenie lub zmniejszenie jej stopnia konfirmacji”. Termin „stopień konfirmacji” został prawdopodobnie po raz pierwszy zasugerowany mi przez określenie „Bewährungsgrad” Karla Poppera ([Logik] 1935, §§ 81-82). Wygląda jednak na to, że w tamtym czasie nie miałem pełnej jasności co do znaczenia tego pojęcia u Poppera ani mojego własnego. Po raz pierwszy jasno przedstawiłem swoje pojęcie w 1945 roku ([Inductive] i [Concepts]). Wyjaśniłem różnicę między prawdopodobieństwem₁ a prawdopodobieństwem₂ – jak w niniejszej książce – i stwierdziłem, że przez termin „stopień konfirmacji” rozumiem logiczne pojęcie prawdopodobieństwa₁, a więc pojęcie I 3 w powyższym schemacie. Późniejsze publikacje Poppera pokazały, że miał on na myśli nie I 3 ani nie II 3, ale jeszcze inne pojęcie. Obecnie Popper używa dla tego pojęcia terminu „stopień korroboracji” zamiast „stopień konfirmacji”. W ten sposób nie ma już kolizji między naszymi terminami.

[5] Popper był pierwszym, który skrytykował dwie wspomniane uwagi. Jednak połączył te poprawne obserwacje z szeregiem innych komentarzy opartych na nieporozumieniach i błędach; twierdził nawet, że mój system zawiera sprzeczność. Bar-Hillel, Kemeny i Jeffrey zgodzili się z krytyką Poppera w tych dwóch punktach, ale odrzucili jego twierdzenie o sprzeczności. Bar-Hillel jasno i szczegółowo wskazał błędy Poppera. [Zobacz serię not dyskusyjnych autorstwa Poppera (częściowo przedrukowanych w jego [Logic] 1959) i Bar-Hillela w Brit. J. Phil. Sc., 5 (1954), 6 (1955) i 7 (1956) oraz moja krótka nota (ibid., 7 (1956), 243n); dalsze recenzje Kemeny’ego (J. Symb. Logic, 20 (1955), 304) i Jeffreya (Econometrica, 28 (1960), 925). Porównaj także moje [Replies], § 31]. Moja zgoda z krytyką Poppera w tych dwóch punktach oczywiście w żaden sposób nie wpływa na moje poglądy na temat natury i funkcji logiki indukcyjnej.

[6] Ta klasyfikacja nie uwzględnia ogólniejszego podziału na królestwa i typy. Przypis tłum.