Projekt okładki: Ireneusz Gawliński

Wydawca: Karol Zawadzki i Renata Włostowska

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Irena Puchalska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Recenzent: Prof. dr hab. Michał Morayne

Publikacja dofinansowana przez Uniwersytet Śląski w Katowicach.

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023 r. (wyd. I)

Warszawa 2023

ISBN 978-83-01-23173-6

DOI: https://doi.org/10.53271/2023.107

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Wstęp

Początków topologii można się już dopatrywać w starożytności u eleatów (Parmenides, Melissos i Zenon z Elei). W ich dociekaniach filozoficznych pojawiają się zalążki takich pojęć jak ciągłość i przestrzeń (τo′πoσ). Jednak prawdziwe początki topologii przypadają na drugą połowę XIX wieku i pierwszą połowę XX wieku. Związane są z odkryciami takich matematyków jak Bolzano oraz Cauchy, a następnie Cantor i Hausdorff. O historii topologii, a przede wszystkim o jej wpływie na rozwój matematyki, piszą Koetsier oraz van Mill w artykule By Their Fruits Ye Shall Know Them: Some Remarks on the Intersection of General Topology with Other Areas of Mathematics; patrz James  [240]. Na przestrzeni ostatnich dwóch stuleci topologia bardzo się rozwinęła i obecnie dzieli się na topologię mnogościową (inaczej ogólną), algebraiczną, geometryczną, różniczkową, dynamiczną, kategoryjną, a także teorię wymiaru, teorię gier topologicznych, teorię węzłów i deskryptywną teorię mnogości. Jest też obecna w innych działach matematyki, nie wyłączając informatyki teoretycznej. Celem książki jest przedstawienie czterech pojęć topologicznych, które są fundamentalne i obecne we wszystkich wymienionych powyżej działach topologii. Pojęciami tymi są: metryzowalność, zwartość, zupełność oraz spójność. Są im poświęcone kolejne rozdziały książki poprzedzone rozdziałem zawierającym główne konstrukcje topologiczne stanowiące podstawę dalszych rozważań. Podobnie jak w historycznej już monografii Kelleya [271], książkę kończy Dodatek, w którym omówione są pojęcia teorii zbiorów potrzebne do pełnego zrozumienia książki. Jest to w istocie miniwykład tego przedmiotu mający na celu uchronić czytelnika przed niezrozumieniem niektórych dowodów. Mogłoby ono wynikać z odmiennego rozumienia pewnych pojęć teorii zbiorów. Przedstawione są tu także niektóre metody teorii mnogości stosowane w książce, takie jak indukcja pozaskończona.

Ważną rolę w książce odgrywają przykłady. Ilustrują one omawiane aktualnie pojęcia, często są to konstrukcje obiektów topologicznych wykorzystywanych w dalszych częściach książki, a niekiedy także w innych działach matematyki. Przykładem jest przestrzeń βℕ, która pojawia się najpierw jako przykład, ale później występuje w twierdzeniach.

Na końcu każdego rozdziału znajduje się podrozdział zatytułowany Komentarze i uzupełnienia. Są tam zagadnienia, które nie weszły w skład głównego tekstu, chociaż są ważną częścią topologii. Niektóre z zamieszczonych tam twierdzeń nie mają dowodów lub mają dowody zaledwie naszkicowane. Czytelnik może je traktować podobnie jak zadania w książce Engelkinga [153]. W głównym tekście unikam takich fraz jak „łatwo sprawdzić” lub „można wykazać”, jednak w Komentarzach i uzupełnieniach sformułowania takie i im podobne są częste. W odróżnieniu od typowych zbiorów zadań nie stosuję jednak zwrotu „udowodnij, że”, bo podane przeze mnie wskazówki mogłyby okazać się niewystarczające. Wartym polecenia zbiorem zadań z topologii jest książka Archangielskiego i Ponomariowa [19], w której czytelnik znajdzie zadania o zróżnicowanej skali trudności. W komentarzach znajdzie także czytelnik dane bibliograficzne. Ta część książki jest dedykowana głównie młodym badaczom, nie tylko tym, którzy specjalizują się w topologii. Z myślą o nich zamieszczam odniesienia do najważniejszych prac zbiorowych takich jak: Encyclopedia of general topology pod redakcją Harta, Nagaty i Vaughana [211], Recent Progress in General Topology II pod redakcją Huška i van Milla [236], Recent Progress in General Topology III pod redakcją Harta, van Milla i Simona [212] oraz Handbook of set-theoretic topology pod redakcją Kunena i Vaughana [293]. Liczby w nawiasach kwadratowych odsyłają do bibliografii umieszczonej na końcu książki, gdzie znajduje się także skorowidz oraz spisy symboli i nazwisk (wraz z imionami) cytowanych autorów. Znak □ oznacza koniec dowodu, a znak ♢ oznacza koniec przykładu. Nazwy wprowadzonych w książce pojęć zapisane są czcionką pogrubioną, a nazwy tych pojęć, które można znaleźć w innych książkach, zapisane są kursywą.

Pragnę w tym miejscu podziękować dyrekcji Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego za wsparcie finansowe i Wydawnictwu Naukowemu PWN za życzliwość dla tej książki. Bardzo wdzięczny jestem wydawcom Renacie Włostowskiej i Karolowi Zawadzkiemu za cierpliwość w oczekiwaniu na kolejne wersje książki. Szczególne podziękowania składam redaktor Irenie Puchalskiej za niezwykle dokładną i profesjonalną korektę.

W pracy nad książką towarzyszyło mi wiele osób, którym za to bardzo dziękuję. Bardzo wdzięczny jestem pierwszym jej czytelnikom: dr. Wojciechowi Bielasowi, dr. hab. Jerzemu Krzempkowi, dr. hab. Andrzejowi Kucharskiemu i mgr. Mateuszowi Kuli, dzięki którym udało mi się uniknąć wielu pomyłek. Szczególnie wdzięczny jestem dr. Sławomirowi Turkowi za cenne rady i udostępnienie swoich notatek, a także za to, że wraz z dr. Bielasem wspomógł mnie w sprawach technicznych związanych z obsługą programu LaTeX. Wdzięczny jestem też Profesorowi Krzysztofowi Ciesielskiemu za rady dotyczące poprawności językowej, która w przypadku tekstów matematycznych nie jest rzeczą prostą. Dziękuję także Kolegom Profesorom: Markowi Balcerzakowi, Pawłowi Krupskiemu, Władysławowi Kulpie, Witoldowi Marciszewskiemu, Michałowi Moraynemu, Romanowi Polowi, Andrzejowi Szymańskiemu oraz Piotrowi Zakrzewskiemu za cenne uwagi oraz inspirujące rozmowy o topologii.

Halemba, w maju 2023 r.

Aleksander Błaszczyk

Rozdział 1 Przestrzenie topologiczne

1. Generowanie topologii, bazy i podbazy

Topologia jest to rodzina podzbiorów ustalonego zbioru spełniająca określone warunki; p. definicja 1.1.1. Pojęciem podstawowym jest zatem zbiór. Zarys teorii zbiorów zawierający wykorzystywane w książce definicje i twierdzenia teorii zbiorów (wraz z dowodami) znajduje się na końcu książki, w rozdziale szóstym – w Dodatku. W rozdziale pierwszym są potrzebne tylko powszechnie znane pojęcia, które można znaleźć w każdej książce matematycznej, a w szczególności w książkach dotyczących tzw. „wstępu do matematyki”; p. Cichoń [103], Grell [196], Guzicki i Zakrzewski [201], Kraszewski [284], Kuratowski [300], Marek i Onyszkiewicz [325], Rasiowa [403], Wojciechowska [522], a także pierwsza część mojej książki z Turkiem [75].

Przypomnijmy, że jeśli x jest elementem (nazywanym często punktem) zbioru A, to piszemy x ∈ A. Napis x∉A oznacza, że x nie jest elementem zbioru A. Jeśli dane są zbiory A i B, to symbol A ∪ B oznacza sumę zbiorów, czyli ogół tych elementów, które należą do A lub do B, a symbol A ∩B oznacza ich iloczyn (przecięcie, część wspólną), czyli zbiór tych elementów, które należą zarówno do A, jak i do B. Różnica A ∖B oznacza zbiór tych elementów zbioru A, które nie należą do B. Jeśli Φ(x) oznacza, że x ma własność Φ, to ogół tych elementów zbioru A, które mają własność Φ, zapisujemy jako {x ∈ A: Φ(x)}. Zbiór, którego jedynymi elementami są x i y, oznaczamy jako {x,y}. Jeśli x = y, to zamiast {x,y} piszemy {x}. Symbolem ⊆ oznaczamy zawieranie lub inaczej inkluzję. A zatem A ⊆ B oznacza, że każdy element zbioru A należy do zbioru B. Mówimy wówczas, że A jest podzbiorem zbioru B. Symbol P(A) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A. Jeśli R jest rodziną zbiorów, czyli zbiorem zbiorów, to ⋃ R oznacza sumę tej rodziny, czyli ogół tych elementów, które należą do przynajmniej jednego zbioru z rodziny R, natomiast ⋂ R to zbiór tych elementów, które należą do wszystkich elementów rodziny R. Zbiór pusty oznaczamy symbolem ∅, a moc zbioru A, czyli liczbę kardynalną zbioru A, symbolem |A|. Najmniejszą liczbę kardynalną nieskończoną, czyli moc zbioru liczb naturalnych, oznaczamy symbolem ω. Zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio symbolami ℕ, ℤ, ℚ, ℙ, ℝ oraz ℂ. Zera nie zaliczamy do liczb naturalnych. Przedział domknięty [0,1] oznaczamy symbolem 𝕀.

Rozwój matematyki, a szczególnie analizy matematycznej, w XIX wieku spowodował potrzebę doprecyzowania pewnych pojęć (takich jak ciągłość, zbieżność, dowolnie blisko, nieskończenie małe, liczby niewymierne) opartych wcześniej na intuicjach geometrycznych oraz fizycznych. To doprowadziło do konieczności stworzenia nowych podstaw matematyki, którymi okazały się topologia i teoria mnogości. Przyjmuje się, że pierwsza w pełni precyzyjna i ogólna definicja topologii została sformułowana w książce Grundzüge der Mengenlehre Hausdorffa [215] w 1914 r. Pierwszą książkę o topologii w języku polskim napisał Sierpiński [432] w 1928 r. Termin topologia został wprowadzony przez Listinga, ucznia Gaussa, już w 1847 r. Badacze historii matematyki odnajdują jednak początki topologii w pismach Eulera oraz Gaussa, a nawet Leibniza[1] . O rozwoju pojęć topologicznych oraz ich genezie można przeczytać, oprócz wspomnianej już we wstępie książki Jamesa [240], w monografiach Aulla i Lowena [21], oraz Engelkinga [153].

Definicja 1.1.1 (topologia). Jeśli X jest zbiorem niepustym, to rodzinę T ⊆ P (X) nazywamy topologią na X, gdy spełnione są następujące warunki:

(a) X ∈ T ;

(b) jeśli U,V ∈ T , to U ∩V ∈ T ;

(c) jeśli R ⊆ T , to ⋃ R ∈ T .

Parę (X,T) nazywamy wówczas przestrzenią topologiczną.

Mniej formalnie, przestrzeń topologiczna jest to zbiór wraz z pewną topologią, która jest na nim określona. Na mocy zasady indukcji matematycznej warunek (b) można uogólnić na dowolną skończoną liczbę elementów rodziny T . Zauważmy, że do każdej topologii na zbiorze X oprócz zbioru X należy także zbiór pusty, bo jeśli w warunku (c) przyjmiemy R= ∅, to otrzymamy ∅= ⋃ R ∈ T . Na danym zbiorze istnieje zwykle wiele topologii. Jeśli topologia T w przestrzeni (X,T) jest ustalona, to zamiast „przestrzeń topologiczna (X,T)” piszemy krótko „przestrzeń X”. Elementy topologii T nazywamy zbiorami otwartymi (w danej topologii), a ich dopełnienia zbiorami domkniętymi. Zbiór X jest zatem otwarty, przecięcie skończenie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym i suma dowolnie wielu zbiorów otwartych także jest zbiorem otwartym. Podobnie ∅ jest zbiorem domkniętym, suma skończenie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym i przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domkniętych także jest zbiorem domkniętym.

Zbiór, który jest zarazem domknięty i otwarty, nazywamy domknięto-otwartym. Zbiory ∅ i X są domknięto-otwarte w każdej topologii na X. Niech CO(X) oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domknięto-otwartych w przestrzeni X. Rodzina CO(X) jest ciałem zbiorów, czyli jest zamknięta ze względu na skończone sumy i iloczyny[2] .

Rodzina T = P(X) jest w oczywisty sposób topologią na X. W tej topologii każdy podzbiór zbioru X jest otwarty i zarazem domknięty. Taką topologię nazywamy dyskretną. Zbiór z topologią dyskretną nazywamy przestrzenią dyskretną. Na przeciwnym krańcu są topologie antydyskretne, czyli takie, w których jedynymi zbiorami otwartymi są X oraz ∅. Punkt x ∈X nazywamy punktem izolowanym, gdy {x} ∈ T , tzn. gdy zbiór złożony jedynie z punktu x jest otwarty. W przestrzeni dyskretnej wszystkie punkty są zatem izolowane. Punkt przestrzeni X, który nie jest izolowany, nazywamy punktem skupienia przestrzeni X. Zilustrujemy te pojęcia prostymi przykładami.

Przykład 1.1.2 (przestrzeń z jednym punktem skupienia). W zbiorze X mocy κ ≥ω ustalmy punkt x₀ i określmy topologię na X wzorem

Rodzina T jest topologią, bo zbiór pusty jest skończony, suma dwóch zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym, a podzbiór zbioru skończonego także jest skończony. Dla każdego x ∈X ∖{x₀} zbiór jednopunktowy {x} jest otwarty, a więc każdy punkt poza punktem x₀ jest izolowany. Przestrzenie z jednym punktem skupienia mocy κ ≥ ω oznaczamy symbolem 𝔸(κ). Pokażemy później (p. przykład 1.3.19), że własności topologiczne tych przestrzeni zależą tylko od ich mocy. ♢

Więcej o przestrzeniach z jednym punktem skupienia napiszemy w przykładach 1.2.7, 1.3.19 oraz 1.7.4. Jeśli w przestrzeni niepustej nie ma punktów izolowanych, to mówimy, że jest ona w sobie gęsta. Przykład przestrzeni w sobie gęstej, który teraz opiszemy, pochodzi z pracy[3] Furstenberga [177].

Przykład 1.1.3 (przestrzeń Furstenberga). W zbiorze ℤ wszystkich liczb całkowitych dla dowolnych x ∈ ℤ oraz n ∈ ℕ, określamy nieskończony postęp arytmetyczny wzorem

Topologia Furstenberga zadana jest na zbiorze ℤ wzorem

Z definicji wynika, że ℤ ∈ T oraz ⋃ R ∈ T dla dowolnej rodziny R ⊆ T . Ponadto, jeśli U,V ∈ T , to U ∩V ∈ T . Faktycznie, dla każdego x ∈ U ∩V istnieją takie n,m ∈ℕ, że x + nℤ ⊆U oraz x + mℤ ⊆V . Wówczas

Zbiory niepuste otwarte w topologii Furstenberga są nieskończone, a więc zbiory jednopunktowy nie są otwarte, czyli przestrzeń ta jest w sobie gęsta. ♢

Na temat topologii Furstenberga piszemy w przykładach 1.1.15 oraz 1.9.14. Ważnymi przykładami topologii są te związane ze zbiorami liniowo uporządkowanymi. Przypomnijmy, że relacja < na zbiorze X jest porządkiem liniowym, gdy jest antyzwrotna, tranzytywna i dla dowolnych x,y ∈X, jeśli x≠y, to x < y lub y < x. Związana z nią relacja ≤ dana jest wzorem

p. Dodatek. Relacja x ≤y jest zwrotna, tranzytywna i słabo antysymetryczna. Liniowość relacji w tym przypadku oznacza, że dla dowolnych x i y zachodzi x ≤y lub y ≤x. Przedziałem otwartym w zbiorze liniowo uporządkowanym (X,<) nazywamy zbiór X i każdy spośród zbiorów

Pierwsze dwa przedziały nazywamy nieograniczonymi, bo takimi są w istocie, gdy w X nie ma elementu największego i najmniejszego, na przykład w ℝ. Trzeci przedział jest przedziałem ograniczonym. Rozważane są także przedziały półotwarte (półdomknięte), które są postaci

Rozważane są także przedziały domknięte, które mają postać

Niekiedy, szczególnie w zagadnieniach geometrycznych, przedziały domknięte nazywamy odcinkami. Zbiór wszystkich przedziałów otwartych w zbiorze liniowo uporządkowanym (X,<) oznaczamy symbolem Intv(X,<).

Przykład 1.1.4 (topologia porządkowa). Topologią porządkową w zbiorze liniowo uporządkowanym (X,<) nazywamy rodzinę

Rodzina T(X,<) składa się zatem z tych podzbiorów zbioru X, które wraz z każdym punktem zawierają pewien przedział otwarty. Jeśli U,V ∈ T (X,<) oraz x ∈ U ∩V , to istnieją Δ,Δ′ ∈ Intv(X,<) takie, że x ∈ Δ ⊆ U oraz x ∈ Δ′ ⊆ V . Wówczas x ∈ Δ ∩ Δ′ ⊆ U ∩ V oraz Δ ∩ Δ′ ∈ Intv(X,<), bo iloczyn dwóch przedziałów otwartych jest przedziałem otwartym. Stąd wynika, że jeśli U,V ∈ T (X,<), to U ∩ V ∈ T (X,<). Pozostałe dwa warunki zapisane w definicji topologii są spełnione w sposób oczywisty. A zatem T(X,<) jest topologią w zbiorze X uporządkowanym przez relację <. Zauważmy, że przedziały domknięte są zbiorami domkniętymi w topologii porządkowej. Faktycznie, jeśli x ∈ X ∖[a,b], to x ∈ (←,a) ⊆ X ∖[a,b], gdy x < a oraz x ∈(b,→) ⊆X ∖[a,b] jeśli b < x. ♢

Topologię porządkową w zbiorze ℝ wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy topologią naturalną, a zbiór ℝ z tą topologią nazywamy prostą rzeczywistą. Do ważnych pojęć topologicznych należą baza[4] i podbaza.

Definicja 1.1.5 (baza i podbaza). Jeśli T jest topologią na zbiorze X, to bazą topologii T nazywamy taką rodzinę B ⊆ T , że każdy niepusty zbiór otwarty w topologii T jest sumą pewnej podrodziny rodziny B, tzn. dla każdego U ∈ T istnieje takie R ⊆ B , że ⋃ R= U. Rodzinę P ⊆ T nazywamy podbazą topologii T, gdy rodzina

jest bazą tej topologii.

Definicję bazy można przeformułować następująco: rodzina B ⊆ T jest bazą topologii T , gdy dla każdego U ∈ T i każdego punktu x ∈ U istnieje takie V ∈ B , że x ∈V ⊆U. Dla danej topologii T może istnieć wiele baz i wiele podbaz. W szczególności każda baza jest jednocześnie podbazą, a każda topologia jest swoją własną bazą. W topologii dyskretnej istnieje baza złożona ze zbiorów jednopunktowych. Natomiast bazą topologii porządkowej w zbiorze liniowo uporządkowanym (X,<) jest rodzina Intv(X,<). Podbazą tej topologii jest rodzina wszystkich przedziałów nieograniczonych, tzn. rodzina

bo dla dowolnych a,b ∈X mamy (a,b) = (a,→) ∩(←,b).

Opiszemy teraz ogólną metodę określania topologii na danym zbiorze w taki sposób, by zadane z góry podzbiory były otwarte. Metoda jest analogiczna do generowania podgrupy przez zadany podzbiór grupy. Zauważmy, że jeśli 𝔗 jest niepustą rodziną topologii na zbiorze X, to ⋂ 𝔗 także jest topologią na zbiorze X. Sprawdzenie tego faktu pozostawiamy czytelnikowi.

Definicja 1.1.6 (topologia generowana przez rodzinę zbiorów). Dla każdej rodziny zbiorów R ⊆ P (X) topologię

nazywamy topologią generowaną przez rodzinę R.

Przypomnijmy, że na każdym zbiorze istnieje topologia dyskretna, a więc rodzina topologii na dowolnym zbiorze jest niepusta. Topologia T(R) jest zatem poprawnie określona. Zauważmy, że topologia na zbiorze liniowo uporządkowanym (X,<) jest generowana przez rodzinę Intv(X,<); p. przykład 1.1.4. Faktycznie, dla a,b ∈X mamy (a,b) = ∅ lub (a,b) = (←,b) ∩(a,→), a więc

(1.1)

Topologię generowaną przez rodzinę zbiorów można opisać za pomocą operacji sumy i iloczynu zbiorów w następujący sposób:

Twierdzenie 1.1.7. Jeśli R ⊆ P (X) oraz X ∈ R , to

przy czym rodzina R jest podbazą topologii T(R), a rodzina

jest jej bazą.

Dowód. Zauważmy, że R ⊆ B (R), bo jeśli A ∈ R , to A = ⋂ {A}. Ponadto B(R) ⊆ T (R) oraz T = ⋃ { U : U ⊆ B(R )} ⊆ T (R), bo T(R) jest topologią zawierającą R. Ponieważ R ⊆ T , a T(R) jest najmniejszą topologią zawierającą R, to pozostaje wykazać, że T jest topologią. Oczywiście X ∈ T , bo X ∈ R . Wykażemy, że jeśli U₁,U₂ ∈ T , to U₁∩U₂ ∈ T . Z definicji rodziny T wynika, że istnieją takie U₁,U₂ ⊆ B (R), dla których

Z praw dystrybutywności (rozdzielczości) wynika, że

Aby udowodnić, że U₁ ∩U₂ ∈ T , wystarczy wykazać, że

Jeśli U ∈ U ₁ i W ∈ U ₂, to istnieją takie A₁,…,An ∈ R i B₁,…,Bm ∈ R , że

a więc

Wobec dowolności wyboru zbiorów U i W oznacza to, że U₁ ∩U₂ ∈ T .

Pozostaje sprawdzić, że jeśli W ⊆ T , to ⋃ W ∈ T . Dla każdego W ∈ W istnieje[5] takie UW ⊆ B (R), że W = ⋃ UW . Przyjmijmy U = ⋃ {U W : W ∈ W }. Wówczas U ⊆ B (R) oraz ⋃ W = ⋃ U, co kończy dowód. □

Rozważmy dwa ważne przykłady wprowadzania topologii za pomocą rodziny generującej, które pojawią się jeszcze w dalszej części książki.

Przykład 1.1.8 (topologia Sorgenfreya). Rozważmy rodzinę

Nietrudno zauważyć, że iloczyn dwóch przedziałów półotwartych postaci [a,b) jest zbiorem pustym lub przedziałem półotwartym. Przy oznaczeniach z twierdzenia 1.1.7 mamy zatem B(R) = R ∪{∅}. Topologię T(R) generowaną przez rodzinę R nazywamy topologią Sorgenfreya. Każdy zbiór otwarty w topologii naturalnej przestrzeni ℝ jest otwarty w topologii Sorgenfreya, bo (a,b) = ⋃ {[a+b−a- n+1,b): n ∈ℕ} dla dowolnych a,b ∈ℝ, gdzie a < b. Zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya nazywamy przestrzenią Sorgenfreya lub prostą Sorgenfreya i oznaczamy symbolem 𝕊. ♢

Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to symbol

oznacza rodzinę wszystkich niepustych podzbiorów domkniętych przestrzeni X. W exp(X) wprowadza się topologię tak, aby dla każdego U ∈ T zbiory

(1.2)

były otwarte. Wówczas elementy rodziny exp(X) zawarte w zbiorze otwartym będą tworzyły zbiór otwarty, a elementy rodziny exp(X) zawarte w zbiorze domkniętym będą tworzyły zbiór domknięty, bo

Definicja 1.1.9 (topologia Vietorisa). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to topologią Vietorisa na zbiorze exp(X) nazywamy topologię T(R) generowaną przez rodzinę

Zbiór exp(X) z tą topologią nazywamy przestrzenią Vietorisa.

Zgodnie z twierdzeniem 1.1.7 rodzina R tworzy podbazę topologii Vietorisa, a więc skończone przekroje tej rodziny tworzą bazę. Ponieważ o topologii Vietorisa będzie jeszcze później mowa, to w kolejnym przykładzie opiszemy dokładniej postać jej bazy.

Przykład 1.1.10 (baza topologii Vietorisa). Niech U₀,U₁,…,Un ⊆X będą zbiorami otwartymi i niech

𝕍(U0,U1, ...,Un ) = {F ∈ exp(X) : F ⊆ U0 ∪ U1 ∪...∪ Un oraz (∀i ≤ n)(F ∩ Ui ⁄= ∅)}.

(1.3)

Ponieważ 𝕍(U₀,U₁,…,Un) = (U₀ ∪U₁ ∪…∪Un) ⁺ ∩U₀⁻∩…∩Un⁻, to zbiory te są otwarte w topologii Vietorisa. Pokażemy, że zbiory postaci (1.3) tworzą bazę w exp(X). Zauważmy, że 

a więc zgodnie z twierdzeniem 1.1.7 bazą topologii Vietorisa jest rodzina

A zatem, aby wykazać, że zbiory postaci (1.3) tworzą bazę w exp(X), wystarczy wykazać, że dla każdego F ∈W⁺ ∩V ₁⁻∩… ∩V m⁻ zachodzi

Ustalmy dowolne F ∈W⁺ ∩V ₁⁻∩…∩V m⁻. Skoro F ⊆W oraz F ∩V i≠∅ dla i ≤ m, to F ⊆ W ∪(W ∩V ₁) ∪… ∪(W ∩V m) oraz F ∩W ∩V i≠∅ dla każdego i ≤m, a więc F ∈𝕍(W,W ∩V ₁,…,W ∩V m). Ustalmy teraz dowolne G ∈𝕍(W,W ∩V ₁,…,W ∩V m). Wówczas

a więc G ∈ W⁺. Ponadto dla każdego i ≤ m mamy G ∩W ∩V i≠∅, a więc G ∈ V i⁻, bo G ⊆ W. A zatem, G ∈ W⁺ ∩V ₁⁻ ∩… ∩V m⁻, co dowodzi, że zbiory postaci (1.3) tworzą bazę topologii Vietorisa w zbiorze exp(X).

Z postaci tej bazy wynika, że jeśli wszystkie podzbiory jednopunktowe w X są domknięte[6] , a przestrzeń X jest w sobie gęsta, to exp(X) także jest w sobie gęsta. Faktycznie, ustalmy zbiór bazowy 𝕍(U₀,U₁,…,Un) i zauważmy, że zbiory U₀,U₁,…,Un ⊆X są nieskończone, bo w przeciwnym razie zbiory jednopunktowe byłyby otwarte. Możemy więc dla każdego i ≤n znaleźć dwa różne punkty xi,yi ∈ Ui ∖{xk,yk: k < i}. Wówczas zbiory {xi: i ≤ n} oraz {yi: i ≤ n} należą do 𝕍(U₀,U₁,…,Un) i są różne. To oznacza, że żaden zbiór bazowy nie jest jednoelementowy, a więc zbiory jednopunktowe nie są otwarte. ♢

Z postaci bazy w topologii Vietorisa wynika, że jeśli moc rodziny wszystkich podzbiorów otwartych w przestrzeni X jest równa κ ≥ω, to przestrzeń Vietorisa ma bazę mocy co najwyżej κ, bo rodzina wszystkich podzbiorów skończonych zbioru nieskończonego mocy κ jest mocy κ; p. Dodatek. Ważną rolę w topologii odgrywa minimalna moc bazy przestrzeni.

Definicja 1.1.11 (waga przestrzeni). Wagą[7] przestrzeni topologicznej nazywamy minimalną moc bazy tej przestrzeni, tzn. liczbę kardynalną

Jeśli w(X) = ω, to mówi się, że X spełnia drugi aksjomat przeliczalności. Oprócz wagi będą też omawiane inne liczby kardynalne związane z przestrzeniami topologicznymi[8] .

Waga przestrzeni jest jedną z najważniejszych charakterystyk przestrzeni topologicznej. Jeśli topologia w przestrzeni X jest generowana przez rodzinę R i jest nieskończona[9] , to zgodnie z twierdzeniem 1.1.7 w(X) ≤ |R |. Zauważmy, że w(ℝ) = ω. Wynika to z definicji topologii na zbiorze liniowo uporządkowanym (p. przykład 1.1.4) i stąd, że każdy przedział otwarty w ℝ jest sumą przeliczalnie wielu przedziałów o końcach wymiernych, bo pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi jest liczba wymierna. Odnotujmy dwie ważne własności bazy.

Lemat 1.1.12. Jeśli R jest rodziną zbiorów otwartych w przestrzeni X, to istnieje taka podrodzina W ⊆ R , że |W |≤w(X) oraz ⋃ W = ⋃ R.

Dowód. Niech B będzie taką bazą w przestrzeni X, że |B | = w(X). Dla każdego x ∈⋃ R wybierzmy takie U ∈ R , że x ∈U, i takie otoczenie Ux ∈ B punktu x, że x ∈Ux ⊆U. Skoro |B |= w(X), to U = {Ux: x ∈⋃ R } jest mocy co najwyżej w(X). Ponieważ każdy ze zbiorów Ux jest zawarty w pewnym elemencie rodziny R, to dla każdego U ∈ U możemy wybrać dokładnie jedno takie W(U) ∈ R , że U ⊆W(U). Wówczas rodzina W = {W(U): U ∈ U } jest mocy co najwyżej w(X) oraz ⋃ W = ⋃ R. □

Lemat 1.1.13. Jeśli w(X) ≥ ω, to dla każdej bazy B w przestrzeni X istnieje taka baza B ′⊆ B , że |B ′|= w(X).

Dowód. Niech S będzie taką bazą w X, że |S | = w(X). Na mocy lematu 1.1.12 dla każdego U ∈ S możemy wybrać takie BU ⊆ B , że |B U| ≤ w(X) oraz U = ⋃ BU. Wówczas B ′ = ⋃ {B U: U ∈ S } jest bazą w przestrzeni X, a jednocześnie |B ′|≤w(X) ⋅w(X) = w(X). □

Definicja 1.1.14 (przestrzeń zerowymiarowa). Przestrzeń, której topologia ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych, nazywamy przestrzenią zerowymiarową[10] .

Każda przestrzeń dyskretna jest zerowymiarowa. Także przestrzeń z jednym punktem skupienia opisana w przykładzie 1.1.2 jest zerowymiarowa, bo wszystkie zbiory jednopunktowe, z wyjątkiem x₀, są domknięto-otwarte, a dopełnienia otoczeń punktu x₀ także są otwarte. Przestrzenią zerowymiarową jest także zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya (p. przykład 1.1.8). Kolejny przekład przestrzeni zerowymiarowej jest mniej oczywisty.

Przykład 1.1.15 (przestrzeń Furstenberga jest zerowymiarowa). Z definicji topologii Furstenberga (przykład 1.1.3) wynika, że rodzina

jest bazą tej topologii, bo jej elementy są zbiorami otwartymi. Faktycznie, jeśli y ∈x + nℤ, to y = x + nz₀ dla pewnego z₀ ∈ℤ, a więc

Elementy rodziny B są też domknięte w topologii Furstenberga, bo

(1.4)

Aby to udowodnić, zauważmy, że każda liczba całkowita dzieli się przez n z resztą mniejszą niż n, a więc

A ponieważ x + ℤ = ℤ, to dostajemy stąd

Jednocześnie, jeśli 0 ≤ i < j < n, to (x + i + nℤ) ∩(x + j + nℤ) = ∅. Rzeczywiście, w przeciwnym razie musiałyby istnieć takie liczby całkowite a i b, że x + i + na = x + j + nb, czyli n(a −b) = j −i, a to jest niemożliwe, bo j −i nie dzieli się przez n. Wykazaliśmy, że zbiory x + i + nℤ dla i ∈{0,1,…,n −1} są parami rozłączne i w sumie dają zbiór ℤ, a to dowodzi równości (1.4). Równość ta oznacza, że elementy bazy B są zbiorami domknięto-otwartymi. Nieoczekiwanie[11] dostajemy stąd znany fakt, że zbiór P wszystkich liczb pierwszych jest nieskończony. Faktycznie, każda liczba całkowita różna od 1 oraz −1 dzieli się przez pewną liczbę pierwszą, a więc

Gdyby więc zbiór P był skończony, to zbiór ℤ ∖{1,−1} byłby domknięty jako suma skończenie wielu zbiorów domkniętych. To jednak jest niemożliwe, bo zbiory niepuste otwarte w tej topologii są nieskończone; p. przykład 1.1.3. ♢

Aby przedstawić bardziej złożone przykłady przestrzeni topologicznych omówimy pojęcie podprzestrzeni. Zauważmy, że jeśli na zbiorze X określona jest topologia T , a Y ⊆X, to rodzina

spełnia postulaty topologii. Faktycznie, Y = Y ∩X ∈ T ↾Y bo X ∈ T . Podobnie, jeśli U ∩Y ∈ T ↾Y oraz V ∩Y ∈ T ↾Y , to (U ∩Y ) ∩(V ∩Y ) = (U ∩V ) ∩Y ∈ T ↾Y . Z prawa dystrybutywności wynika, że dla każdej rodziny R ⊆ T mamy ⋃ R ∩Y = ⋃ {U ∩Y : U ∈ R }. Rodzina T ↾Y spełnia zatem postulaty topologii sformułowane w definicji 1.1.1.

Definicja 1.1.16 (podprzestrzeń). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, a Y ⊆ X, to zbiór Y z topologią T ↾Y nazywamy podprzestrzenią przestrzeni X. Topologię T ↾ Y nazywamy topologią obciętą do zbioru Y lub topologią zacieśnioną do zbioru Y . Mówimy też, że topologia w Y jest dziedziczona z X.

Z definicji wynika, że każdy podzbiór przestrzeni topologicznej X jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z przestrzeni X. Jeśli Y ⊆ X jest podzbiorem otwartym (domkniętym), to mówimy też, że Y jest podprzestrzenią otwartą (domkniętą). Podobnie, jeśli Y z topologią dziedziczoną z X jest przestrzenią dyskretną, to mówimy, że Y jest podprzestrzenią dyskretną. Zauważmy, że topologia naturalna w zbiorze liczb naturalnych ℕ dziedziczona z ℝ jest dyskretna, bo dla każdej liczby naturalnej istnieje przedział otwarty, który zawiera tylko tę jedną liczbę. Przecięcia zbiorów bazowych w X z podprzestrzenią Y tworzą bazę w podprzestrzeni Y , a przecięcia zbiorów podbazowych z podprzestrzenią tworzą podbazę w tej podprzestrzeni.

Przykład 1.1.17 (przestrzeń liczb wymiernych i niewymiernych). Ponieważ w każdym niepustym przedziale otwartym jest liczba niewymierna, to przestrzeń liczb wymiernych z topologią dziedziczoną z ℝ ma bazę złożoną ze zbiorów postaci (x,y) ∩ ℚ, gdzie x,y ∈ ℙ = ℝ ∖ ℚ. Skoro jednak x i y są niewymierne, to (x,y) ∩ ℚ = [x,y] ∩ ℚ, a więc ℚ ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych. Jest zatem przestrzenią zerowymiarową. Przestrzeń ℚ ma też bazę złożoną ze zbiorów postaci (r,w) ∩ ℚ, gdzie r,w ∈ ℚ, a więc ma bazę przeliczalną. Z lematu 1.1.13 wynika więc, że ℚ ma bazę przeliczalną złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych. Argumentując podobnie, stwierdzamy, że także przestrzeń ℙ liczb niewymiernych jest zerowymiarowa i ma bazę przeliczalną. ♢

Topologia naturalna w zbiorze ℝ obcięta do przedziału 𝕀 = [0,1] jest taka sama jak topologia wyznaczona przez porządek w przedziale [0,1]. Podbazę tej topologii tworzy rodzina przedziałów

(1.5)

Nietrudno zauważyć, że jest to rodzina wszystkich przecięć zbioru [0,1] z przedziałami postaci (←,a) oraz (b,→), które tworzą podbazę topologii naturalnej w ℝ. Na ogół topologia porządkowa na zbiorze X obcięta do podzbioru Y ⊆ X może mieć więcej zbiorów otwartych niż topologia porządkowa wyznaczona przez ten sam porządek na zbiorze Y , który wyznaczał topologię na X[12] . Na przykład, w topologii przestrzeni Y = {−1}∪(0,1] ⊆X = ℝ dziedziczonej z przestrzeni ℝ punkt x = −1 jest izolowany, a w topologii porządkowej wyznaczonej przez porządek dziedziczony z ℝ jest punktem skupienia tego zbioru.

Ważnym przykładem topologii wyznaczonej przez porządek jest przestrzeń opisana po raz pierwszy w pracy Aleksandrowa i Urysohna [10] w 1929 r., a także jej podprzestrzeń nazywana strzałką[13] . Wykorzystamy ją później do zilustrowania kilku pojęć topologicznych. Teraz jeszcze jedna definicja.

Definicja 1.1.18 (π-baza). Rodzinę P niepustych podzbiorów otwartych przestrzeni X nazywamy π-bazą, jeśli dla każdego zbioru otwartego niepustego U ⊆ X istnieje takie V ∈ P , że V ⊆ U. Najmniejszą liczbą kardynalną, która jest mocą pewnej π-bazy przestrzeni X, nazywamy π-wagą przestrzeni X oraz oznaczamy symbolem πw(X).

Każda baza jest π–bazą, a zatem mamy nierówność

(1.6)

Równość na ogół nie zachodzi, o czym świadczy następujący przykład.

Przykład 1.1.19 (przestrzeń Aleksandrowa–Urysohna). W iloczynie kartezjańskim ℝ ×{0,1} rozważmy porządek leksykograficzny dany wzorem

Mamy wtedy w zbiorze ℝ ×{0,1} topologię porządkową T(ℝ ×{0,1},≺) znaną też jako podwójna strzałka. W podprzestrzeni ℝ ×{1}⊆ℝ ×{0,1}, nazywanej też strzałką, mamy topologię T(ℝ×{0,1},≺) ↾ℝ×{1}. Topologia ta jest identyczna z topologią przestrzeni Sorgenfreya 𝕊 opisaną w przykładzie 1.1.8, bo zbiór ℝ×{1} możemy utożsamić z ℝ. Prosta Sorgenfreya jest zatem podprzestrzenią przestrzeni liniowo uporządkowanej. Pokażemy później, że sama przestrzeń 𝕊 nie jest liniowo uporządkowana; p. wniosek 1.13.14. Jeśli x,y ∈ℝ oraz x < y, to

jest przedziałem otwartym oraz Δx,y = (x,y) ×{0}∪[x,y) ×{1}. Zbiory Δx,y ∩𝕊 = [x,y) ×{1} są zatem otwarte w przestrzeni Sorgenfreya i stanowią w niej bazę. Nietrudno zauważyć, że są to zbiory domknięto-otwarte, a więc przestrzeń Sorgenfreya jest zerowymiarowa. Zauważmy, że

Faktycznie, wszystkie zbiory postaci Δa,b ∩𝕊, dla a,b ∈ℚ tworzą π–bazę, bo pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi jest liczba wymierna. Jednocześnie, jeśli B jest bazą w 𝕊, to na mocy lematu 1.1.13 możemy zakładać, że B ⊆ {Δx,y ∩𝕊: x,y ∈ ℝ}. Przypuśćmy, że |B | < 2ω. Wtedy istnieje takie z ∈ ℝ, które nie jest lewym końcem żadnego elementu z B. Wówczas zbiór otwarty Δz,z+1 nie może być sumą elementów rodziny B. To daje sprzeczność. Wynika stąd w szczególności, że waga przestrzeni ℝ×{0,1} z porządkiem leksykograficznym także jest równa 2ω. ♢

W każdej przestrzeni topologicznej są przynajmniej dwa zbiory domknięto-otwarte: zbiór pusty i cała przestrzeń. Przestrzeniom spójnym, czyli takim, w których są to jedyne zbiory domknięto-otwarte jest poświęcony rozdział 5.

Definicja 1.1.20 (przestrzeń spójna). Niepusta przestrzeń topologiczna X jest spójna, gdy nie ma w niej zbiorów domknięto-otwartych innych niż ∅ i X. Mówimy, że zbiór jest spójny, gdy jest podprzestrzenią spójną.

Przestrzeń, która nie jest spójna, jest nazywana niespójną. Przestrzeń dyskretna jest spójna tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa. Przestrzenie z topologią antydyskretną są spójne. Nieco mniej oczywisty przykład przestrzeni spójnej opiszemy za pomocą pojęcia filtru. Więcej na temat filtrów piszemy w Dodatku. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Niepustą rodzinę F ⊆ P (X) ∖{∅} nazywamy filtrem, gdy spełnione są warunki:

(a) jeśli A,B ∈ F , to A ∩B ∈ F ;

(b) jeśli A ⊆B ⊆X oraz A ∈ F , to B ∈ F .

Przykładem filtru w P(X), przy czym X jest zbiorem nieskończonym, jest

nazywany filtrem Frécheta na zbiorze X. Filtr F ⊆ P (X) nazywamy wolnym, gdy ⋂ F = ∅. Filtr Frécheta 𝔉X na zbiorze nieskończonym jest wolny, bo dla każdego x ∈X mamy X ∖{x}∈𝔉X, a więc ⋂ 𝔉X = ∅. Filtr F ⊆ P (X) nazywamy ultrafiltrem, gdy dla każdego A ⊆X zachodzi alternatywa: A ∈ F lub X ∖A ∈ F . Istnienie ultrafiltrów wolnych na zbiorze nieskończonym wynika z twierdzenia Tarskiego.

Przykład 1.1.21 (topologia zadana przez filtr). Niech X będzie zbiorem nieskończonym, a F ⊆ P (X) filtrem wolnym na X. Rodzina T = F ∪{∅} jest topologią na X. Faktycznie, X należy do filtru, a iloczyn dwóch elementów należących do filtru także do niego należy. Ponadto, jeśli R ⊆ F oraz U ∈ R , to U ⊆ ⋃ R, a więc ⋃ R ∈ F . Jeśli dodatkowo F jest ultrafiltrem, to dla każdego A ⊆X mamy A ∈ F lub X ∖A ∈ F , a zatem A ∈ T lub X ∖A ∈ T , tzn. każdy zbiór jest otwarty lub domknięty[14] . Ponieważ filtr nie może zawierać zbiorów rozłącznych, jedynymi zbiorami domknięto-otwartymi są X oraz ∅, a zatem przestrzeń (X,T) jest spójna. Ponadto każde dwa niepuste zbiory otwarte w topologii T mają przekrój niepusty. Jeśli F jest filtrem Frécheta, to zbiorami otwartymi w topologii F ∪{∅} są, oprócz zbioru pustego, dopełnienia zbiorów skończonych, czyli zbiory koskończone, przy czym ∅ uznajemy za zbiór skończony. Rodzina

jest zatem topologią na X, nazywaną topologią koskończoną. ♢

Ważnych przykładów przestrzeni spójnych dostarczają przestrzenie liniowo uporządkowane. Przypomnijmy, że zbiór liniowo uporządkowany (X,<) jest zupełny, gdy każdy jego niepusty podzbiór ograniczony, czyli zawarty w pewnym przedziale ograniczonym, ma kres górny i kres dolny. Porządek liniowy (X,<) jest gęsty, gdy (a,b)≠∅ dla dowolnych a,b ∈ X takich, że a < b. Mówimy, że porządek liniowy jest ciągły, gdy jest zupełny i gęsty.

Lemat 1.1.22. Jeśli (X,<) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, zbiór ∅≠A ⊆X jest domknięty w topologii porządkowej, a c = supA, to c ∈A.

Dowód. Jeśli c jest elementem największym zbioru A, to każdy przedział postaci (a,c] przecina zbiór A, a zatem c ∈ cl A = A. Załóżmy przypadek przeciwny i przypuśćmy, że c∉A. Ponieważ zbiór X∖A jest otwarty, to istnieją takie a,b ∈ X, że c ∈ (a,b) ⊆ X ∖ A. Wówczas a < c, a więc zgodnie z definicją kresu górnego istnieje takie x ∈ A, że a < x ≤ c < b. A zatem x ∈(a,b) ⊆X ∖A, co daje sprzeczność. □

Twierdzenie 1.1.23. Każda przestrzeń liniowo uporządkowana w sposób ciągły jest spójna. W szczególności przestrzeń ℝ z topologią naturalną, a także każdy przedział w zbiorze ℝ są spójne.

Dowód. Załóżmy, że (X,<) jest porządkiem ciągłym i przypuśćmy, że istnieje zbiór domknięto-otwarty U ⊆ X, różny od X oraz ∅. Wybierzmy a ∈ U oraz b ∈ X ∖ U. Możemy założyć, że a < b. Zbiór [a,b] ∩ U jest domknięty, a więc na mocy zupełności uporządkowania i lematu 1.1.22 istnieje c = sup([a,b]∩U) ∈[a,b]∩U. Ponieważ b∉U, to a ≤c < b. Skoro zbiór U jest otwarty, to istnieją takie x,y ∈ X, że c ∈ (x,y) ⊆ U. Stąd wynika, że (c,y) ⊆ [a,b] ∩U, bo y ≤ b, gdyż b∉U. Ponadto (c,y)≠∅, bo porządek na X jest gęsty. Lecz to jest sprzeczne z określeniem elementu c. □

2. Metryka, wnętrze i domknięcie zbioru

Niektóre przestrzenie topologiczne można opisać za pomocą metryki. Poświęcimy im cały następny rozdział. Tu przedstawimy jedynie najważniejsze pojęcia związane z metryką.

Definicja 1.2.1 (przestrzeń metryczna). Metryką na zbiorze X nazywamy funkcję d: X ×X →ℝ, która dla dowolnych x,y,z ∈X spełnia następujące warunki:

(a) d(x,y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y;

(b) d(x,y) = d(y,x);

(c) d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z).

Warunek (c) nazywany jest warunkiem trójkąta lub nierównością trójkąta. Zbiór X wraz z metryką d nazywamy przestrzenią metryczną i oznaczamy jako (X,d). Dla każdego x ∈X i każdej liczby 𝜀 > 0 zbiór

nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie x i promieniu 𝜀. Jeśli metryka w zbiorze X jest ustalona, to zamiast Bd(x,𝜀) piszemy krócej B(x,𝜀).

Zauważmy, że metryka przyjmuje tylko wartości nieujemne. Faktycznie, dla dowolnych x,y ∈X mamy

a więc d(x,y) ≥0. Na zbiorze X mogą istnieć różne metryki. W szczególności mamy metrykę dyskretną, która dana jest wzorem

Metryka dyskretna nazywana jest też metryką zero-jedynkową. Jeśli funkcja d jest metryką na zbiorze X, a Y ⊆ X, to funkcja d zacieśniona (obcięta) do zbioru Y jest metryką na zbiorze Y . Nazywamy ją metryką zacieśnioną lub obciętą do zbioru Y . W zbiorze ℝ liczb rzeczywistych określamy metrykę naturalną, która dla dowolnych x,y ∈ ℝ dana jest wzorem

(1.7)

Innym przykładem jest metryka euklidesowa na płaszczyźnie ℝ².

Przykład 1.2.2 (metryka euklidesowa). Odległość między punktami na płaszczyźnie ℝ² mierzymy długością odcinka łączącego te punkty. Jeśli więc punkt p ∈ ℝ² ma współrzędne (p₁,p₂), a punkt q ∈ ℝ² ma współrzędne (q₁,q₂), to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa odległość między tymi punktami wyraża się wzorem

Warunek trójkąta jest spełniony, bo w każdym trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków jest nie mniejsza od długości trzeciego boku. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy punkty leżą na jednej prostej. Pozostałe dwa warunki określające metrykę są oczywiste. Kulami otwartymi w sensie tej metryki są koła otwarte (bez brzegu, tzn. bez okręgu), bo przy powyższych oznaczeniach mamy

Z definicji metryki euklidesowej w ℝ² wynika, że jej zacieśnienie do prostej rzeczywistej, czyli zbioru tych punktów płaszczyzny, których druga współrzędna jest równa 0, pokrywa się z metryką naturalną w ℝ. ♢

W przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej metrykę definiujemy analogicznie. Kula w sensie tej metryki jest „prawdziwą” kulą w sensie geometrycznym. Więcej przykładów podamy w następnym rozdziale.

Twierdzenie 1.2.3. Jeśli (X,d) jest przestrzenią metryczną, to

jest topologią na X, której bazą jest rodzina

wszystkich kul otwartych w sensie metryki d.

Dowód. Aby wykazać, że T(X,d) jest topologią, wystarczy wykazać, że jeśli U,V ∈ T (X,d), to U ∩V ∈ T (X,d). Pozostałe dwa warunki są spełnione w oczywisty sposób. Faktycznie, jeśli x ∈U ∩V , to istnieją 𝜀₁ > 0 oraz 𝜀₂ > 0 takie, że Bd(x,𝜀₁) ⊆ U oraz Bd(x,𝜀₂) ⊆ V . Wówczas dla 𝜀 = min{𝜀₁,𝜀₂} mamy Bd(x,𝜀) ⊆U∩V . Pozostaje wykazać, że Bd(x,𝜀) są zbiorami otwartymi w topologii T(X,d). Ustalmy dowolne y ∈Bd(x,𝜀). Wtedy η = 𝜀−d(x,y) > 0, a więc dla każdego z ∈Bd(y,η) dostajemy

a zatem z ∈Bd(x,𝜀), czyli Bd(y,η) ⊆Bd(x,𝜀). □

Twierdzenie 1.2.3 prowadzi do kolejnej definicji.

Definicja 1.2.4 (topologia metryzowalna). Topologia T na zbiorze X jest metryzowalna, gdy istnieje taka metryka d na X, że T(X,d) = T.

Topologia naturalna na prostej ℝ jest metryzowalna za pomocą metryki naturalnej danej wzorem (1.7). Faktycznie, dla każdego 𝜀 > 0 mamy

a więc baza topologii porządkowej w ℝ jest taka sama jak baza wyznaczona przez kule w sensie metryki danej wzorem (1.7). Topologia dyskretna jest metryzowalna, bo w metryce dyskretnej wszystkie kule otwarte o promieniach mniejszych niż 1 są jednopunktowe. Pokażemy (p. przykład 1.2.7), że przestrzeń z jednym punktem skupienia nie jest metryzowalna, o ile jest nieprzeliczalna. Najpierw wprowadzimy dodatkowe pojęcie związane z bazą.

Definicja 1.2.5 (baza lokalna). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to B(x) ⊆ T nazywamy bazą lokalną lub bazą otoczeń w punkcie x, jeśli dla każdego zbioru otwartego U ∈ T zawierającego x istnieje takie V ∈ B (x), że x ∈ V ⊆ U. Zbiór otwarty zawierający dany punkt nazywamy otoczeniem tego punktu. Minimalną moc bazy lokalnej w punkcie x ∈ X nazywamy charakterem[15] w punkcie x i oznaczamy symbolem χ(X,x), tzn.

Suma baz lokalnych wszystkich punktów przestrzeni X jest bazą przestrzeni X. Ponadto dla każdego x ∈X mamy

(1.8)

przy czym, w niektórych przestrzeniach (np. dyskretnych) nierówność może być ostra.

Lemat 1.2.6. Przestrzenie metryzowalne mają charakter przeliczalny w każdym punkcie.

Dowód. Jeśli topologia przestrzeni X jest wyznaczona przez metrykę, to dla każdego x ∈ X rodzina kul {B(x,1 n): n ∈ ℕ} jest bazą lokalną w tym punkcie. Faktycznie, dla każdego zbioru otwartego U ⊆X oraz x ∈U istnieje 𝜀 > 0 takie, że B(x,𝜀) ⊆U. Wystarczy więc dobrać n takie, że 1n < 𝜀. □

Z lematu 1.2.6 wynika, że istnieją przestrzenie, które nie są metryzowalne.

Przykład 1.2.7 (przestrzeń niemetryzowalna). Jeśli κ > ω, to przestrzeń 𝔸(κ) (p. przykład 1.1.2) jest niemetryzowalna. Załóżmy, że |X|= κ, a x₀ jest jedynym punktem skupienia przestrzeni X. Przypuśćmy, że {Un: n ∈ ℕ} jest rodziną otoczeń punktu x₀. Ponieważ zbiory X ∖ Un są skończone, to zbiór ⋃ {X ∖Un: n ∈ ℕ} jest przeliczalny, a skoro zbiór X jest nieprzeliczalny, to istnieje z ∈ ⋂ {Un: n ∈ ℕ}∖{x₀}. Wówczas zbiór X ∖{z} jest otwarty i nie zawiera Un dla żadnego n ∈ ℕ, co daje sprzeczność. A zatem na mocy lematu 1.2.6 przestrzeń 𝔸(κ) nie jest metryzowalna. ♢

Wprowadzona przez Hausdorffa definicja[16] topologii została sformułowana za pomocą zadanego układu otoczeń.

Definicja 1.2.8 (układ otoczeń). Układem otoczeń na zbiorze X nazywamy taką rodzinę {B (x): x ∈X}, że ∅≠B(x) ⊆ P (X) dla każdego x ∈X i spełnione są następujące warunki:

(a) x ∈U dla każdego U ∈ B (x);

(b) jeśli y ∈U ∈ B (x), to istnieje takie V ∈ B (y), że V ⊆U;

(c) jeśli U,V ∈ B (x), to istnieje takie W ∈ B (x), że W ⊆U ∩V .

Wszystkie omawiane dotąd topologie można opisać za pomocą układu otoczeń, o czym mówi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.2.9. Jeśli {B (x): x ∈X}jest układem otoczeń na zbiorze X, to rodzina

jest topologią na zbiorze X. Ponadto rodzina

jest bazą topologii T, przy czym rodzina B(x) jest bazą otoczeń punktu x ∈X.

Dowód. Oczywiście, X ∈ T , bo B(x)≠∅ dla każdego x ∈ X oraz x ∈ U dla U ∈ B (x). Jeśli U₁,U₂ ∈ T oraz x ∈ U₁ ∩U₂, to istnieją takie V ₁,V ₂ ∈ B (x), że x ∈ V ₁ ⊆ U₁ oraz x ∈ V ₂ ⊆ U₂. Wówczas na mocy warunku (c) definicji 1.2.8 istnieje takie W ∈ B (x), że W ⊆ V ₁ ∩ V ₂. To oznacza, że W ⊆U₁ ∩U₂, a więc U₁ ∩U₂ ∈ T . Jeśli R ⊆ T , to oczywiście ⋃ R ∈ T . Z warunku (b) definicji układu otoczeń wynika, że B ⊆ T , a więc B jest bazą topologii T . □

W szczególności dla topologii naturalnej w zbiorze liczb rzeczywistych dla każdego x ∈ℝ można przyjąć B(x) = {(x −-1 n,x + 1 n): n ∈ℕ}. Topologię na zbiorze określamy często za pomocą układu otoczeń.

Przykład 1.2.10. Podobnie jak w przykładzie 1.1.21 wykorzystamy pojęcie filtru. Niech X będzie zbiorem nieskończonym, a F ⊆ P (X) filtrem wolnym. Jako układ otoczeń na zbiorze X ∪{F } przyjmijmy rodzinę

gdzie B(x) = {{x}} dla każdego x ∈X, a B(F) = {U ∪{F }: U ∈ F }. Nietrudno sprawdzić, że B jest układem otoczeń topologii na zbiorze X ∪{F }. Warunek (c) definicji układu otoczeń jest spełniony dzięki temu, że każdy filtr jest domknięty na skończone przekroje. Pozostałe dwa warunki są oczywiste. Zbiorami otwartymi w topologii wyznaczonej przez układ B są wszystkie podzbiory zbioru X oraz zbiory postaci U ∪{F }, gdzie U ∈ F . Stąd wynika, że przestrzeń ta (w odróżnieniu od przestrzeni z przykładu 1.1.21) jest zerowymiarowa. Przestrzeń 𝔸(κ) opisana w przykładzie 1.1.2 jest także przestrzenią postaci X ∪{F }, przy czym X = κ, a F jest filtrem Frécheta. ♢

We wprowadzonej przez Hausdorffa definicji przestrzeni topologicznej był dodatkowo postulat nazywany obecnie jego nazwiskiem.

Definicja 1.2.11 (przestrzeń Hausdorffa). Przestrzeń (X,T) nazywana jest przestrzenią Hausdorffa lub przestrzenią typu T₂, gdy dla każdych dwóch różnych punktów istnieją otoczenia rozłączne, tzn. jeśli x,y ∈X i x≠y, to istnieją takie Ux,Uy ∈ T , że x ∈Ux i y ∈Uy oraz Ux ∩Uy = ∅.

Jeśli (X,T) jest przestrzenią Hausdorffa, to mówimy, że topologia w X ma własność Hausdorffa lub że spełnia warunek Hausdorffa. Przestrzenie w dotychczas omawianych przykładach mają własność Hausdorffa, poza wspomnianą na początku przestrzenią antydyskretną (co najmniej dwupunktową) oraz przestrzenią z przykładu 1.1.21. Metodą indukcji matematycznej nietrudno wykazać, że każda skończona przestrzeń Hausdorffa jest dyskretna.

Lemat 1.2.12. Przestrzenie metryzowalne i przestrzenie liniowo uporządkowane mają własność Hausdorffa.

Dowód. Jeśli przestrzeń (X,T) jest metryzowalna, to istnieje taka metryka d na X, że T = T(X,d). Jeśli x,y ∈X są różne, to 𝜀 = d(x,y) > 0. Wówczas Ux = B(x,𝜀 2) i Uy = B(y,𝜀 2) są otoczeniami rozłącznymi punktów x i y. Faktycznie, gdyby z ∈B(x,𝜀 2) ∩B(y,𝜀 2), to mielibyśmy

Jeśli topologia przestrzeni X jest wyznaczona przez porządek liniowy <, a punkty x,y ∈ X są różne, to możemy założyć, że x < y. W przypadku gdy istnieje takie z ∈ X, że x < z < y, to wystarczy jako otoczenia rozłączne tych punktów przyjąć Ux = (←,z) oraz Uy = (z,→). W przeciwnym przypadku przyjmujemy Ux = (←,y) oraz Uy = (x,→). □

Klasę szerszą od przestrzeni Hausdorffa tworzą przestrzenie typu T₁.

Definicja 1.2.13 (przestrzenie typu T₁). Przestrzenie, w których podzbiory jednopunktowe są domknięte, nazywamy przestrzeniami typu T₁ lub T₁-przestrzeniami.

Przestrzenie typu T₁ zostały wprowadzone przez Riesza [408]. Przestrzenie Hausdorffa są typu T₁, bo jeśli y ∈ X ∖{x}, a Ux i Uy są otoczeniami rozłącznymi punktów x i y, to y ∈ Uy ⊆ X ∖{x}. Przestrzeń opisana w przykładzie 1.1.21 jest typu T₁, bo filtr F jest wolny wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera filtr Frécheta. Nie jest jednak przestrzenią Hausdorffa, bo każde dwa niepuste zbiory otwarte w tej przestrzeni się przecinają.

Klasę ogólniejszą od przestrzeni typu T₁ tworzą wprowadzone przez Kołmogorowa (p. Aleksandrow i Hopf [11]) przestrzenie typu T₀ nazywane też przestrzeniami Kołmogorowa.

Definicja 1.2.14 (przestrzenie typu T₀). Przestrzeń topologiczna X jest typu T₀ lub T₀-przestrzenią, gdy dla dowolnych dwóch różnych punktów zbioru X istnieje taki podzbiór otwarty zbioru X, który zawiera jeden z tych punktów, a nie zawiera drugiego.

Każda przestrzeń typu T₁ jest też typu T₀. Zauważmy, że jeśli przestrzeń typu T₀ jest zerowymiarowa, to jest typu T₁. Przykładem przestrzeni typu T₀, która nie jest typu T₁, jest przestrzeń X = {0,1}, w której jedynymi zbiorami otwartymi, oprócz X i ∅, jest zbiór jednopunktowy {0}. Przestrzenie typu T₀ spełniają naturalne oczekiwanie, by zbiory otwarte w pewnym sensie oddzielały punkty. Przestrzenie te mają zastosowania w takich działach matematyki jak informatyka teoretyczna, kombinatoryka i algebra[17] ; p. przykład 1.7.9. Dla przestrzeni typu T₀ prawdziwa jest następująca nierówność

(1.9)

Faktycznie, jeśli B jest bazą, to funkcja φ: X →P (B) dana wzorem

jest różnowartościowa, gdy X jest przestrzenią typu T₀. W szczególności każda przestrzeń typu T₀ z bazą przeliczalną ma co najwyżej 2 ω punktów. Oczywiście, przestrzenie z topologią antydyskretną mogą mieć dowolnie wiele puntów.

Oprócz metryki i porządku, sposobem wprowadzania topologii na zbiorze jest operacja wnętrza zbioru oraz dwoista do niej operacja domknięcia.

Definicja 1.2.15 (wnętrze i domknięcie zbioru). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to wnętrzem zbioru A ⊆X nazywamy zbiór

a domknięciem zbioru A nazywamy zbiór

Ponieważ suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to IntT A jest największym zbiorem otwartym zawartym w A. Podobnie, ponieważ iloczyn dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, to clT A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym A. Gdy nie zachodzi obawa o nieporozumienie, na przykład wtedy, gdy na danym zbiorze jest ustalona topologia, to zamiast IntT A piszemy krótko IntA, a zamiast clT A piszemy[18] cl A. Jednak niekiedy, gdy chcemy podkreślić, że topologia jest określona na zbiorze X, zamiast krótkiego IntA oraz cl A piszemy odpowiednio IntXA oraz clXA.

Jeśli Y ⊆X, a T jest topologią na X, to topologia T ↾Y dziedziczona z X na Y wyraża się wzorem T ↾Y = {U ∩Y : U ∈ T }. Stąd wynika, że domknięcie w podprzestrzeni wyraża się wzorem

(1.10)

Twierdzenie 1.2.16. Dla każdej przestrzeni topologicznej X i dla dowolnych zbiorów A,B ⊆X zachodzą następujące wzory:

(1) IntA = A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest otwarty;

(2) cl A = A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest domknięty;

(3) IntX = cl X = X oraz Int∅= cl ∅= ∅;

(4) IntA ⊆A ⊆cl A;

(5) jeśli A ⊆B, to IntA ⊆IntB oraz cl A ⊆cl B;

(6) Int(A ∩B) = IntA ∩IntB oraz cl(A ∪B) = cl A ∪cl B;

(7) Int(IntA) = IntA oraz cl(cl A) = cl A.

Dowód. Warunki (1) i (2) wynikają z tego, że suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, a przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Warunek (3) wynika z faktu, że zbiory X i ∅ są domknięto-otwarte. Dla dowodu warunku (4) wystarczy zauważyć, że jeśli wszystkie zbiory rodziny R są zawarte w A, to zbiór ⋃ R jest także zawarty w A, a jeśli zbiór A zawiera się w każdym elemencie rodziny R, to zawiera się w ⋂ R. Jeśli A ⊆B, to

i podobnie

bo {F ⊆X: B ⊆F oraz X ∖F ∈ T }⊆{F ⊆X: A ⊆F oraz X ∖F ∈ T }. To dowodzi warunku (5), z którego w szczególności wynika, że Int(A ∩B) ⊆ IntA oraz Int(A ∩B) ⊆ IntB, bo A ∩B ⊆ A oraz A ∩B ⊆ B. To daje inkluzję Int(A ∩B) ⊆IntA ∩IntB. Inkluzja przeciwna wynika z warunku (4) i z tego, że IntA ∩IntB jest zbiorem otwartym. To dowodzi pierwszej części warunku (6). Dowód drugiej części jest analogiczny. Warunek (7) wynika z warunków (1) i (2) oraz z tego, że IntA jest zbiorem otwartym, a cl A jest zbiorem domkniętym. □

Z warunku (5) powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli U ⊆X jest zbiorem otwartym, to dla każdego zbioru A ⊆X mamy

(1.11)

Faktycznie, jeśli U ∩A = ∅, to A ⊆X ∖U, a więc cl A ⊆cl(X ∖U) = X ∖U, bo X ∖U jest zbiorem domkniętym.

Operację domknięcia wprowadził Kuratowski [294] w 1922 r. Została ona zdefiniowana aksjomatycznie jako operacja, która każdemu zbiorowi przyporządkowuje jego domknięcie w taki sposób, że domknięcie sumy jest sumą domknięć, każdy zbiór jest zawarty w swoim domknięciu, domknięcie zbioru pustego jest puste, a domknięcie domknięcia zbioru jest równe jego domknięciu. Domknięcie można więc rozumieć jako aksjomatyczny opis intuicyjnego pojęcia punktów dowolnie bliskich danego zbioru. Zgodnie z intuicją liczby niewymierne znajdują się dowolnie blisko zbioru liczb wymiernych, choć do niego nie należą.

Twierdzenie 1.2.17 (twierdzenie Kuratowskiego). Załóżmy, że funkcja Φ: P(X) → P (X) spełnia dla dowolnych A,B ⊆ X następujące warunki:

(1) Φ(∅) = ∅,

(2) A ⊆Φ(A),

(3) Φ(A ∪B) = Φ(A) ∪Φ(B),

(4) Φ(Φ(A)) = Φ(A).

Wówczas rodzina T = {X ∖A ⊆X: Φ(A) = A} jest topologią na X oraz clT A = Φ(A) dla każdego A ⊆X.

Dowód. Z warunku (1) wynika, że X ∈ T . Natomiast z warunku (3) i praw de Morgana wynika, że jeśli U,V ∈ T , to U ∩V ∈ T . Z (3) wynika, że

(∗)

bo jeśli A ⊆B, to A ∪B = B, czyli Φ(B) = Φ(A ∪B) = Φ(A) ∪Φ(B). To oznacza, że Φ(A) ⊆Φ(B). Dla dowodu, że T jest topologią ustalmy dowolną rodzinę R ⊆ T . Zachodzi równość ⋃ R= X ∖⋂ {X ∖U : U ∈ R }, a zatem, aby wykazać, że ⋃ R ∈ T wystarczy sprawdzić, że

Z warunku (∗) dostajemy Φ(⋂ {X ∖U : U ∈ R }) ⊆Φ(X ∖U) = X ∖U, bo Φ(X ∖U) = X ∖U dla każdego U ∈ R , a zatem

Inkluzja odwrotna wynika z warunku (2).

Pozostaje sprawdzić, że clT A = Φ(A) dla każdego A ⊆ X. Z warunku (4) wynika, że Φ(A) jest zbiorem domkniętym w sensie topologii T dla każdego A ⊆ X. Stąd na mocy warunku (2) dostajemy clT A ⊆ Φ(A). Jednocześnie na mocy warunku (∗) mamy Φ(A) ⊆Φ(clT A) = clT A, bo clT A jest zbiorem domkniętym oraz A ⊆ clT A. Otrzymana równość kończy dowód. □

Dwoistość operacji wnętrza i domknięcia widoczna w twierdzeniu 1.2.16 wynika z praw de Morgana. Związek między nimi wyjaśnia kolejny lemat.

Lemat 1.2.18. W każdej przestrzeni topologicznej X dla każdego zbioru A ⊆X prawdziwe są następujące równości

(1.12)

Dowód. Z inkluzji X ∖A ⊆ cl(X ∖A) wynika, że X ∖cl(X ∖A) ⊆ A. Skoro zbiór po lewej stronie inkluzji jest otwarty, to X ∖cl(X ∖A) ⊆ IntA. Jednocześnie mamy IntA ⊆ A, a zatem X ∖A ⊆ X ∖IntA, przy czym zbiór po prawej stronie inkluzji jest domknięty, a więc cl(X ∖A) ⊆X ∖IntA. Stąd otrzymujemy inkluzję IntA ⊆ X ∖cl(X ∖A), która dowodzi pierwszej części lematu. Dowód drugiej części lematu jest analogiczny. □

Z twierdzenia 1.2.16 wynika, że dwukrotne zastosowanie operacji domknięcia lub wnętrza nie daje nowego zbioru. Stosując na przemian operacje wnętrza i domknięcia ustalonego zbioru od pewnego momentu także nie otrzymujemy już nowych zbiorów.

Lemat 1.2.19. W każdej przestrzeni topologicznej X i dla dowolnego zbioru A ⊆X zachodzą następujące równości

Dowód. Zauważmy, że Intcl IntA ⊆cl IntA, a więc

Inkluzja przeciwna wynika z tego, że IntA ⊆ cl IntA, czyli IntA ⊆ Intcl IntA, a więc cl IntA ⊆ cl Intcl IntA. To kończy dowód pierwszej równości. Drugą dowodzimy analogicznie. □

Z lematu 1.2.19 wynika, że za pomocą operacji wnętrza i domknięcia ustalonego zbioru można otrzymać, łącznie z nim samym, co najwyżej 7 różnych zbiorów. Są to następujące zbiory:

Nietrudno wskazać podzbiór zbioru ℝ liczb rzeczywistych z topologią naturalną, który to realizuje. Jest nim na przykład zbiór

Lemat 1.2.19 jest motywacją dla następującej definicji.

Definicja 1.2.20 (zbiory regularnie otwarte, regularnie domknięte). Zbiór U ⊆ X jest regularnie otwarty w przestrzeni X, gdy Intcl U = U, a F ⊆ X jest regularnie domknięty, gdy cl IntF = F. Rodzinę wszystkich podzbiorów regularnie otwartych w przestrzeni X oznaczamy jako RO(X), a rodzinę wszystkich podzbiorów regularnie domkniętych jako RC(X).

Zbiory regularnie otwarte i regularnie domknięte[19] zostały wprowadzone w 1922 r. przez Kuratowskiego [294] i odgrywają ważną rolę w topologii i teorii mnogości. Zauważmy, że elementy rodziny RO(X) są zbiorami otwartymi, a elementy rodziny RC(X) zbiorami domkniętymi.

Lemat 1.2.21. Jeśli U ∈RO(X), to X∖U ∈RC(X), a jeśli F ∈RC(X), to X ∖F ∈RO(X).

Dowód. Załóżmy, że zbiór U ⊆X jest regularnie otwarty. Wówczas na mocy lematu 1.2.18 zachodzi równość U = Intcl U = X ∖cl(X ∖cl U), a więc X ∖U = cl(X ∖cl U). Jednocześnie na mocy tego samego lematu mamy

a więc cl Int(X ∖U) = X ∖U. Drugą część tezy dowodzi się analogicznie. □

Z lematu 1.2.19 wynika następujący wniosek.

Wniosek 1.2.22. Jeśli F jest zbiorem domkniętym, a U zbiorem otwartym, to IntF ∈RO(X), a cl U ∈RC(X).

Dowód. Faktycznie, skoro cl F = F, to

co kończy dowód. □

Domknięcie iloczynu zbiorów nie jest tym samym, co iloczyn ich domknięć. Widać to w przestrzeni ℝ na przykładzie dwóch przedziałów otwartych stykających się końcami. To samo dotyczy wnętrza sumy zbiorów. Zachodzi jednak następujący ważny związek między tymi operacjami.

Twierdzenie 1.2.23. Jeśli zbiory U,V ⊆X są otwarte, to

Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego zbioru otwartego U ⊆X i dowolnego zbioru A ⊆X prawdziwa jest inkluzja

(∗)

Faktycznie, A ⊆(A ∩U) ∪(X ∖U), a więc

bo zbiór X ∖U jest domknięty. Stąd zaś cl A ∩U ⊆cl(A ∩U). Z warunku (∗) wynika, że dla dowolnych zbiorów otwartych U,V ⊆X mamy

Podobnie mamy też V ∩Intcl U ⊆Intcl(U ∩V ). Korzystając z lematu 1.2.19, dostajemy więc

To kończy dowód, bo inkluzja przeciwna wynika w oczywisty sposób z monotoniczności operacji wnętrza i domknięcia. □

Wniosek 1.2.24. Jeśli U,V ∈RO(X), to U ∩V ∈RO(X).

Dla sumy zbiorów odpowiednik wniosku 1.2.24 nie zachodzi, co widać na przykładzie dwóch stykających się przedziałów otwartych. Wnętrze i domknięcie można też opisać w terminach otoczeń.

Lemat 1.2.25. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to dla każdego zbioru A ⊆X i każdego punktu x ∈X zachodzą następujące warunki:

(1) x ∈ IntA wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu x, że U ⊆A;

(2) x ∈cl A wtedy i tylko wtedy, gdy U ∩A≠∅ dla każdego otoczenia U ⊆X punktu x.

Dowód. Faktycznie, punkt należy do wnętrza zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do sumy wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A, a więc gdy należy do pewnego zbioru otwartego zawartego w A. Z kolei punkt nie należy do domknięcia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy do pewnego zbioru domkniętego zawierającego A. A zatem punkt nie należy do domknięcia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do pewnego zbioru otwartego rozłącznego z A. □

Z wnętrzem i domknięciem zbioru wiąże się pojęcie brzegu zbioru.

Definicja 1.2.26 (brzeg). Brzegiem zbioru A ⊆ X nazywamy zbiór[20]

(1.13)

Punkt x należy zatem do brzegu zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy każde jego otoczenie przecina zarówno A, jak i X ∖A. Ponieważ na mocy wzoru (1.12) mamy cl A = X ∖Int(X ∖A) oraz cl(X ∖A) = X ∖IntA, to na mocy prawa de Morgana dostajemy X ∖BdA = (X ∖cl A) ∪(X ∖cl(X ∖A)), a więc

(1.14)

Ponieważ (p. wzór (1.12)) cl(X ∖A) = X ∖IntA, to mamy też

(1.15)

Ze wzoru (1.13) wynika, że brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym i jest taki sam jak brzeg jego dopełnienia oraz że

(1.16)

Faktycznie, jeśli x ∈cl A i x∉A, to x ∈cl A ∩(X ∖A) ⊆cl A ∩cl(X ∖A) = BdA. Inkluzja odwrotna jest oczywista, bo A ⊆cl A oraz BdA ⊆cl A.

Lemat 1.2.27. Zbiór U ⊆ X jest domknięto-otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy BdU = ∅.

Dowód. Jeśli BdU = cl U ∩cl(X ∖U) = ∅, to na mocy wzoru (1.12) mamy U ⊆cl U ⊆X ∖cl(X ∖U) = IntU ⊆U, a więc U = cl U = IntU. Zbiór U jest zatem domknięto-otwarty. Implikacja odwrotna jest oczywista. □

Przypomnijmy, że punkt skupienia przestrzeni to taki punkt, który nie jest izolowany. Relatywizując to pojęcie do podprzestrzeni i korzystając z lematu 1.2.25, otrzymujemy następującą definicję.

Definicja 1.2.28 (pochodna zbioru). Punkt x ∈X nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeśli U∩(A∖{x})≠∅dla każdego otoczenia U ⊆X punktu x, tzn. gdy x ∈cl(A∖{x}). Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A ⊆X oznaczamy symbolem Ad i nazywamy pochodną[21] zbioru A. Punkt, który nie jest punktem skupienia całej przestrzeni, nazywamy izolowanym.

Z definicji wynika, że przestrzeń X jest w sobie gęsta, gdy Xd = X, a przestrzeń X jest dyskretna, gdy Xd = ∅.

Lemat 1.2.29. Operacja pochodnej ma następujące własności:

(1) cl A = A ∪Ad;

(2) jeśli A ⊆B, to Ad ⊆Bd;

(3) (A ∪B)d = Ad ∪Bd.

Lemat 1.2.29 łatwo wynika z definicji i z lematu 1.2.25. Pozostawiamy go więc bez dowodu. W przestrzeniach metrycznych domknięcie zbioru i pochodną zbioru można opisać za pomocą granic ciągów.

Definicja 1.2.30 (granica ciągu). Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to mówimy, że x₀ ∈ X jest granicą ciągu (xn)n=1∞ ⊆ X i piszemy[22] , że

gdy każde otoczenie punktu x₀ zawiera wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1∞ z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu, tzn. gdy dla każdego otoczenia U punktu x₀ istnieje takie n₀ ∈ℕ, że xn ∈U dla każdego n > n₀.

Jeśli ciąg ma granicę, to mówimy, że jest zbieżny[23] . Zauważmy, że żadna skończona liczba elementów ciągu nie ma wpływu na jego granicę.

Lemat 1.2.31. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to granica, o ile istnieje, jest dokładnie jedna.

Faktycznie, w przestrzeniach Hausdorffa różne punkty mają otoczenia rozłączne, a więc jest niemożliwe, aby obydwa zawierały wszystkie wyrazy ciągu poza skończenie wieloma. Ciąg stały to taki ciąg (xn)n=1∞, dla którego istnieje x₀ ∈X o tej własności, że xn = x₀ dla każdego n ∈ℕ. Jeśli istnieje takie k ∈ℕ, że xn = x₀ dla każdego n ≥k, to taki ciąg (xn)n=1∞ nazywamy ciągiem prawie stałym. Każdy ciąg prawie stały jest zbieżny, a ponadto granica tego ciągu jest równa x₀. Zauważmy, że punkt izolowany może być granicą tylko ciągu prawie stałego. W przestrzeniach dyskretnych zatem jedyne ciągi zbieżne to ciągi prawie stałe. Istnieją jednak przestrzenie Hausdorffa (patrz poniższy przykład), które nie są dyskretne, a nie zawierają ciągów zbieżnych poza ciągami prawie stałymi.

Przykład 1.2.32. Niech F ⊆ P (ℕ) będzie ultrafiltrem i niech (xn)n=1∞ będzie ciągiem w przestrzeni X = ℕ ∪ {F } opisanej w przykładzie 1.2.10. Przypuśćmy, że ciąg (xn)n=1∞ jest zbieżny. Jeśli nie jest prawie stały, to żaden z punktów zbioru ℕ nie może być jego granicą, bo punkty zbioru ℕ są izolowane. Możemy więc z ciągu (xn)n=1∞ wybrać taki podciąg (xnk)k=1∞ ⊆ ℕ, że xnk≠xnl dla k≠l. To oznacza, że bez straty ogólności możemy założyć, że lim n→∞xn = F oraz xn≠xm dla n≠m. Ponieważ otoczenia punktu F są postaci U ∪{F }, gdzie U ∈ F , to N = {xn: n ∈ ℕ} ∈ F , bo każdy element filtru F przecina N. Niech A = {x2n: n ∈ ℕ} oraz B = {x2n−1: n ∈ ℕ}. Ponieważ A∪B = N, a F jest ultrafiltrem, to albo A ∈ F , albo B ∈ F . Jeśli A ∈ F , to U = A ∪{F } jest otoczeniem punktu F, które jest rozłączne ze zbiorem B. Podobnie, jeśli B ∈ F , to U = B ∪{F } jest otoczeniem punktu F rozłącznym ze zbiorem A, a zatem (xn)n=1∞ nie może być zbieżny do F. ♢

Lemat 1.2.33. Załóżmy, że X jest przestrzenią topologiczną, w której dla punktu x ∈ X zachodzi równość χ(X,x) = ω. Jeśli A ⊆ X, to x ∈ Ad wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki ciąg (xn)n=1∞ ⊆ A ∖{x}, że lim n→∞xn = x. Ponadto x ∈cl A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki ciąg (xn)n=1∞ ⊆A, że lim n→∞xn = x.

Dowód. Na mocy definicji charakteru przestrzeni w punkcie istnieje taka rodzina {Un: n ∈ℕ} otoczeń puntu x, że dla każdego zbioru otwartego U ⊆X zawierającego x istnieje takie n ∈ℕ, że x ∈Un ⊆U. Jeśli x ∈ Ad, to (A ∖ {x}) ∩ U≠∅ dla każdego otoczenia U punktu x. Wybierzmy xn ∈(A∖{x})∩U₁ ∩…∩Un dla n ∈ℕ. Wówczas każde otoczenie punktu x zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1∞ ⊆A∖{x}, a więc lim n→∞xn = x. Implikacja odwrotna jest oczywista. Druga część lematu wynika z tego, że ciągi stałe są zbieżne, a każdy punkt domknięcia zbioru, który nie jest jego elementem, musi być jego punktem skupienia. □

Przykład 1.2.32 pokazuje, że nie każdy punkt domknięcia zbioru musi być granicą ciągu. To uzasadnia następującą definicję[24] .

Definicja 1.2.34 (przestrzeń Frécheta–Urysohna). Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Frécheta–Urysohna, jeśli dla każdego zbioru A ⊆ X i każdego punktu x ∈ cl A istnieje taki ciąg (xn)n=1∞ ⊆ A, że lim n→∞xn = x.

Ciągi stałe są zbieżne, a zatem w powyższej definicji istotne są punkty skupienia zbioru A. Przestrzeń z przykładu 1.2.32 nie jest przestrzenią Frécheta–Urysohna, bo w tym przykładzie punkt F leży w domknięciu zbioru ℕ, ale nie jest granicą żadnego ciągu. Z lematu 1.2.33 wynika następujący wniosek.

Lemat 1.2.35. Jeśli w każdym punkcie przestrzeni X charakter jest przeliczalny, to X jest przestrzenią Frécheta–Urysohna.

Istnieją przestrzenie Frécheta–Urysohna, które nie w każdym punkcie mają bazę przeliczalną.

Przykład 1.2.36. Niech X = (ℕ ×ℕ) ∪{x₀}, przy czym x₀∉ℕ ×ℕ. Dla każdej funkcji f ∈ℕℕ przyjmijmy

Rozważmy w zbiorze X topologię, w której punkty zbioru ℕ ×ℕ są izolowane, a baza otoczeń punktu x₀ jest postaci {Uf: f ∈ℕℕ}. Załóżmy, że A ⊆X jest zbiorem nieskończonym, którego punktem skupienia jest x₀. Ponieważ punkty należące do ℕ ×ℕ są izolowane, to A nie może mieć innych punktów skupienia. Wówczas

(∗)

W przeciwnym przypadku dla funkcji danej wzorem

dostajemy Uf ∩A = ∅, co daje sprzeczność. Z warunku (∗) wynika, że jeśli przyjmiemy a₁ = (n₀,min{k ∈ℕ: (n₀,k) ∈A}) oraz

dla n > 1, to dostajemy lim n→∞an = x₀. Stąd wynika, że X jest przestrzenią Frécheta–Urysohna.

Zauważmy, że w punkcie x₀ nie istnieje baza przeliczalna. Faktycznie, dla każdej rodziny {V n: n ∈ℕ} otoczeń punktu x₀ istnieje taka rodzina funkcji {fn: n ∈ℕ}⊆ℕℕ, że Ufn ⊆V n dla każdego n ∈ℕ. Zdefiniujmy funkcję f : ℕ →ℕ następującym wzorem: f(n) = max{fk(n): k ≤n}+ 1. Wówczas dla każdego n ∈ ℕ dostajemy V n ⊈ Uf. W przeciwnym przypadku dla pewnego n ∈ ℕ dostajemy Ufn ⊆Uf, a więc w szczególności (n,fn(n)) ∈Uf, co daje sprzeczność, bo zgodnie z definicją funkcji f mamy f(n) > fn(n). Stąd wynika, że χ(X,x₀) ≥ω₁[25] . ♢

Przypomnijmy fakt dobrze znany z elementarnego wykładu analizy matematycznej. W przestrzeni ℝ liczb rzeczywistych ciąg (xn)n=1∞ jest zbieżny do liczby g ∈ℝ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek

(1.17)

Nierówność |xn −g|< 𝜀 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xn ∈(g −𝜀,g + 𝜀). Warunek (1.17) jest zatem równoważny temu, że dla każdego 𝜀 > 0 kula (w sensie metryki naturalnej) o promieniu 𝜀 zawiera od pewnego miejsca począwszy wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1∞. Stąd wynika następująca charakteryzacja zbieżności ciągu w przestrzeni metrycznej.

Lemat 1.2.37. Jeśli (X,d) jest przestrzenią metryczną, to dla każdego ciągu (xn)n=1∞ ⊆X oraz punktu x₀ ∈X zachodzi następująca równoważność

Dowód. Rodzina {Bd(x₀,n⁻¹): n ∈ ℕ} jest bazą lokalną w punkcie x₀. Dla każdego x ∈X mamy ponadto: x ∈Bd(x₀,n⁻¹) wtedy i tylko wtedy, gdy d(x₀,x) < n⁻¹. To wystarczy, by udowodnić lemat, bo lim n→∞n⁻¹ = 0. □

W przestrzeniach metrycznych oprócz odległości między punktami można także określić odległość punktów od zbiorów.

Definicja 1.2.38 (odległość punktu od zbioru). Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Odległość punktu x ∈X od zbioru niepustego A ⊆X dana jest wzorem

Zauważmy, że jeśli x ∈A, to dist(x,A) = 0, bo d(x,x) = 0. Za pomocą pojęcia odległości punktu od zbioru można opisać operację domknięcia.

Lemat 1.2.39. Jeśli A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej, to x ∈cl A wtedy i tylko wtedy, gdy dist(x,A) = 0.

Dowód. Faktycznie, inf{d(x,a): a ∈ A} = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego 𝜀 > 0 istnieje takie a ∈ A, że d(x,a) < 𝜀, a to oznacza, że A ∩Bd(x,𝜀)≠∅. Na mocy lematu 1.2.25(2) mamy więc dist(x,A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈cl A. □

3. Funkcje ciągłe, homeomorfizmy

W algebrze z każdą strukturą związane jest pojęcie homomorfizmu, czyli funkcji zachowującej operacje algebraiczne. Podobnie jest w topologii, gdzie z przestrzeniami topologicznymi związane są funkcje ciągłe, czyli funkcje, które zachowują operację domknięcia[26] ; p. warunek (4) twierdzenia 1.3.2.

Definicja 1.3.1 (funkcja ciągła). Funkcja f : X → Y z przestrzeni X w przestrzeń Y jest ciągła, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X. Jeśli ponadto f jest surjekcją, to mówimy, że Y jest obrazem ciągłym przestrzeni X. Funkcje ciągłe nazywamy też odwzorowaniami ciągłymi lub przekształceniami ciągłymi. Zbiór funkcji ciągłych z X w Y oznaczamy symbolem C(X,Y ) lub krótko C(X), gdy Y = ℝ.

Każda funkcja określona na przestrzeni dyskretnej jest ciągła. Podobnie, każda funkcja o wartościach w przestrzeni antydyskretnej także jest ciągła. Funkcje stałe są ciągłe, bo przeciwobraz poprzez taką funkcję dowolnego zbioru jest albo zbiorem pustym, albo całą przestrzenią. Mniej oczywiste przykłady funkcji ciągłych poprzedzimy kryteriami ciągłości.

Twierdzenie 1.3.2 (kryteria ciągłości). Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, a f : X →Y , to następujące warunki są równoważne:

(1) funkcja f jest ciągła;

(2) w przestrzeni Y istnieje taka podbaza P, że zbiór f⁻¹[U] jest otwarty dla każdego U ∈ P ;

(3) dla każdego x ∈ X i każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ⊆V ;

(4) dla każdego A ⊆X zachodzi f[cl A] ⊆cl f[A];

(5) dla każdego B ⊆Y zachodzi cl f⁻¹[B] ⊆f⁻¹[cl B];

(6) dla każdego B ⊆Y zachodzi f⁻¹[IntB] ⊆Intf⁻¹[B];

(7) przeciwobraz każdego zbioru domkniętego w Y jest domknięty w X.

Dowód. Implikacja (1) ⇒ (2) jest oczywista, bo rodzina wszystkich zbiorów otwartych jest także podbazą. Aby wykazać implikację (2) ⇒ (3) ustalmy podbazę P, dla której spełniony jest warunek (2). Wówczas dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieją takie zbiory V ₁,V ₂,…,V n ∈ P , że f(x) ∈ V ₁ ∩V ₂ ∩… ∩V n ⊆ V . Wtedy U = f⁻¹[V ₁] ∩f⁻¹[V ₂] ∩… ∩f⁻¹[V n] jest zbiorem otwartym zawierającym punkt x oraz

Dla dowodu implikacji (3) ⇒ (4) ustalmy zbiór A i taki punkt x, że f(x)∉cl f[A]. Wówczas V ∩f[A] = ∅ dla pewnego otoczenia V punktu f(x). Na mocy warunku (3) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ⊆V. Skoro V ∩f[A] = ∅, to U ∩A = ∅, a więc x∉cl A.

Implikacja (4) ⇒(5) wynika z tego, że jeśli f[cl A] ⊆cl f[A] dla każdego A ⊆X, to

a więc cl f⁻¹[B] ⊆f⁻¹[cl B]. W dowodzie implikacji (5) ⇒(6) zastosujemy lemat 1.2.18. Dostajemy wówczas

Do dowodu implikacji (6) ⇒ (5) także stosujemy lemat 1.2.18. Dostajemy

Jeśli B ⊆ Y jest zbiorem domkniętym, to na mocy warunku (5) mamy cl f⁻¹[B] ⊆ f⁻¹[cl B] = f⁻¹[B], a więc f⁻¹[B] jest zbiorem domkniętym. Warunek (5) implikuje zatem warunek (7). Oczywiście warunek (7) pociąga warunek (1), bo dla każdego zbioru U mamy f⁻¹[Y ∖U] = X ∖f⁻¹[U]. Mając komplet implikacji, możemy uznać, że twierdzenie zostało udowodnione. □

W związku z warunkiem (3) twierdzenia 1.3.2 rozważa się też pojęcie ciągłości w punkcie.

Definicja 1.3.3 (ciągłość w punkcie). Funkcja f : X → Y jest ciągła w punkcie x ∈ X, gdy dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ⊆ V . Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy symbolem C(f).

Funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Na przykład funkcja, która każdej liczbie dodatniej przyporządkowuje 1, każdej liczbie ujemnej −1, a w zerze ma wartość 0, jest ciągła w każdym punkcie oprócz zera, ale nie jest ciągła jako funkcja z ℝ w ℝ.

Z ciągłością wiąże się pojęcie topologii ilorazowej, czyli topologii w zbiorze klas abstrakcji względem relacji równoważności. Jeśli ≡ jest relacją równoważności (p. Dodatek) na zbiorze X, to X/≡ oznacza zbiór wszystkich klas abstrakcji (klas równoważności) względem relacji ≡, czyli zbiorów postaci [x]≡ = {y ∈ X: y ≡ x}, gdzie x ∈ X. Wtedy funkcję q ≡: X → X/≡ daną wzorem

nazywamy projekcją lub ilorazowaniem. Zauważmy, że jeśli f : X →Y jest funkcją, a T jest topologią w X, to rodzina {U ⊆Y : f⁻¹[U] ∈ T } jest topologią w Y .

Definicja 1.3.4 (topologia ilorazowa). Jeśli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, a ≡ jest relacją równoważności na zbiorze X, to topologią ilorazową w przestrzeni X/≡ nazywamy topologię złożoną ze wszystkich tych zbiorów U ⊆ X/≡, dla których q≡⁻¹[U] jest zbiorem otwartym. Zbiór X/≡ wraz z tą topologią nazywamy przestrzenią ilorazową.

Wprost z tej definicji wynika, że odwzorowanie ilorazowe jest ciągłe. Topologia ilorazowa jest w istocie największą topologią w zbiorze klas abstrakcji, przy której projekcja jest ciągła. Przestrzenie ilorazowe pojawiają się w topologii bardzo często, szczególnie w zagadnieniach geometrycznych topologii. Zauważmy, że rodzina R= {[x]≡: x ∈X} jest rozbiciem przestrzeni X, czyli taką rodziną parami rozłącznych podzbiorów zbioru X, które w sumie dają X. Każde rozbicie R określa relację równoważności wzorem

Przestrzeń ilorazową oznaczamy wówczas symbolem X/R, związaną z nią projekcję zapisujemy jako q R : X →X/R. W szczególnym przypadku, gdy wszystkie elementy rozbicia, oprócz jednego, są jednoelementowe, tzn. gdy R= {F}∪{{x}: x ∈X ∖F} dla pewnego F ⊆X, to zamiast X/R piszemy X/F. Łatwo zauważyć, że jeśli X jest przestrzenią typu T₁, a F jest zbiorem domkniętym, to przestrzeń X/F jest także typu T₁.

Przykład 1.3.5. Rozważmy przestrzeń

z topologią dziedziczoną z płaszczyzny ℝ²; p. przykład 1.2.2. Przestrzeń X składa się więc z pionowych odcinków długości 1 na płaszczyźnie wystawionych w punktach[27] o pierwszej współrzędnej będącej liczbą naturalną. Przyjmijmy F = {(n,0): n ∈ ℕ}. Wówczas przestrzeń ilorazowa X/F jest wynikiem sklejenia wszystkich punktów naturalnych na osi x-ów do jednego punktu y₀ = F. Zbiór F jest domknięty w X, a wszystkie klasy abstrakcji z wyjątkiem zbioru F są jednoelementowe. Stąd wynika, że X/F jest przestrzenią Hausdorffa. Z definicji przestrzeni X/F wynika, że otoczeniami punktu y₀ są zbiory postaci {y₀}∪V , przy czym V ⊆ X jest zbiorem otwartym zawierającym F. Otoczenia (bazowe) punktu 0 na odcinku [0,1] są postaci [0,a), przy czym a ∈ (0,1). Stąd wynika, że otoczenia bazowe punktu y₀ mają postać

przy czym a = (an)n=1∞ jest dowolnym ciągiem punktów przedziału (0,1). ♢

Przedstawimy później inne jeszcze przykłady przestrzeni ilorazowych[28] ; p. przykład 1.5.14 (długa linia), a także przykład 1.6.7 (grupa okręgu). W przypadku przestrzeni metrycznych kryterium ciągłości można sformułować w terminach ciągów zbieżnych.

Twierdzenie 1.3.6 (kryterium Heinego). Jeśli X i Y są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja f : X → Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego (xn)n=1∞ ⊆ X ciąg (f(xn))n=1∞ jest zbieżny i zachodzi równość

Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła oraz lim n→∞xn = x ∈X. Na mocy twierdzenia 1.3.2(3) dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje takie otoczenie U punktu x, że f[U] ⊆V . Skoro U zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (xn)n=1∞, to V zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (f(xn))n=1∞, a więc lim n→∞f(xn) = f(x).

W dowodzie implikacji odwrotnej skorzystamy z twierdzenia 1.3.2(4). Wykażemy, że jeśli x ∈cl A, to f(x) ∈cl f[A]. Na mocy lematu 1.2.33 istnieje taki ciąg (xn)n=1∞ ⊆ A, że lim n→∞xn = x. Wówczas ciąg (f(xn))n=1∞ jest zbieżny oraz lim n→∞f(xn) = f(x). A zatem f(x) ∈ cl f[A], bo (f(xn))n=1∞ ⊆f[A]. □

Na mocy lematu 1.2.37 dla każdego ciągu (xn)n=1∞ punktów przestrzeni (X,d) mamy lim n→∞xn = x wtedy i tylko wtedy, gdy lim n→∞d(xn,x) = 0. Stąd i z twierdzenia 1.3.6 otrzymujemy następujący wniosek.

Wniosek 1.3.7. Jeśli (X,d) i (Y,ρ) są przestrzeniami metrycznymi i istnieje taka stała L, że

(1.18)

dla dowolnych x,y ∈X, to funkcja f : X →Y jest ciągła.

Jest to znane twierdzenie analizy matematycznej mówiące, że funkcje spełniające warunek Lipschitza, tzn. warunek (1.18), z dowolną stałą są ciągłe. Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że każda funkcja typu ℝ w ℝ o pochodnej ograniczonej ma stałą Lipschitza. W trakcie dowodu kolejnego twierdzenia pokażemy, że odległość punktu od zbioru, jest przykładem funkcji spełniającej warunek Lipschitza ze stałą L = 1.

Twierdzenie 1.3.8. Jeśli X jest przestrzenią metryczną, to dla każdego zbioru niepustego A ⊆X funkcja f : X →ℝ określona wzorem

jest ciągła. W szczególności dla każdego ustalonego punktu a ∈X funkcja dana wzorem f(x) = d(x,a) jest ciągła.

Dowód. Wykażemy, że dla dowolnych x,y ∈X zachodzi nierówność

(∗)

przy czym dist(x,A) = inf{d(x,y): y ∈A}, gdzie d jest tą metryką w X. Dla każdego z ∈A mamy dist(x,A) ≤d(x,z), a więc na mocy własności trójkąta dist(x,A) ≤d(x,y) + d(y,z). Wobec tego

Stąd wynika, że dist(x,A) −dist(y,A) ≤ d(x,y). Zamieniając x na y, dostajemy −dist(x,A) + dist(y,A) ≤d(y,x) = d(x,y), co daje nierówność (∗). Bezpośrednio z nierówności (∗) i wniosku 1.3.7 wynika teza twierdzenia. Dodatkową tezę otrzymamy, przyjmując A = {a}. □

Jak wynika z twierdzenia 1.2.3 kule otwarte są w topologii metrycznej zbiorami otwartymi. W przestrzeni metrycznej (X,d) rozważa się też niekiedy kule domknięte, czyli zbiory postaci

Ponieważ przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą jest zbiorem domkniętym (p. twierdzenie 1.3.2(7)), to z twierdzenia 1.3.8 dostajemy następujący wniosek.

Wniosek 1.3.9. Każda kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

Kolejne twierdzenie opisuje prostą, a zarazem ważną własność funkcji ciągłych przyjmujących wartości w przestrzeniach Hausdorffa. Wynika z niej w szczególności, że zbiór wszystkich punktów stałych dowolnej funkcji ciągłej odwzorowującej przestrzeń Hausdorffa w siebie jest domknięty.

Twierdzenie 1.3.10. Jeśli funkcje f,g: X → Y są ciągłe, a Y jest przestrzenią Hausdorffa, to zbiór {x ∈X: f(x) = g(x)} jest domknięty.

Dowód. Załóżmy, że f(x)≠g(x). Skoro Y jest przestrzenią Hausdorffa, to istnieją takie otoczenia U,V ⊆ Y odpowiednio punktów f(x) i g(x), że U ∩V = ∅. Wówczas W = f⁻¹[U] ∩g⁻¹[V ] jest otoczeniem punktu x oraz f(y)≠g(y) dla każdego y ∈W. To kończy dowód. □

Jedną z własności funkcji ciągłych jest to, że zachowuje spójność.

Twierdzenie 1.3.11. Jeśli f : X →Y jest ciągłą surjekcją, a przestrzeń X jest spójna, to przestrzeń Y także jest spójna.

Dowód. Przypuśćmy, że przestrzeń Y nie jest spójna. Wówczas istnieje zbiór domknięto-otwarty U ⊆Y taki, że U≠∅ oraz U≠Y . Z twierdzenia 1.3.2 wynika, że f⁻¹[U] jest zbiorem domknięto-otwartym. Ponieważ ∅≠f⁻¹[U]≠X, dostajemy sprzeczność. □

Z twierdzenia 1.1.23 wynika, że wszystkie przedziały (nie tylko otwarte, ale także domknięte i półdomknięte) są spójne. Nietrudno też zauważyć, że każdy niepusty podzbiór spójny przestrzeni ℝ musi być przedziałem. Wobec tego mamy następujący wniosek.

Wniosek 1.3.12 (własność Darboux). Jeśli f : X → ℝ jest funkcją ciągłą, a X jest przestrzenią spójną, to zbiór f[X] jest przedziałem.

W szczególności, funkcje ciągłe określone na przedziałach zbioru liczb rzeczywistych przyjmują wszystkie wartości pośrednie. Tę własność funkcji ciągłych znamy z wykładu analizy matematycznej. Odkrył ją Bolzano, lecz tradycyjnie nazywa się to własnością Darboux[29] .

Dla dowodu kolejnego lematu wystarczy zauważyć, że jeśli dane są funkcje f : X →Y oraz g: Y →Z, to (g ∘f)⁻¹[A] = f⁻¹[g⁻¹[A]] dla każdego A ⊆Z. Stąd wynika kolejny lemat.

Lemat 1.3.13. Jeśli funkcje f : X → Y oraz g: Y → Z są ciągłe, to złożenie g ∘f : X →Z jest funkcją ciągłą.

Do następnego lematu potrzebne jest dodatkowe pojęcie z zakresu teorii zbiorów. Obcięciem lub zacieśnieniem funkcji f : X →Y do zbioru A ⊆X nazywamy funkcję

(1.19)

A zatem f ↾A: A →Y , a ponadto (f ↾A)(x) = f(x) dla każdego x ∈A. Dla zbioru otwartego U ⊆ Y zbiór (f ↾A)⁻¹[U] = f⁻¹[U] ∩A jest otwarty w A, a więc na mocy definicji topologii w podprzestrzeni dostajemy:

Lemat 1.3.14. Obcięcie funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą.

Z twierdzenia 1.3.1(3) wynika więc kolejny lemat.

Lemat 1.3.15. Funkcja f : X → Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈X istnieje takie otoczenie Ux, że funkcja f ↾Ux jest ciągła.

Obraz zbioru otwartego przez funkcję ciągłą nie musi być zbiorem otwartym. W analizie matematycznej mamy tego liczne przykłady. Stąd wynika potrzeba wprowadzenia kolejnej definicji.

Definicja 1.3.16 (funkcja otwarta). Funkcja f : X → Y jest otwarta, gdy jest ciągła i dla każdego zbioru otwartego U ⊆ X zbiór f[U] jest otwarty w Y . Funkcję otwartą nazywamy też odwzorowaniem otwartym.

Jeśli funkcja f : X →Y jest otwarta, to dla każdego A ⊆Y mamy

(1.20)

Faktycznie, jeśli x∉cl f⁻¹[A], to istnieje takie otoczenie U punktu x, że U ∩f⁻¹[A] = ∅. Wówczas f[U] ∩A = ∅, a więc f(x)∉cl A, bo f[U] jest zbiorem otwartym zawierającym f(x), a zatem x∉f⁻¹[cl A]. To dowodzi, że f⁻¹[cl A] ⊆cl f⁻¹[A]. Inkluzja odwrotna wynika z twierdzenia 1.3.2(5).

Otwartość funkcji zależy też od przeciwdziedziny. Na przykład funkcja sinus traktowana jako funkcja z ℝ w ℝ nie jest otwarta, bo obraz przedziału (0,π) nie jest otwarty w ℝ. Jest zaś otwarta jako funkcja z ℝ w [−1,1]. Podobnie, obcięcie funkcji otwartej do dowolnego podzbioru dziedziny nie musi być funkcją otwartą. Mamy jednak następujący lemat.

Lemat 1.3.17. Jeśli funkcja f : X → Y jest otwarta, to dla dowolnego zbioru Z ⊆Y funkcja f ↾f⁻¹[Z]: f⁻¹[Z] →Z także jest otwarta.

Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest otwarta, a zbiór U ⊆ f⁻¹[Z] jest otwarty w f⁻¹[Z]. Istnieje taki zbiór otwarty V ⊆ X, że U = V ∩f⁻¹[Z], a zbiór (f ↾f⁻¹[Z])[U] = f[V ∩f⁻¹[Z]] = f[V ] ∩Z jest otwarty w Z. □

Szczególnym przypadkiem funkcji ciągłej jest homeomorfizm. Po raz pierwszy zdefiniował go Fréchet [168] w 1910 r.

Definicja 1.3.18 (homeomorfizm). Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, to bijekcję f : X → Y nazywamy homeomorfizmem przestrzeni X na przestrzeń Y , gdy zarówno f, jak i f⁻¹ są funkcjami ciągłymi. Mówimy wówczas, że przestrzenie X i Y są homeomorficzne.

Jeśli funkcja f : X →Y jest bijekcją, to jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą. Wynika to stąd, że funkcje otwarte zgodnie z definicją są ciągłe, a dla bijekcji f przeciwobraz poprzez funkcję f⁻¹ jest tym samym, co obraz poprzez funkcję f. Z lematu 1.3.13 wynika, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem. Funkcja odwrotna do homeomorfizmu także jest homeomorfizmem. Każda bijekcja między zbiorami z topologią dyskretną jest homeomorfizmem. Stąd wynika, że w sensie topologicznym dla każdej liczby kardynalnej κ ≥ω istnieje jednoznacznie określona przestrzeń dyskretna mocy κ oznaczana symbolem 𝔻(κ). Istnieją też mniej oczywiste przykłady homeomorfizmów.

Przykład 1.3.19. Wszystkie przestrzenie z jednym punktem skupienia, które są tej samej mocy, są ze sobą homeomorficzne. Przestrzenie te, oznaczane symbolem 𝔸(κ), były już omawiane w przykładzie 1.1.2. Niech x₀ ∈ X oraz y₀ ∈ Y będą jedynymi punktami skupienia odpowiednio przestrzeni X i Y , przy czym |X|= |Y |= κ ≥ω. Wówczas każda taka bijekcja f : X →Y , przy której f(x₀) = y₀, jest homeomorfizmem. Faktycznie, punkty różne od x₀ i y₀ są izolowane, a otoczenia punktów wyróżnionych mają dopełnienia skończone. Ponieważ każda bijekcja przeprowadza zbiory skończone na zbiory skończone, to funkcja f przeprowadza otoczenia punktu x₀ na otoczenia punktu y₀. Funkcja f jest zatem homeomorfizmem. W szczególności przestrzeń 𝔸(ω) jest homeomorficzna z przestrzenią {0}∪{1n: n ∈ℕ}⊆ℝ z topologią dziedziczoną z przestrzeni ℝ. ♢

Przykład 1.3.20. Przestrzeń (ℕ × ℕ) ∪ {x₀} z przykładu 1.2.36 jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni X/F z przykładu 1.3.5, w którym X = {(n,x) ∈ ℝ²: n ∈ ℕ oraz x ∈ [0,1]}, a F = {(n,0): n ∈ ℕ}. Rozważmy Y = {(n,x) ∈ X: x ∈ {0}∪{-1 m: m ∈ ℕ}}. Wykażemy, że funkcja h: (ℕ ×ℕ) ∪{x₀}→Y/F, dla której h(x₀) = y₀ = F, oraz h(n,m) = (n,1- m) dla każdego (n,m) ∈ ℕ × ℕ jest homeomorfizmem. Punkty zbioru ℕ × ℕ są izolowane, a zatem wystarczy sprawdzić ciągłość funkcji h w punkcie x₀ i ciągłość funkcji h⁻¹ w punkcie y₀. Przyjęliśmy, że otoczenia bazowe punktu x₀ są postaci

przy czym f ∈ ℕℕ. Zauważmy, że jeśli (n,k) ∈ Uf, to h(n,k) = (n,1 k) ∈ Y . Rozważmy ciąg a = (an)n=1∞ ⊆ (0,1) taki, że an = -1-- f(n). Zgodnie z definicją topologii w przestrzeni Y/F otoczeniami bazowymi punktu y₀ są zbiory postaci V a = {y₀}∪{(n,x) ∈ℕ ×ℕ: n ∈ℕ oraz x ∈(0,an)}, a zatem h[Uf] = V a oraz h⁻¹[V a] = Uf. Stąd wynika, że h przeprowadza w sposób wzajemnie jednoznaczny otoczenia bazowe punktu x₀ na otoczenia bazowe punkty y₀. Ponieważ inne punkty są izolowane, to h jest homeomorfizmem.

W przykładzie 1.2.36 pokazano też, że przestrzeń (ℕ × ℕ) ∪ {x₀} ma w punkcie x₀ charakter nieprzeliczalny. Stąd wynika, że jej obraz homeomorficzny, a więc przestrzeń Y ma charakter nieprzeliczalny w punkcie y₀. W konsekwencji także przestrzeń X/F z przykładu 1.3.5 ma charakter nieprzeliczalny w punkcie, który powstaje ze zlepienia zbioru F do punku. Stąd wynika, że ilorazowania nie zachowują charakteru punktów. ♢

Z homeomorfizmami związane są zanurzenia topologiczne.

Definicja 1.3.21. Jeśli funkcja f : X → Y jest homeomorfizmem przestrzeni X na zbiór f[X] ⊆ Y z topologią dziedziczoną z Y , to mówimy, że f jest zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni X w Y , lub krótko zanurzeniem X w Y , i piszemy, że f : X↪Y . Jeśli ponadto zbiór f[X] jest gęsty w Y , to X ma zanurzenie gęste w Y .

Homeomorfizmy są oczywiście zanurzeniami homeomorficznymi. Jeśli przestrzeń Y jest podprzestrzenią przestrzeni X, to funkcja identycznościowa, czyli taka, która każdemu punktowi przypisuje ten sam punkt, jest zanurzeniem przestrzeni X w Y . Istnieją też mniej oczywiste przykłady zanurzeń.

Przykład 1.3.22 (zanurzenie przestrzeni X w exp(X)). Załóżmy, że X jest przestrzenią typu T₁ i rozważmy funkcję ι: X → exp(X) daną wzorem ι(x) = {x}. Definicja funkcji ι jest poprawna, bo każdy zbiór postaci {x} jest domknięty w X, a więc należy do exp(X). Dla każdego zbioru otwartego U ⊆X zbiory ι⁻¹[U⁺] oraz ι⁻¹[U⁻] są otwarte w X. Faktycznie,

Podobnie ι⁻¹[U⁻] = U. Na mocy twierdzenia 1.3.2 dowodzi to ciągłości funkcji ι. Zauważmy, że dla każdego zbioru otwartego U ⊆ X zachodzi równość ι[U] = {ι(x): x ∈ U} = {{x} ∈ exp(X): {x} ⊆ U} = ι[X] ∩U⁺. A zatem ι przeprowadza zbiory otwarte w X na zbiory otwarte w ι[X], jest więc zanurzeniem homeomorficznym.

Sprawdźmy, że jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to ι[X] jest podprzestrzenią domkniętą przestrzeni Vietorisa exp(X). Weźmy dowolny zbiór F ∈exp(X) ∖ι[X]. Wówczas F jest domkniętym podzbiorem przestrzeni X, który ma co najmniej dwa różne punkty. Niech U,V ⊆ X będą otoczeniami rozłącznymi tych punktów. Wówczas mamy F ∈U⁻∩V ⁻ ⊆exp(X) ∖ι[X]. ♢

Homeomorfizmy zachowują zbiory otwarte, czyli strukturę topologiczną, a więc są odpowiednikami izomorfizmów w algebrze. Z punktu widzenia topologii przestrzenie homeomorficzne uważamy za takie same. Używamy też pojęcia własności topologicznej[30] jako takiej, która się zachowuje przy homeomorfizmach. Łatwo zauważyć, że własność Hausdorffa, waga przestrzeni, zerowymiarowość i spójność są własnościami topologicznymi. Także metryzowalność jest własnością topologiczną, bo jeśli topologia w X jest wyznaczona przez metrykę d, a f : X → Y jest homeomorfizmem, to topologia w Y jest wyznaczona przez metrykę ρ: Y ×Y →ℝ daną wzorem

(1.21)

dla dowolnych x,y ∈Y . Ponieważ funkcja f jest bijekcją, to ρ jest poprawnie określoną metryką na Y . Pozostaje wykazać, że topologia wyznaczona przez tę metrykę jest identyczna z topologią przestrzeni Y . Jeśli x₀ = f(a₀) oraz 𝜀 > 0, to z warunku (1.21) dostajemy równość

Wynika z niej, że kule w sensie metryki ρ są zbiorami otwartymi w przestrzeni Y , bo f jest homeomorfizmem. Z tej samej równości wynika, że dla każdego zbioru U otwartego w przestrzeni Y oraz punktu x₀ ∈ U istnieje takie 𝜀 > 0, że Bρ(x₀,𝜀) ⊆U. Wystarczy wziąć takie a₀ ∈X, że f(a₀) = x₀ i tak dobrać 𝜀 > 0, że Bd(a₀,𝜀) ⊆f⁻¹[U]. Jest to możliwe, bo funkcja f jest ciągła oraz a₀ ∈f⁻¹[U]. Wówczas Bρ(x₀,𝜀) = f[Bd(a₀,𝜀)] ⊆U.

Ponieważ funkcje liniowe są homeomorfizmami, to każde dwa przedziały otwarte są homeomorficzne. Podobnie, każde dwa przedziały domknięte są homeomorficzne. Przedział otwarty (a,b) nie jest homeomorficzny z przedziałem półotwartym (c,d]. Gdyby funkcja f : (c,d] →(a,b) była homeomorfizmem, to zgodnie z twierdzeniem 1.3.12 przestrzeń f[(c,d)] = (a,b) ∖{f(d)} musiałaby być spójna, a nie jest, bo f[(c,d)] jest sumą dwóch niepustych i rozłącznych zbiorów otwartych. Łatwo wskazać homeomorfizm f : ℝ →(−1,1). Jest nim na przykład funkcja f(x) = 2 π arctg x. Przestrzeń ℝ jest zatem homeomorficzna z każdym przedziałem otwartym.

Twierdzenie 1.3.23. Jeśli przestrzenie liniowo uporządkowane są izomorficzne, to są homeomorficzne.

Dowód. Załóżmy, że zbiory liniowo uporządkowane (X,<) oraz (Y,≺) są izomorficzne, tzn. istnieje taka bijekcja h: X →Y , że

(∗) a < b⟺h(a) ≺h(b)

dla dowolnych a,b ∈X. Wówczas dla każdego (a,→) ∈Intv(X,<) mamy h[(a,→)] = (h(a),→) ∈ Intv(Y,≺). Podobnie, dla każdego (←,b) ∈Intv(X,<) mamy h[(←,b)] = (←,h(b)) ∈Intv(Y,≺). To oznacza ciągłość funkcji h⁻¹. Warunek (∗) oznacza też, że dla dowolnych x,y ∈Y nierówność x ≺y jest równoważna nierówności h⁻¹(x) < h⁻¹(y). Argumentując jak wyżej, dostajemy ciągłość funkcji h. To kończy dowód. □

4. Zbiory gęste, rodziny zbiorów parami rozłącznych

Ważną własnością funkcji ciągłych jest to, że zależą one od tego, jakie mają wartości na podzbiorach gęstych.

Definicja 1.4.1 (zbiór gęsty). Zbiór D ⊆ X nazywamy gęstym w X, jeśli cl D = X. Gęstością przestrzeni X nazywamy liczbę kardynalną

Przestrzeń X jest ośrodkowa, gdy d(X) = ω.

Z definicji wynika, że D ⊆X jest zbiorem gęstym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podzbiór otwarty niepusty przestrzeni X przecina zbiór D. Pojęcie gęstości rozumiemy niekiedy nieco ogólniej. Mówimy wtedy, że zbiór A ⊆B jest gęsty w B, jeśli cl A = cl B. W szczególności mówimy, że zbiór A ⊆X jest ośrodkowy, gdy istnieje taki zbiór przeliczalny D ⊆X, że A ⊆cl D. Odnotujmy trzy ważne własności zbiorów gęstych.

Lemat 1.4.2. Jeśli funkcje f,g: X → Y są ciągłe, Y jest przestrzenią Hausdorffa, a zbiór {x ∈X: f(x) = g(x)} jest gęsty w X, to f = g.

Dowód. Na mocy twierdzenia 1.3.10 zbiór D = {x ∈ X: f(x) = g(x)} jest domknięty, a skoro cl D = X, to D = X. To kończy dowód. □

Lemat 1.4.3. Jeśli D ⊆ X jest zbiorem gęstym, a zbiór U ⊆ X jest otwarty, to cl(D ∩U) = cl U.

Dowód. Jeśli x ∈ cl U, to Ux ∩U≠∅ dla każdego otoczenia Ux punktu x. Ponieważ zbiór D jest gęsty, to Ux∩U ∩D≠∅, a więc x ∈cl(U ∩D). Mamy więc cl U ⊆cl(U ∩D). Inkluzja odwrotna jest oczywista. □

Lemat 1.4.4. Jeśli D ⊆ X jest zbiorem gęstym, a zbiory U,V ⊆ X są regularnie otwarte oraz D ∩U = D ∩V , to U = V.

Dowód. Z poprzedniego lematu wynika, że

a więc U = Intcl U = Intcl V = V . □

Jeśli z każdego elementu π-bazy przestrzeni X wybierzemy punkt, to otrzymamy zbiór gęsty w X. Mamy więc następującą nierówność

(1.22)

W przestrzeni antydyskretnej każdy zbiór jednopunktowy jest gęsty. Będziemy zwykle rozważać nieskończone przestrzenie Hausdorffa. W takich przestrzeniach każdy zbiór gęsty jest nieskończony, a więc w nieskończonych przestrzeniach Hausdorffa gęstość jest liczbą kardynalną nieskończoną. Zauważmy, że zbiór gęsty musi zawierać wszystkie punkty izolowane. Przypomnijmy,, że charakterem przestrzeni X w punkcie x ∈X nazywamy minimalną moc bazy lokalnej w punkcie x. Kres górny tych liczb nazywamy charakterem przestrzeni i oznaczamy symbolem

Zauważmy, że przestrzenie metryzowalne mają charakter przeliczalny. Od tej pory zakładamy, że liczby kardynalne związane z przestrzeniami topologicznymi są nieskończone.

Twierdzenie 1.4.5. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to

Dowód. Aby wykazać nierówność |X| ≤ 22d(X) , ustalmy w X topologię Hausdorffa T i zbiór gęsty D ⊆X mocy d(X) oraz funkcję f : X →P (P(D)) daną wzorem

Zauważmy, że dla każdego x ∈ X oraz U ∈ T mamy U ∩D ∈ P (D), a więc f(x) ⊆ P (D). Z warunku Hausdorffa wynika, że jeśli x,y ∈X oraz x≠y, to istnieją takie U,V ∈ T , że x ∈U, y ∈V oraz U ∩V = ∅, a w szczególności (U ∩ D) ∩ (V ∩ D) = ∅. Ponieważ D jest zbiorem gęstym, to każde dwa elementy rodziny f(x) mają przekrój niepusty. Stąd wynika, że f(x)≠f(y). Faktycznie, D ∩U ∈ f(x), a więc D ∩U∉f(y), bo (U ∩D) ∩(V ∩D) = ∅ oraz V ∩D ∈f(y). Zbiór X ma zatem injekcję w P(P(D)), więc |X|≤22d(X) , ponieważ |D|= d(X).

Aby wykazać, że |X| ≤ d(X)χ(X), przyjmijmy χ(X) = κ ≥ ω i dla każdego punktu x ∈X ustalmy bazę lokalną Bx w punkcie x mocy nie większej niż κ. Dla każdego zbioru otwartego U ⊆X wybierzmy punkt x(U) ∈U ∩D, przy czym D, tak jak wyżej, jest zbiorem gęstym. Następnie rozważmy zbiór A(x) = {x(U): U ∈ B x} ⊆ D i zauważmy, że A(x) ∈ [D]≤κ. Z określenia zbioru A(x) wynika, że x ∈ cl(U ∩A(x)) dla każdego U ∈ B x. Ponieważ X jest przestrzenią Hausdorffa, to

Stąd wynika, że funkcja, która każdemu x ∈ X przyporządkowuje rodzinę {U ∩ A(x): U ∈ B x} ∈ [[D]≤κ]≤κ jest różnowartościowa. Z nierówności (6.19) dostajemy więc |X| ≤ |[[D]≤κ]≤κ| ≤ |D|κ, co kończy dowód. □

Ponieważ w każdym punkcie przestrzeni metryzowalnej jest baza przeliczalna oraz ωω = 2ω, dostajemy następujący wniosek.

Wniosek 1.4.6. Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa ma moc co najwyżej continuum.

Do omawianej już wcześniej wagi oraz gęstości dodajemy kolejną liczbę kardynalną opisującą ważną własność przestrzeni.

Definicja 1.4.7 (liczba Suslina). Mówimy, że rodzina R zbiorów niepustych składa się ze zbiorów parami rozłącznych, gdy U ∩V = ∅ dla dowolnych (różnych) elementów U,V ∈ R . Kres górny mocy takich rodzin nazywamy liczbą Suslina i oznaczamy symbolem c(X), a zatem

przy czym T jest topologią na X. Mówimy, że przestrzeń X ma własność Suslina, gdy c(X) = ω.

Rodzinę zbiorów parami rozłącznych nazywamy też rodziną rozłączną. Dla przestrzeni dyskretnej 𝔻(κ) liczba Suslina wynosi κ. Jeśli X jest nieskończoną przestrzenią Hausdorffa, to c(X) ≥ ω, bo dla każdego zbioru skończonego {x₁,…,xn}⊆X istnieją parami rozłączne zbiory otwarte {U₁,…,Un}⊆X takie, że xi ∈Ui dla każdego i ≤n. Warunek Hausdorffa jest tu bardzo istotny, bo w przestrzeniach typu T₁ może się zdarzyć, że każde dwa niepuste zbiory otwarte mają przekrój niepusty; p. przykład 1.1.21.

Lemat 1.4.8. Niech P będzie π-bazą w przestrzeni X. Jeśli R ⊆ P jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, to istnieje taka rodzina R∗ ⊆ P zbiorów parami rozłącznych, że R ⊆ R ∗, a ponadto cl ⋃ R∗ = X.

Dowód. Niech X oznacza zbiór wszystkich rodzin rozłącznych zawartych w P, które zawierają R. W zbiorze X relacja inkluzji jest częściowym porządkiem. Jeśli L ⊆ X jest podzbiorem liniowo uporządkowanym w (X,⊆), to ⋃ L ∈ X . Faktycznie, dla dowolnych U,V ∈ ⋃ L istnieją R,R ′ ∈ L takie, że U ∈ R i V ∈ R ′. Wówczas R ⊆ R ′ lub R ′ ⊆ R , a zatem U i V są elementami tej samej rodziny zbiorów parami rozłącznych, czyli U ∩V = ∅. Stąd wynika, że ⋃ L jest ograniczeniem górnym łańcucha L. Na mocy lematu Kuratowskiego–Zorna, w X istnieje element maksymalny R∗. Stąd, że rodzina ta jest maksymalna wynika, że cl ⋃ R∗ = X. Faktycznie, w przeciwnym przypadku istniałby zbiór V ∈ P zawarty w X ∖ cl ⋃ R∗, a wtedy rodzina R∗∪{V } byłaby większa od rodziny R∗. □

Twierdzenie 1.4.9. Niech P będzie π-bazą w nieskończonej przestrzeni Hausdorffa X. Wówczas istnieje taka nieskończona rodzina R ⊆ P zbiorów parami rozłącznych, że cl ⋃ R= X.

Dowód. Na mocy lematu 1.4.8 wystarczy wykazać, że istnieje nieskończona rodzina R ⊆ P złożona ze zbiorów parami rozłącznych. Każdy niepusty zbiór otwarty zawiera element rodziny P, a zatem wystarczy wykazać, że istnieje pewna rodzina złożona ze zbiorów otwartych niepustych parami rozłącznych. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że każda rodzina zbiorów parami rozłącznych zawarta w P jest skończona. Skonstruujemy ciąg {(Un,V n): n ∈ℕ} par rozłącznych zbiorów otwartych niepustych spełniających dla każdego n ∈ℕ następujące warunki:

(a) Un+1 ∪V n+1 ⊆Un,

(b) |Un|≥ω.

Korzystając z warunku Hausdorffa, weźmy dowolne dwa niepuste, otwarte zbiory rozłączne U,V ⊆X. Na mocy lematu 1.4.8 istnieje rodzina rozłączna R zbiorów otwartych taka, że U,V ∈ R oraz cl ⋃ R= X. Na mocy założenia rodzina R jest skończona, a więc istnieje takie U₁ ∈ R , że |U₁|≥ω. Faktycznie, w przeciwnym przypadku w X istniałby zbiór gęsty skończony, a to w nieskończonych przestrzeniach Hausdorffa jest niemożliwe. Ponieważ |R | ≥ 2, to jako V ₁ możemy przyjąć dowolny element rodziny R ∖{U₁}. Ciąg {(Un,V n): n ∈ℕ} konstruujemy indukcyjnie. Jeśli para (Un,V n) jest już skonstruowana, to aby otrzymać parę (Un+1,V n+1), powtarzamy to samo rozumowanie jak przy konstrukcji pary (U₁,V ₁), przyjmując X = Un i korzystając z warunku (b).

Zauważmy, że rodzina {V n: n ∈ℕ} składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Faktycznie, jeśli n < k, to V k ⊆Un, a V n ∩Un = ∅. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. □

Jeśli z każdego elementu rodziny zbiorów otwartych niepustych parami rozłącznych wybierzemy punkt, to otrzymamy zbiór, który rozważany z topologią dziedziczoną jest dyskretny. Z twierdzenia 1.4.9 wypływa więc następujący wniosek.

Wniosek 1.4.10. Każda nieskończona przestrzeń Hausdorffa zawiera podprzestrzeń nieskończoną dyskretną.

Będziemy rozważać jedynie przypadki, gdy liczba Suslina jest nieskończona. Na mocy warunku (1.22) dla przestrzeni nieskończonych mamy zatem następujące nierówności

(1.23)

Pierwsza nierówność wynika z tego, że jeśli R jest rodziną zbiorów niepustych otwartych w X, parami rozłącznych, a D ⊆ X jest zbiorem gęstym, to każdy element rodziny R zawiera pewien element zbioru D, przy czym różne zbiory zawierają różne elementy zbioru D, a zatem |R |≤|D|. Druga nierówność wynika z tego, że jeśli z każdego elementu π-bazy wybierzemy po jednym punkcie, to dostaniemy zbiór gęsty. Trzecia nierówność wynika z warunku (1.6). Z warunku (1.23) wynika w szczególności, że liczba Suslina przestrzeni ℝ jest przeliczalna, bo zbiór liczb wymiernych jest gęsty w tej przestrzeni. Funkcje ciągłe zachowują liczbę Suslina. Mamy bowiem następujący lemat.

Lemat 1.4.11. Jeśli f : X →Y jest ciągłą surjekcją, to c(Y ) ≤c(X).

Dowód jest oczywisty. Jeśli P jest rodziną zbiorów parami rozłącznych otwartych w Y , to {f⁻¹[U]: U ∈ P } jest rodziną zbiorów parami rozłącznych otwartych w X. Przeciwieństwem zbiorów gęstych są zbiory brzegowe.

Definicja 1.4.12 (zbiór brzegowy). Zbiór A ⊆X nazywamy brzegowym, jeśli IntA = ∅, tzn. gdy A nie zawiera żadnego zbioru otwartego niepustego.

Zauważmy, że brzeg zbioru, czyli zbiór BdA (p. definicja 1.2.26) nie musi być zbiorem brzegowym. Faktycznie, jeśli zbiory A i X ∖A są brzegowe, to BdA = X; p. wzór (1.14). Przykładem jest zbiór ℚ ⊆ℝ.

Lemat 1.4.13. Zbiór jest brzegowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem gęstym.

Dowód lematu wynika bezpośrednio z równości IntA = X ∖cl(X ∖A). Dla zbiorów domkniętych mamy jednak fakt następujący.

Lemat 1.4.14. Zbiór A ⊆ X jest zarazem brzegowy i domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy BdA = A.

Dowód. Ze wzoru (1.15) mamy BdA = cl A ∖IntA. Jeśli więc BdA = A, to IntA = ∅, bo IntA ⊆A ⊆cl A. Jednocześnie, jeśli A jest zbiorem brzegowym, to X ∖A jest zbiorem gęstym, a więc cl(X ∖A) = X. Stąd wynika, że BdA = cl A ∩cl(X ∖A) = A ∩X = A, bo cl A = A. □

Lemat 1.4.15. Każdy podzbiór brzegowy przestrzeni liczb rzeczywistych jest przestrzenią zerowymiarową.

Dowód. Załóżmy, że zbiór X ⊆ ℝ jest brzegowy i ustalmy x ∈ X oraz jego otoczenie U ⊆ X. Istnieje zatem taki przedział otwarty (a,b) ⊆ ℝ, że x ∈(a,b)∩X ⊆U. Ponieważ zbiór X jest brzegowy, to istnieją α ∈(a,x)∖X oraz β ∈ (x,b) ∖X. Wówczas x ∈ (α,β) ∩X = [α,β] ∩X ⊆ U, a więc x ma w przestrzeni X otoczenie domknięto-otwarte zawarte w U. A zatem X jest przestrzenią zerowymiarową. □

5. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych

Do dalszych rozważań potrzebna jest topologia na iloczynie kartezjańskim. Została ona wprowadzona w 1908 r. przez Steinitza [457]. Iloczyn kartezjański, czyli zbiór par uporządkowanych, został opisany w Dodatku. Nazwa tej konstrukcji nawiązuje do Kartezjusza, któremu jest przypisywane[31] zastosowanie jej w geometrii, przy czym było to znacznie wcześniej niż zrobił to Steinitz w topologii. Iloczyn kartezjański bywa często traktowany jak szczególny przypadek produktu, który przedstawimy później.

Definicja 1.5.1 (topologia w iloczynie kartezjańskim). Jeśli (X,TX) oraz (Y,TY ) są przestrzeniami topologicznymi, to topologia w iloczynie kartezjańskim X ×Y dana jest wzorem

Rodzina T spełnia postulaty topologii, bo spełniają je rodziny TX i TY . Z definicji wynika, że jeśli BX jest bazą w przestrzeni X, a BY bazą w przestrzeni Y , to rodzina

jest bazą w przestrzeni X ×Y . Dostajemy stąd następującą równość

(1.24)

Zauważmy, że przestrzeń X ma zanurzenie w iloczyn kartezjański X ×Y za pomocą wzoru f(x) = (x,y₀), gdzie y₀ jest dowolnym punktem przestrzeni Y . Podobnie można zanurzyć przestrzeń Y w przestrzeń X ×Y za pomocą wzoru f(y) = (x₀,y), przy czym x₀ ∈X jest dowolnie ustalone. Stąd wynika, że w(X) ≤w(X ×Y ). Podobnie w(Y ) ≤w(X ×Y ), a zatem w(X ×Y ) ≥max{w(X),w(Y )}. Nierówność odwrotna wynika[32] z postaci bazy w przestrzeni X ×Y . Ponieważ (V ×Y ) ∩(X ×W) = V ×W, to rodzina

jest podbazą topologii w przestrzeni X ×Y .

Iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni definiujemy wzorem

Jeśli Xi = X dla każdego i ≤ n, to zamiast X₁ ×… ×Xn piszemy krótko Xn. Przestrzeń taką nazywamy n-tą potęgą przestrzeni X. Oprócz iloczynu kartezjańskiego przestrzeni rozważamy też iloczyn kartezjański funkcji.

Lemat 1.5.2. Jeśli f₁: X₁ → Y ₁ oraz f₂: X₂ → Y ₂ są funkcjami ciągłymi, to funkcja f₁ ×f₂: X₁ ×X₂ →Y ₁ ×Y ₂ dana wzorem

jest ciągła.

Dowód. Dla dowolnych zbiorów U ⊆ Y ₁ i V ⊆ Y ₂ zachodzi równość

a zatem ciągłość funkcji f₁ ×f₂ wynika wprost z postaci bazy topologii w iloczynie kartezjańskim. □

Jeśli dane są dwa różne punkty (x₀,y₀),(x₁,y₁) ∈X ×Y , to x₀≠x₁ lub y₀≠y₁. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa oraz x₀≠x₁, to istnieją takie zbiory otwarte rozłączne U₀,U₁ ⊆X, że x₀ ∈U₀ oraz x₁ ∈U₁. Wówczas zbiory U₀ ×Y oraz U₁ ×Y są otoczeniami rozłącznymi odpowiednio punktów (x₀,y₀) i (x₁,y₁). Podobnie, jeśli Y jest przestrzenią Hausdorffa oraz y₀≠y₁, to istnieją takie zbiory otwarte rozłączne V ₀,V ₁ ⊆Y , że y₀ ∈V ₀ oraz y₁ ∈V ₁. Wówczas zbiory X ×V ₀ i X ×V ₁ są otoczeniami rozłącznymi odpowiednio punktów (x₀,y₀) i (x₁,y₁). Dostajemy więc następujący lemat.

Lemat 1.5.3. Iloczyn kartezjański przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.

Z iloczynem kartezjańskim związane są ściśle dwie ważne funkcje zwane rzutowaniami.

Definicja 1.5.4 (rzutowanie). Rzutowaniami przestrzeni X ×Y nazywane są funkcje pr X: X ×Y →X i pr Y : X ×Y →Y dane wzorami

Lemat 1.5.5. Rzutowania z iloczynu kartezjańskiego są ciągłe.

Dowód. Dla każdego V ∈ T X i dla każdego W ∈ T T zachodzą równości

Wystarczy więc zauważyć, że zbiory te należą do podbazy w X ×Y . □

Lemat 1.5.6. Rzutowania z iloczynu kartezjańskiego są otwarte.

Dowód. Ponieważ obraz sumy zbiorów jest równy sumie obrazów składników tej sumy, wystarczy wykazać, że obraz poprzez rzutowanie każdego elementu bazy w produkcie X ×Y jest zbiorem otwartym. Z definicji rzutowania wynika jednak, że dla dowolnych zbiorów otwartych U ⊆ X oraz V ⊆Y mamy pr X[U ×V ] = U oraz pr Y [U ×V ] = V . To kończy dowód. □

Dla każdej funkcji f : X →Y zbiór

nazwijmy wykresem funkcji f. Jest to pewna niekonsekwencja, bo zgodnie z definicją funkcja jest utożsamiana z jej wykresem, a zatem W(f) = f. Jednak rozróżnienie, które tu zostało wprowadzone, jest zgodne z tradycją i powszechne w wielu książkach. Jest też niekiedy potrzebne, bo dzięki niemu możemy uniknąć nieporozumień terminologicznych. Mówimy na przykład, że funkcja f : X →Y jest domknięta, gdy zbiór f[F] jest domknięty dla każdego zbioru domkniętego F ⊆X, a to nie oznacza, że f jest podzbiorem domkniętym przestrzeni X ×Y . Wykorzystamy później pewne własności wykresów funkcji.

Lemat 1.5.7. Jeśli funkcja f : X → Y jest ciągła, a Y jest przestrzenią Hausdorffa, to zbiór W(f) jest domknięty w X ×Y .

Dowód. Ustalmy dowolne (x,y) ∈ X × Y ∖ W(f). Wówczas y≠f(x), a zatem istnieją takie zbiory otwarte rozłączne U,V ⊆Y , że y ∈U i f(x) ∈V . Zbiór f⁻¹[V ] ×U jest otoczeniem punktu (x,y) rozłącznym z W(f). □

Lemat 1.5.8. Jeśli f : X → Y jest funkcją ciągłą, a Y jest przestrzenią Hausdorffa, to funkcja h: X →X ×Y dana wzorem

dla każdego x ∈X jest zanurzeniem, a zbiór h[X] jest domknięty w X×Y. W szczególności przestrzeń W(f) jest homeomorficzna z X.

Dowód. Funkcja h jest różnowartościowa, bo jeśli x₁≠x₂, to

Aby wykazać ciągłość funkcji h, ustalmy zbiory otwarte U ⊆X oraz V ⊆Y . Z definicji funkcji h wynika, że zachodzi równość

a zatem ciągłość funkcji h wynika z ciągłości funkcji f. Natomiast ciągłość funkcji odwrotnej wynika z ciągłości rzutowań (p. lemat 1.5.5) oraz stąd, że jest ona równa obcięciu rzutowania pr X do zbioru h[X]. To kończy dowód. □

Z pojęciem iloczynu kartezjańskiego związane jest także pojęcie przekątnej. Dla każdej przestrzeni topologicznej X przyjmujemy, że

Zbiór ten nazywamy przekątną iloczynu kartezjańskiego X ×X. Odnotujmy następujący prosty fakt.

Lemat 1.5.9. Zbiór ΔX jest domknięty w X ×X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Hausdorffa.

Dowód. Załóżmy, że zbiór ΔX jest domknięty. Jeśli x,y ∈ X i x≠y, to (x,y)∉ΔX, a więc istnieje takie otoczenie U ×V punktu (x,y), dla którego (U ×V ) ∩ΔX = ∅. Wtedy U i V są otoczeniami rozłącznymi punktów x i y.

Implikacja odwrotna wynika z tego, że ΔX jest wykresem funkcji identycznościowej, czyli funkcji ciągłej, oraz z lematu 1.5.8. □

Dalsze własności iloczynu kartezjańskiego opiszemy w kolejnych lematach.

Lemat 1.5.10. Jeśli A ⊆X oraz B ⊆Y , to

W szczególności iloczyn kartezjański zbiorów domkniętych jest domknięty.

Dowód. Z definicji topologii wynika, że jeśli Ux oraz Uy są otoczeniami punktów x i y, to zbiór Ux × Uy jest otoczeniem punktu (x,y) ∈ X × Y . Ponadto mamy równość

Stąd wynika, że otoczenie Ux ×Uy punktu (x,y) przecina zbiór A ×B wtedy, gdy otoczenie Ux przecina A, a otoczenie Uy przecina B. To kończy dowód. □

Bazę w iloczynie kartezjańskim tworzą zbiory postaci U ×V , gdzie U i V należą do dowolnej bazy. Stąd wynika następujący wniosek.

Lemat 1.5.11. Iloczyn kartezjański przestrzeni zerowymiarowych jest przestrzenią zerowymiarową.

Z lematu 1.5.10 wynika też następujący wniosek dotyczący gęstości iloczynu kartezjańskiego

(1.25)

W szczególności, iloczyn kartezjański przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową. Faktycznie, jeśli zbiór A jest gęsty w X, a B jest gęsty w Y , to z lematu 1.5.10 dostajemy X ×Y = cl A ×cl B = cl(A ×B). Ponadto, jak wiemy |A ×B|= max{|A|,|B|}; p. wniosek 6.3.9.

Iloczyn kartezjański zachowuje wiele ważnych własności topologicznych. Ze wzoru (1.24) wynika w szczególności, że iloczyn kartezjański przestrzeni z bazą przeliczalną ma bazę przeliczalną. Pokażemy później, że to samo dotyczy metryzowalności; p. wniosek 2.1.9. Istnieją jednak własności topologiczne, których iloczyn kartezjański nie zachowuje. Kolejny przykład pokazuje, że jedną z nich jest własność Frécheta–Urysohna. Przestrzeń X ma własność Frécheta–Urysohna, gdy dla każdego A ⊆X, jeśli x ∈cl A to istnieje taki ciąg (xn)n=1∞ ⊆ A, że lim n→∞xn = x. Okazuje się, że iloczyn kartezjański przestrzeni z własnością Frécheta–Urysohna nie musi mieć tej własności.

Przykład 1.5.12. Niech X będzie przestrzenią z przykładu 1.2.36, a więc X = (ℕ × ℕ) ∪ {x₀}, przy czym x₀∉ℕ × ℕ. Punkty zbioru ℕ × ℕ są izolowane, a otoczenia bazowe punktu {x₀} są postaci

przy czym f ∈ℕℕ. Przestrzeń Y wygląda podobnie: Y = (ℕ ×ℕ) ∪{y₀}, przy czym y₀∉ℕ × ℕ. Tak jak w przestrzeni X, punkty zbioru ℕ × ℕ są izolowane, a otoczeniami bazowymi punktu y₀ są zbiory

przy czym n ∈ ℕ. Przestrzeń Y ma bazę przeliczalną w każdym punkcie, a zatem zgodnie z lematem 1.2.35 jest przestrzenią Frécheta–Urysohna. Jak pokazaliśmy w przykładzie 1.2.36 także X jest przestrzenią Frécheta–Urysohna. Aby pokazać, że X ×Y nie jest przestrzenią Frécheta–Urysohna rozważmy zbiór A = {(p,p): p ∈ ℕ × ℕ} ⊆ X × Y . Wszystkie otoczenia punktu x₀ i wszystkie otoczenia punktu y₀ przecinają zbiór ℕ ×ℕ, a więc (x₀,y₀) ∈ cl A. Przypuśćmy, że ciąg (pn,pn)n=1∞ ⊆ A jest zbieżny do punktu (x₀,y₀) ∈ X × Y . Z definicji topologii w iloczynie kartezjańskim wynika, że ciąg (pn)n=1∞ ⊆ ℕ × ℕ jest w sensie topologii przestrzeni X zbieżny do x₀, a w sensie topologii przestrzeni Y do y₀. Oznaczmy pn = (kn,ln), przy czym kn,ln ∈ ℕ dla każdego n ∈ ℕ. Wówczas na mocy warunku (∗) z przykładu 1.2.36 istnieje takie n₀ ∈ ℕ, że zbiór N = {n ∈ℕ: kn = n₀} jest nieskończony. Ale wtedy punkty pn dla n ∈N nie należą do zbioru V n₀+1. To daje sprzeczność, bo każde otoczenie punktu y₀ musi zawierać prawie wszystkie punkty ciągu (pn)n=1∞, a zatem X ×Y nie jest przestrzenią Frécheta–Urysohna. ♢

Istnieją też inne przykłady wskazujące na to, że niektóre własności topologiczne nie zachowują się przy operacji iloczynu kartezjańskiego. Dla (nieskończonych) przestrzeni liniowo uporządkowanych Simon [444] udowodnił następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.5.13. Jeśli X jest przestrzenią liniowo uporządkowaną, to

Dowód. Z warunku (1.23) wynika, że c(X × X) ≤ d(X × X), a z warunku (1.25), że d(X ×X) = d(X). Dostajemy więc c(X ×X) ≤d(X).

Przypuśćmy, że c(X × X) < d(X). Z definicji topologii w zbiorze liniowo uporządkowanym (p. przykład 1.1.4) wynika, że rodzina P złożona ze wszystkich punktów izolowanych oraz przedziałów niejednopunktowych postaci (a,b), przy czym a,b ∈ X, stanowi π-bazę w przestrzeni X. Rodzina {U ×V : U,V ∈ P } jest zatem π-bazą w X ×X. Topologia porządkowa na zbiorze liniowo uporządkowanym ma własność Hausdorffa (p. lemat 1.2.12), a więc na mocy lematu 1.5.9 zbiór H = (X×X)∖ΔX jest otwarty w X×X. Na mocy twierdzenia 1.4.9 istnieje taka rodzina R ⊆ {U ×V : U,V ∈ P } zbiorów parami rozłącznych, że ⋃ R ⊆H ⊆cl ⋃ R. Rozważmy zbiór

Ponieważ |R | ≤ c(X ×X) < d(X), to |D| < d(X). Każdy zbiór gęsty zawiera wszystkie punkty izolowane. Z nierówności c(X ×X) < d(X) wynika więc, że zbiór punktów izolowanych w X nie jest gęsty. Stąd wynika, że istnieje przedział niejednopunktowy (x,y) ⊆X, dla którego D ∩(x,y) = ∅. Wówczas zbiór otwarty (x,y) ×(x,y) nie może być zawarty w ΔX, a więc istnieje taki zbiór (a,b) ×(c,d) ∈ R , że ((a,b) ×(c,d)) ∩((x,y) ×(x,y))≠∅. Stąd wynika, że (x,y) przecina (a,b) oraz (c,d). Ponieważ jednak {a,b,c,d}∩(x,y) = ∅, to (x,y) ⊆(a,b)∩(c,d). To prowadzi do sprzeczności, bo ((x,y)×(x,y))∩ΔX≠∅, a ⋃ R ∩ΔX = ∅. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. □

Jeśli X jest prostą Suslina, to c(X) = ω, a d(X) = ω₁. Z twierdzenia Simona wynika więc, że jeśli X jest prostą Suslina, to X ×X nie ma własności Suslina, a więc c(X ×X) > c(X). Jako pierwszy wykazał to Kurepa [306]. Istnienie prostej Suslina wymaga dodatkowych założeń, takich jak na przykład aksjomat Jensena. Jednak bez dodatkowych założeń dotyczących aksjomatów teorii mnogości Todorčević [487] wykazał, że istnieje taka przestrzeń zwarta X, że c(X ×X) > c(X).

Przedstawimy teraz konstrukcję topologiczną wykorzystującą iloczyn kartezjański i operację ilorazowania. Jest to zapowiedziana wcześniej długa linia.

Przykład 1.5.14 (długa linia). Rozważmy zbiór ω₁ z topologią porządkową, a następnie w iloczynie kartezjańskim [0,1]×ω₁ weźmy relację równoważności ≡, przyjmując, że (x,α) ≡(y,β), gdy zachodzi jeden z trzech przypadków: (1) (x,α) = (y,β) lub (2) (x,α)≠(y,β), a ponadto β = α + 1 oraz x = 1 i y = 0, lub (3) α = β jest liczbą porządkową graniczną. Przestrzeń ilorazową L = ([0,1]×ω₁)/ ≡ nazywamy długą linią[33] . Klasy abstrakcji względem relacji ≡ punktów wewnętrznych zbiorów Iα = [0,1]×{α} są jednopunktowe. Te klasy abstrakcji, które nie są jednoelementowe, mają postać Iα×{α}, jeśli α jest liczbą porządkową graniczną, lub są postaci {(1,α),(0,α + 1)}. Stąd wynika, że funkcja ilorazowa skleja odcinki Iα o indeksie α będącym liczbą porządkową graniczną i skleja koniec odcinka Iα z początkiem odcinka Iα+1. To sprawia, że długa linia jest spójna. Można też na przestrzeń L spojrzeć inaczej – powstaje ona przez wstawienie pomiędzy liczby porządkowe α oraz α + 1 przedziału otwartego (0,1).

Długą linię można też otrzymać jako przestrzeń liniowo uporządkowaną; p. przykład 1.1.4. Wystarczy w iloczynie kartezjańskim ω₁ ×[0,1) rozważyć porządek leksykograficzny, czyli porządek dany wzorem: (x,α) < (y,β) wtedy i tylko wtedy, gdy x < y lub x = y oraz α < β; p. przykład 1.1.19. ♢

Występujące w matematyce funkcje dwóch zmiennych są w istocie funkcjami określonymi na iloczynie kartezjańskim. Stąd wynika, że do badania ciągłości tych funkcji potrzebna jest topologia iloczynu kartezjańskiego. Do najważniejszych funkcji tego typu należą działania algebraiczne. Na przykład dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych jest funkcją +: ℝ ×ℝ →ℝ daną wzorem +(x,y) = x + y. Analogicznie definiujemy operację mnożenia. Operacja elementu odwrotnego na zbiorze ℝ ∖{0} jest funkcją jednej zmiennej. Odnotujmy dowód faktu dobrze znanego z wykładów analizy matematycznej.

Lemat 1.5.15. Działania algebraiczne w zbiorze ℝ są ciągłe.

Dowód. Przedstawimy dowód dla mnożenia. Aby wykazać ciągłość funkcji f : ℝ × ℝ → ℝ danej wzorem f(x,y) = xy, wykorzystamy kryterium Heinego. Załóżmy, że lim n→∞(xn,yn) = (x,y). Na mocy lematu 1.5.5 rzutowania z iloczynu kartezjańskiego są ciągłe, a więc lim n→∞|yn −y| = 0 oraz lim n→∞|xn −x| = 0. A zatem lim n→∞f(xn,yn) = xy, bo zachodzi nierówność

Dowód ciągłości funkcji g(x) = 1 x jest podobny. Wystarczy wykorzystać równość |1xn- −x1|= ||xxnn−||xx||. Dowód ciągłości dodawania jest oczywisty. □

W zbiorze C(X) funkcji ciągłych określonych na X i przyjmujących wartości rzeczywiste wprowadzamy działania algebraiczne następującym wzorem

(1.26)

gdzie f,g ∈C(X) oraz x ∈X.

Lemat 1.5.16. Jeśli f,g ∈C(X), to f + g ∈C(X) oraz f ⋅g ∈C(X).

Dowód. Niech f,g: X → ℝ będą funkcjami ciągłymi. Wykażemy, że funkcja f+g jest ciągła. Dla operacji mnożenia funkcji dowód jest analogiczny. Ponieważ złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą (p. lemat 1.3.13), to na mocy lematu 1.5.15 wystarczy wykazać, że funkcja h: X → ℝ ×ℝ dana wzorem h(x) = (f(x),g(x)) jest ciągła. Ustalmy otoczenie U₁ ×U₂ punktu (f(x),g(x)). Z ciągłości funkcji f i g wynika, że istnieją takie otoczenia V ₁ oraz V ₂ punktu x, że f[V ₁] ⊆U₁ i g[V ₂] ⊆U₂. Wówczas h[V ₁∩V ₂] ⊆U₁×U₂, co kończy dowód. □

Jeśli funkcja rzeczywista g przyjmuje wartości w zbiorze ℝ ∖{0}, to możemy określić iloraz tych funkcji wzorem (f) g(x) = f(x) ⋅-1- g(x) dla każdego x ∈ X. Ponieważ zgodnie z lematem 1.5.15 operacja elementu odwrotnego jest funkcją ciągłą, to z lematu 1.5.16 wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.5.17. Suma, różnica, iloczyn oraz iloraz funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych jest funkcją ciągłą.

Wynika stąd, że rodzina wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych na danej przestrzeni topologicznej X jako struktura algebraiczna jest pierścieniem[34] . Nazywamy go pierścieniem funkcji ciągłych i oznaczamy symbolem C(X), tak jak zbiór wszystkich funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych. O niektórych własnościach tego zbioru będzie mowa w następnym rozdziale.

Kończymy sekcję o iloczynie kartezjańskim krótkim omówieniem jeszcze jednej ważnej konstrukcji topologicznej. Funkcję, która każdemu elementowi s ustalonego zbioru S przyporządkowuje zbiór Xs, nazywamy indeksowaną rodziną zbiorów i oznaczamy symbolem (Xs: s ∈ S). W przypadku gdy S jest zbiorem liczb naturalnych indeksowana rodzina zbiorów staje się ciągiem w zwykłym tego słowa znaczeniu i jest zapisywana w postaci (Xn)n∈ℕ lub (Xn)n=1∞. Podobnie jak w przypadku ciągów, w rodzinach indeksowanych elementy mogą się powtarzać lub wręcz mogą być wszystkie takie same. Indeksowane rodziny zbiorów pojawiają się w tej książce wielokrotnie. Wykorzystamy je, wraz z iloczynem kartezjańskim, w kolejnej konstrukcji.

Definicja 1.5.18 (suma rozłączna). Jeśli ((Xs,Ts): s ∈ S) jest indeksowaną rodziną przestrzeni topologicznych, to sumą rozłączną lub sumą topologiczną tej rodziny nazywamy zbiór

z topologią T złożoną ze zbiorów spełniających następujący warunek

(1.27)

przy czym pr Xs: Xs ×{s}→Xs jest rzutowaniem, tzn. pr Xs(x,s) = x.

Ze wzoru (1.27) wynika, że jeśli (Xs,Ts) = (X,T) dla każdego s ∈S, to przestrzeń ⊕ {Xs: s ∈S} jest homeomorficzna z iloczynem kartezjańskim X ×S, przy czym topologia w S jest dyskretna. Jeśli przestrzenie Xs są parami rozłączne, to topologię w sumie rozłącznej można z dokładnością do homeomorfizmu opisać wzorem

Suma rozłączna jest w sensie teorii kategorii konstrukcją dwoistą do konstrukcji produktu, o którym mowa wcześniej. Przykładem sumy rozłącznej jest przestrzeń X z przykładu 1.3.5. Rozważana tam przestrzeń jest homeomorficzna z sumą rozłączną przeliczalnie wielu przedziałów, a więc X = ⊕ {In: n ∈ℕ}, gdzie In=[0,1] dla każdego n ∈ℕ.

6. Grupy topologiczne, przestrzenie jednorodne

Rozwój analizy matematycznej, a w szczególności abstrakcyjnej analizy harmonicznej, stworzył potrzebę badania związków między topologią a algebrą. W ten sposób pojawiło się pojęcie grupy topologicznej. Ogólna definicja grupy topologicznej została wprowadzona przez Leję w pracy [312] z 1927 r. Aczkolwiek struktury, w których występuje zarówno topologia, jak i algebra, były rozważane już wcześniej w zagadnieniach geometrycznych[35] . Systematyczne badania grup topologicznych i ich zastosowań w analizie pojawiły się dopiero w klasycznej książce Pontriagina [399]. W literaturze współczesnej jest im poświęcona bardzo obszerna monografia Archangielskiego i Tkaczenki [20] oraz książka Dikranjana, Prodanowa i Stojanowa [126].

Definicja 1.6.1 (grupa topologiczna). Niech (G,⋅) będzie grupą z elementem neutralnym e i niech T ⊆ P (G) będzie topologią w zbiorze G. Mówimy, że G jest grupą topologiczną, jeśli odwzorowania f : X ×X →X oraz g: X →X zadane dla dowolnych x,y ∈X wzorami

(1.28)

są ciągłe, przy czym w X ×X jest ustalona topologia iloczynu kartezjańskiego, a x⁻¹ jest elementem odwrotnym do x.

Nietrudno sprawdzić, że w definicji grupy topologicznej funkcje f i g można zastąpić funkcją h: X ×X →X daną wzorem: h(x,y) = x ⋅y⁻¹ dla x,y ∈X. Z lematu 1.5.15 wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.6.2. Przestrzeń ℝ z działaniem dodawania jak i przestrzeń ℝ ∖{0} z działaniem mnożenia są grupami topologicznymi.

Przykładami grup topologicznych są także przestrzenie liniowo topologiczne, które odgrywają ważną rolę w analizie funkcjonalnej. Przypomnijmy, że jeśli V jest zbiorem niepustym, a 𝕂 jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych (tzn. 𝕂 = ℝ lub 𝕂 = ℂ), to V jest przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem 𝕂, gdy (V,+) jest grupą przemienną z elementem neutralnym 0 i jest określona operacja ⋅: 𝕂 ×V →V mnożenia elementów zbioru V (nazywanych wektorami) przez elementy ciała 𝕂 (nazywanych skalarami), przy czym spełnione są następujące warunki:

(a) α(x + y) = αx + αy oraz (α + β)x = αx + βx,

(b) (αβ)x = α(βx) oraz 1x = x

dla dowolnych x,y ∈V oraz α,β ∈𝕂. Zgodnie z tradycją znak ⋅ mnożenia wektora przez skalar pomijamy. Dla zbiorów A,B ⊆V przyjmujemy

Zbiór W ⊆V jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V , gdy x + y ∈W oraz αx ∈W dla dowolnych x,y ∈W i α ∈𝕂.

Przykład 1.6.3. Ustalmy zbiór niepusty S i rozważmy zbiór V = Sℝ wszystkich funkcji określonych na S i przyjmujących wartości w zbiorze liczb rzeczywistych. Działania w zbiorze V są określone w następujący sposób: jeśli x,y ∈V i α ∈ℝ, to

dla każdego s ∈ S. Jeśli dodatkowo X jest przestrzenią topologiczną, to na mocy twierdzenia 1.5.17 zbiór C(X,ℝ) wszystkich funkcji ciągłych na X o wartościach w ℝ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej Xℝ. Jeśli S = ℕ, to w ℕℝ możemy rozważać podzbiór

złożony z wszystkich ciągów sumowalnych z kwadratem. Zauważmy, że zbiór ℓ₂ jest domknięty za względu na działanie dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Faktycznie, dla dowolnych (xn)n=1∞,(yn)n=1∞ ∈ ℓ₂ dostajemy

bo dla dowolnych a,b ∈ ℝ mamy nierówność (a + b)² ≤ 2(a² + b²). Dla każdego α ∈ℝ oraz (xn)n=1∞ ∈ℓ₂ mamy też (αxn)n=1∞ ∈ℓ₂, a więc ℓ₂  jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ℕℝ. ♢

W przestrzeniach liniowych można wprowadzić topologię tak, aby działania były funkcjami ciągłymi.

Definicja 1.6.4 (przestrzeń liniowo topologiczna). Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową nad ciałem 𝕂. Jeśli w zbiorze V określona jest topologia, przy której działania +: V ×V →V oraz ⋅: 𝕂×V →V są funkcjami ciągłymi, to V nazywamy przestrzenią liniowo topologiczną.

Zakładamy oczywiście, że w ciele 𝕂 dana jest topologia naturalna przestrzeni ℝ lub topologia płaszczyzny Gaussa, która jest identyczna z topologią iloczynu kartezjańskiego ℝ ×ℝ. Zgodnie z twierdzeniem 1.3.2 ciągłość dodawania wektorów oznacza, że dla dowolnych x,y ∈V i dowolnego otoczenia U punktu x + y istnieją takie otoczenia Wx oraz Wy odpowiednio punktów x i y, że Wx + Wy ⊆U. Natomiast ciągłość mnożenia przez skalar oznacza, że jeśli x ∈X oraz α ∈𝕂, to dla każdego otoczenia otwartego V punktu αx istnieje takie otoczenie Wx punktu x i otoczenie Iα ⊆𝕂 punktu α, że γWx ⊆V dla każdego γ ∈Iα.

Najprostszymi przykładami przestrzeni liniowo topologicznych są przestrzenie ℝn dla n ≥1. Odnotujmy też mniej oczywisty przykład, który wykorzystamy w dalszych rozdziałach książki.

Przykład 1.6.5. Dla każdego zbioru X w przestrzeni liniowej V = Xℝ (p. przykład 1.6.3) rozważmy zbiory postaci

gdzie x ∈ V oraz s₁,…,sn ∈ X i 𝜀 > 0. Zbiór V z topologią generowaną przez rodzinę B = {V x(s₁,…,sn;𝜀): x ∈ V oraz s₁,…,sn ∈ X i 𝜀 > 0} jest przestrzenią liniowo topologiczną. Ponieważ, co łatwo sprawdzić, B jest bazą tej topologii, to aby wykazać, że operacja dodawania wektorów jest ciągła ze względu na tę topologię, wystarczy wykazać, że jeśli x,y ∈ V , to dla dowolnego 𝜀 > 0 oraz s₁,…,sn ∈X zachodzi inkluzja

Faktycznie, jeśli x′ ∈ V x(s₁,…,sn;2 ⁻¹𝜀) oraz y′ ∈ V y(s₁,…,sn;2 ⁻¹𝜀), to dla każdego i ≤n dostajemy

a więc x′+ y′∈V x+y(s₁,…,sn;𝜀). Aby sprawdzić ciągłość mnożenia przez skalar, ustalmy otoczenie punktu x ∈V , α ∈ℝ i otoczenie V αx(s₁,…,sn;𝜀) punktu αx. Wybierzmy η > 0 tak małe, że η(η + |α|+ max{|x(si)|: i ≤n}) < 𝜀. Wówczas dla każdego β ∈ (α −η,α + η) i x′ ∈ V x(s₁,…,sn;η) oraz i ≤ n dostajemy

bo x′ ∈V x(s₁,…,sn;η) oraz |α −β|< η, a więc

co dowodzi ciągłości operacji mnożenia przez skalar. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to zbiór Cp(X) wszystkich elementów przestrzeni liniowo topologicznej Xℝ, które są funkcjami ciągłymi, jest jej podprzestrzenią liniową. Własności topologiczne przestrzeni Cp(X) omówione są w rozdziale 4 o zupełności. ♢

Zauważmy, że operacja elementu odwrotnego w grupie V , czyli funkcja −: V →V , która każdemu x ∈V przyporządkowuje element −x ∈V taki, że x + (−x) = 0, także jest ciągła. Aby to wykazać, wystarczy sprawdzić, że −x = (−1)x, gdzie −1 ∈𝕂, bo wówczas ciągłość operacji odejmowania wektorów wynika z ciągłości mnożenia przez skalar. Zauważmy najpierw, że z warunków (a) i (b) mamy x = 1x = (1 + 0)x = 1x+ 0x = x+ 0x, a więc 0x = 0. Stąd wynika, że 0 = (1 −1)x = 1x + (−1)x = x + (−1)x, a więc (−1)x = −x. Stąd dostajemy następującą konkluzję.

Lemat 1.6.6. Jeśli V jest przestrzenią liniowo topologiczną, to (V,+) jest grupą topologiczną.

Innym ważnym przykładem grupy topologicznej jest okrąg.

Przykład 1.6.7 (grupa okręgu). Ciało liczb zespolonych oznaczymy symbolem ℂ, a grupę okręgu definiujemy jako

przy czym topologia w przestrzeni ℂ zadana jest przez metrykę daną wzorem d(z,w) = |z − w|. Ponieważ dla dowolnych z,w ∈ ℂ mamy |z ⋅w| = |z|⋅|w|, więc działanie mnożenia liczb zespolonych nie wyprowadza poza 𝕋. To samo dotyczy elementu odwrotnego – w grupie 𝕋 mamy więc działanie multiplikatywne. Jest ono ciągłe, bo podobnie jak w dowodzie lematu 1.5.15 dla dowolnych z,w ∈𝕋 oraz ciągów (zn)n=1∞,(zn)n=1∞ ⊆𝕋 mamy nierówność

a więc, jeśli lim n→∞(zn,wn) = (z,w), to lim n→∞zn⋅wn = z⋅w. Ciągłość operacji elementu odwrotnego wynika z równości

Zauważmy, że grupa topologiczna 𝕋 jest przestrzenią spójną, bo jest obrazem przestrzeni spójnej ℝ przez funkcję ciągłą φ: ℝ →𝕋 daną wzorem

(1.29)

p. twierdzenie 1.3.11. Z interpretacji ciała liczb zespolonych jako punktów płaszczyzny Gaussa wynika, że okrąg można też zdefiniować jako podzbiór przestrzeni euklidesowej ℝ² dany wzorem

Okrąg jako przestrzeń topologiczną można też określić jako przestrzeń ilorazową [0,2π]/ ≡, przy czym relacja równoważności ≡ dana jest wzorem

A zatem S¹ = [0,2π]/F, gdzie F = {0,2π}. Zgodnie ze wzorem (1.29) funkcja h: S¹ →𝕋 zadana worem h(F) = 1 oraz h(t) = φ(t) dla t ∈S¹ ∖{F} jest dobrze określona. Jest ona homeomorfizmem, bo jeśli (tn)n=1∞ ⊆S¹ ∖{F} jest zbieżny do F, to jest sumą dwóch podciągów, z których jeden zmierza do 0, a drugi do 2π. Oczywiście jeden z tych ciągów może być pusty. W każdym przypadku ciąg (h(tn))n=1∞ zmierza do jedynki. ♢

W związku z grupami topologicznymi pojawia się ważne pojęcie jednorodności, które w szczególności przysługuje wszystkim grupom topologicznym[36] .

Definicja 1.6.8 (przestrzeń jednorodna). Przestrzeń topologiczna X jest jednorodna, gdy dla dowolnych punktów x,y ∈ X istnieje taki homeomorfizm f : X →X, że f(x) = y.

Przestrzeń ℝ jest jednorodna, bo dla x,y ∈ℝ funkcja f : ℝ →ℝ dana wzorem f(t) = y + x −t jest homeomorfizmem i f(x) = y. Istnieją proste przykłady przestrzeni niejednorodnych.

Przykład 1.6.9. Przedział [0,∞) nie jest przestrzenią jednorodną, bo nie istnieje homeomorfizm przeprowadzający punkt x = 0 na punkt y = 1 czy dowolny inny punkt różny od 0. Gdyby f : [0,∞) → [0,∞) było takim homeomorfizmem, to f ↾ (0,∞) byłoby homeomorfizmem zbioru spójnego (0,∞) na zbiór niespójny (0,1) ∪(1,∞), co nie jest możliwe. ♢

Zanim pokażemy, że grupy topologiczne są jednorodne, opiszemy ich najbardziej elementarne własności; p. definicja 1.6.1. W grupie topologicznej (G,⋅) dla dowolnych zbiorów U,V ⊆ G przyjmujemy[37]

Piszemy xV zamiast {x}V oraz Uy zamiast U{y}. Przyjmujemy też oznaczenie Un+1 = UnU = UUn. Jeśli e ∈ U, to Un ⊆ Un+1 dla każdego n ∈ℕ.

Twierdzenie 1.6.10. Jeśli (G,⋅) jest grupą topologiczną, to:

(1) dla każdego x ∈ G funkcja lx: G → G dana wzorem lx(t) = x ⋅t i funkcja rx: G →G dana wzorem rx(t) = t⋅x są homeomorfizmami;

(2) dla każdego x ∈ G i każdego zbioru otwartego U ⊆ G zbiory xU oraz Ux są otwarte;

(3) jeśli B(e) jest bazą otoczeń elementu neutralnego, to każda z rodzin {Ux: U ∈ B (e)} oraz {xU : U ∈ B (e)} jest bazą w punkcie x;

(4) jeśli zbiór U ⊆ G jest otwarty, to zbiór U⁻¹ = {x⁻¹: x ∈ U} także jest otwarty;

(5) dla każdego zbioru otwartego U ⊆ G i dowolnego zbioru A ⊆ G zbiór UA jest otwarty;

(6) jeśli U ⊆ G jest otoczeniem elementu neutralnego, to istnieje takie otoczenie elementu neutralnego W ⊆G, że W ⊆W² ⊆U;

(7) jeśli U ⊆ G jest otoczeniem elementu neutralnego, to istnieje takie otoczenie V elementu neutralnego, że V ⊆U oraz V ⁻¹ = V .

Dowód. Aby wykazać pierwszą część warunku (1), zauważmy, że

gdzie funkcja f : G × G → G jest dana wzorem f(z,y) = z ⋅ y (p. warunek (1.28)), a funkcja ix: G →{x}×G jest zanurzeniem danym wzorem ix(t) = (x,t). Ponieważ zarówno f, jak też ix są funkcjami ciągłymi, to lx jest funkcją ciągłą dla każdego x ∈ G. W szczególności także lx⁻¹ jest funkcją ciągłą, a ponieważ lx ∘lx⁻¹ = lx⁻¹ ∘lx = idG, to lx⁻¹ = lx⁻¹, a więc lx⁻¹ jest funkcją ciągłą, czyli lx jest homeomorfizmem. Analogicznie dowodzi się, że rx jest homeomorfizmem.

Aby wykazać warunek (2), wystarczy zauważyć, że xU = lx[U] i analogicznie Ux = rx[U], a następnie skorzystać z punktu (1). Warunek (3) jest bezpośrednią konsekwencją tego warunku. Warunek (4) wynika z tego, że U⁻¹ = g[U], gdzie funkcja g jest dana wzorem (1.28). Ponadto g jest homeo-morfizmem, bo g jest funkcją ciągłą oraz g = g⁻¹. Faktycznie, dla dowolnych x,y ∈G mamy x = y⁻¹ wtedy i tylko wtedy, gdy y = x⁻¹.

Warunek (5) wynika z warunku (2), bo UA = ⋃ {Ux: x ∈A}. Dla dowodu warunku (6) ustalmy otoczenie U elementu neutralnego e. Na mocy ciągłości funkcji f (p. wzór (1.28)) istnieją takie otoczenia W₁ i W₂ elementu neutralnego e, że f[W₁ × W₂] ⊆ U. Wówczas dla W = W₁ ∩ W₂ mamy W² = f[W ×W] ⊆f[W₁ ×W₂] ⊆U. Ponieważ e ∈W, to W ⊆W².

Dla dowodu wzoru (7) przyjmijmy V = U ∩U⁻¹. Ponieważ e ∈ U oraz e⁻¹ = e, to e ∈V ⊆U. Na mocy wzoru (1.28) funkcja g jest bijekcją, a więc

bo (x⁻¹)⁻¹ = x dla każdego x ∈G. □

Twierdzenie 1.6.11. Każda grupa topologiczna jest jednorodna.

Dowód. Niech (G,⋅) będzie grupą topologiczną. Z twierdzenia 1.6.10(1) wynika, że dla dowolnych elementów x,y ∈G funkcja h: G →G dana wzorem h(t) = y ⋅x⁻¹ ⋅t jest homeomorfizmem oraz h(x) = y. □

O grupach topologicznych będzie jeszcze mowa w następnych rozdziałach. Do ich konstrukcji wykorzystuje się często iloczyn kartezjański oraz jego uogólnienie, czyli produkt.

Twierdzenie 1.6.12. Iloczyn kartezjański grup topologicznych jest grupą topologiczną.

Dowód. Niech (G₁,⋅) oraz (G₂,+) będą grupami topologicznymi z elementami neutralnymi odpowiednio e₁ oraz e₂. Wówczas w iloczynie kartezjańskim G₁ ×G₂ możemy określić działanie ⊗ następującym wzorem

Elementem neutralnym w grupie (G₁ × G₂,⊗) jest para (e₁,e₂), a elementem odwrotnym do elementu (a,x) jest element (a⁻¹,−x). Ciągłość działania ⊗ wynika wprost z lematu 1.5.2. □

Przykład 1.6.13 (torus). Iloczyn kartezjański 𝕋² = 𝕋 × 𝕋 nazywamy torusem. Z powyższego twierdzenia wynika, że torus jest grupą topologiczną. Odgrywa on ważną rolę w różnych zagadnieniach topologii geometrycznej oraz algebraicznej. ♢

Przypisy

Rozdział 1

[1] W literaturze polskiej o historii matematyki można przeczytać w książce Juszkiewicza [255], a także w książkach Kordosa [280] i Mioduszewskiego [353] oraz [355].

[2] Ciała zbiorów, oprócz topologii, występują też w innych działach matematyki, takich jak teoria mnogości, teoria miary i kombinatoryka. Przypomnijmy, że rodzina R ⊆ P (X) jest ciałem zbiorów, gdy X ∈ R , a dla dowolnych U,V ∈ R także U ∖ V ∈ R . Wtedy ∅∈ R , a z praw de Morgana wynika, że wówczas także X ∖ V,U ∩ V,U ∪ V ∈ R .

[3] Celem pracy Furstenberga, która ma zaledwie 12 wierszy (nie licząc tytułu i nazwiska autora), był topologiczny dowód twierdzenia, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony; p. przykład 1.1.15, a także Aigner i Ziegler [3], str. 15.

[4] O bazach i pojęciach pokrewnych pisze Sakai w artykule Topological spaces w [211].

[5] Korzystamy tu, jak w wielu innych miejscach, z pewnika wyboru. Na ogół tego nie komentujemy. W tej części matematyki, której dotyczy książka, bez pewnika wyboru wielu twierdzeń nie można by udowodnić.

[6] O przestrzeniach, w których zbiory jednoelementowe są domknięte, czyli o przestrzeniach typu T₁, piszemy na str. 21 i dalszych.

[7] W literaturze polskiej, na przykład w [153], wagę przestrzeni topologicznej nazywa się też ciężarem. W publikacjach anglojęzycznych na określenie minimalnej mocy bazy używa się określenia weight. Ponieważ frazę the weight of something tłumaczymy zwykle jako waga czegoś, to słuszne wydaje się użycie w literaturze polskiej słowa waga. Takiej nazwy używali m.in. Knaster oraz Mioduszewski; p. [354]. W innych działach matematyki, na przykład w teorii grafów, też pojawia się słowo „waga”. Za przyjęciem nazwy waga przemawia także powszechnie przyjęte oznaczenie w(X).

[8] Kompendium wiedzy na ten temat znajduje się w książkach Engelkinga [153] i Juhásza [250] oraz [251]. Nowsze wyniki, ale bez dowodów, są omówione w dwuczęściowym artykule Tamano Cardinal functions w [211]. Nieco starsze twierdzenia (z dowodami) znajdują się w artykule przeglądowym Hodela Cardinal functions I, w [293].

[9] Na zbiorze skończonym każda topologia ma skończenie wiele elementów. Aby nie wchodzić w zagadnienia kombinatoryczne, będziemy zakładali, że wszystkie rozważane tu przestrzenie są nieskończone, a wszystkie liczby kardynalne z nimi związane, takie jak na przykład waga, także są nieskończone.

[10] Przestrzenie zerowymiarowe odgrywają ważną role w logice, teorii mnogości oraz teorii algebr Boole’a; p. artykuł Balcara i Coplákovej Zero–Dimensional Spaces w [211].

[11] Inny przykład związku teorii liczb z topologią spotkamy w rozdziale 5 przy omawianiu przestrzeni Golomba.

[12] Wiele informacji o przestrzeniach liniowo uporządkowanych i ich podprzestrzeniach można znaleźć w artykule Bennetta i Lutzera w [236].

[13] Ta sama przestrzeń została ponownie odkryta przez Sorgenfreya w pracy [451], w której opisano wiele jej własności; p. przykład 1.1.8. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Camerona w [21], str. 791–796.

[14] Przestrzeń z tą topologią nazywana jest door-space. Niektórzy nazywają ją topologią studencką, bo początkujący studenci wyobrażają sobie niekiedy, że zbiory tak jak drzwi są albo otwarte, albo zamknięte.

[15] O przestrzeni, która w każdym punkcie ma bazę lokalną przeliczalną, mówi się, że spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności; p. [153].

[16] Podobnie jak w książce Hausdorffa z 1914 r., także w innych starszych książkach definiowano topologię za pomocą układu otoczeń punktów. Tak robi Whyburn [517] w książce z 1942 r., zakładając dodatkowo warunek równoważny z T₁, o którym mówi definicja 1.2.13. Podobnie topologię zdefiniował Császár [120] w 1978 r. Jednak już Bourbaki [83] w 1974 r. podaje definicję topologii taką jak na str. 4. Niekiedy konstruując konkretną przestrzeń topologiczną, wygodniej jest wskazać otoczenia punktów.

[17] Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Hofmanna The Low Separation Axioms T₀ and T₁ w [211], a także w książce Richmonda [406], w której omawiane są zastosowania tej teorii w informatyce teoretycznej; p. także artykuł Konga i Koppermana Digital topology w [211].

[18] Wnętrze zbioru bywa też oznaczane jako int A lub A∘, a domknięcie jako Cl A lub A.

[19] W książce Engelkinga [153] zbiory te są nazywane odpowiednio dziedzinami otwartymi i dziedzinami domkniętymi.

[20] W monografii Engelkinga [153] używane jest oznaczenie Fr A pochodzące od francuskiego frontiére. Użyte tu oznaczenie pochodzi od angielskiego boundary.

[21] Ta nazwa może budzić błędne skojarzenie z pochodną funkcji. Jednak angielskie derived set trudno inaczej przetłumaczyć na język polski.

[22] Znak równości mógłby sugerować, że punkt x₀ jest jedyny. Tak jednak nie jest. Na przykład w przestrzeniach antydyskretnych każdy punkt jest granicą każdego ciągu. Napis x₀ = lim n→∞xn oznacza jedynie prawdziwość zdania: x₀ jest granicą ciągu (xn)n=1∞. Niektórzy autorzy (p. Engelking [153]) wolą pisać x 0 ∈ lim n→∞xn lub xn→x₀.

[23] Rozważane są też ciągi numerowane liczbami porządkowymi nieskończonymi. Jeśli λ > ω jest liczbą porządkową graniczną, to x ∈ X jest granicą ciągu (xα)α<λ, gdy dla każdego otoczenia U punktu x istnieje takie α < λ, że xβ ∈ U dla każdego β ≥ α. Własności topologiczne opisane takimi ciągami są omówione w artykule Belli i Tironiego Pseudoradial spaces w [211].

[24] W monografii [153] nazywane są one przestrzeniami Frécheta, ale tę nazwę stosuje się też do pewnej klasy przestrzeni liniowo topologicznych. Na temat przestrzeni Frécheta–Urysohna pisze Simon w artykule Fréchet and sequential spaces w [211]. O przestrzeniach, w których topologię można opisać za pomocą ciągów zbieżnych i o pokrewnych pojęciach, piszą Dolecki i Nogura w artykule Convergence w [211].

[25] Można pokazać, że χ(X,x₀) = 𝔟, przy czym liczba 𝔟 jest najmniejszą mocą rodziny F ⊆ℕℕ nieograniczonej w sensie relacji ≤∗. Jeśli f,g ∈ℕℕ, to f ≤∗g, gdy f(n) ≤ g(n) dla prawie wszystkich n ∈ ℕ; p. Bartoszyński i Judah [40] lub artykuł van Douwena The integers in topology w [293]. W istocie pokazaliśmy, że 𝔟 ≥ ω₁.

[26] Intuicyjnie, funkcja f jest ciągła, jeśli punkty dowolnie bliskie zbioru A przeprowadza na punkty dowolnie bliskie zbioru f[A]. O roli ciągłości w matematyce pisze m.in. Nagata w artykule Continuous and topological mappings w [211]. Ważną rolę, na przykład w analizie rzeczywistej, odgrywają też uogólnienia ciągłości; p. artykuł Ciesielskiego Generalized continuities, także w [211]. W literaturze polskiej o ciągłości na tle historycznym pisze Mioduszewski [353].

[27] Punkty na płaszczyźnie, podobnie jak przedziały otwarte, oznaczamy za pomocą nawiasów okrągłych, co może prowadzić do nieporozumień. Jednak zwykle z kontekstu jasno wynika, czy chodzi o przedział, czy o punkt płaszczyzny.

[28] O różnych konstrukcjach wykorzystujących ilorazowanie pisze Tanaka w [211] w artykule Quotient spaces and decompositions.

[29] Znane w rachunku różniczkowym twierdzenie Darboux mówi, że także pochodna funkcji różniczkowalnej przyjmuje wartości pośrednie.

[30] Słownik języka polskiego podaje, że topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem tych własności przestrzeni, które nie ulegają zmianie przy przekształceniach homeomorficznych.

[31] Niezależnie od Kartezjusza także Fermat rozwijał metody algebraiczne w geometrii, lecz ich nie opublikował. Współrzędne kartezjańskie we współczesnym znaczeniu wprowadził Leibniz; p. Juszkiewicz [255].

[32] Przypomnijmy, że w przypadku liczb kardynalnych związanych z topologią, czyli tzw. niezmienników kardynalnych, zakładamy, że są one nieskończone.

[33] Nazywana jest też długim promieniem (p. Engelking [153]). W literaturze anglojęzycznej znana jako long line.

[34] Własności pierścienia C(X) opisane są w książce Gillmana i Jerisona [186].

[35] Wcześniej badano grupy Liego, czyli skończeniewymiarowe rozmaitości klasy C∞, które są jednocześnie grupami z działaniami klasy C∞; p. piąty problem Hilberta. Leja w pracy [312] rozważał ogólne przestrzenie topologiczne (spójne), które jednocześnie są grupami z działaniami (mnożenia i odwracania elementów) ciągłymi. Obszerny artykuł przeglądowy o grupach topologicznych opublikował Dikranjan w [211].

[36] Jednorodności przestrzeni topologicznej i różnym jej wariantom poświęcony jest artykuł Terady Homogeneous spaces w [211], a także praca przeglądowa Archangielskiego i van Milla Topological homogeneity w [212].

[37] Zgodnie z tradycją pomijamy symbol działania.