Projekt okładki i stron tytułowych Joanna Gwis

Zdjęcie na okładce Denis Tabler/Shutterstock

Wydawca Izabela Ewa Mika

Aktualizacja i redakcja merytoryczna Krystyna Czarnecka

Redaktor Krystyna Wojtala

Produkcja Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: Michał Nakoneczny / 88em.eu

Sponsor publikacji Krystyna Czarnecka

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2014.

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2014 r., (wyd. I)

Warszawa 2017

ISBN 978-83-01-19129-0

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl

www.pwn.pl

Przedmowa do wydania pierwszego

Gdy rozwój myśli ludzkiej i zainteresowania techniczne ludzi w zakresie pomiarów Ziemi wykroczyły poza wyznaczanie granic i pól powierzchni działek użytkowanych rolniczo, a obszar ludzkiej ciekawości rozszerzył się na całą Ziemię, zrodziło się pytanie o jej kształt i rozmiary. Wtedy właśnie narodziła się geodezja wyższa. Pisane źródła podają, że stało się to pomiędzy 600 a 195 r. p.n.e. za sprawą Pitagorasa, Arystotelesa i Eratostenesa. Ten ostatni, przyjąwszy za poprzednikami założenie o sferycznym kształcie Ziemi, wyznaczył jej promień. Odkrycie sferycznego kształtu Ziemi i poznanie rozmiarów naszej planety rozpoczęło proces kreowania ludzkości na świadomych swojego miejsca obywateli wszechświata.

W ciągu wielowiekowego rozwoju geodezja tworzyła coraz doskonalsze metody wyznaczania zarówno kształtu, jak i rozmiarów Ziemi, zakładania sieci punktów na dużych obszarach obejmujących kraje, kontynenty, a nawet cały glob ziemski, punktów o określonym położeniu względem pewnych układów odniesienia związanych z naszą planetą. Geodezja, wzbogacając swoje tradycyjne narzędzia poznawcze, wykształciła, lub przyswoiła, nowoczesne techniki pomiaru Ziemi, takie jak: metody satelitarne, inercyjne i kosmiczne. Na każdym etapie swojego rozwoju geodezja rozwiązywała problemy gromadzenia i przetwarzania wielkich zbiorów informacji o geometrycznych i fizycznych cechach Ziemi.

Współczesna geodezja jest bardzo rozległą dyscypliną naukową. Pośród nauk o Ziemi, geodezja jest tą nauką, która rozstrzyga – na podstawie eksperymentu pomiarowego – ilościowe cechy zjawisk określających dynamikę naszego globu. Geodezja stanowi zatem niejako pomost pomiędzy techniką i naukami przyrodniczymi.

Geodezją wyższą przyjęło się nazywać działy geodezji traktujące o zagadnieniach, które wymagają uwzględnienia kształtu Ziemi i parametrów ziemskiego pola siły ciężkości. Od drugiej połowy XX w., głównie za sprawą satelitarnych systemów wyznaczania pozycji, rozróżnianie pomiędzy geodezją wyższą a innymi działami geodezji traci dawny sens. Niniejszy podręcznik obejmuje problematykę zaliczaną niegdyś do geodezji wyższej uzupełnioną i wzbogaconą o zagadnienia nowe. Dlatego zdecydowałem się zatytułować go Geodezja współczesna. Jestem bowiem zdania, że bez zrozumienia zagadnień prezentowanych w podręczniku nie sposób pojąć współczesnej geodezji.

W literaturze polskiej od dawna odczuwa się brak ogólnego i w miarę kompletnego wprowadzenia do geodezji współczesnej, dającego zarówno podstawę do dalszych studiów, jak i do racjonalnych zastosowań współczesnych metod w praktyce mierniczej. Uzupełnienie tego braku jest celem niniejszego podręcznika.

W Politechnice Warszawskiej zarys geodezji wyższej jest wykładany przez trzy semestry dla studentów wszystkich specjalności. Podobnie jest w innych uczelniach na wydziałach związanych z geodezją. Oprócz geodezji ogólnej, wykładana jest obecnie geodezja satelitarna jako oddzielny przedmiot, a programy geodezyjnych studiów specjalistycznych zawierają ponadto wiele zaawansowanych zagadnień geodezji wyższej w ramach kilku oddzielnych przedmiotów.

Każdy z działów geodezji wyższej omówionych we wprowadzeniu mógłby być przedmiotem oddzielnego wykładu. Aby zawrzeć w jednym tomie wszystkie ważniejsze problemy współczesnej geodezji, trzeba było dokonać pewnej selekcji zagadnień i odpowiedniej ich generalizacji. W doborze problematyki zorientuje Czytelnika spis treści.

Trzeba było także zdecydować się na pewną formę prezentacji zagadnień. Wybrałem formę wykładu. Nie będę więc unikał szerszych wprowadzeń do poszczególnych zagadnień ani dyskusyjnych podsumowań. Chcę dodać, iż niektóre fragmenty podręcznika powstawały na podstawie magnetofonowego zapisu moich wykładów. Mając na względzie zdolności percepcyjne przeciętnych studentów geodezji – które śledzę przez ponad ćwierć wieku pracy dydaktycznej – starałem się, aby poziom wykładu nie przekraczał granicy, poza którą studenci przestają wykład rozumieć, specjaliści zaś z innych dyscyplin lub geodeci-praktycy zniechęcają się do dalszej lektury.

Objąwszy wykładem wszystkie ważniejsze działy geodezji wyższej – i współczesne, i w niezbędnym zarysie klasyczne – nie będę w stanie przedstawić wykładu źródłowego, zawierającego dowody wszystkich twierdzeń i szczegółowe wyprowadzenia wzorów tego bardzo zmatematyzowanego przedmiotu. Omawiając poszczególne teorie i wzory, pokażę istotę problemów. Zakładam, że po przeczytaniu wykładu studenci geodezji będą mieli podstawę, aby zrozumieć geodezję wyższą; inni zaś, nie specjalizujący się w geodezji, zdobędą pogląd na tę naukę i wprowadzenie w jej problemy. Starając się nie zniechęcić Czytelnika zbytnim sformalizowaniem wykładu, liczę na to, że sięgną po niego również geodeci, zajmujący się pomiarami. Nadeszły już bowiem czasy, które za sprawą nowych, coraz szerzej stosowanych w praktyce metod pomiarów, jeśli nie zmusiły ich jeszcze, to zmuszą niebawem, aby zrozumieli od nowa geodezję, widząc ją taką, jaką jest ona współcześnie.

W wykazie literatury podaję konsekwentnie te prace źródłowe, z których korzystałem w czasie pisania wykładu. Zdarzyło się jednak, że w kilku przypadkach, aby zbytnio nie komplikować konstrukcji tekstu, powołuję się na te źródła, które zalecałbym Czytelnikowi w pierwszej kolejności. Inne zamieszczone w wykazie literatury Czytelnik może traktować jako literaturę uzupełniającą.

Nie mając możności przeprowadzenia dostatecznie wielu sprawdzeń i korekt, mogę przypuszczać, że Czytelnik spotka w tekście pewne niedostatki.

Chcę wyrazić serdeczne podziękowania osobom i instytucjom, które zgodziły się na zamieszczenie w moim wykładzie rysunków i wykresów stanowiących ich autorską własność. W podpisach rysunków i w tekście wykładu starałem się skrupulatnie podawać nazwiska autorów i źródła.

Winien jestem wdzięczność prof. dr. hab. Januszowi Śledzińskiemu i prof. dr. hab. Marcinowi Barlikowi, a także dr inż. Bogusławie Kalinowskiej-Śledzińskiej i dr. inż. Stanisławowi Margańskiemu za życzliwe przejrzenie fragmentów maszynopisu i uwagi, moim studentom: Monice Hendzlik, Małgorzacie Tupaj, Grzegorzowi Dziekanowi i Leszkowi Wiśnikowi za pomoc w kreśleniu i komputerowym opracowaniu rysunków, mojej Rodzinie zaś za wyrozumiałość w czasie, gdy pisałem ten wykład.

Kazimierz Czarnecki

Warszawa, listopad 1994

1
Wprowadzenie do geodezji wyższej

Z historii geodezji

W Przedmowie do wydania pierwszego powiązano początek rozwoju geodezji wyższej z osiągnięciami naukowymi starożytnych Greków z pierwszego 600-lecia p.n.e. Jednakże początków ‘myśli geodezyjnej’ należy poszukiwać znacznie wcześniej. Ślady zachowanych pierwszych dokumentów pisanych związanych z geodezją pozostawiły już najstarsze cywilizacje: sumeryjska, egipska, chińska i indiańska. Istnieją dowody na to, że światlejsi przedstawiciele tamtych cywilizacji dokonywali pewnych obserwacji związanych z ruchem wirowym i ruchem orbitalnym Ziemi i podejmowali próby tworzenia modeli objaśniających obserwowane zjawiska astronomiczne. Modele te musiały dotyczyć również kształtu Ziemi.

Historię geodezji można ogólnie podzielić na następujące okresy:

• okres prehistoryczny, który można scharakteryzować jako okres ‘wyobrażeń ludzkości o kształcie Ziemi’,

• okres, który umownie można nazwać okresem rozwoju geodezji geometrycznej: od starożytnych Greków (około 600 p.n.e.), przez średniowiecze i renesans, aż do połowy XVII w. (do sformułowania przez Newtona prawa powszechnej grawitacji); w tym okresie zainteresowania badaczy skupiały się na poznaniu rozmiaru ‘kulistej Ziemi’;

• okres rozwoju geodezji fizycznej: od Newtona do połowy XX w.; odkrycie grawitacji sprawiło, że metody geodezji dynamicznej były podstawowym narzędziem badania figury Ziemi;

• okres geodezji współczesnej w epoce rewolucji technologicznej: elektronicznych komputerów, telekomunikacji, laserów i sztucznych satelitów Ziemi.

Początki geodezji geometrycznej sięgają VI w. p.n.e. Prawie dwa wieki wcześniej Homer (około 800 p.n.e.), a także dwa wieki później Tales z Miletu (około 600 p.n.e.) pisali o ‘ziemskiej tarczy otoczonej oceanem’. Ale już niedługo po Talesie, Pitagoras (około 580–500 p.n.e.) sformułował hipotezę, a uczniowie jego szkoły ‘uznawali’ sferyczny kształt Ziemi. Hipotezę Pitagorasa podtrzymał Arystoteles (384–322 p.n.e.). Greccy astronomowie już w VI w. p.n.e. przyjmowali sferyczny kształt Księżyca, wyjaśnili i opisali ruchy dobowe Słońca i Księżyca. W IV w. p.n.e. dysponowali długością roku zwrotnikowego 365,25 dób (przejąwszy prawdopodobnie tę wartość od Egipcjan). Heraklides (około 388–315 p.n.e.) proponował przyjąć, że Ziemia, Merkury i Wenus krążą wokół Słońca, Ziemia zaś wiruje wokół ‘własnej’ osi. Również zainteresowanie ziemską grawitacją przypisuje się – jako pierwszemu – Arystotelesowi. Inny Grek Pyteasz ‘podejrzewał’ już w III w. p.n.e., że przypływy morskie są powodowane przez ciała niebieskie. Pod koniec III w. p.n.e., w ślad za ideą sferycznego kształtu Ziemi, wprowadzono ‘kątowe’ współrzędne sferyczne, a wspomniany Pyteasz jako pierwszy wyznaczył szerokość geograficzną. W 150 lat później Hipparch opracował pierwszą mapę nieba w systemie ‘ekwinokcjalnym’. To on był pionierem idei precesji ziemskiej.

‘Naukowy początek’ geodezji wiąże się najczęściej z nazwiskiem Eratostenesa (276–194 p.n.e.), ponieważ wyznaczenie długości ziemskiego promienia przez pomiar długości łuku południka to idea, która przetrwa w geodezji ponad 2000 lat, aż po epokę kosmiczną. Można twierdzić, że osiągnięcia geodezji fizycznej w trzech ostatnich stuleciach (od połowy XVII w.) były uzupełnieniem ‘geometrycznej idei’ Eratostenesa w zakresie wyznaczania kształtu i rozmiarów Ziemi. Aby uzmysłowić Czytelnikowi doniosłość naukową wyznaczenia ziemskiego promienia sprzed 2200 lat, przedstawimy opis eksperymentu Eratostenesa. Pomysł można zilustrować rysunkiem 1.1.

Rys. 1.1. Pomysł Eratostenesa wyznaczenia długości promienia Ziemi

Eratostenes spostrzegł, że w czasie przesilenia letniego (według naszego kalendarza 22 czerwca) słoneczne promienie padają pionowo w miejscowości Syene w pobliżu dzisiejszego Asuanu. Stwierdził to, obserwując odbicie słońca w bardzo głębokiej studni. O tej samej porze znana mu wysoka kolumna w Aleksandrii rzucała najkrótszy w roku cień. Pomierzywszy wysokość kolumny i długość jej cienia, Eratostenes ustalił, że kąt, jaki tworzą słoneczne promienie z kolumną wynosi 0,02 kąta pełnego, tzn. γ = 7°12′. Na rysunku widać, że jest to wartość kąta środkowego odpowiadającego odcinkowi łuku południka Syene–Aleksandria. Należało pomierzyć długość tego odcinka łuku południka. Odległość była znaczna – około 790 km. Eratostenes nie mógł skrócić tej odległości nie tylko z powodu braku takiej studni jak w Syene i takiej kolumny jak w Aleksandrii położonych w pobliżu jednego południka, ale prawdopodobnie również dlatego, że zdawał sobie sprawę, iż ta znaczna odległość jest korzystna dla dokładności wyznaczenia ziemskiego promienia. Pomiar tak znacznej długości wydawał sie w tamtych czasach niewykonalnym przedsięwzięciem. Istniały jednakże w dolinie Nilu ‘precyzyjne pomiary katastralne’ pól uprawnych na znacznych obszarach. Eratostenes wykorzystał te pomiary dwojako: częściowo bezpośrednio, ale także za ich pomocą wyznaczył czas ‘przemarszu wielbłądziej karawany’ przez znaną z pomiarów odległość. Taką ‘mieszaną metodą’, oszacował potrzebną mu odległość na około ∆Ł ≈ 5000 stadiów egipskich. Wyliczony w taki sposób promień ziemski po przeliczeniu na metry (1 stadia ≈ 157,5 m) wyniósł R = 6267 m. Jeśli tak, to wyznaczony promień okazałby się mniejszy od średniego promienia Ziemi tylko o 2%. Inni uważają, że takie przeliczenie stadiów na metry jest błędne i że wynik Eratostenesa należy raczej uznawać jako bliższy R = 5950 km. Ponadto uważa się współcześnie, że, tak czy inaczej, ten mały błąd – przy zastosowaniu ówczesnych mało dokładnych metod pomiaru obu wielkości – był tylko przypadkowym, szczęśliwym zbiegiem okoliczności. Jeśli nawet tak się zdarzyło, to nie umniejsza to w niczym genialności pomysłu Eratostenesa. Blisko 50 lat później Poseydoniusz otrzymał wynik o 11% różniący się od średniego promienia Ziemi. W następnym tysiącleciu, około 870 r. kalif al-Mámûnu wykonał pomiary w okolicach Bagdadu, otrzymując długość promienia o 10% za dużą w stosunku do obecnej średniej wartości, tzn. w stosunku do 6371 km. Nowsze pomiary długości promienia przypadają na początek XVI w. Będzie o tym mowa dalej.

Od początku ery nowożytnej, przez średniowiecze nie zdarzały się żadne poważniejsze odkrycia w dziedzinie nauk o Ziemi. Ostatnim ważniejszym wydarzeniem u schyłku epoki wielkich Greków były dzieła Ptolemeusza Klaudiusza (około 100–około 168) stanowiące kompilację ówczesnej wiedzy z zakresu geodezji i astronomii zgromadzonej w Aleksandrii, znane pod arabskim tytułem Almagest i Nauka geograficzna oraz słynna mapa świata, na której po raz pierwszy pokazano (najstarsze) polskie miasto Kalisz (Kalisia), położone na szlaku bursztynowym. Ptolemeusz jednak nie akceptował teorii heliocentrycznej głoszonej przed nim za czasów Heraklidesa.

Średniowieczny zastój europejskiej nauki trwał aż po renesans. Mniej znane są osiągnięcia arabskie z tego okresu. Przenikały one bowiem do Europy tylko za pośrednictwem arabskich zdobywców części Półwyspu Iberyjskiego. Wymiar Ziemi określił około 800 r. Al-Khwarizmi, lecz otrzymał wynik około 1,6 razy większy od wyniku Erotostenesa. Uważa się, że jego nazwisko dało początek słowu ‘algorytm’. On wprowadził hinduskie cyfry do arabskiej arytmetyki.

Wielkie podróże u schyłku XIII w. (Marco Polo, 1254–1324), nowa mapa świata, którą opracował Toscanelli (1397–1482), ożywienie kulturalne i gospodarcze w XV w. – to zapowiedzi renesansu. Takie wydarzenia, jak wynalezienie druku (Gutenberg, 1455), odkrycie Ameryki (Kolumb, 1492), opłynięcie świata (Amerigo Vespucci, 1451–1512) rozpoczęły renesansowy rozkwit nauki i sztuki. Nie można już było zaprzeczać sferycznemu kształtowi Ziemi. Jeden z największych umysłów renesansu, Leonardo da Vinci (1452–1519) wysunął przypuszczenie, z którego wynikła późniejsza hipoteza izostazji. W 1530 r. Mikołaj Kopernik (1473–1543) ukończył pracę nad swoim De revolutionibus orbium coelestium, dając światu naukowo uzasadnioną teorię heliocentryczną, włączającą po raz pierwszy wszystkie znane wówczas planety w okołosłoneczny obieg. Wkrótce niemiecki astronom Jan Kepler (1571–1630) wyznaczył z obserwacji i ogłosił swoje trzy prawa ruchu planet, ugruntowując teorię Kopernika i uściślając ją (kopernikańskie orbity-okręgi zostały zastąpione keplerowskimi elipsami). Ta mechanika nieba, pod którą podwaliny położyli Kopernik i Kepler, niezmieniona obowiązuje do dzisiaj. Teoria heliocentryczna, jedno z największych osiągnięć myśli odrodzenia, miała swoje ofiary. W 1600 r. spłonął na stosie Giordano Bruno (1548–1600), astronom i filozof, uwięziony w 1592 r., a następnie skazany przez inkwizycję. Wielki fizyk, astronom i filozof Galileo Galilei, Galileusz (1564–1642) – twórca nowoczesnej mechaniki, wynalazca lunety, odkrywca czterech księżyców Jowisza, propagator idei kopernikańskiej – prześladowany przez inkwizycję, musiał się wyrzec swoich poglądów u schyłku życia. Dzieła Kopernika, Keplera i Galileusza dopiero w 1822 r. zdjęto z indeksu. Mniej więcej w tym samym czasie flamandzki kartograf Gerhard Mercator (1512–1594), wychodząc naprzeciw potrzebom nawigacji, opracował swoją mapę świata. Jako pionier i orędownik naukowo opracowanych odwzorowań konforemnych, jest uważany za ojca nowoczesnej kartografii. Inne doniosłe odkrycie (1615), które zrewolucjonizowało naziemne pomiary geodezyjne, a także wyznaczanie wymiarów i kształtu Ziemi na ponad trzy stulecia, to triangulacja stworzona jako metoda pomiarów Ziemi przez holenderskiego geodetę, matematyka i fizyka Willebrordusa Snelliusa (Snell van Royen, 1580–1626). On także poczynił pierwsze znaczące studia nad refrakcją. Okres geodezji geometrycznej rozpoczęło wyznaczenie długości ziemskiego promienia przez Eratostenesa; inne wyznaczenie tej wielkości okres ten zamyka. W 1670 r. francuski duchowny Picard, po 19 stuleciach od słynnego eksperymentu Eratostenesa, dokonał, z inicjatywy nowo powstałej (1666) Francuskiej Akademii Nauk, nowoczesnych pomiarów łuku południka paryskiego za pomocą triangulacji. Osiągnął wynik, który można traktować jako postęp w zakresie metod geometrycznego wyznaczenia promienia Ziemi, ponieważ wynik Picarda R = 6275 km nie budzi żadnych metodycznych wątpliwości. Także Picard jako pierwszy zastosował krzyż kresek do celowania w lunecie instrumentu.

Okres geodezji fizycznej oznacza w rozwoju geodezji przejście od sferycznego do elipsoidalnego modelu Ziemi, takiego modelu, z jakiego korzystamy po dzień dzisiejszy. Okres ten rozpoczyna największe bodajże odkrycie naszej ery: Isaaka Newtona ‘prawo powszechnej grawitacji’ z 1687 r. Sam Newton miał powiedzieć: „…jeśli nawet zobaczyłem więcej niż inni, to dlatego, że stanąłem na ramionach olbrzymów”. Mając teorię Kopernika i prawa Keplera, aparat matematyczny przygotowany przez Kartezjusza (1596–1650) – geometrię analityczną i Leibnitza (1646–1716) – rachunek różniczkowy, sam Newton (1643–1727) powiedział, że „…każda cząstka materii przyciąga jakąś inną cząstkę siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas obu cząstek i odwrotnie proporcjonalną do drugiej potęgi odległości między nimi”. Korzystając z dostępnego aparatu matematycznego, Newton stworzył podwaliny nowoczesnej mechaniki, w tym mechaniki nieba. Jego prawo tłumaczy nie tylko zjawiska ziemskie, takie jak np. swobodny spadek ciał, ale także ruch planet. Poznając prawa Newtona, ludzkość zrozumiała, że planety poruszają się zgodnie z tym samym prawem ‘powszechnej grawitacji’, które współkreuje na Ziemi pojęcia pionu i poziomu. Prawo Newtona zaszczepiło w ludzkich umysłach naczelną zasadę nauk przyrodniczych – zasadę jedności praw wszechświata.

Włoski astronom J.D. Cassini (1625–1712), pracujący jako królewski astronom na dworze francuskim, zaobserwował w 1666 r. spłaszczenia na biegunach Jowisza. Inny Francuz, J. Richer, podczas eksperymentów z jednosekundowym wahadłem stwierdził, że okres wahań skraca się w miarę przesuwania się na północ. Na tych przesłankach Newton i konstruktor zegara wahadłowego, Holender Ch. Huygens (1629–1695) stworzyli podstawy teorii spłaszczenia Ziemi na biegunach. Newton, na gruncie teorii równowagi jednorodnych ciał ciekłych obracających się, postulował, że wzrost przyśpieszenia siły ciężkości jest proporcjonalny do kwadratu sinusa szerokości geograficznej. W tym samym czasie Cassini zajmował się pomiarami stopnia, przedłużając łuk wykorzystany przez Picarda na północ do Dunkierki. Otrzymał ujemną (!) wartość spłaszczenia, jak się potem okazało, na skutek dużych błędów w pomiarach szerokości geograficznej. Wynik ten nie zgadzał się z teorią ‘Ziemi spłaszczonej na biegunach’, głoszoną przez Newtona. Doszło do dramatycznej kontrowersji pomiędzy poglądami Newtona i Cassiniego. Aby spór rozstrzygnąć, Francuska Akademia Nauk zorganizowała w latach 1735–1743 ekspedycję w celu pomiaru stopnia południka w Peru (obecnie na terytorium Ekwadoru) pod kierownictwem P. Bouguera (1698–1758); druga ekspedycja, w takim samym celu udała się do Laponii w latach 1736–1737. Uczestniczył w niej młody A.C. Clairaut (1713–1765). Spór został rozstrzygnięty na korzyść ‘Ziemi spłaszczonej na biegunach’. W kilka lat później, w 1743 r., Clairaut ogłosił ‘Teorię figury Ziemi’, a w niej podał swój theorem – zależność pomiędzy rozmiarem, spłaszczeniem geometrycznym Ziemi, przyśpieszeniem na biegunach i na równiku oraz prędkością wirowania Ziemi.

Tak oto dochodzimy do problematyki geodezji wyższej – geometrycznej i fizycznej – która, sięgając w XVIII w., zespala się z geodezją współczesną. W całej historii rozwoju ludzkości problemy geodezji stanowiły wyzwanie dla najświatlejszych umysłów każdej epoki. Nazwiska znakomitych fizyków, astronomów, matematyków Czytelnik znajdzie pośród nazwisk geodetów w naszym wykładzie o geodezji współczesnej. Francuski matematyk P.S. Laplace (1749–1827) stworzył podwaliny nowoczesnej mechaniki nieba i teorii pływów skorupy ziemskiej. Jego nazwisko pojawia się często w wykładzie o geodezji współczesnej. Jeden z największych matematyków, C.F. Gauss (1777–1855), w trakcie pomiarów i analizy ‘triangulacji hannowerskiej’ dał podstawy teorii błędów i rachunku prawdopodobieństwa; opracował metody obliczeń geodezyjnych na elipsoidzie. Ponadto pozostawił metody i wzory stosowane do dzisiaj w mechanice nieba przy analizie orbit sztucznych satelitów Ziemi. Gaussowi zawdzięczamy definicję geoidy. Metodę najmniejszych kwadratów potomni potraktowali jako niezależne odkrycie Gaussa i Legendre’a. Znane są osiągnięcia Gaussa w zakresie teorii potencjału i geometrii różniczkowej. Gauss wynalazł także urządzenie geodezyjne zwane heliotropem. Ten ‘książe matematyków’ jest uznawany za ojca nowoczesnej geodezji. Inny niemiecki astronom i geodeta, F.W. Bessel (1784–1846), jako pierwszy – na podstawie wszystkich dostępnych wówczas materiałów – wyznaczył ‘dokładną’ wartość spłaszczenia Ziemi. Znamy metody Bessela obliczania współrzędnych na elipsoidzie. Znakomity szwajcarski matematyk, astronom i fizyk L. Euler (1707–1783) przyczynił się do rozwoju prawie wszystkich ówczesnych gałęzi wiedzy z zakresu nauk ścisłych. Zajmował się wykorzystaniem pomiarów Księżyca do wyznaczenia figury Ziemi. Pośród znakomitych umysłów końca XVIII i całego XIX w. trzeba wymienić J.L. Lagrange’a (1736–1813), który w swoich pracach poświęconych mechanice teoretycznej opisał metody związane z mechaniką nieba, wykorzystywane w geodezji satelitarnej, i który walnie przyczynił się do wprowadzenia systemu metrycznego. Trzeba wymienić również H. Cavendisha, który wyznaczył masę Ziemi i wartość stałej powszechnej grawitacji (1798), J.C. Maxwella i jego prace nad falami elektromagnetycznymi, a także A. Fizeau, który jako pierwszy wyznaczył prędkość światła (1849), G.G. Coriolisa, który sformułował teorię ruchu względnego, angielskich geofizyków G.B. Airy’ego i J.H. Pratta, którzy stworzyli modele izostazji. Angielski fizyk i matematyk G.G. Stokes (1819–1903) przedstawił w 1863 r. swoją teorię figury Ziemi w postaci rozwiązania problemu granicznego na geoidzie. Przydatność tej teorii dla geodezji przetrwała do naszych czasów. H. Poincaré (1854–1912), francuski matematyk, fizyk i filozof, rozwinął teorię ziemskich pływów. Zajmował się problemami geodezji fizycznej. Wszechstronny niemiecki geodeta i geofizyk F.R. Helmert (1843–1917) pozostawił naukową spuściznę prawie we wszystkich działach geodezji. Na ogół nie pamięta się, że w metodzie wyznaczania sferoidy normalnej Helmert wykorzystał postulat minimum sumy kwadratów anomalii grawimetrycznych sformułowany dla elipsoidy ziemskiej przez wybitnego polskiego geofizyka M.P. Rudzkiego (1862–1916). Węgierski geofizyk R. Eötvös (1848–1919) położył zasługi w badaniach i pomiarach grawimetrycznych. Holender F.A. Vening-Meinesz (1887–1966) wniósł poważny wkład w rozwój teorii izostazji, a także dał praktyczne podstawy wyznaczania odchyleń pionu wywiedzionych z teorii Stokesa (1928). Włoscy geodeci P. Pizzetti (1910) i C. Somigliana (1926) rozwinęli teorię normalnego pola siły ciężkości stosowaną w geodezji po dzień dzisiejszy. Trzeba na zakończenie wymienić M.S. Mołodeńskiego, współczesnego rosyjskiego geodetę, który w latach sześćdziesiątych XX w. rozwinął nowe podejście do geodezji fizycznej, przedstawiając rozwiązanie zagadnienia granicznego geodezji na fizycznej powierzchni Ziemi.

Jak już wspomniałem, wiele postaci tu wymienionych pojawi się w wykładzie geodezji współczesnej, od Isaaka Newtona począwszy. Czytelnikowi, który ma należyty szacunek dla historii, a którego jednocześnie fascynuje współczesny rozwój i nowe możliwości geodezji, dedykuję słowa Leonharda Eulera, które napisał prezentując Francuskiej Akademii Nauk swoją metodę wykorzystania pomiarów Księżyca do wyznaczenia figury Ziemi ponad 200 lat temu. W wolnym przekładzie sens tych słów wyraża się następująco: „…gdyby Księżyc znajdował się bliżej Ziemi albo gdybyśmy mieli w pobliżu Ziemi inne ciała niebieskie, które można byłoby obserwować, to moja metoda wyznaczenia figury Ziemi byłaby bardziej przydatna niż pomiary stopnia i triangulacja”. W drugiej połowie XX w. życzenie Eulera się spełniło. Geodezja współczesna wykorzystuje pomiary wykonywane za pomocą sztucznych satelitów Ziemi.

1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej

Geodezja to jedna z nauk o Ziemi, mająca na celu wyznaczenie kształtu i rozmiarów Ziemi i nadanie im wyrazu matematycznego. Naukowe zadania geodezji sprowadzano czasami do badania figury Ziemi i pola ziemskiej grawitacji. Niegdyś chodziło głównie o wyznaczenie elipsoidy ziemskiej na podstawie pomiarów dotyczących pewnych obszarów lub całej Ziemi. Tak rozumiano bowiem figurę Ziemi. Później pojęcie to rozciągnięto na metody wyznaczania kształtu fizycznej powierzchni Ziemi w jednolitym układzie odniesienia dla całej planety. Praktyczne zadania geodezji wyższej polegały w przeszłości na zakładaniu sieci punktów stanowiących układy odniesienia dla wszystkich innych, bardziej szczegółowych pomiarów i dla sporządzenia map. Obecnie można uznać, że praktyczne zadania geodezji wyższej mieszczą się we współczesnym pojęciu wyznaczania figury Ziemi.

Niemalże do początku lat pięćdziesiątych XX w. obowiązywał w Polsce, podobnie jak w innych krajach, podział na geodezję i miernictwo. Równocześnie stosowano u nas termin geodezja wyższa na określanie tych zagadnień geodezji, dla których rozwiązania kształt Ziemi i parametry ziemskiego pola siły ciężkości musiały być uwzględniane. Potem utrwalił się podział na geodezję wyższą i geodezję – rozumianą jako miernictwo. Uważa się, że F.R. Helmert jako pierwszy wprowadził w literaturze niemieckiej rozróżnienie geodezji wyższej i niższej. W Polsce określenie geodezja niższa nie przyjęło się pomimo pewnych prób jego wprowadzenia. Rozróżnianie natomiast geodezji i miernictwa, choć już w Polsce zarzucone, byłoby chyba bliższe angielskiemu podziałowi na geodesy i land surveying, niemieckiemu na Geodäsie i Vermessungswesen czy francuskiemu na la géodésie i la topométrie (la topographie).

Obecnie – za sprawą coraz większej powszechności satelitarnych, globalnych metod wyznaczania pozycji, stosowanych do rozwiązywania niemal wszystkich zadań pomiarowych geodezji – straciły już sens dawne podziały naszej dyscypliny. Mając to na względzie, należy widzieć ten wykład jako wprowadzenie do takiej geodezji, jaką jest ona współcześnie.

Każde, nawet bardzo ogólne, rozwinięcie definicji geodezji wyższej wymaga sprecyzowania pojęcia kształtu Ziemi. To bowiem, co obserwujemy, poruszając się po obszarach lądów lub z niewielkiej od nich odległości, jest powierzchnią tak nieregularną, że jakiekolwiek uogólnienie kształtu Ziemi wydawać się może zgoła niemożliwe lub co najmniej niezwykle trudne.

Obserwacje stosunkowo gładkiej powierzchni mórz nasunęły pewną ideę: gdyby tak ‘swobodny poziom mórz otwartych’, przy pewnych idealnych warunkach dotyczących jednakowej temperatury wód i jednakowego ciśnienia atmosferycznego, przy jednorodnym składzie chemicznym wód morskich itp., mógł być przedłużony – rozciągnięty pod lądami, to powstałaby w ten sposób ciągła i gładka powierzchnia zamknięta, charakteryzująca się tym, że wszędzie byłaby powierzchnią poziomą. Tę właśnie powierzchnię, zawierającą spokojny, ‘idealny’ poziom mórz otwartych, rozciągniętych pod lądami wirującej Ziemi w taki sposób, jak gdyby istniała możliwość ‘wpuszczenia’ tam wód, ignorując wszystkie właściwości fizyczne skał tworzących lądy z wyjątkiem przyciągania mas, nazwano geoidą[1].

Pojęcie geoidy odegrało ogromną rolę w rozwoju teorii geodezji wyższej i odgrywa ciągle jeszcze w nauce i praktyce geodezyjnej jako powierzchni odniesienia dla wysokości. Nową rolę geoidy, na przekór pewnym poglądom o zmierzchu geodezji związanej z geoidą, głoszonym w latach siedemdziesiątych XX w., wskrzesiły globalne metody wyznaczania pozycji za pomocą systemów satelitarnych.

Przebieg geoidy, szczególnie pod lądami, jest bardzo skomplikowany, ze względu na niezmiernie urozmaicony rozkład przestrzenny gęstości, głównie w przypowierzchniowych warstwach skorupy ziemskiej. Zważywszy fakt, że około 71% powierzchni Ziemi pokrywają oceany, dojdziemy do wniosku, że geoida stanowi reprezentatywne przybliżenie kształtu Ziemi. Pojęcie ‘kształtu’ kojarzy się jednak zazwyczaj z ‘kształtem geometrycznym’, ale pojęcie geoidy nie bardzo oddaje takie skojarzenie, będąc pojęciem dynamicznym, opisanym jako efekt stanu równowagi pewnych sił.

Geometryczny kształt geoidy można scharakteryzować, porównując ją z jakąś inną powierzchnią. Trzeba było przyjąć w geodezji wyższej taką powierzchnię, która byłaby dość prosta do wyrażenia analitycznego, a jednocześnie przybliżała dostatecznie precyzyjnie geometryczny kształt i wymiary Ziemi. Uczyniono to głównie ze względu na praktyczne zadania geodezji. Taką powierzchnię stanowi najczęściej elipsoida obrotowa umieszczona w bryle Ziemi w taki sposób, aby jej powierzchnia przebiegała w jak najbliższym sąsiedztwie geoidy; taka elipsoida stanowi zatem przybliżenie geometryczne geoidy. Elipsoida obrotowa, której środek pokrywa się ze środkiem mas Ziemi, a ona sama ‘obejmuje’ te masy, służy także jako pewien model pola siły ciężkości Ziemi.

Na powierzchni elipsoidy można w prosty sposób zdefiniować układy współrzędnych krzywoliniowych, obliczać odległości między punktami o określonych współrzędnych, połączonymi najkrótszą linią na tej powierzchni i wyznaczać kąty między dwiema takimi liniami. Można zatem na elipsoidzie definiować figury geometryczne i obliczać pola ich powierzchni. Podobne zadania nie mogłyby być rozwiązywane w prosty sposób na geoidzie. Powierzchnię elipsoidy obrotowej można było wreszcie odwzorować na płaszczyznę i sporządzić mapy niezbędne w wielu dziedzinach działalności gospodarczej człowieka.

Celem pomiarów geodezyjnych wchodzących w zakres geodezji wyższej jest określenie położenia w przestrzeni – względem zdefiniowanych układów odniesienia – wyróżnionych punktów związanych z bryłą Ziemi i utrwalonych w specjalny sposób w tej bryle. Zespół takich punktów nosi nazwę sieci geodezyjnej. Sieci geodezyjne wchodzą w zakres geodezji wyższej, gdy obszar objęty pomiarami jest tak duży, że zarówno kształt naszej planety, jak i ziemskie pole siły ciężkości muszą być uwzględnione po to, aby wyniki pomiarów miały odpowiednią wartość naukową i techniczną. Podstawowe sieci geodezyjne dawały przez minione stulecia podstawę do wszelkich innych pomiarów geodezyjnych, mających bezpośrednie znaczenie gospodarcze. W ostatnim dziesięcioleciu rolę podstawowych sieci poziomych przejmują w wielu przypadkach pomiarowe systemy satelitarne.

Zarówno w celu założenia sieci geodezyjnych, jak i dla geodezyjnych systemów satelitarnych niezbędna jest znajomość nie tylko kształtu i rozmiarów Ziemi, ale również jej pola grawitacyjnego oraz ruchów, jakim podlega cała planeta i poszczególne jej części. Badania tych wielkości oraz ich zmian w czasie i w przestrzeni stanowią o aspekcie poznawczym geodezji wyższej. Znajomość tych samych wielkości jest także niezbędna do racjonalnego wykorzystania pomiarów geodezyjnych. Pomiędzy czysto poznawczymi i praktycznymi zadaniami geodezji wyższej istniało w geodezji klasycznej sprzężenie zwrotne: aby poznać parametry charakteryzujące naszą planetę, a niezbędne do założenia sieci geodezyjnych, trzeba było Ziemię ‘pomierzyć’ za pomocą właśnie sieci geodezyjnych. Obecnie metody satelitarne umożliwiają wyznaczanie kształtu i rozmiarów Ziemi bez tradycyjnie rozumianego pośrednictwa sieci geodezyjnych.

Geodezja wyższa stoi na pograniczu nauk technicznych i przyrodniczych. Pozostając nauką techniczną, gdy mowa o metodach pomiarów Ziemi, geodezja zbliża się do niektórych nauk przyrodniczych, a nawet je przenika, gdy bada i opisuje geometryczne i fizyczne właściwości Ziemi, gdy dostarcza liczbowych charakterystyk dynamiki zjawisk związanych z ewolucją naszej planety. Geodezja wyższa najbliżej spokrewniona jest z pewnymi działami geofizyki i astronomii, korzysta także szeroko z osiągnięć matematyki i fizyki. Zawsze korzystała z dorobku wielu dyscyplin technicznych, a rozwój technologii w ostatnich dziesięcioleciach bardzo spotęgował te powiązania.

Klasyczną geodezję wyższą dzielono na część geometryczną i dynamiczną, aczkolwiek w istocie przenikają się one, a podział taki miał zawsze znaczenie tylko formalne. Metody geometryczne zawierały opis rozwiązania tych zadań geodezji wyższej, które można rozpatrywać nie wnikając w oddziaływanie pola siły ciężkości naszej planety lub też zakładając, że wpływ tego pola na wyniki pomiarów geodezyjnych został wcześniej uwzględniony.

Geodezja dynamiczna, zwana w świecie fizyczną, zajmuje się badaniami Ziemi wykorzystując pomiary siły ciężkości na powierzchni Ziemi lub też badaniami rozkładu w przestrzeni pola ziemskiej grawitacji, aby na tej podstawie wnioskować o kształcie i figurze Ziemi. Aczkolwiek taki klasyczny podział geodezji nadal jest często stosowany, to jednak współczesne metody geometryczne i dynamiczne tak dalece się przenikają, że już coraz rzadziej podział ten znajduje odbicie w nowszych wykładach geodezji. Można jeszcze mówić o metodach geodezji dynamicznej w pewnym oderwaniu od geometrycznej, ale nie odwrotnie. Takie zagadnienia jak: dobór powierzchni odniesienia i ustalenie jej właściwego położenia w bryle Ziemi, metody zakładania – w tym pomiarów – różnorodnych podstawowych sieci geodezyjnych, metody właściwego przeniesienia wyników pomiarów na powierzchnię odniesienia trudno byłoby doprawdy zakwalifikować do któregokolwiek z wymienionych dwóch działów geodezji wyższej, gdyż łączą one elementy obu.

Z geodezji wyższej wydzielano często tzw. geodezję matematyczną związaną z badaniem zależności matematycznych na powierzchni odniesienia i metodami rozwiązania zadań geodezyjnych (obliczania współrzędnych, długości i kątów na powierzchni elipsoidy). Do domeny geodezji wyższej – matematycznej – zaliczano niegdyś metody matematycznego opracowania sieci geodezyjnych, a także – niekiedy – metody odwzorowania powierzchni odniesienia (elipsoidy) na płaszczyznę, czyli teorię rzutów kartograficznych i zniekształceń odwzorowawczych.

Z geodezji wyższej można wyodrębnić dział traktujący o specyficznym instrumentarium do wykonywania pomiarów w sieciach geodezyjnych. W związku z rozległością obszarów obejmowanych pomiarami i wymaganiami ich wysokiej precyzji, wyodrębniano w geodezji wyższej dział mówiący o jednostkach wielkości geodezyjnych i problemie ‘konserwacji’ wzorców tych jednostek. Dział ten, zaadoptowany potem przez metrologię, nosi obecnie nazwę metrologii geodezyjnej, aczkolwiek cała współczesna metrologia, historycznie rzecz biorąc, z niego się wywodzi. Przecież jednostka metra miała swój początek w pomiarze długości ‘południka paryskiego’ (1792–1798).

Na koniec można by jeszcze dokonać podziału metod geodezji wyższej na naziemne i kosmiczne. Do tych ostatnich można obecnie zaliczyć dział zwany geodezją satelitarną, wykorzystującą sztuczne satelity Ziemi i systemy satelitarne do badania pola grawitacyjnego Ziemi, wyznaczania położenia geoidy oceanicznej oraz wyznaczania pozycji punktów na powierzchni Ziemi. Do technik kosmicznych należy zaliczyć również te, które wykorzystują inne naturalne obiekty kosmiczne do pomiarów geodezyjnych (np. pozagalaktyczne radioźródła).

Obok klasycznego nurtu geodezji wyższej, odnoszącej pomiary pozycji geodezyjnej do powierzchni elipsoidy, a wysokości do geoidy, pojawiła się nie tak dawno, wraz z metodami satelitarnymi, tendencja do trójwymiarowej charakterystyki pozycji względem globalnego układu geocentrycznego, bez pośrednictwa geoidy i elipsoidy odniesienia. Toteż mówi się czasami o geodezji globalnej. Z tego samego źródła wywodzi się termin: geodezja trójwymiarowa.

Bywa, że określona technika pomiarów geodezyjnych tworzy nazwę pewnego działu geodezji. W przypadku pomiarów inercyjnych, polegających na wyznaczaniu pozycji względnej przez podwójne całkowanie mierzonych przyśpieszeń przy przemieszczaniu żyroskopowo stabilizowanej platformy i urządzenia pomiarowego z punktu wyjściowego do punktu wyznaczanego, mówi się czasem o geodezji inercyjnej (inercjalnej).

Rozwój metod globalnych geodezji (satelitarnych i kosmicznych) skierował zainteresowania geodetów na badania zjawisk geodynamicznych na znacznych obszarach powierzchni Ziemi. Monopol metod geodezyjnych w badaniach ilościowych współczesnych ruchów skorupy ziemskiej buduje dodatkowy pomost pomiędzy geodezją wyższą a pokrewnymi naukami przyrodniczymi. Z tych geodynamicznych źródeł wyrosła koncepcja geodezji ‘czterowymiarowej’, włączającej parametr czasu do określania współczesnych procesów ewolucji naszej planety.

1.2. Wprowadzenie do geodezji fizycznej

1.2.1. Siła ciężkości

Pole siły ciężkości Ziemi wypełnia naszą przestrzeń fizyczną i bodajże każda dziedzina życia na naszej planecie jest z tym polem związana i od niego uzależniona. Geodezja jest z polem siły ciężkości związana w sposób szczególny z dwóch podstawowych powodów:

• siła ciężkości, będąca wypadkową siły grawitacyjnej (przyciągania) mas Ziemi i siły odśrodkowej, kreuje pojęcia powierzchni poziomych i wysokości;

• siła ciężkości umożliwia łatwe i jednoznaczne zorientowanie przestrzeni, przez odtworzenie kierunku pionu za pomocą bardzo prostych instrumentów (libel, pionów).

Siła ciężkości stanowi podstawę do orientacji w przestrzeni układów pomiarowych (instrumentów geodezyjnych).

Znajomość parametrów pola siły ciężkości jest zatem niezbędna do powiązania lokalnych układów obserwacyjnych z układem odniesienia (elipsoidą). Badanie pola siły ciężkości umożliwiło geodetom poznanie kształtu Ziemi już ponad 200 lat przed epoką kosmiczną, a więc zanim człowiek oderwał się od powierzchni Ziemi, aby mierzyć ją niejako z zewnątrz.

Wektor przyśpieszenia siły przyciągania mas, wynikający z prawa Newtona powszechnej grawitacji (1687 r.), zapisujemy w postaci:

(1.1)

gdzie l oznacza odległość masy m od masy m′ = 1, G = (6,67259 ± 0,00085)×10–11 m³ kg–1 s–2 jest stałą grawitacji wyznaczoną po raz pierwszy przez Cavendisha w 1798 r.[2]

Przyśpieszenie odśrodkowe można wyrazić jako iloczyn prędkości kątowej Ziemi ω = 7,292 115×10–5 rad s–1 i odległości od osi obrotu Ziemi (promienia równoleżnika p):

a = ω² p. (1.2)

Mamy w ten sposób dwa pola wektorowe[3], bezwirowe – spełniające warunki potencjalności (zob. [3.1.1]).

Przyśpieszenie siły grawitacyjnej (inaczej przyciągania), zwane krótko przyśpieszeniem grawitacyjnym lub atrakcyjnym, będzie – wobec wspomnianej wcześniej bezwirowości pola wektorowego – gradientem pewnej funkcji skalarnej V

g′ = grad V.

Funkcję tę nazywamy potencjałem pola wektorowego g′(l) i wyrażamy przez

dla punktu materialnego oraz w postaci

(1.3)

dla Ziemi. W powyższym wyrażeniu dm oznacza element masy Ziemi, natomiast σ oznacza gęstość elementu objętości dτ o położeniu określonym wektorem r′ względem przyjętego układu współrzędnych i odległością l względem punktu, w którym rozpatrujemy potencjał. Dla ‘Ziemi kulistej’, o średnim promieniu R = 6371 km

V = 6,26×10⁷ m²s–2, g′ = 9,82 m s–2

Przyśpieszenie siły odśrodkowej jest gradientem innej funkcji skalarnej V′

a = grad V′.

Potencjał pola wektorowego a (p) można wyrazić przez

(1.4)

Na równiku Ziemi o promieniu R = 6371 km V′ = 1,1×10–5 m²s–2, a = 0,03 ms–2 (≈0,3% g′).

Gradient pola skalarnego W 

W = V + V. (1.5)

nazywamy przyśpieszeniem siły ciężkości[4] g (rys. 1.2)

g = grad W. (1.6)

Rys. 1.2. Wektor siły ciężkości g

Rys. 1.3. Linie pionu

Ze względu na spłaszczenie Ziemi (biegunowe) i zmienność przyśpieszenia odśrodkowego na powierzchni Ziemi (abiegun = 0, arównik = 0,03 m s–2), przyśpieszenie siły ciężkości zmienia się między biegunem i równikiem w przybliżeniu od 9,82 do 9,78 m s–2.

1.2.2. Powierzchnie poziome. Linie pionu

Powierzchnie o stałym potencjale ciężkości

W(r) = c = const. (1.7)

nazywa się ekwipotencjalnymi, poziomymi albo powierzchniami geopotencjalnymi (geop). Równanie (1.7) opisuje rodzinę powierzchni, wśród których jedna, pokrywająca się z ‘idealnym’ poziomem mórz otwartych, o potencjale

W = W₀ (1.8)

to właśnie geoida.

Można rozpatrywać w przestrzeni pewną rodzinę linii, z których każda, w każdym swoim punkcie, jest styczna do wektora

g = grad W.

Będą to linie pola wektorowego g(r), które nazywamy liniami pionu (rys. 1.2). Linie te tworzą rodzinę trajektorii ortogonalnych rodziny powierzchni W(r) = c = const. Rodzinę linii pionu wyraża równanie

grad W × dh = 0 (1.9)

(dh oznacza wektor – różniczkę łuku linii pionu).

1.2.3. Pojęcie wysokości

Zmianę dW pola skalarnego W, odpowiadającą przesunięciu ds, wyraża różniczka zupełna

dW = grad W ds.

Zapisując to inaczej, otrzymamy

dW = g ds = g ds cos(g, ds). (1.10)

Niech h na rysunku 1.2 oznacza dodatni zwrot zewnętrznej normalnej do powierzchni W = WP w punkcie P (kierunek liczenia dodatnich wysokości). Załóżmy, że wektor przesunięcia ds w polu o potencjale W ma kierunek i zwrot wektora g = grad W. Wtedy

cos (g, ds) = cos (g, dh) = –1,

a wobec tego

dW = – g dh. (1.11)

Stąd otrzymamy odległość sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych wyrażoną przez różniczkę potencjału i przyśpieszenie siły ciężkości

(1.12)

Z wzoru tego wynika, że powierzchnie poziome nie są równoległe, gdyż natężenie siły ciężkości zmienia się na powierzchni ekwipotencjalnej. Świadczy o tym wspomniana uprzednio różnica ciężkości na równiku i na biegunie (9,78÷9,82 m s–2), która prowadzi do nierównoległości powierzchni poziomych między równikiem a biegunem wynoszącej około – 0,5 m, gdy na równiku odległość tych powierzchni wynosi 100 m.

Całkując równanie (1.11) w granicach otrzymamy tzw. liczbę geopotencjalną (zwaną także cechą geopotencjalną) wyrażającą różnicę potencjału geoidy W = Wo i potencjału powierzchni W = WP przechodzącej przez punkt P

(1.13)

Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu potencjalnym, niezależną od drogi. Ten parametr wykorzystuje się w definicji wysokości. Jeśli przez wysokość chcemy rozumieć drogę wzdłuż kierunku gradientu pola W między powierzchniami Wo i WP, tzn. najkrótszą drogę na jakiej wykonano pracę określoną przez liczbę geopotencjalną, to należy tę ostatnią podzielić przez siłę (a dla jednostkowej masy przez przyśpieszenie siły) właściwą dla drogi O – P wzdłuż linii pionu. Sposób wyznaczenia przyśpieszenia reprezentatywnego dla drogi O – P określa tzw. system wysokości, czyli system odniesienia geodezyjnych pomiarów wysokościowych (por. [5.1.7]). Jeżeli określimy przeciętną wartość rzeczywistego przyśpieszenia wzdłuż linii pionu od geoidy do punktu P przez średnią wartość całki

(1.14)

to wysokość

(1.15)

będziemy nazywać wysokością ortometryczną punktu, równą długości odcinka linii pionu (krzywej) od geoidy do punktu P. Praktyczne wyznaczenie przeciętnej wartości według wzoru (1.14) jest niemożliwe bez hipotetycznego przyjęcia rozkładu gęstości mas Ziemi wzdłuż linii pionu na odcinku O – P.

Dzieląc C przez tzw. przyśpieszenie normalne obliczone dla pewnego modelu rozkładu masy w globie ziemskim (zob. [3.3.4]), na poziomie morza i dla szerokości geograficznej 45°), otrzymamy tzw. wysokości dynamiczne

(1.16)

charakteryzujące się tym, że punkty wybranej powierzchni poziomej mają te same wysokości dynamiczne. Wysokości te mają zatem istotne znaczenie w inżynierii, m.in. dla projektów wodnych na dużych obszarach.

Próby uwolnienia definicji wysokości od hipotez dotyczących rozkładu masy doprowadziły do systemu wysokości normalnych (Mołodeński i in., 1960), które pociągnęły za sobą zmianę ‘koncepcji geodezji fizycznej’ (zob. [5.5]). Wysokości te definiuje następujący wzór:

(1.17)

gdzie jest przeciętną wartością przyśpieszenia normalnego wzdłuż linii pionu pola normalnego siły ciężkości. Spodki wysokości normalnych wyznaczają powierzchnię tzw. quasigeoidy, różniącej się od geoidy na obszarach lądów i niebędącej powierzchnią ekwipotencjalną.

W geodezji znane są jeszcze inne definicje wysokości. Trzy podane uprzednio należą do najpowszechniej wykorzystywanych, a ponadto dobrze ilustrują problem wysokości w geodezji wyższej. Zagadnienie wysokości naszkicowaliśmy w tym miejscu tylko w celu wprowadzenia Czytelnika w specyfikę naszego przedmiotu. Powrócimy do tych zagadnień w podrozdziałach 5.1.7 i 5.5.2.

1.2.4. Układ współrzędnych naturalnych

Kierunek linii pionu jest podstawą układu horyzontalnego, będącego z reguły lokalnym układem obserwacyjnym na powierzchni Ziemi, czyli układem, który realizujemy za pomocą osi i płaszczyzn spoziomowanych instrumentów obserwacyjnych. Związek tego układu z układem globalnym wyraża się przez tzw. układ współrzędnych naturalnych. Podstawową osią tego układu jest chwilowa oś obrotu Ziemi (), przechodząca przez punkt S środka masy Ziemi. Płaszczyznę poprowadzoną przez ten punkt tak, aby oś wirowania Ziemi była do niej prostopadła, nazywamy płaszczyzną równika astronomicznego.

Przez kierunek linii pionu obserwatorium Greenwich (przyjmijmy tak dla uproszczenia) prowadzimy pęk płaszczyzn wertykalnych. Tę płaszczyznę z pęku, która jest równoległa do osi , nazywamy płaszczyzną południka astronomicznego Greenwich (płaszczyzna ta nie zawiera w ogólności osi ze względu na ‘przestrzenną’ krzywiznę linii pionu w punkcie Greenwich).

Podobnie, prowadząc pęk płaszczyzn wertykalnych przez kierunek linii pionu w miejscu obserwacji P, wybieramy z pęku tę płaszczyznę, która jest równoległa do osi – płaszczyznę południka miejsca obserwacji.

Kąt, jaki tworzy kierunek linii pionu w punkcie P z płaszczyzną równika nazywa się szerokością geograficzną-astronomiczną ϕ(0°÷±90°). Kąt dwuścienny utworzony przez opisane płaszczyzny południków astronomicznych (Greenwich i punktu P) nazywa się długością geograficzną-astronomiczną λ(0°÷360°|E lub 0°÷±180°).

Kierunek linii pionu w punkcie P (g = grad WP) można określić w przestrzeni kątami ϕ i λ (wyznaczanymi metodami astronomicznymi) względem płaszczyzn układu współrzędnych naturalnych (globalnego układu astronomicznego) przez:

(1.18)

Zdefiniowane wcześniej kąty ϕ i λ oraz wartość potencjału W stanowią trójkę współrzędnych naturalnych punktu P (ϕ, λ, W). W polu siły ciężkości możemy wyróżnić trzy powierzchnie ϕ = const., λ = const. i W = const., których przecięcie wyznacza punkt P. (Wartości WP nie mierzymy bezpośrednio, lecz wyznaczamy ją na podstawie, którą ilustruje wzór 1.13).

Rys. 1.4. Układ współrzędnych naturalnych (globalnych astronomicznych)

1.2.5. Umowny układ ziemski – CTS

Opisane poprzednio szerokość ϕ i długość λ odnoszą się do chwilowego (momentalnego) położenia równika oraz ‘południka Greenwich’. W tym układzie wykonuje się obserwacje astronomiczne dla wyznaczenia ϕ i λ. Wykorzystanie takich obserwacji w sieci geodezyjnej wymaga ich zredukowania (odniesienia) do tzw. średniego układu ziemskiego nazywanego inaczej umownym (konwencjonalnym) układem ziemskim (CTS – Conventional Terrestrial System). Problem ten w różnym ujęciu przewinie się parokrotnie w naszym wykładzie w związku z zagadnieniami wykorzystania obserwacji astronomicznych do orientacji układów odniesienia w geodezji klasycznej [5.2], wykorzystania obserwacji satelitarnych w geodezji fizycznej [3.3.8], obliczania współrzędnych satelity GPS [6.2.4] oraz definiowania geodezyjnych układów odniesienia za pomocą obserwacji sztucznych satelitów i pozagalaktycznych radioźródeł [6.6]. Z tego powodu objaśniamy tę problematykę w skrócie we wprowadzeniu do geodezji.

Mechanika newtonowska – określająca przez prawo powszechnej grawitacji (1.1) ruchy Ziemi i jej satelitów – odnosi się do układu inercjalnego, dlatego definicja takiego układu oraz powiązanie układu ziemskiego z układem inercjalnym mają dla geodezji podstawowe znaczenie. Niegdyś wiązało się to z wykorzystaniem w geodezji metod astronomii geodezyjnej. We współczesnej geodezji wykorzystujemy ponadto obserwacje sztucznych satelitów Ziemi [6] oraz obserwacje pozagalaktycznych obiektów kosmicznych [6.1.3]. Coraz większa precyzja wyznaczania orbit sztucznych satelitów Ziemi (obecnie decymetrowa, a już wkrótce prawdopodobnie centymetrowa) wymaga bardzo dokładnego zdefiniowania i praktycznej realizacji układu inercjalnego. Chodzi o taki układ odniesienia, który jeśli nie pozostaje w spoczynku, to porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, a więc bez jakichkolwiek przyśpieszeń. Układ równikowy używany w astronomii sferycznej, związany z jakąś epoką T₀ stanowi pewne przybliżenie układu inercyjnego. Ponieważ układ ten był realizowany przez katalog fundamentalny (FK5) zawierający pewną liczbę pozycji gwiazd fundamentalnych i ich ruchów oraz przez system stałych astronomicznych, nazywa się go Niebieskim Układem Odniesienia (CRS – Celestial Reference System), Umownym Układem Inercjalnym (CIS – Conventional Inertial System) albo rzadziej – Gwiazdowym CIS. Początek tego układu, umieszczony w środku masy Ziemi, doznaje pewnych niewielkich przyśpieszeń ze względu na ruch orbitalny Ziemi. Z tego powodu mówi się czasami o układzie quasi-inercjalnym, mając na myśli układ CRS.

Zadania współczesnej geodezji i geodynamiki globalnej (a w pewnym stopniu również geodynamiki regionalnej) wymagają precyzyjnego zdefiniowania i realizacji układu związanego z Ziemią. Takim układem jest Umowny Układ Ziemski (CTS – Conventional Terrestrial System, albo TRS – Terrestrial Reference System). Początek tego układu pokrywa się ze środkiem masy Ziemi. Oś Oz pokrywa się ze średnią osią obrotu Ziemi i jest skierowana na północ. Oś Oz jest prostopadła do płaszczyzny ‘średniego równika’ Oxy. Płaszczyznę południka początkowego, czyli tzw. południk zerowy określa ‘średni południk BIH’ (Bureau International de l’Heure). Oś Oy leży w płaszczyźnie średniego równika, a jej zwrot wynika z założenia, że układ ma być prawoskrętny. Często nazywa się taki układ tradycyjnie – średnim układem ziemskim. Układ CTS jest realizowany (odtwarzany) przez zbiór współrzędnych prostokątnych stacji fundamentalnych tworzących światową sieć ustanowioną w tym celu.

Transformacja wektora rCRS, znanego w układzie niebieskim CRS, do układu ziemskiego CTS rCTS wymaga uwzględnienia precesji, nutacji i parametrów ruchu obrotowego Ziemi.

Macierz precesji P składa się z trzech obrotów (–z), (θ) i (–ζ) zwanych parametrami precesji. W wyniku ‘działania tą macierzą’ dokonuje się transformacji do średniego równika i średniego ekwinokcjum. Macierz nutacji N to także macierz obrotów określonych kątami (–ε–∆ε), (–∆ψ) i (ε), przy czym ε oznacza nachylenie ekliptyki, zaś ∆ε i ∆ψ to wartości nutacji w nachyleniu i w długości. W efekcie tych obrotów (N) przechodzimy do układu opartego na tzw. prawdziwym równiku i prawdziwym ekwinokcjum.

Rys. 1.5. Ilustracja ziemskiej precesji i nutacji

Pozostało jeszcze przejście z układu równikowego do umownego układu ziemskiego CTS. Wymaga to uwzględnienia trzech parametrów związanych z ruchem obrotowym Ziemi. Macierz tego etapu transformacji S zawiera trzy obroty: pierwszy – określający różnicę pomiędzy południkami układu niebieskiego i ziemskiego, tzn. prawdziwy czas gwiazdowy Greenwich uzyskiwany przez odpowiednią korekcję czasu średniego, drugi i trzeci – to współrzędne chwilowe bieguna ziemskiego (xP, yP)[5]. Te współrzędne są znane jako współrzędne bieguna CIO (Conventional International Origin). Ich wartości odnosi się do umownego położenia bieguna przyjętego jako wartość średnia z lat 1900–1905 (Opalski, Cichowicz, 1977; Mueller, 1969). Położenie bieguna ziemskiego wyznacza się permanentnie od 1899 r. Najpierw przez pięć obserwatoriów współpracujących w ramach międzynarodowej służby ILS (International Latitude Service). Potem, rozszerzonej do około 50  placówek działających w ramach IPMS (International Polar Motion Service) przy współpracy z BIH (Bureau International de l’Heure). Pośród tych placówek znalazły się również polskie obserwatoria, w tym Obserwatorium Katedry Geodezji i Astronomii Geodezyjnej Politechniki Warszawskiej w Józefosławiu.

Rys. 1.6. Parametry ruchu obrotowego Ziemi

Dokładność realizacji układu CRS na podstawie katalogu FK5 okazała się niewystarczająca wobec wymagań precyzyjnego wyznaczania orbit satelitarnych i powiązań z zadaniami geodynamiki globalnej (zob. Seeber, 1993), jako że dokładność pozycji gwiazd i radioźródeł szacowana była w granicach 0,1″. Obecnie wynosi ona +/– 0,005″. Tak znaczne podniesienie dokładności nastąpiło w wyniku satelitarnej misji astrometrycznej HIPPARKOS oraz pomiarów ziemskich radiointerferencyjnych VLBI [6.1.3].

Tymczasem, w 1988 r. została ustanowiona Międzynarodowa Służba Ruchu Obrotowego Ziemi (IERS – International Earth Rotation Service), zastępująca IPMS oraz sekcję ruchu obrotowego w BIH (Boucher i in., 1988). Zadaniem nowej służby jest zapewnienie parametrów do jak najlepszej realizacji układu CTS. IERS zajmuje się przede wszystkim wyznaczaniem parametrów ruchu obrotowego Ziemi (ruchu bieguna – xP, yP i południka początkowego) na podstawie obserwacji kilkoma nowoczesnymi metodami (VLBI – interferometria długich baz, LLR – laserowe pomiary do Księżyca, SLR – satelitarne pomiary laserowe, a także obserwacje satelitarne GPS w ramach IGS). Na podstawie tych badań korygowane są elementy macierzy nutacji. Wspomniana Międzynarodowa Służba Geodynamiczna IGS [7.4] wnosi znaczący wkład w wyznaczanie geocentrycznych pozycji stacji fundamentalnych i kontrolę ich wzajemnych ruchów. Przez to układ niebieski CRS przekształcił się w pewnym sensie z układu efemerydalnego (‘absolutnego’) w układ umowny (Rogowski, 1993).

Pojęcie CTS – umownego układu ziemskiego obejmowało i teorię, i praktyczną realizację układu. Od 1991 r. bywa ono zastępowane przez ITRS (International Terrestrial Reference System) – obejmujący teoretyczne i praktyczne aspekty definiowania oraz wyznaczania ziemskiego układu odniesienia, a także przez ITRF (International Terrestrial Reference Frame) – praktyczną realizację ziemskiego układu współrzędnych. Powrócimy do tej problematyki we wprowadzeniu do omówienia Europejskiego Układu Odniesienia ETRF [6.6].

Przypisy

1. Wprowadzenie do geodezji wyższej

[1] Eidos znaczy po grecku ‘kształt’.

[2] Wartość tę zaczerpnięto ze zbioru stanowiącego system stałych fizycznych CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

[3] Litery pogrubione oznaczają wielkości wektorowe.

[4] Oficjalnie przyjętą w systemie SI jednostką przyśpieszenia jest m⋅s–2. Tradycyjnie używana jest jednostka 1 gal = 1 cm s–2 (nazwana tak na pamiątkę Galileusza). 1 mgal = 1 m s–2×10–5; 1 µgal = 1 m s–2×10–8. Dokładność pomiaru wartości bezwzględnej przyśpieszenia siły ciężkości zawiera się obecnie w przedziale 1÷kilku µgali.

[5] Zob. [5.2.4] oraz [6.2.4].