Projekt okładki i stron tytułowych: Przemysław Spiechowski

Ilustracja na okładce: Anatoly Maslennikov, Michael Heywood, photochicken/123 RF/123 RF, alex-mit /iStock

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redakcja: Maria Kasperska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN:
Michał Latusek

Dział reklamy: Magdalena Lewocka (magdalena.lewocka@pwn.pl) Barbara Czarnecka (barbara.czarnecka@pwn.pl)

Publikacja została dofinansowana ze środków Instytutu Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej, Wydziału Mechanicznego Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2021r. (Wydanie I)

Warszawa 2021

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2021

ISBN 978-83-01-22042-6

https//dx.org/10.53271/2021.006

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Mojemu Ojcu,
emerytowanemu profesorowi Politechniki Warszawskiej,
za bezwarunkowe wsparcie
i wiarę w moje przedsięwzięcia

Bezpłatny fragment

Przedmowa

1. Wprowadzenie

1.1. Podstawowe reguły i etapy modelowania

1.2. Wybór parametrów do opisu ruchu modelu układu rzeczywistego

1.3. Więzy krepujące układy materialne

1.4. Skutki linearyzacji modelu nieliniowego

1.5. Skutki założeń modelowych – przykład – koło sztywne i koło ogumione

2. Klasyfikacje modeli kinematyki i dynamiki dla układów mechanicznych

2.1. Klasyfikacja więzów

2.2. Modele układów holonomicznych – przykłady

2.3. Modele układów nieholonomicznych – przykłady

2.4. Klasyfikacja modeli układów z punktu widzenia zadań sterowania

3. Metody modelowania nieliniowych układów holonomicznych

3.1. Równania Lagrange’a II rodzaju

3.2. Kanoniczne równania Hamiltona

3.3. Manipulator wieloczłonowy – budowa i analiza modelu dynamiki

3.3.1. Sformułowanie celu modelowania i założeń fizycznych

3.3.2. Model fizyczny manipulatora

3.3.3. Modele matematyczne trójczłonowego manipulatora płaskiego

3.3.4. Weryfikacja modelu matematycznego trójczłonowego manipulatora płaskiego

4. Metody modelowania nieliniowych układów nieholonomicznych

4.1. Kinematyczne i dynamiczne modele układów nieholonomicznych

4.2. Równania Lagrange’a z mnożnikami

4.3. Równania Maggiego

4.4. Równania Boltzmanna-Hamela

4.5. Roller-racer – pojazd z kołami biernymi – przykład budowy modelu dynamiki

4.6. Pojazd kołowy z kołami czynnymi – przykład budowy modelu dynamiki

4.7. Snake-board – pojazd z kołami biernymi – przykład budowy modelu dynamiki

4.8. Pojazd z przyczepą – przykład modelowania z wykorzystaniem quasi-współrzędnych

4.9. Pojazd podwodny – przykład budowy modelu dynamiki

4.10. Układ biomechaniczny – przykład budowy modelu dynamiki robaka z łuską

4.11. Robot typu wąż – model inspirowany ruchem organizmu żywego

4.12. Model manipulatora kosmicznego – przykład budowy modelu dynamiki

4.13. Model satelity serwisowego – przykład budowy modelu dynamiki z wykorzystaniem kwaternionów

5. Reprezentacja równań więzów w analizie numerycznej modeli nieliniowych i aspekty numeryczne rozwiązywania równań ruchu układów mechanicznych

6. Wprowadzenie do teorii sterowania nieliniowego – podstawowe narzędzia stosowane w nieliniowej teorii sterowania (NTS)

6.1. Rodzaje zadań sterowania i etapy projektowania sterowania nieliniowego

6.2. Sterowalność lokalna, globalna oraz narzędzia jakościowego i ilościowego badania sterowalności modeli nieliniowych

6.3. Metody linearyzacji nieliniowych modeli sterowania w pętli sprzężenia zwrotnego – linearyzacja zupełna i częściowa, linearyzacja wejście-stan, wejście-wyjście

6.4. Stateczność i badanie stateczności modelu sterowania w pętli sprzężenia zwrotnego

7. Strategie i algorytmy sterowania dla modeli nieliniowych holonomicznych i nieholonomicznych na poziomie kinematyki

8. Strategie i algorytmy sterowania nieliniowego oparte na modelach dynamicznych

8.1. Klasyfikacje modeli oraz strategii i algorytmów sterowania nieliniowego

8.2. Metody sterowania nieadaptacyjnego na poziomie dynamiki – przykłady algorytmów sterowania dla modeli układów holonomicznych

8.3. Metody sterowania nieadaptacyjnego na poziomie dynamiki – przykłady algorytmów sterowania dla modeli układów z więzami holonomicznymi i nieholonomicznymi

8.4. Metody sterowania adaptacyjnego na poziomie dynamiki – przykłady algorytmów

8.5. Metody sterowania dla układów niedosterowanych

8.6. Metody sterowania typu learning, repetitive i inne metody sterowania na poziomie dynamiki

8.7. Inne współczesne metody sterowania – wybrane przykłady

8.7.1. Metoda sterownia typu backstepping

8.7.2. Sterowanie typu flatness based oparte na własności płaskości różniczkowej

9. Badania eksperymentalne w zakresie zastosowania i oceny efektywności algorytmów sterowania nieliniowego

9.1. Specyfikacja techniczna i oprogramowanie robota Pioneer 3-DX

9.2. Model sterowania robota Pioneer 3-DX

9.3. Implementacja algorytmu śledzącego w środowisku ARIA

9.4. Testy w symulatorze MobileSim

9.5. Testy eksperymentalne na robocie Pioneer 3-DX

O Autorce

Przedmowa

Niniejszy podręcznik obejmuje dwa, istotne z punktu widzenia badań naukowych i aplikacyjnych, obszary aktywności badawczej – modelowanie dynamiki i metody sterowania obiektami mechanicznymi, takimi jak pojazdy kołowe i podwodne, bezzałogowe obiekty latające, satelity i manipulatory kosmiczne. Obiekty takie należą do układów, których modele dynamiki są nieliniowe, a projektowanie strategii sterowania wymaga wykorzystania metod nieliniowej teorii sterowania. Podręcznik wychodzi swoim zakresem poza tradycyjnie rozumiane modelowanie i sterowanie oparte na metodach liniowych, tzw. automatykę, która jest najczęściej wykładanym zakresem metod sterowania na kursach w wyższych uczelniach technicznych. Podręcznik stanowi wprowadzenie i omówienie współczesnych metod modelowania ruchu złożonych układów mechanicznych i projektowania dla nich strategii sterowania. Konstrukcja i zakres podręcznika pozwala prześledzić rozwój metod modelowania różnych klas układów, których modele są nieliniowe, na przykład holonomicznych i nieholonomicznych, oraz rozwój współczesnych metod sterowania nieliniowego. W podręczniku omówiono współcześnie stosowane metody modelowania, zakresy ich zastosowań oraz dobór metod sterowania dla różnych obiektów zależnie od celu sterowania. Przykładowo, pokazano, jak metody transformacji kinematycznej modelu sterowania pojazdu kołowego, które są dobrze opracowane, zbadane i przetestowane, wykorzystuje się do transformacji nieliniowego modelu sterowania reorientacją satelity.

Podręcznik nie jest regularnym kursem mechaniki analitycznej, nie jest kursem matematyki, ani regularnym wykładem z nieliniowej teorii sterowania. Jest natomiast skonstruowany tak, aby dostarczyć zbioru narzędzi do zbudowania modelu dynamiki złożonego układu, na przykład satelity i zaprojektowania dla niego algorytmu reorientacji na orbicie. Podręcznik nie wyczerpuje oczywiście możliwych konfiguracji układów, na przykład nie badamy tzw. chlupotania paliwa lub innego płynu w zbiorniku poruszającego się pojazdu. W podręczniku podano niezbędny zasób wiedzy teoretycznej z zakresu mechaniki analitycznej, która dostarcza narzędzi wykorzystanych do modelowania, uzupełnia podstawy matematyki, na przykład elementy teorii stateczności i geometrii różniczkowej, nieodzowne do zrozumienia i korzystania z metod teorii sterowania nieliniowego.

Bibliografia zawarta w podręczniku pozwala jednak samodzielnie wyszukać i uzupełnić wiedzę z zakresu interesującego aspektu modelowania, którego nie obejmuje podręcznik.

Podręcznik jest bogato ilustrowany przykładami, których znaczna liczba pochodzi z publikacji autora, współautorskich publikacji autora, prac wykonanych przez studentów i dyplomantów autora oraz aktualnych publikacji z zakresu dynamiki i sterowania.

Podręcznik powstał na bazie doświadczeń z zajęć, w wymiarze łącznym wykładu, ćwiczeń i zajęć projektowych, magisterskich i doktoranckich, z zakresu modelowania i sterowania nieliniowymi układami mechanicznymi, prowadzonymi przez autora w Politechnice Warszawskiej, w Instytucie Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej, w ciągu ostatnich kilku lat. Podręcznik powstał z potrzeby wsparcia studentów i doktorantów jedną pozycją, w której są omówione współczesne metody modelowania i sterowania nieliniowego, dostępne w rozproszonych publikacjach naukowych, najczęściej w postaci syntetycznej jako wskazanie nazwy metody i końcowej postaci wykorzystywanych wzorów lub równań.

Podręcznik powstał także z doświadczeń naukowych i dydaktycznych autora. Jest zbyt wiele podręczników, które dostarczają teorię na poziomie podstawowym, czy nawet dość zaawansowanym, ale często brak jest materiału przykładowego takiego, jak zbudować od początku do końca model dynamiki danego obiektu, jak testować, wybrać i zaprojektować strategię sterowania dla tego modelu. Podręcznik pozwala uczyć się na przykładach i stanowi pewną samodzielną całość.

Podręcznik jest przeznaczony dla studentów i doktorantów, a także inżynierów zainteresowanych modelowaniem ruchu i projektowaniem strategii i algorytmów sterowania ruchem złożonych układów mechanicznych. Może być wykorzystywany przez studentów kierunków mechanicznych i pokrewnych, a także przez studentów wydziałów elektrycznych, elektroniki, czy mechatroniki zainteresowanych dynamiką złożonych układów mechanicznych.

Praca dydaktyczna, a także naukowa z udziałem moich studentów i doktorantów jest fascynującą podróżą przez obszary naukowe i wymaga dużo zaangażowania. W tym miejscu dziękuję moim studentom, dyplomantom i doktorantom, którzy uczestnicząc w moich zajęciach przyczyniali się do ich doskonalenia; wspaniale było prowadzić zajęcia dla Was. Wielu z nich pracując przy ambitnych pracach dyplomowych i doktorskich stawało się współautorami publikacji naukowych. Nie sposób wymienić wszystkich z imienia i nazwiska, ale wiele z tych prac jest zacytowanych w niniejszym podręczniku.

1

Wprowadzenie

W niniejszym rozdziale omawiamy podstawowe reguły i etapy procesu modelowania. Pokazujemy, na przykładach, jak wybierać parametry do opisu ruchu modelu oraz zwracamy uwagę na istotne cechy układu fizycznego, ważne z punktu widzenia modelowania i przeznaczenia modelu, które decydują o postaci modelu, co z kolei będzie miało konsekwencje w odwzorowaniu rzeczywistości w model podlegający badaniu.

Rysunek 1.1. Schematyczny podział modeli układów fizycznych

Zakres niniejszego podręcznika, ze względu na modelowanie układów mechanicznych, przedstawiono na schemacie na rys. 1.1. W podręczniku nie omawiamy modeli liniowych układów mechanicznych. Modele te są atrakcyjne z punktu widzenia analizy i symulacji ruchu, są tańsze i mniej pracochłonne do wykonania, i dla nich rozwinięte są narzędzia takie jak liniowa teoria sterowania, ale modele takie często nie oddają rzeczywistych zachowań układów mechanicznych. Obecnie dysponujemy dużymi mocami obliczeniowymi, aparatem matematycznym i nieliniową teorią sterowania i możemy pozwolić sobie na szczegółową analizę modeli nieliniowych, by potem, w razie potrzeby, dokonać stosownej linearyzacji lub uproszczenia modelu. Obecnie panuje w naukach stosowanych tendencja taka, aby badać modele nieliniowe, a potem dokonywać stosownej linearyzacji pod kątem przeznaczenia modelu.

1.1. Podstawowe reguły i etapy modelowania

Jak już zaznaczyliśmy, podręcznik nie jest pozycją z zakresu mechaniki analitycznej, a więc nie dostarcza systematycznego omówienia pojęć, koncepcji i narzędzi modelowania, którymi dysponuje mechanika analityczna. Narzędzia modelowania, czyli przede wszystkim metody służące do budowy modeli dynamiki układów mechanicznych, są omówione w bardzo wielu monografiach i podręcznikach, na przykład polecamy pozycje [1.5, 1.8, 1.13]. Jednak, do zadań modelowania i projektowania sterowania, przypominamy istotne pojęcia i koncepcje, omawiamy zakresy zastosowań istniejących metod modelowania, gdyż ich wybór jest istotny z punktu widzenia modelowania dynamicznego i projektowania sterowania. Znajomość tych metod i swoboda w ich stosowaniu owocuje efektywnymi modelami dynamiki, dobrze zaprojektowanymi algorytmami sterowania, których implementacja jest efektywna numerycznie. Czytelnikom zainteresowanym szczegółowym przypomnieniem systematycznej wiedzy z zakresu mechaniki analitycznej polecamy [1.3–1.14, 1.16, 1.17, 1.19].

Modelowanie jest jak uprawianie sportu – im więcej ćwiczymy, tym lepiej nam idzie. Modelowanie można też porównać do uprawiania sztuki – wymaga wyczucia, zmysłu obserwacji, a także ciągłego ćwiczenia.

Rozpoczynając zadanie modelowania, możemy wyodrębnić kilka etapów, których przejście jest niezbędne do zbudowania dobrego, czyli zgodnego z przeznaczeniem, modelu fizycznego, a potem matematycznego. Te podstawowe etapy można przedstawić następująco:

1. Jaki obiekt będzie modelowany, czyli wyodrębniamy obiekt modelowania.

2. Modelowanie jest procesem celowym – po co budujemy model? Czy będzie służył do analizy ruchu, do sterowania, czy do przeprojektowania istniejącego obiektu?

3. Cel modelowania determinuje model fizyczny.

4. Budujemy model fizyczny obiektu. Ile wersji modelu budujemy?

5. Cel modelowania determinuje model matematyczny – wybieramy współrzędne, decydujemy, czy model będzie na poziomie kinematyki, czy dynamiki.

6. Budujemy model (lub modele) matematyczny.

7. Identyfikacja modelu.

8. Symulacja numeryczna i analiza zachowania się modelu.

9. Weryfikacja modelu z celem modelowania i z obiektem rzeczywistym.

10. Powrót do etapów poprzednich, jeśli zachodzi taka konieczność.

W następnych rozdziałach podręcznika pokazujemy na przykładach wykonanie tych etapów modelowania oraz zastosowanie modeli kinematyki i dynamiki do projektowania sterowania.

1.2. Wybór parametrów do opisu ruchu modelu układu rzeczywistego

Niniejszy podręcznik, co podkreślamy wielokrotnie, nie jest systematycznym wykładem z mechaniki analitycznej, jednak w zagadnieniach modelowania, w szczególności w zależności od przeznaczenia budowanego modelu, wybór parametrów do opisu ruchu modelu układu jest istotny. Rozważymy poniżej kilka przykładów wyboru współrzędnych uogólnionych lub innych parametrów, na przykład quasi-prędkości czy kwaternionów, dogodnych do badania ruchu i sterowania obiektem. Te przykłady doskonale ilustrują „sztukę modelowania układów nieliniowych” i korzyści, jakie może przynieść zastosowanie współrzędnych innych niż uogólnione. Zagadnienia wyboru parametrów do opisu ruchu modeli układów rzeczywistych są szczegółowo opisane na przykład w [1.6, 1.8].

▐< Przykład 1.1

Rozważmy prosty przykład wyboru współrzędnych uogólnionych do opisu ruchu nieswobodnego punktu materialnego A poruszającego się po nieruchomej powierzchni o równaniu

.

(1.1)

Punkt A ma dwa stopnie swobody. Do jednoznacznego opisu jego ruchu wystarczą dwie współrzędne uogólnione q₁, q₂.

Do opisu ruchu punktu można wybrać współrzędne kartezjańskie x, y, z. Wtedy trzy współrzędne są związane równaniem więzów (1.1). Jednak równanie więzów jest równaniem kwadratowym, co nie jest zbyt wygodne z punktu widzenia obliczeń numerycznych. Można wybrać też jako współrzędne kąty pochylenia i odchylenia wektora wodzącego r punktu A. Mamy wtedy

.

(1.2)

Dla tych współrzędnych uogólnionych równanie więzów φ(x, y, z) = 0 jest spełnione tożsamościowo, a mianowicie

(1.3)

Dla tego samego zadania współrzędne uogólnione można wybrać jeszcze inaczej, na przykład

(1.4)

i wtedy

.

(1.5)

W tym przypadku równania więzów także spełnione są tożsamościowo.

Z podanego przykładu widzimy więc, że nie ma jednoznacznej recepty na wybór współrzędnych uogólnionych, które są dowolnymi niezależnymi parametrami, w liczbie równej liczbie stopni swobody układu, jednoznacznie opisującymi zachowanie się układu materialnego. W praktyce często samo zadanie sugeruje wybór współrzędnych uogólnionych.

▐< Przykład 1.2

Prosty przykład, jak dokonać wyboru współrzędnych do modelu matematycznego, może być zdeterminowany sposobem napędzania układu, na przykład manipulatora. Rozważmy dwuczłonowy manipulator płaski, którego model jest holonomiczny i dla którego wybieramy współrzędne, gdy:

– dwuczłonowy manipulator napędzany jest jednym silnikiem z podstawy,

– dwuczłonowy manipulator napędzany jest silnikami typu DC umieszczonymi w przegubach.

Zauważmy, że w pierwszym przypadku zasadny jest wybór współrzędnych uogólnionych, a w drugim – współrzędnych przegubowych odmierzanych od osi członu poprzedzającego (rys. 1.2).

Rysunek 1.2. Model manipulatora płaskiego i możliwe wybory współrzędnych do opisu ruchu

▐< Przykład 1.3

Przy wyznaczaniu prędkości punktów układu często dogodnie jest posługiwać się nie bezpośrednio prędkościami uogólnionymi lecz ich kombinacjami liniowymi lub nieliniowymi ze współczynnikami zależnymi od współrzędnych uogólnionych, a mianowicie:

, σ = 1, …, n.

(1.6)

Liczba związków (1.6) jest równa n. Gdyby liczba ta była równa n₁ < n, wtedy za formy liniowe ωn₁₊₁, …, ωn przyjmujemy wprost pochodne współrzędnych uogólnionych co często czyni się w praktyce. Wielkości ωσ, σ = 1, …, n, nazywamy quasi-prędkościami.

Wybór quasi-prędkości jest arbitralny, jednak doświadczenie i natura rozważanego układu, na przykład więzy krępujące układ, często sugerują trafny wybór quasi-prędkości. Szczegółowe wprowadzenie i omówienie quasi-prędkości można znaleźć w [1.7, 1.8, 1.13].

Zobaczmy, że quasi-prędkości to współrzędne prędkości kątowej ciała sztywnego względem głównych osi bezwładności ξ, η, ζ tego ciała. Tzw. kąty Eulera φ, υ, J są znane z mechaniki ogólnej lub mechaniki lotu [1.1, 1.2]. Istotnie, rozważmy ciało sztywne przedstawione na rys. 1.3.

Rysunek 1.3. Opis ruchu za pomocą kątów Eulera i współrzędnych nieinercjalnych

Współrzędne prędkości kątowej, które tradycyjnie oznaczamy p, q, r, przybierają wtedy postacie:

(1.7)

Wielkości p, q, r różnią się od prędkości uogólnionych tym, że nie są pochodnymi zupełnymi względem czasu żadnych współrzędnych uogólnionych. W tym właśnie tkwi różnica pomiędzy wielkościami p, q, r a prędkościami uogólnionymi

▐< Przykład 1.4

Przykład, który znają wszyscy absolwenci kursu z dynamiki lotu – jest to przykład prof. dr. hab. inż. Jerzego Maryniaka z Wydziału MEiL, Politechniki Warszawskiej – to prosty model samolotu w ruchu płaskim. Zgodnie z rys. 1.4 wprowadzamy następujące oznaczenia:

– (x, z) – układ nieinercjalny związany z poruszającym się samolotem,

– (x₁, z₁) – układ odniesienia, inercjalny,

– x₁ = q₁, z₁ = q₂, q = q₃ – współrzędne uogólnione,

– u, w – składowe wektora prędkości samolotu obliczone względem osi układu ruchomego, odpowiednio, względem osi x i z.

Rysunek 1.4. Model płaski samolotu

Wyznaczamy prędkości uogólnione samolotu w funkcji wielkości u, w, Ω

(1.8)

Powyższe równania piszemy w postaci

, σ = 1, 2, 3,

(1.9)

gdzie: ω₁ = u, ω₂ = w, oraz współczynniki bσi tworzą następującą macierz B:

Powyższe równania można rozwikłać względem ωi, i = 1, 2, 3, i napisać

, σ = 1, 2, 3,

(1.10)

gdzie współczynniki aσi tworzą następującą macierz A:

Widzimy więc, że wielkości u, w są quasi-prędkościami, a Ω jest prędkością uogólnioną

(1.11)

Quasi-prędkości pojawiają się więc w naturalny sposób, jako współrzędne prędkości samolotu wyznaczone względem układu odniesienia związanego z samolotem. Z tego powodu quasi-prędkości nazywane są także współrzędnymi nieinercjalnymi. Quasi-prędkości są popularne do opisu ruchu obiektów latających i podwodnych.

Zwracamy uwagę, że wybór quasi-prędkości, podobnie jak i współrzędnych uogólnionych, jest zasadniczo dowolny i zależy od rodzaju zagadnienia. Gdy układ skrępowany jest na przykład więzami nieholonomicznymi liniowymi, wtedy za quasi-prędkości dogodnie jest obrać kombinacje liniowe prędkości uogólnionych, przybierające wartość zero na mocy równań więzów, to znaczy jeśli równania więzów nieholonomicznych mają postać

,

(1.12)

to wtedy wprowadzamy quasi-prędkości jako równoważne tym równaniom więzów. Otrzymujemy

ωσ = 0, σ = 1, ..., b.

(1.13)

Pozostałe quasi-prędkości w liczbie n – b wybieramy dowolnie.

Zwracamy uwagę, że wybrane quasi-prędkości nie muszą mieć w ogóle interpretacji fizycznej.

Może okazać się jednak, że równania ruchu wyprowadzone w quasi-prędkościach mają postać wygodną do dalszych badań, na przykład do całkowania tych równań, badania stateczności ruchu czy projektowania sterowania.

Do zagadnienia wyboru quasi-prędkości do opisu ruchu modeli układów skrępowanych więzami nieholonomicznymi wrócimy przy omawianiu projektowania sterowania dla takich układów.

Do tej pory mówiliśmy o quasi-prędkościach. W mechanice analitycznej wprowadzamy liniowe formy różniczkowe współrzędnych uogólnionych, takie że

(1.14)

Wielkości dπσ nazywamy różniczkami quasi-współrzędnych. Ponieważ związki (1.14) są na ogół niecałkowalne, więc wielkości πσ jako funkcje współrzędnych uogólnionych nie istnieją. Umowne oznaczenia πσ wprowadzamy często ze względu na ich użyteczność w przekształceniach matematycznych.

Na mocy (1.6) i (1.14) quasi-współrzędne przedstawiamy następująco:

(1.15)

Weźmy teraz związki (1.14), zakładając na razie, że aσ₀ ≡ 0 oraz że macierz współczynników aσi jest nieosobliwa. Wtedy związki (1.14) można rozwiązać względem dqi = 1, ..., n

(1.16)

Dla macierzy współczynników w zależnościach (1.14) i (1.16) zachodzą następujące związki:

A–1 = B, AB = BA = I,

a więc

Zauważmy, że jeśli związki (1.14) są całkowalne, to mamy do czynienia z przejściem do innego zbioru współrzędnych uogólnionych.

▐< Przykład 1.5

Do opisu ruchu statków kosmicznych, na przykład satelitów i robotów kosmicznych, wykorzystywane są tzw. kwaterniony [1.2, 1.14]. Rozważmy parametryzację ruchu w kwaternionach. Idea wprowadzenia kwaternionów oparta jest na twierdzeniu Eulera [1.2, 1.14].

Ciało sztywne można obrócić z dowolnej orientacji początkowej do dowolnej końcowej za pomocą obrotu o pewien kąt Φ względem pewnej osi e (rys. 1.5).

Rysunek 1.5. Opis obrotu ciała z wykorzystaniem kwaternionów [1.14]

Wektor kwaternionów β wyrażony przez kąt obrotu Φ wokół osi e

β₀ = cos(Φ/2),

β₁ = e₁sin(Φ/2),

β₂ = e₂sin(Φ/2),

(1.17)

β₃ = e₃sin(Φ/2),

gdzie jest równaniem więzów holonomicznych geometrycznych. Opisują one 4-wymiarową sferę o promieniu 1. Każdy obrót opisany kwaternionami ma swoją trajektorię na sferze więzów. Pamiętajmy, że opis za pomocą kwaternionów nie jest jednoznaczny; mamy dwa zbiory parametrów Eulera dających ten sam wynik. Praktycznie oznacza to, na przykład, tę samą reorientację statku kosmicznego lub satelity. Rzeczywiście

(1.18)

a więc wektor β opisuje tę samą orientację, co – β.

Macierz kosinusów kierunkowych można przedstawić za pomocą kwaternionów następująco:

(1.19)

Zauważmy, że wektor β produkuje tę samą macierz C, co wektor –β.

W zastosowaniach praktycznych nie ma kłopotu z orientacją modelu, gdyż wybieramy warunki początkowe i zostajemy na trajektorii na 4-wymiarowej sferze, którą wyznaczają. Zależności odwrotne pomiędzy wyrazami macierzy C i składowymi wektora β są następujące:

(1.20)

Różniczkując pochodne wyrazów macierzy C, otrzymujemy

(1.21)

a stąd możemy wyznaczyć zależności kinematyczne

gdzie ωi, i =1, 2, 3, są składowymi wektora prędkości kątowej względem układu głównego związanego z obiektem. Podobnie obliczamy pochodne pozostałych kwaternionów

(1.22)

albo

(1.23)

Macierz transformacji w (1.23) jest nieosobliwa. Transformacja odwrotna jest zawsze zdefiniowana.

Inne przykłady wyboru innych parametrów do opisu ruchu układów mechanicznych, na przykład kosinusów kierunkowych, współrzędnych naturalnych, Denavita-Hartenberga, można znaleźć między innymi w [1.6, 1.8, 1.14].

1.3. Więzy krepujące układy materialne

W bardzo wielu przypadkach struktura układu mechanicznego, robotycznego czy biomechanicznego, wymagania lub ograniczenia zewnętrzne, warunki konstrukcyjne, technologiczne, bezpieczeństwo pracy tego układu nie pozwalają na to, aby poszczególne jego części lub nawet cały układ poruszały się dowolnie. W mechanice mówimy wtedy, że na układ nałożone są więzy.

Konkretna postać więzów może być bardzo różnorodna. Na potrzeby metod modelowania wymagamy, aby więzy sformułowane były w postaci równań algebraicznych lub różniczkowych, lub w postaci nierówności.

Istnieje wiele kryteriów klasyfikacji więzów; nie zawsze nawet panuje zgodność w literaturze co do nazewnictwa poszczególnych rodzajów więzów. W niniejszym podręczniku przypominamy podstawowe, najczęściej występujące w praktyce rodzaje więzów dwustronnych [1.5, 1.8, 1.13].

Jeżeli więzy nakładają ograniczenia na położenia poszczególnych elementów układu, to nazywamy je więzami geometrycznymi lub pozycyjnymi. Analityczna postać takich więzów jest następująca:

φα(t, qσ) = 0, α = 1,..., a, σ = 1,..., n, a < σ.

(1.24)

O funkcjach φα zakładamy, że są określone w (n + 1)-przestrzeni, są klasy C² względem współrzędnych uogólnionych. Jeśli, na przykład, α = 1, σ = 3 i równanie (1.24) nie zależy jawnie od czasu, to mamy wtedy φ₁(q₁, q₂, q₃) = 0. W tym przypadku więzy możemy interpretować jako nieruchomą powierzchnię, na której punkt musi pozostawać w trakcie trwania ruchu. Wtedy liczba stopni swobody punktu wynosi k = 3 – 1 = 2.

Więzy geometryczne nakładają ograniczenia także na prędkości i przyspieszenia punktów układu. Istotnie, obliczając pierwszą i drugą pochodną zupełną względem czasu funkcji φα mamy:

(1.25)

(1.26)

Ze wzorów (1.25) i (1.26) wynika, że w przypadku więzów geometrycznych ograniczeniu podlegają tylko składowe prędkości i przyspieszeń w kierunku gradientu więzów.

Jeżeli więzy nakładają ograniczenia na prędkości układu, przyspieszenia lub charakter ich zmiany, to więzy nazywamy kinematycznymi. Ogólna, analityczna postać tych więzów jest następująca [1.7]:

, p = 1, 2, 3…, β = 1, …, b, σ = 1, …, n, b < n.

(1.27)

O funkcjach φβ zakładamy, że są klasy CP w rozważanym obszarze.

Najczęściej spotykane w praktyce są więzy kinematyczne pierwszego rzędu, czyli gdy p = 1:

, β = 1, …, b.

(1.28)

Dla więzów postaci (1.28) najlepiej jest też opracowany aparat matematyczny, służący do badania układów skrępowanych takimi więzami. Więzy (1.24) i (1.28) nazywa się więzami materialnymi.

Każde więzy geometryczne są również więzami kinematycznymi. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – ograniczenie wartości prędkości może nie powodować ograniczeń na współrzędne położenia układu.