Dane oryginału

Peter V. O’Neil Advanced Engineering Mathematics, SI, 8th Edition

© 2018, 2011 Cengage Learning

Wydanie polskie

Z języka angielskiego tłumaczył Jakub Szczepaniak

Projekt okładki i stron tytułowych Barbara Niewiadomska

Fotografia na okładce PGMart/Shutterstock

Fotografia na stronach rozdziałowych Anna Kucherova/Dreamstime

Wydawca Renata Włostowska, Karol Zawadzki

Redaktor prowadzący Adam Kowalski

Redakcja Maria Kasperska

Produkcja Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rob to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2024

ISBN 978-83-01-23663-2

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2024 r. (Wydanie I)

Warszawa 2025

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 3w21; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Wstęp

Książka Advanced Engineering Mathematics (tytuł polski: Matematyka dla inżynierów) jest przeznaczona do wykorzystania w kursie, w którym omawiane są zagadnienia matematyczne niezbędne w nauce i praktyce inżynierskiej, obejmujące między innymi takie problemy jak równania różniczkowe, algebra liniowa, analiza wektorowa, analiza Fouriera i funkcje zespolone.

Aby ukończyć wspomniany kurs z sukcesem, studenci powinni mieć wcześniej za sobą opanowany pełny kurs analizy matematycznej.

W celu ułatwienia korzystania z podręcznika i zapewnienia elastyczności w wyborze tematów podzielono go na siedem części.

• Część 1: Równania różniczkowe zwyczajne – obejmuje równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu, a także transformatę Laplace’a i funkcje własne.

• Część 2: Równania różniczkowe cząstkowe – obejmuje równanie ciepła, równanie falowe, równanie Laplace’a, funkcje specjalne i zastosowania.

• Część 3: Macierze i algebra liniowa – stanowi wprowadzenie do wektorów i przestrzeni wektorowej Rn, macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych, wartości własnych, diagonalizacji i macierzy specjalnych.

• Część 4: Układy równań różniczkowych – obejmuje układy równań różniczkowych liniowych, a także systemy nieliniowe i analizę jakościową.

• Część 5: Analiza wektorowa – obejmuje wektorowy rachunek różniczkowy i wektorowy rachunek całkowy.

• Część 6: Analiza Fouriera – obejmuje szeregi Fouriera i transformatę Fouriera.

• Część 7: Funkcje zespolone – kończy książkę dyskusją o liczbach zespolonych i funkcjach zespolonych, całkowaniu, szeregowych reprezentacjach funkcji, osobliwościach, twierdzeniu o residuach i odwzorowaniach konforemnych.

W książce zamieszczono liczne przykłady, które wyjaśniają terminologię, teorię i podstawy obliczeń, po czym następują obliczenia numeryczne. Zamieszczono tabele transformat Fouriera, Laplace’a, cosinusa i sinusa Fouriera, a także przewodnik po terminologii.

Nowości w ósmym wydaniu

Ósme wydanie książki Advanced Engineering Mathematics zawiera kilka elementów pomyślanych tak, aby matematyka stała się bardziej przystępna i interesująca dla studentów kierunków inżynierskich oraz pozwoliło to zorganizować kursy dotyczące konkretnych tematów.

W książce pojawiają się nowe treści: Matematyka w kontekście. Są to krótkie teksty napisane przez inżynierów dla studentów inżynierii, które pokazują z ich perspektywy, jak matematyka pojawia się w różnych projektach i sytuacjach inżynierskich. Taki przykład jest podany już na następnej stronie.

Organizacja książki została zmieniona, aby umożliwić lepsze skupienie się na konkretnych tematach. Na przykład w rozdziale o równaniach różniczkowych zwyczajnych zamieszczono zagadnienie Sturma-Liouville’a i rozwinięcia względem funkcji własnych, co służy przygotowaniu do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych przez rozdzielenie zmiennych. Rozwiązania wykorzystujące przekształcenia całkowe są również zebrane w jednym rozdziale.

Matematyka w kontekście – bębny

Zabawny i interesujący przykład dotyczący drgań kolistej membrany można znaleźć w muzyce. Grając na perkusji, muzyk uderza w główkę bębna pałeczką, młotkiem lub szczotką. Potraktujmy główkę bębna jak okrągłą membranę, w której prędkość początkowa i położenia są określane przez to, jak mocno i gdzie perkusista w nią uderza. Tryb wibracyjny wytwarzany na okrągłej membranie określa cechy tworzonego dźwięku, takie jak głośność, wysokość, tempo i sposób rozchodzenia się.

Poniżej znajduje się obrazek przedstawiający kształt trybu podstawowego dla wibrującej membrany kołowej, powstałej, gdy perkusista uderza w głowę bębna w środek. To zazwyczaj tworzy najgłośniejszy dźwięk, ale szybko zanika z powodu szybkiej przemiany energii wibracji w fale dźwiękowe. Producent muzyczny rejestrujący perkusję musi rozumieć te parametry, aby stworzyć pożądane brzmienie.

Większość materiału jest standardowa, ale dodano kilka dodatkowych tematów.

• Rozdział o równaniu Laplace’a kończy się równaniem Poissona.

• Omówienie układów równań różniczkowych obejmuje zagadnienia stabilności i linearyzacji.

• Metody rozwiązywania równań falowych i cieplnych obejmują techniki posługiwania się funkcjami wymuszającymi oraz z pojęciami modelującymi różne zjawiska.

• Ujęcie tematu algebry liniowej i macierzy obejmuje budowę baz ortogonalnych i i dopełnień ortogonalnych, które stanowią podstawę metody najmniejszych kwadratów.

Moduły online

Dodatkowe tematy o szczególnym znaczeniu zostały przeniesione do trybu online, aby umożliwić ich omówienie przy jednoczesnym zachowaniu rozsądnej długości i ceny książki.

Dodatkowo w Internecie można znaleźć dwa pełne rozdziały dotyczące prawdopodobieństwa i statystyki. Rozdziały te obejmują: prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa, wnioskowanie statystyczne i przedziały ufności.

Różne formaty i niestandardowe opcje

Cengage Learning udostępnia materiały do zajęć w wielu różnych formatach. Opcje te obejmują zakup poszczególnych rozdziałów (eChapters) i eBooka przez http://www.cengagebrain.com.

Nauczyciele mogą również skorzystać z rozbudowanej platformy Compose firmy Cengage, aby dopasować treść tego podręcznika do swojego kursu zaawansowanej matematyki inżynierskiej. Compose umożliwia instruktorom przeglądanie tysięcy tytułów, łączenie i zmianę kolejności materiału, uzyskanie natychmiastowej pomocy, a nawet przesłanie proponowanego projektu do oceny przez kolegów. A co najważniejsze, niestandardowy podręcznik może być skomponowany i dostarczony w ciągu jednego tygodnia. Proszę odwiedzić stronę http://compose.cengage.com, aby dowiedzieć się więcej.

Dodatki dla studentów

Bezpłatny Student Solutions Manual, zawierający szczegółowe rozwiązania prawie połowy zadań, jest dostępny dla studentów korzystających z tej książki. Rozwiązania te zostały opracowane specjalnie po to, aby pomóc studentom w zrozumieniu problemu, zamiast tylko mechanicznego śledzenia kolejnych kroków.

Studenci mogą uzyskać dostęp do rozdziałów i modułów online, jak również do Student Solutions Manual, poprzez stronę http://www.cengagebrain.com.

Dodatki dla instruktorów

Poza dwoma rozdziałami dostępnymi tylko online i 25 modułami dodatkowymi dostępnymi tylko online, w bezpiecznym, chronionym hasłem miejscu znajdują się również: zabezpieczony hasłem Instructor Resource Center, który zawiera szczegółowy Instructor’s Solutions Manual, z rozwiązaniami wszystkich problemów, jak również slajdy PowerPoint do notatek z wykładów. Aby uzyskać dostęp do tych materiałów, należy odwiedzić Instructor Resource Center na stronie https://login.cengage.com.

Podziękowania

W związku z ukończeniem tego wydania podziękowania należą się recenzentom, którzy wnieśli wnikliwe i pomocne uwagi. Należą do nich Dmitry Golovaty z The University of Akron, William D. Thacker z Saint Louis University i Jin Shihe z University of Maine, jak również kilka innych osób, które wolą pozostać anonimowe.

Autor chciałby również podziękować CJ Anslow, Omri Flaisherowi i Qaboos Imran za napisanie tekstów Matematyka w kontekście.

Chciałbym również wyrazić uznanie i podziękowanie zespołowi Global Engineering w Cengage Learning za ich zaangażowanie w przygotowanie tej książki. W szczególności odbiorcami podziękowań zostają: Timothy Anderson, Product Director; Mona Zeftel, Senior Content Developer; Kim Kusnerak, Senior Content Project Manager; Kristin Stine, Marketing Manager; Elizabeth Brown i Brittany Burden, Learning Solutions Specialists; Ashley Kaupert, Associate Media Content Developer; Teresa Versaggi i Alexander Sham, Product Assistants oraz Rose Kernan z RPK Editorial Services, Inc. To oni umiejętnie kierowali każdym etapem rozwoju i produkcji tego tekstu aż do pomyślnego zakończenia.

PETER V. O’NEIL

Uniwersytet Alabama w Birmingham

Wstęp do wydania SI

Niniejsze wydanie zostało dostosowane do Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (Le Système International d Unit´es lub SI).

Le Système International d’Unit ´es

W systemie jednostek USCS (United States Customary System) stosuje się jednostki FPS (stopa, funt, sekunda) (zwane również jednostkami angielskimi lub imperialnymi). Jednostki SI to przede wszystkim jednostki systemu MKS (metr-kilogram-sekunda). Jednakże jednostki CGS (centymetr-gram-sekunda) są często przyjmowane jako jednostki SI, szczególnie w podręcznikach.

Stosowanie jednostek SI w tej książce

W tej książce zastosowaliśmy zarówno jednostki MKS, jak i CGS. Jednostki USCS (U.S. Customary Units) lub FPS (stopa, funt, sekunda), które były używane w wydaniu amerykańskim, zostały zamienione na jednostki SI w całym tekście i zadaniach. Jednak w przypadku danych pochodzących z poradników, norm rządowych i instrukcji obsługi produktów przeliczenie wszystkich wartości na jednostki SI jest nie tylko bardzo trudne, ale również narusza własność intelektualną źródła. Dlatego niektóre dane na rysunkach, w tabelach i odnośnikach pozostają w jednostkach FPS. Dla czytelników nieobeznanych z relacjami między systemem USCS a układem SI na wewnętrznej stronie okładki zamieszczono tabelę przeliczeniową. Aby rozwiązać problemy, które wymagają użycia danych źródłowych, wartości te mogą być przeliczone z jednostek FPS na jednostki SI tuż przed ich wykorzystaniem w obliczeniach. Aby uzyskać znormalizowane wielkości i dane producentów w jednostkach SI, czytelnicy mogą skontaktować się z odpowiednimi agencjami rządowymi.

Materiały dla instruktorów

Instructors' Solution Manual (Podręcznik rozwiązań dla instruktorów) w jednostkach SI jest dostępny online na stronie internetowej książki pod adresem http://login.cengage.com. Cyfrowa wersja ISM, slajdy do notatek z wykładów w programie PowerPoint dla tekstu w układzie SI, jak również inne zasoby są dostępne dla instruktorów rejestrujących się na stronie internetowej książki.

Opinie użytkowników tego wydania SI będą bardzo cenne i pomogą nam udoskonalić kolejne wydania.

Cengage Learning

CZĘŚĆ 1

Równania różniczkowe zwyczajne

1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

2. Równania różniczkowe drugiego rzędu

3. Transformacja Laplace’a

4. Problemy Sturma-Liouville’a rozwinięcia względem funkcji własnych

Rozdział 1

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

1.1. Terminologia i równania o zmiennych rozdzielonych

Równanie różniczkowe to równanie, w którym występuje co najmniej jedna pochodna niewiadomej funkcji. Ponieważ pochodne są wskaźnikami tempa zmian, równania różniczkowe są stosowane do modelowania systemów w ruchu, które mogą dotyczyć zjawisk fizycznych, chemicznych lub biologicznych; rynków finansowych i innych interesujących zjawisk.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu zawiera pierwszą pochodną, ale nie występują w nim wyższe pochodne niewiadomej funkcji. Zaczniemy od kilku przykładów równań pierwszego rzędu, które potrafimy rozwiązać i które mają ważne i interesujące zastosowania.

Mówimy, że równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest o zmiennych rozdzielonych, jeżeli, po pewnych manipulacjach algebraicznych, można je zapisać jako

,

gdzie pochodna jest równa iloczynowi funkcji x i funkcji y. W tym przypadku, dla wszystkich y takich, że G( y) ≠ 0, możemy rozdzielić zmienne i zapisać równanie w postaci różniczkowej jako

.

Proszę spróbować rozwiązać to równanie przez całkowanie obu stron.

Matematyka w kontekście – równania równowagi masy i energii

Projektowanie wielu maszyn i komponentów zaczyna się od równań bilansu masy i energii. Różniczkową formę bilansu energii mechanicznej dla układów płynów można zapisać jako

dE = dH + dQ - dW

gdzie

E to energia całkowita różnicy mas /objętości,

H to entalpia, miara energii wewnętrznej,

Q to ciepło dodane do systemu,

W to praca wykonana przez system.

W wielu przypadkach ten bilans energetyczny można rozwiązać jako równanie różniczkowe pierwszego rzędu dla interesującej nas wielkości.

PRZYKŁAD 1.1.

yʹ = y ²e⁻x jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, które możemy zapisać jako

,

gdy y ≠ 0. Teraz

.

Wobec tego

,

gdzie k jest stałą całkowania. Rozwiązując względem y, dostajemy

.

Możemy sprawdzić przez podstawienie, że y faktycznie realizuje to równanie dla dowolnej stałej k.

Rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu, które zawiera jedną dowolną stałą, nazywa się rozwiązaniem ogólnym, natomiast rozwiązania z określoną liczbą k nazywamy rozwiązaniami szczególnymi. Rysunek 1.1 przedstawia wykresy pewnych szczególnych rozwiązań równania różniczkowego z przykładu 1.1 dla pewnych wartości k. Wykresy tych rozwiązań nazywane są krzywymi całkowymi równania różniczkowego.

Często poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego spełniającego z góry zadany warunek, czyli wartość y = y₀ dla zadanej wartości argumentu x = x₀. Warunek

y (x₀) = y₀

nazywany jest warunkiem początkowym, a równanie różniczkowe wraz z warunkiem początkowym nazywane jest zagadnieniem z wartością początkową. Wykresem rozwiązania problemu wartości początkowej jest krzywa całkowa przechodząca przez (x₀, y₀).

W przykładzie 1.1, jeżeli określimy warunek początkowy y (0) = 4, to problem wartości początkowej jest postaci

yʹ = y ²e⁻x; y (0) = 4.

Z ogólnego rozwiązania

RYSUNEK 1.1. Krzywe całkowe do Przykładu 1.1 dla k = -3, -5 i -7

równania różniczkowego znajdujemy takie, k że

.

Oznacza to, że k = 3 / 4 i rozwiązanie zagadnienia z warunkiem początkowym ma postać

.

Gdy równanie różniczkowe jest postaci y ʹ = f (x, y) przy funkcji f (x, y) ciągłej w pewnym obszarze zawierającym (x₀, y₀), wówczas zagadnienie z wartością początkową

ma jednoznaczne rozwiązanie. Oznacza to, że przez każdy punkt przechodzi tylko jedna krzywa całkowa realizująca to równanie. Szczegóły techniczne dowodu są szerzej omówione w module dotyczącym istnienia i jednoznaczności rozwiązań.

PRZYKŁAD 1.2.

jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, bo

,

jeśli y ≠ -1. Całkując równanie obustronnie, otrzymamy

,

gdzie k jest dowolną stałą. Musimy zapisać | 1 + y | zamiast 1 + y, gdyż logarytm można obliczać tylko z dodatnich argumentów.

Chcemy rozwiązać to równanie, otrzymując funkcję y w zależności od argumentu x. Nie zawsze nam się to uda podczas rozwiązywania równania o zmiennych rozdzielonych, ale w tym przypadku jest to możliwe. Z definicji logarytmu wynika, że

.

Przekształcamy jako

,

gdzie a = e k jest dowolną liczba dodatnią (bo e k jest dodatnie dla każdego k).

W związku z tym, że dla dowolnego α, ostatnią zależność możemy zapisać jako

,

gdzie przyjęliśmy b = ± a. Tutaj b jest różne od 0, być może nawet ujemne, gdyż 1 + y może być ujemne. Z pewnością jednak b nie może się równać zero, gdyż wiadomo, że y ≠ -1, aby umożliwić nam rozdzielenie zmiennych.

Zatem

,

gdzie b jest różne od zera. To jest już rozwiązanie ogólne naszego równania różniczkowego.

Jako przykład zagadnienia z wartością początkową załóżmy, że chcemy rozwiązać

.

Poszukujemy takiego konkretnego b w postaci rozwiązania ogólnego, przy którym mamy y (1) = 4.

Chcemy, aby .

Wówczas be⁻¹ = 5, więc b = 5e i rozwiązanie szczególne spełniające warunek y (1) = 4 ma postać

.

Rozdzielanie zmiennych i całkowanie może prowadzić do równania, którego nie możemy rozwiązać wprost dla y w zależności od x. W takim przypadku musimy zadowolić się rozwiązaniem uwikłanym, jak to ma miejsce w następnym przykładzie.

PRZYKŁAD 1.3.

Rozwiąż

Oczywiście strategia postępowania polega tutaj na znalezieniu ogólnego rozwiązania równania różniczkowego, a następnie dostosowaniu stałej do warunku początkowego. Najpierw należy rozdzielić zmienne:

.

Z oryginalnej postaci równania wynika wprost, że y ≠ -3, następnie rozdzielanie zmiennych implikuje warunek y ≠ -0.

Teraz

.

I całkowanie nam daje, co następuje

Nie możemy rozwiązać tego dla y jako elementarnej algebraicznej kompozycji wyrażeń z udziałem x i musimy się zadowolić tym równaniem traktowanym jako uwikłane rozwiązanie ogólne. Nie przeszkadza to jednak w rozwiązaniu problemu wartości początkowej. Wstawiając x = 3 i y = -1 do rozwiązania uwikłanego, dostajemy

Wówczas k = -11 / 3. Rozwiązanie zagadnienia z wartością początkową ma postać uwikłaną

Rysunek 1.2 przedstawia wykres tego rozwiązania dla −1 ≤ x ≤ 3.

RYSUNEK 1.2. Wykres

1.1.1. Rozwiązania osobliwe

Podczas rozwiązywania równania o zmiennych rozdzielonych zdarza się, że musimy narzucić nowe warunki. W przykładzie 1.1 równanie różniczkowe jest określone dla y = 0, ale musimy założyć, że y ≠ 0, aby rozdzielić zmienne.

Zauważmy jednak, że y = 0 jest w rzeczywistości rozwiązaniem, które nie jest zawarte w rozwiązaniu ogólnym

dla żadnej wartości stałej k.

Rozwiązanie zgubione poprzez nowe założenia, które pozwoliły nam rozdzielić zmienne nazywane jest rozwiązaniem osobliwym. W przykładzie 1.1 y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym. Równanie różniczkowe ma rozwiązania

dla dowolnej stałej k i rozwiązanie osobliwe y = 0.

Może się zdarzyć, że wprowadzimy ograniczenie na y, aby znaleźć rozwiązanie ogólne, a następnie zobaczymy, że możemy dopasować rozwiązanie ogólne tak, aby zawierało rozwiązanie osobliwe. Nie można tego zrobić w przykładzie 1.1, gdzie żaden wybór k nie może wyprowadzić y = 0 z rozwiązania ogólnego. Jednak spójrzmy jeszcze raz na przykład 1.2. Tam y ≠ -1 zostało wymuszone, aby rozdzielić zmienne, a y = -1 jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania różniczkowego .

W tym przykładzie rozwiązaniem ogólnym było

,

przy czym b jest dowolną niezerową liczbą. Jeżeli w tym wyrażeniu dopuścimy b = 0, otrzymamy rozwiązanie y = -1. Możemy zatem „zwinąć” wszystkie rozwiązania w jedno wyrażenie dla y, pozwalając, aby b było dowolną liczbą, w tym 0.

W przykładzie 1.3 założyliśmy, że y ≠ 0, aby rozdzielić zmienne, a y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym równania różniczkowego. Podobnie jak w przykładzie 1.1, nie możemy zaliczyć tego rozwiązania osobliwego do rozwiązania ogólnego, które zostało zapisane w sposób uwikłany jako

.

Ogólnie rzecz biorąc, dobrze by było gdybyśmy uwrażliwili się na wszelkie ograniczenia y ≠ α wprowadzone na y podczas rozdzielenia zmiennych. Należy zatem sprawdzić, czy y = α jest również rozwiązaniem, a następnie zobaczyć, czy można je włączyć do rozwiązania ogólnego, tak jak to było możliwe w przykładzie 1.2, ale nie w przykładach 1.1 i 1.3.

1.1.2. Pewne zastosowania równań o zmiennych rozdzielonych

W tym podrozdziale przedstawiono trzy przykłady, w których równanie różniczkowe służy do modelowania i dostarczania informacji o rzeczywistym problemie.

Matematyka w kontekście – sprężarki

Sprężarka to maszyna, którą można znaleźć w wielu rozwiązaniach technicznych, np. w silnikach samolotów odrzutowych,zakładach chemicznych, lodówkach domowych i klimatyzatorach. Sprężarki zwiększają ciśnienie i zmniejszają objętość gazu. Dla prostej sprężarki pracującej w stanie ustalonym (dE = 0) bilans energetyczny upraszcza się do:

dW = dH + dQ

To równanie można rozwiązać dla wielu interesujących nas zmiennych. Na przykład, rozważmy następujący problem: Sprężanie gazu powoduje jego nagrzewanie; jak odnieść wzrost temperatury do zmiany objętości, jeżeli nie ma chłodzenia (dQ = 0)?

Po prawej: Zdjęcie dmuchawy, rodzaju sprężarki zdolnej do osiągnięcia umiarkowanego sprężenia i powodującej wzrost temperatury

Po lewej: Schemat efektu grzewczego sprężarki

Na podstawie Israel Urieli, Engineering Thermodynamics – A Graphical Approach, Chapter 4: The First Law of Thermodynamics for Control Volumes, https://www.ohio.edu/mechanical/thermo/Intro/Chapt.1 6/Chapter4c/html

Phantom1311/iStock

Biorąc pod uwagę bilans energetyczny, dW = dH, można opracować zależność pomiędzy zmniejszeniem objętości sprężonego gazu a odpowiadającym mu efektem grzewczym.

Podstawiając zależności termodynamiczne dH = nCp dT i dW = -VdP w bilansie masy, wraz z zastosowaniem równania stanu gazu doskonałego, otrzymujemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Powietrze i większość typowych gazów można opisać równaniem stanu gazu doskonałego pV = nRT dla ciśnień poniżej 2–3 atm. Tutaj R jest stałą gazową, a Cp (w przybliżeniu stała w tym zakresie ciśnień) jest wyznaczoną doświadczalnie pojemnością cieplną gazu:

Rozdzielając zmienne i całkując, otrzymujemy:

W zależności od zastosowania inżynier może chcieć zignorować lub ograniczyć Twy. Przykładowo Twy jest ważnym parametrem przy projektowaniu systemów chłodniczych.

PRZYKŁAD 1.4. Szacowanie czasu zgonu

Znaleziono ofiarę zabójstwa, a oficer kryminalistyki zostaje wezwany, aby ustalić czas zgonu. Strategia polega na wykorzystaniu aktualnej temperatury ciała do oszacowania czasu zgonu, na podstawie faktu, że po śmierci ofiara nie utrzymywałaby już normalnej temperatury.

Ta strategia wymaga pewnego modelowania. Przyjmijmy, przy braku innych informacji, że w chwili śmierci temperatura osoby wynosiła średnio 37 stopni Celsjusza. Następnie ciało wypromieniowywało energię cieplną do pomieszczenia o stałej temperaturze 20 stopni.

Niech T (t) będzie temperaturą ciała w czasie t. Zgodnie z prawem Newtona ciało traci temperaturę do chłodniejszego pomieszczenia w tempie proporcjonalnym do różnicy między temperaturą ciała a temperaturą pomieszczenia. Oznacza to, że dla pewnej stałej proporcjonalności k,

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych. W postaci różniczek zapisujemy je jako

Całkując, dostajemy

,

gdzie c jest dowolną stała. Z definicji logarytmu otrzymujemy

gdzie A = e c jest dodatnią stała. Usuwamy moduł przez podstawienie

więc

gdzie B = ± A. Zatem B jest niezerową stałą.

Teraz trzeba określić stałe B i k, a więc potrzebne są pewne informacje. Załóżmy, że funkcjonariusz przybył o godzinie 21:40 i zmierzył temperaturę ciała, uzyskując 34,7 stopnia. Wygodnie jest

przyjąć ten czas jako czas zerowy przy wykonywaniu późniejszych pomiarów. Wtedy

To daje nam B = 14,7, zatem

Aby określić k, potrzebny jest kolejny pomiar. O godzinie 23:00 temperatura ciała wynosi 31,8 stopnia.

Ponieważ godzina 23:00 jest 80 minut po godzinie zero (21:40), oznacza to, że

Co daje nam, że

Logarytmując stronami, dostajemy

To kończy wyznaczanie funkcji temperatury jako

Czas zgonu to ostania chwila, w której temperatura ciała wynosiła 37. Rozwiązujemy ze względu na t

Z tego równania

Logarytmujac stronami, dostajemy

Na podstawie tego modelu czas zgonu

Jest to około -52,9 minuty. Ze względu na znak ujemny, zgon nastąpił około 52,9 minuty przed godziną zero (21:40). To jest około godziny 20:47.

Oczywiście jest to szacunek. Jednak model jest wiarygodny w tym sensie, że małe błędy w informacjach powodują niewielkie zmiany w szacowanym czasie zgonu. Jako przykład można przyjąć założenie, że temperatura ciała ofiary w chwili śmierci wynosiła 36,8 stopnia i proszę zobaczyć, jaką to powoduje różnicę w czasie zgonu.

PRZYKŁAD 1.5. Rozpad radioaktywny i zmiana wykładnicza

W wyniku promieniowania masa m(t) pierwiastka radioaktywnego w chwili t maleje w tempie proporcjonalnym do masy. Oznacza to, że dla pewnej stałej proporcjonalności zależnej od pierwiastka,

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych, ponieważ

,

a całkowanie daje nam

gdzie c jest stałą całkowania. Ponieważ m(t) > 0 dla wszystkich chwil, ignorujemy wartość bezwzględną i otrzymujemy

Przykładając funkcję wykładniczą do obu stron, otrzymamy

masa w chwili t =

gdzie A = e c jest dowolnie wybraną stałą dodatnią. A może być wyznaczone, gdy znamy masę dla pewnej ustalonej chwili t. Wygodnie jest uruchomić zegar w pewnej chwili, w której mierzymy masę, określając ją jako chwilę zerową. Jeśli masa wynosi wtedy m₀, to w każdej późniejszej chwili t > 0 zachodzi

Gdzie m₀ jest nazywane masą początkową.

Rozpad radioaktywny ma ciekawą właściwość. Załóżmy, że w pewnej chwili τ istnieje M gramów danego pierwiastka. Oznacza to, że

Kiedy masa będzie wynosiła dokładnie połowę tej masy, czyli M / 2 gramy? Jeśli nastąpi to w chwili τ + h, to

Wtedy

,

więc

Oznacza to, że kh = ln (1 / 2), z czego wynika, że

Liczba h jest niezależna od masy! W dowolnej chwili τ dokładnie połowa masy w τ wypromieniuje pomiędzy chwilą τ a τ + h, jeżeli h = -ln (2) / k. Ta liczba h, która zależy tylko od k, a więc tylko od danego pierwiastka, nazywana jest okresem połowicznego rozpadu pierwiastka.

Czasami wygodnie jest wyrazić masę w chwili t w kategoriach okresu połowicznego rozpadu h. Ponieważ k = -ln (2) / h,

To równanie jest podstawą techniki datowania węglem, która okazała się tak ważna w archeologii dla datowania niektórych starożytnych artefaktów. Atmosfera ziemska zawiera niewielką ilość radioaktywnego pierwiastka węgla ¹⁴C. W ciągu geologicznie krótkiego okresu życia na tej planecie frakcja ¹⁴C w atmosferze pozostaje (prawie) stała. Ponadto, okres połowicznego rozpadu ¹⁴C wynosi około 5730 lat. Mierząc ilość tego pierwiastka w skamielinie i obliczając frakcję, która musiała ulec rozpadowi, można oszacować wiek skamieliny jako wielokrotność liczby okresów połowicznego rozpadu ¹⁴C, które upłynęły od chwili, gdy skamielina była żywą istotą.

Każda wielkość P(t), która zmienia się w tempie proporcjonalnym do siebie, podlega prawu wykładniczemu P ( t ) = Ae kt. Jest to wzrost wykładniczy, jeżeli k > 0, i zanik wykładniczy, jeżeli k < 0, jak to ma miejsce w przypadku radioaktywności. Niektóre proste populacje (na przykład niektóre rodzaje bakterii w dużej szalce Petriego) wykazują przez pewien czas wzrost wykładniczy. Takie populacje mają okres półtrwania (w tym przypadku wzrostu, a nie zaniku), a model matematyczny będzie przewidywał przyszłe populacje dość dokładnie, po określeniu stałej k.

PRZYKŁAD 1.6. Prędkość końcowa

Skoczek spadochronowy skacze z samolotu, doświadczając początkowo przyspieszenia w dół w kierunku ziemi. Jeżeli jednak skok został wykonany na wystarczająco dużej wysokości, skoczek nie przyspiesza aż do lądowania, lecz w pewnym momencie osiąga w przybliżeniu stałą prędkość opadania. Nazywa się to prędkością końcową skoczka.

Wyprowadzimy wzór na prędkość końcową, który pozwoli na określenie jej wartości.

Niech m będzie masą spadającego obiektu, a g zwykłą stałą przyspieszenia ziemskiego przy powierzchni ziemi. Przyjmijmy, że atmosfera spowalnia opadanie z siłą proporcjonalną do kwadratu prędkości (założenie potwierdzone eksperymentalnie). Jeżeli α jest stałą proporcjonalności, to wielkość siły zewnętrznej działającej na spadający obiekt wynosi

,

gdzie mg jest wielkością przyciągania grawitacyjnego. Zgodnie z prawem ruchu Newtona dla stałej masy siła ta jest równa masie razy szybkość zmiany prędkości υ (t):

To jest równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, ponieważ możemy je zapisać jako

Aby przygotować się do całkowania, należy zapisać to równanie jako

W całkowaniu wykorzystamy hiperboliczną funkcję tangens, którą można zdefiniować jako

Rysunek 1.3 przedstawia część wykresu tej funkcji, z którego wynika, że

Odwrotną funkcję hiperboliczną tgh⁻¹(x) można wyrazić jako

dla -1 < x < 1. Rysunek 1.4 przedstawia część wykresu tej funkcji.

Z punktu widzenia naszego zadania jest to bardzo ciekawa funkcja, ponieważ

Aby zastosować powyższe rozważania do naszego równania, niech

,

skąd otrzymujemy

Całkując, dostaniemy

Wygodnie jest zapisać to jako

RYSUNEK 1.3. Wykres y = tgh (x)

RYSUNEK 1.4. Wykres funkcji odwrotnej do tangensa hiperbolicznego

gdzie c = gk jest nadal dowolną stałą całkowania. Teraz

lub

Aby rozwiązać υ (t), należy użyć tego równania do napisania

więc

Zakładamy, że obiekt został uwolniony ze stanu spoczynku, więc jego prędkość początkowa wynosi zero. Wtedy

,

więc k = 0 i rozwiązaniem dla prędkości jest

Jeżeli t → ∞, wynik jest następujący:

Oznacza to, że po upływie odpowiedniego czasu obiekt wydaje się opadać ze stałą prędkością . Jest to prędkość końcowa obiektu. Jak można się spodziewać, zależy ona od g, masy obiektu i stałej proporcjonalności dla danego ośrodka.

Analiza ta ma zastosowanie ogólnie do obiektów spadających w ośrodku, który opóźnia spadek, na przykład do statku tonącego w głębokiej części oceanu lub do granulki wrzuconej do dość długiej rury z olejem.

Rozdział 1.1. Zadania

W każdym z zadań 1-10 należy określić, czy równanie różniczkowe jest o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli tak, to należy znaleźć rozwiązanie ogólne (być może określone w sposób uwikłany) oraz wszelkie rozwiązania szczególne. Jeśli nie jest o zmiennych rozdzielonych, nie należy go rozwiązywać.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

W każdym z zadań 11–15 należy rozwiązać problem wartości początkowej.

11.

12.

13.

14.

15.

16. Przedmiot o temperaturze 32,2 stopnia Celsjusza umieszczono w środowisku o temperaturze 15,5 stopnia. Dziesięć minut później obiekt ochłodził się do 31,1 stopnia. Jaka będzie temperatura przedmiotu po 20 minutach przebywania w tym środowisku? Jak długo potrwa ochłodzenie obiektu do temperatury 18 stopni?

17. Termometr wyniesiono na zewnątrz domu, w którym temperatura otoczenia wynosi 21.1 stopnia Celsjusza. Pięć minut później termometr wskazuje 15,5 stopnia. Piętnaście minut później odczyt wyniósł 10,2 stopnia. Jaka jest temperatura zewnętrzna (którą zakłada się jako stałą)?

18. Pewien pierwiastek promieniotwórczy ma okres połowicznego rozpadu ln(2) tygodni. Jeżeli w danej chwili jego masa wynosi e ³ tony, to ile pozostanie z nich trzy tygodnie później?

19. Okres połowicznego rozpadu uranu-238 wynosi około 4,5(10⁹) lat. Ile z dziesięciokilogramowego bloku U-238 pozostanie w ciągu miliarda lat?

20. Biorąc pod uwagę, że 12 gramów pierwiastka radioaktywnego rozpada się na 9,1 grama w ciągu 4 minut, jaki jest okres połowicznego rozpadu tego pierwiastka?

21. Oblicz

Wskazówka: Niech

Oblicz I ′(x) i wyznacz równanie różniczkowe pierwszego rzędu spełnione przez I (x). Przy warunku początkowym zastosuj całkę standardową

,

aby wyznaczyć I (0).

22. Ten problem bada logistyczny model wzrostu populacji. W 1837 roku holenderski biolog Pierre François Verhulst opracował równanie różniczkowe do modelowania zmian w populacji (badał populacje ryb w Morzu Adriatyckim). Verhulst rozumował, że na tempo zmian w populacji P (t) w odniesieniu do czasu powinny wpływać czynniki wzrostu (takie jak aktualna populacja), a także czynniki opóźniające wzrost (takie jak ograniczenia żywności i przestrzeni). Stworzył model, postulując, że czynniki wzrostu można zapisać jako aP (t), a czynniki opóźniające przez -bP (t)², przy czym a i b są liczbami dodatnimi, wybranymi w celu dopasowania do danej populacji. W ten sposób powstało równanie logistyczne

Gdy b = 0, jest to model wykładniczy, który jest nierealistyczny dla większości populacji. Rozwiązując równanie logistyczne, przy spełnieniu warunku P(0) = p₀, otrzymujemy

To jest logistyczny model wzrostu populacji. Należy pokazać, że P(t) określone tym równaniem jest ograniczone z góry i asymptotycznie zbliża się do granicy a / b, w miarę jak t → ∞. Jest to diametralnie różne od modelu wykładniczego, w którym populacja rośnie bez ograniczeń wraz z upływem czasu.

23. Kontynuując zadanie 22, badania Pearl’a i Reeda z 1920 r. opublikowane w Proceedings of the National Academy of Sciences sugerują wartości

a = 0,03134, b = (1,5887)(10⁻¹⁰)

dla Stanów Zjednoczonych. Tabela 1.1 zawiera dane dotyczące spisu ludności w Stanach Zjednoczonych w odstępach dziesięcioletnich od 1790 do 1980 roku. Przyjmując rok 1790 jako rok zerowy w celu określenia p₀, należy wykazać, że model logistyczny dla populacji Stanów Zjednoczonych wynosi

Wykorzystaj te dane do wypełnienia kolumny P(t) w tabeli. Oblicz błąd procentowy, aby wypełnić tę kolumnę. Należy zauważyć, że liczby przewidywane przez model logistyczny są dość dokładne przez stosunkowo długi okres, a następnie coraz bardziej odbiegają od rzeczywistych wartości. Pokaż, że granica populacji w tym modelu wynosio koło 197 300 000, którą Stany Zjednoczone przekroczyły w 1970 roku.

Następnie można spróbować modelu wykładniczego Q′(t) = kQ(t), używając populacji z 1790 roku do określenia k. Łatwo się przekonać, że ten model jest dość rozbieżny i szybko odbiega od danych ze spisu ludności. Modele wykładnicze nie są wystarczająco zaawansowane i wyrafinowane, aby modelować złożoność populacji ludzkich.

Tabela 1.1. Dane spisu ludności do zadania 23

Rok

Populacja

P (t )

Błąd procentowy

Q(t)

Błąd procentowy

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

1860

1870

1880

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

3 929 213

5 308 483

7 239 881

9 638 453

12 886 020

17 169 453

23 191 876

31 443 321

38 558 371

50 189 209

62 979766

76 212 168

92 228 496

106 021 537

123 202 624

132 164 569

151 325 798

179 323 175

203 302 031

226 547 042

1.2. Równanie liniowe pierwszego rzędu

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie postaci

.

Funkcja

jest nazywana czynnikiem całkującym dla liniowego równania różniczkowego. Mnożąc równanie przez ten czynnik, otrzymamy

.

Traktując lewą stronę jako pochodną iloczynu, można napisać

.

Całkowanie daje równanie, które można rozwiązać dla y.

Wadą tej metody jest to, że możemy nie być w stanie obliczyć wszystkich całek.

PRZYKŁAD 1.7.

Równanie

jest liniowe z p (x) = 1 i q(x) = x. Czynnikiem całkującym jest

.

Pomnóżmy równanie różniczkowe przez e x:

.

Traktując lewą stronę jako pochodną iloczynu ye x, mamy

.

Całkując obie strony, otrzymujemy

.

Na koniec rozwiązujemy ze względu na y przez pomnożenie przez e ⁻x:

.

Jest to rozwiązanie ogólne, mające jedną dowolną stałą c. Jak zwykle, jeżeli podamy jakąś wartość y (x₀) = y₀, to można wyznaczyć c, a wynik jest jednoznacznym rozwiązaniem szczególnym. Na przykład, jeżeli chcemy, aby y (0) = 7, to potrzebujemy

.

Wtedy c = 8 i rozwiązaniem spełniającym y (0) = 7 jest

.

Jest to rozwiązanie, którego wykres przechodzi przez (0, 7).

PRZYKŁAD 1.8.

Należy rozwiązać problem wartości początkowej

.

Strategia polega na znalezieniu ogólnego rozwiązania równania różniczkowego, a następnie rozwiązaniu dla stałej tak, aby y (1) = 5. Napiszmy

.

Jest to równanie liniowe z czynnikiem całkującym

.

Tutaj zakładamy, że x > 0, aby istniał logarytm. Należy pomnożyć równanie różniczkowe przez x:

.

Mamy

.

Całkujemy, aby otrzymać

.

Następnie

.

Jest to rozwiązanie ogólne. Dla warunku początkowego potrzebujemy

.

To wymaga, aby c = 17 / 4, więc rozwiązaniem problemu wartości początkowej jest

.

Jako przykład, w którym całkowanie stanowi trudność, rozważmy

.

Czynnik całkujący wynosi

.

Mnożąc równanie różniczkowe przez tę funkcję, otrzymamy

.

Następnie

Całkujemy, aby otrzymać

.

Wszystko jest poprawnie wykonane, ale nie możemy wyrazić całki prawej strony równania przez funkcję algebraiczną. Można na przykład spróbować rozwiązać to równanie różniczkowe za pomocą nieskończonego szeregu.

PRZYKŁAD 1.9. Problem mieszania

W 800-litrowym cylindrycznym zbiorniku słonej wody rozpuszczono 50 kilogramów soli. Mieszanina składająca się z 1 / 64 kilograma soli na litr jest pompowana do zbiornika z prędkością 12 litrów na minutę i stale mieszana. Mieszanina solankowa jest opróżniana ze zbiornika z taką samą prędkością przez otwór w dnie (rysunek 1.5). Chcemy wiedzieć, ile soli znajduje się w zbiorniku w danym momencie.

Jest to przykład problemu z mieszaniem. Występują one w chemii, procesach przemysłowych, oceanach i innych miejscach.

RYSUNEK 1.5. Zbiornik magazynowy z przykładu 1.9

Niech Q(t) będzie ilością soli w zbiorniku w chwili t. Tempo zmian Q(t) w czasie musi być równe tempu, w jakim sól jest wpompowywana, minus tempo, w jakim jest wypompowywana:

Jest to równanie liniowe

.

Strategia rozwiązywania:

Pomnóżmy przez czynnik całkujący , aby otrzymać

.

Całkujemy:

.

Następnie

.

Dla wygody przyjmijmy, że mieszanie rozpoczęło się w chwili t = 0, więc

.

Wtedy c = 75 i

.

Zauważmy, że Q(t) → 12,5 w czasie t → ∞. Jest to wartość Q(t) w stanie ustalonym. Wyrażenie 37,5e⁻³t / 200 jest przejściową częścią rozwiązania i maleje do zera wraz ze wzrostem t. Rozwiązanie rozkłada się w sposób naturalny na sumę części ustalonej i części przejściowej. Ten rodzaj rozkładu jest często spotykany wrozwiązaniach problemów fizycznych, na przykład przy rozwiązywaniu zagadnień elektrycznych w obwodach RLC.

Rozdział 1.2. Zadania

W każdym z zadań 1-5 należy znaleźć rozwiązanie ogólne.

1.

2.

3.

4.

5.

W każdym z zadań 6-10 należy rozwiązać problem wartości początkowej.

6.

7.

8.

9.

10.

11. Znajdź wszystkie funkcje, które mają tę własność, że punkt przecięcia z osią y stycznej do wykresu w punkcie (x, y) wynosi 2x ².

12. Cylindryczny zbiornik o pojemności 2000 litrów zawiera początkowo 200 litrów roztworu solanki, w którym 12,5 kilograma soli zostały rozpuszczone. Począwszy od chwili zero, solanka zawierająca 0,25 kilograma soli na litr jest dodawana z prędkością 12 litrów na minutę, a mieszanina jest wylewana ze zbiornika z prędkością 8 litrów na minutę. Ile soli znajduje się w zbiorniku, gdy zawiera on 400 litrów solanki?

13. Dwa zbiorniki są połączone jak na rysunku 1.6. Zbiornik 1 zawiera początkowo 10 kilogramów soli rozpuszczonej w 400 litrach solanki. Zbiornik 2 zawiera początkowo 600 litrów solanki, w której rozpuszczono 45 kilogramów soli. W chwili zerowej do zbiornika 1 dodawany jest z prędkością 20 litrów na minutę roztwór solanki zawierający 1/16 kilograma soli na litr. Zbiornik 1 ma wyjście, które odprowadza solankę do zbiornika 2, a wypływ wynosi 20 litrów na minutę. Wyznaczyć ilość soli w każdym zbiorniku w dowolnym momencie t > 0. Określić również, kiedy stężenie soli w zbiorniku 2 jest minimalne i ile soli znajduje się wtedy w tym zbiorniku. Wskazówka: Rozwiązać zadanie dotyczące ilości soli w zbiorniku 1 w chwili t i wykorzystać to rozwiązanie do określenia ilości soli w zbiorniku 2.

1.3. Równania zupełne

Załóżmy, że mamy równanie różniczkowe

,

które możemy zapisać w formie różniczkowej jako

.

Wyrażenie po lewej stronie przypomina różniczkę funkcji φ (x, y) dwóch zmiennych:

.

RYSUNEK 1.6. Zbiorniki w problemie 13, rozdział 1.2

Jeżeli możemy dopasować pewne φ (x, y) do równania różniczkowego, wybierając φ (x, y) tak, że

,

wtedy równanie różniczkowe staje się postaci

,

a równanie

w sposób uwikłany określa funkcję y (x), która spełnia równanie różniczkowe. Rozwiązanie ogólne jest dane przez φ (x, y) = c w sposób uwikłany.

PRZYKŁAD 1.10.

Wykorzystaj te pomysły do rozwiązania

.

Nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych ani liniowe. W formie różniczkowej jest postaci

.

Niech

.

Wtedy

,

więc równanie różniczkowe ma postać dφ (x, y) = 0. Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego jest określone w sposób uwikłany przez

.

Aby to sprawdzić, należy pomyśleć o y jako o y (x) i zróżniczkować rozwiązanie względem x, aby otrzymać

.

Teraz należy rozwiązać ze względu na y′, aby otrzymać

,

które jest pierwotnym równaniem różniczkowym.

Przeanalizujmy dokładniej wybór φ (x, y) w przykładzie 1.10. Oto metodyczny sposób na znalezienie φ (x, y) tak, aby równanie różniczkowe miało postać dφ = 0. Chcemy, żeby

.

To wymaga, aby

.

Zacznijmy od jednego z tych równań, powiedzmy

.

Aby odwrócić to różniczkowanie cząstkowe względem y, należy całkować to równanie względem y, traktując x jako stałą, aby otrzymać

,

w którym „stała” całkowania może zależeć od x, ponieważ pochodna cząstkowa g (x) względem y wynosi zero. Teraz znamy φ (x, y) z dokładnością do pewnej funkcji g (x). Aby znaleźć odpowiednią funkcję g (x) dla tego problemu, należy zróżniczkować to wyrażenie dla φ (x, y) względem x i wykorzystać fakt, że ta pochodna cząstkowa musi być równa e x sin ( y) - 2x:

.

To wymaga, aby g′(x) = -2x. Wybierz g (x) = -x ², co daje

,

jak w przykładzie.

φ (x, y) jest funkcją potencjału dla równania różniczkowego M(x, y) + N(x, y)y′ = 0, jeżeli

.

Gdy mamy funkcję potencjału, mamy rozwiązanie ogólne uwikłane dane przez φ (x, y) = c. Gdy M + N y′ = 0 ma funkcję potencjału, równanie różniczkowe nazywa się równaniem zupełnym.

Nie każde równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest zupełne.

Matematyka w kontekście – para wodna

Zastosowanie pary wodnej w technice ma długą historię, od silników parowych w XIX wieku do napędu turbin w nowoczesnych elektrowniach. Para wodna służy do przenoszenia energii w systemie, dlatego dla inżynierów zajmujących się cieczami termicznymi istotna jest możliwość skorelowania zawartości energii w parze z mierzalnymi właściwościami, takimi jak temperatura i ciśnienie.

Funkcja entalpii H jest termodynamiczną funkcją potencjału reprezentującą energię płynu. Dla wielu praktycznych scenariuszy można ją zapisać w postaci różniczek zupełnych, tworząc zupełne równanie różniczkowe. Na przykład, jedną z form jest:

dH = S (T, P) dT + V (T, P) dP

Tutaj entropia S i objętość V są modelowane jako funkcje temperatury i ciśnienia. Dla różnych cieczy można doświadczalnie określić korelacje dla entropii i objętości. Zmiana entalpii płynu może być określona poprzez rozwiązanie powyższego równania różniczkowego.

Ponieważ para wodna jest tak szeroko stosowana, opracowano „tabele parowe”, w których zestawiono rozwiązania powyższego równania i innych powiązanych równań, aby zapewnić wygodne, oszczędzające czas odniesienia dla inżynierów i operatorów elektrowni

PRZYKŁAD 1.11.

Równanie y ′ + y = 0 jest o zmiennych rozdzielonych i liniowe, a rozwiązaniem ogólnym jest y (x) = ce⁻x. Ale nie jest równaniem zupełnym i dlatego nie może być rozwiązane przez znalezienie funkcji potencjału. W formie różniczkowej y ′ + y = 0 to

y dx + dy = 0.

Aby φ (x, y) była funkcją potencjału tego równania, potrzebujemy by

Scałkujmy pierwsze z tych równań względem x, traktując y jako stałą, aby otrzymać

.

Następnie należy wyznaczyć funkcję h ( y). Jednocześnie mamy

Jednak to oznacza, że h′ ( y) = 1 - x, co jest niemożliwe, ponieważ założono, że h ( y) jest funkcją tylko y. Żadna funkcja potencjału dla równania y ′ + y = 0 nie istnieje.

W świetle tego przykładu, wygodnie jest dysponować prostym testem pozwalającym określić, czy równanie M (x, y) + N (x, y) y′ = 0 jest zupełne. Twierdzenie 1.1 dostarcza takiego testu.

Twierdzenie 1.1. Test na zupełność

Załóżmy, że M, N, ∂N / ∂x i ∂M / ∂y są ciągłe dla wszystkich (x, y) w prostokącie R na płaszczyźnie o bokach równoległych do osi. Wtedy M + N y′ = 0 jest zupełne na R wtedy i tylko wtedy, gdy

dla (x, y) w R.

■

W przykładzie 1.11 M = y i N = 1, więc ∂N / ∂x = 0 i ∂M / ∂y = 1 dla wszystkich (x, y), a jak wykazaliśmy przez całkowanie y ′ + y = 0 równanie nie jest zupełne.

PRZYKŁAD 1.12.

Rozważmy problem wartości początkowej

To równanie różniczkowe nie jest o zmiennych rozdzielonych ani liniowe. W postaci różniczkowej,

Ponieważ

dla wszystkich (x, y), równanie różniczkowe jest zupełne na każdym prostokącie, a więc na całej płaszczyźnie. Oznacza to, że równanie różniczkowe ma funkcję potencjału. Teraz chcemy ją znaleźć.

Jeżeli φ (x, y) jest funkcją potencjału, to

Wybierzmy jedno z równań do całkowania, powiedzmy

Teraz potrzebujemy

Wtedy , więc kładziemy , aby otrzymać

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego jest określone w sposób uwikłany przez

Aby rozwiązać problem wartości początkowej, należy wybrać c tak, aby y (0) = 1. Przyjmujemy x = 0 i y = 1 w rozwiązaniu ogólnym, aby otrzymać

e = c.

Rozwiązanie problemu wartości początkowej jest w sposób uwikłany określone przez

Rysunek 1.7 przedstawia część wykresu tego szczególnego rozwiązania.

RYSUNEK 1.7. Wykres szczególnego rozwiązania z przykładu 1.12

Rozdział 1.3. Zadania

W każdym z zadań 1–5 należy sprawdzić, czy równanie różniczkowe jest zupełne. Jeżeli jest zupełne w pewnym obszarze R płaszczyzny, należy znaleźć funkcję potencjału i ogólne rozwiązanie, być może uwikłane, które jest prawdziwe dla tego obszaru. Jeżeli nie jest zupełne w żadnym obszarze, nie należy podejmować próby rozwiązania.

1.

2.

3.

4.

5.

W zadaniach 6 i 7 proszę określić stałą α tak, aby równanie było zupełne. Następnie proszę znaleźć ogólne rozwiązanie równania zupełnego.

6.

7.

W każdym z zadań 8–12 należy określić, czy równanie różniczkowe jest zupełne na jakimś prostokącie zawierającym punkt, w którym podany jest warunek początkowy. Jeżeli jest zupełne, należy rozwiązać problem wartości początkowej. W przeciwnym razie nie należy podejmować prób rozwiązania.

8.

9.

10.

11.

12.

13. Niech φ (x, y) będzie funkcją potencjału dla M (x, y) + N (x, y) y′ = 0. Pokaż, że φ (x, y) + c jest również funkcją potencjału dla dowolnej liczby c. Czym różni się rozwiązanie ogólne uzyskane za pomocą funkcji φ (x, y) od rozwiązania uzyskanego za pomocą funkcji φ (x, y) + c?

Jeżeli równanie M + Ny′ = 0 nie jest zupełne, to czasami można znaleźć niezerową funkcję μ (x, y) taką, że μM + μNy′ = 0 jest zupełne. Korzyść z tego jest taka, że M + Ny′ = 0 ma takie same rozwiązania jak µM + µNy′ = 0, jeżeli μ (x, y) ≠ 0 w interesującym nas obszarze. Taka funkcja μ(x, y) jest nazywana czynnikiem całkującym dla M + Ny′ = 0.

14. (a) Wykaż, że y - xy′ = 0 nie jest zupełne na żadnym prostokącie na płaszczyźnie.

(b) Wykaż, że μ (x, y) = x⁻² jest czynnikiem całkującym na dowolnym prostokącie, na którym x ≠ 0. Wykorzystaj to do znalezienia ogólnego rozwiązania y - xy′ = 0.

(c) Wykaż, że v (x, y) = y⁻² jest również czynnikiem całkującym dla x ≠ 0 i znajdź ogólne rozwiązanie przy użyciu tego podejścia. Użyj tego, aby rozwiązać y - xy′ = 0.

(d) Wykaż, że δ (x, y) = xy⁻³ jest kolejnym czynnikiem całkującym dla x ≠ 0 i y ≠ 0. Wykorzystaj ten czynnik całkujący, aby rozwiązać y - xy′ = 0.

(e) Zapisz to równanie w postaci liniowej jako

i znajdź rozwiązanie ogólne.

(f) Czy metody od (b) do (e) dają to samo rozwiązanie?

15. Wykaż, że

nie jest zupełne. Rozwiąż to równanie, znajdując czynnik całkujący w postaci μ (x, y) = x a y b. Wskazówka: Mnożąc równanie różniczkowe przez x a y b, rozwiąż dla a i b tak, aby to równanie było zupełne.

16. Wypróbuj strategię z zadania 15 dla równania

17. Uzupełnij szczegóły następującego rozumowania, aby dowieść twierdzenia 1.1. Jeżeli istnieje funkcja potencjału φ (x, y), należy wykorzystać fakt, że

,

aby pokazać, że ∂M / ∂y = ∂N / ∂x.

Teraz z kolei załóżmy, że ∂M / ∂y = ∂N / ∂x. Wybierz dowolne (x₀, y₀) i niech

Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego wynika, że ∂φ / ∂y = N. Dla ∂φ / ∂x wykorzystaj, że ∂M / ∂y = ∂N / ∂x w wyrażeniu określającym φ (x, y).

1.4. Równania jednorodne, Bernoulliego i Riccatiego

Istnieje wiele specjalnych typów równań różniczkowych pierwszego rzędu, które mają pewien szczególny charakter, pozwalający na wyznaczenie rozwiązania. Omówimy trzy takie przykłady.

1.4.1. Równanie różniczkowe jednorodne

Równanie różniczkowe jednorodne ma postać

przy czym y′ jest równe pewnemu wyrażeniu, w którym x i y zawsze występują w kombinacji y / x. Przykładami są

W niektórych przypadkach równanie różniczkowe można przekształcić w formę jednorodną. Ma to miejsce w przypadku

które możemy zapisać jako

,

zakładając, że x ≠ 0.

Jednorodne równanie różniczkowe można zawsze przekształcić w równanie o zmiennych rozdzielonych, przyjmując u = y / x, a wtedy

y = ux.

To przekształca równanie różniczkowe y′ = f ( y / x) na

Wtedy

a to jest równanie o zmiennych rozdzielonych (u i x), ponieważ

Chodzi o to, aby rozwiązać to równanie dla u jako funkcji x, a następnie y = xu (x).

PRZYKŁAD 1.13.

Rozwiąż

Najpierw zauważmy, że

lub, gdy przyjmiemy y = ux,

Wtedy

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych:

Całkujemy, aby otrzymać

,

przy czym c jest dowolną stałą. Wtedy

zatem

i jest ogólnym rozwiązaniem pierwotnego równania jednorodnego.

PRZYKŁAD 1.14. Problem pościgu

Problem pościgu polega na wyznaczeniu trajektorii tak, aby jeden obiekt przechwycił inny. Przykładem mogą być pociski wystrzelone w kierunku samolotu lub spotkanie wahadłowca ze stacją kosmiczną.

Poniżej przedstawiono przykład prostego problemu pościgu, który można rozwiązać za pomocą narzędzi opracowanych do tej pory. Załóżmy, że kanał ma szerokość w, a woda płynie ze stałą prędkością s. Na rysunku 1.8 kanał jest pokazany z prądem płynącym w górę.

RYSUNEK 1.8. Schemat problemu pościgu z przykładu 1.14

Osoba wchodzi do wody w punkcie A i płynie w kierunku punktu docelowego B, zawsze zachowując orientację skierowaną w stronę B. Chcemy określić trajektorię, jaką powinien obrać pływak.

Należy umieścić układ współrzędnych jak na rysunku, z punktem A w (w, 0) i punktem docelowym B w punkcie początkowym (0, 0). Pływak porusza się po kanale z prawej do lewej strony. Niech υ (t ) będzie prędkością pływaka w czasie t i załóżmy, że pływak znajduje się w punkcie (x (t ), y (t )).

Wykres przedstawia prędkość υ (t ) zorientowaną w kierunku początku (punkt docelowy B). Przy α – stałym kącie linii wzroku pływaka do punktu B, składowa pozioma i pionowa prędkości pływaka wynoszą

Następnie

Z wykresu,

Następnie, w odniesieniu do x i y,

Rozpoznajemy w tym jednorodne równanie różniczkowe

Niech y = ux, aby otrzymać

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych. Dostaniemy

Całkujemy to równanie, aby otrzymać

Aby rozwiązać to równanie dla u, należy przyłożyć funkcję wykładniczą do obu stron:

Ponieważ c jest jeszcze dowolne, e c może być dowolną liczbą dodatnią. Zapiszmy K = ±e c (co może być dowolną stałą niezerową) i korzystając z faktu, że x > 0, niech będzie, że ln | x | = ln(x). Teraz

Wtedy

Aby rozwiązać to równanie dla u, należy najpierw zapisać je jako

i podnieść do kwadratu obie strony, aby otrzymać

Z tego otrzymujemy

Ostatecznie rozwiązaniem dla y jest

Aby wyznaczyć K, należy pamiętać, że punkt B umieściliśmy w punkcie (w, 0), więc y (w) = 0. Oznacza to, że

Wtedy

i rozwiązaniem dla y (x) jest

Jak można się było spodziewać, trajektoria zależy od prędkości pływaka, szerokości kanału i siły prądu. Rysunek 1.9 przedstawia wykresy toru ruchu pływaka dla w = 1 i dla s / υ = 1 / 3, 1 / 2 i 3 / 4.

RYSUNEK 1.9. Trajektorie pływaka dla s / υ = 1 / 3 (dolna krzywa), s / υ = 1 / 2 (środkowa) i s / υ = 3 / 4 (górna)

1.4.2. Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego ma postać

w którym α jest stałą. Równanie Bernoulliego jest liniowe, jeżeli α = 0 i o zmiennych rozdzielonych jeżeli α = 1.

Około 1696 roku Leibniz wykazał, że jeżeli α ≠ 1, to przekształcenie

υ = y¹⁻α

przekształca równanie Bernoulliego w liniowe równanie różniczkowe w kategoriach υ i x.

PRZYKŁAD 1.15.

Rozwiąż równanie Bernoulliego

Tutaj P(x) = 1/x, R(x) = 3x ² oraz α = 3. Niech

Wówczas y = υ⁻1/2. Pamiętając, że różniczkowanie odbywa się względem x, na podstawie reguły różniczkowania funkcji złożonych otrzymujemy

Równanie różniczkowe zmiennych x i y staje się równaniem

Mnożąc przez -2υ3/2, otrzymujemy

liniowe równanie różniczkowe względem x i υ. To równanie posiada czynnik całkujący

Mnożąc obie strony przez x⁻², otrzymujemy

lub

Całkowanie implikuje

Wówczas

Ostatecznie ze względu na y równanie ma rozwiązanie w postaci

1.4.3. Równanie Riccatiego

Równanie różniczkowe

nazywane jest równaniem Riccatiego. Jest ono liniowe, gdy P (x) się zeruje. Jeżeli jesteśmy w stanie znaleźć jedno rozwiązanie S (x) równania Riccatiego, to zmiana zmiennych

przekształca równanie Riccatiego w równanie liniowe względem x i z. Strategia polega na rozwiązaniu tego równania liniowego i wykorzystaniu go do napisania ogólnego rozwiązania równania Riccatiego dla y w odniesieniu do x.

PRZYKŁAD 1.16.

Rozwiąż równanie Riccatiego

Łatwo zauważyć, że y = S (x) = 1 jest rozwiązaniem. Definiujemy nową zmienną przez

Wtedy

Równanie przekształca się w

Po kolejnych przekształceniach dostajemy równanie liniowe

Czynnik całkujący wynosi

Mnożąc przez czynnik, mamy

Całkujemy, aby otrzymać

Teraz

Ostatecznie rozwiązanie ogólne równania Ricattiego ma postać

Można to zapisać zgrabniej jako:

gdzie k = 3c jest nadal dowolną stałą.

Rozdział 1.4. Zadania

W każdym z zadań 1–14 należy znaleźć rozwiązanie ogólne. Te równania różniczkowe obejmują wszystkie typy omówione w tym rozdziale.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. Rozważmy równanie różniczkowe

w którym a, b, c, d, p i r są liczbami. Należy pokazać, że to równanie jest jednorodne wtedy i tylko wtedy, gdy c = r = 0. Jeżeli jedna lub obie liczby c i r nie są równe zero, to takie równanie różniczkowe nazywa się prawie jednorodne. Należy pokazać, że jeżeli ap - bd ≠ 0, to można wybrać takie stałe h i k, że przekształcenie

daje jednorodne równanie różniczkowe.

W każdym z zadań 16–19 należy wykorzystać pomysł z zadania 15 do rozwiązania równania różniczkowego.

16.

17.

18.

19.

20. Człowiek stoi na skrzyżowaniu dwóch prostopadłych dróg. Pies stoi w odległości A metrów na jednej z dróg. Człowiek zaczyna iść ze stałą prędkością υ wzdłuż drugiej drogi, a w tym samym momencie pies zaczyna biec w kierunku człowieka z prędkością 2υ. Wyznacz drogę psa, zakładając, że jest on zawsze zwrócony w stronę człowieka. Określ również, czy pies w końcu dogoni człowieka, a jeśli tak, to kiedy. Wskazówka: Załóżmy, że w chwili t = 0 pies znajduje się w punkcie początkowym (0, 0), a człowiek w punkcie (A, 0). W chwili t pies znajduje się w punkcie (x, y), a człowiek w punkcie (A, υt ). Wykaż, że dy / dx = (υt - y) / (A - x). Zapisz odległość przebytą przez psa wzdłuż jego drogi jako całkę i wykorzystaj ją do wyeliminowania υt z tego równania.

21. Niszczyciel poluje na okręt podwodny. Okręt podwodny wypływa na powierzchnię 9 kilometrów od niszczyciela i zostaje wykryty przez radar. Okręt zanurza się i porusza ze stałą prędkością υ km /godz. po prostej linii, której kierunek jest nieznany kapitanowi niszczyciela. Załoga niszczyciela wie jednak, że ta taktyka w linii prostej jest standardowym działaniem unikowym dla okrętów podwodnych. Wyznacz kurs niszczyciela, który zagwarantuje, że w pewnym momencie przejdzie on bezpośrednio nad okrętem podwodnym, jeżeli niszczyciel będzie poruszał się z prędkością 2υ km /godz. Czy rozwiązanie tego problemu pomoże kapitanowi zniszczyć okręt podwodny? Wskazówka: Użyj współrzędnych biegunowych, z początkiem na okręcie podwodnym w momencie obserwacji i niszczycielem na osi biegunowej w punkcie (9, 0). Niech niszczyciel porusza się wzdłuż tej linii do (3, 0), a następnie przejdź do schematu poszukiwania r = f (θ). Aby określić f (θ) tak, aby oba statki osiągnęły ostatecznie ten sam punkt ( f (φ), φ), należy rozważyć odległość przebytą przez niszczyciela od momentu zauważenia do momentu przechwycenia.

22. Na kwadratowym stole o długości boku L w każdym rogu siedzi robak. W tym samym czasie robaki zaczynają poruszać się ze stałą prędkością υ, każdy z nich jest zawsze zwrócony w stronę robaka po swojej prawej stronie.

(a) Wyznacz krzywą pościgu każdego robaka.

Wskazówka: Użyj współrzędnych biegunowych z początkiem w środku stołu i osią biegunową w jednym z rogów stołu. Gdy robak znajduje się w punkcie ( f (θ), θ) we współrzędnych biegunowych, jego cel znajduje się w punkcie ( f (θ), θ + π / 2). Korzystając z różniczkowania funkcji złożonych, można napisać

,

gdzie

y (θ) = f (θ) cos (θ) i x (θ) = f (θ) cos (θ).

(b) Określ odległość przebytą przez każdego robaka.

(c) Czy któryś z robaków dotarł do innego z nich?

Rozdział 2

Równania różniczkowe drugiego rzędu

2.1. Równanie liniowe drugiego rzędu

Równanie różniczkowe drugiego rzędu to równanie, w którym występuje druga pochodna i ewentualnie pierwsza pochodna, ale nie ma trzeciej lub wyższej pochodnej niewiadomej funkcji. W tym rozdziale skupimy się na liniowym równaniu drugiego rzędu

[2.1]

Aby zorientować się, czego należy oczekiwać w tych przypadkach, spójrzmy na proste równanie

y″ = 12x.

Oczywiście, jest to tylko problem całkowania. Całkując jeden raz, otrzymujemy

Ponownie całkując, otrzymamy

Ponieważ wymagane są dwa całkowania, istnieją dwie stałe całkowania. Dla każdego wyboru tych stałych otrzymujemy określone rozwiązanie, a rozwiązania te tworzą dwuparametrowy system krzywych na płaszczyźnie (parametrami są c₁ i c₂). Rysunek 2.1 pokazuje niektóre z tych krzywych, które są również nazywane krzywymi całkowymi równania różniczkowego.

Fakt, że istnieją dwie dowolne stałe, ma wpływ na jednoznaczność rozwiązań problemów z warunkiem początkowym. Załóżmy, że istnieje warunek początkowy, powiedzmy y (0) = -3. Oznacza to, że chcemy uzyskać rozwiązanie, którego wykres przechodzi przez (0, -3). Teraz c₂ = -3, ale c₁ jest nadal dowolne. Rysunek 2.2 przedstawia wykresy y = 2x³ + c₁x - 3 dla różnych wartości c₁. Wszystkie te krzywe przedstawiają rozwiązania przechodzące przez (0, -3). Zmieniając wartość c₁, można otrzymać nieskończenie wiele takich krzywych.

Jednak każda z tych krzywych ma inne nachylenie w punkcie (0, -3). Jeśli podamy również nachylenie przy (0, -3), powiedzmy y′ (0) = −1, to

y′ (0) = c₁ = −1

RYSUNEK 2.1. Niektóre krzywe całkowe z y″ = 12x

RYSUNEK 2.2. Niektóre krzywe całkowe y″ = 12x przechodzące przez (0, -3)

i istnieje dokładnie jedno rozwiązanie przechodzące przez (0, -3) z nachyleniem -1. Tym rozwiązaniem jest

y (x) = 2 x³ − x − 3.

Idea tego przykładu ma ogólne zastosowanie dla liniowego równania drugiego rzędu.

Twierdzenie 2.1. (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu wartości początkowej)

Załóżmy, że p (x), q(x) i  f (x) są ciągłe na otwartym przedziale I zawierającym x₀. Niech A i B będą liczbami. Wtedy problem wartości początkowej

ma jedyne rozwiązanie na I.

■

Teraz sprawdzimy, czego należy dokonać, aby znaleźć wszystkie rozwiązania liniowego równania drugiego rzędu. Zacznijmy od przypadku jednorodnego.

Równanie

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

[2.2]

w którym funkcja f (x) z równania (2.1) jest równa zero, nazywa się równaniem jednorodnym. Terminu tego nie należy mylić z niezwiązanym z nim użyciem terminu „jednorodny” w odniesieniu do pewnych równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Rozwiązania równania (2.2) mają dwie ważne własności:

1. Suma dwóch rozwiązań jest rozwiązaniem.

2. Stała wielokrotność rozwiązania jest rozwiązaniem.

Te własności można połączyć, mówiąc, że dla dowolnych dwóch rozwiązań y₁ i y₂ oraz dowolnych liczb c₁ i c₂ kombinacja liniowa

c₁ y₁ + c₂ y₂

jest również rozwiązaniem. Na przykład sin (x) i cos (x) są rozwiązaniami y″ + y = 0, więc każda kombinacja liniowa

c₁ sin (x) + c₂ cos (x)

jest również rozwiązaniem.

Jeśli jedno rozwiązanie, powiedzmy y₂, jest stałą wielokrotnością drugiego, czyli

y₂(x) = ky₁(x)

dla wszystkich x w pewnym przedziale I, wtedy każda kombinacja liniowa c₁ y₁ + c₂ y₂ staje się po prostu wielokrotnością y₁, a z y₂ nie otrzymujemy żadnej informacji, której nie znamy z y₁.

Jeżeli dwa rozwiązania są stałymi wielokrotnościami siebie dla wszystkich x w I, to rozwiązania te są liniowo zależne lub zależne na I. Dwa rozwiązania równania (2.2) są liniowo niezależne lub niezależne na I, jeżeli żadne z nich nie jest stałą wielokrotnością drugiego dla wszystkich x w I.

Na przykład, sin (x) i cos (x) są niezależnymi rozwiązaniami y″ + y = 0 dla wszystkich x.

Niejednokrotnie jest oczywiste, że dwa rozwiązania są zależne lub niezależne na przedziale I. Istnieje jednak również test, który pozwala stwierdzić, czy dwa rozwiązania są zależne lub niezależne na przedziale I. Wronskian dwóch funkcji f (x) i g (x) wynosi

Jeśli f i g są dane, to W(x) jest tradycyjnym oznaczeniem dla wronskianu.

Twierdzenie 2.2. (Test Wrońskiego[1] na niezależność)

Niech y₁ i y₂ będą rozwiązaniami równania (2.2) na otwartym przedziale I. Wtedy

1. Albo W [ y₁, y₂](x) = 0 dla wszystkich x w I, albo W [ y₁, y₂](x) ≠ 0 dla wszystkich x w I.

2. y₁(x) i y₂(x) są niezależne w I wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x₀ w I, W [ y₁, y₂](x₀) ≠ 0.

■

Sprawdzając niezależność, wystarczy sprawdzić wartość wronskianu obu rozwiązań w jednym (dowolnym) punkcie przedziału. Na przykład, y₁(x) = e⁻x i y₂ (x) = xe⁻x są niezależnymi rozwiązaniami y″ + 2y′ + y = 0 na całej osi rzeczywistej. Ich wronskian to

i jest on niezerowy dla wszystkich x. Rozwiązania e⁻x i xe⁻x są liniowo niezależne.

Pojęcie niezależności jest kluczem do zapisania wszystkich rozwiązań y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0

Twierdzenie 2.3. (ogólne rozwiązanie równania 2.2)

Niech p (x) i q(x) będą ciągłe na otwartym przedziale I. Niech y₁ i y₂ będą niezależnymi rozwiązaniami równania (2.2) na otwartym przedziale I. Wtedy kombinacja liniowa

y (x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x),

w której c₁ i c₂ są dowolnymi stałymi, zawiera wszystkie rozwiązania równania (2.2) na I.

■

Z tego powodu c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) jest nazywane rozwiązaniem ogólnym równania (2.2), podczas gdy y₁ i y₂ są rozwiązaniami niezależnymi. Każde rozwiązanie można uzyskać z tej kombinacji liniowej poprzez dopasowanie stałych.

Twierdzenie 2.3 wynika z twierdzenia o jednoznaczności 2.1. Załóżmy, że φ (x) jest dowolnym rozwiązaniem równania (2.2) na otwartym przedziale I. Wybierz dowolne x₀ w I i niech φ (x₀) = A oraz φ′ (x₀) = B. Wtedy φ (x) jest jednoznacznym rozwiązaniem problemu wartości początkowej

Teraz rozważmy równania

Ponieważ y₁ i y₂ są niezależne, W [ y₁, y₂ ] (x₀) ≠ 0. Oznacza to, że możemy rozwiązać te dwa równania dla c₁ i c₂, otrzymując

Przy takim wyborze stałych, c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) jest również rozwiązaniem problemu wartości początkowej. Ale to rozwiązanie jest jednoznaczne, więc te dwa rozwiązania muszą być takie same:

φ (x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x).

Matematyka w kontekście – model sprężyny i masy

Badanie ruchu jest klasyczną dziedziną inżynierii, która wykorzystuje równania różniczkowe drugiego rzędu, rządzone przez drugie prawo Newtona ΣF = ma. Równania te pojawiają się w ruchu zarówno płynów, jak i ciał stałych, chociaż w każdym przypadku są one sformułowane inaczej, ponieważ stosuje się różne układy odniesienia

Schemat wyprowadzenia równania różniczkowego.

Wykorzystane na podstawie Hsu, Tai-Ran. “Applications of Second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis.” Lecture, Class Notes from San Jose State University. San Jose, CA, USA.

Model sprężynowo-masowy jest wszechobecnym modelem stosowanym w symulacjach projektowych w różnych sytuacjach ruchu ciała stałego, takich jak deformacja materiałów, amortyzatory masowe dla stabilności wieżowców i amortyzatory samochodowe. Ten ostatni przykład będziemy analizować w trakcie całego rozdziału.

Rowery i samochody są często projektowane z amortyzowanym systemem zawieszenia pomiędzy pojazdem a kołami, aby chronić pasażerów przed dyskomfortem związanym z nierównościami drogi. System ten można przedstawić jako tłumioną sprężynę pomiędzy punktem stałym (koło) a ruchomą masą (rama pojazdu).

PRZYKŁAD 2.1.

e x i e ²x są niezależnymi rozwiązaniami

y″ + 3y′ + 2y = 0.

Dlatego każde rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Aby rozwiązać problem wartości początkowej

należy znaleźć stałe, które spełniają te warunki. Musimy mieć

i 

Następnie c₁ = -7 i c₂ = 5, więc rozwiązaniem tego problemu wartości początkowej jest

Jesteśmy teraz przygotowani do rozpatrzenia równania niejednorodnego (2.1), w którym f (x) jest niezerowa dla co najmniej niektórych x w interesującym nas przedziale. W przeciwieństwie do przypadku jednorodnego, sumy i stałe wielokrotności rozwiązań nie są rozwiązaniami równania niejednorodnego (2.1).

Jeżeli jednak Y₁ i Y₂ są dwoma rozwiązaniami równania (2.1), to ich różnica okazuje się być rozwiązaniem równania jednorodnego (2.2), ponieważ

To jest klucz do napisania ogólnego rozwiązania, zawierającego wszystkie możliwe rozwiązania, dla równania (2.1).

Twierdzenie 2.4. Ogólne rozwiązanie równania (2.1)

Niech y₁ i y₂ będą niezależnymi rozwiązaniami powiązanego równania jednorodnego

y″ + p (x) y′ + q(x) y = 0.

Niech yp będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego

y″ + p (x) y′ + q(x) y = f (x).

Wtedy każde rozwiązanie równania niejednorodnego jest zawarte w wyrażeniu

y (x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) + yp(x).

■

Załóżmy, że Y(x) jest rozwiązaniem równania (2.1). Wtedy Y(x) - yp (x) jest rozwiązaniem powiązanego z nim równania jednorodnego (2.2). Wówczas istnieją stałe c₁ i c₂ takie, że

Y(x) - yp (x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x),

więc

Y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) + yp (x).

Twierdzenie 2.4 mówi, że ogólne rozwiązanie równania (2.1) jest równe ogólnemu rozwiązaniu równania (2.2) plus każde szczególne rozwiązanie równania (2.1). Dzięki temu problem napisania wszystkich rozwiązań równania (2.1) sprowadza się do dwóch kroków:

1. Znaleźć ogólne rozwiązanie powiązanego równania jednorodnego (2.2). Oznacza to znalezienie dwóch liniowo niezależnych rozwiązań tego równania różniczkowego.

2. Znaleźć tylko jedno (dowolne) rozwiązanie równania (2.2).

PRZYKŁAD 2.2.

Należy napisać ogólne rozwiązanie

y″ + 4y = 8x.

Rutynowo można sprawdzić, że y₁(x) = sin (2x) i y₂(x) = cos (2x) są niezależnymi rozwiązaniami powiązanego równania jednorodnego y″ + 4y = 0.

Łatwo też sprawdzić, że Yp (x) = 2x jest rozwiązaniem równania niejednorodnego.

Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest więc

y (x) = c₁ sin (2x) + c₂ cos (2x) + 2x.

Załóżmy teraz, że mamy problem wartości początkowej, powiedzmy

y″ + 4y = 8x; y (π) = 1, y′ (π) = - 6.

Wstawmy x = π do rozwiązania ogólnego:

y (π) = c₁ sin (2π) + c₂ cos (2π) + 2π = c₂ + 2π = 1,

więc c₂ = 1 - 2π. Następnie,

y′(π) = 2c₁ cos (2π) - 2c₂ sin (2π) + 2 = 2c₁ + 2 = -6,

więc c₁ = -4. Jedynym rozwiązaniem problemu wartości początkowej jest

y (x) = -4 sin (2x) + (1 - 2π) cos (2x) + 2x.

Rozdział 2.1. Zadania

W każdym z zadań 1–5 podany jest problem wartości początkowej. Należy sprawdzić, czy y₁(x) i y₂(x) są rozwiązaniami powiązanego z nimi równania jednorodnego i wykorzystać wronskian, aby wykazać, że te rozwiązania są liniowo niezależne. Napisać ogólne rozwiązanie tego powiązanego równania jednorodnego.

Następnie należy pokazać, że yp (x) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego i napisać ogólne rozwiązanie tego równania.

Na koniec należy znaleźć rozwiązanie problemu wartości początkowej.

1.

2.

3.

4.

5.

6. Wykaż, że wronskian dwóch niezależnych rozwiązań równania (2.2) nigdy nie jest równy zero, przeprowadzając następujący wywód. Załóżmy, że y₁(x) i y₂(x) są rozwiązaniami równania (2.2). Wtedy

Pomnóż pierwsze równanie przez y₂, drugie przez -y₁ i dodać. Wykorzystaj otrzymane równanie do wykazania, że

gdzie W = W [ y₁, y₂]. Rozwiąż to liniowe równanie pierwszego rzędu dla W(x), aby sprawdzić, że wronskian nigdy nie wynosi zero lub zawsze wynosi zero.

7. Niech y₁(x) = x² i y₂(x) = x³. Wykaż, że W(x) = x⁴. Teraz W(0) = 0, ale W(x) > 0 dla x ≠ 0. Dlaczego nie jest to sprzeczne z twierdzeniem 2.2?

8. Wykaż, że y₁(x) = x i y₂(x) = x² są liniowo niezależnymi rozwiązaniami x²y″ − 2xy′ + 2y = 0 na -1 < x < 1, ale że W(0) = 0. Dlaczego nie jest to sprzeczne z twierdzeniem 2.2?

9. Załóżmy, że y₁ i y₂ są rozwiązaniami równania (2.2) na przedziale (a, b) i że p i q są ciągłe na tym przedziale. Załóżmy, że istnieje punkt x₀ w (a, b), w którym zarówno y₁, jak i y₂ mają ekstrema lokalne (maksima lub minima). Należy pokazać, że y₁ i y₂ muszą być liniowo zależne. Oznacza to, że rozwiązania liniowo niezależne nie mogą mieć wspólnego ekstremum lokalnego.

10. Przypuśćmy, że φ (x) jest rozwiązaniem równania (2.2) na otwartym przedziale I. Załóżmy, że φ (x) nie jest funkcją zerową ale φ (x₀) = 0 przy pewnym x₀ w tym przedziale. Wykaż, że φ′ (x₀) ≠ 0.

11. Załóżmy, że y₁ i y₂ są różnymi rozwiązaniami równania (2.2) na otwartym przedziale I. Załóżmy, że istnieje punkt x₀ w I taki, że y₁(x₀) = y₂(x₀) = 0. Pokaż, że y₁ i y₂ muszą być liniowo zależne. Oznacza to, że liniowo niezależne rozwiązania nie mogą mieć wspólnego zera.

2.2. Równanie jednorodne o stałych współczynnikach

Wiemy już, czego należy oczekiwać, pisząc rozwiązania

y″ + p (x) y′ + q(x) y = 0.

i

y″ + p (x) y′ + q(x) y = f (x).

Następnie zajmiemy się metodami praktycznego znajdowania rozwiązań, koncentrując się na przypadku, gdy p (x) i q(x) są stałe. W tym rozdziale zaczniemy od przypadku jednorodnego, a w następnym przejdziemy do przypadku niejednorodnego.

Rozważmy jednorodne równanie liniowe o stałym współczynniku

y″ + ay′ + by = 0,

[2.3]

w którym a i b są danymi liczbami. Ponieważ pochodne erx są stałymi wielokrotnościami erx, należy spróbować znaleźć takie wartości r, aby erx było rozwiązaniem. Po podstawieniu erx do równania różniczkowego otrzymamy

r²erx + arerx + berx = 0.

Dzieląc przez niezerowy czynnik erx, otrzymujemy równanie kwadratowe dla r:

r² + ar + b = 0.

[2.4]

Jest to równanie charakterystyczne dla równania różniczkowego (2.3). Możemy otrzymać to równanie kwadratowe bezpośrednio ze współczynników równania różniczkowego, bez konieczności podstawiania erx.

Pierwiastki równania charakterystycznego są następujące:

Są to wartości r, dla których erx jest rozwiązaniem równania (2.3). W zależności od tych pierwiastków istnieją trzy różne formy, które mogą przyjąć rozwiązania.

Przypadek 1 – różne pierwiastki rzeczywiste

Równanie charakterystyczne ma różne pierwiastki rzeczywiste, gdy a² - 4b > 0. Jeżeli tymi pierwiastkami są r₁ i r₂, to e r¹x i e r²x są niezależne, oraz

y = c₁e r¹x + c₂e r²x

jest rozwiązaniem ogólnym równania (2.3).

PRZYKŁAD 2.3.

Równanie charakterystyczne dla

y″ - y′ - 6y = 0

to

r ² - r - 6 = (r - 3) (r + 2) = 0

z pierwiastkami 3,−2. Wtedy

y(x) = c₁ e ³x + c₂ e ⁻²x

jest rozwiązaniem ogólnym.

Przypadek 2 – wielokrotne pierwiastki

Równanie charakterystyczne ma podwójny (a więc rzeczywisty) pierwiastek, gdy a² − 4b = 0. Pierwiastek ten wynosi r = − a / 2, więc

y₁ (x) = e ⁻ax / 2

jest rozwiązaniem. Można sprawdzić przez podstawienie do równania różniczkowego, że y₂ (x) = xe ⁻ax / 2 jest również rozwiązaniem, a y₂ i y₁ są niezależne. W tym przypadku mamy rozwiązanie ogólne

lub

.

Szczegóły dotyczące wyprowadzenia tego drugiego rozwiązania w przypadku równych pierwiastków znajdują się w zadaniu 22.

PRZYKŁAD 2.4.

Rozważmy

y″ + 8y′ + 16y = 0.

Równanie charakterystyczne to

r ² + 8r + 16 = (r + 4)² = 0,

z pierwiastkami r = −4, −4. Rozwiązaniem ogólnym jest

y(x) = (c₁ + c₂x)e⁻⁴x.

Przypadek 3 – pierwiastki zespolone

Załóżmy, że równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone α ± iβ. To muszą być pierwiastki sprzężone, ponieważ równanie charakterystyczne ma współczynniki rzeczywiste.

Teraz e⁽α⁺iβ⁾ x i e⁽α⁻iβ⁾ x są rozwiązaniami niezależnymi i możemy napisać rozwiązanie ogólne

y(x) = c₁e⁽α⁺iβ⁾ x + c₂e⁽α⁻iβ⁾ x.

To jest poprawne, ale czasami (na przykład do sporządzania wykresów) chcemy mieć rozwiązanie ogólne, w którym występują tylko wielkości rzeczywiste. W tym celu należy wykorzystać fakt, że dwa dowolne niezależne rozwiązania mogą być użyte do rozwiązania ogólnego. Zacznijmy od wzoru Eulera

e ikx = cos (kx) + i sin (kx),

jeśli k jest rzeczywiste. Następnie

jest rozwiązaniem. A zastępując β przez -β,

jest drugim, niezależnym rozwiązaniem. Każda kombinacja liniowa y₁(x) i y₂(x) jest zatem również rozwiązaniem. W szczególności,

oraz

.

Zatem eαx cos (βx) i eαx sin (βx) są również rozwiązaniami i są również liniowo niezależne. Jeśli chcemy, możemy zapisać ogólne rozwiązanie w tym przypadku jako

y(x) = c₁eαx cos (βx) + c₂eαx sin (βx).

Matematyka w kontekście – modelowanie tłumionej sprężyny między punktem stałym a ruchomą masą

Schematyczny model i zdjęcie amortyzatora

Na podstawie Hsu, Tai-Ran. „Zastosowania równań różniczkowych drugiego rzędu w analizie mechanicznej”. Wykład, Notatki z zajęć z San Jose State University. San Jose, CA, USA

bizoo_n/iStock

Ruch sprężyny jest opisany prawem Hooke’a, które mówi, że sprężyny wykazują siłę regenerującą, przywracającą pierwotne położenie. Siła ta jest opisana jako F = -kx, gdzie k jest zależną od materiału stałą sprężyny, a x jest położeniem końca sprężyny. Wraz z amortyzatorami pojawia się również siła tłumiąca, która hamuje drgania w systemie, aby masa (rama samochodu i pasażerowie) nie odczuwała nierówności drogi. Siła tłumienia jest modelowana jako , gdzie c jest stałą tłumienia dla zaprojektowanego amortyzatora. Wstawiając to do drugiego prawa Newtona, otrzymujemy:

Stosując metody z tego rozdziału, możemy znaleźć trzy rodzaje rozwiązań w zależności od wartości c ² - 4mk. Rozwiązanie oscylacyjne jest w tej sytuacji niepożądane, ponieważ celem amortyzatora jest szybkie wyeliminowanie oscylacji. Dlatego inżynierowie powinni wybrać materiał sprężyny i konstrukcję amortyzatora z takimi wartościami k i c, że nawet dla dużych wartości m (wielu pasażerów w samochodzie), , a wtedy oscylacje od nierówności drogi są szybko tłumione.

PRZYKŁAD 2.5.

Rozwiąż y″ + 2y′ + 3y = 0. Równanie charakterystyczne to

r ² + 2r + 3 = 0

z pierwiastkami . Możemy napisać rozwiązanie ogólne o wartości rzeczywistej

Rozdział 2.2. Zadania

W zadaniach 1–10 należy znaleźć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

W zadaniach 11–20 należy rozwiązać problem wartości początkowej.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. (a) Znajdź ogólne rozwiązanie φ (x) równania

y″ − 2αy′ + α²y = 0.

(b) Znajdź rozwiązanie ogólne φϵ (x) funkcji

y″ − 2αy′ + (α² − ϵ ²) y = 0,

w którym ϵ jest stałą dodatnią.

(c) Wykaż, że w miarę jak ϵ → 0, rozwiązanie w (b) nie zbliża się do rozwiązania w (a), chociaż wydaje się, że równanie różniczkowe w (b) zbliża się do równania w (a). To pokazuje, jak małe zmiany współczynników równania różniczkowego mogą powodować znaczne zmiany w rozwiązaniu.

22. Załóżmy, że a² = 4b, przy czym a ≠ 0. Wtedy y₁(x) = e⁻ax/2 jest rozwiązaniem y″ + ay′ + by = 0. Wyprowadź drugie rozwiązanie y₂(x) = xe⁻ax/2 w następujący sposób. Należy spróbować znaleźć drugie rozwiązanie y₂(x) = u(x)e⁻ax/2. Wprowadź je do do równania różniczkowego i otrzymaj i rozwiąż równanie różniczkowe dla u (x).

23. Niech φ (x) będzie rozwiązaniem

y″ + ay′ + by = 0

w której a i b są liczbami dodatnimi. Wykaż, że lim x→∞ φ (x) = 0. Czy ten wniosek wynika z tego, że a i b nie są jednocześnie liczbami dodatnimi?

2.3. Szczególne rozwiązania równania niejednorodnego

Dla ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0

potrzebujemy dwóch rozwiązań y₁ i y₂ związanego z nim równania jednorodnego oraz konkretnego rozwiązania yp tego równania niejednorodnego. W tym rozdziale przedstawimy dwie metody znajdowania rozwiązania szczególnego yp.

Przedtem warto jednak zauważyć, że jeżeli f (x) jest sumą funkcji, powiedzmy

f (x) = f₁(x) + … + fn (x),

a Yj jest dowolnym rozwiązaniem

y″ + p (x) y′ + q (x) y = fj (x),

to

yp = Y₁ + … + Yn

jest rozwiązaniem równania niejednorodnego

y″ + p (x) y′ + q (x) y = f (x) = f₁ (x) + … + fn (x).

To stwierdzenie nazywa się zasadą superpozycji i może być czasami wykorzystane do podzielenia problemu na n problemów, które mogą być pojedynczo łatwiejsze do rozwiązania.

2.3.1. Metoda uzmienniana stałych

Jedną z metod znalezienia konkretnego rozwiązania równania (2.1) jest metoda uzmienniania stałych. Załóżmy, że y₁ i y₂ są niezależnymi rozwiązaniami powiązanego równania jednorodnego (2.2). Chodzi o to, aby szukać funkcji u₁(x) i u₂(x) takich, że

jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego.

Pierwsza pochodna yp wynosi

W obecnej postaci y″p ma osiem składników. Aby uprościć tę drugą pochodną, należy narzucić warunek, że

[2.5]

Wtedy

W ten sposób

Po podstawieniu yp do równania różniczkowego otrzymujemy

Przekształcając wyrażenia, można to zapisać jako

Dwa warunki w nawiasach kwadratowych znikają, ponieważ y₁ i y₂ są rozwiązaniami równania jednorodnego. Pozostaje więc tylko

[2.6]

Rozwiązując równania (2.5) i (2.6) dla u′₁ i u′₂, otrzymamy

[2.7]

gdzie W(x) jest wronskianem dla y₁ i y₂. Ten wronskian jest niezerowy, ponieważ y₁ i y₂ są niezależne. Całkując te równania, otrzymamy u₁(x) i u₂(x):

[2.8]

Matematyka w kontekście – rozważanie potrzeb projektowych

Weźmy pod uwagę samochód na bardzo nierównej drodze, z wieloma wybojami. Gdy koło przejeżdża po tej drodze, może doświadczać nierówności o różnej głębokości i z różną częstotliwością. Jeśli ta częstotliwość jest większa niż czas potrzebny amortyzatorowi na wytłumienie poprzedniego wyboju, do równania różniczkowego dodaje się dodatkowy człon wymuszający, co zmienia model na:

W przypadku modelowania służącego do projektowania amortyzatorów inżynier może modelować wyboistą drogę – „wstrząsy” jako funkcję postaci f (x) = A cos (ωt ), gdzie A i ω są średnią amplitudą i częstotliwością wstrząsów na nierównej drodze. Rozwiązanie tego równania może pomóc inżynierowi w ustaleniu, na jaką średnią (lub najgorszą) wydajność amortyzatora należy go zaprojektować.

PRZYKŁAD 2.6.

Należy znaleźć ogólne rozwiązanie

y″ + 4y = sec (x)

dla -π / 4 ≤ x ≤ π / 4.

Równanie charakterystyczne dla y″ + 4y = 0 to r ² + 4 = 0, o pierwiastkach ±2i. Dwa niezależne rozwiązania y″ + 4y = 0 to

y₁(x) = cos (2x) oraz y₂(x) = sin (2x).

Te funkcje mają wronskian

Z równań (2.8) wynika, że

Istnieje kilka sposobów obliczenia tych całek, w tym tabela całek, software lub wykorzystanie tożsamości trygonometrycznych

sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) oraz cos (2x) = 2 cos² (x) − 1.

Ostatecznie

oraz

Stałe całkowania są tutaj pominięte, ponieważ potrzebujemy tylko jednego odpowiedniego wyboru dla u₁ i jednego dla u₂. To daje nam rozwiązanie szczególne

Wtedy

jest rozwiązaniem ogólnym.

Metoda ta jest ograniczona przez naszą zdolność przeprowadzenia całkowania potrzebnego do uzyskania u₁(x) i u₂(x). Jej zaletą jest to, że nie wymaga, aby współczynniki p (x) i q(x) były stałe, chociaż w tym przypadku najłatwiej jest rozwiązać związane z nimi równanie jednorodne.

2.3.2. Metoda przewidywań

W przeciwieństwie do uzmienniania stałych metoda przewidywań ma zastosowanie tylko do równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

y″ + ay′ + by = f (x).

Idea opiera się na tym, że f (x) może sugerować formę, jaką może przyjąć yp (x).

PRZYKŁAD 2.7.

Znaleźć ogólne rozwiązanie dla

y″ + 4y = 7e ³x.

Powiązane z nim równanie jednorodne y″ + 4y = 0 ma niezależne rozwiązania y₁(x) = cos (2x) i y₂ (x) = sin (2x).

Aby znaleźć konkretne rozwiązanie danego równania niejednorodnego, należy spróbować

yp ( x) = Ae ³x.

Sugeruje to fakt, że pochodne e³x są stałymi wielokrotnościami e³x. Po podstawieniu tego do równania różniczkowego otrzymamy

9Ae ³x + 4Ae ³x = 7e ³x,

co wymaga, aby

13A = 7.

Wtedy A = 7 / 13 i

jest rozwiązaniem szczególnym. Teraz napiszemy rozwiązanie ogólne jako

PRZYKŁAD 2.8.

Znaleźć ogólne rozwiązanie

y″ + 3y′ + 2y = -2x² + 3.

Powiązane z nim równanie jednorodne ma niezależne rozwiązania y₁ (x) = e⁻x oraz y₂ (x) = e⁻²x. Dla konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego należy wykorzystać fakt, że pochodne wielomianów są wielomianami, aby spróbować znaleźć rozwiązanie w postaci

yp (x) = Ax ² + Bx + C.

Zauważmy, że nie musimy próbować wielomianu stopnia wyższego niż 2, czyli stopnia f (x), ponieważ y″ + 3y′ + 2y nie może mieć wyższego stopnia niż jakikolwiek wielomian wstawiony dla y (x). Zauważmy też, że w yp (x) uwzględniony jest składnik liniowy Bx, chociaż f (x) nie ma takiego składnika, ponieważ nie wiadomo czy yp (x) wymaga takiego elementu.

Obliczmy

y′p (x) = Ax ² + B oraz y″p (x) = 2A

i podstawmy yp (x) do równania różniczkowego, aby otrzymać

2A + 3 (2Ax + B) + 2 (Ax ² + Bx + C ) = -2x ² + 3.

Następnie

2Ax ² + (6A + 2B) x + (2A + 3B + 2C ) = -2x ² + 3.

Porównajmy współczynniki stojące przy tych samych potęgach po obu stronach tego równania:

2A = -2,

6A + 2B = 0,

2A + 3B + 2C = 3.

Rozwiązując to, otrzymujemy

A = -1, B = 3, C = -2.

Wtedy

yp (x) = -x ² + 3x - 2

jest rozwiązaniem szczególnym, a

y (x) = c₁e⁻x + c₂ e⁻²x − x ² + 3x − 2

jest rozwiązaniem ogólnym.

Zauważmy w tym przykładzie, że yp (x) ma składnik liniowy 3x, mimo że f (x) w równaniu różniczkowym nie ma takiego elementu.

PRZYKŁAD 2.9.

Należy znaleźć rozwiązanie ogólne równania

y″ + y′ + 3y = 5 sin (2x)..

Powiązane z tym równanie jednorodne ma niezależne rozwiązania

Dla konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego należy spróbować

yp (x) = A cos (2x) + B sin (2x),

ponieważ pochodne sinusów i cosinusów są stałymi wielokrotnościami sinusów i cosinusów. Chociaż f (x) ma tylko człon sin (2x), w yp (x) należy uwzględnić element cos (2x), ponieważ pochodna sinusa może być sinusem lub cosinusem, w zależności od tego, ile razy jest różniczkowana.

Teraz

y′p (x) = -2A sin (2x) + 2B cos (2x)

oraz

y″p (x) = -4A cos (2x) - 4B sin (2x).

Po podstawieniu yp (x) do równania różniczkowego otrzymamy

-4A cos (2x) − 4B sin (2x) - 2A sin (2x) + 2B cos (2x) + 3A cos (2x) + 3B sin (2x) = 5 sin (2x).

Następnie

(-A + 2B) cos (2x) + (-2A - B) sin (2x) = 5 sin (2x),

więc

-A + 2B = 0,

-2A - B = 5,

z rozwiązaniem A = -2, B = -1. To daje rozwiązanie szczególne

yp (x) = -2 cos (2x) - sin (2x),

a pierwotne równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne

Jeżeli f (x) jest sumą „różnych rodzajów” funkcji, to można spróbować zapisać f (x) jako sumę funkcji, do których stosuje się zmienność parametrów i wykorzystać zasadę superpozycji.

PRZYKŁAD 2.10.

Napisz ogólne rozwiązanie

y″ + 2y′ - 3y = 4x² - x + 11e ²x.

Powiązane z tym równanie jednorodne y″ + 2y′ - 3y = 0 ma rozwiązanie ogólne

yh (x) = c₁ex + c₂ e⁻³x.

Teraz potrzebujemy rozwiązania szczególnego yp (x) równania niejednorodnego. Tutaj f (x) ma dwa rodzaje składników, wielomian i funkcję wykładniczą, więc należy rozważyć dwa zadania:

Zadanie 1: y″ + 2y′ - 3y = 11e ²x

Zadanie 2: y″ + 2y′ - 3y = 4x² - x

Jeśli yp₁(x) jest szczególnym rozwiązaniem zadania 1, a yp₂(x) zadania 2, to

yp (x) = yp₁(x) + yp₂(x)

jest szczególnym rozwiązaniem pierwotnego zadania.

Dla zadania 1 można spróbować yp₁ = Ae²x. Wstawiając to do zadania 1, otrzymamy

4Ae ²x + 4Ae ²x - 3Ae ²x = 11e ²x

lub

5Ae ²x = 11e ²x.

Wtedy 5A = 11, więc A = 11 / 5 i

jest rozwiązaniem zadania 1.

W przypadku zadania 2 można spróbować wielomianu yp₂(x) = Bx ² + Cx + D. Po podstawieniu do zadania 2 otrzymamy

2B + 2(2Bx + C ) - 3(Bx² + Cx + D) = 4x² - x

lub

-3Bx ² + (4B - 3C ) x + (2B + 2C - 3D) = 4x² - x.

Dopasujmy współczynniki do potęg x po lewej i prawej stronie. To wymaga, aby

-3B = 4, 4B - 3C = -1, 2B + 2C - 3D = 0.

Wtedy

Następnie

jest szczególnym rozwiązaniem zadania 2. Zgodnie z zasadą superpozycji,

.

Można teraz napisać ogólne rozwiązanie pierwotnego równania różniczkowego:

Metoda przewidywań nie zawsze ma zastosowanie. Na przykład, dla równania różniczkowego

y″ + 8y′ - 2y = -6e⁻x³

nie ma żadnej funkcji elementarnej, którą można by wypróbować w celu znalezienia konkretnego rozwiązania. Problem polega na tym, że pochodne e⁻x³ stają się coraz bardziej skomplikowane, z wielomianowymi współczynnikami, w miarę jak brane są wyższe pochodne.

Istnieje również pewna subtelność, którą można napotkać przy stosowaniu tej metody. Rozważmy następujący przykład.

PRZYKŁAD 2.11.

Znaleźć ogólne rozwiązanie dla

y″ + 5y′ + 4y = 11e⁻x.

Naturalne wydaje się wypróbowanie rozwiązania szczególnego yp (x) = Ae⁻x. Jeśli jednak podstawimy to do równania różniczkowego, otrzymamy

Ae⁻x - 5Ae⁻x + 4Ae⁻x = 11e⁻x

lub

0 = 22e⁻x.

To jest niemożliwe. Trudność pojawiła się, ponieważ 11e⁻x jest rozwiązaniem związanego z nim równania jednorodnego, więc gdy podstawimy Ae⁻x do y″ + 5y′ + 4y, otrzymamy zero.

W takiej sytuacji należy skorygować pierwszą próbę danego rozwiązania, wstawiając czynnik x. Aby spróbować tego w przykładzie 2.11, niech

yp (x) = Axe⁻x.

Po podstawieniu tego do (niejednorodnego) równania różniczkowego otrzymamy

-2Ae⁻x + Axe⁻x + 5(Ae⁻x - Axe⁻x) + 4Axe⁻x = 11e⁻x.

Po podzieleniu przez e⁻x otrzymujemy

-2A + Ax + 5A - 5Ax + 4Ax = 11.

Wyrazy zawierające x znikają i pozostaje nam 3A = 11, a więc A = 11 / 3 i rozwiązaniem jest

Związane z tym równanie jednorodne ma niezależne rozwiązania e⁻x i e⁻⁴x, więc rozwiązaniem ogólnym w przykładzie 2.11 jest

Jeżeli ta strategia: mnożenia pierwszej próby odgadniętego rozwiązania przez x prowadzi do jeszcze innego rozwiązania związanego z nim równania jednorodnego, należy wprowadzić drugi czynnik x, mnożąc pierwotną próbę yp (x) przez x².

PRZYKŁAD 2.12.

Znajdź rozwiązanie ogólne równania

y″ - 4y′ + 4y = 3e²x.

Równanie jednorodne y″ - 4y′ + 4y = 0 ma niezależne rozwiązania e²x i xe²x.

Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, wydaje się naturalne, by spróbować yp (x) = Ae ²x. Niestety ta próba yp (x) nie zadziała, ponieważ e²x jest rozwiązaniem równania jednorodnego. Następnie można spróbować xe²x. Ale to jest też rozwiązanie równania jednorodnego. Wobec tego spróbujmy

yp (x) = Ax ²e ²x.

Wprowadzamy to do równania niejednorodnego i dzielimy przez wspólny czynnik e²x, by dostać

(2A + 8Ax + 4Ax²) - 4(2Ax + 2Ax²) + 4Ax² = 3e²x.

Wyrażenia po lewej stronie równania zawierające x oraz x² znikają i zostaje nam 2A = 3, a więc A = 3 / 2 i mamy rozwiązanie

Zatem ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego jest

PRZYKŁAD 2.13.

Wyobraźmy sobie sprężynę zawieszoną na belce. Pozostawiona sama sobie rozciągnie się do swojej naturalnej długości i pozostanie w spoczynku. Do sprężyny przymocowana jest kulka o masie m, która rozciąga ją poza długość naturalną. Następnie kulka zatrzymuje się d jednostek poza naturalną pozycją i układ jest w równowadze statycznej. Na koniec kulkę ściąga się nieco w dół i wypuszcza, aby oscylowała w górę i w dół, w końcu ponownie się zatrzymując.

Umieśćmy oś y wzdłuż linii sprężyny i pozwólmy, aby y = 0 znajdowało się w pozycji równowagi statycznej, podczas gdy y (t ) jest miarą odległości od tego punktu do kulki w każdej chwili t (powiedzmy, że dół jest dodatni, a góra ujemna).

Rozważmy siły działające na kulkę. Grawitacja ciągnie ją w dół z siłą o wielkości mg. Zgodnie z prawem Hooke’a sprężyna wywiera siłę kg, przy czym k jest stałą sprężyny, która określa „sztywność” sprężyny. W położeniu równowagi siła sprężyny wynosi -kd, jest ujemna, ponieważ działa w górę.

Jeżeli obiekt zostanie pociągnięty w dół o y jednostek z tej pozycji, wywierana jest na niego dodatkowa siła -ky. Całkowita siła pochodząca od sprężyny wynosi zatem -kd - ky. Całkowita siła pochodząca od sprężyny i grawitacji wynosi mg - kd - ky.

W punkcie y = 0 ta siła wynosi zero, więc mg = kd, a siła netto działająca na kulkę wynosi -ky.

Zakłada się, że siły tłumiące, takie jak opór ośrodka, w którym porusza się sprężyna, są proporcjonalne do prędkości y′, a więc wnoszą czynnik cy′ do sił działających na kulkę, dla pewnej dodatniej stałej c. Z tłumieniem, całkowita siła działająca na kulkę wynosi -ky - cy′, a z prawa ruchu Newtona wynika, że

my″ = -ky - cy′.

Wreszcie, jeżeli na ruch wpływa zewnętrzna siła f (t ), to

my″ = -ky - cy′ + f (t ).

To równanie zwykle zapisuje się jako

Jest to równanie tłumionej, wymuszonej sprężyny. Rozwiązania są analizowane w module internetowym o ruchu sprężyn. Zjawisko zwane rezonansem, które może wystąpić w idealnym przypadku braku tłumienia, c = 0, zostało tutaj zilustrowane. Teraz równanie ruchu to

Związane z tym równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne

gdzie nazywane jest częstotliwością drgań własnych sprężyny. Przy braku siły napędowej f (t ), sprężyna wykonuje ruch oscylacyjny o częstotliwości ω₀.

Załóżmy teraz, że istnieje siła napędowa

f (t ) = A cos (ωt ),

w której A i ω są stałymi dodatnimi. Liczba ω jest nazywana częstotliwością wejściową. Pojawiają się dwie możliwości rozwiązań.

Przypadek 1 – Jeżeli częstotliwość wejściowa różni się od częstotliwości drgań własnych, ω ≠ ω₀, to można uzyskać rozwiązanie ogólne

.

Przypadek 2 – Jeżeli częstotliwość wejściowa pokrywa się z częstotliwością drgań własnych, ω = ω₀, to należy spróbować rozwiązać równanie niejednorodne w postaci

yp (t ) = at cos (ω₀ t) + bt sin (ω₀ t ).

Po podstawieniu tego do równania sprężyny wymuszonej i wykorzystaniu faktu, że otrzymujemy

RYSUNEK 2.3. Wykres rozwiązania wykazującego rezonans

Wtedy

A = 0 oraz

więc ogólne rozwiązanie równania sprężyny wymuszonej w tym przypadku to

Różnica między przypadkami 1 i 2 polega na współczynniku przy t w rozwiązaniu szczególnym yp (t ). To powoduje, że oscylacje układu regularnie zwiększają swoją amplitudę wraz ze wzrostem t, a zjawisko to nazywamy rezonansem. Rysunek 2.3 pokazuje rezonans dla przypadku

Rezonans nie jest tylko matematyczną ciekawostką. Może wystąpić w systemach, które nie mają prawie żadnego tłumienia, w tym w systemach elektrycznych i mostach. W 1831 roku kolumna żołnierzy szła krokiem marszowym przez most Broughton Bridge w Anglii, co spowodowało, że most zaczął oscylować falami o coraz większej sile i w końcu się zawalił. Tak się złożyło, że rytm marszu odpowiadał częstotliwości naturalnej materiału, z którego wykonano most. Obecnie często zdarza się, że kolumny żołnierzy łamią szeregi i przechodzą przez mosty, nie dotrzymując kroku.

Innym, bardziej skomplikowanym przykładem było zawalenie się mostu Tacoma Narrows, który został ukończony w 1940 roku i łączył Tacomę z półwyspem Kitsap w stanie Waszyngton. W tamtym czasie obiekt ten był uważany za czołowe osiągnięcie w projektowaniu mostów. 7 listopada 1940 r. energia dostarczona przez bardzo silny wiatr, w połączeniu z efektem rezonansowym drgań wywołanych przez rozpórki i podpory mostu, spowodowała, że podłoże mostu zaczęło drgać. W pewnym momencie jedna strona jezdni znajdowała się prawie 9 metrów nad drugą, wijąc się i skręcając. Z drogi zaczął odpadać beton, a część przęsła podwieszonego całkowicie się obróciła i została wyrwana. Wkrótce potem cały most uległ zawaleniu. Chociaż późniejsze analizy przypisały awarię mostu kombinacji sił bardziej skomplikowanych niż rezonans w prostej sprężynie, ostateczną przyczyną było nagromadzenie sił w wyniku wzmocnionych oscylacji. Filmy z zawalenia można obejrzeć w Internecie.

Obecnie wiele mostów, także tych zbudowanych wiele lat temu, zostało wyposażonych w dodatkowe podpory, aby uniknąć uszkodzeń spowodowanych efektami tłumienia tego rodzaju.

Rozdział 2.3. Zadania

W każdym z zadań 1–6 należy znaleźć ogólne rozwiązanie, stosując metodę uzmienniania stałych dla konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

W każdym z zadań 7–16 należy znaleźć ogólne rozwiązanie, stosując metodę przewidywań dla szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

W każdym z zadań 17–24 należy rozwiązać problem wartości początkowej.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

2.4. Równanie różniczkowe Eulera

Równanie różniczkowe Eulera ma postać

x ²y″ + Axy′ + By = 0,

[2.9]

w ktorej A i B są liczbami rzeczywistymi. Równanie to nazywane jest również równaniem różniczkowym Cauchy'ego-Eulera.

Równanie Eulera rozwiążemy dla półprostej x > 0. Rozwiązania dla x < 0 można uzyskać na ich podstawie (patrz zadanie 18).

Zauważmy, że w równaniu Eulera każda pochodna jest mnożona przez potęgę x równą rzędowi tej pochodnej. Jeśli ustawimy y = x r, to

x ²y″ = x ²r ( r - 1) x r⁻² = r ( r - 1) x r

oraz

xy′ = xrx r⁻¹ = rx r.

Po podstawieniu tych danych do równania Eulera otrzymamy

r ( r - 1) x r + Arx r + Bx r = 0.

Po podzieleniu tego przez x r otrzymujemy równanie kwadratowe dla r:

r ( r - 1) + Ar + B = 0

lub

r ² + (A - 1) r + B = 0.

[2.10]

Równanie (2.10) jest równaniem charakterystycznym dla równania różniczkowego Eulera (2.9) i można je wyznaczyć bezpośrednio z równania Eulera. Pierwiastkami tego równania kwadratowego są wartości r, dla których x r jest rozwiązaniem równania Eulera. Jak widzieliśmy w przypadku jednorodnego równania liniowego o stałym współczynniku, prowadzi to do trzech przypadków.

Przypadek 1 – rzeczywiste, różne pierwiastki

Załóżmy, że pierwiastki to r₁ i r₂, rzeczywiste i różne. Wtedy xr₁ i xr₂ są niezależnymi rozwiązaniami równania Eulera, a rozwiązaniem ogólnym dla x > 0 jest

y (x) = cx x r ¹ + c₂ x r ².

PRZYKŁAD 2.14.

Rozwiąż

x ² y″ + 2 xy′ - 6y = 0.

Równanie charakterystyczne to

r ² + r - 6 = 0

z pierwiastkami 2, -3. Rozwiązaniem ogólnym jest

dla x > 0.

Przypadek 2 – pierwiastki wielokrotne

Załóżmy, że równanie charakterystyczne ma dwukrotny pierwiastek rzeczywisty r₁. Teraz y₁(x) = x r¹ jest jednym rozwiązaniem. Potrzebujemy drugiego, liniowo niezależnego rozwiązania. Łatwo pokazać, że

y₂ (x) = ln (x) x r ¹

jest również rozwiązaniem w tym przypadku. Można to sprawdzić, podstawiając y₂(x) do równania Eulera, a można to również uzyskać, próbując znaleźć drugie rozwiązanie

y₂ (x) = u (x) x r ¹

równania Eulera i otrzymując równanie różniczkowe do rozwiązania dla u (x).

W tym przypadku rozwiązaniem ogólnym jest

y (x) = c₁ x r ¹ + c₂ ln (x) x r ¹

lub

y (x) = (c₁ + c₂ ln (x)) x r ¹.

PRZYKŁAD 2.15.

Rozwiąż

x ² y″ - 5xy + 9y = 0.

Równanie charakterystyczne to

λ² - 6λ + 9 = 0

lub

(λ - 3)² = 0.

Pierwiastki wielokrotne to λ = 3, 3, więc

y (x) = c₁ x ³ + c₂ ln (x) x ³

jest rozwiązaniem ogólnym dla x > 0.

Przypadek 3 – pierwiastki zespolone

Załóżmy, że równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone. Będą one występować w parze sprzężonej:

r₁ = a + ib oraz r₂ = a - ib..

Teraz dwa niezależne rozwiązania to

y₁(x) = x ⁽a⁺ib⁾ oraz y₂ (x) = x ⁽a⁻ib⁾..

Rozwiązanie ogólne można zapisać jako

y (x) = c₁ x ⁽a⁺ib⁾ + c₂ x ⁽a⁻ib⁾. .

Tak jest poprawnie, ale możemy również zapisać rozwiązanie ogólne w postaci funkcji rzeczywistych, jeżeli chcemy. Skorzystajmy z równania Eulera, a także z faktu, że

xα = e α ln(x⁾ dla x > 0,

aby otrzymać

i, z -ib zamiast ib,

y₂ ( x) = x a [cos (b ln ( x)) - i sin (b ln ( x))].

Kombinacje liniowe tych rozwiązań są znowu rozwiązaniami, więc ustalamy

oraz

.

Są to również dwa niezależne rozwiązania, co daje możliwość zapisania rozwiązania ogólnego w tym przypadku jako

PRZYKŁAD 2.16.

Rozwiąż

.

Równanie charakterystyczne to

z pierwiastkami zespolonymi -1 ± 3i. Natychmiast zapisujemy rozwiązanie ogólne

Jak zwykle, rozwiązanie problemu wartości początkowej polega na znalezieniu ogólnego rozwiązania równania różniczkowego i uzyskaniu wartości stałych spełniających warunki początkowe.

PRZYKŁAD 2.17.

Rozwiąż

x ²y″ - 5xy′ + 10y = 0; y′ (1) = 4, y (1) = -6.

Równanie Eulera ma równanie charakterystyczne

r ² - 6r + 10 = 0

z pierwiastkami zespolonymi 3 ± i. Równanie różniczkowe ma ogólne rozwiązanie

y (x) = x ³ [c₁ cos ( ln ( x)) + c₂ sin ( ln ( x))].

Teraz

y (1) = c₁ = 4.

Następnie

więc

y′(1) = 3c₁ + c₂ = -6.

Wobec tego c₂ = - 6 - 3c₁ = -18 i rozwiązaniem problemu wartości początkowej jest

y (x) = x ³ [4 cos ( ln ( x)) - 18 sin ( ln ( x))].

Rozdział 2.4. Zadania

W każdym z zadań 1–10 należy znaleźć rozwiązanie ogólne.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

W każdym z zadań 11–16 rozwiąż zagadnienia z warunkiem początkowym.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Oto inne podejście do rozwiązania równania Eulera. Należy przekształcić to równanie w jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu dla Y(t ) o stałym współczynniku, przyjmując

x = e t oraz Y (t) = y (x) = y (e t ).

Teraz t = ln(x) dla x > 0. Wskazówka: Korzystając z pochodnej funkcji złożonej można obliczyć

Y′(t) = xy′(x)

oraz

x ²y″ (x) = Y″ (t) - Y′ (t).

18. Rozwiąż równanie Eulera dla x < 0. Wskazówka: Jednym ze sposobów jest zastosowanie przekształcenia t = ln | x |.

19. Rozwiąż zadanie z przykładu 2.17 w następujący sposób. Za pomocą t = ln(x) przekształć równanie różniczkowe na równanie dla Y(t ), a następnie przekształć również warunki początkowe (x = 1 odpowiada t = 0). Rozwiąż ten problem wartości początkowej dla Y(t ), a następnie przekształć go z powrotem. Porównaj wynik z rozwiązaniem w przykładzie.

20. W przypadku gdy równanie Eulera ma wielokrotny pierwiastek, jednym rozwiązaniem jest y₁ (x) = ln (x) x ⁽¹⁻A) / 2. Drugie rozwiązanie y₂ (x) = ln (x) x ⁽¹⁻A) / 2 jest podane w tekście. Wyprowadź to drugie rozwiązanie, oznaczając y₂ (x) = u (x) y₁(x) oraz otrzymując i rozwiązując równanie różniczkowe dla u (x).

2.5. Rozwiązania w postaci szeregów

Często się zdarza, że możemy rozwiązać równanie różniczkowe lub problem wartości początkowej w formie zamkniętej. Oznacza to, że możemy zapisać rozwiązanie jako skończoną algebraiczną kombinację funkcji elementarnych. Na przykład,

jest zamkniętym rozwiązaniem problemu wartości początkowej

.

Dla niektórych problemów nie da się tego zrobić. Na przykład,

jest jedynym rozwiązaniem problemu

y + x ²y = 1; y(0) = 4,

ale to rozwiązanie wymaga całki, której nie można obliczyć w sposób elementarny.

W przypadku takich problemów można zastosować technikę przybliżenia numerycznego lub rozwiązanie za pomocą szeregu. W tym rozdziale omówimy dwie metody: postaci szeregów potęgowych i szeregów Frobeniusa.

2.5.1. Rozwiązania w postaci szeregów potęgowych

Niektóre równania różniczkowe mają rozwiązania w postaci szeregów potęgowych. Na przykład, liniowe równania pierwszego i drugiego rzędu

y ′ + p (x) y = q (x) oraz y″ + p (x) y ′ + q (x) y = f (x)

mają rozwiązania w postaci szeregu potęgowego

,

jeżeli p (x), q(x) i f (x) mają rozwinięcia w postaci szeregu potęgowego wokół x₀.

Strategia polega na podstawieniu tego szeregu dla y (x) do równania różniczkowego i próbie rozwiązania dla współczynników an.

PRZYKŁAD 2.18.

Rozważmy równanie pierwszego rzędu

Aby napisać rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego wokół 0, należy założyć

Przyjmijmy, że -1 < x < 1, ponieważ

Podstawiając szereg dla y oraz szereg dla 1 / (1 - x) do równania różniczkowego, otrzymamy

Sumowanie dla y′ zaczyna się od n = 1, ponieważ stały składnik a₀ w szeregu dla y ma pochodną zero.

To równanie to

(2.11)

Chcemy połączyć jak najwięcej wyrażeń w jednej sumie, aby móc znaleźć wartości współczynników x n. Wymaga to przepisania dwóch z tych szeregów tak, aby x n występował we wszystkich sumach (a nie w jednym sumowaniu z wyrazami x n⁻¹ i jednym z wyrazami x n⁺¹).

Po pierwsze,

Oba sumowania dają dokładnie te same wyrazy. Podobnie,

Wstawiamy je do równania (2.11) i przenosimy szereg z prawej strony na lewą, aby otrzymać

.(2.12)

Dzięki tym przekształceniom możemy połączyć sumy dla n = 1, 2, … , zapisując osobno warunki dla n = 0 (w przeciwnym razie tracimy te warunki):

.(2.13)

Prawa strona równania (2.13) jest zerowa dla wszystkich x w (-1, 1), więc współczynnik każdej potęgi x po lewej stronie musi być zerowy. Wtedy

a₁ - 1 = 0

oraz

(n + 1) an₊₁ + 2an₋₁ - 1 = 0 dla n = 1, 2, … .

Wtedy

a₁ = 1

i

dla n = 1, 2, … .(2.14)

Równanie (2.14) jest relacją rekurencji dla współczynników, gdyż podaje an₊₁ w zależności od poprzedniego współczynnika an₋₁. Na przykład

,

i tak dalej dla dowolnej liczby wyrazów. Do tego momentu rozwiązanie wygląda następująco

Jest to część rozwiązania ogólnego, zawierającego jedną dowolną stałą a₀.

PRZYKŁAD 2.19.

Znajdźmy rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego dla

y″ + x ² y = 0

rozwiniętego wokół x = 0. Po podstawieniu do równania różniczkowego otrzymamy

. (2.15)

Przesuńmy indeksy w tych szeregach tak, aby oba miały wspólną potęgę x n:

oraz

.

Teraz równanie (2.15) ma postać

.

Dla n ≥ 2 należy połączyć te sumy, zapisując osobno części n = 0 i n = 1, aby otrzymać

.

Lewa strona może być zerowa dla wszystkich x w pewnym przedziale (-h, h) tylko wtedy, gdy współczynnik każdej potęgi x jest zerowy. Wtedy

a₂ = a₃ = 0

i dla n = 2, 3, … ,

.

Jest to relacja rekurencji, dająca na przykład a₄ od a₀, a₅ od a₁ itd.

Dla n = 2

.

Dla n = 3

.

Kontynuując w ten sposób,

,

,

,

,

i tak dalej. Do tego momentu mamy

Wyrazy dzielą się naturalnie na te pomnożone przez a₀ i te pomnożone przez a₁, które są dowolnymi stałymi:

To jest pierwszych sześć wyrazów rozwiązania ogólnego.

Rozdział 2.5.1. Zadania

W każdym z zadań 1–10 należy znaleźć zależność rekurencyjną dla rozwiązania w postaci szeregu potęgowego wokół 0 i wykorzystać ją do wygenerowania pierwszych pięciu niezerowych wyrazów rozwiązania.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2.5.2. Rozwiązania Frobeniusa

W tym rozdziale skupimy się na równaniu różniczkowym

.

[2.16]

Jeśli P(x₀) ≠ 0, to możemy podzielić to równanie przez P(x) w jakimś przedziale wokół x₀ i spróbować napisać rozwiązanie tego równania w postaci szeregu potęgowego wokół x₀. Jeżeli P(x₀) = 0, to x₀ nazywamy punktem osobliwym równania różniczkowego. Punkt osobliwy jest regularny, jeżeli

mają rozwinięcia szeregu potęgowego wokół x₀.

Punkt osobliwy, który nie jest regularny, nazywany jest nieregularnym.

Skupiając się wyłącznie na regularnych punktach osobliwych, wiemy, ze jeżeli x₀ jest regularnym punktem osobliwym równania różniczkowego (2.16), to w pewnym przedziale wokół x₀ istnieje rozwiązanie szeregu Frobeniusa

,

w którym c₀ ≠ 0 i r jest liczbą, którą należy określić wraz ze współczynnikami cn. Jeżeli r jest liczbą całkowitą nieujemną, to szereg Frobeniusa jest szeregiem potęgowym.

PRZYKŁAD 2.20.

Zero jest punktem osobliwym

.

Zero jest regularnym punktem osobliwym, ponieważ

i zarówno 5, jak i x + 4 mają rozwinięcia szeregu potęgowego wokół 0.

Spróbujmy znaleźć rozwiązanie metodą Frobeniusa. Wprowadźmy do równania różniczkowego, aby otrzymać

Wszystkie te sumy zaczynają się od n = 0, ponieważ ten człon szeregu Frobeniusa to c₀ x r i c₀ ≠ 0. Ta suma szeregów to

Należy przesunąć indeksy w trzecim szeregu, aby uzyskać potęgi x n⁺r we wszystkich sumach:

Następnie połączmy szeregi, zaczynając od n = 1, z osobno uwzględnionymi członami n = 0, aby otrzymać

Przyjmijmy, że współczynnik każdej potegi x się zeruje. Ponieważ zakłada się, że c₀ jest niezerowe, otrzymujemy najpierw

r(r - 1) + 5r + 4 = 0.

Jest to równanie indeksowe dla szeregu Frobeniusa, z którego otrzymujemy podwójny pierwiastek r = -2. Ze współczynnika x n⁺r otrzymujemy

(n + r)(n + r - 1) cn + 5(n + r) cn + cn - 1 + 4cn = 0,

dla n = 1, 2, …. Wstawiamy do tego r = -2 i rozwiązujemy dla cn, aby otrzymać

dla n = 1, 2, ….

To upraszcza się do

.

To jest relacja rekurencji dla tego problemu. Obliczmy niektóre z tych współczynników:

,

,

,

i tak dalej. Wzór jest oczywisty:

dla n = 1, 2, …. Rozwiązaniem Frobeniusa jest

dla x ≠ 0.

To niezwykłe, że możemy znaleźć proste ogólne wyrażenie dla współczynników w rozwiązaniu w postaci szeregu.

W tym przykładzie znaleziono tylko jedno rozwiązanie w postaci szeregu. Ponieważ równanie różniczkowe jest drugiego rzędu, potrzebujemy jeszcze jednego rozwiązania. Poniższe twierdzenie mówi, jak znaleźć drugie, liniowo niezależne rozwiązanie równania (2.16), gdy F(x) = 0.

Twierdzenie 2.5

Załóżmy, że 0 jest regularnym punktem osobliwym równania (2.16)

.

Wtedy równanie różniczkowe ma rozwiązanie Frobeniusa

z c₀ ≠ 0. Szereg ten jest zbieżny co najmniej dla wszystkich x w pewnym przedziale (0, h) lub (-h, 0).

Załóżmy teraz, że równanie różniczkowe dla r ma pierwiastki rzeczywiste r₁ i r₂ z r₁ ≥ r₂. Wówczas zachodzą następujące wnioski.

(1) Jeżeli r₁ - r₂ nie jest liczbą całkowitą dodatnią, to istnieją dwa liniowo niezależne rozwiązania Frobeniusa

oraz

z c₀ ≠ 0 i c0* ≠ 0. Rozwiązania te są zbieżne co najmniej w przedziale (0, h) lub (-h, 0).

(2) Jeżeli r₁ - r₂ = 0, to istnieje rozwiązanie Frobeniusa y₁(x) określone wnioskiem (1), przy czym r = r₁

i c₀ ≠ 0 wraz z drugim rozwiązaniem

.

Rozwiązania te są liniowo niezależne na pewnym przedziale (0, h).

(3) Jeżeli r₁ - r₂ jest dodatnią liczbą całkowitą, to istnieje rozwiązanie Frobeniusa y₁(x) z r = r₁ i c₀ ≠ 0 oraz drugie rozwiązanie

z c0* ≠ 0. Te dwa rozwiązania są liniowo niezależne na pewnym przedziale (0, h).

■

Metoda Frobeniusa polega na wykorzystaniu tego twierdzenia do napisania szeregów potęgowych rozwiązań równania (2.16), gdy F(x) = 0. Należy postępować w następujący sposób.

Krok 1 – Wstawić do równania różniczkowego i rozwiązać równanie indeksowe dla r i otrzymać zależność rekurencyjną na współczynniki. W tym momencie dysponujemy jednym rozwiązaniem Frobeniusa, które może, ale nie musi być szeregiem potęgowym.

Krok 2 – W zależności od tego, który z przypadków (1), (2) lub (3) ma zastosowanie, twierdzenie dostarcza wzoru dla drugiego, liniowo niezależnego rozwiązania. Gdy już wiemy, jak wygląda to rozwiązanie, należy podstawić wzór do równania różniczkowego i znaleźć współczynniki oraz, w przypadku (3), stałą k.

Przypadki te zostały zilustrowane z pominięciem niektórych rutynowych szczegółów obliczeń.

PRZYKŁAD 2.21. Rozważmy

Przypadek 1 twierdzenia

.

Zero jest regularnym punktem osobliwym. Zastąpmy i przekształćmy szereg, aby odjąć x n⁺r od członów dla n ≥ 1, aby otrzymać wskazane równanie

i dla n = 1, 2, … ,

Zakładając, że c₀ ≠ 0, mamy

,

z pierwiastkami r₁ = 1 i r₂ = -1 / 2. Ten problem jest przypadkiem (1) twierdzenia. Rozwiązujemy dla cn w ostatnim równaniu, aby otrzymać zależność rekurencyjną

dla n = 1, 2, ….

Najpierw należy podstawić r = r₁ = 1 do zależności rekurencyjnej, aby otrzymać

Korzystając z tej zależności rekurencyjnej, pierwszym rozwiązaniem Frobeniusa jest

Jest to szereg potęgowy wokół 0.

Aby uzyskać drugie rozwiązanie Frobeniusa, należy podstawić r = r₂ = - 1 / 2 do zależności rekurencyjnej, aby otrzymać

,

co upraszcza się do

dla n = 1, 2, …. W tym przykładzie c0* ≠ 0, więc wszystkie kolejne wartości cn* są zerowe i drugim rozwiązaniem jest

dla x > 0.

PRZYKŁAD 2.22. Rozwiąż

Przypadek 2 twierdzenia

,

który ma regularny punkt osobliwy w 0. W przykładzie 2.20 znaleźliśmy równanie indeksowe z podwójnym pierwiastkiem r = -2 i rozwiązaniem Frobeniusa

.

To równanie różniczkowe należy do przypadku (2) twierdzenia, więc należy szukać drugiego, liniowo niezależnego rozwiązania

.

Wiedza o tym, czego szukać, to połowa sukcesu. Po podstawieniu tego do równania różniczkowego otrzymamy

Nawiasowy współczynnik ln(x) znika, ponieważ y₁(x) jest rozwiązaniem. Wybierzmy c1* = 1 (potrzebujemy tylko jednego drugiego rozwiązania) i przesuńmy indeksy, aby napisać

Zastąpmy szereg dla y₂(x), aby otrzymać

Ustalmy współczynnik każdej potęgi x równy zero. Ze współczynnika x⁻¹ wynika, że c1* = 2. Po pewnym przearanżowaniu współczynnik x n⁻² daje zależność rekurencyjną

dla n = 2, 3, …. Drugie rozwiązanie zaczyna się

Dwa ostatnie przykłady ilustrują przypadek (3) twierdzenia, najpierw z k = 0, a następnie z niezerowym k.

PRZYKŁAD 2.23.

Przypadek 3 twierdzenia z k = 0

Rozwiążmy

Zero jest regularnym punktem osobliwym. Zastąpmy , aby otrzymać

Równanie indeksowe to r² - r - 2 = 0 z pierwiastkami r₁ = 2 i r₂ = -1. Teraz r₁ - r₂ = 3 i zachodzi przypadek (3). Ze współczynnika x n⁺r otrzymujemy ogólną zależność rekurencyjną

(n + r)(n + r - 1) cn + (n + r - 1) cn₋₁ - 2cn = 0

dla n = 1, 2, …. Dla pierwszego rozwiązania należy przyjąć r = 2, aby otrzymać zależność rekurencyjną

Użyjmy tego, aby otrzymać pierwsze rozwiązanie

Aby otrzymać drugie, liniowo niezależne rozwiązanie, należy podstawić r = -1 do ogólnej zależności rekurencyjnej, aby otrzymać

dla n = 1, 2, …. Przy n = 3 daje to c2* = 0, a to wymusza cn* = 0 dla n = 2, 3, …. Wtedy

Po podstawieniu tego do równania różniczkowego otrzymamy

Następnie , a drugim rozwiązaniem jest

,

przy czym c₀ jest niezerowe, ale poza tym dowolne. Funkcje y₁(x) i y₂(x) tworzą podstawowy zbiór rozwiązań, a w tym przypadku nie występuje człon y₁(x) ln(x).

PRZYKŁAD 2.24.

Przypadek 3 twierdzenia z k ≠ 0

Rozwiąż

xy″ - y = 0,

które ma regularny punkt osobliwy w punkcie 0. Zastąp i przekształć wyrażenia, aby otrzymać

Równanie indeksowe to r₂ - r = 0 z pierwiastkami r₁ = 1, r₂ = 0. W tym przypadku r₁ - r₂ = 1, liczba całkowita dodatnia, więc przypadek 3 twierdzenia ma zastosowanie. Ogólna zależność rekurencyjna to

(n + r)(n + r - 1) cn - cn₋₁ = 0

dla n = 1, 2, …. Przy r = 1 zależność rekurencyjna jest następująca:

dla n = 1, 2, …. Niektóre współczynniki to

i tak dalej. Okazuje się, że

dla n = 1, 2, …. Jednym z rozwiązań Frobeniusa jest

Dla drugiego rozwiązania wstawić r = 0 do ogólnej zależności rekurencyjnej, aby otrzymać

n(n - 1) cn - cn₋₁ = 0

dla n = 1, 2, …. Ale n = 1 w tej relacji oznaczałoby, że c₀ = 0, co jest sprzecznością. Oznacza to, że nie możemy otrzymać drugiego rozwiązania jako prostego szeregu Frobeniusa z r = 0. Przypadek 3 twierdzenia mówi nam, że powinniśmy spróbować rozwiązania

Po podstawieniu tego do równania różniczkowego otrzymamy

Jednak,

,

ponieważ y₁(x) jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Dla pozostałych członów niech c₀ = 1 i otrzymamy

Przesuńmy indeksy w trzecim sumowaniu, aby przepisać to równanie za pomocą szeregu, w którym każda potęga to x n:

Następnie

Wynika z tego, że , więc

Dalej, relacja rekurencji jest następująca:

dla n = 1, 2, …. W tym przypadku c0* może być dowolną niezerową liczbą. Wybór c0* = 1 daje drugie rozwiązanie

Rozdział 2.5.2. Zadania

W każdym z zadań 1–10 należy znaleźć pierwsze pięć wyrazów każdego z dwóch liniowo niezależnych rozwiązań.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Rozdział 3

Transformata Laplace’a

3.1. Definicja i terminologia

Transformata Laplace’a jest bardzo istotna przy rozwiązywaniu pewnych rodzajów problemów z wartościami początkowymi, szczególnie tych, w których występują funkcje nieciągłe. Występują one często w takich dziedzinach jak elektrotechnika. Stosuje się ją również do rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi w równaniach różniczkowych cząstkowych modelujących zjawiska falowe i dyfuzyjne (Rozdział 9).

Transformacja Laplace’a przekształca niektóre problemy wartości początkowej w problemy algebry, co prowadzi do następującego podejścia:

problem wartości początkowej ⇒ problem algebraiczny

⇒ rozwiązanie problemu algebraicznego

⇒ rozwiązanie problemu wartości początkowej.

Może to być skuteczna strategia, ponieważ niektóre problemy algebraiczne są łatwiejsze do rozwiązania niż niektóre problemy wartości początkowej. Niniejszy rozdział rozpoczyna się od definicji i elementarnych własności transformaty.

Transformata Laplace’a funkcji f jest funkcją L[ f ] zdefiniowaną przez

.

Transformacja wykorzystuje całkę niewłaściwą do przekształcenia funkcji f (t ) zmiennej t w nową funkcję L[ f ](s) zmiennej s. Ponieważ L[ f ](s) może być niewygodna do zapisania w obliczeniach, często oznaczamy transformację funkcji f (t ), pisaną małą literą, jako F(s), używając tej samej litery, ale wielkiej. Również zmienną wejściową funkcji f oznaczamy zwykle jako t, a zmienną wyjściową funkcji F jako s, chociaż może się to zmieniać w zależności od kontekstu. W ten sposób,

,

i tak dalej.

Istnieją pakiety oprogramowania, za pomocą których można obliczyć transformaty niektórych funkcji, a tabela 3.1 zawiera podstawowe funkcje i ich transformaty. W prostych przypadkach możemy wyznaczyć F(s) z f (t ) przez bezpośrednie całkowanie.

Tabela 3.1. Transformaty Laplace'a wybranych funkcji

Matematyka w kontekście – inżynieria sterowania i oprzyrządowania

Radiokafka/iStock

Transformata Laplace’a może być stosowana do rozwiązywania równań różniczkowych w dziedzinie czasu w wielu dziedzinach inżynierii, takich jak zjawiska transportowe (masa, pęd, ciepło), fizyka jądrowa i elektronika.

Centralnym elementem inżynierii sterowania i oprzyrządowania są sterowniki, urządzenia utrzymujące system w pożądanym stanie, a transformacja Laplace’a jest podstawowym narzędziem w projektowaniu sterowników. Chociażby tempomat w samochodzie lub system sterowania przeznaczony do utrzymania reaktora chemicznego w określonej temperaturze.

PRZYKŁAD 3.1.

Niech f (t ) = e at, przy czym a jest niezerową stałą. Transformata Laplace’a f ma postać

przy czym s > a, więc a - s < 0. Możemy również użyć zapisu

.

Transformata Laplace’a jest liniowa, co oznacza, że

oraz

dla dowolnej liczby c.

Transformata sumy jest sumą przekształcanych obiektów, a stałe wynosimy przed transformatę. Nie jest to zaskoczeniem ze względu na definicję transformaty jako całki, która ma te właściwości.

W rozwiązywaniu problemów będziemy musieli nie tylko przekształcać funkcje, ale również przechodzić w odwrotną stronę od przekształconej funkcji do funkcji pierwotnej. W tym celu stosuje się notację L⁻¹, zwaną odwrotną transformacją Laplace’a, w której L⁻¹[F ] = f, gdy L[ f ] = F. Na przykład, z przykładu 3.1,

W tabeli 3.1 należy czytać od lewej do prawej transformatę f (t ), a od prawej do lewej odwrotną transformatę F(s); n oznacza nieujemną liczbę całkowitą, a a i b są różnymi stałymi rzeczywistymi.

Rozdział 3.1. Zadania

W każdym z zadań 1–5 należy znaleźć transformatę Laplace’a funkcji.

1.

2.

3.

4.

5.

W każdym z zadań 6–10 należy znaleźć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji.

6.

7.

8.

9.

10.

11. To zadanie dotyczy transformaty Laplace’a funkcji okresowej. Załóżmy, że f (t ) ma okres T, co oznacza, że f (t + T) = f (t ) dla wszystkich t.

(a) Wykaż, że

(b) Wykaż, że

(c) Wykaż, że

(d) Przypomnijmy sobie szereg geometryczny

Korzystając z tego oraz z wyniku części (c), wykaż, że

W każdym z zadań 12–18 należy wykorzystać wynik z zadania 11, aby znaleźć transformatę Laplace’a funkcji okresowej.

12. f (t ) ma okres 6 i

13. f (t ) = E | sin (ωt ) |, gdzie E i ω są liczbami dodatnimi.

14. f (t ) ma wykres jak na rysunku 3.1.

RYSUNEK 3.1. Zadanie 14

15. f (t ) ma wykres jak na rysunku 3.2

RYSUNEK 3.2. Zadanie 15

16. f (t ) ma wykres jak na rysunku 3.3

RYSUNEK 3.3. Zadanie 16

17. f (t ) ma wykres jak na rysunku 3.4

RYSUNEK 3.4. Zadanie 17

18. f (t ) ma wykres jak na rysunku 3.5

RYSUNEK 3.5. Zadanie 18

3.2. Rozwiązanie zadań wartości początkowej

Transformata Laplace’a jest ważnym narzędziem do rozwiązywania problemów wartości początkowej w równaniach różniczkowych o stałych współczynnikach. To, co zapewnia, a czego nie zapewniają poprzednie metody, to możliwość obsługi funkcji nieciągłych występujących w równaniu różniczkowym.

Najpierw musimy wprowadzić pojęcie funkcji przedziałami ciągłej. Funkcja f (t ) określona dla a ≤ t ≤ b, jest przedziałami ciągła na [a, b], jeżeli:

1. f jest ciągła w [a, b] z wyjątkiem skończonego zbioru punktów z tego przedziału

2. jeżeli f nie jest ciągła w jakimś punkcie t₀, gdzie a < t₀ < b; wtedy f (t ) ma skończone jednostronne granice, gdy t zbliża się do t₀ (te granice są różne gdyż f jest nieciągła w t₀),

3. f (t ) ma skończone granice, gdy t zbliża się do a z prawej strony, a także gdy t zbliża się do b z lewej strony.

Rysunek 3.6 przedstawia wykres funkcji przedziałami ciągłej, która jest nieciągła w punkcie t₀ i t₁. Te nieciągłości są widoczne jako przerwy w wykresie i nazywane są nieciągłościami skokowymi.

RYSUNEK 3.6. Nieciągłości skokowe w punkcie t₀ i t₁

Jeżeli pochodna f ′ jest przedziałami ciągła, to wykres funkcji ma ciągłą styczną we wszystkich punktach z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, które mogą być nieciągłościami skokowymi lub „ostrymi punktami”. Tam wykres nie ma stycznej.

Możemy teraz podać główny wynik dotyczący przekształcenia Laplace’a pochodnej.

Twierdzenie 3.1. (Transformata pochodnej)

Niech f będzie ciągła dla t ≥ 0 i załóżmy, że f ′ jest przedziałami ciągła na [0, k] dla każdego k > 0. Załóżmy również, że

.

Wtedy

.

[3.1]

Transformata f ′(t ) jest s-krotnością transformaty F(s) funkcji f (t ), minus wartość oryginalnej funkcji f (t ) w chwili t = 0.

■

Twierdzenie można udowodnić, stosując definicję transformaty Laplace’a do f ′(t ) i całkując przez części.

Równanie (3.1) można rozszerzyć na przypadek, gdy f ma nieciągłość skokową w chwili t = 0, zastępując f (0) przez f (0+), która jest granicą f (t ), gdy t zbliża się do zera z prawej strony:

.

Wyrażenie 3.1 na przekształcenie pochodnej łatwo rozszerza się na wyższe pochodne. Oznaczmy n-tą pochodną f (t ) jako f ⁽n⁾(t ). Wtedy

[3.2]

Zakładamy, że są ciągłe dla t ≥ 0, że f ⁽n⁾ jest ciągła przedziałami na [0, k] dla k > 0 oraz że

dla s > 0 i dla j = 0, 1, 2, … , n - 1.

Przypadek drugiej pochodnej występuje na tyle często, że wzór ten jest zapisywany oddzielnie:

.

[3.3]

Zauważmy, że przekształcenie f ′(t ), f ″(t ) , lub wyższej pochodnej nie zawiera pochodnej F(s). Dlatego równanie różniczkowe o stałych współczynnikach przekształca się w wyrażenie algebraiczne zawierające tylko stałe, potęgi s i transformatę nieznanej funkcji. Jeżeli uda się rozwiązać tę transformatę i odwrócić ją, otrzymamy rozwiązanie problemu wartości początkowej.

[1] Polski matematyk Józef Hoene-Wroński 1776–1853.