Dla Taty...

...i KATOI

Projekt okładki i stron tytułowych: Ireneusz Gawliński

Ilustracje na okładce: Shutterstock/itthinan

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Renata Ziółkowska

Redaktor: Małgorzata Kopczyńska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Publikacja wydana dzięki wsparciu finansowemu Politechniki Łódzkiej oraz Centrum Kształcenia Międzynarodowego Politechniki Łódzkiej

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło.

A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2017

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2017 r., (wyd. I)

Warszawa 2017

ISBN 978-83-01-19507-6

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

Infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Przedmowa

Matematyka żyje w dwóch równoległych światach.

Z jednej strony – jest żywą nauką, ciągle się rozwija, powstają nowe teorie. Naukowcy udowadniają te same twierdzenia, używając narzędzi z zaskakująco różnych dziedzin matematyki. Rocznie powstaje około 50 000 prac matematycznych. Ich autorzy są dumni z indeksu cytowań, ponieważ to oznacza, że ich praca jest pożyteczna. Być może posłuży komuś innemu do napisania nowego, odkrywczego artykułu.

Tego rodzaju matematykę uprawiają naukowcy w zaciszu swoich gabinetów, pilnie strzegąc wyników swoich prac, dopóki nie ukażą się one drukiem. Uważani za nieszkodliwych dziwaków, są bardzo cenieni za niskie koszty swojej pracy – jak ironicznie się uważa, matematyk to urządzenie zamieniające kawę, pączki, ołówek i papier w twierdzenia.

Z drugiej strony – to matematyka, z którą spotykamy się w szkole. Matematyka, jakiej doświadczają ludzie niezwiązani z nią zawodowo, objawia się przede wszystkim jako jeden z przedmiotów, który towarzyszy im od szkoły podstawowej, niekiedy aż po studia wyższe. Jest uważana powszechnie za trudną, niepotrzebną, niemającą nic wspólnego z rzeczywistością i przede wszystkim martwą naukę.

W zasadzie uznajemy powszechnie, że znajomość elementarnej arytmetyki i podstaw geometrii wystarcza, aby prowadzić swe życie, nie cierpiąc z powodu braku innych umiejętności matematycznych. Nie wstydzimy się przyznać do braku wiedzy i kompetencji związanych z matematyką. Twierdzimy stanowczo, że doskonale radzimy sobie bez niej, a formułki i twierdzenia, które poznaliśmy, miały wartość tylko jako ćwiczenie elastyczności i wytrzymałości naszej pamięci. Zresztą zapamiętany wiersz może się jeszcze gdzieś przydać, a wyrecytowanym z pamięci twierdzeniem Talesa nikomu nie zaimponujemy.

Trudno polemizować z takim powszechnym przekonaniem o skostnieniu, braku odniesienia do rzeczywistości i nieprzydatności matematyki.

Od czasu do czasu budzi się jednak chęć sprzeciwu, protest przeciwko takiemu postrzeganiu matematyki i matematyków. Stąd pomysł zaprezentowania matematyki jako żywej nauki obecnej w wielu aspektach naszego codziennego życia. Jej treści wypełniają nasze życie prywatne i uczuciowe. Postarajmy się ją dostrzec jako sztukę. Wówczas może stać się źródłem szczęścia i chwil pełnych radości. Biorąc udział w spektaklu „Matematyka”, spektaklu, który pisze życie, możemy być jego biernymi obserwatorami, statystami, ale również sami możemy tworzyć nowe wątki, bawiąc się, powoływać nowych bohaterów i przeżywać ich losy. Ta niezwykła lekkość i zdolność matematyki do opisywania i interpretowania naszej codzienności jest szanowana przez matematyków, a pogardzana lub niedoceniana przez ludzi niezwiązanych z Królową Nauk. Matematyka w swej istocie daje się poznać, smakować. Nie jest kapryśna, zazdrosna, zawsze łaskawa i stwarzająca nowe możliwości poznania. Obcowanie z matematyką możemy przeżywać wielokrotnie. Możemy się przygotować na spotkanie z nią. Matematyka wreszcie pozwala nam zrozumieć nasze niepowtarzalne, jedyne życie.

W książce, którą – Czytelniku – trzymasz w ręku, staram się przedstawić kilka przykładów, jak matematyka może pomóc w sytuacjach życia codziennego, podczas przyjemności związanych z podejmowaniem właściwych decyzji dotyczących zmagań duszy i ciała. Kolejne rozdziały książki są próbą pokazania i przekonania Cię, że matematyka jest kluczem do zrozumienia reguł rządzących nawet najprostszymi zdarzeniami codzienności. Matematyka może również rozbawić gości na przyjęciu.

Matematyka i muzyka to moje dwie pasje. Wydaje się, że przenikają się wzajemnie, są obecne w każdej chwili życia. Wyznaczają rytm i tempo moich działań, sumują doświadczenia, analizują sukcesy, a czasami mnożą porażki. Każdy rozdział poprzedzony jest fragmentem utworu muzycznego, który według mnie pasuje klimatem do historii w niej opowiedzianej.

Z jednej strony – używając języka matematyki, mamy przywilej opisania pewnych zjawisk tak, by wyglądały dużo groźniej i poważniej niż są w rzeczywistości. Z drugiej strony – o zagadnieniach bardzo złożonych i ważkich można pisać w sposób nieskomplikowany i oby zrozumiały. W tym tkwi niedoceniana potęga matematyki. Dzięki niej możemy zrozumieć wiele zjawisk otaczającego nas świata. Jednocześnie gdy nie bardzo wiemy, co powiedzieć na dany temat, wówczas manipulując wzorami i używając żargonu symboli matematycznych, możemy z łatwością zamaskować swoją ignorancję. Zarówno tego pierwszego, jak i drugiego wykorzystania matematyki życzę życzliwym Czytelnikom i zostawiam pod rozwagę, czy Autor tej książki wie, o czym pisze, czy tylko starannie tuszuje swoje niekompetencje w gąszczu aksjomatów, lematów i twierdzeń.

Na zakończenie wstępu, aby wprowadzić Cię w nastrój odpowiadający intencjom Autora, proszę, przyjrzyj się tym zdaniom:

1) Matematyka jest piękna.

2) Oba zdania są fałszywe.

Zdanie drugie jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

a) Jeśli jest prawdziwe, to obydwa zdania są fałszywe. W szczególności drugie zdanie też jest fałszywe, co powoduje, że zdanie pierwsze musi być prawdziwe. Zatem Matematyka jest piękna.

b) Jeśli zdanie drugie jest fałszywe, to natychmiast dochodzimy do wniosku, że jest to możliwe wówczas, gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Zatem:

Matematyka jest piękna.

Życzę udanej lektury.

Autor

„Wstaję rano – słyszę słowa
Chore serce – pęka głowa”
J. Borysewicz/J. Panasewicz

1. Słowa, słowa, słowa

Przeczytajcie to zdanie: Iwono, ty rabuj okop spokoju barytonowi.

Zdanie powyższe jest sensowne i poprawne. Brzmi tak samo czytane zarówno od początku, jak i od końca. Zdania takie nazywamy palindromami. Dla dłuższych wielozdaniowych palindromów Stanisław Barańczak wprowadził nazwę palindromadery. Najbardziej znani polscy twórcy palindromaderów to Stanisław Barańczak, Józef Godzic i Tadeusz Morawski.

Najsłynniejszym polskim palindromem jest pochodzący z XIX wieku nieznanego autorstwa:

Kobyła ma mały bok.

Inne palindromy to między innymi:

I co idioci (Józef Godzic).

Napotkała typa, zapytała Kto Pan? (Józef Grodzic).

Ada goła mało gada (Tadeusz Morawski).

I lali masoni wydrom w mordy wino, sami lali. (Stanisław Barańczak).

Liczba 112211 również przedstawia taką sama wartość, gdy zapiszemy ją w odwrotnej kolejności. Liczby o tej własności nazywamy liczbami palindromicznymi lub krócej – palindromami.

Zauważmy, że każdy palindrom o parzystej liczbie cyfr a_{2n-1}{10}^{2n-1}+a_{2n-2}{10}^{2n-2}+\dots +a_2{10}^2+a_110+a_0 jest podzielny przez 11. Rzeczywiście, suma a_0-a_1+a_2+\dots +a_{2n-2}-a_{2n-1}=0, gdyż a_0=a_{2n-1}, a_1=a_{2n-2}, a_2=a_{2n-3} itd., co zgodnie z cechą podzielności przez 11 wskazuje, że liczba a_{2n-1}{10}^{2n-1} + a_{2n-2}{10}^{2n-2}+\dots +a_2{10}^2+a_110+a_0 \text{ jest wielokrotnością 11.} Zauważmy, że palindromów liczbowych jest nieskończenie wiele. Chociażby kwadrat każdej liczby typu {10}^n+1 dla n = 0 ,1,2, \dots jest palindromem typu 100\dots 00000\dots001. Oprócz tego zauważmy, że palindromy możemy tworzyć, dokonując następujących mnożeń: \begin{gathered} 11\cdot 11=121,\quad 111\cdot 111=123321,\quad 1111\cdot 1111=1234321, \\ 11111\cdot 11111=123454321 ,\quad 111111 \cdot 111111=12345654321 \text{ itp.}\end{gathered} Gdy weźmiemy pod uwagę liczbę naturalną N, wówczas jeśli sama nie jest palindromem, możemy skonstruować z liczby N palindrom, korzystając z następującego algorytmu:

Odwracamy kolejność cyfr w liczbie N, tworząc w ten sposób liczbę N. Dodajemy je do siebie. Jeśli suma jest palindromem, to operację przerywamy. W przypadku gdy S = N + N nie jest palindromem, powtarzamy czynności dla N = S.

Przykładowo:

49 + 94 = 143 , 143 + 341 = 484 (potrzebne były 2 sumowania).

86 + 68 = 154 , 154 + 451 = 605 , 605 + 506 = 1111 (potrzebne były 3 sumowania),

69 + 96 = 165 , 165 + 561 = 726 , 726 + 627 = 1353 , 1353 + 3531 = 4884 (4 sumowania).

Dla liczb 98 i 89 palindrom uzyskujemy dopiero po wykonaniu 24 sum. Otrzymamy wtedy 8813200023188. Z liczby 739 otrzymujemy palindrom 5233333325 po wykonaniu 17 sum.

Procedura ta stosowana do liczby 196 po przeszło dwu milionach dodawań wciąż nie dawała palindromu. W 2006 roku ogłoszono, że po prawie 750 milionach dodawań otrzymano liczbę z przeszło 300 milionami cyfr wciąż niebędącą palindromem.

Oprócz liczby 196 znane są jeszcze 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, które dotychczas po wielomilionowych dodawaniach nie dały palindromu.

Kwestia, czy procedura ta zawsze skończy się palindromem, pozostaje wciąż otwarta. W literaturze matematycznej to zagadnienie nazywamy Hipotezą 196.

Tworząc liczby palindromiczne, wykonujemy kolejne dodawania. Powstają coraz większe liczby. Potrzebujemy więcej i więcej czasu do ich zapisania. Praca zaczyna przypominać benedyktyńskie zmagania z kopiowaniem ksiąg. Praca może i pożyteczna, ale mało twórcza. Co innego prawdziwi pisarze. Ci przynajmniej tworzą dzieła zapewniające wzruszenia, zaspokajają potrzeby estetyczne, wzbogacają naszą wrażliwość i uczucia. Chociażby Józef Ignacy Kraszewski (1812–1887), który pozostaje najpłodniejszym polskim pisarzem. W jego dorobku znajdujemy 232 powieści, liczne felietony, zbiory wierszy i opowiadania. Za swe dokonania został wpisany do księgi rekordów Guinnessa jako twórca o największym dorobku literackim. Ostatnio został zdetronizowany przez brazylijskiego pisarza powieści brukowych Ryoki Inoue. Inoue opublikował ponad 1080 książek, pisząc pod 39 różnymi pseudonimami.

Jaki mamy powód, aby przypominać Kraszewskiego w książce poświęconej zastosowaniom matematyki? Otóż Kraszewski jest polskim odpowiednikiem Szekspira w wersji słynnego twierdzenia o małpach przy klawiaturze. Rezultat, o którym za chwilę napiszemy, zawdzięczamy francuskiemu matematykowi Borelowi.

Émile Borel (1871–1956) zajmował się teorią miary i prawdopodobieństwem. Gdy miał 30 lat, poślubił 17-letnią córkę swojego kolegi, również matematyka. Innym z mało znanych faktów dotyczących jego biografii jest jego zamiłowanie do hazardu i próby opisania matematycznego modelu gry w pokera podejmowane w latach 1936–38.

W 1913 roku Borel sformułował twierdzenie o tzw. nieskończonej małpie. Gdyby małpa wystarczająco długo siedziała przy klawiaturze maszyny do pisania, uderzając w klawisze, to „prawie na pewno” w ciągu znaków, który powstanie w ten sposób, znajdziemy dowolny z góry wybrany tekst. Jako przykład Borel podał zbiór dzieł Szekspira.

My postaramy się wykazać, że gdy siedząca przy klawiaturze komputera małpa wystarczająco długo będzie stukać w klawisze, to w powstałym ciągu znaków pojawi się tekst wszystkich dzieł Józefa Ignacego Kraszewskiego.

Wprowadźmy zatem odpowiednie oznaczenia i przystąpmy do pracy. Niech na klawiaturze dostępnych będzie K znaków. Oczywiście, prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że znak o numerze j, pokryje się ze znakiem stojącym na j-tej pozycji w ciągu znaków dzieł Kraszewskiego, wynosi \frac{1}{K}. Wszystkie dzieła Kraszewskiego tworzą ciąg o liczbie znaków . Ciągi znaków, które powstają dzięki małpie, podzielmy na kawałki Kr1, Kr2, Kr3, . . . Każdy z nich niech składa się z  znaków. Prawdopodobieństwo, że ciąg 1 pokryje się z ciągiem znaków wszystkich dzieł Kraszewskiego, wynosi {\left(\frac{1}{K}\right)}^{{\xKr}}. Prawdopodobieństwo, że ciąg znaków 1 nie pokryje się z ciągiem znaków odpowiadającym dziełom Kraszewskiego, wynosi: 1 - \left(\frac{1}{K}\right)^{{\xKr}}.

Weźmy teraz pod uwagę Z kolejnych ciągów znaków Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ powstałych przez naciskanie klawiszy komputera przez małpę. Znaki te powstają w sposób niezależny. Zatem prawdopodobieństwo, że w łańcuchu Z kolejnych ciągów Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ żaden z nich nie będzie odpowiadał dziełom Kraszewskiego, wynosi {\left(1-\left(\frac{1}{K}\right)^{{\xKr}}\right)}^Z. Prawdopodobieństwo, że choć jeden z ciągów Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ pokryje się z dziełami Kraszewskiego, wynosi 1-\left(1-\left(\frac{1}{K}\right)^{{\xKr}}\right)^Z.Przyjmując, że małpa siedzi przy klawiaturze, produkując znaki wystarczająco długo, otrzymujemy, że ciąg znaków dąży do nieskończoności i wobec tego mamy:

Prawdopodobieństwo, że choć jeden z ciągów Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ pokryje się z dziełami Kraszewskiego, wynosi {\lim_{Z\to \infty } \left(1-\left(1-\left(\frac{1}{K}\right)^{{\Kr}}\right)^Z\right) }. Z uwagi na fakt, że K > 1, powyższa granica wynosi 1.

Aby uwiarygodnić nasze obliczenia, przyjmijmy, że średnio książka składa się z 360000 znaków (tak przyjmują wydawnictwa). Zatem zawartość wszystkich dzieł Kraszewskiego to w uproszczeniu ciąg 200\cdot 360\, 000=7{,}2\cdot 10^7 znaków. Przyjmijmy dalej, że na klawiaturze jest około 40 znaków do wyboru. Wtedy K^{{\xKr}}=40^{7,2\cdot 10^7}\approx {10}^{11,52\cdot 10^7}. Z elementarnej teorii prawdopodobieństwa pamiętamy, że w przypadku schematu Bernoulliego (n – niezależnych prób, prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu) średnia liczba prób, jakie należy przeprowadzić do pojawienia się pierwszego sukcesu, wynosi \frac{1}{p}. Zatem należy wystukać K^{{\xKr}}=40^{7,2\cdot 10^7} łańcuchów ciągów znaków, aby pojawił się pierwszy ciąg odpowiadający dziełom Kraszewskiego. Odbędzie się to po wystukaniu {\Kr} \cdot K^{{\xKr}}=7{,}2\cdot 10^7\cdot 10^{11,52\cdot 10^7} = 7{,}2\cdot 10^{115200007} znaków.

Niech małpa wystukuje około 1000 znaków na sekundę. Wówczas spodziewane dzieła Kraszewskiego stworzone przez małpę ukażą się po 7,2\cdot 10^{115200004} sekundach od chwili rozpoczęcia eksperymentu. Na rok składa się 60\cdot 60\cdot 24\cdot 365= 31 536 000\approx {10}^{7,5} sekund.

Zatem pierwszy kompletny zbiór dzieł Kraszewskiego powstanie po7,2\cdot 10^{115199996,5} latach. Jak wiadomo, przyjmuje się wiek Ziemi na 4,6\cdot 10^7 lat. Zatem otrzymamy dzieła Kraszewskiego w skończonym czasie, tylko zapewne do tego momentu i małp zabraknie, i komputer się zepsuje.

Na zakończenie, nie bądźmy w stosunku do małpy już tak wymagający. Zastanówmy się, jak długo czekalibyśmy do chwili pojawienia się słowa MATEMATYKA – wypisanego przez małpę. W tym przypadku K^{{\xKr}}=40^{10}\approx\break\approx {10}^{16}. Następnie {\xKr}\cdot K^{{\xKr}}=10\cdot 10^{16}=10^{17}. Zakładając raz jeszcze, że szybkopisząca małpa stawia 1000 znaków na sekundę, otrzymamy, że słowo MATEMATYKA pojawi się na ekranie komputera po {10}^{14} sekundach, czyli po {10}^{6,5} latach. Będziemy czekać niewiele krócej od wieku Ziemi.