Projekt okładki: Ireneusz Gawliński

Ilustracja na okładce: LittleVisuals/Pixabay

Wydawca: Karol Zawadzki, Renata Włostowska

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Maria Kasperska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Marek Pronobis, Politechnika Śląska

Publikacja dofinansowana przez Politechnikę Krakowską

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2024

ISBN  978-83-01-23654-0

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2024 r. (Wydanie II)

Warszawa 2024

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl, reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Od autorów

Szybki rozwój przemysłu oraz powiększający się standard życia społeczeństwa przyczyniają się w ostatnim czasie do wzmożonego zużycia energii.

Ze względu na zmniejszające się zasoby paliw kopalnych oraz szkodliwe oddziaływanie produktów spalania na środowisko naturalne obserwuje się intensywny rozwój technologii energetycznych wykorzystujących odnawialne źródła energii.

W warunkach klimatycznych Polski istnieje stosunkowo duża łatwość w pozyskiwaniu energii z odnawialnych źródeł za pomocą turbin wiatrowych i wodnych.

Należy zaznaczyć, że wybudowanie i funkcjonowanie elektrowni wiatrowej oraz wodnej wymaga wyspecjalizowanej kadry pracowniczej zajmującej się:

− inżynierią lądową i wodną: badanie terenu, oszacowanie obszaru zbiornika, budowa zapory, tunele wodne, dojazd itp.;

− inżynierią mechaniczną: zaprojektowanie i zbudowanie instalacji omawianych turbin, użycie ciężkich maszyn na placu budowy, takich jak koparki, buldożery, konserwacja i instalacja turbin oraz innych elementów;

− inżynierią elektro-energetyczną: wytwarzanie oraz dystrybucja energii elektrycznej.

W niniejszej książce zaprezentowano podstawy obliczeń związanych z projektowaniem i eksploatacją współczesnych turbin wiatrowych i wodnych. Książka zawiera 9 rozdziałów, z których pierwszy dotyczy pozyskiwania energii wiatru, a pozostałe rozdziały dotyczą wykorzystania energii wód rzek i mórz.

W szczególności w rozdziale pierwszym opisano zasoby energii w poruszającym się powietrzu, sposoby ich oszacowania oraz istniejące turbiny wiatrowe. Przytoczono ponadto sposób obliczania mocy turbin wiatrowych, jak też zwrócono uwagę na ograniczenia maksymalnej wydajności turbin wiatrowych (kryterium Betza).

W rozdziale drugim wyprowadzono wzory opisujące różne postacie równania Eulera dla wirowych maszyn przepływowych. Zdefiniowano spad wodny brutto i netto dla rozważanych turbin. Opisano zasady modelowania turbin wodnych. Zdefiniowano wyróżnik szybkobieżności, specyficzną prędkość obrotową wymiarową i bezwymiarową dla turbin wodnych. Omówiono również charakterystyki muszlowe turbin wodnych.

W rozdziale trzecim podano opis akcyjnej turbiny Peltona z uwzględnieniem charakterystycznych trójkątów wektorów prędkości na wlocie i wylocie z łopatki wirnika. Zamieszczono również zasady wymiarowania najważniejszych elementów budowy omawianej turbiny. Przedstawiono najważniejsze sposoby regulacji wydajności turbiny Peltona.

W rozdziale czwartym przeanalizowano turbinę Francisa, wyróżniając jej wersję wolno-, średnio- i szybkobieżną. Przytoczono również wskaźniki dotyczące prawidłowego projektowania reakcyjnej turbiny Francisa oraz opis regulacji jej wydajności.

Rozdział piąty poświęcono turbinom o przepływie osiowym, wyróżniając klasyczne turbiny śmigłowe o zmiennym ustawieniu kąta łopatek kierownicy i turbiny typu Kaplana, w których istnieje możliwość zmiany ustawienia kąta łopatek kierownicy i odpowiedniego kąta ustawienia łopatek wirnika w czasie pracy. Omówiono trójkąty wektorów prędkości dla wybranych przekrojów łopatki wirnika. Przytoczono również zasady wymiarowania najważniejszych elementów turbin osiowych oraz opisano sposoby regulacji ich wydajności.

W rozdziale szóstym podano opis stosowanych w praktyce rodzajów rur odpływowych (ciągnących) dla turbin reakcyjnych, to jest turbin Francisa i Kaplana. Dokonano analizy warunków bezkawitacyjnego zakresu pracy wspomnianych turbin reakcyjnych.

W rozdziale siódmym i ósmym opisano turbinę przepływową typu Banki-Michella i odpowiednio pompoturbinę typu Deriaza.

W rozdziale dziewiątym zwrócono uwagę na możliwość wykorzystania silnika solankowego do ewentualnego napędu generatora prądu elektrycznego. Wspomniany silnik solankowy wykorzystuje zjawisko odwrotnej osmozy prowadzące do powstania znacznej różnicy poziomów wody świeżej (słodkiej) i odpowiedniego słupa wody słonej (morskiej).

We wszystkich, omawianych rozdziałach zamieszczono przykłady obliczeniowe ilustrujące zaprezentowane rozważania teoretyczne.

Niniejsza książka jest przeznaczona dla studentów kierunków inżynierii środowiska i energetyki, mechaniczno-elektrycznych uczelni technicznych, a także dla studentów kierunku inżynieria i ochrona środowiska innych uczelni. Będzie również przydatna dla pracowników instytucji naukowych oraz innych instytucji technicznych zajmujących się projektowaniem i eksploatacją omawianych turbin.

Kraków, wrzesień 2020 r.

Autorzy

Wykaz ważniejszych oznaczeń

B – szerokość łopatki [m]

c – współczynnik kształtu –

D – średnica wirnika [m]

d – średnica dyszy [m]

Fx – siła oporu profilowego [N]

FL – siła unoszenia [N]

f – częstotliwość generowanego prądu [Hz]

g – przyspieszenie ziemskie [m/s²]

H – spad wodny [m]

hstr – wysokość strat ciśnienia [m]

KH – bezwymiarowy współczynnik spadu –

KQ – bezwymiarowy współczynnik wydatku –

KP – bezwymiarowy współczynnik mocy –

L – długość rurociągu ciśnieniowego [m]

M ⁽⁰⁾ – moment obrotowy [Nm]

MR⁽⁰⁾ – reakcyjny moment obrotowy [Nm]

N – liczba obrotów wirnika –

Ns – bezwymiarowa specyficzna prędkość obrotowa –

Ns⁽w⁾ – wymiarowa specyficzna prędkość obrotowa [1/s]

P – moc turbiny [W]

Ph – moc dyspozycyjna turbiny [W]

Pw – moc generowana w wirniku [W]

p – ciśnienie [Pa]

pν – ciśnienie nasycenia par wody [Pa]

Q – strumień objętościowy przepływu (przełyk turbiny) [m³/s]

R – stopień reakcyjności turbin –

Rx – składowa reakcji aerodynamicznej [N]

Re – liczba Reynoldsa –

t – grubość łopatki wirnika [m]

U – napięcie generowanego prądu [V]

u – prędkość unoszenia (obwodowa) [m/s]

V – objętość [m³]

v – prędkość bezwzględna [m/s]

w – prędkość względna [m/s]

x, y, z – współrzędne [m]

Y – specyficzna moc [Ws/kg]

Zn – wyróżnik szybkobieżności turbin wiatrowych –

z – liczba łopatek wirnika –

α – kąt ustawienia łopatek kierownicy [rad]

β – kąt krzywizny łopatki [rad]

γ – ciężar właściwy [N/m³]

ηd – sprawność rury odpływowej –

ηh – sprawność hydrauliczna –

ηm – sprawność mechaniczna –

ηo – sprawność ogólna –

λ – współczynnik strat tarcia –

μ – lepkość dynamiczna [Pa ⋅ s]

σ – liczba Thoma –

φ – kąt rozdwojenia [rad]

Ω s – specyficzny wyróżnik szybkobieżności [1/s]

ω – prędkość kątowa wirnika [1/s]

1

Turbiny wiatrowe

1.1. Wstęp

Już od dawnych wieków ludzie wykorzystywali szeroko dostępną energię wiatru. Najczęstszymi urządzeniami, które budowano w przeszłości, były młyny napędzane przez wiatraki oraz urządzenia do melioracji i odwadniania pól. Ze względu na ich stosunkowo małą wydajność w początkowym okresie były zastępowane innymi urządzeniami zasilanymi głównie paliwami kopalnymi. Jednak bardzo dynamiczne eksploatowanie paliw kopalnych powoduje intensywne kurczenie się ich zasobów. Ponadto szkodliwe oddziaływanie produktów spalania omawianych paliw przyczynia się do intensywnego zanieczyszczenia środowiska naturalnego. Wspomniane przyczyny stały się zasadniczym powodem promowania szeroko dostępnej energii odnawialnej, jaką jest energia wiatru.

Wiadomo, że od Słońca do Ziemi dociera strumień energii o mocy ok. 173 000 TW. Na podstawie dodatkowych szacowań zakłada się, że 30% tej mocy odbija się od Ziemi z powrotem w przestrzeń kosmiczną, co stanowi ok. 51 000 TW. Z pozostałej mocy promieniowania słonecznego o wartości ok. 121 000 TW tylko 3%, to jest 3600 TW, jest przekształcane w moc wiatru. Szacuje się ponadto, że 35% z wartości 3600 TW (3600 ⋅ 0,35 = 1260 TW) jest rozpraszane w przyziemnym pasie atmosfery o grubości ok. 1 km. Pozostała moc o wartości 3600 - 1260 = 2340 TW może być wykorzystana teoretycznie przez ludzkość. Warto zaznaczyć, że obecnie wykorzystuje się praktycznie tylko ok. 15 TW mocy omawianego promieniowania słonecznego za pomocą turbin wiatrowych [5, 9, 30]. Wydaje się więc, że istnieją duże szanse pozyskiwania omawianej mocy promieniowania słonecznego.

Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że turbiny wiatrowe nie mogą być równomiernie rozmieszczone na przykład na obszarach oceanicznych. Jeżeli ograniczymy występowanie turbin wiatrowych tylko do obszarów lądowych, to z oszacowania wynika możliwość wykorzystania mocy o wartości 400 TW. Ze względu na brak możliwości w praktyce pokrycia wszystkich obszarów lądowych turbinami wiatrowymi, przyjmując że omawiane turbiny będą zainstalowane na powierzchni 10% obszarów lądowych, otrzymamy z oszacowania dostępną moc o wartości 40 TW [5, 9, 30]. Należy ponadto zaznaczyć, że część dysponowanej przez wiatr energii jest związana z niszczycielskimi wiatrami huraganowymi, której nie można odzyskać, ponieważ każda turbina wiatrowa musi być wyłączona przy prędkości wiatru v ≥ 30 m/s. Zasadnicza trudność w pozyskiwaniu mocy wiatru polega na tym, że gęstość jej przyjmuje małe wartości. Przykładowo na wysokości h = 10 m nad powierzchnią ziemi moc ta osiąga wartość ok. 300 W/m² w dobrych lokalizacjach, a na wysokości h = 50 m odpowiednia gęstość mocy może osiągnąć wartość ok. 700 W/m². Należy zwrócić tutaj uwagę, że wymienione wartości mocy wiatru nie mogą być w praktyce wykorzystane w całości. W tabeli 1.1 pokazano charakterystyczne wartości średniej gęstości mocy wiatru obliczone dla odpowiedniej, średniej prędkości wiatru. Obecnie jedynym, powszechnie dostępnym parametrem wiatru jest jego średnia prędkość oraz lokalizacja powierzchni terenu, na której ta prędkość jest osiągana. Warto zaznaczyć, że powierzchniowa gęstość mocy wiatru zależy od średniej prędkości sześciennej 〈v³〉, gdyż prędkość wiatru w rzeczywistości jest zmienna. Zakładając, że zmiany prędkości wiatru są charakterystyczne dla procesu stochastycznego, który podlega rozkładowi Rayleigha, można oszacować wspomnianą średnią prędkość sześcienną za pomocą zależności [9, 17]

〈v³〉

gdzie jest średnią arytmetyczną zmierzonej wartości prędkości wiatru w danym czasie.

Tabela 1.1. Klasyfikacja mocy wiatru (dane dotyczą wysokości h = 50 m)

Klasa mocy wiatru

Średnia gęstość mocy wiatru
[W/m²]

Średnia arytmetyczna prędkość wiatru
[m/s]

1

200

5,6

2

300

6,4

3

400

7,1

4

500

7,6

5

600

8,1

6

800

8,9

7

2000

12,1

Należy zaznaczyć, że w praktyce wiatry wykazują duży stopień zmienności. Tak więc elektrownie wiatrowe muszą być związane z obiektami magazynowania energii (małe instalacje) lub muszą mieć możliwość dostarczania generowanej energii do sieci elektrycznej.

Można powiedzieć, że tylko w nielicznych rejonach świata wiatr wykazuje stałe cechy, to jest ma stałą prędkość i niezmienny kierunek. W celu zminimalizowania kosztów generowanej mocy energii elektrycznej moc znamionowa generatora musi być odpowiednio dobrana do mocy generowanej przez turbinę wiatrową. Moc znamionowa generatora to maksymalna moc, jaką może on osiągnąć w istniejących (stałych) warunkach. Stosunek mocy znamionowej generatora do pola powierzchni wirnika turbiny zwany jest specyficzną wydajnością znamionową lub obciążeniem wirnika. Nowoczesne turbiny wiatrowe osiągają wartość obciążenia wirnika 300–500 W/m² [9, 17, 24, 31] .

1.2. Wiatr jako zjawisko fizyczne

Wiatr wywołany jest różnicami ciśnień, jakie panują pomiędzy obszarami powietrza o różnych temperaturach. Wiatr powstaje zwykle z powodu nierównomiernego nagrzewania się mas powietrza od promieniowania słonecznego, wywołany jest też ruchem obrotowym Ziemi. Termin wiatr jest używany w meteorologii prawie wyłącznie na określenie horyzontalnej składowej prędkości powietrza. Łatwo zauważyć, że istnieje też składowa pionowa prędkości powierza atmosferycznego, zwana również wiatrem.

W celu ułatwienia opisu ruchu powietrza dokonuje się podziału przyziemnej części atmosfery na dwie charakterystyczne warstwy: przyścienną warstwę ziemską i warstwę geostroficzną [28]. Przyścienna warstwa ziemska jest położona bezpośrednio nad powierzchnią ziemi i sięga do wysokości H = 300–500 m. W warstwie tej ruch cząstek powietrza jest determinowany siłami ciśnienia (gradient horyzontalny), lepkości i siłami Coriolisa. W omawianej przyściennej warstwie ziemskiej występuje charakterystyczny ruch powietrza zwany wiatrem antytryptycznym [5, 28, 30, 31] . Cechą charakterystyczną wiatru antytryptycznego jest to, że siła działająca na cząstki powietrza pod wpływem gradientu ciśnienia jest równoważona siłą tarcia lepkiego. Warto zaznaczyć, że siła tarcia lepkiego ma zwrot przeciwny do wektora prędkości ruchu cząstek powietrza. Jedynie siła Coriolisa ma kierunek normalny do kierunku wektora prędkości wiatru i powoduje odchylenie torów cząstek powietrza od kierunku gradientu ciśnienia. Można dodać, że na półkuli północnej Ziemi siła Coriolisa odchyla tor wspomnianych cząstek powietrza w prawo w stosunku do kierunku ruchu początkowego (na półkuli południowej jest odwrotnie). W obszarach powietrza w pobliżu równika oddziaływanie siły Coriolisa zanika. Przykładami wiatru antytryptycznego są: monsun, bryza morska, wiatr górski, wiatr w wąwozie, w parowie, rozpadlinie, w obszarach pustynnych – harmatan, chamisin.

Warstwa geostroficzna jest położona nad przyścienną warstwą ziemską. W warstwie geostroficznej powietrze zachowuje się jak płyn nielepki, profil prędkości ruchu cząstek powietrza jest prawie jednorodny. Omawiany ruch cząstek powietrza jest opisany w tej warstwie za pomocą sił ciśnienia (horyzontalny gradient ciśnienia) i sił Coriolisa. Ruch ten zwany jest wiatrem geostroficzym. Ze względu na znaczne odległości warstwy geostroficznej od powierzchni gruntu (zwierciadła wody w morzu) dalsze rozważania ograniczone zostaną do przyściennej warstwy ziemskiej. W warstwie tej wyróżnia się też wiatry stałe (pasaty, antypasaty) i wiatry okresowe (monsuny). W celu dokładniejszego opisu wiatru w literaturze przedmiotu znaleźć można odpowiednie informacje o jego intensywności (tab. 1.2) [5, 28, 30].

Tabela 1.2. Skala prędkości wiatru

Charakterystyczna prędkość wiatru na wysokości 10 m

Skala Beauforta

Wiatr

m/s

węzły

–

0,0–0,4

0,0–0,9

0

spokój

0,4–1,8

0,9–3,5

1

lekki

1,8–3,6

3,5–7,0

2

3,6–5,8

7–11

3

5,8–8,5

11–17

4

średni

8,5–11

17–22

5

umiarkowany

11–14

22–28

6

silny

14–17

28–34

7

17–21

34–41

8

sztorm

21–25

41–48

9

25–29

48–56

10

silny sztorm

29–34

56–65

11

> 34

> 65

12

huragan

Wiatr jest jednym z ważnych składników pogody, aby móc go opisać, należy w tym celu podać: prędkość wiatru (w m/s lub km/h) i kierunek, z którego wieje. Należy uważać przy używaniu terminologii kierunku wiatru: meteorolodzy pod nazwą wiatry zachodnie rozumieją wiatr wiejący z zachodu, podczas gdy „zachodni prąd oceaniczny” to prąd płynący na zachód, czyli różnica o 180 stopni w definicji.

1.3. Statystyczny opis prędkości wiatru

W praktyce wiedza na temat średnich prędkości rocznych wiatru jest bardzo często niewystarczająca do precyzyjnego obliczania energii generowanej przez turbinę wiatrową. Okazuje się, że do określenia energii wiatru pomocnymi są informacje o częstości poszczególnych klas wiatru, jakie mogą występować w danym obszarze [5, 9, 17, 30].

Częstością klasy nazywa się w statystyce stosunek jej liczebności do liczebności wszystkich klas rozważanego szeregu rozdzielczego, czyli liczebności zbadanej populacji próbnej. W praktyce rozkład częstości rocznych prędkości klasy wiatru jest uzyskiwany z wartości mierzonych na określonej wysokości w danym terenie, uśrednionych w czasie 10 minut i obejmujący okres całego roku. Łatwo zauważyć, że w tabeli 1.3 wyróżniono 11 klas prędkości wiatru, w kolumnie 2 określono granice poszczególnych klas. Liczebność klasy ni oznacza liczbę jednostek statystycznych (pomiaru prędkości) objętych daną klasą (kolumna 4). Zamieszczona w kolumnie 5 liczebność skumulowana klasy Ni oznacza liczbę jednostek statystycznych w szeregu od jego początku, łącznie z liczebnością rozpatrywanej klasy.

Tabela 1.3. Zestawienie przykładowych pomiarów prędkości wiatru

Nr klasy
(i)

Granice klasy [m/s]

Środek klasy
[m/s]

Liczebność klasy
ni

Liczebność skumulowana klasy Ni

Częstość klasy

Częstość skumulowana klasy

1

0–2

1

1

1

0,001

0,001

2

2–4

3

20

21

0,014

0,015

3

4–6

5

110

131

0,076

0,091

4

6–8

7

265

396

0,184

0,275

5

8–10

9

320

716

0,222

0,497

6

10–12

11

360

1076

0,250

0,747

7

12–14

13

250

1326

0,174

0,921

8

14–16

15

100

1426

0,069

0,990

9

16–18

17

10

1436

0,007

0,997

10

18–20

19

3

1439

0,002

0,999

11

20–22

21

1

1440

0,001

1,000

Częstość klasy opisana jest wzorem

(1.1)

gdzie

N = ∑ ni = 1440

i w rozważanym przypadku wynosi N = 1440 (tab. 1.3)

W ostatniej kolumnie tabeli 1.3 przytoczono wartości częstości skumulowanej klasy, obliczone z zależności

(1.2)

Na rys. 1.1 pokazano zależność częstości klasy gi i częstości skumulowanej klasy Gi od uśrednionej prędkości. Dodatkowo na rys. 1.2 pokazano sposób wyznaczania średniej prędkości wiatru w okresie pomiarów [17]. Z rys. 1.2 łatwo zauważyć, że środkowa wartość częstości skumulowanej rozważanej klasy wiatru określa tak zwaną środkową prędkość wiatru . Środkowa prędkość wiatru dzieli wszystkie wartości zmierzone na dwie równe części, jedna obejmuje wartości mniejsze od , a druga odpowiednie wartości większe od . Na podstawie analizy rys. 1.2 można też stwierdzić, że wartość środkowej prędkości jest mniejsza od odpowiedniej średniej arytmetycznej prędkości .

Rys. 1.1. Zależność częstości klasy gi i częstości skumulowanej klasy Gi od uśrednionej godzinowo prędkości

Rys. 1.2. Sposób wyznaczania średniej prędkości wiatru w okresie pomiaru

Korzystając z analogii między pojęciami statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa, można założyć, że wykres częstości klasy zastąpimy wykresem rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej, natomiast wykres częstości skumulowanej klasy odpowiednio wykresem dystrybuanty zmiennej losowej.

Z badań wiadomo, że najbardziej odpowiednimi rozkładami prawdopodobieństwa zmiennej losowej dla rozważanej prędkości wiatru są rozkład Weibulla lub Rayleigha [5, 9, 17, 21, 26]. Rozkład Weibulla wykorzystywany do opisu właściwości zmian prędkości średnich wiatru ma postać

(1.3)

gdzie: c – współczynnik skali, w przybliżeniu równy średniej prędkości wiatru , k – współczynnik kształtu.

Warto zaznaczyć, że współczynnik kształtu k opisuje kształt krzywej p(v). Z badań doświadczalnych wiadomo, że przyjmuje on wartość z przedziału 1 < k < 4.

W szczególności zaleca się, na przykład w [17], dla obszarów arktycznych k ≅ 1,0, dla obszarów Europy Środkowej k ≅ 2,0. Należy powiedzieć, że aby uzyskać dokładne dopasowanie omawianego rozkładu Weibulla do odpowiednich wartości zmierzonych, parametry c i k muszą uwzględniać zarówno współrzędne powierzchni terenu, jak też wysokość, na której dokonywano pomiaru prędkości wiatru.

Uwzględniając w rozkładzie Weibulla zalecaną dla obszarów Europy Środkowej wartość współczynnika kształtu k = 2,0, otrzymuje się z zależności (1.3) odpowiednią funkcję dla znanego rozkładu Rayleigha

(1.4)

gdzie jest parametrem rozkładu Rayleigha.

Warto dodać, że referencyjna wydajność energetyczna turbin wiatrowych podawana przez producentów jest określona na podstawie odpowiedniego rozkładu Rayleigha [17, 26].

Jak wspomniano wyżej, wykres częstości skumulowanej klasy zastępuje się wykresem dystrybuanty zmiennej losowej, w rozważanym przypadku rozkładu Weibulla obowiązuje zależność

(1.5)

Z rachunku prawdopodobieństwa wiadomo, że pochodna dystrybuanty jest równa funkcji opisującej rozkład prawdopodobieństwa

(1.6)

W przypadku rozmieszczania pojedynczych turbin wiatrowych na obszarze nowo projektowanym farm wiatrowych zaleca się korzystać z tak zwanych róż wiatrowych. Przedstawione na rys. 1.3 przykładowe róże wiatru zostały opracowane na podstawie szeregu wyników badań eksperymentalnych [5, 17, 21, 31]. Wyróżnia się różę częstości zmian wiatru, różę zmian średniej wartości prędkości wiatru i różę zmian energii wiatru. Jak widać z rys. 1.3, róża zmian średniej prędkości wiatru pokazuje średnią prędkość wiatru w poszczególnych sektorach (kierunkach). W szczególności łatwo zauważyć, że największe średnie prędkości wiatru obserwowane są w sektorach północno-zachodnim (NNW) i północno-wschodnim (NNE). Z rys. 1.3 wynika ponadto, że największe zmiany częstości zmian wiatru występują w sektorach południowym (S) i południowo-zachodnim (SSW).

Rys. 1.3. Przykładowe róże: częstotliwości występowania, średniej prędkości oraz energii wiatrów

Ze względu na fakt, że energia wiatru jest proporcjonalna do sześcianu wartości prędkości, można przewidzieć maksymalne jej wartości w wymienionych wyżej sektorach: północno-zachodnim (NNW) i północno-wschodnim (NNE).

Z rozważanych róż wiatru można uzyskać informacje pozwalające na optymalne rozmieszczenie pojedynczych turbin wiatrowych w obszarze farmy. W szczególności wspomniane informacje pozwalają na dobór odpowiednich odległości pomiędzy turbinami, aby zapobiec efektowi ich zaciemniania. Zaciemniona turbina będzie w praktyce charakteryzować się zmniejszoną wydajnością energetyczną, spowodowaną między innymi efektami „budzenia”. Warto przypomnieć, ze maksymalną wydajność energetyczną osiąga turbina wiatrowa w obszarze nieograniczonym (kryterium Betza) [5, 9, 17, 21, 24, 28, 31].

Na prędkość wiatru oraz jego moc (energię) wyrażoną w [W/m²] ma wpływ wiele czynników. Wszelkie przeszkody takie jak budynki i drzewa stanowią bariery znacznie osłabiające energię wiejącego wiatru. Duża rolę odgrywa usytuowanie turbiny nad poziomem gruntu. Zależność średniej gęstości energii wiatru od wysokości przedstawiono na rys. 1.4 [5, 9, 30].

Rys. 1.4. Zależność średniej gęstości energii wiatru od wysokości nad poziomem gruntu

1.4. Oszacowanie prędkości wiatru

Moc turbiny wiatrowej jest proporcjonalna do sześcianu prędkości wiatru [8, 18, 28, 30, 31]

(1.7)

gdzie: – gęstość mocy wiatru, – dostępna gęstość mocy generowanej przez turbinę, ρ – gęstość powietrza, η* – sprawność turbiny.

Warto zaznaczyć, że średnia moc generowana przez turbinę wiatrową w okresie od 0 do T jest proporcjonalna do średniej prędkości sześciennej wiatru w tym okresie [5, 9, 17]

(1.8)

Anemometry, które służą do pomiaru prędkości wiatru mogą być wykorzystywane do wyznaczania i archiwizacji prędkości 〈 v 〉. Należy zaznaczyć, że średnia prędkość sześcienna wiatru musi być wyznaczana przy uwzględnieniu przerw lub zmiany wartości chwilowej prędkości wiatru. Przykładowo rozważymy dwa przypadki. W pierwszym przypadku założymy, że wiatr wieje ze stałą prędkością v = 10 m/s w całym okresie T. Wówczas średnia arytmetyczna wyniesie = 10 m/s, a wartość gęstości generowanej mocy będzie proporcjonalna do = 1000.

W drugim przypadku założymy, że wiatr wieje z prędkością v = 50 m/s przez 20% okresu T, a potem wiatr ma zerową prędkość. W tym przypadku średnia arytmetyczna wyniesie również

m/s

Warto zaznaczyć, że średnią arytmetyczną wyznacza się zwykle z zależności

gdzie – liczebność szeregu grupy (populacji).

Moc generowana przez turbinę jest proporcjonalna do 〈 v 〉³. Obliczamy 〈 v 〉 z wzoru

(1.9)

〈v〉 = 29,24 m/s

Stąd

〈v〉³ = (29,24)³ = 25000

Widać, że w drugim przypadku wartość generowanej mocy będzie proporcjonalna do 〈 v 〉³ = 25000, a więc jest 25 razy większa niż w przypadku pierwszym ( = 1000). Jak wykazaliśmy, w obu rozważanych przypadkach średnia arytmetyczna wartość prędkości wynosiła = 10 m/s.

Pomiary eolergometryczne wykazują duży stopień złożoności ze względu na zmienność chwilowych wartości prędkości w danych punktach obszaru, a także ze względu na zmiany wspomnianych prędkości w kierunku pionowym w tym samym punkcie terenu. Zaleca się przed planowaną budową turbin wiatrowych prowadzić pomiary eolergometryczne przez okres co najmniej 1 roku. Ze względu na większą łatwość pomiarów wartości arytmetycznych prędkości wiatru zwykle te wielkości są dostępne. Znając informację o zmianach średniej prędkości wiatru w danym terenie, można założyć, że rozważany proces zmian ma cechy procesu stochastycznego, podlegającego na przykład rozkładowi Rayleigha. Wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia wiatru o prędkości v wyniesie

(1.10)

gdzie σ jest parametrem rozkładu Rayleigha.

W teorii pomiarów σ nosi nazwę odchylenia standardowego, a kwadrat σ ² nazywa się wariancją

Wariancją wartości liczbowej cechy statystycznej populacji próbnej nazywamy średnią arytmetyczną wartości kwadratów odchyleń. Warto zaznaczyć, że w przypadku rozkładu Rayleigha obowiązuje zależność [5, 9, 17]

(1.11)

Przykład_1.1.

Turbina wiatrowa ma być zainstalowana w miejscu, w którym średnia prędkość wiatru w okresie 1 roku wynosi = 9,6 m/s. Należy wyznaczyć prawdopodobny rozkład prędkości wiatru w tym miejscu w danym roku. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia wiatru o prędkości = 12 m/s?

Gdy znana jest tylko średnia prędkość wiatru, wówczas zaleca się w praktyce wykorzystać jednoparametrowy rozkład Rayleigha

(1.12)

Wzór (1.12) uzyskuje się po podstawieniu zależności (1.11) do wzoru (1.10) i uwzględnieniu, że = 9,6 m/s.

Uwzględniając we wzorze (1.12) v = 12 m/s, otrzymamy

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że prawdopodobieństwo wystąpienia wiatru o prędkości = 12 m/s wynosi 6%. W praktyce lepszą informacją byłaby odpowiedź na pytanie: ile godzin w ciągu roku wiatr osiąga prędkość = 12 m/s i większą?. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy wykorzystać formułę na skumulowany rozkład Rayleigha (rys. 1.5)

(1.13)

Dla v = 12 m/s mamy, że F(v) jest prawdopodobieństwem wystąpienia wiatru o prędkości ≥ 12 m/s.

Rys. 1.5. Funkcja rozkładu Rayleigha

Po podstawieniu do wzoru (1.13) v = 12 m/s otrzymano informację, że prawdopodobieństwo wystąpienia w rozważanym okresie 1 roku wiatru o prędkości ≥ 12 m/s wynosi 29% (rys. 1.5). Ponieważ w ciągu roku mamy 8760 godzin, wnioskujemy, że wiatr o prędkości ≥ 12 m/s powinien wiać w rozważanym okresie 0,29 ⋅ 8760 = 2568 godzin (w danym roku).

Warto zaznaczyć, że zgodnie z przyjętym założeniem rozkładu Rayleigha oczekiwana wartość sześcianu średniej prędkości sześciennej jest prawie dwukrotnie większa od sześcianu średniej prędkości

〈v〉³ ≈ 1,9 ()³

(1.14)

Z literatury przedmiotu wiadomo, że jednoparametrowy rozkład Rayleigha stosunkowo mało dokładnie reprezentuje odpowiednie zmiany wiatru. Nieco lepsze dopasowanie można uzyskać za pomocą dwuparametrowego rozkładu Weibulla [5, 9, 17]. W rozkładzie Weibulla właściwości danego terenu opisuje się za pomocą współczynnika kształtu k oraz współczynnika skali c. Prawdopodobieństwo wystąpienia dla rozkładu Weibulla zapisuje się za pomocą wzoru

(1.15)

Odpowiednia zależność dla skumulowanego rozkładu Weibulla ma postać

(1.16)

Również w tym przypadku F(v) jest prawdopodobieństwem trwania okresu w ciągu roku, w którym prędkość wiatru spełnia nierówność . Należy zauważyć, że współczynnik skali c jest w przybliżeniu (prawie) równy średniej prędkości wiatru . Dodatkowo, stosunek jest podany za pomocą zależności przybliżonej [5, 9]

(1.17)

Łatwo zauważyć, że zależność (1.17) zawiera tylko współczynnik kształtu k. Wartość stałej c dla rozkładu Rayleigha przyjmuje się według wzoru [5, 9]

c² = 1,275

(1.18)

Parametry dla rozkładu Weibulla można znaleźć na wielu stronach internetowych. Odnoszą się one zwykle do danych statystycznych, zmierzonych na danej wysokości terenu. Jeżeli planowana turbina ma być zainstalowana na innej wysokości, to wówczas należy wprowadzić poprawki do omawianych wartości k i c. W przypadku braku informacji o zmianach prędkości wiatru wraz z wysokością nad powierzchnią ziemi można zastosować zależność [5, 9, 17, 24]

(1.19)

gdzie v (ho) – prędkość wiatru zmierzona na wysokości ho.

Przykład_1.2.

Turbina wiatrowa o mocy znamionowej Mz = 14 [MW] jest zainstalowana w miejscu, w którym średnia prędkość wiatru w okresie 1 roku, mierzona na wysokości h₀ = 10 [m], wynosi .

Wiedząc, że wymieniona moc znamionowa jest osiągana przy średniej prędkości , natomiast przy średniej prędkości z zakresu odpowiednia moc turbiny wynosi 80% mocy znamionowej, wyliczyć liczbę MWh energii produkowanej przez turbinę w ciągu 1 roku w zakresie zmian średniej prędkości .

W obliczeniach założyć, że pozioma oś wirnika turbiny znajduje się na wysokości h = 130 [m] nad poziomem gruntu. W obliczeniach wykorzystać jednoparametrowy rozkład Rayleigha.

Dokonamy najpierw transformacji zmierzonej na wysokości h₀ = 10 [m] średniej prędkość wiatru za pomocą wzoru (1.19):

gdzie: v(h₀) – prędkość wiatru zmierzona na wysokości h₀, v(h) – prędkość wiatru zmierzona na wysokości h = 130 [m].

Po podstawieniu wartości otrzymujemy poszukiwaną prędkość wiatru na wysokości h = 130 [m]

Jest to jednocześnie prędkość średnia jednoroczna, czyli:

Zgodnie z jednoparametrowym rozkładem Rayleigha prawdopodobieństwo wystąpienia wiatru o prędkości w okresie 1 roku wynosi (1.12):

,

czyli:

Wyznaczymy prawdopodobieństwo trwania okresu w ciągu roku, w którym prędkość wiatru spełnia nierówność: . Wykorzystamy w tym celu zależność (1.13) opisującą skumulowany rozkład Rayleigha :

Po podstawieniu otrzymujemy:

Zatem prawdopodobieństwo występowania wiatru o prędkości średniej wynosi 54,4% (rys. 1.6). Wyznaczymy prawdopodobieństwo wystąpienia wiatru o prędkości :

Prawdopodobieństwo wystąpienia wiatru o prędkości w okresie 1 roku wynosi:

Wyznaczymy prawdopodobny okres trwania, w którym będzie występował wiatr o prędkości w rozważanym roku:

Rys.1.6. Zależność prawdopodobieństwa wystąpienia prędkości wiatru zgodnie z rozkładem Rayleigha w przykładzie_1.2