Mojemu miastu lat młodzieńczych – Iławie,
Rodzinie i Przyjaciołom

Projekt okładki i stron tytułowych
Przemysław Spiechowski

Zdjęcie na okładce
Romas_Photo/Shutterstock

Wydawca
Dorota Siudowska-Mieszkowska

Koordynator ds. redakcji
Renata Ziółkowska

Redaktor
Joanna Perzyńska

Koordynator produkcji
Mariola Iwona Keppel

Przygotowanie publikacji elektronicznej
Ewa Modlińska

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN
Magdalena Wojtas / 88em.eu

Recenzent
Prof. dr hab. Sławomir Sojak, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2015

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2015 r.

(wyd. I)

Warszawa 2015

ISBN 978-83-01-18449-0

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl

www.pwn.pl

Wstęp

Poznawczą rolę analizy dostrzegł już Rene Descartes, który w swym dziele pt. Rozprawa o metodzie właściwego kierowania rozumem i poszukiwania prawdy w naukach podał cztery „prawidła” (zasady) wymagające respektowania przy badaniach problemów, a są to [Kartezjusz, 1952, s. 57]:

1) reguła pewności – nie uznawać za prawdę niczego, czego nie pozna się w sposób oczywisty,

2) reguła analizy – dzielić poznawany przedmiot na części składowe,

3) reguła syntezy – zaczynać zawsze od rzeczy najprostszych i najłatwiejszych do poznania, a stopniowo przechodzić do wiadomości bardziej złożonych, zakładając, że jest związek między tymi, które pozornie nie są ze sobą powiązane,

4) reguła kontroli – wyliczać zawsze wszystko tak dokładnie bądź ujmować tak ogólnie, by być pewnym, że niczego się nie pominęło.

Deterministyczne związki między zjawiskami ekonomicznymi mają specyficzny charakter. Każde zjawisko ekonomiczne jest powiązane z wieloma innymi zjawiskami, co nie może być w pełni uwzględnione przez badacza. Dlatego wszelkie funkcjonalne przedstawienie wzajemnych powiązań zjawisk ekonomicznych zawsze będzie stanowić pewne przybliżenie rzeczywistości, ujęte w postaci tzw. modelu.

Pojęcie „model” zrobiło w ostatnich latach przysłowiową karierę. Spotkać je można w publikacjach z zakresu wielu nauk, różniących się zarówno przedmiotem badań, jak i zadaniami badawczymi. Nietrudno domyśleć się, że słowo to jest różnie definiowane przez przedstawicieli poszczególnych dyscyplin naukowych.

Zbigniew Czerwiński [2002, s. 495 i n.] uważa, że modele są jak gdyby substytutami teorii, o ile wiedza w pewnej dziedzinie nie dojrzała jeszcze do tego, by zasłużyć sobie na to miano. Autor ten twierdzi, że model jest obrazem rzeczywistości mniej trwałym od teorii, a ponadto różne modele mogą istnieć obok siebie, bo nie są pełnymi i dokładnymi obrazami badanej rzeczywistości, zaś z dwóch różnych teorii przyrodniczych czy społecznych jedna wypiera drugą (tak jak teoria Kopernika wyparła teorię Ptolemeusza).

Współczesne modele finansowe są z reguły modelami symulacyjnymi, czyli takimi, które odpowiadają na pytanie: „co by było, gdyby”, i za ich pomocą rozważa się skutki różnych decyzji podejmowanych w firmie oraz zmian uwarunkowań zewnętrznych, w których musi działać firma. Symulacja oznacza wykonywanie pewnych zabiegów na modelu, umożliwiających określenie, jak w pewnych sytuacjach zachowałby się obiekt, którego obrazem jest dany model. Zakłada się przy tym, że model „dostatecznie dobrze” obrazuje zachowanie tegoż obiektu – bez tego założenia taka symulacja byłaby bowiem bezużyteczna.

Zarządzanie przedsiębiorstwem to przede wszystkim podejmowanie różnorodnych decyzji, które mają charakter zarówno strategiczny, jak i operacyjny. Głównym celem tych decyzji jest zapewnienie rentowności prowadzonej działalności, co oznacza osiąganie przez przedsiębiorstwo zysku. W konsekwencji konieczna jest ciągła ocena relacji między przychodami, kosztami i zyskiem, zaś narzędziem, które umożliwia dokonanie takiej oceny, jest analiza progu rentowności. Podstawowym pojęciem występującym na gruncie analizy progu rentowności jest próg rentowności, zwany czasem punktem krytycznym. Podstawowych informacji, niezbędnych do przeprowadzenia analizy progu rentowności, dostarcza rachunek kosztów, przy czym szczególnie istotne są informacje dotyczące kosztów stałych oraz jednostkowych kosztów zmiennych.

Analiza progu rentowności jest przeprowadzana przy założeniu ceteris paribus czynników niewziętych pod uwagę w tej analizie, co nie umniejsza jednak ani jej wartości poznawczej, ani decyzyjnej. Dodać należy, że analiza progu rentowności jest typowym przykładem analizy prospektywnej, a zatem stanowi narzędzie umożliwiające ocenę, czy założenia planistyczne pozwolą osiągnąć oczekiwany zysk.

Studia literaturowe wskazują, że najwięcej miejsca poświęca się analizie progu rentowności produkcji jednoasortymentowej, gdyż stosowny model finansowy jest bardzo prosty i umożliwia analizę jego wrażliwości. Z produkcją wieloasortymentową wiąże się bardziej złożony model finansowy, co utrudnia jego analizę. W efekcie większość polskich ekonomistów zadowala się podaniem gotowych formuł obliczeniowych, nie starając się wnikać w ich istotę. Duży wkład w pogłębianie analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej mają m.in. Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak [2005, s. 163–179; 2009, s. 96–133] oraz Jarosław Mielcarek [2005, s. 85–111; 2006, s. 93 i n.].

Ogólnie biorąc, głównym celem pracy jest próba nowoczesnego ujęcia teorii analizy progu rentowności. Cel ten realizowany jest poprzez:

nowatorskie ujęcie problematyki analizy zmienności kosztów,

uogólnienie metody analizy zmian ilościowych miar ekonomicznych przyjmujących dowolne wartości,

kompleksowe opracowanie podstaw teoretycznych metod analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej,

zaproponowanie nowej koncepcji analizy progu rentowności, opartej na rachunku macierzowym, o istotnej wartości poznawczej i aplikacyjnej.

Rozważania teoretyczne są ilustrowane przykładami liczbowymi i choć wykorzystane w nich dane nie pochodzą z konkretnych przedsiębiorstw, to jednak prawidłowo charakteryzują zjawiska gospodarcze, które mogą w nich występować. Autor tej książki podziela pogląd Jarosława Mielcarka, który uważa, że przykłady liczbowe mogą być tak konstruowane, „aby można było je uznać za odpowiedniki eksperymentów w fizyce przeprowadzanych w kontrolowanych warunkach w tym sensie, że sterowanych daną teorią” [Mielcarek, 2005, s. 20].

Celowi pracy podporządkowana jest koncepcja przedmiotowa książki, która składa się – pomijając wstęp i zakończenie – z pięciu rozdziałów.

W rozdziale pierwszym została przedstawiona istota rachunku kosztów całkowitych i kosztów zmiennych oraz różnice między tymi kategoriami. Następnie przedstawiono matematyczne ujęcie zmienności kosztów, proponując dwojaką interpretację wskaźników elastyczności, oraz wyjaśniono różnicę między współczynnikiem elastyczności kosztów a wskaźnikiem zmienności kosztów. Ponadto wyjaśniono istotę uogólnienia wskaźnika dynamiki oraz wskaźnika tempa zmiany. W dalszej części rozdziału przybliżono koncepcję skorygowanego względnego odchylenia kosztów, a następnie przedstawiono próbę ilościowego ujęcia zjawiska histerezy kosztów. Główną część tego rozdziału zajmuje prezentacja metod wyodrębniania kosztów stałych oraz kosztów zmiennych, która została wsparta odpowiednimi przykładami liczbowymi.

Drugi rozdział poświęcony został istocie koncepcji CVP (Cost-Volume-Profit) i wynikającej z niej analizie progu rentowności, przy czym ta partia książki przybliża przede wszystkim analizę wrażliwości zysku w warunkach produkcji jednoasortymentowej. Autor tej publikacji koryguje propozycję modyfikacji formuły obliczeniowej oraz wnosi pogłębione rozważania dotyczące dynamicznej analizy progu rentowności produkcji jednoasortymentowej.

Treścią rozdziału trzeciego jest analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej w klasycznym ujęciu, oparta na odpowiednio dobranych przykładach z literatury przedmiotu. Wyjaśniony został w tym rozdziale dylemat, czy każda zmiana struktury zmienia poziom progu rentowności, a podstawowe twierdzenie rachunku progu rentowności wsparte zostało stosownymi przykładami liczbowymi. W tym rozdziale została także omówiona tzw. segmentowa analiza progu rentowności.

W kolejnym, czwartym rozdziale pracy przedstawiono autorskie podejście do analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej. Jest to oryginalne matematyczne ujęcie istoty progu rentowności wraz z analizą formuł obliczeniowych, ukazane w świetle teorii wymiarów, zawierające również matematyczne wyjaśnienie idei „produktu umownego”. W dalszych partiach tego rozdziału przedstawiono teorię oraz praktyczne zastosowanie tzw. szacowania przedziałowego progu rentowności. Na koniec przybliżono koncepcję miernika oceny siły dochodowej przedsiębiorstwa, którego istota tkwi w wykorzystaniu pojęcia progu rentowności. Ponadto w rozdziale tym zamieszczono interesującą metodykę wyznaczania progu rentowności w ujęciu wektorowym oraz znajdowania wielkości granicznych.

Przedmiotem ostatniego, piątego rozdziału jest autorska koncepcja analizy progu rentowności przy zastosowaniu rachunku macierzowego. To podejście metodologiczne stanowi kolejny krok na drodze doskonalenia analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej, gdyż umożliwia uwzględnienie zróżnicowania cen sprzedaży z uwagi na istnienie tzw. cen negocjowanych. Końcowe fragmenty tego rozdziału stanowią próbę dalszego uogólnienia macierzowej analizy progu rentowności, opartego na pojęciu tzw. kostki danych, co zarazem stanowi wskazanie kierunku rozwoju dynamicznej analizy progu rentowności.

Omawiana analiza progu rentowności ma charakter uniwersalny, dotyczy zatem nie tylko przedsiębiorstw wytwarzających określone produkty, lecz może być także wykorzystana w przypadku działalności polegającej na świadczeniu usług czy handlu towarami.

Książka ma w dużej mierze charakter autorski. Powstała na podstawie bogatej literatury przedmiotu, przy czym autor wykorzystał także swoje artykuły naukowe zamieszczone w renomowanym czasopiśmie naukowym „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”. Jest adresowana do studentów kierunków ekonomicznych na różnych typach uczelni wyższych, słuchaczy studiów podyplomowych, uczestników szkoleń z dziedziny rachunkowości i finansów, analityków i menedżerów zajmujących się rachunkowością zarządczą i finansami. Na pewno zainteresują się proponowaną publikacją księgowi i biegli rewidenci oraz praktycy poszukujący nowoczesnych, a zarazem skutecznych instrumentów zarządzania przedsiębiorstwem.

Podziękowania

Pisząc tę książkę, zaciągnąłem dług wdzięczności wobec wielu autorów, których idee zostały tu przedstawione. Szczególne słowa uznania kieruję do tych, których wysiłek na niwie naukowej poszerzał wiedzę na temat progu rentowności, a zarazem stanowił dla mnie źródło inspiracji do napisania tej książki.

Chciałbym też serdecznie podziękować prof. dr. hab. Sławomirowi Sojakowi z Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, za jego bardzo pozytywną opinię o książce i zarekomendowanie jej wydania.

Pragnę również podziękować sponsorom, których wsparcie finansowe ułatwiło wydanie mojej książki, zwłaszcza zaś gorące podziękowania kieruję do Panów Rafała Damasiewicza z firmy RAFAKO SA oraz Krzysztofa Urbańskiego z firmy APATOR SA.

Wiele osób przyczyniło się do tego, by książka ta ujrzała światło dzienne. W szczególności chciałbym skierować najgorętsze podziękowanie Wydawcy – Pani Dorocie Siudowskiej-Mieszkowskiej – za jej zaangażowanie, zrozumienie i wielką cierpliwość okazaną na wstępnym etapie procesu wydawniczego. Dziękuję także Pani Redaktor Joannie Perzyńskiej za trud mozolnej pracy nad redakcją mojej książki.

Autor niniejszej publikacji, kierując się imperatywem pokory naukowej, ma świadomość jej niedoskonałości, zarówno co do treści, jak i sposobów prezentacji zagadnień. W świetle tegoż stwierdzenia obarcza wyłącznie siebie odpowiedzialnością za przedstawione treści i strukturę książki, przy czym żywi cichą nadzieję, iż spotka się ze zrozumieniem i życzliwością Czytelników.

Rozdział 1
Wybrane problemy metodyczne analizy kosztów i wyniku finansowego

W obecnych czasach, kiedy skala i złożoność zjawisk gospodarczych są znaczne, nieodzowne staje się korzystanie z różnorakich narzędzi matematycznych, aby w badaniu „okiełznać” coraz bardziej skomplikowane procesy gospodarowania. W procesie decyzyjnym poniesione koszty należy konfrontować z uzyskiwanymi przychodami, ponieważ same koszty nie zawsze stanowią wystarczające kryterium podejmowania decyzji. W tym celu stosuje się specyficzne metody analizy tych wielkości, które posiłkują się różnymi narzędziami matematycznymi. W rozdziale tym zostaną przybliżone niektóre z tych metod, zwłaszcza elastyczność jako ważna miara wrażliwości modelu. Przybliżona zostanie także oryginalna metodyka analizy zmiany wyniku finansowego, uwzględniająca fakt, że wynik finansowy nie zawsze oznacza zysk, czasem bowiem bywa także stratą. Zważywszy zaś, że punktem wyjścia do znalezienia tzw. progu rentowności jest podział kosztów całkowitych na stałe i zmienne, przeto w tym rozdziale sporo miejsca poświęcono temu zagadnieniu.

1.1. Istota pojęcia kosztów w rachunkowości

W potocznym rozumieniu przez koszty rozumie się wszystko to, co należy ponieść, żeby otrzymać coś innego. Z jednej strony to, co wydatkujemy, może dotyczyć czasu, pieniędzy, wysiłku ludzkiego, a nawet zdrowia, zaś z drugiej strony – tym, co otrzymujemy, może być produkt rzeczowy, pieniądze, usługa czy też sukces. Jak podkreśla Jan Duraj [2004, s. 228], na ogół chcemy, aby z jednostki kosztu („za coś”) otrzymać więcej „czegoś innego” (efekt), czyli oczekujemy korzystnego rezultatu między efektami a kosztami. Przedsiębiorstwo prowadzące działalność wykorzystuje zasoby w celu osiągnięcia określonych korzyści. Wśród zasobów wyróżnić można zasoby ludzkie, fizyczne, finansowe oraz informacyjne, zaś koszty powstają jako efekt celowego wykorzystania dostępnych w organizacji zasobów.

Wprawdzie koszty są obiektywną kategorią ekonomiczną ściśle związaną z działalnością gospodarczą, to jednak precyzyjne ich zdefiniowanie nie jest zadaniem łatwym. W rozumieniu Alicji A. Jarugi: „koszt oznacza wyrażone w pieniądzu zasoby (dobra i usługi) użyte (wydatkowane) w celu osiągnięcia bieżących lub przyszłych korzyści” [2010, s. 67]. W świetle ustawy o rachunkowości koszty to „uprawdopodobnione zmniejszenia w okresie sprawozdawczym korzyści ekonomicznych, o wiarygodnie określonej wartości, w formie zmniejszenia wartości aktywów albo zwiększenia wartości zobowiązań i rezerw, które doprowadzą do zmniejszenia kapitału własnego lub zwiększenia jego niedoboru w inny sposób niż wycofanie środków przez udziałowców lub właścicieli” [Ustawa z dnia 29.09.1994 r. o rachunkowości…, art. 3.1 pkt 31].

Zdaniem Wiktora Gabrusewicza koszty mogą być rozpatrywane w dwóch ujęciach, tj. [2001, s. 43–44]:

1) makroekonomicznym,

2) mikroekonomicznym.

W ujęciu makroekonomicznym najszerszą kategorią są społeczne koszty produkcji. Wyrażają one sumę nakładów pracy żywej i uprzedmiotowionej, jaką poniosło społeczeństwo na wytworzenie dóbr i usług w danym czasie. Owe koszty można wyrazić za pomocą następującej formuły:

KSP = c + v + m,

(1.1)

gdzie: KSP – społeczne koszty produkcji,

c – wartość zużytych środków produkcji,

v – wartość produktu wytworzonego przez pracę dla siebie, wyrażoną w wynagrodzeniach pracowników,

m – wartość produktu wytworzonego przez pracę dla społeczeństwa (tzw. produkt dodatkowy).

Ponadto kategorią makroekonomiczną są koszty produkcji, które wyraża formuła:

Kp = c + v,

a zatem koszty produkcji równają się wartości produktów pomniejszonej o wartość produktu dodatkowego.

Koszty ponoszone przez przedsiębiorstwo przyjmują nazwę kosztów własnych i są kategorią mikroekonomiczną. Wyraża je następująca formuła:

Kwł = c + v + m₁,

(1.2)

gdzie: Kwł – koszty własne,

m₁ – koszty transferowe.

Jak podaje Wiktor Gabrusewicz, do kosztów transferowych zaliczamy odsetki bankowe, ubezpieczenia społeczne, niektóre podatki oraz inne nakłady mające postać finansową.

1.2. Zarys rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych

Rachunek kosztów pełnych (RKP) oparty jest na kosztach już poniesionych (historycznych). Wspomniany wyżej W. Gabrusewicz twierdzi, że: „Model rachunku kosztów pełnych zakłada, iż na wysokość całkowitych kosztów przedsiębiorstwa wpływ ma tylko jedna zmienna – wielkość produkcji” [2001, s. 79].

Rachunek kosztów zmiennych (RKZ) zmierza do przypisania wyrobom tylko części poniesionych w przedsiębiorstwie kosztów, a mianowicie kosztów zmiennych.

Jak podkreślają Dawid Habela i Robert Polaczek [2001, s. 50–51]: „Celem nadrzędnym rachunku kosztów pełnych jest wynik operacyjny, który powstaje jako różnica między przychodami a kosztami własnymi sprzedaży”, zaś „Celem nadrzędnym rachunku kosztów zmiennych jest marża na pokrycie, która powstaje jako różnica między przychodami a kosztami zmiennymi”.

W tabeli 1.1 przedstawiono cechy charakterystyczne dla obu rodzajów kosztów.

Tabela 1.1. Syntetyczna charakterystyka rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych

Rachunek kosztów pełnych

Rachunek kosztów zmiennych

1. Zestawia koszty pełne z przychodami, co może być przyczyną zdeformowanego kosztu jednostkowego wyrobu i zysku jednostkowego.

2. Zachowuje relacje między produkcją a sprzedażą w długim okresie; jest nieelastyczny w decyzjach krótkookresowych.

3. Jest skomplikowany i nastawiony na dokładną kontrolę procesów produkcji.

4. Jest przydatny w planowaniu długookresowym.

5. Pozwala na wybór decyzji w długim okresie.

6. Służy zewnętrznym sprawozdaniom finansowym.

7. Wynik finansowy jest funkcją wielkości produkcji, co może przejawiać się w spadku zysku przy wzroście sprzedaży.

1. Zestawia przychody z kosztami zmiennymi, co pozwala na korzystanie z marży na pokrycie kosztu jednostkowego i globalnego.

2. Jest elastyczny w decyzjach krótkookresowych.

3. Jest prosty i daje sygnały alarmowe o zachowaniu rynku.

4. Jest przydatny w planowaniu krótkookresowym.

5. Pozwala na podejmowanie optymalnych wyborów.

6. Służy sprawozdaniom wewnętrznym, kontrolno-wynikowym.

7. Wynik finansowy jest funkcją wielkości produkcji, co oznacza, że wzrost sprzedaży przy stałej strukturze kosztów i stałej cenie zawsze powoduje wzrost zysku.

Źródło: na podstawie pracy: Gabrusewicz, 2001, s. 85.

Szczegółowe porównanie zalet i wad rachunku kosztów pełnych z rachunkiem kosztów zmiennych przedstawiono w tabeli 1.2.

Tabela 1.2. Zalety i wady rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych

System rachunku kosztów

Zalety

Wady

Rachunek kosztów pełnych (RKP)

1. W długim okresie wszystkie koszty powinny być zwrócone przez przychody, dlatego do prowadzenia długookresowej polityki cenowej konieczna jest znajomość kosztów pełnych.

2. Koszt pełny wymagany jest w sprawozdaniach finansowych.

3. W przedsiębiorstwach (przemysłach) stosujących formułę „koszt plus” do ustalenia ceny wyjściowej wymagany jest RKP.

4. RKP nie umniejsza znaczenia kosztów stałych.

5. Przy produkcji sezonowej, aktywując koszty stałe „zamrożone” w zapasach, łagodzi wpływ sezonowości na wynik finansowy.

1. Generowanie informacji związanych głównie z wyceną i wyróżnianiem zbiorów kosztów ze względu na ich podział, tj. koszty bezpośrednie, koszty pośrednie, pełny koszt jednostkowy i zysk, bez względu na stopień wykorzystania zdolności produkcyjnych.

2. Grupowanie kosztów w przekroju ich powstawania według kryteriów kalkulacyjnych, pomijając ośrodki odpowiedzialności z wyodrębnieniem stopnia ich zmienności i zakresu kontrolowania.

3. Orientacja na produkcję.

4. Ograniczona przydatność w podejmowaniu decyzji w krótkim okresie.

Rachunek kosztów zmiennych (RKZ)

1. Informacje generowane przez RKZ są użyteczniejsze i istotniejsze w procesie podejmowania decyzji.

2. Eliminuje wpływ zmiany zapasów na wynik finansowy; zysk zmienia się odpowiednio do zmian sprzedaży w krótkich okresach.

3. Ułatwia stosowanie progu rentowności.

4. Ułatwia ocenę osiąganych wyników przez linie produkcyjne i ośrodki odpowiedzialności, ponieważ nie jest zniekształcony przez umowne grupowanie i rozliczanie kosztów pośrednich.

5. Pozwala na różnicowanie cen sprzedaży dzięki możliwości mierzenia marży brutto.

6. RKZ może występować równolegle z systemem RKP.

1. Nie spełnia zasady współmierności przychodów i kosztów, wymaganej w rachunkowości finansowej i sprawozdaniach finansowych.

2. Możliwość występowania trudności w podziale kosztów na stałe i zmienne.

3. Mała przydatność w procesie podejmowania decyzji długookresowych.

4. Rosnący udział kosztów stałych.

Źródło: na podstawie pracy: Habela, Polaczek, 2001, s. 52.

Tabela 1.3 przedstawia specyfikację różnic między obiema kategoriami rachunku kosztów.

Tabela 1.3. Modele rachunku kosztów pełnych i kosztów zmiennych

Kryterium porównań

Rachunek kosztów pełnych

Rachunek kosztów zmiennych

Cel prowadzenia

Sporządzanie obligatoryjnych sprawozdań finansowych

Potrzeby wewnętrzne przedsiębiorstwa

Zgodność z wymogami ustawy o rachunkowości

Jest zgodny

Nie jest zgodny

Nadrzędne kryterium klasyfikacji kosztów

Możliwość przypisania kosztów produktom

Reagowanie kosztów na wahania wielkości produkcji

Podstawowe kategorie kosztów

Koszty bezpośrednie

Koszty pośrednie

Koszty zmienne

Koszty stałe

Zakres kosztów produktów

Koszty wytworzenia:

koszty bezpośrednie

koszty pośrednie produkcji

Zmienne koszty wytworzenia:

koszty bezpośrednie

koszty zmienne produkcji

Zakres kosztów okresu

Koszty nieprodukcyjne:

koszty sprzedaży

koszty ogólnego zarządu

Koszty stałe:

koszty stałe produkcji

koszty sprzedaży

koszty ogólnego zarządu

Wycena zapasu produktów

Koszt wytworzenia

Koszt wytworzenia zmienny

Adekwatność odzwierciedlenia wyniku finansowego

Wynik długookresowy

Wynik krótkookresowy

Przydatność przy podejmowaniu decyzji

Decyzje długookresowe

Decyzje krótkookresowe

Orientacja decydentów

Procesy produkcyjne

Rynek

Źródło: na podstawie pracy: Nowak, 2006, s. 114.

Jak słusznie podkreśla Andrzej Piosik [2006, s. 140], podstawowa różnica między rachunkiem kosztów pełnych a rachunkiem kosztów zmiennych polega na tym, że inaczej określa się w nich zasadę współmierności, która stanowi jedną z fundamentalnych zasad rachunkowości. Można przyjąć, że tabele 1.1–1.3 syntetycznie, a zarazem wystarczająco dobrze przybliżają istotę rachunku kosztów całkowitych pełnych oraz kosztów zmiennych.

1.3. Uwagi wstępne dotyczące analizy zmienności kosztów

Podstawą analizy progu rentowności jest rachunek kosztów zmiennych, niezbędne jest zatem wyodrębnienie ich z kosztów całkowitych. Podział ten nie wynika wprost z ustawy o rachunkowości i nie jest odzwierciedlony w ewidencji księgowej. Implikuje to potrzebę stosowania różnych metod podziału kosztów, co zostanie zaprezentowane w dalszych partiach tej publikacji. W literaturze przedmiotu poświęconej rachunkowości zarządczej tylko niektórzy autorzy zajmują się tym problemem.

Analizę zachowania się kosztów w relacji do zmian wielkości produkcji przeprowadza się dla określonego przedziału zmienności produkcji. Zależnie od sposobu reagowania na zmiany wielkości produkcji wyróżnia się dwie kategorie kosztów, tj.:

koszty stałe,

koszty zmienne.

Koszty stałe są to te składniki kosztów, których poziom jest niezależny od wielkości produkcji. Koszty stałe przeliczone na jednostkę produkcji są kosztami malejącymi.

Kosztami zmiennymi są takie składniki kosztów, których poziom zależy od wielkości produkcji, a zatem zmiany wielkości produkcji mają bezpośrednie odzwierciedlenie w ich poziomie.

Kosztami zmiennymi są m.in. składniki kosztów podstawowej działalności operacyjnej, tj.:

zużycie materiałów bezpośrednich,

zużycie energii technologicznej,

wynagrodzenia bezpośrednie,

koszty zakupu materiałów produkcyjnych.

Z punktu widzenia kierunku i stopnia natężenia zmian poziomu kosztów pod wpływem wahań wielkości produkcji wyróżnia się cztery kategorie kosztów zmiennych, czyli:

zmienne proporcjonalnie,

zmienne progresywnie,

zmienne degresywnie,

zmienne regresywnie.

Koszty zmienne proporcjonalnie występują wtedy, gdy kolejne jednostkowe przyrosty wielkości produkcji powodują, przeciętnie rzecz biorąc, takie same przyrosty kosztów zmiennych. Oznacza to, że tempo zmiany kosztów jest tożsame z tempem zmiany produkcji. Koszty zmienne proporcjonalnie mogą być przedstawione jako iloczyn jednostkowego kosztu zmiennego i wielkości produkcji:

KZ = kz × Q,

(1.3)

gdzie: KZ – koszty zmienne całkowite,

kz – koszt zmienny jednostkowy,

Q – wielkość produkcji.

Jednostkowy koszt zmienny jest w tym przypadku wielkością stałą.

Kształtowanie się całkowitych kosztów proporcjonalnie zmiennych przedstawia rysunek 1.1.

Rysunek 1.1. Koszty zmienne proporcjonalnie

Źródło: opracowanie własne.

Koszty zmienne progresywnie występują wtedy, gdy kolejne jednostkowe przyrosty wielkości produkcji powodują, przeciętnie rzecz biorąc, coraz większe przyrosty kosztów zmiennych. Oznacza to, że tempo zmiany kosztów jest większe od tempa zmiany produkcji. Jednostkowy koszt zmienny jest w tym przypadku kosztem rosnącym.

Kształtowanie się całkowitych kosztów progresywnie zmiennych przedstawia rysunek 1.2.

Koszty zmienne degresywnie występują wówczas, gdy kolejne jednostkowe przyrosty wielkości powodują, przeciętnie rzecz biorąc, coraz mniejsze przyrosty kosztów zmiennych. Oznacza to, że tempo zmiany kosztów jest mniejsze od tempa zmiany produkcji. Jednostkowy koszt zmienny jest w tym przypadku kosztem malejącym.

Kształtowanie się całkowitych kosztów degresywnie zmiennych przedstawia rysunek 1.3.

Koszty zmienne regresywnie występują wówczas, gdy wraz ze wzrostem wielkości produkcji następuje, przeciętnie rzecz biorąc, spadek kosztów zmiennych.

Kształtowanie się całkowitych kosztów regresywnie zmiennych przedstawia rysunek 1.4.

Rysunek 1.2. Koszty zmienne progresywnie

Źródło: opracowanie własne.

Rysunek 1.3. Koszty zmienne degresywnie

Źródło: opracowanie własne.

Rysunek 1.4. Koszty zmienne regresywnie

Źródło: opracowanie własne.

Wydaje się, że szkicowanie wykresów funkcji jednostkowych kosztów zmiennych dla różnych rodzajów funkcji zmiennych nie ma racji bytu, gdyż te pierwsze zależą od rodzaju zależności wyjściowej funkcji, a to oznacza, że wykresy funkcji jednostkowych kosztów zmiennych mogą być wklęsłe lub wypukłe[1].

1.4. Pojęcie analizy wrażliwości i miary oceny wrażliwości

Pojęcie analiza wrażliwości (sensitivity analysis) nie jest rozumiane przez wszystkich ekonomistów jednakowo. Wiesław Dębski stwierdza np.: „Przeprowadzając analizę wrażliwości na zbudowanym uprzednio modelu finansowym, staramy się odpowiedzieć na pytanie, co stanie się z wybraną zmienną endogeniczną (kategorią ekonomiczną), jeżeli wartość innej zmiennej (na ogół egzogenicznej) zmieni się o dowolną wielkość, przykładowo o jednostkę” [2005, s. 137].

Według zachodnich ekonomistów analiza wrażliwości jest procesem, który polega na pomiarze wpływu, jaki zmiany poszczególnych pojedynczych zmiennych lub ich kombinacji wywierają na zysk.

Powszechnie uważa się, że analiza wrażliwości jest przydatna, ponieważ [Deakin, Maher, 1987, s. 439]:

pozwala uwypuklić podstawowe cechy problemu, mające wpływ na decyzję,

umożliwia ocenę wpływu zmian czynników, których zachowania menedżer jest pewny, na funkcje celu,

pozwala dojść do optymalnych rozwiązań w przypadku decyzji powtarzających się w nieznacznie zmodyfikowanych warunkach.

Studia literaturowe wskazują, że wielu autorów pojęcie „analiza wrażliwości” kojarzy z analizą projektów inwestycyjnych, zysku lub rentowności przedsiębiorstwa, co zarazem świadczy o ważkości tego narzędzia analitycznego. Przykładowo Colin Drury [1998, s. 283] uważa, że analiza wrażliwości ma za zadanie pokazać, jak będą zmieniać się wyniki, jeśli zmienią się plany pierwotne lub podstawowe założenia. W odniesieniu do koncepcji CVP (koszt – wolumen – zysk) analiza wrażliwości powinna dostarczyć odpowiedzi na pytanie, jaki będzie zysk, jeżeli np.:

zmienia się pierwotnie planowany asortyment sprzedaży,

koszty stałe wzrosną o 10% i koszty zmienne zmaleją o 5%?

Zdaniem Sławomira Sojaka: „Analiza wrażliwości jest procesem polegającym na pomiarze wpływu zmian poszczególnych, pojedynczych zmiennych lub kombinacji wielu zmiennych na zysk. Może ona dotyczyć wielu aspektów, a mianowicie:

określenia granicznego poziomu poszczególnych składników analizy, gwarantujących osiągnięcie progu rentowności, czyli rentowności na poziomie zerowym;

określenia marginesu bezpieczeństwa działania;

wrażliwości zysku na zmienność poszczególnych składników analizy” [2003, s. 296].

Specyficzny punkt widzenia na pojęcie „analiza wrażliwości” prezentuje Wiesław Pluta. Przyjmuje on, że badanie, w którym uzależnia się efektywność rozważanej decyzji od zmian tylko jednej wielkości, nazywa się analizą punktu progowego (break-even analysis), zaś rozszerzenie tego badania, przez uwzględnienie zmian większej liczby zmiennych, nazywa się analizą wrażliwości (sensitivity analysis). Zdaniem tego autora analiza wrażliwości jest zatem uogólnieniem analizy punktu progowego, podczas gdy analiza punktu progowego jest szczególnym przypadkiem analizy wrażliwości [1999, s. 169–171; 1997, s. 299–313].

Ciekawe spojrzenie na pojęcie analizy wrażliwości prezentuje również Włodzimierz Świetlik, według którego analiza wrażliwości pozwala ocenić, jak zmieniłby się wybór optymalnej decyzji, gdyby uległy zmianie podstawowe wielkości ekonomiczne lub warunki działania [2005, s. 61].

Bardzo szeroki wachlarz definicji analizy wrażliwości przedstawił w swojej pracy Jarosław Mielcarek, co może stanowić punkt wyjścia dla wielu autorów [2006, s. 91][2].

W tej pracy przyjmujemy, że pojęcie analizy wrażliwości oznaczać będzie analizę modelu finansowego, przy czym zakłada się zmianę jednego lub kilku czynników sprawczych, kształtujących badaną wielkość ekonomiczną. Oznacza to, że analiza wrażliwości odpowiadać będzie na pytanie: „co się stanie, jeżeli”, czyli punktem wyjścia będą modele finansowe typu: co by było, gdyby (What – if? Analysis). Należy też dodać, że podstawowym ograniczeniem tej metody jest fakt, iż bada się wpływ poszczególnych zmiennych, zakładając przy tym, że pozostałe zmienne nie uległy zmianie (zasada ceteris paribus).

Miary stosowane w analizie wrażliwości

U podstaw miar wrażliwości leży model deterministyczny postaci:

P = f (X₁, X₂, …, Xk),

(1.4)

gdzie: P – badana wielkość,

Xi – i-ty czynnik determinujący badaną wielkość (dla i = 1, 2, …, k),

f – pewna funkcja.

Proponuje się wprowadzenie przedstawionych niżej miar wrażliwości.

1. „Charakterystyka pierwsza” modelu (współczynnik wrażliwości zmiennej objaśnianej względem odpowiedniej zmiennej objaśniającej) – bezwzględna miara wrażliwości. Jest to pochodna cząstkowa funkcji f względem jednej ze zmiennych objaśniających, tj.:

(dla i = 1, 2, …, k),

inaczej mówiąc, miara ta oznacza krańcową użyteczność i-tej zmiennej objaśniającej.

2. „Charakterystyka druga” modelu (elastyczność zmiennej objaśnianej względem i-tej zmiennej objaśniającej) – względna miara wrażliwości, czyli tzw. elastyczność cząstkowa (punktowa):

(dla i = 1, 2, …, k).

Jeżeli weźmiemy pod uwagę addytywny modeli liniowy postaci:

P = a₀ + a₁ X₁ + a₂ X₂ + … + ak Xk,

to parametr modelu ai (dla i = 1, 2, …, k) jest bezwzględną miarą wrażliwości – wskazuje on, o ile zmieni się wielkość P, gdy i-ty czynnik sprawczy wzrośnie (zmaleje) o jednostkę, zaś pozostałe czynniki nie ulegną zmianie (klauzula ceteris paribus).

Należy zdawać sobie sprawę, że elastyczność punktowa ma rację bytu tylko w przypadku bardzo małych zmian zmiennej niezależnej, co w praktyce występuje bardzo rzadko. Dlatego lepiej jest posługiwać się tzw. elastycznością łukową, która odzwierciedla przeciętną elastyczność w pewnym przedziale, przy czym zakłada się wówczas, że w całym przedziale efekt wpływu zmiennej niezależnej na zmienną zależną jest taki sam. Formuła na ten rodzaj elastyczności ma zatem postać:

(1.5)

Elastyczność łukowa ma zastosowanie przy większych przyrostach zmiennej niezależnej, niektórzy autorzy przyjmują arbitralnie próg 5% dla tych przyrostów[3].

Ze względu na przyjmowane założenie: z którym mamy do czynienia przy elastyczności punktowej, klasyczny miernik elastyczności nie jest wygodny, gdy rozpatruje się duże przyrosty zmiennej objaśniającej.

Zbigniew Pawłowski zaproponował tzw. elastyczność różnicową, która w przypadku funkcji wielomianowych poprawia jakość tego narzędzia badawczego. Jest ona opisana wzorem:

(1.6)

gdzie: – elastyczność punktowa rzędu r,

– pochodna rzędu r z funkcji Y względem i-tego czynnika.

Przyjmuje się, że elastyczność różnicowa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy szereg nieskończony jest zbieżny. W praktyce wystarczy zwykle wziąć dwa lub trzy pierwsze wyrazy szeregu, by otrzymać dobre przybliżenie wartości ER(xi)[4].

Łatwo jest dowieść, że dla funkcji liniowej otrzymamy równość:

elastyczność różnicowa = elastyczność punktowa.

Ogólnie biorąc, między obu rodzajami elastyczności zachodzi relacja:

(1.7)

Można ponadto wykazać, że propozycja Z. Pawłowskiego opiera się na rozwinięciu Taylora funkcji wielu zmiennych.

1.4.1. Analiza zmienności kosztów – uwagi wstępne

Analiza matematyczna umożliwia zdefiniowanie wartościowych dla ekonomistów charakterystyk funkcji jednej zmiennej, co zostanie przedstawione w dalszej części tego rozdziału.

Punktem wyjścia jest funkcja jednej zmiennej o postaci y = f(x), dla której określamy przedstawione mierniki:

1. Przyrost absolutny (zwany także bezwzględnym) funkcji f:

(1.8)

2. Tempo przyrostu funkcji f (zwane przyrostem względnym):

(1.9)

3. Prędkość wzrostu funkcji:

(1.10)

która wyraża zmianę wartości funkcji wywołaną jednostkową zmianą argumentu funkcji.

Na gruncie analizy matematycznej powyższa relacja zwana jest ilorazem różnicowym, zaś Alpha C. Ciang określa ten ułamek jako tzw. stopę zmian [1994, s. 140–141].

Zdaniem Stanisławy Kanas jest to wielkość przeciętna, która określa, w jakim stopniu funkcja f jest czuła na przyrost zmiennej x. Autorka ta dodaje, że ocena reakcji funkcji na podstawie wzoru (1.10) daje „pogląd jedynie na przeciętną prędkość zmiany wartości tej funkcji w przedziale , zmiany te nie muszą zachodzić równomiernie, jak wskazuje wartość średnia” [2011, s. 134–135].

4. Stopa wzrostu funkcji:

(1.11)

która wyraża względną zmianę wartości funkcji wywołaną jednostkową zmianą argumentu tej funkcji. Zdaniem S. Kanas formuła ta „określa szybkość wzrostu funkcji w zależności od argumentu” [2011, s. 141]. Powyższy wzór pozwala zatem odpowiedzieć na pytanie, jaki ułamek względnej zmiany przypada na jednostkową zmianę argumentu, co przypomina pojęcie gęstości (natężenia) liczebności lub częstości, które jest stosowane w statystyce opisowej [zob. Wasilewska, 2009, s. 69].

5. Elastyczność funkcji:

(1.12)

która wyraża względną zmianę wartości funkcji wywołaną jednostkową względną zmianą argumentu funkcji. Jest to miara siły wpływu danej zmiennej na poziom funkcji[5].

Zmienność kosztów najczęściej traktuje się jako reakcje kosztów całkowitych na zmiany produkcji. Miarą stopnia reagowania kosztów na zmiany wielkości produkcji jest współczynnik elastyczności, zwany też wskaźnikiem zmienności, który wyraża stosunek względnej zmiany danego kosztu do względnej zmiany produkcji. W przypadku kosztów zmiennych możemy zastosować dwa podejścia metodyczne.

1. Według koncepcji znajdowania tzw. elastyczności łukowej (bezpośrednio z danych empirycznych, gdy nie jest znana postać analityczna funkcji):

(1.13)

gdzie: eZ – wskaźnik elastyczności kosztów zmiennych,

∆KZ – przyrost kosztów zmiennych,

KZ – rodzaj kosztu zmiennego,

∆q – przyrost produkcji,

q – wielkość produkcji [Borkowski, 2003, s. 162–167].

2. Według koncepcji znajdowania tzw. elastyczności punktowej (w przypadku znanej postaci analitycznej funkcji):

(1.14)

gdzie: KZ′(q) – pierwsza pochodna funkcji kosztów zmiennych,

KZ(q) – koszty zmienne jako funkcja wolumenu q.

Wyróżnia się następujące rodzaje kosztów:

1) koszty zmienne proporcjonalnie (proporcjonalne) eZ = 1,

2) koszty zmienne progresywnie (progresywne) eZ > 1,

3) koszty zmienne degresywnie (degresywne) 0 < eZ < 1,

4) koszty zmienne regresywnie (regresywne) eZ < 0,

5) koszty stałe eZ = 0.

Warto dodać w tym miejscu, że koszty zmienne degresywne zwane są na gruncie rachunkowości zarządczej także semizmiennymi lub „mieszanymi”.

1.4.2. Związek między elastycznościami różnego rodzaju kosztów

Stosunkowo proste rozważania matematyczne prowadzą do wskazania powiązań między elastycznościami poszczególnych rodzajów kosztów, co zostanie przedstawione dalej.

1. Koszty całkowite:

KC(q) = KZ(q) + KS – model kosztów całkowitych,

(1.15)

gdzie: KC(q) – koszty całkowite jako funkcja wolumenu q,

KS – koszty stałe,

– współczynnik elastyczności kosztów całkowitych względem produkcji.

2. Koszt przeciętny (koszty jednostkowe):

– formuła kosztów przeciętnych

(1.16)

gdzie – pochodna funkcji (1.16), a zatem elastyczność kosztów jednostkowych ma postać:

Współczynnik elastyczności kosztów jednostkowych względem produkcji ma postać:

EJ = (EC – 1)

(1.17)

3. Koszty zmienne:

Współczynnik elastyczności kosztów zmiennych względem produkcji ma postać:

(1.18)

4. Jednostkowe koszty zmienne (przeciętny koszt zmienny):

– formuła na jednostkowy koszt zmienny,

(1.19)

stąd:

gdzie – pochodna funkcji (1.19),

a zatem elastyczność jednostkowych kosztów zmiennych wyraża się wzorem:

(1.20)

czyli współczynnik elastyczności jednostkowych kosztów zmiennych względem produkcji ma postać:

(1.21)

Zagadnienie 1

Związek między elastycznościami wyznaczamy, wychodząc z założenia, że jeśli:

(1.22)

wówczas:

a stąd otrzymujemy:

czyli:

(1.23)

Z tej zależności wynika zaś, że:

1) gdy

2) gdy

3) gdy

Zagadnienie 2

Jeżeli przyjmiemy, że:

wówczas, zgodnie z elastycznością punktową, otrzymamy:

(1.24)

a  więc 0 < EC < 1 dla kz > 0 i  q > 0.

Taki sam wzór uzyskamy, stosując podejście według elastyczności łukowej, czyli:

a zatem:

(1.25)

Na powyższy fakt już przed laty zwrócił uwagę Wiktor Malc, pisząc m.in.: „oznacza to, że współczynnik zmienności kosztów jest po prostu stosunkiem kosztów zmiennych do całości kosztów i kształtuje się różnie dla różnych rozmiarów produkcji. W konsekwencji, współczynnik zmienności kosztów wymaga zawsze uwzględnienia określonego wyjściowego poziomu kosztów i rozmiarów produkcji” [1979, s. 36].

Funkcja EC jest rosnąca i charakteryzuje zmiany mniej niż proporcjonalne. Jeśli przyjmiemy założenie, że: kz ≥ 0, to otrzymamy relację:

(1.26)

przy czym, gdy:

a) EC = 1 – występują tylko koszty zmienne,

b) EC = 0 – występują tylko koszty stałe.

W związku z tym, że EC = EJ +1, mamy wzór:

(1.27)

Ostatecznie otrzymujemy następujący zestaw współczynników sprzężonych:

1) 

2) 

3) 

4) 

Zagadnienie 3

Przyjmijmy, że koszty zmienne są aproksymowane za pomocą funkcji:

(a > 0, q > 0),

(1.28)

gdzie: a – współczynnik skalujący,

m, n – liczby naturalne.

Współczynnik elastyczności kosztów zmiennych względem produkcji to:

Jeśli zatem:

1)  – koszty zmienne progresywnie,

2) – koszty zmienne degresywnie,

3)  – koszty zmienne regresywnie. (1.29)

Stąd koszty jednostkowe zmienne mają postać:

(1.30)

Współczynnik elastyczności jednostkowych kosztów zmiennych wynosi:

a stąd otrzymamy relację:

Zauważmy, że:

a wówczas otrzymujemy znane równanie na koszty zmienne proporcjonalnie, czyli:

Przedstawiony wyżej zarys analizy elastyczności kosztów wskazuje na korzyści, jakie może przynieść właściwe korzystanie z pojęcia „elastyczność”.

1.4.3. Zjawisko „korzyści skali”

W literaturze ekonomicznej pod pojęciem „ekonomia skali” (economy of scale) kryje się obniżenie jednostkowego kosztu w miarę zwiększenia skali działalności. Często korzyści skali są wynikiem rozłożenia kosztów stałych (np. kosztów inwestycji kapitałowych) na zwiększony wolumen produkcji i sprzedaży [Johnson, Scholes, 1999, s. 166].

Wiesław Pluta [1999, s. 152–153] uważa, że zasada zmian mniej (bądź więcej) niż proporcjonalnych jest spełniona wtedy, kiedy zależność między dwiema zmiennymi jest liniowa i ma postać:

y = ax + b, gdzie: a, b – parametry; b ≠ 0.

(1.31)

W sposób ogólny korzyści skali można przedstawić następująco:

(1.32)

Zjawisko korzyści skali może mieć również inny charakter, przykładowo może mieć postać funkcji potęgowej[6], tj.:

y = bxa,

(1.33)

gdzie: a, b – parametry.

Poniżej przedstawimy ilustrację graficzną zmian więcej (bądź mniej) proporcjonalnych, ujętych formułą o postaci:

y = ax+b

(1.34)

oraz jej równoważnej zależności:

(1.35)

Sytuacja I: – zmiany mniej niż proporcjonalne.

Rysunek 1.5 ilustruje zależność związaną z mniej niż proporcjonalną korzyścią (de facto stratą) wynikającą ze skali, przy czym rysunek 1.5a przedstawia zależność liniową zmiennej objaśnianej od zmiennej objaśniającej, a rysunek 1.5b – zależność hiperboliczną skali zmian od zmiennej objaśniającej. Przykładem takiej sytuacji może być zależność:

– funkcja kosztów całkowitych.

Rysunek 1.5. Ilustracja graficzna zmian mniej niż proporcjonalnych

Źródło: opracowanie własne.

Sytuacja II: – zmiany więcej niż proporcjonalne.

Kolejny rysunek (1.6) ilustruje sytuację, w której występuje zjawisko korzyści skali, przy czym rysunek 1.6a oraz rysunek 1.6b należy tak samo interpretować, jak rysunki 1.5a i 1.5b. Jako przykład takiej sytuacji można przyjąć klasyczny przypadek o postaci:

– model zysku operacyjnego (EBIT).

(1.36)

Rysunek 1.6. Ilustracja graficzna zmian więcej niż proporcjonalnych

Źródło: opracowanie własne.

Sytuacja III: – zmiany proporcjonalne.

Przypadek zmian wprost proporcjonalnych w postaci graficznej przedstawia rysunek 1.7, przy czym wykresy w częściach a i b należy interpretować tak samo, jak w przypadku poprzednich rysunków. Typowym przykładem takiej sytuacji jest model o postaci:

– funkcja kosztów zmiennych.

(1.37)

Wiktor Malc [1979, s. 34] proponuje przedstawione niżej, matematyczne podejście do kosztów zmiennych:

Niech y = f(x),

(1.38)

gdzie: y – koszty,

x – rozmiar produkcji.

Rysunek 1.7. Ilustracja graficzna zmian proporcjonalnych

Źródło: opracowanie własne.

Mamy wtedy następujące rodzaje kosztów zmiennych:

1) proporcjonalne – funkcja rośnie równomiernie, (1.39)

2) progresywne – funkcja rośnie coraz szybciej, (1.40)

3) degresywne – funkcja rośnie coraz wolniej, (1.41)

gdzie y′ – pierwsza pochodna funkcji (1.38),

y″ – druga pochodna funkcji (1.38).

Propozycję W. Malca można rozszerzyć na koszty regresywne i wówczas otrzymamy następujące warunki:

1) –  proporcjonalnie malejące, (1.42)

2) –  funkcja maleje coraz wolniej, (1.43)

3) –  funkcja maleje coraz szybciej. (1.44)

Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję kosztów zmiennych o postaci:

(1.45)

wówczas otrzymujemy:

gdzie: KZ′(q) – pierwsza pochodna funkcji (1.45),

KZ″(q) – druga pochodna funkcji (1.45).

W ten sposób uzyskujemy następujące zależności:

1) – koszty zmienne progresywnie, (1.46)

2) – koszty zmienne degresywnie. (1.47)

Zaprezentowane wyżej podejście matematyczne W. Malca do analizy zmienności kosztów dowodzi, że już przed laty polscy ekonomiści dostrzegali znaczenie narzędzi matematycznych na tym polu.

1.4.4. Współczynnik elastyczności kosztów a wskaźnik zmienności kosztów

W literaturze przedmiotu często można zauważyć brak wyraźnego rozróżnienia pojęcia wskaźnika zmienności kosztów od współczynnika elastyczności (zmienności) kosztów, co nie wydaje się słuszne, zwłaszcza w świetle rozumienia tych pojęć na gruncie statystyki. Warto zatem przypomnieć, że wskaźnik jest to liczba, która wyraża wzajemny stosunek dwóch wielkości ekonomicznych, podczas gdy współczynnik jest parametrem w podanej formule obliczeniowej [Sasin, 1999, s. 47–54].

Znajomość struktury kosztów firmy z punktu widzenia poziomu mierników zmienności kosztów umożliwia ustalenie tzw. przeciętnego współczynnika zmienności kosztów, co ujmuje następujący wzór [Micherda, 1982, s. 86]:

(1.48)

gdzie: ki – grupy kosztów według współczynników ich zmienności,

ei – współczynnik zmienności i-tej grupy (i = 1, 2, …, n).

Tak określony przeciętny wskaźnik może być wykorzystany do wyznaczenia hipotetycznego kosztu, który służy do obliczenia skorygowanego odchylenia względnego kosztów.

Stosując podejście statystyczno-ekonometryczne, proponuje się także korzystanie z tzw. wskaźnika zmienności kosztów, w literaturze przedmiotu zwanego częściej współczynnikiem zmienności kosztów o postaci [Szychta, 2001, s. 742]:

(1.49)

gdzie przy założeniu liniowej funkcji regresji kosztów, przyjmującej postać:

a – współczynnik kierunkowy prostej (jednostkowe koszty zmienne),

– średnia wartość zmiennej objaśniającej (wielkości produkcji),

– średnia wartość zmiennej objaśnianej (kosztów całkowitych danego rodzaju).

Należy wyraźnie podkreślić, że współczynnik elastyczności kosztów (e) oraz wskaźnik zmienności kosztów (WZK) nie są tożsame, na co zwraca się uwagę w literaturze przedmiotu, stwierdzając, iż wskaźnik zmienności kosztów jest pewną modyfikacją współczynnika elastyczności kosztów [Piechota, 2002, s. 94].

Rozważmy teraz następującą propozycję wyjaśnienia związku między obu rodzajami mierników zmiany kosztów. Po obliczeniu współczynników elastyczności dla każdego składnika kosztów przyjmujemy, że:

jeśli – to dany składnik zaliczony jest do kosztów stałych,

jeśli – to dany składnik zaliczony jest do kosztów zmiennych,

gdzie: – pewna graniczna wartość współczynnika elastyczności kosztów.

Wprowadzona wartość graniczna pełni zatem funkcję swoistej „wagi” rozdzielającej koszty na dwie grupy, tj. koszty stałe oraz koszty zmienne.

W przypadku analizy powiązań między kosztami a produkcją mamy do czynienia z dwiema liniami regresji, tj.:

(1.50)

Teoria ekonometrii podpowiada, że obie proste regresji przechodzą przez punkt który w fizyce zwie się środkiem ciężkości układu punktów o jednakowych masach.

Oznacza to, że mamy następującą relację:

(1.51)

skąd wynika, iż podany wskaźnik WZK jest wielkością unormowaną, to znaczy spełnia następującą nierówność:

(1.52)

przy czym: WZK = 0 – w przypadku kosztów stałych,

WZK = 1 – w przypadku kosztów zmiennych proporcjonalnych.

Dla pozostałych kosztów zmiennych wskaźnik zmienności kosztów (WZK) zawiera się w przedziale od „0” do „1”. Wskaźnik ten wyraża udział kosztów zmiennych w całości kosztów, a zatem jest względną miarą stopnia zmienności kosztów.

Powyższe rozważania podsuwają także myśl, aby przyjąć, że:

(1.53)

a to oznacza, że współczynnik informuje, o ile procent zmieni się przeciętny poziom kosztu, gdy nastąpi przeciętna zmiana produkcji o 1%.

Stąd dalej otrzymujemy zależność:

(1.54)

a jeśli przyjmiemy, że – to jednostkowe koszty zmienne (koszty krańcowe),

wówczas otrzymujemy znany nam wskaźnik zmienności kosztów.

W przypadku aktualizacji budżetów kosztów do przeliczania kosztu z budżetu wyjściowego proponuje się następującą formułę [Kes, 2002, s. 159]:

(1.55)

gdzie: K₁ – koszty po przeliczeniu,

K₀ – koszty z budżetu wyjściowego,

∆P% – procentowa zmiana wielkości produkcji w odniesieniu do wielkości z budżetu wyjściowego.

Nietrudno zauważyć, że powyższy wzór wynika z równości:

(1.56)

a to oznacza zarazem, że w tym przypadku także współczynnik elastyczności kosztów spełnia podwójną nierówność

Reasumując, trzeba podkreślić, że za pomocą formuły (1.53) wymusza się, aby były to koszty zmienne degresywnie, przy czym znalezienie wskaźnika WZK wymaga oszacowania parametrów funkcji regresji, a do tego niezbędna jest odpowiednia liczba danych.

Bartłomiej Nita [2007, s. 83] pisze m.in., że aby ocenić strukturę danego składnika kosztów pod względem reagowania na zmiany wielkości produkcji, wykorzystuje się współczynnik zmienności kosztów, który jest określony formułą:

(1.57)

Współczynnik ten przyjmuje wartości należące do przedziału od zera do jedności, a jego wartość informuje bezpośrednio o udziale kosztów zmiennych w kosztach całkowitych.

1.5. Interpretacja wskaźnika elastyczności – propozycja autorska

1.5.1. Interpretacja geometryczna elastyczności przeciętnej

Tak jak pojęciu pochodnej funkcji nadaje się stosowną interpretację geometryczną (a także fizyczną i ekonomiczną), podobnie można uczynić w przypadku pojęcia elastyczności[7]. Punktem wyjścia w tym przypadku będzie następująca definicja elastyczności:

(1.58)

gdzie: x₀ – wartość początkowa zmiennej x,

y₀ – wartość początkowa zmiennej y,

∆x – przyrost zmiennej x,

∆y – przyrost zmiennej y.

Rysunek 1.8 jest geometryczną ilustracją relacji (1.58), przy założeniu, że obie zmienne są nieujemne oraz wzrastają.

Z wykresu przedstawionego na rysunku 1.8 wynika, że [Piszczała, 1996, s. 58]:

– miara prędkości zmiany wartości funkcji w przedziale

oraz w świetle interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji, czyli

– miara prędkości zmiany wartości funkcji w punkcie x₀.

Otrzymujemy zatem:

(1.59)

Z zależności tej wynikają zaprezentowane dalej interpretacje wskaźnika elastyczności.

Rysunek 1.8. Interpretacja geometryczna elastyczności

Źródło: opracowanie własne.

Przypadek I

Jeżeli przyjmiemy, że:

(1.60)

oznacza to, że sieczna przechodząca przez punkty A(x₀, y₀) i B(x₁, y₁) znajduje się nad wykresem funkcji y = f(x).

Przypadek II

Jeżeli zaś założymy, że:

(1.61)

oznacza to, że sieczna przechodząca przez punkty A(x₀, y₀) i B(x₁, y₁) pokrywa się z wykresem funkcji y = f(x).

Przypadek III

Zakładając, że:

(1.62)

oznacza to, że sieczna przechodząca przez punkty A(x₀, y₀) i B(x₁, y₁) znajduje się pod wykresem funkcji y = f(x).

Jeśli weźmiemy pod uwagę model będący funkcją liniową o postaci y = ax + b, to dla rosnącego ciągu liczbowego argumentów funkcji: x₁< x2 < x3 < . . . < xn, otrzymamy rosnący mniej niż proporcjonalnie ciąg elastyczności dla tej funkcji, tj.:

E₁< E2 < E3 < . . . < En,

przy czym:

(1.63)

Opierając się na powyższym wzorze na elastyczność, możemy naszkicować wykres szeregu empirycznego, który będzie podstawą wyboru aproksymanty funkcji elastyczności (rys. 1.9).

Rysunek 1.9. Szereg empiryczny elastyczności funkcji liniowej

Źródło: opracowanie własne.

Zdaniem Jerzego Jakubczyca [2008, s. 286] błędne jest przyjmowanie, że elastyczność jest miernikiem stopnia nachylenia krzywej lub miernikiem stopnia krzywizny.

1.5.2. Interpretacja geometryczna elastyczności funkcji w punkcie

Zgodnie z geometryczną interpretacją pochodnej funkcji w danym punkcie jej wartość jest współczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, y₀). Jeżeli przyjmiemy, że x₁ oznacza miejsce zerowe tej stycznej, a  t = x₀ – x₁, wówczas możemy zapisać:

(1.64)

gdzie: f′(x₀) – pochodna funkcji f w punkcie x₀,

t – przyrost argumentu funkcji, skąd otrzymamy wzór na elastyczność punktową o postaci:

(1.65)

Weźmy pod uwagę dwa przypadki, które przybliżą istotę powyższej relacji.

Przypadek I

Jeśli funkcja ma postać:

(1.66)

wtedy dla x₀ > 0 styczna w tym punkcie przecina oś X w punkcie x₁ > 0.

Mając zatem ciąg relacji:

otrzymujemy:

(1.67)

Przypadek II

Jeśli funkcja ma postać:

(1.68)

wtedy dla x₀ > 0 styczna w tym punkcie przecina oś X w punkcie x₁ < 0.

Mając zatem ciąg relacji:

otrzymujemy:

(1.69)

Zauważmy, że w przypadku funkcji malejącej elastyczność może przyjmować wartości ujemne, co utrudnia interpretację wyniku. W związku z tym przyjmuje się, że miarą elastyczności funkcji w punkcie jest moduł (wartość bezwzględna) elastyczności. Wówczas mówi się, że funkcja f [Kanas, 2011, s. 140]:

1) jest elastyczna w punkcie x₀, gdy

2) nieelastyczna w punkcie x₀, gdy

3) ma jednostkową elastyczność w punkcie x₀, gdy

Opisana miara, zwana elastycznością, charakteryzuje się pewną stabilnością w czasie, co ma istotne znaczenie zwłaszcza przy tworzeniu prognoz [Jakubczyc, 2008, s. 285].

1.5.3. Interpretacja ekonomiczna wskaźnika elastyczności kosztów

Jeśli za punkt wyjścia przyjmiemy funkcję kosztów całkowitych, wówczas możemy zapisać, że:

(1.70)

gdzie: EK – wskaźnik elastyczności kosztów,

K₀ – poziom kosztów w okresie bazowym,

Q₀ – rozmiar produkcji w okresie bazowym,

– przeciętne koszty w okresie bazowym,

– tzw. przeciętny przyrost kosztów[8].

Powyższy iloraz jest miarą przeciętnej prędkości zmiany wartości funkcji kosztów w przedziale zaś pochodna funkcji kosztów w punkcie Q₀ jest miarą prędkości zmiany wartości tej funkcji w punkcie Q₀, zwaną także kosztem krańcowym funkcji w punkcie Q₀ [Piszczała, 1996, s. 80].

Weźmy pod uwagę różnicę prędkości dla dwóch kolejnych punktów, która będzie podstawą do zdefiniowania miary określającej szybkość zmiany prędkości:

(1.71)

Jest to miara określająca przyśpieszenie (opóźnienie) zmian wartości funkcji kosztów całkowitych na odcinku

Stąd otrzymamy relacje:

1) przyśpieszenie zmian wartości funkcji kosztów całkowitych:

(1.72)

2) opóźnienie zmian wartości funkcji kosztów całkowitych:

(1.73)

Rozważmy trzy sytuacje dla kosztów całkowitych.

1. Koszty zmienne progresywnie:

(1.74)

Oznacza to, że przeciętny przyrost kosztów całkowitych jest większy od przeciętnego kosztu całkowitego w okresie bazowym, czyli zachodzi zjawisko niekorzyści skali. Następuje zatem przyśpieszenie zmiany wartości funkcji kosztów całkowitych.

2. Koszty zmienne degresywnie:

(1.75)

Oznacza to, że przyrost przeciętny kosztów całkowitych jest mniejszy od przeciętnego kosztu całkowitego w okresie bazowym, czyli zachodzi zjawisko korzyści skali. Mamy zatem opóźnienie zmiany wartości funkcji kosztów całkowitych.

3. Koszty zmienne proporcjonalnie:

(1.76)

Oznacza to, że przyrost przeciętny kosztów całkowitych jest równy przeciętnemu kosztowi całkowitemu w okresie bazowym, co oznacza równomierną zmianę wartości funkcji kosztów całkowitych.

Jeśli skorzystamy z koncepcji zmodyfikowanego odchylenia względnego kosztów[9], która wymaga założenia o stałości współczynników elastyczności kosztów, wówczas otrzymujemy następujące formuły:

– relacja równości współczynników elastyczności,

a stąd (po niezbyt trudnych przekształceniach) otrzymujemy formuły:

(1.77)

lub w ujęciu procentowym:

(1.78)

gdzie współczynnik elastyczności kosztów:

dotyczy zmian w zakresie ustalonego przedziału, czyli: Q₀, Q₁, Q₂ ∈ <Q₀, Q₀+∆Q>.

Dla zależności liniowej y = ax + b otrzymamy bardzo prostą formułę obliczeniową prognozy zmiennej zależnej y, czyli: y₁ = y₀+ a×∆x, której uogólnienie przyjmie postać:

(1.79)

gdzie: dla i = 1, 2, ..., n – tempa zmian zmiennej niezależnej,

– współczynniki elastyczności dla kolejnych przedziałów zmiennej niezależnej[10].

Formułę obliczeniową (1.79) można również zapisać za pomocą tzw. wzoru rekurencyjnego o postaci:

(1.80)

Na zakończenie tego podpunktu przedstawiamy dwa przykłady liczbowe ukazujące praktyczne zastosowanie prezentowanych formuł.

Przykład 1.1

Przykład ten jest ilustracją ujęcia przedziałowego danych, które są przedstawione w postaci szeregu liczbowego. Znajdowanie elastyczności w tym przypadku oparte jest na formule elastyczności przeciętnej.

Tabela 1.4. Podejście przedziałowe do obliczania współczynnika elastyczności

Miesiące

Ujęcie przedziałowe

Produkcja (w szt.)

Koszty zmienne (w zł)

Styczeń

45–50

2400–2700

Luty

50–55

2700–2980

Marzec

55–60

2980–3240

Kwiecień

60–65

3240–3450

Maj

65–70

3450–3640

Źródło: opracowanie własne na podstawie pracy: Nowak, 2001, s. 56.

Zmiana procentowa produkcji w pierwszym przedziale wynosi:

Zgodnie ze wzorem (1.76) otrzymujemy poziom badanych kosztów zmiennych jako:

(100% + 12,5%)× 2400 = 2700 zł.

Gdyby nastąpiła zmiana produkcji z poziomu 45 do 48 sztuk, wówczas procentowa zmiana kosztów zmiennych wyniosłaby:

Oznacza to, że koszty zmienne osiągną poziom:

(100% + 7,5%)× 2400 = 2580 zł.

Jeśli chcemy znać poziom kosztów zmiennych przy produkcji na poziomie x = 57 sztuk, to wzór (1.79) prowadzi do następującego wyniku:

Przykład 1.2

Drugi przykład liczbowy ilustruje sposób znajdowania współczynnika elastyczności dla szeregu czasowego, gdy znana jest wyjściowa funkcja liniowa.

Koszty całkowite związane z produkcją wyrobu X w firmie kształtują się zgodnie z funkcją:

y = 6 zł/szt. × x + 1500 zł,

gdzie: x – zdolność produkcyjna firmy w sztukach wyrobu X.

Przeciętne miesięczne wykorzystanie zdolności produkcyjnej wynosi 250 szt. wyrobu X. W kolejnych czterech miesiącach wykorzystanie mocy produkcyjnych firmy i koszty całkowite przedstawiono w tabeli 1.5.

Na podstawie danych z tego przykładu można ustalić współczynniki elastyczności kosztów całkowitych produkcji wyrobu X w miesiącach 1–4, stosując wzór na elastyczność punktową. Ostatnia kolumna tabeli 1.4 przedstawia wyniki obliczeń.

Tabela 1.5. Dane dotyczące produkcji wyrobu X i współczynniki elastyczności kosztów

Miesiące

Wykorzystanie zdolności produkcyjnych firmy (w szt.)

(x)

Koszty produkcji wyrobu X

(w zł)

Współczynnik elastyczności kosztów

Zmienne

(a× x)

Stałe

(b)

Całkowite

(y)

1

150

900

1500

2400

2

200

1200

1500

2700

3

225

1350

1500

2850

4

250

1500

1500

3000

Źródło: opracowanie własne.

Jeśli przyjmiemy, że x = 175 szt. wyrobu X, wtedy „działa” elastyczność z pierwszego miesiąca. Korzystając ze wzoru (1.76), otrzymamy:

a zatem:

– tempo wzrostu kosztów całkowitych.

Ostatecznie wzrost produkcji wyrobu X o 25 sztuk powyżej minimalnego poziomu wykorzystania zdolności produkcyjnych podniesie koszty całkowite produkcji tego wyrobu do wartości:

2400 × (1+ 0,0625) = 2550 zł.

1.6. Uogólnienie wskaźnika dynamiki oraz wskaźnika tempa zmian

Jak słusznie zauważa Lech Bednarski, „wynik finansowy przedsiębiorstwa zależy przede wszystkim od wielkości osiągniętych przychodów ze sprzedaży oraz kosztów ich uzyskania” [1999, s. 126].

Ogólnie biorąc, można sformułować następującą relację:

(1.81)

gdzie: Wf – wynik finansowy,

P – przychody ze sprzedaży,

K – koszty uzyskania przychodów.

Zdaniem Andrzeja Piosika ustalenie wyniku (zysku, straty) wymaga ustalenia tzw. kosztów ekspirowanych, ponieważ – zgodnie z zasadą współmierności – „w celu określenia wyniku danego okresu, przychodom zrealizowanym w danym okresie przyporządkowujemy koszty ekspirowane tego okresu”. W związku z tym, że koszty te są przypisane do danego okresu, wpływają tym samym na wynik finansowy tegoż okresu [2006, s. 43].

Badanie wpływu dwóch podstawowych czynników na wynik finansowy to domena analizy przyczynowej, a także analizy porównawczej, na płaszczyźnie której znajdują się m.in. wzorcowe układy nierówności wskaźników [Żwirbla, 2007, s. 79 i n.]. Zdaniem niektórych ekonomistów w trakcie wstępnej analizy rachunku zysków i strat można posiłkować się następującą nierównością:

dK < dP < dZ,

(1.82)

gdzie: dK – dynamika kosztów,

dP – dynamika przychodów,

dZ – dynamika zysku [Skowronek-Mielcarek, 2007, s. 142].

Zasada racjonalnego gospodarowania zakłada konieczność minimalizowania kosztów oraz kształtowania odpowiedniej relacji kosztów do przychodów i należy jej przestrzegać, jeśli:

a) przychody ze sprzedaży są wyższe od kosztów,

b) dynamika przychodów jest większa od dynamiki kosztów.

Podkreślić należy, że cechą szczególną kosztów jest m.in. to, iż mają one charakter pierwotny względem przychodów, co oczywiście podkreśla ich rangę jako elementu decyzyjnego.

Koszty i przychody są wielkościami współzależnymi, co również stanowi specyfikę kosztów, które – ogólnie rzecz biorąc – są wartościami utraconymi w celu osiągnięcia określonych korzyści.

W świetle powyższych refleksji zasadne staje przybliżenie niektórych kwestii związanych nie tylko z analizą kosztów, lecz także z osiągnięciem zysku lub poniesieniem straty. W badaniach analitycznych spotykamy sytuacje, w których zmienna ekonomiczna może przechodzić:

od wartości dodatniej do wartości dodatniej,

od wartości ujemnej do wartości ujemnej,

od wartości ujemnej do wartości dodatniej,

od wartości dodatniej do wartości ujemnej.

Jeśli zachodzą pierwsze dwa przypadki, wówczas stosuje się klasyczne podejście, tj. korzysta się z pojęcia dynamiki oraz tempa zmian, co wynika z jednorodności analizowanej wielkości ekonomicznej w postaci strumienia „korzyści” lub strumienia „straty”.

Mamy wtedy:

– indywidualny wskaźnik dynamiki zjawiska A, (1.83)

– wskaźnik tempa zmian zjawiska A, (1.84)

gdzie: ∆A = A₁ – A₀, przy czym:

∆A  – wielkość odchylenia bezwzględnego (globalnego),

A₁ – poziom rozpatrywanego zjawiska w okresie badanym (bieżącym),

A₀ – poziom rozpatrywanego zjawiska w okresie bazowym (poprzednim).

Oba wskaźniki wiąże następująca relacja:

(1.85)

Ogólnie biorąc, tempo zmiany odpowiada na pytanie, o ile procent zmieniła się badana wielkość ekonomiczna w stosunku do stanu początkowego i to określenie stanowi podstawę uogólnienia wskaźnika tempa zmian.

Kolejne dwa przypadki badanego zjawiska A można określić jako przejście od „straty” do „korzyści” lub odwrotnie. Przejście od „straty” do „korzyści” oznacza zanikanie strumienia „straty” i pojawienie się strumienia „korzyści”, zaś w drugim przypadku jest odwrotnie, tzn. zanika strumień „korzyści” i pojawia się strumień „straty”. Możliwe staje się sumowanie tych zmian, pod warunkiem że są one oceniane za pomocą tej samej miary i to staje się celem dalszych rozważań.

W odniesieniu do ostatnich dwóch przypadków warto zaznaczyć, że już przed laty w publikacjach naukowych pojawiły się próby rozwiązania tego „węzła gordyjskiego” badań ilościowych [Wawrzyniak, Zwolanowska, 1998, s. 15–17][11]. Istotę tych propozycji można ująć następująco[12]:

– uogólniony wskaźnik tempa zmian, (1.86)

gdzie:

Następnie zauważmy, że:

1) jeśli – to następuje zmiana pozytywna zjawiska A (poprawa, wzrost),

2) jeśli – to następuje zmiana negatywna zjawiska A (pogorszenie, spadek).

Rację bytu ma także uogólniona miara dynamiki o postaci:

– uogólniony wskaźnik dynamiki zjawiska A.

(1.87)

Powyższy problem podjął także Dariusz Wędzki [2009, s. 85–86], który uogólnił przedstawioną propozycję w sposób następujący:

(1.88)

oraz

(1.89)

Oba wskaźniki (1.86) oraz (1.87) wiąże następująca relacja:

(1.90)

1.6.1. Interpretacja geometryczna uogólnionego wskaźnika tempa zmian – propozycja autorska

Uogólniony wskaźnik tempa zmian można określić, opierając się na pojęciu odległości („metryki”) punktów na osi liczbowej. Przyjmijmy następującą definicję:

(1.91)

gdzie:

oznacza odległość między punktami A₀ i A₁ na osi liczbowej, przy czym:

– odległość punktu A₀ od zera na osi liczbowej,

– odległość punktu A₁ od zera na osi liczbowej.

Uogólniony wskaźnik tempa zmian jest addytywny, a zatem otrzymamy:

1) dla sytuacji

(1.92)

2) dla sytuacji

(1.93)

Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak [2005, s. 22–24] przedstawiają różne warianty zmian ilościowych zjawiska X w formie graficznej (rys. 1.10)[13].

Rysunek 1.10. Warianty zmian ilościowych zjawiska A

Źródło: na podstawie pracy: Ćwiąkała-Małys, Nowak, 2005, s. 22.

Koncepcja znajdowania tempa zmiany badanej wielkości ekonomicznej przy wykorzystaniu wartości bezwzględnej została dostrzeżona przed laty przez Marię Sierpińską i Tomasza Jachnę, jednakże bez podania autorów tej propozycji [Sierpińska, Jachna, 2004, s. 69–70]. Także Monika Marcinkowska pisze o dylemacie obliczania tempa zmian, gdy w okresie bazowym występuje wielkość ujemna, i przywołuje propozycję stosowania wartości bezwzględnej [2007, s. 258–259].

Poniżej zostanie przedstawiony przykład liczbowy podany przez M. Sierpińską i T. Jachnę wraz z ich interpretacją.

Przykład 1.3

Przykładowe wyniki finansowe spółki X w kolejnych latach kształtowały się następująco:

rok:

1998

1999

2000

2001

2002

2003

wynik finansowy:

+100

+80

–30

–10

–20

+40

Obliczmy tempo zmian wyniku finansowego przy zmiennej bazie porównania:

rok 1999:

co oznacza spadek zysku o 25% w porównaniu z rokiem poprzednim;

rok 2000:

co oznacza spadek wyniku o 137,5% w relacji do roku poprzedniego;

rok 2001:

co oznacza wzrost wyniku finansowego o 66,6% w porównaniu z rokiem poprzednim;

rok 2002:

co oznacza wzrost straty o 100,0% w porównaniu z rokiem poprzednim;

rok 2003:

co oznacza wzrost wyniku o 300,0% w porównaniu z rokiem poprzednim.

Interpretacja dotycząca wyniku finansowego za 2000 rok oraz za 2003 rok budzi wątpliwości, jeśli bowiem w jednym roku występuje zysk, a w drugim strata, to interpretacja nie może być taka sama, jak w przypadku gdy w obu latach pojawia się zysk lub strata. Dodać należy, że także inni autorzy posiłkują się podobną interpretacją otrzymanych wyników [Pałczyńska-Gościniak, 2001, s. 18].

1.6.2. Interpretacja ekonomiczna tempa zmiany badanej wielkości ekonomicznej

Przyjmijmy następujące określenia:

1) przedział „korzyści”

2) przedział „straty”

3) przedział „pozytywnego efektu zmiany” gdzie: (A₀, 0) – przedział „straty”, (0, A₁) – przedział „korzyści”,

4) przedział „negatywnego efektu zmiany” gdzie: (A₁, 0) – przedział „straty”, (0, A₀) – przedział „korzyści”,

5) odchylenie jest dodatnie, gdy:

6) odchylenie jest ujemne, gdy:

Interpretujemy kolejne przypadki tempa zmiany gdzie:

przy czym – to odległość między stanem „końcowym” a stanem „początkowym” badanego zjawiska A.

1. Przedział „korzyści”:

1. a) dla ∆A > 0 – jaki procent wyjściowej „korzyści” w ujęciu bezwzględnym stanowi wzrost tej „korzyści” (tj. o ile procent wzrosła „korzyść”),

1. b) dla ∆A < 0 – jaki procent wyjściowej „korzyści” w ujęciu bezwzględnym stanowi spadek tej „korzyści” (tj. o ile procent zmalała „korzyść”).

2. Przedział „straty”:

1. a) dla ∆A > 0 – jaki procent wyjściowej „straty” w ujęciu bezwzględnym stanowi spadek tej „straty” (tj. o ile procent zmalała „strata”),

1. b) dla ∆A < 0 – jaki procent wyjściowej „straty” w ujęciu bezwzględnym stanowi wzrost tej „straty” (tj. o ile procent wzrosła „strata”).

3. Przedział „strata” + przedział „korzyść” – ze wzoru (1.92) mamy:

(1.94)

Liczba „+100%” oznacza całkowite zniwelowanie „straty”, zaś stojący za nią ułamek określa osiągniętą „korzyść” wyrażoną w procentach „straty”, co łącznie wyraża pozytywny efekt zmiany.

1. Przedział „korzyść” + przedział „strata” – ze wzorów (1.93) mamy:

(1.95)

Liczba „–100%” oznacza całkowite zniwelowanie „korzyści”, zaś stojący za nią ułamek określa poniesioną „stratę” wyrażoną w procentach „korzyści”, co łącznie wyraża negatywny efekt zmiany.

Oznacza to, że różnokierunkowe strumienie „korzyści” i „niekorzyści” stają się addytywne, gdyż wyrażone są w tym samym mierniku.

Tomasz Berent wykorzystawszy tradycyjną formułę obliczeniową na wskaźnik tempa zmiany zjawiska, pisze m.in.: „Przy analizie odległości względnych należy pamiętać o zawiłościach interpretacyjnych z tym związanych. Na przykład kiedy odległość względna rentowności operacyjnych wynosi 100%, oznaczać to może zarówno podwojenie zysków, jak i podwojenie strat” [2013, s. 97].

Okazuje się, że aby stwierdzić, z jakim przypadkiem mamy do czynienia, wystarczy wziąć pod uwagę dwa wskaźniki – tradycyjny oraz uogólniony. Prowadzi to do zestawienia dwudzielnej tablicy 1.6.

Tabela 1.6. Klasyfikacja zmian ilościowych badanego zjawiska

Wskaźnik dynamiki zjawiska

Tempo zmiany:

T > 0

T < 0

d > 1

Wzrost „korzyści”

A₁ > A₀ > 0

Wzrost „straty”

A₁ < A₀ < 0

0 < d < 1

Spadek „straty”

A₀ < A₁ < 0

Spadek „korzyści”

A₀ > A₁ > 0

d < 0

Przejście od „straty” do „korzyści”

A₀ < 0 < A₁

Przejście od „korzyści” do „straty”

A₁ < 0 < A₀

Objaśnienia: ∆A = A₁ – A₀, gdzie A₀ – wartość początkowa badanego zjawiska; A₁ – wartość końcowa badanego zjawiska.

Źródło: opracowanie własne.

Przykład 1.4

Przykład ten przedstawia wykorzystanie klasycznego wskaźnika dynamiki oraz uogólnionego wskaźnika tempa zmiany do opisu wybranego elementu rachunku zysków i strat w firmie X za lata 2005–2011 (tab. 1.7).

Tabela 1.7. Wielokierunkowa analiza wyniku finansowego z działalności operacyjnej

Dane wyjściowe

Wskaźnik tempa zmiany oraz wskaźnik dynamiki

Interpretacja

Rok 2005

Wf₀ = 2550

Wzrost zysku operacyjnego o 40%:

radykalna zmiana pozytywna

Rok 2006

Wf₁ = 3570

Rok 2006

Wf₀ = 3570

Spadek zysku operacyjnego o 20%:

umiarkowana zmiana negatywna

Rok 2007

Wf₁ = 2856

Rok 2007

Wf₀ = 2856

Przejście od zysku operacyjnego do straty operacyjnej, co stanowi 150% utraconego „zysku”:

umiarkowana zmiana negatywna

Rok 2008

Wf₁ = – 1428

Rok 2008

Wf₀ = – 1428

Wzrost straty operacyjnej o 50%:

radykalna zmiana negatywna

Rok 2009

Wf₁ = – 2142

Rok 2009

Wf₀ = – 2142

Spadek straty operacyjnej o 25%

umiarkowana zmiana pozytywna

Rok 2010

Wf₁ = – 1606,6

Rok 2010

Wf₀ = – 1606,6

Przejście od straty operacyjnej do zysku operacyjnego, co stanowi 240% zniwelowanej „straty”:

radykalna zmiana pozytywna

Rok 2011

Wf₁ = 2249,1

Źródło: opracowanie własne.

Przy interpretacji osiągniętego wyniku finansowego z działalności operacyjnej w danym roku w stosunku do roku poprzedniego sięgnięto m.in. po koncepcję oceny, którą przedstawiono na rysunku 1.10.

Dodać należy, że zaproponowana koncepcja metodyczna daje możliwość analizowania zmian progu rentowności w relacji do planowanej wielkości sprzedaży, co zostanie przybliżone w ostatnim rozdziale tej pracy.

1.7. Odchylenie względne jako narzędzie wspomagające badania analityczne

1.7.1. Uwagi wstępne

W analizie ekonomicznej (w tym także w analizie kosztów) szerokie zastosowanie znajduje tzw. metoda porównań (zwana też metodą odchyleń), gdyż uważa się, że dokonywanie porównań zjawisk gospodarczych z odpowiednimi podstawami odniesienia zapewnia tej analizie obiektywny charakter.

Porównywać można zjawiska gospodarcze jednorodne, tj. wyrażające tę samą treść ekonomiczną, oraz wielkości o różnej treści ekonomicznej, lecz wzajemnie ze sobą powiązane i od siebie zależne. W badaniach analitycznych często, oprócz odchylenia bezwzględnego zjawiska, oblicza się tzw. odchylenie względne. To ostatnie wylicza się w przypadku dwóch różnorodnych zjawisk, które są ze sobą powiązane związkiem przyczynowo-skutkowym (np. płace i produkcja, koszty i produkcja).

Jeżeli przyjmiemy, że A – zjawisko podstawowe, zaś B – zjawisko towarzyszące, to możemy zapisać:

przy czym:

1) odchylenie względne zjawiska A (w stosunku do zjawiska B):

(1.96)

gdzie: – wskaźnik dynamiki zjawiska podstawowego A,

– wskaźnik dynamiki zjawiska towarzyszącego B;

2) rzeczywista zmiana zjawiska A z tytułu zmiany tempa zjawiska towarzyszącego B:

(1.97)

Z powyższej formuły wynika następująca zależność:

odchylenie względne zjawiska A = odchylenie bezwzględne zjawiska A – rzeczywista zmiana zjawiska A z tytułu zmiany tempa zjawiska B.

Tabela 1.8 przedstawia warianty, które są wynikiem przedstawionych rozważań dotyczących powiązania odchylenia bezwzględnego z odchyleniem względnym badanego zjawiska.

Tabela 1.8. Warianty rozkładu odchylenia bezwzględnego zjawiska podstawowego

Relacja między dynamiką zjawiska podstawowego a dynamiką zjawiska towarzyszącego

Tendencja zjawiska towarzyszącego

Malejąca

Rosnąca

Źródło: na podstawie pracy: Żwirbla, 2002a, s. 130–131.

Klasyczne podejście do odchylenia względnego kosztów wyraża wzór:

(1.98)

gdzie: K₂ – koszty w okresie planowanym,

– założenie proporcjonalności kosztów do produkcji,

K₁ – koszty w okresie bieżącym,

(Pr)₂, (Pr)₁ – produkcja w okresie planowanym oraz w okresie bieżącym.

Istota odchylenia względnego w klasycznym ujęciu sprowadza się do poddania badaniu przyczynowemu modelu typu: ekonomiczna równość tożsamościowa. W przypadku kosztów punktem wyjścia jest model o postaci:

(1.99)

gdzie: K – koszty (czynnik wynikowy),

P – produkcja (czynnik ilościowy),

KP – wskaźnik poziomu kosztów (czynnik jakościowy), przy czym:

(1.100)

Poddając zależność (1.99) działaniu metody kolejnych podstawień, otrzymujemy następujące odchylenia cząstkowe:

oraz

(1.101)

Przekształcamy drugi wzór i otrzymujemy:

(1.102)

Oznacza to, że odchylenie względne kosztów to, inaczej mówiąc, odchylenie cząstkowe wywołane zmianą czynnika jakościowego, jakim jest wskaźnik poziomu kosztów.

1.7.2. Koncepcja skorygowanego względnego odchylenia kosztów

Już przed laty Elżbieta Burzym oraz Bronisław Micherda zwrócili uwagę na dyskusyjny charakter przyjmowanego założenia o proporcjonalności zmian badanej wielkości ekonomicznej w zależności od rozmiarów prowadzonej działalności, zwłaszcza w przypadku analizy kosztów pośrednich [Burzym, 1984, s. 138 i n.; Micherda, 1982, s. 84–92; 2001, s. 108–109].

Okazuje się, że koncepcja zmodyfikowanego odchylenia względnego kosztów, którą zaproponował B. Micherda, wymaga założenia o stałości współczynnika elastyczności kosztów. Dowodzi tego następująca zależność:

(1.103)

z której (po niezbyt trudnych przekształceniach) otrzymujemy formułę:

(1.104)

gdzie:

– współczynnik elastyczności kosztów.

(1.105)

Następnie załóżmy, że co sprawia, że skorygowane odchylenie warunkowe przyjmuje następującą postać:

(1.106)

Zauważmy, że jeśli: e = 1 (co oznacza, że koszty są zmienne proporcjonalnie), wówczas nowa formuła przekształca się w tradycyjną, tj.:

(1.107)

Omówione modyfikacje mają na celu urealnienie rachunku odchylenia względnego przez bardziej prawidłowe określenie podstawy odniesienia dla badanych kosztów. Tą drogą możemy przykładowo oszacować wielkość kosztów ogólnozakładowych w roku przyszłym, znając koszty roku bieżącego i ubiegłego oraz wiedząc o ile procent wzrośnie produkcja, co przedstawia przykład 1.5.

Przykład 1.5

W przedsiębiorstwie „Ilavia” produkcja oraz koszty ogólnego zarządu w trzech kolejnych latach kształtowały się tak, jak przedstawiono w tabeli 1.9.

Tabela 1.9. Produkcja oraz koszty ogólnego zarządu przedsiębiorstwa „Ilavia”

Wyszczególnienie

Rok ubiegły

(0)

Rok bieżący

(1)

Rok przyszły

(2)

Wartość produkcji w cenach sprzedaży (w tys. zł)

120,4

150,5

180,6

Koszty ogólnego zarządu (w tys. zł)

23,0

25,3

K₂ = 27,3

Źródło: opracowanie własne.

Opierając się na danych zawartych w tabeli 1.9, można oszacować wielkość kosztów ogólnego zarządu w roku przyszłym, zakładając, że ich zmienność pozostanie bez zmian, zaś produkcja wzrośnie o 20%. W tym celu wykonujemy następujące obliczenia:

1) znajdujemy współczynnik elastyczności kosztów:

2) obliczamy prognozę wielkości kosztów ogólnego zarządu w roku przyszłym:

a zatem K₂ ≈ 27,3 tys. zł.

W ten sam sposób można prognozować poszczególne składniki kosztów ogólnego zarządu, w tym koszty administracyjno-gospodarcze oraz koszty ogólnoprodukcyjne, znajdując współczynniki elastyczności dla każdej pozycji tychże kosztów [zob. Narkiewicz, 2002, s. 124–125].

1.8. Próba ilościowego ujęcia zjawiska histerezy (remanencji) kosztów

Pojęcie histereza (pochodzące od greckiego słowa hystėrėsis – pozostawanie w tyle) związane jest z właściwościami niektórych przemian fizycznych, polegających na tym, że ich przebieg jest różny w zależności od kierunków tych przemian [Słownik…, 1963, s. 275].

W ujęciu encyklopedycznym histereza to „zjawisko polegające na tym, że zmiany parametrów charakteryzujących stan układu (np. ciała) lub jego właściwości wywołane zmianami czynników zewnętrznych zależą od stanów poprzedzających dany stan (tzn. od historii układu)” [Nowa encyklopedia…, 1995, s. 761].

Specjaliści od elektryczności i magnetyzmu wyjaśniają zaś, że histereza ferromagnetyczna polega na niejednoznacznej zależności namagnesowania od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego, co graficznie obrazuje tzw. pętla histerezy, natomiast pod określeniem remanencji ukrywa się tzw. pozostałość magnetyczna[14].

Okazuje się, że podobną anomalię można dostrzec w zachowaniu się kosztów przy spadku rozmiarów produkcji, na co już dość dawno zwróciła uwagę Alicja Jarugowa, stwierdzając, że przy znacznej redukcji rozmiarów produkcji poziom kosztów zmiennych maleje wolniej niż spadek rozmiarów produkcji [1986, s. 52; 2001, s. 100]. Uważa się, że istota zjawiska histerezy (zwanego też remanencją lub bezwładnością) wyraża się w tym, iż spadek kosztów przy spadku rozmiarów produkcji bywa zwykle wolniejszy od wzrostu kosztów przy analogicznym wzroście produkcji.

Edward Nowak, opisując w Leksykonie rachunkowości hasło „Histereza kosztów”, stwierdza m.in.: „Spadek kosztów wywołany zmniejszeniem wielkości produkcji jest wolniejszy od wzrostu kosztów przy analogicznym wzroście rozmiarów produkcji. Zjawisko histerezy kosztów może dotyczyć różnych elementów kosztów” [Nowak (red.), 1996, s. 61–62].

W kontekście wcześniej uczynionej uwagi, dotyczącej pojęcia histerezy oraz remanencji ferromagnetycznej, słuszniejsze wydaje się stosowanie określenia „histereza kosztów” lub „bezwładność kosztów” niż „remanencja kosztów”.

Włodzimierz Świetlik szczegółowo analizuje zjawisko histerezy (remanencji) kosztów w przedsiębiorstwie, opierając się na graficznej prezentacji. Stwierdza on m.in., że przy histerezie utrzymywana dotychczas skala produkcji staje się niepotrzebna, co skłania firmę do obniżenia jej wielkości, przy czym nie ulega zmianie wielkość czynników produkcji oraz warunków technicznych, technologicznych, organizacyjnych i administracyjnych [1999, s. 139].

Juliusz Siedlecki podkreśla zaś bardzo istotny fakt, stwierdzając, że model rekurencyjny odzwierciedla zjawisko histerezy, które polega na reakcji jednych procesów ekonomicznych na inne z pewnym opóźnieniem, i że sprawdzenie, czy w zbiorze zmiennych (tj. szeregów czasowych) występuje zjawisko histerezy, powinno być tak samo ważne, jak analiza korelacyjna [2000, s. 60, 84].

Niektórzy ekonomiści mówią o zjawisku histerezy (remanencji) całkowitych kosztów stałych oraz całkowitych kosztów zmiennych, zaś istotę tego zjawiska przedstawiono na rysunku 1.11.

Matematycznie zapis przedstawionego zachowania się kosztów przy zmianie wielkości działalności można ująć następująco:

etap I: wzrost działalności:

etap II: spadek działalności: ale K₃ > K₁.

Dawid Habela i Robert Polaczek twierdzą [2001, s. 59], że zjawisko histerezy kosztów własnych dotyczy głównie kosztów pracy – zarówno kosztów bezpośrednich, jak i pośrednich – co wynika ze sztywności poziomu zatrudnienia, czyli niemożności szybkiego dostosowania liczby pracowników do spadku skali działalności. Zjawisko to dotyczy również majątku, zwłaszcza rzeczowego majątku trwałego, a także zapasów i należności.

Rysunek 1.11. Zjawisko histerezy kosztów

Źródło: na podstawie pracy: Nowak, 1994, s. 67.

Istota skorygowanego odchylenia względnego kosztów wyraża się w fakcie kształtowania obecnego poziomu kosztów przez stan poprzedni tychże kosztów, co wynika z założenia stałości współczynnika elastyczności kosztów w dwóch sąsiednich okresach.

Podejście to nawiązuje zatem do istoty histerezy, którą wyraża podane wcześniej hasło encyklopedyczne. Przy zmniejszaniu się skali produkcji koszty charakteryzuje swoista „inercja”, tak jak skutkiem histerezy sprężystej jest niezupełna odwracalność dokonanego odkształcenia. Histerezę (remanencję) kosztów można więc wyjaśnić za pomocą skorygowanego odchylenia względnego kosztów.

Przyjmijmy założenie, że wzrostowi produkcji z poziomu P1 do P₂ odpowiada zmiana kosztów z K₁ do K₂, przy czym – zgodnie z formułą (1.104):

(1.108)

gdzie: – współczynnik elastyczności kosztów.

Następnie przyjmijmy, że produkcja spada z poziomu P₂ do P₁, natomiast zmienność kosztów zostaje zachowana, a wówczas otrzymamy:

(1.109)

Zauważmy, że możemy zapisać następujące zależności:

oraz gdzie: ∆P = P₂ – P₁,

a zatem otrzymujemy wyrażenie:

(1.110)

Rozpatrzmy następnie różnicę: czyli:

a stąd (po niezbyt trudnych przekształceniach algebraicznych) otrzymujemy ostatecznie:

(1.111)

Kierując się zasadą analogii (w świetle rozumienia remanencji przez fizyków), proponuje się następujące określenie:

– remanencja (pozostałość) kosztów,

(1.112)

przy założeniu, że P₂ → P₁, gdzie: P₂ > P₁. Oznacza to, że znak wyrażenia (DRK) zależy tylko od znaku iloczynu: e(1 – e).

Mamy zatem następujące sytuacje:

1) gdy e = 0 – koszty stałe lub gdy e = 1 – koszty zmienne proporcjonalnie, wówczas: D′K = 0 oraz – zjawisko histerezy kosztów nie występuje,

2) gdy 0 < e < 1 – koszty zmienne degresywnie, wówczas: D′K > 0 oraz – zjawisko histerezy kosztów występuje,

3) gdy e > 1 – koszty zmienne progresywnie lub gdy e < 0 – koszty zmienne regresywnie, wówczas: D′K < 0 oraz – zjawisko histerezy kosztów występuje.

Przykład 1.6

Firma „Tadeusz” specjalizuje się w produkcji drzwi antywłamaniowych. W dwóch kolejnych latach osiągnięto wzrost produkcji sprzedanej odpowiednio o 50% oraz 25% w stosunku do roku poprzedniego. Koszty pracy żywej były podporządkowane zasadzie stałości współczynnika elastyczności kosztów.

Tabela 1.10. Produkcja oraz koszty pracy żywej w firmie „Tadeusz”

Wyszczególnienie

Rok 1

Rok 2

Rok 3

Rok 4

Koszty (w mln zł)

50

80

104

Produkcja (w mln zł)

160

240

300

240

Źródło: opracowanie własne.

W wyniku załamania się rynku produkcja sprzedana w roku czwartym spadła do poziomu z roku trzeciego, co wywołało zjawisko histerezy kosztów, gdyż nie było możliwe natychmiastowe zwolnienie zatrudnionych pracowników. W tej sytuacji możliwe jest określenie remanencji (pozostałości) kosztów zmiennych.

Etap I

1. Obliczamy współczynnik elastyczności kosztów:

2. Znajdujemy zaplanowany poziom kosztów w roku trzecim:

Etap II

1. Biorąc pod uwagę, że produkcja spadła z poziomu P₃ (rok trzeci) do poziomu P₁ (rok pierwszy), i przyjmując, że współczynnik elastyczności kosztów nie uległ zmianie, („inercja” kosztów), otrzymamy:

czyli:

2. Znajdujemy remanencję (pozostałość) kosztów:

W literaturze przedmiotu spotkać można różne podziały przyczyn remanencji kosztów [Habela, Polaczek, 2001, s. 60–61]. Często przyczyny te dzieli się na:

zewnętrzne – kierownictwo nie ma na nie wpływu,

wewnętrzne – związane z wolą kierownictwa,

wewnętrzne – wynikające z niepełnej wiedzy kierownictwa o stanie faktycznym, w jakim znajduje się przedsiębiorstwo.

Ogólnie należy stwierdzić, że histereza (bezwładność) kosztów wynika często z trudności szybkiego dostosowania czynników produkcji do spadku produkcji [Sołtys, 2003, s. 31].

1.9. Metody wyodrębniania kosztów stałych i kosztów zmiennych

Ogólnie rzecz biorąc, w przedsiębiorstwach wykorzystuje się pięć podstawowych metod analizy i podziału koszów na stałe i zmienne, a mianowicie: księgowa, studiów technologicznych, graficzna, najwyższego i najniższego punktu oraz regresji.

Można zauważyć, że im dana metoda jest bardziej złożona, tym rezultaty za jej pomocą otrzymane są lepsze (rys. 1.12).

Rysunek 1.12. Metoda analizy kosztów z punktu widzenia ich złożoności i precyzji

Źródło: na podstawie pracy: Wnuk-Pel, 2009, s. 141.

Poniżej syntetycznie, w ujęciu tabelarycznym, zostaną przedstawione kolejno poglądy polskich ekonomistów na temat metod wyodrębniania kosztów zmiennych oraz kosztów stałych.

1.9.1. Metoda księgowa

Zaletą metody księgowej jest uwzględnianie przesłanek merytorycznych przy wyodrębnianiu kosztów stałych i zmiennych, zaś główną wadą jest subiektywny sposób podziału tych kosztów, co sprawia, że trudno ją uznać za metodę dokładną. W tabeli 1.11 przedstawiono poglądy niektórych ekonomistów na temat tej metody.

Tabela 1.11. Metoda księgowa według różnych ekonomistów

Autor

Definicja

Wojciech A. Nowak [2001, s. 437]

„Metoda ta polega na analizie poszczególnych składników kosztów całkowitych danego okresu pod kątem ich wrażliwości na zmiany wolumenu produkcji. Analizę przeprowadzają rachunkowcy przy współudziale specjalistów od produkcji. W jej toku osobno grupuje się składniki wrażliwe na wolumen produkcji i składniki niewrażliwe na ten czynnik. Suma składników wrażliwych podzielona przez wolumen produkcji daje jednostkowy koszt zmienny, zaś suma składników niewrażliwych – koszt stały”

Waldemar Gos [2003, s. 183]

„Metoda księgowa polega na tym, że osoba lub grupa osób, korzystając z informacji systemu księgowości, w sposób subiektywny dzieli koszty na zmienne i stałe. Podstawową wadą metody księgowej może być jej niedokładność. Przykładowo, koszt zużycia materiałów można zakwalifikować do kosztów zmiennych. Bardziej szczegółowa analiza może jednak wykazać, że część kosztu zużycia materiałów należy do kosztów stałych, np. w zakresie materiałów używanych do utrzymania czystości”

Janina Wermut [1999, s. 19–20]

„Analiza księgowa polega na przeglądzie sposobu reagowania poszczególnych elementów kosztów na zmiany wielkości produkcji i umownym zaliczeniu ich do stałych lub zmiennych. Koszty zmienne degresywne należy – poprzez dalszą analizę – rozłożyć na element stały i zmienny proporcjonalny, tak żeby w ostatecznym ujęciu określić łącznie poziom kosztów stałych i zmiennych, proporcjonalnych do wielkości produkcji. Przegląd taki koncentruje się na danych ewidencji księgowej, sposobach pomiaru, wyceny i rozliczania kosztów. Wykorzystuje się tutaj doświadczenie i rozsądny osąd personelu księgowego, jak też innych pracowników jednostki gospodarczej. Ze względu na niedużą pracochłonność jest to bardzo przydatny sposób analizy kosztów, chociaż posiada pewne wady. Po pierwsze daje nieprecyzyjne wyniki, a po drugie może być nieobiektywny, jako że decyzje oparte na przeprowadzonym szacunku kosztów mogą mieć konsekwencje dla tych właśnie pracowników, którzy dokonali oszacowania kosztów”

Małgorzata Paszula [2006, s. 571]

„Metoda księgowa (analizy księgowej) polega na subiektywnej kwalifikacji kosztów do stałych lub zmiennych przez pracownika działu księgowości na podstawie posiadanego przez tego pracownika doświadczenia i znajomości zachowania się kosztów w przeszłości pod wpływem zmian stopnia wykorzystania mocy produkcyjnych przedsiębiorstwa. Jest to metoda bardzo prosta. Jej podstawową wadą jest natomiast subiektywizm w kwalifikowaniu kosztów, co wiąże się z możliwością wystąpienia błędu szacunku. Dlatego też stosowanie jej jest możliwe praktycznie w przedsiębiorstwach małych, o prostym procesie produkcji”

Piotr Urbanek [2000, s. 37]

„Metoda ta polega na dokonywaniu przydziału poszczególnych elementów kosztów do kosztów stałych bądź zmiennych »z góry«, na podstawie ewidencji księgowej. Obserwacja kształtowania się kosztów na przestrzeni wielu okresów sprawozdawczych umożliwia ustalenie sposobu reagowania poszczególnych elementów kosztów na zmiany rozmiarów produkcji. Metoda ta pozwala na wyodrębnienie różnych rodzajów kosztów z różną dokładnością”

Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji.

1.9.2. Metoda inżynieryjna

Metodę inżynieryjną, zwaną też metodą studiów technologicznych, uważa się za bardziej precyzyjną i mniej subiektywną od metody księgowej. Tabela 1.12 zawiera poglądy niektórych ekonomistów dotyczące założeń i możliwości stosowania tej metody.

Tabela 1.12. Metoda inżynieryjna według różnych ekonomistów

Autor

Definicja

Wojciech A. Nowak [2001, s. 438]

„Metoda ta polega na pomiarze bądź szacowaniu nakładów na konstytuowanie produktu oraz na podtrzymanie zdolności produkcyjnej, klasyfikowaniu tychże nakładów na zależne od zmian wolumenu produkcji i niezależne od tego rodzaju zmian, a następnie na ich wycenie. Suma wycenionych nakładów zależnych od zmian wolumenu produkcji daje koszty zmienne, zaś suma wycenionych nakładów niezależnych od zmian wolumenu produkcji daje koszty stałe. Dalsze postępowanie jest analogiczne jak w metodzie księgowej”

John J. Glynn;

John Perrin;

Michael P. Murphy [2003, s. 292–293]

„Wbrew nazwie, inżynierską metodę szacowania kosztów może stosować każdy księgowy lub menedżer dysponujący fachową wiedzą z zakresu procesów produkcji czy dystrybucji. Metoda ta jest szczególnie odpowiednia przy wprowadzaniu nowych produktów, procesów lub kanałów dystrybucji, kiedy to koszty historyczne odgrywają niewielką rolę, ale można ją też wykorzystywać do okresowych przeglądów dokładności i wiarygodności kalkulacji opartej na rachunku kosztów historycznych. (…) Metoda inżynierska jest szczególnie odpowiednia tam, gdzie rozważa się zmianę produktów, wielkości produkcji, metod dystrybucji itd.”

Janina Wermut [1999, s. 20–21]

„Metoda analizy inżynieryjnej kosztów polega na pomiarze zużycia czynników produkcji na podstawie precyzyjnej analizy technicznej produktu oraz technologii i organizacji procesu produkcyjnego. Krok po kroku analizuje się czas operacji składających się na proces produkcyjny, a następnie dokonuje się jego wyceny, z uwzględnieniem kwalifikacji i wynagrodzenia pracowników. Jeśli chodzi o zużycie materiałów, to wynika ono najczęściej z dokumentacji projektowej lub z analizy konstrukcji i receptury produktu. Inne koszty ustala się w drodze analizy inżynieryjnej procesu produkcyjnego. Poczynione obserwacje pozwalają ustalić zależność zużycia wielkości produkcji. Omawiana droga dochodzenia do powyższych ustaleń daje jednocześnie możliwość zweryfikowania wielkości zużycia z punktu widzenia jego celowości. Tym samym stanowi element kontroli poziomu zużycia. Wadą jej jest duża czasochłonność i kosztochłonność. Analizę inżynieryjną kosztów przeprowadzają na ogół technicy, współpracując z księgowymi, w celu dokonania wyceny ilościowo ustalonego zużycia”

Małgorzata Paszula [2006, s. 571–572]

„Metoda inżynieryjna (studiów technologicznych) bazuje przy ustalaniu kosztów zmiennych i stałych na ustaleniu wielkości zużycia czynników produkcji w oparciu o bardzo dokładne analizy produktu oraz procesu technologicznego. Ustalenia technologów produkcji dają podstawę wyceny kosztów dla potrzeb rachunkowości. Metoda ta oceniana jest jako bardzo pracochłonna i zarazem kosztowna”

Piotr Urbanek [2000, s. 37]

„Metoda ta polega na drobiazgowej analizie strumienia materiałów, robocizny itp. koniecznego do zrealizowania określonej produkcji. Określony fizycznie strumień wejścia jest następnie wyrażany w kategoriach pieniężnych. Podejście to wymaga dużego nakładu pracy i jest zazwyczaj kosztowne, jednak stosowane w odpowiednich warunkach (ścisły fizyczny związek między strumieniem wejścia i wyjścia) daje stosunkowo dokładne rezultaty”

Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji.

1.9.3. Metoda graficzna

Metodę graficzną, podobnie jak metodę inżynieryjną, uważa się za bardziej precyzyjną i mniej subiektywną od wspomnianej już metody księgowej. W tabeli 1.13 zaprezentowano poglądy niektórych ekonomistów na temat wad i zalet jej stosowania.

Tabela 1.13. Metoda graficzna według różnych ekonomistów

Autor

Definicja

Edward Nowak [2012, s. 80–81]

„Punktem wyjścia w metodzie analizy wykresów korelacyjnych są dane ewidencyjne dotyczące wielkości produkcji oraz rozpatrywanych składników kosztów zarejestrowane w kolejnych miesiącach ustalonego podziału czasowego (np. w roku obrotowym). Zakłada się przy tym, że kwoty poszczególnych pozycji kosztów z różnych miesięcy spełniają warunek porównywalności. Chodzi o to, aby wyeliminować wpływ różnych czynników, poza wielkością produkcji, na zmiany poziomu kosztów.

Załóżmy w ogólnym przypadku, że koszty całkowite K obejmują m różnych składników, które oznaczymy przez Ki, gdzie i = 1, 2, …, n. Dla każdego składnika kosztów Ki należy sporządzić wykres korelacyjny, który przedstawia związek tego składnika z wielkością produkcji Q. Jeśli zostało wyodrębnionych m składników kosztów, to otrzyma się m różnych wykresów korelacyjnych, sporządzanych na prostokątnych układach współrzędnych.

Kwalifikacja poszczególnych składników kosztów do kosztów stałych lub kosztów zmiennych odbywa się na podstawie analizy rozrzutu punktów empirycznych, odpowiadających wynikom obserwacji wielkości produkcji i pozycjom kosztów całkowitych. Na podstawie oceny wzrokowej rozrzutu punktów empirycznych na wykresie dokona się zazwyczaj trafnej kwalifikacji poszczególnych pozycji kosztów do kosztów stałych i zmiennych. Smuga punktów na wykresie sugeruje, jaki charakter ma rozpatrywany składnik kosztów.

Metoda analizy wykresów korelacyjnych pozwala nie tylko zakwalifikować składniki koszów do tych stałych lub zmiennych. Na podstawie oceny układu punktów empirycznych na wykresach korelacyjnych można także sformułować wnioski co do charakteru zmienności różnych pozycji kosztów. Chodzi o wyróżnienie kosztów zmiennych proporcjonalnie, degresywnie, progresywnie i regresywnie”

Waldemar Gos [2003, s. 184]

„Procedura postępowania w tej metodzie jest następująca:

na osi poziomej (X) układu współrzędnych wyznacza się wielkość produkcji, a na osi pionowej (Y) – odpowiadające im koszty,

na płaszczyźnie układu współrzędnych zaznacza się empiryczne punkty przecięcia wielkości produkcji z odpowiadającymi jej kosztami,

wizualnie dopasowuje się linię łączącą wszystkie punkty przecięcia w taki sposób, aby odchylenia poszczególnych punktów od wyznaczonej linii były jak najmniejsze,

przecięcie linii z osią Y wyznacza poziom kosztów stałych, natomiast jej nachylenie wyraża koszty zmienne”

Tomasz Wnuk-Pel [2009, s. 144–145]

„Metoda graficzna polega na analizie zachowania się kosztów w zależności od poziomu nośnika tych kosztów na wykresie. Koszty całkowite zaznaczane są na osi pionowej, a wielkości nośnika kosztów na osi poziomej. Następnie, na podstawie wizualnego dopasowania, wykreślana jest linia najlepiej dopasowana do zaznaczonych na wykresie obserwacji.

Podstawową zaletą graficznej metody analizy kosztów jest jej prostota. Metoda ta, jako wstęp do analizy statycznej ma również tę zaletę, że pozwala wizualnie zaobserwować, czy między zmienną niezależną a zmienną zależną istnieje korelacja – przypadkowe rozłożenie poszczególnych obserwacji na wykresie i trudność w wykreśleniu dobrze dopasowanej linii może sugerować, że między zmiennymi nie występuje zależność liniowa.

Metoda graficznej analizy zachowania się kosztów ma jednak istotną wadę. Wykreślenie najlepiej dopasowanej do poczynionych obserwacji linii jest bardzo subiektywne i różne osoby dokonujące podziału kosztów na stałe i zmienne wyznaczą zwykle nieco inne linie. Analiza tych samych obserwacji może dostarczyć odmienne rezultaty, w zależności od:

skali w jakiej sporządzony jest wykres – zwykle niewielka skala wykresu powoduje niedoszacowanie rzeczywistych trendów, podczas gdy duża skala powoduje przeszacowanie rzeczywistych trendów;

liczby obserwacji, na podstawie których sporządzany jest wykres – zwykle mniejsza liczba obserwacji powoduje przeszacowywanie rzeczywistych trendów, podczas gdy duża liczba obserwacji powoduje niedoszacowanie rzeczywistych trendów”

Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji.

1.9.4. Metoda odchyleń krańcowych[15]

Metoda odchyleń krańcowych (metoda dwóch punktów, metoda najwyższego i najniższego punktu) zwana jest także metodą H-L (high-low). Postawą w tej metodzie są dane ewidencyjne dotyczące kosztów całkowitych i wielkości produkcji pochodzące z kolejnych miesięcy ustalonego okresu (najczęściej dane miesięczne z danego roku obrotowego).

Idea wspomnianej metody sprowadza się do wyznaczenia jednostkowego kosztu zmiennego na podstawie odchyleń krańcowych wielkości produkcji oraz kosztów całkowitych. Owe odchylenia są ustalane na podstawie najwyższych i najniższych wielkości produkcji oraz odpowiadających im poziomów kosztów całkowitych.

Jeśli weźmiemy pod uwagę najwyższą wielkość produkcji i odpowiadający jej poziom kosztów całkowitych, wówczas równanie kosztów całkowitych dla maksymalnej wielkości produkcji ma postać:

(1.113)

Jeśli weźmiemy pod uwagę najniższą wielkość produkcji i odpowiadający jej poziom kosztów całkowitych, wówczas równanie kosztów całkowitych dla minimalnej wielkości produkcji przyjmie postać:

(1.114)

gdzie: qmax – najwyższa wielkość produkcji,

Kmax – koszty całkowite odpowiadające najwyższej wielkości produkcji,

qmin – najniższa wielkość produkcji,

Kmin – koszty całkowite odpowiadające najniższej wielkości produkcji,

kz – jednostkowy koszt zmienny,

KS – koszty stałe.

Ostatecznie otrzymujemy następujący układ równań:

(1.115)

Rozwiązanie układu równań daje nam oszacowanie jednostkowego kosztu zmiennego kz oraz kosztów stałych KS.

Jednostkowy koszt zmienny wyraża poniższa formuła:

(1.116)

Wielkości występujące w mianowniku i w liczniku tej formuły to odchylenia krańcowe wielkości produkcji i kosztów całkowitych. Możemy zatem zapisać:

1) odchylenie krańcowe wielkości produkcji – różnica między produkcją największą a produkcją najmniejszą w rozpatrywanym okresie, czyli:

(1.117)

2) odchylenie krańcowe kosztów całkowitych – różnica między kosztami całkowitymi z miesiąca, w którym produkcja jest największa, a kosztami całkowitymi z miesiąca, w którym produkcja jest najmniejsza, czyli:

(1.118)

Jednostkowy koszt zmienny kz jest zatem stosunkiem odchylenia krańcowego koszów całkowitych do odchylenia krańcowego wielkości produkcji, czyli:

(1.119)

Tak wyznaczony jednostkowy koszt zmienny należy interpretować jako koszt krańcowy w ustalonym przedziale zmienności produkcji

Całkowite koszty zmienne KZ dla danego poziomu produkcji qt są iloczynem jednostkowego kosztu zmiennego kz i wielkości produkcji qt , co wyraża wzór:

(1.120)

gdzie: qt – wielkość produkcji w okresie t,

KZt – koszty zmienne w okresie t.

Możliwe są dwa podejścia do wyznaczenia kosztów stałych przy zastosowaniu metody odchyleń krańcowych. Pierwsze podejście sprowadza się do wyznaczenia kosztów stałych w poszczególnych okresach traktowanych jako różnice kosztów całkowitych i kosztów zmiennych, czyli:

(1.121)

gdzie: Kt – koszty całkowite w okresie t,

KSt – koszty stałe w okresie t.

Drugie podejście polega na wyznaczeniu przeciętnych kosztów stałych dla całego badanego okresu. Przeciętne koszty stałe można wyznaczyć, opierając się na równaniu najwyższych kosztów całkowitych, czyli:

(1.122)

lub też na równaniu najniższych kosztów całkowitych, czyli:

(1.123)

Wyniki otrzymane przy zastosowaniu obu tych wzorów będą identyczne.

Poniższy przykład liczbowy przedstawia sposób wyodrębniania kosztów stałych i zmiennych na podstawie metody odchyleń krańcowych.

Przykład 1.7[16]

I. Metoda odchyleń krańcowych

Jednostkowy koszt zmienny (kz) jest ustalany według wzoru (1.116), natomiast koszty stałe (KS) wyznaczamy według wzoru 1.122 lub 1.123.

Tabela 1.14. Dane wyjściowe do przykładu 1.7 – metoda odchyleń krańcowych

Okres

Produkcja (w godzinach)

Koszty (w złotych)

1

230

21 500

2

210

20 540

3

220

21 010

4

240

22 256 max

5

225

21 420

6

215

20 550

7

220

20 800

8

212

20 030

9

198

19 400 min

10

200

19 550

Źródło: na podstawie pracy: Wermut, 1999, s. 24.

Koszt zmienny (na 1 godzinę):

Koszty stałe:

KS = 22 256 zł – 68 zł/godz. × 240 godz. = 22 256 zł – 16 320 zł = 5936 zł.

Koszty całkowite:

K = 5936 zł + 68 zł/godz. × x godz.

Jeśli plan produkcji okresu 11 wyniesie 185 godz., to odpowiadające temu koszty możemy wyliczyć jako:

K₁₁ = 5936 zł + 68 zł/godz. × 185 godz. = 18 516 zł.

Koszty całkowite w okresie 11 wynoszą zatem 18 516 zł.

II. Metoda średnich podokresów

Dane porządkujemy od najniższych do najwyższych i dzielimy na dwie równe grupy.

Następnie obliczamy średnie i  dla tych dwóch grup. Wielkości ekstremalne zastępujemy średnimi. Obliczamy zatem:

Tabela 1.15. Dane wyjściowe do przykładu 1.7 – metoda średnich podokresów

Okres

Produkcja (w godzinach)

Koszty (w złotych)

1

198

19 400

2

200

19 550

3

210

20 540

4

212

20 030

5

215

20 550

Razem

1035

100 070

6

220

20 800

7

220

21 010

8

225

21 420

9

230

21 500

10

240

22 256

Razem

1135

106 986

Źródło: dane umowne.

KS = 21 397 – (69,16×227) = 5697,88 zł

lub

KS = 20 014 – (69,16×207) = 5697,88 zł.

Poszukiwana funkcja kosztów ma zatem postać:

K = 5697,88 zł+69,16 zł/godz. × x godz.

Na podstawie obliczonej zależności można przewidywać poziom kosztów dla ustalonego poziomu produkcji (w godzinach), co stanowi punkt wyjścia do dalszych analiz.

1.9.5. Metoda regresji liniowej

Rodzaje współzależności między zjawiskami ekonomicznymi

W badaniu współzależności zjawisk rozróżnia się dwie kategorie zależności, a mianowicie:

zależność funkcyjną (zwaną też deterministyczną),

zależność stochastyczną (zwaną także probabilistyczną).

Ogólnie mówiąc, zależność funkcyjna polega na tym, że zmianie wartości jednej zmiennej odpowiada ściśle określona i to tylko jedna zmiana wartości drugiej zmiennej. Zależność stochastyczna między dwiema zmiennymi losowymi występuje zaś wtedy, gdy wraz ze zmianą jednej zmiennej ulega zmianie rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej.

Szczególnym przypadkiem współzależności stochastycznej jest zależność korelacyjna, która występuje wtedy, gdy określonym wartościom jednej zmiennej są przyporządkowane pewne średnie z kilku wartości drugiej zmiennej. W tym przypadku nie jest możliwe określenie, jaka będzie wartość cechy Y przy danej wartości cechy X (gdzie: X – zmienna niezależna, Y – zmienna zależna), gdyż wartości cechy Y będą się wahały w pewnym przedziale wartości. Można jedynie ustalić, jak się zmieni – średnio rzecz biorąc – wartość zmiennej Y w zależności od wartości zmiennej X [Adams, Bloomfield, Booth, 1993, s. 207 i n.].

Należy wyraźnie tutaj podkreślić, że zależność stochastyczna między zjawiskami ekonomicznymi nie jest równoważna zależności przyczynowej między nimi.

Mówiąc, że pewne zjawisko X jest przyczyną zjawiska Y, można mieć na myśli następujące związki [Ackoff, 1969, s. 32–34]:

1) X jest niezbędne i wystarczające dla Y,

2) X jest niezbędne, ale niewystarczające dla Y,

3) nie wiadomo, czy X jest bądź niezbędne, bądź wystarczające dla Y, lecz X i Y wykazują tendencję do łącznego występowania bądź niewystępowania.

Pierwszy z powyższych związków odpowiada przyczynowości deterministycznej, drugi – przyczynowości probabilistycznej (niedeterministycznej), trzeci zaś odpowiada korelacji i może wcale nie zawierać w sobie żadnej przyczynowości. Dlatego też konieczna jest ostrożność przy formułowaniu ocen syntetycznych, pochodzących z opisu i wnioskowania korelacyjnego.

Celem analizy korelacji jest stwierdzenie:

a) czy między badanymi cechami występuje współzależność,

b) jaki jest kształt zależności (liniowa, nieliniowa),

c) jaka jest jej siła,

d) jaki jest jej kierunek.

Należy pamiętać, że badanie związków między cechami ma sens jedynie wtedy, gdy istnieje między nimi więź przyczynowo-skutkowa dająca się logicznie wytłumaczyć.

W zależności od tego, czy analizujemy związek cech jakościowych czy też ilościowych, stosujemy różne miary korelacji. W przypadku cech ilościowych duże znaczenie ma kształt związku, gdyż on decyduje, która miara jest odpowiednia. Ustalenia kształtu tego związku można dokonać np. na podstawie diagramu korelacyjnego.

Współczynnik korelacji liniowej r Pearsona służy do pomiaru korelacji cech ilościowych, przy założeniu, że związek badanych cech jest liniowy [Wasilewska, 2009, s. 285]. W sytuacji gdy mamy dane indywidualne (szereg korelacyjny), w celu wyznaczenia współczynnika korelacji r Pearsona korzystamy ze wzoru:

(1.124)

gdzie:

przy czym, jeśli:

rXY = 0 – brak związku liniowego,

rXY = 1 – zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną,

rXY > 0 – korelacja dodatnia (wzrost wartości jednej cechy pociąga za sobą wzrost średnich wartości drugiej cechy),

rXY < 0 – korelacja ujemna (wzrost wartości jednej cechy pociąga za sobą spadek średnich wartości drugiej cechy).

Analiza korelacji pozwala ustalić siłę związku między badanymi cechami, a w przypadku gdy obie cechy są mierzalne – także kierunek i kształt tego związku. Gdy badamy cechy mierzalne i analiza korelacji wskazuje na istnienie zależności między cechami, to interesuje nas ilościowy opis powiązań między tymi cechami. Sprowadza się to do znalezienia analitycznej postaci związku między badanymi cechami – zagadnieniem tym zajmuje się analiza regresji.

Celem analizy regresji jest znalezienie określonej funkcji matematycznej, która w jak najlepszy sposób opisywałaby zależność między cechami (zmiennymi) – jest to tzw. funkcja regresji[17].

Zależność statystyczna występuje wtedy, gdy konkretnej wartości jednej zmiennej może odpowiadać wiele różnych wartości drugiej zmiennej. Na kształtowanie się zmiennej będącej efektem ma wpływ nie tylko zmienna przyjęta jako przyczyna, lecz oddziałują na nią także czynniki „zakłócające” – zwane składnikiem losowym.

Równanie opisujące związek między cechami, które uwzględnia obecność składnika losowego, nazywane jest równaniem regresji.

Metoda regresji liniowej – istota

Gdy badamy związek tylko dwóch cech (X i Y) i jeśli zależność między nimi jest liniowa, to model regresji (funkcję regresji) zapisuje się następująco:

(1.125)

gdzie: X – zmienna objaśniająca (niezależna),

Y – zmienna objaśniana (zależna),

a – wyraz wolny regresji,

b – tzw. współczynnik regresji (regresji Y względem X),

ξ – składnik losowy.

Wyznaczanie parametrów liniowego modelu regresji

Celem jest znalezienie analitycznej postaci funkcji liniowej, które w możliwie najlepszy sposób przedstawia zależność między badanymi cechami. Szukamy takiej prostej, która byłaby najlepiej dopasowana do punktów wyznaczonych empirycznie [Aczel, 2000, s. 464 i n.].

Równanie dla konkretnych danych (xi, yi) można zapisać następująco:

(1.126)

gdzie: yi – rzeczywiste wartości cechy Y,

xi – rzeczywiste wartości cechy X,

a – wyraz wolny w równaniu regresji; b – współczynnik regresji liniowej cechy Y względem cechy X,

ui – tzw. reszta modelu (wartość składnika losowego dla i-tej obserwacji).

Reszty modelu (składniki resztowe) to odchylenia wartości rzeczywistych yi od wartości teoretycznych (wynikających z równania regresji), czyli:

dla i = 1, 2, …, n (gdzie n – liczba obserwacji).

(1.127)

Parametry równania regresji wyznaczamy za pomocą tzw. klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK), której idea oparta jest na relacji:

– funkcja dwóch zmiennych.

(1.128)

Warunkiem koniecznym jest zerowanie się pochodnych cząstkowych funkcji W, co prowadzi do tzw. układu równań normalnych (sumacyjnych) o postaci:

(1.129)

Rozwiązanie tego układu ma postać:

(1.130)

Stosuje się także wzory o postaci:

(1.131)

oraz

(1.132)

gdzie: xi – rzeczywiste wartości cechy X,

yi – rzeczywiste wartości cechy Y,

– średnia arytmetyczna wartości cechy X,

– średnia arytmetyczna wartości cechy Y.

Jeśli zależność kosztów całkowitych od wielkości produkcji ma charakter liniowy, wówczas:

(1.133)

Ocena dopasowania („dobroci”) modelu do danych empirycznych

1. Odchylenie standardowe reszt (standardowy błąd dopasowania, przeciętna reszta):

(1.134)

informuje o tym, o ile przeciętnie różnią się rzeczywiste wartości zmiennej Y od wartości teoretycznych.

2. Współczynnik zmienności losowej:

(1.135)

informuje, jaka część (procent) średniego poziomu cechy Y stanowi przeciętna reszta (o ile procent przeciętnie mylimy się, określając wartości cechy Y za pomocą wyznaczonego równania regresji).

3. Współczynnik zbieżności:

(1.136)

określa, jaka część całkowitej zmienności cechy Y nie została wyjaśniona wpływem zmienności cechy X (czyli ma charakter losowy) [Siedlecka, 1999, s. 282–288].

4. Współczynnik determinacji:

(1.137)

informuje, jaka część zmienności cechy objaśnianej Y została wyjaśniona przez zbudowany model regresji.

Przykład 1.8

Tabela 1.16 zawiera dane wyjściowe przykładu 1.8 oraz część obliczeniową do KMNK. Opiera się na założeniu o liniowej zależności kosztów całkowitych od wielkości produkcji.

Tabela 1.16. Matryca robocza do klasycznej metody najmniejszych kwadratów

Miesiące

1

2

3

4

5

6

7

1

230

21 500

13

794,40

169

631 071,36

10 327,20

2

210

20 540

– 7

– 165,60

49

27 423,36

1 159,20

3

220

21 010

3

304,40

9

92 659,36

913,20

4

240

22 256

23

1 550,40

529

2 403 740,10

35 659,20

5

225

21 420

8

714,40

64

510 367,36

5 715,20

6

215

20 550

– 2

– 155,60

4

24 211,36

311,20

7

220

20 800

3

94,40

9

8 911,36

283,20

8

212

20 030

– 5

– 675,60

25

456 435,36

3 378,00

9

198

19 400

– 19

– 1 305,60

361

1 704 591,30

24 806,40

10

200

19 550

– 17

– 1 155,60

289

1 335 411,30

19 645,20

Razem

2170

207 056

X

X

1 508

7 194 822,20

102 198,00

Źródło: opracowanie własne na podstawie pracy: Wermut, 1999, s. 27.

Mamy zatem:

Funkcja kosztów całkowitych przyjmuje postać:

Obliczmy dodatkowo współczynnik korelacji, który dla danego przykładu wynosi:

Otrzymany wynik świadczy o silnej korelacji między produkcją a kosztami. Jest to korelacja prawie doskonała (zależność ściśle liniowa).

Kwadrat współczynnika korelacji jest równy współczynnikowi determinacji, czyli:

(1.138)

W podanym przykładzie wynosi on 0,98, co oznacza, że 98% zmian kosztów wynika ze zmiany wielkości produkcji, a tylko 2% ma charakter losowy (zmianę kosztów spowodowały inne przyczyny).

Henryk Sobolewski stwierdza, że podział kosztów na dwie kategorie: koszty stałe i koszty zmienne, jest podziałem w znacznym stopniu uproszczonym, ponieważ „z ewidencji księgowej przy obowiązujących standardach bezpośrednio nie wynika, które koszty należy wprost zaliczyć do stałych, a które do zmiennych” [2010, s. 171][18]. Wydaje się, że ten pesymizm nie do końca jest zasadny w świetle mnogości różnych koncepcji podziału kosztów.