Andrzej Zięba

Analiza danych w naukach ścisłych i technice

Projekt okładki
Agnieszka Łydżba

Ilustracja na okładce
isak55/Shutterstock

Wydawca
Izabela Ewa Mika, Diana Petelska

EPUB został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2013 r. (wyd. I)

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2013

ISBN: 978-83-01-17677-8

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Skład komputerowy: Marta Jeczeń-Bańkowska, Warszawa

Skład wersji elektronicznej:

Virtualo Sp. z o.o.

Przedmowa autora

Znajomość metod opracowania wyników eksperymentu jest potrzebna wszystkim wykonującym pomiary. Metody te są w dużym stopniu jednakowe dla różnych nauk doświadczalnych i odgrywają w nich rolę wiedzy pomocniczej, podobnie jak np. numizmatyka czy archiwistyka są naukami pomocniczymi historii. Podręcznik jest ukierunkowany na analizę danych w naukach ścisłych i technice, gdzie na ogół obiekt badań jest dobrze określony i podlega prawom wyrażanym ilościowo.

Przeznaczenie i zawartość podręcznika

Poznawanie techniki pomiarowej i metod opracowania wyników pomiaru rozpoczyna się już na pierwszym laboratorium, jakie student napotyka w swoim programie studiów – najczęściej jest to laboratorium fizyczne. Trudność polega na tym, że zajęcia w laboratorium z reguły wyprzedzają kurs statystyki matematycznej. Potrzebna studentowi wiedza, stanowiąca w pewnym stopniu zamkniętą całość, zawarta jest w rozdz. 1–4 oraz 6–10 (raczej tylko w określonych fragmentach tych rozdziałów). Podręcznik może być następnie wykorzystany przy studiowaniu przedmiotu typu „statystyka i opracowanie danych”. Całość podręcznika adresowana jest do studentów wyższych lat studiów na kierunkach ścisłych i technicznych, doktorantów, pracowników nauki i inżynierów, oraz do wszystkich zainteresowanych tematem analizy danych.

Podręcznik rozpoczynają dwa rozdziały dotyczące jednostek miar oraz działań na liczbach pochodzących z pomiaru. Ich uzupełnieniem jest analiza układu jednostek SI, przedstawiona w dodatkach H i I, oraz informacja o prowadzonych obecnie pracach nad tzw. kwantowym układem jednostek SI.

Rozdziały 3–4 i 6–8 to wykład klasycznej analizy niepewności pomiaru, od oceny niepewności pomiaru bezpośredniego, przez prawo propagacji niepewności do obliczenia niepewności rozszerzonej. Nazewnictwo, symbolika i metody obliczania niepewności są zgodne z dokumentem Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik i innymi dokumentami konwencji znanej pod angielskim akronimem GUM. Znajomość postanowień tej konwencji, przyjętej przez międzynarodową społeczność zaledwie kilkanaście lat temu (w r. 1995), jest współcześnie niezbędna wszystkim wykonującym i analizującym pomiary. Potrzebne elementy klasycznej statystyki matematycznej są, dla odciążenia tekstu głównego, przeniesione do Dodatków A-D.

W rozdziałach 9–15 jest przedstawiona problematyka dopasowania funkcji teoretycznych do danych przy użyciu metody najmniejszych kwadratów, począwszy od dopasowania prostej do dopasowania funkcji nieliniowych względem parametrów dopasowania. Ten dość klasyczny temat nabrał współcześnie wielkiego znaczenia ze względu na wykorzystanie komputerów umożliwiających realizację żmudnych lub wręcz niewykonalnych przed laty algorytmów tej metody.

Uzupełnieniem standardowych metod analizy danych są różne metody alternatywne. Najwięcej miejsca poświęcono metodom statystyki odpornościowej, stosowanej dla danych niskiej jakości, zawierających tzw. punkty odstające. Omówione też zostało zagadnienie danych samoskorelowanych i zastosowanie metod interwałowych. Ostatni rozdział podręcznika dotyczy zastosowania metod Monte Carlo. Prezentacja metod alternatywnych, zawarta w rozdziałach 5, 16-17 i dodatkach E i F, jest oparta na pracach oryginalnych, dlatego w tych partiach tekstu jest stosunkowo najwięcej odwołań literaturowych.

Opracowanie danych jest umiejętnością praktyczną, a w jej nabyciu ważną rolę odgrywają przykłady. Jest ich w sumie 49, we wszystkich wykorzystano dane dane pochodzące z rzeczywistych pomiarów. Nowym pomysłem dydaktycznym jest ciąg kilkunastu przykładów, które objaśniają różne procedury opracowania danych z pomiarów dla wahadła prostego. Taki eksperyment łatwo jest zrealizować jako ćwiczenie „zerowe”, wykonywane na początku semestru równolegle przez wszystkie grupy ćwiczeniowe, lub wręcz w warunkach domowych. W kilku przykładach użyto dane z dyfraktometru rentgenowskiego będącego przykładem współczesnej, skomputeryzowanej aparatury naukowej.

W tekście konsekwentnie jest stosowane nazewnictwo polskie. W wielu przypadkach zaszła potrzeba wyboru jednego z dwu lub więcej równoważnych nazw, niekiedy – wprowadzenia nowego terminu. Autor dążył do tego, by wybrane nazwy były, w miarę możności, zrozumiałe bez dodatkowego wyjaśnienia. Istotne problemy terminologiczne są komentowane, najczęściej w przypisach. Odniesieniu do terminologii międzynarodowej ma służyć niestandardowy skorowidz polsko-angielsko-matematyczny.

Geneza podręcznika. Podziękowania

Powstanie podręcznika było konsekwencją wieloletniego zainteresowania autora tematyką analizy danych, zarówno jako eksperymentalnego fizyka ciała stałego, jak i opiekuna naukowego Pracowni Fizycznej Wydziału Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH, redaktora skryptu uczelnianego poświęconego tej Pracowni (kilkanaście wydań w latach 1979–2002) i autora jej aktualnego portalu internetowego. Zalążkiem podręcznika był rozdział wstępny wymienionego skryptu, z którego wykorzystano pewną liczbę rysunków i przykładów.

Właściwą pracę nad podręcznikiem autor rozpoczął ok. 2002 r. i od początku współpracował ze środowiskiem metrologów zarówno z uczelni, jak i z Głównego Urzędu Miar. Tematyka mniej standardowych fragmentów podręcznika była prezentowana na konferencjach Podstawowe Problemy Metrologii (PPM), Sympozjach Niepewności Pomiaru (SNP) i innych spotkaniach naukowych. Podczas opracowywania podręcznika powstało szereg publikacji, z których najważniejsze są podane w spisie literatury.

Autor pragnie serdecznie podziękować wielu osobom za pomoc, owocne dyskusje naukowe i przekazanie często ważnych informacji, które trudno byłoby znaleźć samodzielnie. W szczególności dziękuje osobom:

a) z Akademii Górniczo-Hutniczej: Beacie Barszczewskiej-Wojda (z Wydawnictw AGH), Annie Czapkiewicz, Piotrowi Dulowi, Andrzejowi Lendzie, Małgorzacie Nowinie-Konopce (współredaktor skryptu do 1995 r., obecnie w InstytucieZa zgodę Fizyki Jądrowej w Krakowie), Januszowi Przewoźnikowi, Lucjanowi Pytlikowi, Piotrowi Ramzie, Kazimierzowi Różańskiemu, Zdzisławowi Stęgowskiemu i Jackowi Tarasiukowi;

b) z Głównego Urzędu Miar: Jerzemu Borzymińskiemu, Pawłowi Fotowiczowi, Jackowi Lipińskiemu, Łukaszowi Litwiniukowi, Elżbiecie Michniewicz, Zbigniewowi Ramotowskiemu i Patrycji Ruśkowskiej. Dziękują za pomoc i życzliwość kierownictwu tej instytucji, szczególnie prezes Janinie Popowskiej i wiceprezesowi ds. metrologii naukowej Włodzimierzowi Popiołkowi;

c) metrologom z politechnik: Dariuszowi Buchczikowi (Politechnika Śląska), Michajłowi Dorożowcowi (Politechniki Rzeszowska i Politechnika Lwowska), Stefanowi Kubisie (Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny, organizator SNP), Michałowi Lisowskiemu (Politechnika Wrocławska), Tadeuszowi Skubisowi (Politechnika Śląska, organizator konferencji PPM), Zygmuntowi Warszy (Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów oraz Polskie Towarzystwo Metrologiczne), Janowi Zakrzewskiemu (Politechnika Śląska), Romualdowi Zielonko (Politechnika Gdańska);

d) oraz ponadto: Maurice’owi Coksowi (National Physical Laboratory, UK), Marianowi Czerwonko (Politechnika Wrocławska), Antoniemu Leonowi Dawidowiczowi (Uniwersytet Jagielloński), Ewie Dębowskiej (Uniwersytet Wrocławski), Marynie Galovskiej (Instytut Politechniczny w Kijowie), Markowi Gutowskiemu (Uniwersytet Warszawski), Andrzejowi Kubiaczykowi (Politechnika Warszawska), Heinerowi Kullmannowi (Stuttgart), Ryszardowi Poprawskiemu (Politechnika Wrocławska), Janowi Pudełko (Politechnika Krakowska), Jarosławomi Sroczyńskiemu (kancelaria prawna Markiewicz & Sroczyński) i anonimowym recenzentom czasopism.

Dziękuję wszystkim innym, których nie wymieniłem.

Annie Szemberg, kierującej przez wiele lat redakcją matematyczno-fizyczno-chemiczną w PWN, autor jest wdzięczny za zachętę do podjęcia prac nad podręcznikiem i przyjęcie do recenzji jego pierwszej wersji. Andrzejowi Bluszczowi z Politechniki Śląskiej dziękuję za wnikliwe recenzje i w szczególności za postulat istotnego rozszerzenia zakresu podręcznika, wyrażony w recenzji manuskryptu z 2006 r. Niniejsze wydanie i jego szata edycyjna jest wynikiem współpracy z redaktorami Wydawnictwa Naukowego PWN, Izabelą Miką i Dianą Petelską.

Podziękowania za rysunki

Za zgodę na wykorzystanie rysunków autor dziękuję osobom podanym w podpisach prac oraz następującym wydawcom:

–  Akademii Górniczo-Hutniczej i Wydawnictwu AGH za rys. 3.1, 3.3, 6.1, 6.3, 9.2, 9.3, 10.1, 10.2, A.1, A.5, C.1, C.2;

–  Akadémiai Kiadó, Budapest oraz Springer, Dordrecht, wydawców J. Radioanal. Nucl. Chemistry, za rys. 5.1;

–  Amerykańskiemu Towarzystwu Statystycznemu, wydawcy Journal of the American Statistical Associacion, za rys. 16.5;

–  Buerau international des poids et mesures oraz Institute of Physics, UK, wydawcom Metrologii, za rys. 17.2;

–  Climatic Research Unit, UEA, Norwich, UK, za rys. 9.4;

–  Polskiej Akademii Nauk, wydawcy Metrology and Measurement Systems, za rys. 5.2, 5.3, E.3, E.4, E.5, E.7, E.8;

–  Polskiemu Towarzystwu Fizycznemu, wydawcy Postępów Fizyki, za rys. 16.3.

Ponadto, za zgodę na wykorzystanie danych do przykładów autor dziękuje Centralnemu Wojskowemu Ośrodkowi Metrologii, Instytutowi Fizyki Jądrowej PAN w Krakowie i Tatrzańskiemu Parkowi Narodowemu, wydawcy kwartalnika Tatry TPN.

Autor zdaje sobie sprawę z niedoskonałości podręcznika i możliwości popełnienia pomyłek, błędów i nieścisłości. Będzie szczerze wdzięczny za wszelkie sprostowania i uwagi. Prosi o ich nadsyłanie na adres: andrzej.zieba@fis.agh.edu.pl.

Kraków, kwiecień 2013

Rozdział 1

Pomiar: jednostki miar

Zagadnienie, czy każdą wybraną cechę określonego przedmiotu lub zjawiska można ocenić ilościowo, jest pytaniem o charakterze po części filozoficznym. Historia nauki pokazuje, że coraz więcej jej dziedzin, w tym niektóre z dyscyplin humanistycznych, opiera swój rozwój na pochodzących z pomiaru lub obserwacji danych liczbowych, a nie na argumentacji jakościowej. Rozdział pierwszy podręcznika podaje podstawowe informacje o wielkościach mierzonych, jednostkach miar i związkach między nimi. O kształcie tej dziedziny wiedzy decydują zarówno obiektywne prawa przyrody, jak i ludzkie decyzje.

1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne

Wyodrębniona cecha badanego przedmiotu lub zjawiska, podlegająca pomiarowi, jest nazywana wielkością. Natomiast pomiar to operacja doświadczalnego wyznaczenia wyniku pomiaru, charakteryzującego ilościowo wielkość mierzoną[1].

Wielkości będące przedmiotem pomiaru przyporządkować można do dwu kategorii, na ogół wyraźnie rozgraniczonych. Pierwszą stanowią te, które możemy precyzyjnie zdefiniować i w efekcie zmierzyć z dokładnością zależną tylko od właściwości używanych przyrządów i metod pomiarowych. Wielkości te są powiązane ze sobą ścisłymi prawami fizyki, dlatego są najczęściej określane jako wielkości fizyczne. Przykładami wielkości tej kategorii są mierzone od niepamiętnych czasów: czas, długość, masa i objętość. W miarę rozwoju nauki dołączały do nich wielkości mechaniczne, termodynamiczne i elektromagnetyczne. Współcześnie, wszystkie wielkości fizyczne są zawarte w zbiorze wielkości układu SI.

Wynik pomiaru wielkości fizycznej x wyrazić można jako iloczyn wartości liczbowej wielkości oraz jednostki miary,

x =  {wartość liczbowa} [jednostka miary].

(1.1)

Charakterystyczną cechą związku (1.1) jest liniowość: wartość mierzonej wielkości jest proporcjonalna zarówno do liczbowego wyniku pomiaru, jak i do jednostki miary. Jeżeli jakaś wielkość fizyczna jest wyrażana za pomocą różnych jednostek miary, na przykład temperatura za pomocą skal Kelwina, Celsjusza czy Fahrenheita, istnieje między nimi jednoznaczne przeliczenie.

Dla pozostałych wielkości mierzonych wprowadza się nazwę: wielkości pozafizyczne. Wielkości tych nie można ich zdefiniować w sposób ścisły, ponieważ dotyczą cech bytów i zjawisk złożonych, dla których opis matematyczny jest tylko przybliżeniem rzeczywistości. Przykładami wielkości pozafizycznych mogą być: twardość materiałów, żyzność gleby, skale barw, czy liczbowe oceny w studenckim indeksie. Fizyka się nimi nie zajmuje, gdyż nie wiążą ich z innymi wielkościami ścisłe prawa, lecz co najwyżej przybliżone wzory empiryczne. W konsekwencji nie mogą być elementami spójnego układu jednostek[2].

Pomiar wielkości pozafizycznych wykonuje się przy użyciu skal empirycznych. Przegląd metod określania twardości materiałów (przykład 1.1) ilustruje różne sposoby konstruowania tych skal. Różne skale empiryczne są najpierw proponowane w badaniach naukowych. Następnie, dla wielkości szczególnie ważnych, są ujednolicane przez międzynarodowe przepisy normatywne. Jeżeli dla danej wielkości pozafizycznej istnieją różne skale empiryczne, to nie ma między nimi jednoznacznego przeliczenia.

Do wielkości pozafizycznych zaliczyć też należy kombinacje wielkości fizycznych definiowane na mocy umowy lub przepisów prawa. Wiążą się zwykle z działaniem czynników fizycznych na człowieka. Przykładowo, w niektórych prognozach pogody podaje się tzw. temperaturę odczuwalną (ang. wind chill) – określoną empirycznym wzorem kombinację temperatury i szybkości wiatru. Lepiej niż „zwykła” temperatura opisuje subiektywne poczucie chłodu, ale nie jest wielkością fizyczną.

W dalszej części podręcznika będziemy zajmować się w zasadzie tylko wielkościami fizycznymi. Przedstawiając tę garść uwag na temat wielkości pozafizycznych, nie chcemy ich deprecjonować, lecz wręcz przeciwnie – zwrócić uwagę na ich istnienie i rosnące znaczenie. Zbiór podstawowych wielkości fizycznych nie ulega zmianie od lat, natomiast lista wielkości, które współcześnie potrafimy lepiej lub gorzej charakteryzować ilościowo, wciąż rośnie. Opracowanie adekwatnych skal i metod pomiaru różnych wielkości pozafizycznych jest wyzwaniem dla nauki i ważną potrzebą w wielu dziedzinach działalności ludzkiej.

Przykład 1.1. Skale twardości materiałów.

Twardość jest ważną, choć trudną do zdefiniowania własnością materiałów, polegającą na odporności na odkształcenie powierzchni, na którą wywiera lokalny nacisk inne, twardsze ciało. Tradycyjna skala twardości minerałów Mohsa polega na porównaniu twardości badanego materiału z zestawem minerałów wzorcowych, którym przypisano liczby od 1 do 10: 1 – talk, 2 –sól kamienna, gips, 3 – kalcyt, 4 – fluoryt, 5 – apatyt, 6 – ortoklaz, skaleń, 7 – kwarc, 8 – topaz, 9 – korund, 10 – diament. Skala twardości Mohsa jest przykładem skali empirycznej, w której porównujemy badaną wielkość z zespołem ponumerowanych wzorców.

Metoda pomiaru twardości Brinella opiera się na wgniataniu w badany materiał kulki z węglików spiekanych. Twardość Brinella (HB) definiuje się jako iloraz siły nacisku i powierzchni odcisku pozostawionego przez kulkę. Inne metody (Rockwella, Vickersa, Knoopa) różnią się m.in. rodzajem wykorzystywanego wgłębnika, w przypadku metody Vickersa jest to ostrosłup wykonany z diamentu. Nawet w ramach jednej metody trzeba określić dalsze szczegóły: np. w metodzie Brinella, jaka ma być średnica kulki i siła nacisku. Aby zapewnić jednolitość procedur pomiarowych, skale twardości są regulowane przez międzynarodowe normy. W przypadku metody Brinella jest to PN-EN ISO 6506-1: 2002 Metale. Pomiar twardości sposobem Brinella. Część 1: Metoda badań.

1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego jednostki podstawowe

Prawa przyrody wyrażające związki między wielkościami fizycznymi są obiektywną rzeczywistością. Sformułowanie tych praw w sposób niezależny od wyboru jednostek miary wymaga z reguły użycia słowa „proporcjonalny”. Na przykład: droga w ruchu jednostajnym jest wprost proporcjonalna do prędkości i czasu,

 s ∝ v t. 

(1.2)

Zamiana znaku proporcjonalności (∝) na znak równości (=) we wzorze (1.2) jest możliwa, ale zależy od dokonanego przez człowieka wyboru jednostek miary dla drogi s, prędkości v i czasu t. Jeżeli jednostki te wybierzemy w sposób arbitralny, zajdzie na ogół potrzeba wprowadzenia współczynnika proporcjonalności, zależnego od wybranych jednostek. Przykładowo, jeżeli prędkość wyrazimy w kilometrach na godzinę [km/h], czas w sekundach, a drogę w metrach, zachodzi równość

 s = const v t, 

(1.3)

gdzie wartość stałej const wynosi 10/36 h/(km · s).

Aby uwolnić wzory od takich współczynników jednostki muszą być powiązane ze sobą, tworząc spójny układ jednostek. W przeszłości konkurowało ze sobą kilka takich układów[3]. Współcześnie jedynym używanym powszechnie quasi-spójnym[4] układem jednostek jest Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI, zwany krótko układem SI.

Tabela 1.1. Jednostki podstawowe układu SI[5]

Wielkość

Jednostka podstawowa SI

Definicja

nazwa

symbol

długość

metr

m

metr – długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299 792 458 sekundy

masa

kilogram

kg

kilogram – jednostka masy, która jest równa masie międzynarodowego prototypu kilograma przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres

czas

sekunda

s

sekunda – czas równy 9 192 631 770 okresom promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu-133

prąd
elektryczny

amper

A

amper – prąd elektryczny niezmieniający się, który, płynąc w dwóch równoległych prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o przekroju kołowym znikomo małym, umieszczonych w próżni w odległości 1 metra od siebie, wywołałby między tymi przewodami siłę 2 · 10–7 niutona na każdy metr długości

temperatura

kelwin

K

kelwin – 1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody

liczność
materii

mol

mol

mol – liczność materii układu zawierającego liczbę cząstek równą liczbie atomów zawartych w 0,012 kilograma węgla-12; przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek, którymi mogą być: atomy, cząsteczki, jony, elektrony, inne cząstki lub określone zespoły takich cząstek

światłość

kandela

cd

kandela – światłość źródła emitującego w określonym kierunku promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540 · 10¹² herców i o natężeniu promieniowania w tym kierunku równym 1/683 wata na steradian

Metryczny system miar, rozumiany jako zbiór jednostek miar opartych na wzorcach metra i kilograma, oraz na zasadzie stosowania wyłącznie dziesiętnych wielokrotności jednostek, został zapoczątkowany w okresie Rewolucji Francuskiej. Współczesny międzynarodowy status prawny uzyskał w 1875 roku, kiedy to osiemnaście państw podpisało w Paryżu Konwencję Metryczną. Powołano wtedy do istnienia istniejące do dziś instytucje: (a) Generalną Konferencję Miar (CGPM, od Conférence Générale des poids et mesures), zgromadzenie delegatów wszystkich państw członkowskich zwoływane co cztery lata, (b) Międzynarodowy Komitet Miar (CIPM, od Comité international des poids et mesures), złożony z 18 członków powoływanych przez CGPM i kierowane przez niego Międzynarodowe Biuro Miar (BIPM, od Buerau international des poids et mesures) w Sèvres pod Paryżem. Instytucje te odpowiedzialne są za ewolucję wzorców i jednostek miar, kierując się zasadą uzyskiwania najwyższej osiągalnej w danym okresie czasu dokładności. Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI (od fr. Système International d’Unités) został przyjęty przez Generalną Konferencję Miar w 1960 roku, jako rozszerzenie układu MKSA. Początkowo nie obejmował mola, który dołączono do zbioru jednostek podstawowych w 1971 r. Współcześnie ważnym obszarem działania organów Konwencji Metrycznej stały się zagadnienia niepewności pomiarów (zob. dodatek G).

Punktem wyjścia do konstrukcji spójnego układu miar jest wybór małej liczby jednostek podstawowych, które uznaje się umownie za funkcjonalnie niezależne od siebie. Siedem wielkości uznanych za podstawowe w układzie SI i odpowiadające im jednostki miary zestawiono w tabeli 1.1. Uzasadnienie przyjętego wyboru jest szerzej dyskutowane w Dodatku H. Jednostki podstawowe stanowią punkt wyjścia do definiowania jednostek pochodnych (p. 1.3) i wielokrotności jednostek (p. 1.4).

1.3. Jednostki pochodne układu SI

Dla wielkości fizycznych niebędących podstawowymi (innych niż wymienione w tabeli 1.1), w spójnym układzie miar jest możliwe jednoznaczne określenie jednostek pochodnych. Definiuje się je za pomocą jednostek podstawowych, przy użyciu wzorów łączących ze sobą wielkości fizyczne. W przypadku spójnego układu jednostek wzór taki nie zawiera dodatkowych współczynników, takich jak const we wzorze (1.3). Właściwy wzór układu SI określający zależność między drogą s, prędkością v, i czasem t ma postać

s = v t, 

(1.4)

natomiast podany uprzednio wzór (1.3) jest wzorem pozaukładowym. Ponieważ jednostkami wielkości s i t są metr i sekunda, jednostką prędkości układu SI musi być metr na sekundę [m/s]. Istnienie jednoznacznych zasad tworzenia jednostek pochodnych jest wielką zaletą spójnego układu miar.

Z przedstawionego wyżej sposobu definiowania jednostek pochodnych wynika, że system wzorów właściwych dla danego układu jest niezbędnym elementem jego struktury. W przypadku wzorów układu SI obowiązuje zasada unikania współczynników liczbowych we wzorach wyrażających fundamentalne prawa fizyki, takich jak zasady dynamiki Newtona (F = ma), równania elektromagnetyzmu Maxwella, czy podstawowe wzory termodynamiki. Współczynniki liczbowe mogą się pojawić w sposób konieczny w formułach pochodnych, jak np. czynnik ½ we wzorze Ek = ½ mv2 wyrażającym energię kinetyczną jako funkcję masy i prędkości.

Współcześnie, wzory, które znajdujemy w podręcznikach, są w większości wzorami układu SI. Towarzyszący im tekst objaśnia tylko znaczenie symboli i nie jest potrzebne podawanie jednostek – są nimi domyślnie jednostki układu SI. Natomiast wzorom pozaukładowym winno towarzyszyć objaśnienie, jakie jednostki pozaukładowe (p. 1.5), lub wielokrotności jednostek SI (p. 1.4) należy w nim zastosować.

Jednostki pochodne układu SI podzielić można na dwie grupy. Ważniejszym przypisano specjalne nazwy i symbole, nazywamy je jednostkami pochodnymi o nazwach i oznaczeniach specjalnych (tab. 1.2).

Tabela 1.2. Nazwy, definicje i oznaczenia jednostek pochodnych SI o nazwach i oznaczeniach specjalnych[6]

Lp.

wielkość

Jednostka miary

Definicja

Wyrażenie za pomocą jednostek podstawowych SI

nazwa

oznaczenie

1

kąt płaski

radian

rad

1 rad = 1 m/1 m = 1

m · m–1 = 1

2

kąt bryłowy

steradian

sr

1 sr = 1 m²/1 m² = 1

m² · m–² = l

3

częstotliwość

herc

Hz

1 Hz = 1/1 · s

s–1

4

siła

niuton

N

1 N = 1 kg · 1 (m/s²)

kg · m · s–2

5

ciśnienie, naprężenie

paskal

Pa

1 Pa = 1 N/1 m²

m–1 · kg · s–2

6

energia, praca, energia cieplna

dżul

J

1 J = 1 N · 1 m

m² · kg · s–2

7

moc, moc promieniowania

wat

W

1 W = 1 J/1s

m² · kg · s–3

8

ilość elektryczności, ładunek elektryczny

kulomb

C

1 C = 1 A · 1 s

A · s

9

potencjał elektryczny, różnica potencjałów, napięcie elektryczne, siła elektromotoryczna

wolt

V

1 V = 1 W/1 A

m² · kg · s–³ · A–¹

10

pojemność elektryczna

farad

F

1 F = 1 C/1 V

m–² · kg–¹ · s⁴ · A²

11

rezystancja, opór elektryczny

om

W

1 W = 1 V/1 A

m² · kg · s–³ · A–²

12

konduktancja,

siemens

S

1 S = 1 W–¹

m–² · kg–¹ · s³ · A²

13

strumień magnetyczny

weber

Wb

1 Wb = 1V · 1s

m² · kg · s–² · A–¹

14

indukcja magnetyczna

tesla

T

1 T = 1 Wb/1 m²

kg · s–² · A–¹

15

indukcyjność

henr

H

1 H = 1 V/1 s

m² · kg · s–² · A–²

16

temperatura Celsjusza

stopień Celsjusza[7]

°C

1 °C = 1 K

K

17

strumień świetlny

lumen

lm

1 lm = 1 cd · 1sr

cd

18

natężenie oświetlenia

luks

lx

l lx = 1 lm/1 m²

cd · m–2

19

aktywność (radionuklidu)

bekerel

Bq

1 Bq = 1/1s

s–1

20

dawka pochłonięta, energia przekazana właściwa, kerma, wskaźnik dawki pochłoniętej

grej

Gy

1 Gy = 1 J/1 kg

m² · s–2

21

równoważnik dawki pochłoniętej,

siwert

Sv

1 Sv = 1 J/1 kg

m² · s–2

22

aktywność katalityczna

katal

kat

1 kat = 1 mol/1 s

mol · s–1

Nazwy i symbole pozostałych jednostek pochodnych tworzy się z nazw i symboli jednostek podstawowych, oraz z nazw i symboli jednostek pochodnych o nazwach specjalnych. W tabeli 1.3 wyszczególniono tylko niektóre spośród około trzystu[8], niemających nazw własnych, jednostek pochodnych układu SI.

Tabela 1.3. Wybrane jednostki pochodne układu SI niemające nazw specjalnych

Wielkość

Jednostka pochodna

nazwa

symbol

pole powierzchni

metr kwadratowy

m²

objętość

metr sześcienny

m³

prędkość

metr na sekundę

m/s

przyspieszenie

metr na sekundę do kwadratu

m/s²

prędkość kątowa, częstość

radian na sekundę

rad/s

przyspieszenie kątowe

radian na sekundę do kwadratu

rad/s²

pęd

kilogramometr na sekundę

(kg · m)/s

moment siły

niutonometr

N · m

gęstość

kilogram na metr sześcienny

kg/m³

lepkość dynamiczna

paskalosekunda

Ps · s

ciepło właściwe

dżul na kilogram i kelwin

J/(kg · K)

przewodność cieplna

wat na kelwin i metr kwadratowy

W/(K · m²)

entropia

dżul na kelwin

J/K

natężenie pola elektrycznego

wolt na metr

V/m

gęstość prądu

amper na metr kwadratowy

A/m²

oporność właściwa

omometr

W · m

natężenie promieniowania

wat na metr kwadratowy

W/m²

W dalszej części tekstu pod pojęciem jednostka układu SI rozumiemy jednostkę podstawową lub pochodną tego układu. Podstawowa właściwość tak zdefiniowanego zbioru jednostek jest taka, że

jeżeli do wzoru układu SI podstawimy dane wyrażone w jednostkach układu SI, to uzyskamy wynik w jednostce układu SI.

Omawiane w podrozdziale 1.4 wielokrotności i podwielokrotności jednostek układu SI właściwości tej nie mają! Relacje między różnymi kategoriami jednostek przedstawia rys. 1.1.

Rys. 1.1. Relacje między różnymi kategoriami jednostek wielkości fizycznych

1.4. Jednostki wielokrotne

Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest w przedziale circa od 0,1 do 1000. Takie liczby są przyjazne dla człowieka – łatwe do wypowiedzenia i zapamiętania, zaś ich zapis wymaga najmniejszej liczby znaków drukarskich. Aby to umożliwić, każda jednostka układu SI może być zastąpiona jednostkami wielokrotnymi lub podwielokrotnymi, uzyskanymi przez dodanie do oznaczenia jednostki odpowiedniego przedrostka, oznaczającego całkowitą potęgę liczby dziesięć. Pełny ich zbiór obejmuje przedrostki od 10–24 do 10²⁴. W tabeli 1.4 podano ograniczony wybór przedrostków używanych w praktyce.

Postępowanie z jednostkami wielokrotnymi i podwielokrotnymi jest dokładnie takie samo, dlatego też w dalszym tekście rozdziału określenie „wielokrotna” oznacza też „podwielokrotna”. Zasady tworzenia jednostek wielokrotnych podlegają kilku regułom:

a) w przypadku jednostek podstawowych oraz jednostek pochodnych o nazwach specjalnych (tabele 1.1 i 1.2) oznaczenie wielokrotności piszemy przed oznaczeniem jednostki, np.:

 kJ = 10³ J.  

b) w przypadku pozostałych jednostek pochodnych, oznaczenie wielokrotności można dołączyć do każdego z symboli, z których składa się dana jednostka. Przykładowo, wygodną jednostką wielokrotną natężenia pola elektrycznego jest kV/mm.

Zamiana tak uzyskanej jednostki wielokrotnej na właściwą jednostkę układu SI odbywa się przez zastąpienie przedrostków m, k, M … przez odpowiedni mnożniki dziesiętne. Pokażemy to na przykładzie jednostki gęstości. Wygodną dla wyrażania gęstości jednostką wielokrotną jest gram na centymetr sześcienny [g/cm³] (gęstość wody w dobrym przybliżeniu jest równa 1 g/cm³). W celu znalezienia relacji tej jednostki do jednostki gęstości układu SI, jaką jest [kg/m³], wykonujemy obliczenie:

Przykład jednostki gęstości ilustruje trzy kolejne zasady, których nieznajomość bywa przyczyną pomyłek w obliczeniach:

c) zapis cm³ oznacza, że przedrostek c ≡ 10–2 razem z właściwą jednostką [m] są razem podniesione do potęgi, zatem 1 cm³ = (10–2 m)³ = 10–6 m³. Zauważmy, że konwencja ta jest niezgodna z przyjętym w matematyce zapisem operacji potęgowania.

d) kilogram jest w układzie SI jednostką szczególną: ma status jednostki podstawowej, mimo że zawiera przedrostek „k”. W konsekwencji gram g = 10–3 kg jest jednostką pochodną!

e) przyzwyczajeni do kilograma jako podstawowej jednostki masy łatwo możemy popełnić pomyłkę przy korzystaniu z pojęcia mola – ważnej nie tylko dla chemików jednostki podstawowej układu SI. Mol pierwiastka o masie atomowej A zawiera A gramów danej substancji!

Tabela 1.4. Wybrane oznaczenia wielokrotności i podwielokrotności

Przedrostek

Mnożnik

nazwa

symbol

zapis potęgowy

zapis zwykły

tera

T

10¹²

1 000 000 000 000

giga

G

10⁹

1 000 000 000

mega

M

10⁶

1 000 000

kilo

k

10³

1 000

hekto

h

10²

100

deka

da

10¹

10

decy

d

10–1

0,1

centy

c

10–2

0,01

mili

m

10–3

0,001

mikro

m

10–6

0,000 001

nano

n

10–9

0,000 000 001

piko

p

10–12

0,000 000 000 001

femto

f

10–15

0,000 000 000 000 001

1.5. Jednostki pozaukładowe

Układ SI wprowadzono ze względu na wiele zalet. Jego stosowanie we wszystkich naukach doświadczalnych odzwierciedla jedność praw przyrody. Zasada tylko jednej jednostki SI dla danej wielkości fizycznej minimalizuje ich liczbę i umożliwia wykonywanie obliczeń przy użyciu wzorów bez współczynników liczbowych lub zawierających minimalną ich ilość. Stanowi to wielkie ułatwienie dla nauczycieli szkolnych i akademickich oraz ich uczniów. Globalizujący się świat nie może się obejść bez wspólnych „języków” w różnych dziedzinach i układ SI pełni rolę takiego „języka” w dziedzinie jednostek miar[9].

Jednostkami pozaukładowymi nazywamy jednostki nienależące do spójnego układu jednostek miar (w praktyce: nienależące do układu SI). Jednostki pozaukładowe mają też określone zalety:

a) umożliwiają wyrażanie wyniku pomiaru w postaci przyjaznych dla użytkownika liczb. Przykładowo, wygodnymi jednostkami dla wyrażania pola powierzchni działek budowlanych i gospodarstw rolnych są, odpowiednio, ar (1 a = 100 m²) i hektar (1 ha = 10000 m²). Najbliższe jednostki układu SI – metr kwadratowy i kilometr kwadratowy – są zbyt małe bądź zbyt duże.

b) nazwa jednostki pozaukładowej bywa krótsza, więc wygodniejsza. Jednostkę powierzchni – ar – można w zasadzie zastąpić dekametrem kwadratowym. Tyle, że oznacza to zastąpienie wyrazu jednosylabowego przez dwa wyrazy zawierające w sumie siedem sylab.

c) w wielu sytuacjach jednostki pozaukładowe lepiej od jednostek SI uzmysławiają naturę danej wielkości fizycznej. Przykładem może być jednostka energii – kilowatogodzina. Nawet osoba bez wykształcenia technicznego rozumie, że włączenie elektrycznego grzejnika o mocy 2 kW przez 8 godzin spowoduje pobór 16 kWh energii (i związaną z tym zapłatę dla dostawcy energii). To zrozumienie jest stracone, jeżeli energia ta zostanie wyrażona w porównywalnych pod względem wielkości megadżulach (1 kWh = 3,6 MJ).

d) jednostki pozaukładowe często mają łatwe do uzmysłowienia naturalne wzorce. Wzorcem takim jest siła, z jaką Ziemia przyciąga masę 1 kg, dzięki czemu kilogram siły (1 kG = 9,80665 N) pozostaje używaną miarą siły. Atmosfera techniczna, czyli kilogram siły na centymetr kwadratowy (1 at = 1 kG/cm²) jest wielkością łatwiejszą do wyobrażenia niż paskal (1 Pa = 1 N/m²). Dzięki szczęśliwej koincydencji, atmosfera techniczna jest ponadto bliska rzeczywistej, nieco zmiennej w czasie, wartości ciśnienia atmosferycznego[10].

e) przykład stopnia kątowego, jednostki wprowadzonej w starożytnej Mezopotanii, pokazuje, że jednostki pozaukładowe są zgodne z tradycją i przyzwyczajeniami.

f) jednostki pozaukładowe stanowią część języka określonych grup zawodowych. Przykładowo: dioptria – okulistów, ary i hektary – geodetów i rolników, mile morskie i węzły – marynarzy i żeglarzy, czy wreszcie angstremy (1 Å = 10–10 m) i barny (10–28 m²) – zawodowych fizyków.

g) poza jakimkolwiek spójnym układem miar pozostają jednostki pozafizyczne, takie jak wspomniana przedtem twardość.

Do jednostek pozaukładowych należą anglosaskie jednostki miary, używane w USA, Wielkiej Brytanii i licznych państwach, które były niegdyś jej koloniami. W krajach tych trwa nieustająca debata, jak winna wyglądać koegzystencja jednostek układu SI i jednostek tradycyjnych. Przy czym argumentuje się, że pojęcia takie jak funt, mila czy galon stanowią część narodowej kultury.

Tabela 1.5. Najpowszechniej stosowane jednostki pozaukładowe

Wielkość

Jednostka pozaukładowa

Związek z jednostkimi układu SI

nazwa

symbol

długość

cal

in. lub ′′

1 in. = 2,54 mm

czas

minuta

min

1 min = 60 s

godzina

h

1 h = 3600 s

doba

d

1 d = 86 400 s

rok (zwrotnikowy)

a, r.

1 a ≈ 31 556 926 s

masa

tona

t

1 t = 1000 kg

kąt płaski

obrót

obr.

1 obr. = 2p rad

stopień kątowy

°

1° = (p/180) rad

pole powierzchni

ar

a

1 a = 100 m²

hektar

ha

1 ha = 100 a = 10000 m²

objętość, pojemność

litr

l, L

1 l = 1 dm³

prędkość

kilometr na godzinę

km/h

1 km/h = (10/36) m/s

prędkość kątowa

obrót na sekundę

obr./s

1 obr./s = 2p rad/s

siła

kilogram siły

kG

1 kG = 9,80665 N

praca, energia

kilowatogodzina

kWh

1 kWh = 3,6×10⁶ J

ciepło

kaloria

cal

1 cal = 4,1868 J

moc

koń mechaniczny

KM

1 KM = 0,7355 kW

ciśnienie

milimetr słupa rtęci

mmHg

133,32 Pa

atmosfera techniczna

at

980,665 hPa

zdolność skupiająca soczewki

dioptria

1 dioptria = 1 m–¹

Jedyną anglosaską jednostką używaną szerzej w Polsce jest cal. Rozmiar ekranu TV czy monitora komputera wyrażamy zwykle w calach, co oczywiście można zmienić. Natomiast średnice rur i rozmiary gwintów w urządzeniach hydraulicznych są – i pozostaną w dającej się przewidzieć przyszłości – okrągłymi ułamkami cala. W tabeli 1.5 podano subiektywny wybór jednostek pozaukładowych, z jakimi spotka się w swoim życiu dorosły mieszkaniec Polski.

Wszystkie jednostki pozaukładowe wymienione w tab. 1.5 nie mają obecnie własnych wzorców, lecz są sztywno powiązane z jednostkami układu SI. Na przykład cal jest równy dokładnie 25,4 mm, zaś zamiana kilograma siły na niutony czy też konia mechanicznego na kilowaty odbywa się za pośrednictwem umownej wartości przyspieszenia ziemskiego g = 9,80665 m/s².

Reasumując, jednostki pozaukładowe nie powinny być traktowane jako „nienowoczesne” i „nienaukowe”. W obecnych czasach, gdy jedynym używanym układem jednostek pozostał układ SI, jednostki pozaukładowe stanowią jego niezbędne uzupełnienie. Koegzystencja z układem SI nie rodzi istotnych problemów, gdyż:

podczas wykonywania obliczeń przy użyciu wzorów układu SI status jednostek pozaukładowych i wielokrotności jednostek SI jest taki sam: aby uzyskać wynik w jednostce SI jedne i drugie trzeba podczas podstawiania do wzoru zamienić na jednostki układu SI.

1.6. Przepisy prawne dotyczące jednostek miar

Wykonywanie pomiarów jest obszarem działalności ludzkiej, którego znaczenie dla funkcjonowania współczesnego świata jest większe niż się na ogół przypuszcza[11]. Przykładowo, pomiar ilości i parametrów technicznych paliw w cysternach i zbiornikach ma znaczenie dla określenia podatków i walki z przestępczością paliwową, zaś określenie ilości gazu przepływającego przez rurociąg może mieć nawet reperkusje międzynarodowe. Nic więc dziwnego, że szeroko rozumiana problematyka mierzenia i jednostek miar jest przedmiotem krajowych i międzynarodowych regulacji prawnych.

Omówiliśmy poprzednio (p. 1.1) fundamentalny podział jednostek miar na jednostki wielkości fizycznych i pozafizycznych. Podział ten w międzynarodowym prawodawstwie przejawia się tym, że nadzór na obydwoma kategoriami jednostek sprawują różne instytucje: w przypadku jednostek wielkości fizycznych są to organa Konwencji Metrycznej (por. podrozdz. 1.2), natomiast sposoby pomiaru i jednostki wielkości pozafizycznych określają normy techniczne, wydawane przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną (ISO – International Standarization Organization) i inne międzynarodowe organizacje techniczne.

W naszym kraju instytucjami państwowymi zajmującymi się zagadnieniami miar, przyrządów pomiarowych i metod mierzenia są Główny Urząd Miar w Warszawie i urzędy terenowej administracji miar – 9 okręgowych i 62 obwodowych urzędów miar. W dziedzinie jednostek miary podstawowym aktem prawnym jest ustawa[12] Prawo o miarach (2001). Ustawa określa podstawy działalności metrologicznej państwa, której szczegóły regulują dziesiątki rozporządzeń ministerialnych.

Przyjrzyjmy się zatem najważniejszym postanowieniom ustawy. Charakter preambuły ma jednozdaniowy artykuł 1: „Celem ustawy jest zapewnienie jednolitości miar i wymaganej dokładności pomiarów wielkości fizycznych w Rzeczypospolitej Polskiej”. Stwierdzenie to pośrednio stwierdza, że ustawa nie zajmuje się miarami wielkości pozafizycznych, które w naszym prawodastwie regulowane są przez przyjęte przez Polskę normy techniczne[13].

Prawo o miarach (2001) określa pojęcie legalnej jednostki miary, jako „jednostki miary, której stosowanie jest nakazane lub dozwolone przepisem prawnym” (art. 4 pkt 1). Zgodnie z art. 6 pkt 1 „Obowiązek stosowania legalnych jednostek miar dotyczy użytkowania przyrządów pomiarowych, wykonywania pomiarów i wyrażania wartości wielkości fizycznych w gospodarce, ochronie zdrowia i bezpieczeństwa publicznego oraz przy czynnościach o charakterze administracyjnym”.

Na mocy ustawy, za legalne jednostki miar uznaje się wszystkie jednostki Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (SI) oraz jednostki pozaukładowe, których listę precyzuje rozporządzenie wykonawcze. Jest nim aktualnie rozporządzenie[14] w sprawie legalnych jednostek miar (2006) ze zmianami (2010). Wszystkie wymienione w nim legalne jednostki pozaukładowe są jednostkami wielkości fizycznych. Do ogólnego stosowania dopuszcza się jednostki czasu: minuta, godzina, doba, rok; jednostki kąta: obrót, stopień, minuta, sekunda i gon; ponadto litr, tonę, bar, jednostkę masy atomowej i elektronowolt. Do stosowania wyłącznie w specjalnych dziedzinach dopuszcza się: ar, hektar, barn, teks, dioptrię, karat metryczny, milimetr słupa rtęci, rentgen, amperogodzinę, war, watogodzinę, neper i bel. Legalnymi są też ilorazy i iloczyny jednostek legalnych, dlatego legalną jednostką jest np. km/h jako jednostka prędkości oraz jednostki prędkości kątowej obr./s i obr./min. Spośród jednostek pozaukładowych wymienionych w tabeli 1.5, „nielegalnymi” pozostają cal, kilogram siły, atmosfera techniczna, koń mechaniczny i kaloria.

Dla studenta oraz pracownika nauki istotne jest pytanie, czy w sprawozdaniu laboratoryjnym, pracy dyplomowej względnie artykule naukowym może stosować jednostki niezaliczone do legalnych. Wbrew często wypowiadanej opinii odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. W obowiązującym prawie obowiązek stosowania jednostek nie obejmuje nauki i edukacji, w związku z tym wszystkie jednostki miary są prawnie dozwolone w szkolnictwie i pracy naukowej[15].

1.7. Obliczenia z udziałem jednostek

Niezbędną umiejętnością podczas opracowania wyników pomiarów są obliczenia z udziałem jednostek miar. Omówione poniżej sposoby postępowania są wspólne dla jednostek układu SI (podstawowych i pochodnych), ich wielokrotności i podwielokrotności oraz jednostek pozaukładowych.

a) analiza wymiarowa

Jeżeli zamiast symboli podstawimy jednostki układu SI, można się przekonać, że po wykonaniu przekształceń jednostki po prawej i lewej stronie równania są takie same. Rachunek taki zwany analizą wymiarową, umożliwia kontrolę poprawności wzorów. Wzór jest błędny, jeżeli jednostki obydwu stron równania wypadną różne. Ułatwieniem dla stosowania analizy wymiarowej w praktyce są tabele 1.2 i 1.3, w których znajdziemy wyrażenia jednostek pochodnych za pomocą jednostek podstawowych.

b) obliczenie z zamianą jednostek na jednostki układu SI

Po dokonaniu zamiany jednostek wielokrotnych i pozaukładowych na jednostki układu SI obliczenie możemy wykonać na „gołych” liczbach. Wynik obliczenia uzyskamy w jednostce układu SI.

c) obliczenie łączące działania na liczbach i analizę wymiarową

Jest to najbardziej godny polecenia sposób postępowania. Zaletą jest zmniejszenie ogólnej liczby działań arytmetycznych, bo część czynników potrzebnych do zamiany jednostek może ulec uproszczeniu. Przy okazji wykonujemy analizę wymiarową.

Porównanie omówionych sposobów obliczeń przedstawia poniższy przykład.

Przykład 1.2. Obliczenie ciśnienia hydrostatycznego

Manometr hydrostatyczny wypełniony rtęcią bywa używany do pomiaru ciśnienia, np. krwi w organizmie człowieka. Ciśnienie hydrostatyczne p określa wzór

 p = ρ g h.

Znając gęstość cieczy ρ, w przypadku rtęci równą 13,579 g/cm³, i przyspieszenie ziemskie g = 9,807 m/s², chcemy obliczyć (w paskalach) ciśnienie odpowiadające wysokości słupa rtęci h = 120 mm.

ad a) analiza wymiarowa:

Wypadkowa jednostka prawej strony wzoru jest równa: . Sprawdzamy samodzielnie, lub przez zajrzenie do tabeli 1.2, że taki właśnie wymiar ma paskal.

ad b) obliczenie z zamianą jednostek danych wejściowych na jednostki układu SI

Gęstość rtęci: .

Wysokość słupa rtęci: h=120mm=120·0,001m=0,12m.

Obliczamy ciśnienie: .

W celu uzyskania wyniku liczbowego trzeba wykonać cztery operacje mnożenia i jedno dzielenie.

ad c) obliczenie łączące działania na liczbach z analizą wymiarową

Po uproszczeniu czynników 10–3, 10–3 i 10–6 wystarczy wykonać tylko dwie operacje mnożenia.

Uzyskany wynik najwygodniej jest tu podać w hektopaskalach, jako p ≅ 159 hPa. Nie jest to ciśnienie bezwzględne, lecz różnica między ciśnieniem mierzonym i atmosferycznym.

[1] Więcej informacji nt. ogólnej teorii pomiarów i skal pomiarowych znajdziemy w podręcznikach metrologii, np. Sydenhama (1982) i Piotrowskiego (1986).

[2] Układ SI zawiera, na zasadzie wyjątku, niewielką liczbę jednostek pozafizycznych. Patrz p. H5 w Dodatku H. Uwaga: w dalszej części podręcznika podrozdziały dodatków będą cytowane jako np. B3 lub H5.

[3] Pierwszym spójnym układem jednostek był układ CGS (od: centymetr, gram, sekunda), opracowany w XIX stuleciu. W dziedzinie elektromagnetyzmu miał on dwa warianty: CGS elektrostatyczny i CGS elektromagnetyczny. Bezpośrednim poprzednikiem układu SI był układ MKSA (od: metr, kilogram, sekunda, amper). Obydwa układy jednostek za podstawowe wielkości mechaniczne przyjmują długość, masę i czas. Inny wybór wielkości podstawowych miał układ techniczny (jednostki podstawowe: metr, sekunda i kilogram siły). Więcej na temat historycznych układów jednostek można znaleźć w podręczniku Fenny (2002).

[4] W układzie SI wyjątkiem od zasady spójności jest wprowadzenie stałej magnetycznej μ₀ oraz stałej elektrycznej ε₀ do równań elektromagnetyzmu (p. H2).

[5] Według Rozporządzenia w sprawie legalnych jednostek miar (2006) ze zmianami (2010). Definicja kelwina skrócona, pełna jej wersja określa skład izotopowy wody.

[6] Według Rozporządzenia w sprawie legalnych jednostek miar (2006) ze zmianami (2010). W ostatniej kolumnie tabeli dla strumienia świetlnego poprawiono oczywistą pomyłkę.

[7] Wyjątkiem od tej zasady jest temperatura (p. H3).

[8] Tyle wielkości zawiera wykaz w podręczniku Massalskiego i Studnickiego (1988).

[9] Warto zauważyć, że do połowy XX wieku rywalizowało ze sobą kilka układów jednostek (CGS, MKSA, techniczny, jednostki anglosaskie) oraz, po zaniechaniu używania łaciny, kilka międzynarodowych języków nauki (niemiecki, francuski, angielski). Współcześnie pozostał tylko układ SI i język angielski.

[10] Właściwości tej nie ma anglosaski odpowiednik atmosfery technicznej: funt siły na cal kwadratowy (pound per square inch, oznaczenie psi).

[11] Vide dokumenty na portalu Głównego Urzędu Miar: http://www.gum.gov.pl

[12] Pełny opis dokumentu w spisie literatury.

[13] W praktyce wszystkie są identyczne z normami europejskimi, o czym informuje litera E w symbolach norm.

[14] Pełny opis w spisie literatury.

[15] Dawniejsze prawo stanowiło inaczej. Poprzednia ustawa Prawo o miarach z dnia 3 kwietnia 1993 stwierdza w art. 2.1: „We wszystkich dziedzinach życia publicznego do wyrażania wielkości fizycznych należy stosować jednostki miar określone w ustawie”. Inne jednostki dopuszczone były tylko w pracach badawczych i kontaktach z zagranicą (art. 5). Był to jeden z powodów wyeliminowania takich jednostek jak kG czy KM czy cal (zdefiniowane w tab. 1.4) z podręczników szkolnych, ze szkodą dla kultury technicznej społeczeństwa.

Rozdział 2

Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe

Wynik pomiaru wielkości fizycznej jest iloczynem wartości liczbowej i jednostki miary. Po przedstawieniu w rozdz. 1 zagadnienia jednostek miar omówimy ogólne własności liczb pochodzących z wykonanego pomiaru i wykonywanych na nich obliczeń. Ich charakterystyczną cechą jest, że o ile sama wielkość mierzona może być uważana za wielkość ciągłą, o tyle wynik pomiaru jest wielkością dyskretną, zarówno w przypadku przyrządów cyfrowych, jak i wyposażonych w podziałkę analogową. Rozdział kończy się uwagami o dwu urządzeniach używanych do wykonywania obliczeń: kalkulatorze i komputerze.

2.1. Nieciągła natura liczb uzyskiwanych w pomiarach. Rozdzielczość

Niektóre pomiary polegają na liczeniu obiektów, na przykład liczby bakterii w polu widzenia mikroskopu lub liczby fotonów zarejestrowanych w danym czasie przez detektor promieniowania. Rezultatem takiego pomiaru jest liczba całkowita.

Jednak najczęściej mierzona wielkość jest z natury ciągła. Akt pomiaru „przetwarza” ją na liczbę wymierną o skończonej liczbie cyfr. Pokazuje to idealna charakterystyka przyrządu pomiarowego pokazana na rys. 2.1.

Przetworzenie takie następuje w sposób oczywisty w przyrządach cyfrowych, ponieważ wyświetlacz przyrządu ma skończoną liczbę cyfr. Przykładowo, z wyświetlacza amperomierza cyfrowego (rys. 2.2b) odczytujemy wartość prądu

 i = 37,5 mA.

Ważną cechą pomiaru jest rozdzielczość, zdefiniowana przez Słownik[1] jako najmniejsza różnica wskazania urządzenia wskazującego, która może być zauważona w wyraźny sposób. W przypadku przyrządu cyfrowego jest to różnica wskazań odpowiadająca zmianie o jednostkę ostatniej pokazywanej cyfry. W przypadku odczytu pokazanego na rys. 2.2b rozdzielczość wynosi

 δ = 0,1 mA.

Rys. 2.1. Idealna charakterystyka digitalizacji mierzonej wielkości ciągłej

Tak zdefiniowana rozdzielczość jest równa szerokości „schodków” idealnej charakterystyki przyrządu (rys. 2.1).

Nieciągły charakter liczb uzyskanych w wyniku pomiaru dotyczy również przyrządów ze skalą analogową (rys. 2.2a). Człowiek dokonujący odczytu może położenie wskazówki przypisać liczbie odpowiadającej najbliższej działce skali (tak postępuje się przy odczycie temperatury tradycyjnym termometrem lekarskim). Wtedy rozdzielczość pomiaru δ będzie równa odległości między najbliższymi kreskami skali, czyli tzw. działce elementarnej. Większą rozdzielczość uzyska się, wykonując interpolację odległości między działkami. Przykładowo, wskazanie analogowego miernika z rys. 2.2a można też odczytać jako i = 37,5 mA (lub według innego obserwatora jako i = 37,4 mA).

Rys. 2.2. Dwa podstawowe rodzaje odczytu: a) skala analogowa ze wskazówką, b) odczyt cyfrowy

Możliwość interpolowania między działkami skali analogowej nie zmienia faktu, że wprowadzenie przyrządów cyfrowych spowodowało zwiększenie rozdzielczości praktycznie wszystkich pomiarów, do których zostały zastosowane. Z analogowej skali miernika elektrycznego można odczytać 2–3 cyfry, natomiast nawet najtańszy elektryczny miernik cyfrowy dostarcza 3–4 cyfry, a mierniki wyższej klasy typowo 5–7 cyfr.

Niezależnie od rodzaju pomiaru, godną polecenia zasadą jest, by bezpośrednie wyniki pomiarów zapisywać bez jakiegokolwiek przetwarzania (np. zamiany jednostek).

Przykład 2.1. Wahadło: rozdzielczość pomiarów długości i czasu.

Wyidealizowanym modelem wahadła prostego jest punkt materialny o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. Praktyczną realizacją wahadła prostego może być np. metalowa kula zawieszona na zwykłej nici krawieckiej (rys. 2.3). Gdy kąt wychylenia θ jest mały, okres wahadła

zależy tylko od jego długości l i przyspieszenia ziemskiego g.

Rys. 2.3. Eksperymentalna realizacja wahadła prostego

Do pomiaru okresu wahadła stosujemy sekundomierz cyfrowy, którego rozdzielczość pomiaru czasu δ(t) = 0,01 s.

Pomiar długości wykonujemy za pomocą przymiaru milimetrowego (linijki). To przykład przyrządu ze skalą analogową. Jeżeli przy pomiarze odczytujemy długość l tylko z dokładnością do najbliższej kreski, to rozdzielczość wynosi δ(l) = 1 mm.

Badanie ruchu wahadła prostego jest przykładem elementarnego eksperymentu, którego wszechstronna analiza będzie tematem trzynastu powiązanych ze sobą przykładów w następnych rozdziałach. Są to przykłady 3.1, 4.1, 5.4, 5.5, 6.2, 7.2, 7.4, 7.5, 8.1, 8.3, 9.1, 9.2 i 10.5. Nazwy tych przykładów zaczynają się od słowa „wahadło”.

2.2. Cyfry znaczące i nieznaczące

Z nieciągłą naturą liczb uzyskanych w wyniku pomiaru wiąże się pożyteczne pojęcie cyfr znaczących. Mówimy, że wynik pomiaru i = 37,5 mA zawiera trzy cyfry znaczące. Poniżej na przykładach przedstawimy znaczenie tego pojęcia.

a) zmiana jednostek miary zmienia wartość liczbową pomiaru, ale nie zmienia liczby cyfr znaczących. Jeżeli nasz rezultat pomiaru prądu wyrazimy w amperach:

 i = 0,0375 A,  

liczba użytych do zapisu cyfr zwiększy się do pięciu, ale tylko trzy z nich pozostają cyframi znaczącymi, pierwsze dwa zera są nieznaczące. Podobnie, jeżeli zapiszemy natężenie prądu w mikroamperach,

 i = 3750 μA,  

ostatnie zero jest cyfrą nieznaczącą. Aby unikać nieznaczących zer, należy dobierać właściwe wielokrotności jednostek.

b) jeżeli ostatnia cyfra odczytana podczas pomiaru jest zerem, traktujemy ją jako cyfrę znaczącą i zapisujemy. Przykładowo, jeżeli pomiar temperatury pacjenta dał wartość

 t = 38,0°C,  

ostatnie zero należy zapisać – jest cyfrą znaczącą!

c) liczba cyfr znaczących jest grubą miarą względnej rozdzielczości pomiaru, definiowanej jako stosunek rozdzielczości δ(x) do wielkości mierzonej x. Przykładowo, dla pomiaru z trzema cyframi znaczącymi względna rozdzielczość pomiaru δ(x)/x zawiera się w przedziale od 10–2 do 10–3.

2.3. Obliczenia na liczbach pochodzących z pomiaru

Jak przedstawiono poprzednio, jedną z możliwych operacji na liczbach pochodzących z pomiaru jest zamiana jednostek, przy której nie zmienia się liczba cyfr znaczących. To samo dotyczy operacji dodawania i odejmowania liczb pochodzących z pomiaru o tej samej rozdzielczości. Większość innych obliczeń powoduje generowanie cyfr rozwinięcia dziesiętnego, ograniczonego tylko przez liczbę cyfr w „arytmetyce” używanego kalkulatora czy programu komputerowego. Niepotrzebne jest zapisywanie np. wszystkich dziesięciu cyfr wyświetlanych w okienku kalkulatora. Powstaje pytanie: ile cyfr wystarczy zapisywać bez utraty rozdzielczości?

Pełna odpowiedź na to pytanie zależy od rodzaju wykonywanych obliczeń. Dla większości obliczeń, w szczególności będących sekwencją mnożeń, dzieleń i obliczania funkcji elementarnych, obowiązuje reguła:

Obliczenia nie powodują zwiększenia liczby cyfr znaczących. By nie tracić informacji wystarczy, by wynik obliczeń podawać z liczbą cyfr większą o jeden od liczby cyfr znaczących w danych wejściowych.

Nieznaczące cyfry odrzucamy, stosując zwykłe reguły zaokrąglania.

Przedstawiona reguła nie jest ogólna. Niektóre obliczenia, jak np. niewielkiej różnicy dwu dużych liczb, mogą wymagać zwiększenia liczby cyfr dla odejmowanych liczb po to, by ich różnica miała wymaganą dokładność.

Przykład 2.2. Obliczenie objętości kuli o znanej średnicy

Zmierzono średnicę D = 2r stalowej kulki śrubą mikrometryczną, otrzymując wartość 2,55 mm. Wzór na objętość kuli pozwala obliczyć jej objętość:

.

Ponieważ zmienna wejściowa D miała trzy cyfry, wynik zapisano z czterema cyframi znaczącymi. Zwrócić należy uwagę, że w celu zachowania dokładności obliczeń użyć trzeba odpowiedniej liczby cyfr dla liczby π, popularne π = 3,14 tu nie wystarcza! Dalsza analiza dokładności tego wyniku będzie tematem przykładu 7.3.

2.4. Zastosowanie kalkulatorów

Wprawdzie komputer czy telefon komórkowy może mieć aplikacja typu „wirtualny kalkulator”, niemniej rzeczywisty kalkulator stanowi niezbędną pomoc przy opracowywaniu danych. Najlepiej zaopatrzyć się w tzw. kalkulator naukowy (scientific), który obok czterech działań oblicza funkcje matematyczne, realizuje podstawowe obliczenia statystyczne i jest wyposażony w możliwość prostego programowania. Przy zakupie kalkulatora warto zwrócić uwagę na kilka jego właściwości, które ułatwią pracę:

a) jakość przyrządu i wygoda pracy zależą w dużym stopniu od jakości jego przycisków;

b) kalkulatory niskiej klasy pokazują stale tę samą maksymalną liczbę cyfr. Wygodne w użyciu są kalkulatory, w których można zadać liczbę cyfr po przecinku i format wyświetlanych liczb (zwykły lub potęgowy). Kalkulator wykonuje obliczenia z maksymalną dokładnością, a wyświetla wynik zaokrąglony;

c) kalkulator powinien umożliwić wprowadzanie liczb w formie potęg dziesiętnych;

d) możliwość zaprogramowania kalkulatora pomaga usprawnić powtarzające się obliczenia. Typowym zastosowaniem jest obliczanie punktów krzywej teoretycznej za pomocą wzoru wprowadzonego do pamięci kalkulatora. Możliwość zaprogramowania do kilkudziesięciu operacji wystarczy w zupełności, większe programy wymagają i tak użycia komputera;

e) cenną właściwością kalkulatora jest stała pamięć (permanent memory), przechowująca zapis rejestrów pamięci i programów również po wyłączeniu przyrządu.

Większość kalkulatorów stosuje notację zwykłą, czyli algebraiczną. Warto wiedzieć, że niektóre kalkulatory wykorzystują „odwrotną notację polską”, zaproponowaną przez Jana Łukasiewicza[2]. W kalkulatorach takich najpierw wprowadza się liczby, (np. 2, 2), następnie naciśnięcie symbolu operacji (np. +) powoduje wyświetlenie wyniku (liczby 4). Uproszczenie złożonych obliczeń polega na całkowitej eliminacji potrzeby stosowania nawiasów i znaku =. Skrótowym symbolem notacji jest RPN – od ang. reverse Polish notation. Kalkulatory wykorzystujące odwrotną notację polską (np. firmy Hewlett Packard) są z upodobaniem stosowane na Zachodzie, natomiast w Polsce pozostają mało znane.

2.5. Komputer

Ten najważniejszy wynalazek współczesnej cywilizacji jest wykorzystywany w technice pomiarowej do różnych celów. Oczywistym zastosowaniem komputera są obliczenia związane z opracowaniem wyników pomiaru. Przede wszystkim te najbardziej pracochłonne, jak obliczenia statystyczne i dopasowanie modeli teoretycznych do danych doświadczalnych. Typowym zastosowaniem komputera w analizie danych jest też graficzna prezentacja rezultatów pomiaru, czyli wykonywanie wykresów. Jest też powszechnie wykorzystywany do zbierania danych i sterowania przebiegiem eksperymentu.

Zastosowanie do opracowywania danych pomiarowych

Wiele informacji o zastosowaniu komputera do analizy danych znajduje się w różnych miejscach podręcznika. Będą to ogólne opisy odpowiednich algorytmów, jako, że nie jest celowe opisywanie określonych programów. Tym bardziej, że na rynku wciąż pojawiają się zarówno programy nowe, jak i kolejne wersje programów już istniejących. Niemniej, celowe jest usystematyzowanie nazw dla pewnych typów programów (czy, jak się mawia obecnie, aplikacji), które będą używane w tekście.

Arkusz kalkulacyjny

Istotą struktury arkusza kalkulacyjnego jest możliwość tworzenia kolumn, złożonych z okienek, do których wpisujemy dane. Obok liczb mogą to być również słowa i inne znaki. Możemy je wprowadzić z klawiatury lub przenieść z innego pliku (import danych). Dla pojedynczego okienka, całej kolumny względnie zespołu kolumn można wykonywać obliczenia zasadniczo takie same, jak w kalkulatorze. Struktura arkusza pozwala przeprowadzać również operacje na całym zestawie danych, najczęściej całej kolumnie. Przykładem może być porządkowanie (sortowanie) kolumny: od liczby najmniejszej do największej, czy obliczanie sumy liczb w kolumnie.

Pakiet statystyczny

Specjalistyczna aplikacja do obliczeń statystycznych.

Program graficzny

Zadaniem tej aplikacji jest tworzenie graficznej prezentacji danych. W przypadku nauk ścisłych i technicznych chodzi najczęściej o wykonywanie wykresów i tematyce tej poświęcamy rozdz. 9. Dane do wykresu należy wpisać względnie importować do stosownych kolumn analogicznych jak w arkuszu kalkulacyjnym.

Programy właściwe

Istotą właściwych programów, pisanych przez użytkownika, jest nie tylko zadanie wykonywania sekwencji obliczeń, lecz także możliwość tworzenia pętli warunkowej, dzięki czemu przebieg obliczenia zależy od uzyskanych wyników. Programy ogólnego stosowania, takie jak Fortran, C, C++ itp. są współcześnie uzupełnione przez dedykowane programy ułatwiające realizację operacji matematycznych, takie jak Matlab czy Mathematica.

W powyższym opisie, staraliśmy się wyróżnić poszczególne funkcje realizowane przez program. Współcześnie, program o danej nazwie i przypisany do danej grupy z zasady łączy różne funkcje z tym, że funkcja podstawowa jest zrealizowana najpełniej, a funkcje dodatkowe często w formie uproszczonej. Najpopularniejszym typem arkusza kalkulacyjnego jest współcześnie MS Excel, w którym obok funkcji arkusza mamy program typu Visual Basic i dość ograniczoną możliwość wykonywania wykresów. Najczęściej używany obecnie program graficzny, jakim są kolejne wersje Origina, ma ponadto funkcje arkusza kalkulacyjnego i pakietu statystycznego. Każdy pakiet statystyczny (np. Statistica) ma możliwość tworzenia wykresów. To samo dotyczy wielu programów właściwych, jak np. Matlaba.

Rola komputera w technice eksperymentalnej

Wynalazek komputera spowodował też prawdziwą rewolucję w technice pomiarowej. Komputery umożliwiają automatyczne zbieranie, czyli akwizycję danych. Rejestracja sygnałów napięciowych odbywa się najczęściej przy wykorzystaniu kart do akwizycji danych, działających podobnie jak woltomierz cyfrowy (p. 6.1). Rozszerza to możliwości pomiarowe przez fakt, że można zapisać bardzo dużo informacji i można to czynić w tempie nieosiągalnym dla człowieka. Przykładem takiego pomiaru jest pokazany na rys. 10.2 przebieg rozładowania kondensatora, zmierzony w czasie 60 ms.

Obok roli biernej (zbieranie danych) program komputerowy może sterować przebiegiem eksperymentu. Zebrane dane mogą być za jego pomocą przetwarzane i analizowane po zakończeniu, lub nawet w czasie jego trwania („on line”). Większość bardziej złożonych aparatur pomiarowych jest obecnie nie do pomyślenia bez komputera stosowanego do sterowania pomiarem, zbierania danych i ich analizy. Te trzy funkcje dobrze ilustruje przykład dyfraktometru rentgenowskiego (przykład 2.3).

Przykład 2.3. Uniwersalny dyfraktometr rentgenowski jako przykład skomputeryzowanej aparatury pomiarowej

Przeznaczeniem dyfraktometru jest badanie struktury atomowej głównie substancji polikrystalicznych, ale także innych struktur materii skondensowanej[3]. Znajduje zastosowanie w wielu działach nauki (fizyka ciała stałego, chemia, inżynieria materiałowa, geologia, farmakologia, itd.) i gospodarki (od przemysłu cementowego do kryminalistyki).

Schemat przyrządu (w wersji podstawowej) przedstawiona jest na rys. 2.4. Badana próbka oświetlana jest wiązką promieniowania X wytworzoną w lampie rentgenowskiej L. Długość fali promieniowania λ zależy od pierwiastka, z którego wykonana jest anoda lampy.

Rys. 2.4. Schemat współczesnego dyfraktometru rentgenowskiego. Objaśnienia symboli w tekście

Padające promieniowanie ulega dyfrakcji na zbiorze krystalitów próbki i trafia do detektora D. Rezultatem pomiaru jest zależność liczby N kwantów zarejestrowanych przez detektor w funkcji kąta 2θ między kierunkiem wiązki padającej i odbitej. W przypadku substancji polikrystalicznej funkcja N(2θ) jest zbiorem refleksów dyfrakcyjnych (rys. 2.5) wyrastających z wolnozmiennego tła. Położenie kątowe refleksów określa równanie Bragga[4]:

2dhkl sin θ = λ, 

(2.1)

w którym symbol dhkl oznacza dyskretny zbiór tzw. odległości międzypłaszczyznowych. W przypadku struktur kubicznych, dla których komórka elementarna jest sześcianem o boku a (wstawka na rys. 2.5), wartość dhkl określa wzór

(2.2)

Wskaźniki hkl są zestawem trzech liczb całkowitych, które jednoznacznie określają każdy refleks dyfraktogramu.

Rys. 2.5. Schematyczny dyfraktogram polikrystalicznego wolframu, pokazujący piki dyfrakcyjne jako słupki o wysokości równej ich względnemu natężeniu. Rzeczywisty profil refleksu 211 pokazano na rys. 14.5

W opisanym dyfraktometrze komputer wykonuje różne czynności. Wymienić można:

a) sterowanie pracą aparatury. Polega na zadaniu:

• parametrów pracy lampy rentgenowskiej: prądu i napięcia,

• szerokości szczelin S₁, S₂ i S₃, określających geometrię pomiaru,

• parametrów określających ruchy ramion dyfraktometru.

 Najczęściej wykonywany sposób pomiaru polega na jednoczesnym przesuwaniu do góry obydwu ramion, tak, że φ₁ = φ₂ = θ. Po kolejnym przesunięciu ramion o zadaną wartość przyrostu kąta Δθ jest wykonywany, w zadanym czasie, pomiar liczby zliczeń N. Zamiana sygnałów z komputera na ruchy szczelin i ramion dyfraktometru odbywa się za pośrednictwem mechanizmów wykorzystujących silniki krokowe.

b) zbieranie danych pomiarowych:

• rejestracja parametrów pomiaru, opisanych w punkcie (a).

• zapis wartości kąta θ i liczby N rejestrowanych kwantów dla kolejnych położeń ramion,

• wyświetlanie na bieżąco wykresu N(2θ).

c) opracowanie i analiza wyników pomiaru. W przypadku dyfraktometru może to być:

• obliczanie parametrów piku dyfraktogramu (położenie, amplituda i szerokość połówkowa),

• wyznaczanie parametrów struktury krystalicznej, takich jak kształt i rozmiary komórki elementarnej, oraz położenia atomów w komórce,

• rozpoznawanie składników badanej próbki, czyli analiza fazowa. Współcześnie jest realizowana przez automatyczne porównywanie wyniku pomiaru z dyfraktogramami różnych substancji z bazy danych, liczącej np. 300 000 dyfraktogramów.

Dane uzyskane za pomocą dyfraktometru rentgenowskiego będą wykorzystane w przykładach 5.2, 5.3, 14.1, 15.2, 15.3, 15.6 i 15.7.

[1] W tekście podręcznika odnośnik ten oznacza Międzynarodowy Słownik Podstawowych i Ogólnych Terminów Metrologii Patrz spis literatury.

[2] Jan Łukasiewicz (1878–1956), polski filozof i logik. Urodzony we Lwowie, studiował na uniwersytecie lwowskim, tamże uzyskał doktorat (1902) i wykładał już od 1906 roku. W 1916 roku przeniósł się do Uniwersytetu Warszawskiego, organizującego się na nowo po latach funkcjonowania jako uczelnia rosyjska. W UW pracował do końca okresu międzywojennego, również jako rektor – obecnie jego pomnik znajdziemy w nowym gmachu Biblioteki Uniwersyteckiej. Był ministrem oświaty w rządzie Ignacego J. Paderewskiego (jego podpis widnieje na dekrecie z 1919 r. powołującym do istnienia Akademię Górniczą w Krakowie). Obok odwrotnej notacji polskiej najbardziej znanym osiągnięciem naukowym Łukasiewicza jest stworzenie logiki trójwartościowej, obejmującej trzy znaki logiczne: prawda, fałsz, nie wiem. Zmarł na emigracji w Dublinie (Irlandia).

[3] Nowoczesny podręcznik dyfraktometrii: Dinnebier i Billinge (2008).

[4] Zjawisko dyfrakcji na kryształach i prawo Bragga omawiane jest w każdym podręczniku krystalografii i fizyki ciała stałego oraz, skrótowo, w wielu akademickich podręcznikach fizyki ogólnej.