Projekt okładki: Piotr Paczuski

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Irena Puchalska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Recenzent: prof. dr hab. inż. Andrzej Wawrzynek, Politechnika Śląska

Opiniodawca: dr inż. Anna Rawska-Skotniczny, Politechnika Opolska

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN: Michał Latusek

Publikacja wydana przy współudziale środków Cementowni Odra S.A.

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2022

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2022r. (wyd. I)

ISBN: 978-83-01-22227-7

DOI: https://doi.org/10.53271/2022.007

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288,

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl, reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Bezpłatny fragment

Wprowadzenie

Wykaz oznaczeń

1. Naprężenie

1.1. Ośrodek ciągły

1.2. Klasyfikacja sił

1.3. Wektor naprężenia

1.4. Stan naprężenia. Tensor naprężeń

1.5. Naprężenia główne

1.6. Równania równowagi

1.7. Warunki brzegowe

1.8. Aksjator i dewiator naprężeń

1.9. Ekstremalne naprężenia styczne

1.10. Koła MOHRA

1.11. Płaski stan naprężenia

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

2. Odkształcenie

2.1. Wektor przemieszczenia

2.2. Równania geometryczne. Tensor odkształceń

2.3. Warunki brzegowe

2.4. Interpretacja geometryczna współrzędnych tensora odkształceń

2.5. Warunki nierozdzielności

2.6. Odkształcenia główne

2.7. Względna zmiana objętości

2.8. Aksjator i dewiator odkształceń

2.9. Płaski stan odkształcenia

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

3. Materiał

3.1. Wprowadzenie

3.2. Równania HOOKE’A

3.3. Prawo zmiany objętości i prawo zmiany postaci

3.4. Energia odkształcenia

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

4. Zagadnienie brzegowe

4.1. Układ równań

4.2. Zasada wzajemności

4.3. Warunki brzegowe

4.4. Sformułowanie zagadnienia brzegowego

4.5. Warunki równoważności

4.6. Zasada DE SAINT-VENANTA

4.7. Zasada superpozycji

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

5. Rozciąganie

5.1. Hipoteza płaskich przekrojów

5.2. Sformułowanie zagadnienia

5.3. Strona fizyczna

5.4. Strona statyczna

5.5. Strona geometryczna

5.6. Obciążenie równomiernie rozłożone

5.7. Statyczna próba rozciągania

5.8. Warunki wymiarowania

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

6. Ścinanie

6.1. Wprowadzenie

6.2. Sformułowanie zagadnienia

6.3. Strona geometryczna

6.4. Strona fizyczna

6.5. Strona statyczna

6.6. Naprężenie, odkształcenie i przemieszczenie

6.7. Warunek wymiarowania

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

7. Skręcanie

7.1. Wprowadzenie

7.2. Sformułowanie zagadnienia

7.3. Strona geometryczna

7.4. Strona fizyczna

7.5. Strona statyczna

7.6. Przekrój prostokątny

7.7. Warunki wymiarowania

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

8. Zginanie

8.1. Wprowadzenie

8.2. Sformułowanie zagadnienia

8.3. Strona fizyczna

8.4. Strona statyczna

8.5. Strona geometryczna

8.6. Rozkład naprężeń

8.7. Przekroje niesymetryczne

8.8. Warunki wymiarowania

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

9. Równanie linii ugięcia

9.1. Wprowadzenie

9.2. Równanie różniczkowe linii ugięcia belki

9.3. Warunki brzegowe i warunki ciągłości

9.4. Belka na podłożu sprężystym

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

10. Całka MOHRA

10.1. Wprowadzenie

10.2. Geometryczna postać całki MOHRA

10.3. Wzór WERESZCZAGINA

10.4. Wzory całkowania graficznego

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

11. Metoda sił

11.1. Wprowadzenie

11.2. Równania metody sił

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

12. Zginanie ukośne

12.1. Wprowadzenie

12.2. Naprężenia

12.3. Równanie osi obojętnej

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

13. Zginanie ze ścinaniem

13.1. Wprowadzenie

13.2. Wzór ŻURAWSKIEGO

13.3. Środek zginania

13.4. Warunki wymiarowania

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

14. Rozciąganie mimośrodowe

14.1. Wprowadzenie

14.2. Naprężenia

14.3. Równanie osi obojętnej

14.4. Więzy jednostronne

14.5. Rdzeń przekroju

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

15. Wyboczenie

15.1. Wprowadzenie

15.2. Siła krytyczna EULERA

15.3. Zakres ważności wzoru EULERA

15.4. Długość wyboczeniowa

15.5. Wyboczenie niesprężyste

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

16. Zginanie ze ściskaniem

16.1. Wprowadzenie

16.2. Równanie osi ugiętej

Przykłady

Zagadnienie do utrwalenia

Literatura

17. Wytężenie

17.1. Wprowadzenie

17.2. Miary wytężenia

17.3. Hipotezy wytężeniowe

17.4. Naprężenie zredukowane

17.5. Teoria wytężeniowa MOHRA

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

18. Nośność graniczna

18.1. Wprowadzenie

18.2. Podstawowe pojęcia

18.3. Metoda statyczna

18.4. Metoda kinematyczna

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

19. Pręty zespolone

19.1. Wprowadzenie

19.2. Pręty rozciągane

19.3. Pręty zginane

19.4. Przekrój zastępczy

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

20. Zagadnienia nieliniowe

20.1. Wprowadzenie

20.2. Nieliniowość fizyczna

20.3. Nieliniowość geometryczna – ugięcie

20.4. Nieliniowość geometryczna – wyboczenie

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

21. Metody przybliżone

21.1. Wprowadzenie

21.2. Sformułowanie wariacyjne

21.3. Metoda RAYLEIGHA–RITZA

21.4. Metoda BUBNOWA–GALERKINA

21.5. Metoda najmniejszych kwadratów

21.6. Metoda różnic skończonych (MRS)

21.7. Metoda elementów skończonych (MES)

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

Dodatek A. Siły przekrojowe

A.1. Zasada zesztywnienia

A.2. Rodzaje podpór i reakcje podporowe

A.3. Definicje sił przekrojowych

A.4. Znakowanie sił przekrojowych

A.5. Związek między obciążeniem, siłą podłużną, siłą poprzeczną i momentem zginającym

A.6. Punkty i przedziały charakterystyczne

A.7. Wyznaczanie sił przekrojowych

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

Dodatek B. Charakterystyki geometryczne

B.1. Definicje charakterystyk geometrycznych

B.2. Przesunięcie układu odniesienia – wzory STEINERA

B.3. Obrót układu odniesienia

B.4. Główne osie i momenty bezwładności

B.5. Koło MOHRA

Przykłady

Zagadnienia do utrwalenia

Literatura

Dodatek C. Notacja wskaźnikowa

C.1. Układ odniesienia

C.2. Konwencja sumacyjna

C.3. Oznaczenia

Przykłady

Literatura

Przypisy

Wprowadzenie

Istnieją dwa rodzaje wiedzy. Albo sami znamy daną dziedzinę, albo wiemy gdzie szukać informacji, które jej dotyczą.

BOSWELL J.: Żywot doktora Samuela Johnsona

Wydawnictwo Czytelnik, Warszawa 1962

Mechanika (wytrzymałość) materiałów zajmuje się teoretycznym i eksperymentalnym badaniem zjawisk mechanicznych zachodzących w materiałach konstrukcyjnych. Zjawiska te są wywołane działaniem na konstrukcje sił (obciążeń) zewnętrznych (powierzchniowych i masowych). Obciążenia te wywołują w materiałach siły wewnętrzne (naprężenia) oraz powodują deformacje (odkształcenia) i przemieszczenia (ugięcia i obroty) konstrukcji. Celem mechaniki materiałów jest wyznaczenie tych wielkości przy w miarę dokładnym uwzględnieniu rzeczywistych warunków pracy konstrukcji.

Zadaniem mechaniki materiałów jest taki dobór kształtu przekroju poprzecznego, rodzaju materiału oraz wymiarów konstrukcji, aby była ona:

• wytrzymała, tzn. aby naprężenia w dowolnym punkcie konstrukcji były mniejsze od wielkości, przy której materiał ulega zniszczeniu;

• sztywna, tzn. aby przemieszczenie żadnego punktu konstrukcji nie przekraczało wielkości uznanej za dopuszczalną;

• stateczna, tzn. aby konstrukcja znajdowała się w stanie równowagi trwałej.

Konstrukcja spełniająca powyższe warunki jest w stanie bezpiecznie wytrzymać przyłożone do niej obciążenia. Wynika stąd, że umiejętność wyznaczania naprężeń, odkształceń oraz przemieszczeń jest podstawową umiejętnością inżyniera.

Książka jest przeznaczona przede wszystkim dla studentów wydziałów budownictwa uczelni technicznych i ma ona dać studiującym możliwie ogólną wiedzę oraz niezbędny zakres wiadomości szczegółowych z zakresu mechaniki materiałów.

Książka składa się z dwudziestu jeden rozdziałów i trzech dodatków. Rozdziały 1–4 są poświęcone podstawom liniowej teorii sprężystości. Zdefiniowano w nich tensor naprężeń i równania równowagi (strona statyczna), tensor odkształceń, wektor przemieszczenia i równania geometryczne (strona geometryczna), równania materiałowe (strona fizyczna) oraz sformułowano zagadnienie brzegowe teorii sprężystości. Rozdziały 5–8 są poświęcone prostym przypadkom wytrzymałościowym, czyli rozciąganiu, ścinaniu, skręcaniu i zginaniu. W rozdziałach 9 i 10 przedstawiono równanie osi ugiętej i całkę Mohra, rozdział 11 zaś jest wprowadzeniem do metody sił. W rozdziałach 12–14 oraz 16 omówiono złożone przypadki wytrzymałościowe, a więc zginanie ukośne, zginanie ze ścinaniem, rozciąganie mimośrodowe i rdzeń przekroju oraz zginanie ze ściskaniem. Rozdział 15 jest poświęcony wyboczeniu pręta prostego, a rozdział 17 – wytężeniu materiału. W rozdziałach 18–21 przedstawiono zagadnienia rzadziej spotykane w książkach z zakresu mechaniki materiałów, czyli nośność graniczną belek i ram, rozciąganie i zginanie prętów zespolonych, nieliniowość fizyczną i geometryczną oraz wprowadzenie do przybliżonych metod rozwiązywania zagadnień brzegowych. Książkę kończą trzy dodatki. W pierwszym z nich zawarto najważniejsze informacje dotyczące sił przekrojowych, drugi jest poświęcony charakterystykom geometrycznym przekroju, trzeci  zaś – wykorzystywanej w książce notacji wskaźnikowej.

W każdym rozdziale, po krótkim wprowadzeniu, zdefiniowano podstawowe pojęcia oraz wyprowadzono najważniejsze zależności i równania. Rozważania teoretyczne są w dalszej części rozdziału zilustrowane licznymi, szczegółowo rozwiązanymi przykładami. Każdy z rozdziałów kończy zestaw zagadnień do utrwalenia oraz spis wykorzystanej literatury. Wszystko to powinno pomóc czytelnikowi w samodzielnym studiowaniu książki oraz ułatwić zrozumienie i ugruntowanie wiedzy zawartej w poszczególnych rozdziałach.

W prezentowanej książce wykorzystałem głównie pojęcia i aparat matematyczny charakterystyczny dla mechaniki i teorii sprężystości. W pierwszych czterech rozdziałach do zapisywania wzorów używałem notacji wskaźnikowej, w pozostałych zaś – notacji inżynierskiej, odniesionych do układu współrzędnych prostokątnych. Uczyniłem tak, gdyż zapis wskaźnikowy zwiększa czytelność formuł matematycznych, a układ współrzędnych prostokątnych jest najprostszy z możliwych.

Zdaję sobie sprawę, że zagadnienia zamieszczone w książce są trudne do studiowania i zrozumienia. Dlatego też starałem się je przedstawić, tam gdzie było to możliwe, w miarę prosty sposób, aby książkę tę uczynić dostępną dla wszystkich czytelników interesujących się problemami mechaniki, które są podstawą wielu praktycznych zagadnień inżynierskich.

Moje wieloletnie doświadczenie nauczyciela akademickiego wskazuje na to, że głębsze poznanie mechaniki materiałów pozwala na efektywne studiowanie przedmiotów konstrukcyjnych, a także ułatwia korzystanie z informacji naukowych i technicznych niezbędnych zarówno w pracy badawczej, jak i inżynierskiej. Mam nadzieję, że ta książka będzie w tym pomocna.

Autor

Wykaz oznaczeń

A

pole powierzchni, m²

E

moduł sprężystości podłużnej (YOUNGA), N/m²

Eijkl

tensor sprężystości, N/m²

gi

wektor siły masowej, N/kg

g₁, g₂, g₃

współrzędne wektora siły masowej, N/kg

gx, gy, gz

współrzędne wektora siły masowej, N/kg

G

moduł sprężystości poprzecznej (KIRCHHOFFA), N/m²

H

reakcja pozioma, N

i, j, k

wersory (wektory jednostkowe)

i₁, i₂, i₃

wersory (wektory jednostkowe)

iy, iz

promienie bezwładności, m

Jo

biegunowy moment bezwładności, m⁴

Jy, Jz

osiowe momenty bezwładności, m⁴

Jyz

odśrodkowy moment bezwładności, m⁴

K

moduł sprężystości objętościowej (HELMHOLTZA), N/m²

l

długość, m

M

moment zginający, N·m

Ms

moment skręcający, N·m

N

siła podłużna, N

ni

wektor normalny

n₁, n₂, n₃

współrzędne wektora normalnego

P

siła skupiona, N

p

obciążenie ciągłe, N/m

pi

wektor naprężenia, N/m²

p₁, p₂, p₃

współrzędne wektora naprężenia, N/m²

px, py, pz

współrzędne wektora naprężenia, N/m²

q

obciążenie ciągłe, N/m

R

wytrzymałość obliczeniowa, N/m²

Sy, Sz

momenty statyczne, m³

T

siła poprzeczna, N

ui

wektor przemieszczenia, m

u₁, u₂, u₃

współrzędne wektora przemieszczenia, m

u, v, w

współrzędne wektora przemieszczenia, m

u

gęstość energii odkształcenia sprężystego, J/m³

V

objętość, m³

V

reakcja pionowa, N

xi

współrzędna punktu

x₁, x₂, x₃

współrzędne punktu

x, y, z

współrzędne punktu

γxy, γxz, γyz

odkształcenia kątowe, m/m

δij

delta (symbol) KRONECKERA

εij

tensor odkształceń, m/m

ε ₁₁, ε ₂₂, ε ₃₃

odkształcenia liniowe, m/m

ε ₁₂, ε ₁₃, ε ₂₃

odkształcenia kątowe, m/m

εx, ε y, εz

odkształcenia liniowe, m/m

λ

stała LAMEGO, N/m²

µ

stała LAMEGO, N/m²

ν

współczynnik POISSONA, –

σij

tensor naprężeń, N/m²

σ ₁₁, σ ₂₂, σ ₃₃

naprężenia normalne, N/m²

σ ₁₂, σ ₁₃, σ ₂₃

naprężenia styczne, N/m²

σx, σ y, σz

naprężenia normalne, N/m²

τxy, τxz, τyz

naprężenia styczne, N/m²

⋅

iloczyn skalarny

×

iloczyn wektorowy

×

symbol mnożenia wykresów

(⋅),i

pochodna cząstkowa ∂(⋅)/∂xi

i, j, k,…

wskaźniki przyjmujące wartość 1, 2, 3

1
Naprężenie

1.1. Ośrodek ciągły

Opisywane przez mechanikę materiałów zjawiska fizyczne zachodzą w ośrodkach materialnych (ciałach stałych, cieczach i gazach). Każdy taki ośrodek jest zbudowany z materii stanowiącej zbiór cząsteczek (molekuł i atomów), a jego właściwości mechaniczne zależą od złożonej struktury wewnętrznej oraz oddziaływań między cząsteczkami [1.1], [1.2].

W zagadnieniach mechaniki materiałów strukturę wewnętrzną materiału modelujemy ośrodkiem ciągłym (kontinuum materialnym), czyli uporządkowanym zbiorem nieskończonej liczby cząstek (punktów) materialnych. Każda cząstka materialna zwiera bardzo dużą liczbę cząsteczek materii i jest traktowana jako część ośrodka ciągłego zajmująca w przestrzeni nieskończenie mały obszar i mająca nieskończenie małą masę. Składniki materii i jej modelu (ośrodka ciągłego) zostały zestawione w tabeli 1.1.

Tabela 1.1.

Materia

Ośrodek ciągły

Cząsteczki materii

↓

Cząstki materialne

Atomy

↓

Jądra

↓

Elektrony

Nukleony

↓

Kwarki

Z powyższej tabeli wynika, że ośrodek ciągły różni się w skali mikroskopowej od ośrodka materialnego, który charakteryzuje nieciągła struktura wewnętrzna. Jednak w skali makroskopowej oba te ośrodki materialne możemy traktować jako ekwiwalentne (równoważne)[1].

Ośrodek ciągły pozwala na traktowanie ośrodka materialnego jako kontinuum w sensie matematycznym, czyli ciągłego, uporządkowanego zbioru nieskończonej liczby cząstek materialnych dowolnie gęsto upakowanych, przy czym zakładamy, że cząstki materialne sąsiadujące ze sobą przed odkształceniem ośrodka przechodzą w sąsiednie cząstki po jego odkształceniu. Wykluczamy w ten sposób możliwość powstawania w ośrodku ciągłym szczelin i otworów oraz łączenia się i rozdzielania jego cząstek [1.3].

Model ośrodka ciągłego pozwala na wykorzystanie do analizy zagadnień mechaniki materiałów rachunku różniczkowego i całkowego, przy czym właściwości fizyczne ośrodka ciągłego przypisywane punktom przestrzeni matematycznej odnoszą się w rzeczywistości do cząstek materialnych ośrodka ciągłego, których środki masy znajdują się w rozważanych punktach.

1.2. Klasyfikacja sił

Siły wyrażają wzajemne oddziaływania między ciałami (obiektami materialnymi) lub ich częściami. Są one rezultatem działania pól siłowych bliskiego i dalekiego zasięgu na masy i ładunki mikrocząstek materii, czyli molekuł i atomów (tab. 1.2).

Tabela 1.2.

Pole bliskiego zasięgu

Pola dalekiego zasięgu

Pole elektryczne

Pole elektromagnetyczne

Pole grawitacyjne

Skutki oddziaływania powyższych pól na ośrodek ciągły przejawiają się w postaci:

1. Sił bliskiego zasięgu uwarunkowanych wzajemnym działaniem bezpośrednio stykających się ciał lub ich części, zwanych siłami powierzchniowymi (kontaktowymi). Są one rezultatem oddziaływania między mikrocząsteczkami materii i przypisujemy je dowolnej powierzchni znajdującej się we wnętrzu ciała. Siły te zapewniają materii spoistość i przeciwstawianie się odkształceniu [1.4].

2. Sił dalekiego zasięgu związanych ze wzajemnym oddziaływaniem między ciałami bez ich bezpośredniego zetknięcia się. Siły te mogą być zależne od objętości ośrodka (siły objętościowe) albo od jego masy (siły masowe). Siłą masową jest siła grawitacji, która jest proporcjonalna do przyspieszenia grawitacyjnego.

1.3. Wektor naprężenia

Rozważmy ciało materialne B o dowolnym kształcie i przetnijmy je myślowo płaszczyzną o wektorze normalnym n – wektorze jednostkowym, prostopadłym do płaszczyzny przekroju i wskazującym jej stronę zewnętrzną (rys. 1.1a). Wybierzmy na tej płaszczyźnie dowolny punkt x i wydzielmy wokół niego elementarną powierzchnię o polu dA. Skutek oddziaływania cząsteczek materii leżących po zewnętrznej stronie tej powierzchni na rozważany punkt przejawia się w postaci elementarnej siły powierzchniowej (rys. 1.1b):

df = pdA

(1.1)

gdzie p(x) jest miarą rozkładu sił na powierzchniach wewnętrznych ciała, zwaną wektorem naprężenia (naprężeniem). W sensie fizycznym naprężenie wyraża siły wzajemnego oddziaływania między molekułami ciała położonymi po przeciwnych stronach rozpatrywanego przekroju.

Rys. 1.1.

W dalszych rozważaniach przez wielkości elementarne będziemy rozumieć wielkości nieskończenie małe (infinitezymalne) w sensie zdefiniowanym w analizie niestandardowej, czyli jako wielkości stałe, dowolnie bliskie zeru [1.5], [1.6]. Tak nieskończenie małe rozumiał LEIBNIZ[2], który jest także autorem najbardziej intuicyjnego zapisu pochodnej dy/dx funkcji y = f (x) jako ilorazu nieskończenie małych dy i dx. Wydaje się, że takie ujęcie jest bliższe inżynierskiemu rozumieniu wielkości nieskończenie małych.

Wektor naprężenia, którego kierunek jest w ogólności dowolny, możemy rozłożyć na dwie prostopadłe do siebie składowe (rys. 1.1c), a mianowicie:

(1.2)

przy czym pn nazywamy naprężeniem normalnym, natomiast pτ – naprężeniem stycznym.

W prostokątnym układzie odniesienia Ox₁ x₂ x₃[3] (rys. 1.2a) wektor naprężenia możemy zapisać w postaci wskaźnikowej

(1.3)

gdzie pi = ii ⋅ p, i = 1,2,3, czyli p₁, p₂, p₃ oznaczają współrzędne wektora naprężenia (rys. 1.2b); kropka między wektorami oznacza ich iloczyn skalarny. W powyższym wzorze wykorzystano zapis wskaźnikowy i umowę sumacyjną (C.6).

Rys. 1.2.

1.4. Stan naprężenia. Tensor naprężeń

Wektor naprężenia zależy zarówno od położenia punktu, jak i od płaszczyzny przecięcia, czyli jest funkcją dwóch zmiennych p = p(x,n). Jeśli jednak ustalimy punkt x = const, to wektor naprężenia będzie zależny tylko od wektora normalnego do płaszczyzny przecięcia bryły w danym punkcie. W takim przypadku funkcję p = p(n) nazywamy stanem naprężenia w punkcie.

W celu określenia postaci tej funkcji wyznaczmy w pierwszej kolejności wektory naprężenia na trzech płaszczyznach przekroju przecinających punkt x i prostopadłych do osi układu odniesienia. Rysunek 1.2c przedstawia jedną z nich, prostopadłą do osi x₁.

Wektory te mają następującą postać:

(1.4)

Powyższe trzy zależności możemy zapisać w postaci wskaźnikowej

pi = σij ij

(1.5)

Współrzędne σij wektorów naprężenia pi można przedstawić w postaci macierzy kwadratowej

(1.6)

zwanej macierzą naprężeń, która jest uporządkowanym zbiorem współrzędnych trzech wektorów naprężenia na trzech płaszczyznach przechodzących przez rozważany punkt i prostopadłych do osi układu odniesienia.

Wiersze macierzy naprężeń przedstawiają kolejne współrzędne kolejnych wektorów naprężenia; na przekątnej znajdują się naprężenia normalne, poza przekątną zaś – naprężenia styczne. Pierwszy wskaźnik przy naprężeniach wskazuje oś, do której płaszczyzna przecięcia jest prostopadła, drugi  zaś – oś, do której to naprężenie jest równoległe. Graficzny obraz naprężeń występujących na powierzchniach sześcianu jednostkowego zawierającego dany punkt przedstawia rysunek 1.3.

Znak naprężeń zależy od zwrotu wektora normalnego przekroju. Jeśli wektor ten ma zwrot zgodny ze zwrotem osi układu odniesienia, to naprężenia są dodatnie wtedy, gdy ich zwroty są zgodne ze zwrotami tych osi. Jeśli natomiast zwrot tego wektora jest przeciwny do zwrotu osi układu odniesienia, to naprężenia dodatnie mają również zwroty przeciwne do zwrotów osi układu. Naprężenia, które nie spełniają powyższych warunków, są ujemne. Wszystkie widoczne na poniższym rysunku naprężenia są dodatnie.

Rys. 1.3.

Rozważmy stan równowagi wyciętego z ciała elementarnego sześcianu o ścianach równoległych do płaszczyzn układu odniesienia (rys. 1.4). W celu zwiększenia czytelności rysunku zostały na nim przedstawione tylko te naprężenia, których momenty sił względem osi O₃ są różne od zera.

Rys. 1.4.

Warunki zerowania się momentów sił działających na sześcian względem trzech wzajemnie prostopadłych osi O₁, O₂ i O₃, przechodzących przez jego środek i równoległych do kolejnych osi układu odniesienia, możemy przedstawić w postaci:

(1.7)

gdzie dV = dx₁ dx₂ dx₃.

Pomijając w powyższych zależnościach wielkości nieskończenie małe (różniczki naprężeń), otrzymujemy:

σ₂₁ - σ ₁₂ = 0, σ₃₁ - σ ₁₃ = 0, σ₃₂ - σ ₂₃ = 0

(1.8)

Powyższe relacje można zapisać w zwartej postaci

σij = σji

(1.9)

Z powyższych zależności wynika, że macierz naprężeń jest symetryczna. Symetria ta pozwala na zredukowanie liczby niezależnych składowych macierzy naprężeń z dziewięciu do sześciu.

Aby wyznaczyć stan naprężenia w dowolnym punkcie rozważanej bryły, czyli postać funkcji p = p(n) określającej wektor naprężenia na dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez dany punkt, wytnijmy z niej myślowo nieskończenie mały czworościan, którego trzy ściany są równoległe do płaszczyzn układu odniesienia, czwarta zaś przecina trzy pozostałe (rys. 1.5). Zakładamy, że znamy macierz naprężeń w tym punkcie.

Rys. 1.5.

Z warunków równowagi sił działających na rozważany czworościan wynika równanie

(1.10)

z którego otrzymujemy następującą zależność:

(1.11)

Ponieważ powierzchnia dA₁ jest rzutem powierzchni dA na płaszczyznę prostopadłą do osi Oxi (rys. 1.5), to

(1.12)

Podstawiając powyższy związek do zależności (1.11), wykorzystując relację (1.5), a także możliwość zamiany wskaźników powtarzających się (patrz podrozdz. C.2) oraz symetrię (1.9), dostajemy

(1.13)

Z powyższej zależności wynika, że stan naprężenia w punkcie określa następująca relacja:

p = T ⋅ n

(1.14)

gdzie

T = σji ii ij

(1.15)

jest tensorem naprężeń CAUCHY’EGO[4], natomiast σji = ii ⋅ T ⋅ ij są jego współrzędnymi.

Z relacji (1.14) wynika, że tensor naprężeń jest odwzorowaniem (operatorem, przekształceniem) przyporządkowującym wektorowi normalnemu wektor naprężenia. Jeśli więc znamy tensor (macierz) naprężeń w danym punkcie ciała, to możemy wyznaczyć wektor naprężenia na dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez ten punkt. Tak więc tensor naprężeń określa stan naprężenia w punkcie.

Wykorzystanie umowy sumacyjnej (C.6) pozwala przedstawić tensor naprężeń (1.15) w następującej postaci:

(1.16)

Aby zapisać relację (1.14) w postaci wskaźnikowej, pomnożymy stronami związek (1.13) skalarnie przez wersor ik oraz wykorzystamy zależność ij ⋅ n = nj. Otrzymamy wtedy

(1.17)

gdzie

(1.18)

oznacza symbol (deltę) KRONECKERA[5] (C.3). W (1.17) uwzględniono fakt, iż σijδki = σkj, gdyż delta KRONECKERA zmienia wskaźniki współrzędnych tensorów (patrz przykład C.2).

Ponieważ ij ⋅ p = pi, to (1.17) przyjmuje postać

pi = σij nj

(1.19)

gdzie wskaźnik k zamieniono na i. Jeśli wykorzystamy umowę sumacyjną oraz fakt, iż swobodny wskaźnik i przyjmuje wartości 1, 2 i 3, to powyższą zależność tensorową możemy przedstawić jako:

(1.20)

W mechanice spotykamy różnego rodzaju wielkości fizyczne zwane tensorami. Tensory możemy podzielić z uwagi na ich rząd (walencję) [1.7]. Rząd tensora jest równy liczbie wskaźników swobodnych n, a liczba jego współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej wynosi 3n. Przykłady tensorów różnych rzędów zawiera tabela 1.3 (istnieją również tensory rzędu wyższego niż 3).

Tabela 1.3.

Rodzaj tensora

Rząd tensora

Liczba współrzędnych

Przykłady

skalar

0

3⁰ = 1

masa, energia, temperatura

wektor

1

3¹ = 3

siła, przemieszczenie, naprężenie

tensor

2

3² = 9

tensor naprężeń, tensor odkształceń

1.5. Naprężenia główne

Wektor naprężenia p ma zwykle inny kierunek niż wektor normalny n (rys. 1.6a). Tylko w przypadku pewnej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną główną, wektor naprężenia ma taki sam kierunek, zwany kierunkiem głównym, jak wektor normalny wyznaczający ten kierunek (rys. 1.6b). Oznacza to, że na płaszczyźnie głównej występuje tylko naprężenie normalne

p = σ n

(1.21)

gdzie σ oznacza naprężenie główne, a naprężenie styczne jest równe zeru, pτ = 0.

Rys. 1.6.

Porównując stronami zależności (1.14) i (1.21), otrzymujemy równanie

(1.22)

gdzie I = δij ii ij oznacza tensor jednostkowy. Współrzędne tego tensora określa delta KRONECKERA.

Zapiszmy powyższe równanie w postaci wskaźnikowej

(1.23)

Wykorzystując umowę sumacyjną oraz fakt, iż swobodny wskaźnik i przyjmuje wartości 1, 2 i 3, z powyższego równania tensorowego otrzymujemy następujący układ trzech równań:

(1.24)

gdzie wielkościami poszukiwanymi są naprężenie główne σ oraz współrzędne n₁, n₂, n₃ wektora normalnego n = ni ii.

Ponieważ powyższy układ równań jest jednorodny ze względu na współrzędne n₁, n₂, n₃, ma on zatem rozwiązanie niezerowe tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych jest równy zeru

(1.25)

Z powyższego warunku wynika następujące równanie charakterystyczne:

(1.26)

którego współczynniki I₁, I₂, I₃, zwane niezmiennikami [6] tensora naprężeń, mają następującą postać:

(1.27)

Z uwagi na symetrię macierzy naprężeń, powyższe równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste σ ₁, σ ₂, σ ₃; każdemu z tych pierwiastków (naprężeń głównych) jest przyporządkowany kierunek główny określony odpowiednio wektorem normalnym n₁, n₂, n₃.

Kierunki główne wyznaczają układ odniesienia , a wektory normalne są wersorami osi tego układu, czyli . Wersory te są ortonormalne (jednostkowe i wzajemnie prostopadłe), czyli:

(1.28)

Wektory ni, i = 1,2,3, możemy zapisać jako ni = nij ij , gdzie nij oznaczają współrzędne tych wektorów w układzie Ox₁ x₂ x₃. W takim przypadku warunki (1.28)₁ zapisane przy wykorzystaniu współrzędnych wektorów ni przyjmują postać

(1.29)

W wyznaczonym przez kierunki główne układzie odniesienia macierz naprężeń ma prostą postać

(1.30)

a jej niezmienniki (1.27) określają zależności:

(1.31)

1.6. Równania równowagi

Rozważmy stan równowagi wyciętego z ciała elementarnego sześcianu, którego ściany są równoległe do płaszczyzn układu odniesienia (rys. 1.7). W celu zwiększenia czytelności rysunku zostały na nim przedstawione tylko te składowe tensora naprężeń, które są równoległe do osi Ox₁.

Rys. 1.7.

Warunki zerowania się rzutów sił działających na sześcian na kolejne osie układu odniesienia mają następującą postać:

(1.32)

gdzie ρ oznacza gęstość ciała, g₁, g₂, g₃ są współrzędnymi siły masowej g, natomiast dV = dx₁ dx₂ dx₃. W powyższych równaniach wyrażono różniczki naprężeń przez ich pochodne cząstkowe oznaczone zgodnie z (C.8).

Uwzględniając w powyższych warunkach symetrię tensora naprężeń (1.8), zapisujemy je w postaci trzech równań równowagi, zwanych też równaniami NAVIERA[7]:

(1.33)

Wykorzystując umowę sumacyjną oraz zapis wskaźnikowy, sprowadzamy powyższy układ równań do następującej, zwartej postaci:

σij + ρ gi = 0, σij = σji

(1.34)

Należy podkreślić, że z powyższych trzech równań nie wyznaczymy sześciu współrzędnych tensora naprężeń σij.

Ponieważ przy wyprowadzaniu równań równowagi nie określaliśmy rodzaju ośrodka ciągłego, muszą być one zatem spełnione zarówno w przypadku ciała stałego, jak i płynnego (cieczy i gazu).

Warto też zauważyć, że równania równowagi są szczególnym przypadkiem równań ruchu CAUCHY’EGO, które można wyprowadzić z różniczkowego równania bilansu pędu [1.8].

1.7. Warunki brzegowe

Całkując powyższy układ równań równowagi (1.33), dostajemy stałe całkowania, do wyznaczenia których wykorzystujemy statyczne (naprężeniowe) warunki brzegowe

(1.35)

które po rozpisaniu względem wskaźników przyjmują postać:

(1.36)

gdzie są danymi współrzędnymi wektora naprężenia przyłożonego do części Aσ powierzchni ciała A, przy czym A = Aσ ∪ Au, gdzie Au jest częścią, na której zadane są przemieszczenia.

1.8. Aksjator i dewiator naprężeń

Tensor naprężeń można przedstawić jako sumę dwóch tensorów

(1.37)

Pierwszy z nich, czyli

(1.38)

nazywamy aksjatorem naprężeń (tensorem kulistym), przy czym

(1.39)

oznacza naprężenie średnie, natomiast drugi, a więc

(1.40)

zwany jest dewiatorem naprężeń.

Współrzędne tych tensorów w zapisie macierzowym przyjmują odpowiednio postać

(1.41)

oraz

(1.42)

Aksjator naprężeń opisuje wszechstronne, równomierne rozciąganie (ściskanie) elementarnego sześcianu średnim naprężeniem normalnym σm, natomiast dewiator naprężeń jest związany z jego ścinaniem.

Jak łatwo sprawdzić, pierwszy niezmiennik aksjatora naprężeń jest równy pierwszemu niezmiennikowi tensora naprężeń, czyli , natomiast pierwszy niezmiennik dewiatora naprężeń jest równy zeru, a więc .

1.9. Ekstremalne naprężenia styczne

Wektor naprężenia p = pi ii przyporządkowany płaszczyźnie przekroju o normalnej n = nj ij można rozłożyć na naprężenie normalne σ i styczne τ (rys. 1.8a), przy czym

τ ² = p ² - σ ²

(1.43)

gdzie τ = |τ |, natomiast:

(1.44)

Rys. 1.8.

W powyższych zależnościach wykorzystano właściwości delty KRONECKERA (C.3) i konwencję sumacyjną (C.6), przy czym p₁, p₂, p₃, oznaczają współrzędne wektora p.

W układzie osi głównych (rys. 1.8b) macierz naprężeń (1.6) ma postać (1.30), czyli , natomiast , gdzie są naprężeniami głównymi.

Z zależności (1.19) wynika zatem, że w rozważanym przypadku:

(1.45)

Podstawiając związki (1.45)₂₋₄ do wzorów (1.44), wynik zaś do relacji (1.43), otrzymujemy po przekształceniach

(1.46)

Należy zauważyć, że współrzędne wektora normalnego n, który jest wektorem jednostkowym, muszą spełniać warunek

(1.47)

Ekstremalne wartości naprężenia stycznego τ wyznaczymy metodą mnożników LAGRANGE’A[8]. Metoda ta polega na wyznaczeniu ekstremum funkcji (1.46) przy dodatkowym warunku określonym relacją (1.47).

Sformułujmy zatem funkcję LAGRANGE’A F(λ, n₁, n₂, n₃) w następującej postaci [1.9]:

(1.48)

gdzie λ jest mnożnikiem LAGRANGE’A, i poszukajmy warunków na istnienie jej ekstremum względem zmiennych λ, n₁, n₂, n₃. Warunki te prowadzą do następującego układu równań:

(1.49)

Analizując powyższy układ równań, przy uwzględnieniu zależności (1.46), otrzymujemy następujące, poszukiwane wartości ekstremalnych naprężeń stycznych [1.10]:

(1.50)

Z powyższych zależności wynika, że naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne na płaszczyznach równoległych do jednej z osi głównych, a do pozostałych osi nachylonych pod kątem 45o (rys. 1.9a–c).

Rys. 1.9.

Jeśli uporządkujemy naprężenia główne w kolejności od największego do najmniejszego, czyli σ ₁ > σ ₂ > σ ₃, to z (1.50) wynika, że

(1.51)

1.10. Koła MOHRA

Przetnijmy jednostkowy sześcian (rys. 1.10a), o krawędziach równoległych do osi głównych , płaszczyzną równoległą do osi i nachyloną pod kątem α do osi (rys. 1.10b). Zakładamy przy tym, że znamy naprężenia główne σ ₁, σ ₂, σ ₃ na ściankach tego sześcianu, przyjmując, iż σ ₁ > σ ₂ > σ ₃. Obliczmy naprężenie normalne σα i styczne τα na rozważanej płaszczyźnie przecięcia.

Z warunków równowagi sił działających na wyciętą część sześcianu (czyli graniastosłup trójkątny) wynikają następujące równania:

(1.52)

Rys. 1.10.

które po uporządkowaniu przyjmują postać

(1.53)

Równania te – po prostych przekształceniach – możemy zapisać w następującej postaci:

(1.54)

Powyższe równania w układzie odniesienia Oστ są równaniami okręgu w postaci parametrycznej, gdzie oznacza współrzędną środka okręgu, – jego promień, natomiast kąt α jest parametrem (rys. 1.11a).

Rys. 1.11.

Równania (1.54) pozwalają wyznaczyć naprężenia normalne σα i styczne τα na dowolnej płaszczyźnie równoległej do osi głównej .

Należy zauważyć, że ze wzoru (1.54)₂ wynika, że maksymalne naprężenie styczne, a mianowicie

(1.55)

występuje na płaszczyźnie nachylonej pod kątem α = 45° do osi głównych i . Z powyższego rysunku wynika, że w takim przypadku σα = s, natomiast τ max = r (rys. 1.11b).

Jeśli związki (1.54) podniesiemy stronami do kwadratu, a otrzymane zależności dodamy do siebie stronami, to wyeliminujemy z nich kąt α i otrzymamy równanie okręgu w postaci

(1.56)

W układzie odniesienia Oστ jest to równanie okręgu o środku w punkcie s = (σ ₂ + σ ₃) /2 i promieniu r = (σ ₂ - σ ₃) /2 (rys. 1.11a). Otrzymany w ten sposób okrąg nazywamy kołem MOHRA[9] i oznaczamy jako K₂₃.

Powtarzając powyższe postępowanie w przypadku przecięcia rozważanego sześcianu płaszczyznami równoległymi odpowiednio do osi oraz otrzymujemy dwa kolejne koła MOHRA (rys. 1.12a), a mianowicie K₁₂

(1.57)

gdzie

(1.58)

oraz największe, czyli K₁₃

(1.59)

gdzie

(1.60)

MOHR wykazał, że współrzędne punktu K leżącego w obszarze zakreskowanym ograniczonym trzema kołami K₁₂, K₂₃ oraz K₁₃, o środkach leżących na osi Oσ (rys. 1.12a), określają wielkość naprężenia normalnego σα i stycznego τα w punkcie K leżącym na płaszczyźnie dowolnie zorientowanej względem osi układu (rys. 1.12b).

Rys. 1.12.

Równania (1.58)₂ i (1.60)₂ pozwalają wyznaczyć maksymalne naprężenia styczne τα na płaszczyznach równoległych do osi głównych oraz , a mianowicie

(1.61)

oraz

(1.62)

Podobnie jak w przypadku maksymalnego naprężenia stycznego (1.55), naprężenia te występują na płaszczyznach nachylonych pod kątem α = 45° odpowiednio do osi głównych i oraz i .

Z rysunku 1.12a wynika, że długość promienia największego koła MOHRA jest równa największemu naprężeniu stycznemu danemu zależnością (1.62).

1.11. Płaski stan naprężenia

Płaski stan naprężenia występuje wtedy, gdy wszystkie współrzędne tensora naprężeń na płaszczyźnie prostopadłej do jednej z osi układu odniesienia są w każdym punkcie bryły równe zeru, pozostałe zaś współrzędne tego tensora są funkcjami tylko dwóch zmiennych określających położenie punktu na tej płaszczyźnie.

Przyjmijmy zatem, że osią tą Ox jest natomiast płaszczyzną – Ox₁x₂ (rys. 1.13). W takim przypadku σ ₁₃ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0, pozostałe zaś współrzędne tensora naprężeń są funkcjami współrzędnych x₁ i x₂. Rozpatrywana płaszczyzna jest zatem płaszczyzną główną, na której naprężenie σ ₃ = 0, natomiast pozostałe naprężenia, czyli σ ₁₁, σ ₂₂, σ ₁₂ = σ ₂₁, występują tylko w płaszczyźnie Ox₁x₂.

Rys. 1.13.

Płaski stan naprężenia występuje na przykład w tarczy, gdy działające obciążenie jest równomiernie rozłożone po jej grubości (rys. 1.14).

Rys. 1.14.

W przypadku płaskiego stanu naprężenia macierz naprężeń (1.6) możemy zapisać w następującej postaci:

(1.63)

Aby wyznaczyć naprężenia główne tej macierzy, obliczamy jej wyznacznik

(1.64)

gdzie σ jest naprężeniem głównym.

Przyrównując powyższy wyznacznik do zera, otrzymujemy równanie charakterystyczne drugiego stopnia

(1.65)

gdzie współczynniki

(1.66)

są niezmiennikami macierzy [σij ].

Ponieważ wyróżnik powyższego równania

(1.67)

jest zawsze większy od zera (dodatni), to ekstremalne wartości naprężeń (pierwiastki powyższego równania), czyli naprężenia główne, określają następujące relacje:

(1.68)

Każdemu z powyższych naprężeń głównych jest przyporządkowany kierunek główny, określony wektorem normalnym n₁, n₂, czyli:

(1.69)

Do wyznaczenia kierunków głównych wykorzystujemy układ równań (1.24), który w rozpatrywanym przypadku przyjmuje postać:

(1.70)

z dodatkowym warunkiem ortonormalności wektorów n₁ i n₂ wyznaczających kierunki główne

ni ⋅ nj = δij

(1.71)

Z warunku tego wynika, że:

(1.72)

W układzie odniesienia wyznaczonym przez kierunki główne macierz naprężeń ma postać

(1.73)

jej niezmienniki zaś określają zależności:

(1.74)

Przykłady

Przykład 1.1.

Wyznaczyć naprężenia główne i kierunki główne w przypadku macierzy naprężeń

, [N/m²]

Dane: σ ₁₁, σ ₁₂, σ ₂₂

Szukane: σ ₁, σ ₂, n₁, n₂

Rozwiązanie

Naprężenia główne. Obliczamy naprężenia główne:

A zatem w układzie osi głównych macierz naprężeń przyjmuje następującą postać:

, [N/m²]

Kierunki główne. Współrzędne n₁₁, n₁₂ wektora n₁ wyznaczamy, podstawiając do równań (1.70) σ = σ ₁ = 3,62 oraz n₁ = n₁₁, n₂ = n₁₂. Otrzymujemy wtedy:

Ponieważ powyższe równania są liniowo zależne, to dodatkowo wykorzystujemy pierwszy z warunków (1.72), z którego wynika, że

Współrzędne n₂₁, n₂₂ wektora n₂ wyznaczamy, przyjmując w równaniach (1.70), że σ = σ ₂ oraz n₁ = n₂₁, n₂ = n₂₂. Otrzymujemy wtedy:

Podobnie jak poprzednio, wykorzystamy dodatkowo drugi z warunków (1.72), a mianowicie

Z powyższych zależności wynika, że w układzie osi głównych :

natomiast:

Niezmienniki. Obliczamy wartości niezmienników (1.66) i (1.74):

Ortogonalność. Korzystając ze wzoru (1.72)₃, sprawdzamy ortogonalność (prostopadłość) wektorów n₁ i n₂

Współrzędna n₁₁ wektora n₁ jest jego cosinusem kierunkowym, czyli cosinusem kąta między kierunkiem tego wektora a osią Ox₁. Ponieważ n₁₁ = 0,85, to wektor n₁ (a tym samym i kierunek główny określony osią ) jest nachylony do tej osi pod kątem 31,8°.

Naprężenia normalne σ ₁₁ = 3, σ ₂₂ = 2 i styczne σ ₁₂ = σ ₂₁ = 1 przedstawia rysunek 1.15a, natomiast obliczone naprężenia główne σ ₁ = 3,62 i σ ₂ = 1,38, a także osie główne i  – rysunek 1.15b.

Rys. 1.15.

Przykład 1.2.

Dana jest macierz naprężeń [σij] z przykładu 1.1. Wyznaczyć macierz naprężeń w układzie , jeśli dana jest macierz przejścia

Dane: a₁₁, a₁₂, a₂₂

Szukane:

Rozwiązanie

Zapisujemy prawo transformacji (C.28) w postaci

Ponieważ w rozważanym przypadku

to w układzie macierz naprężeń ma postać

Wskutek przekształcenia macierzy naprężeń [σij] otrzymaliśmy macierz naprężeń w układzie osi głównych z przykładu 1.1.

Przykład 1.3.

Wyznaczyć współrzędne wektora p₁, p₂ naprężenia p na płaszczyźnie przekroju o wektorze normalnym n (rys. 1.16a), jeśli dana jest macierz naprężeń z przykładu 1.1.

Dane: n₁ = 0,85, n₂ = 0,53

Szukane: p₁, p₂

Rozwiązanie

Współrzędne wektora. Z zależności (1.20) wynika, że w rozważanym przypadku płaskiego stanu naprężenia poszukiwane współrzędne wektora naprężenia mają następującą postać:

Rys. 1.16.

A zatem (rys. 1.16b)

Sprawdzenie poprawność otrzymanych wyników. Korzystając z zależności (1.2), obliczamy składową normalną powyższego wektora

Ponieważ w rozpatrywanym przypadku

to

Podstawiając powyższą składową normalną wektora do zależności (1.2), wyznaczamy jego składową styczną

gdzie o oznacza wektor zerowy.

Z powyższej relacji wynika, że p = pn, wektor p jest zatem wektorem głównym (czyli prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny przekroju). Długość tego wektora jest następująca:

i jest ona równa wartości pierwszego naprężenia głównego σ ₁ z przykładu 1.1, czyli | p | = σ ₁.

Otrzymany wynik jest oczywisty, gdyż zadany w rozpatrywanym przykładzie wektor n jest wektorem normalnym do pierwszej płaszczyzny głównej z przykładu 1.1, czyli n = n₁.

Zagadnienia do utrwalenia

1. Zdefiniować i omówić wektor naprężenia, stan naprężenia i tensor (macierz) naprężeń. Podać interpretację fizyczną składowych tensora naprężeń i podać konwencję ich znakowania.

2. Zdefiniować i omówić aksjator (tensor kulisty) i dewiator naprężeń.

3. Wyprowadzić i omówić wzory określające naprężenia główne w przypadku płaskiego stanu naprężenia. Zdefiniować i omówić niezmienniki tensora naprężeń.

Literatura

[1.1] FEYNMAN R.: Charakter praw fizycznych. Prószyński i S-ka, Warszawa 2000.

[1.2] STRUGARSKI Z.: Struktura wewnętrzna materiałów. WNT, Warszawa 1981.

[1.3] RYMARZ C.: Mechanika ośrodków ciągłych. PWN, Warszawa 1993.

[1.4] RUTKOWSKI J.: Podstawy bilansowania masy, pędu, energii i entropii. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1976.

[1.5] ROBINSON A.: Non-Standard Analysis, 3rd ed. Princeton University Press, Princeton 1996.

[1.6] KEISLER H. J.: Elementary Calculus. an Infinitesimal Approach, 3rd ed. Dover Publications, Boston 2012.

[1.7] MASE G. T., SMELSER R. E., MASE G. E.: Continuum Mechanics for Engineers. 3rd ed., CRC Press, New York 2010.

[1.8] WYRWAŁ J.: Termodynamiczne podstawy fizyki budowli. Oficyna Wydawnicza PO, Opole 2004.

[1.9] FUNG Y. C.: Podstawy mechaniki ciała stałego. PWN, Warszawa 1969.

[1.10] PIECHNIK S.: Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN, Warszawa–Kraków 1978.

2
Odkształcenie

2.1. Wektor przemieszczenia

Rozważmy ciało materialne o dowolnym kształcie, umieszczone w prostokątnym układzie odniesienia Ox₁ x₂ x₃ (rys. 2.1).

Rys. 2.1.

Ciało nieobciążone zajmuje w trójwymiarowej przestrzeni obszar B, zwany konfiguracją początkową (nieodkształconą). Pod wpływem sił zewnętrznych (powierzchniowych i masowych) ciało się odkształca, zajmując nowy obszar B′, zwany konfiguracją końcową (odkształconą).

Punkt materialny ciała (cząstka materialna) zajmujący w konfiguracji początkowej położenie x znajdzie się, na skutek odkształcenia ciała, w położeniu x′. Wektor o początku w punkcie x i końcu w punkcie x′ nazywamy wektorem przemieszczenia. W przyjętym układzie odniesienia wektor ten ma następującą postać:

(2.1)

gdzie uk = ik ⋅ u, i = 1,2,3, czyli u₁, u₂, u₃, oznaczają jego współrzędne.

Ponieważ przemieszczenie każdego punktu materialnego ciała jest w ogólności inne, wektor ten jest zatem funkcją położenia, czyli u = u(x).

2.2. Równania geometryczne. Tensor odkształceń

Rozpatrzymy przemieszczenie dwóch dowolnie wybranych punktów materialnych ciała znajdujących się nieskończenie blisko siebie. Niech pierwszy z nich zajmuje w konfiguracji początkowej położenie x, drugi zaś x + dx. Pod wpływem obciążenia punkty te przemieszczą się odpowiednio o u oraz u + du, zajmując w konfiguracji końcowej (odkształconej) nowe położenia, czyli x′ i x′ + dx′, również nieskończenie blisko siebie (rys. 2.2).

Rys. 2.2.

Z rysunku tego wynika, że

(2.2)

skąd otrzymujemy

(2.3)

Ponieważ , to

(2.4)

i w konsekwencji

(2.5)

gdzie δ ki oznacza symbol (deltę) KRONECKERA (C.3).

Jako miarę odkształcenia ciała w danym punkcie x możemy przyjąć różnicę odległości między rozważanymi punktami po odkształceniu i przed odkształceniem lub – co jest wygodniejsze – różnicę kwadratów tych odległości, czyli [2.1]

(2.6)

Ponieważ z (2.5) wynika, że

(2.7)

to podstawiając powyższe wyrażenie do (2.6), otrzymujemy

(2.8)

Powyższą zależność można przedstawić w nieco innej, łatwiejszej w interpretacji postaci, a mianowicie [2.2]:

(2.9)

lub

(2.10)

gdzie , , przy czym oznacza tensor jednostkowy, natomiast

(2.11)

są współrzędnymi tensora odkształceń . Z zależności (2.10) wynika, że tensor ten przyporządkowuje kwadratowi długości wektora dx w konfiguracji początkowej (nieodkształconej) kwadrat długości wektora dx′ w konfiguracji końcowej (odkształconej). Ponieważ wielkość ta w każdym punkcie bryły jest zależna od kierunku wektora dx, to tensor odkształceń E określa stan odkształcenia w punkcie [2.3].

Współrzędne tensora odkształceń są określone równaniami geometrycznymi (2.11), z których wynika, że tensor odkształceń jest nieliniową funkcją pochodnych przemieszczeń (nieliniowość geometryczna). Powoduje to duże trudności obliczeniowe. Ponieważ jednak w przypadku większości konstrukcji budowlanych pochodne przemieszczeń są bardzo małe, związki (2.11) można zlinearyzować.

Przyjmując zatem, że , pomijamy w zależności (2.11) iloczyny . Otrzymamy w ten sposób wyrażenie

(2.12)

określające tensor małych odkształceń CAUCHY’EGO[10], który jest liniową funkcją pochodnych przemieszczeń. Tensor ten jest tensorem drugiego rzędu i ma 3² = 9 współrzędnych. Jednak z (2.12) wynika, że tensor małych odkształceń jest symetryczny, ε ij = ε ji, a więc liczba jego niezależnych współrzędnych wynosi sześć.

Powyższe, zlinearyzowane związki łączące współrzędne tensora odkształceń z pochodnymi wektora przemieszczenia zwane są równaniami geometrycznymi CAUCHY’EGO. Po rozpisaniu ich względem wskaźników i, j = 1,2,3, otrzymamy sześć następujących równań skalarnych:

(2.13)

W celu potwierdzenia zasadności linearyzacji równań (2.11) rozważmy belkę utwierdzoną o długości l i sztywności EJ, obciążoną równomiernie obciążeniem q. Z przykładu 10.1 wynika, że maksymalne ugięcie takiej belki wynosi , natomiast maksymalny obrót (pochodna ugięcia) – . Wynika stąd, że . Przyjmując, że normowy warunek sztywności wymaga, aby w przypadku belki zginanej to . Z przykładu tego wynika, z jak małymi obrotami (pochodnymi przemieszczeń) osi pręta możemy się spotkać w praktyce inżynierskiej.

Współrzędne ε ij tensora małych odkształceń możemy zapisać w postaci macierzy kwadratowej

(2.14)

zwanej macierzą odkształceń.

Przypisy

[1] Należy jednak pamiętać, aby nie utożsamiać cząstek materialnych z cząsteczkami materii.

[2] GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646–1716) – niemiecki filozof i matematyk.

[3] Informacje na temat układu odniesienia, notacji wskaźnikowej oraz stosowanych w książce oznaczeń znajdują się w dodatku C.

[4] AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789–1857) – francuski matematyk.

[5] LEOPOLD KRONECKER (1823–-1891) – niemiecki matematyk.

[6] Wartości niezmienników tensora nie zmieniają się przy obrocie układu odniesienia.

[7] CLAUDE-LOUIS NAVIER (1785–1836) – francuski inżynier i fizyk.

[8] JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736–1813) – włoski matematyk i astronom.

[9] CHRISTIAN OTTO MOHR (1835–1918) – niemiecki inżynier.

[10] AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789–1857) – francuski matematyk.