Projekt okładki: Lidia Michalak-Mirońska

Ilustracja na okładce: Andrzej Kobryń

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Maria Dąbkowska Kowalik

Produkcja: Mariola Grzywacka

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023 r. (Wydanie I)
Warszawa 2023

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2023

ISBN: 978-83-01-22580-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.
Michał Latusek

Wstęp

Kształtowanie geometrii tras drogowych jest bardzo ważnym obszarem działalności inżynierskiej. Trasa drogowa, poprawnie zaprojektowana w sensie geometrycznym, powinna bowiem spełniać odpowiednie wymagania dotyczące zapewnienia bezpieczeństwa i wygody ruchu. Można tu nadmienić, że bezpieczeństwo i wygoda ruchu w decydującym stopniu zależą od spełnienia dynamicznych warunków ruchu. Trasa drogowa powinna też spełniać kryteria estetyczne, związane z jej wkomponowaniem w otaczający krajobraz. Nie bez znaczenia są również kryteria psychologiczne, które wymagają zaprojektowania trasy w taki sposób, aby oglądana oczami kierowcy nie wykazywała optycznych załamań i nieciągłości. W związku z tym projektanci powinni tras drogowych dysponować możliwością wyboru odpowiednich elementów geometrycznych tak, aby – w świetle ww. wymagań i kryteriów projektowych – spełnić stosowne wymagania techniczne w odniesieniu do projektowanej trasy.

Geometrycznymi elementami tras drogowych w planie sytuacyjnym i profilu podłużnym są odcinki proste, a także krzywoliniowe – służące do wyokrąglania załamań między kolejnymi odcinkami prostoliniowymi. W przypadku trasy w planie sytuacyjnym odcinki krzywoliniowe są generalnie tworzone przez łuki kołowe i krzywe przejściowe. Wspomniane krzywe przejściowe są przedmiotem rozważań w niniejszej pracy. Do wyokrąglania załamań w profilu podłużnym służą z reguły łuki kołowe lub paraboliczne drugiego stopnia, aczkolwiek wchodzą w grę również inne rodzaje łuków wyokrąglających. Alternatywą dla takich sposobów kształtowania geometrii trasy w planie i profilu mogą być tzw. rozwiązania polinomialne, polegające na całkowicie krzywoliniowym opisie geometrii trasy za pomocą wielomianowych funkcji sklejanych lub koncepcyjnie zbliżonych do nich układów utworzonych przez ciąg następujących po sobie krzywych przejściowych, które spełniają warunki ciągłości trasy.

Znaczące miejsce w projektowaniu geometrii tras drogowych w planie sytuacyjnym zajmują krzywe przejściowe, których rola wynika głównie z warunków dynamiki ruchu, ale również z uwarunkowanej czynnikami psychologicznymi potrzeby zapewnienia przebiegu trasy niestwarzającego optycznych złudzeń nieciągłości. Zdecydowanie mniejszą rolę krzywe przejściowe odgrywają w projektowaniu pionowego przebiegu tras drogowych, gdzie np. warunki dynamiki ruchu mają marginalne znaczenie, bo wynikające z nich minimalne promienie łuków są zdecydowanie mniejsze od promieni wymaganych do zapewnienia właściwych odległości widoczności. Zdaniem niektórych badaczy stosowanie krzywych przejściowych w projektowaniu niwelety trasy może mieć natomiast związek z potrzebą optymalnego wkomponowania trasy w profil podłużny terenu, aby uzyskać minimalizację robót ziemnych, które zawsze wiążą się ze znacznymi nakładami finansowymi.

W specjalistycznej literaturze polskiej i zagranicznej brak jest aktualnej publikacji książkowej, która kompleksowo obejmowałaby różne zagadnienia dotyczące teoretycznych i praktycznych aspektów stosowania krzywych przejściowych w geometrycznym kształtowaniu tras drogowych. Autor ma zatem nadzieję, że niniejsze opracowanie przynajmniej częściowo wypełni tę lukę, przyczyniając się do uporządkowania i poszerzenia stanu wiedzy na temat krzywych przejściowych w zastosowaniach drogowych.

Niniejsza publikacja powstała w wyniku wieloletnich prac autora związanych z problematyką stosowania krzywych przejściowych w kształtowaniu poziomego i pionowego przebiegu tras drogowych. Stanowi ona zarówno podsumowanie prac autora, jak też przegląd dorobku innych badaczy, opublikowanego w literaturze specjalistycznej na przestrzeni ostatnich kilkudziesięciu lat. Autor przedstawił przegląd stanu wiedzy w zakresie teoretycznych rozważań na temat krzywych przejściowych, jak w zakresie tradycyjnych i niekonwencjonalnych, potencjalnych zastosowań praktycznych krzywych przejściowych w różnych zadaniach inżynierskich, związanych z geometrycznym kształtowaniem tras drogowych. Niniejsza praca podsumowuje więc stan wiedzy i praktyki projektowej w różnych obszarach zastosowań krzywych przejściowych, a ponadto zawiera sugestie i propozycje nowego spojrzenia na szereg rozpatrywanych zagadnień, wskazując zarazem ewentualne kierunki dalszych badań na tym polu.

Czytelnik znajdzie w tym opracowaniu informacje na temat zasad kształtowania poziomego i pionowego przebiegu tras drogowych, łącznie z opisem szerokiej gamy rozwiązań stosowanych w praktyce projektowej, jak też z prezentacją różnych, geometrycznych narzędzi projektowych, jakie można wykorzystać do tego celu. Zamierzeniem autora było również przedstawienie niekonwencjonalnych rozwiązań krzywych przejściowych, które na przestrzeni lat zostały zaprezentowane przez różnych autorów w literaturze specjalistycznej i które – z uwagi na duży potencjał aplikacyjny – mogą stanowić wartościowe uzupełnienie zestawu tradycyjnie stosowanych elementów geometrycznych. Należy zauważyć, że właściwości tych niekonwencjonalnych rozwiązań nie zostały w pełni przebadane w kontekście przyjętych zasad trasowania dróg. Dlatego, według autora, potencjalny czytelnik tej pracy może znaleźć w tych rozwiązaniach wartościowy impuls do dalszych, odpowiednich badań i analiz.

Mimo zachowania największej staranności przy opracowywaniu tekstu niniejszej publikacji oraz rysunków, nie jest możliwe całkowite wykluczenie pewnych uchybień. Z tego powodu autor będzie wdzięczny za konstruktywne uwagi i wskazówki, które mogłyby przyczynić się w przyszłości do ewentualnego udoskonalenia kolejnych wydań tej pracy, aby jak najlepiej mogła ona służyć zainteresowanym czytelnikom.

Białystok, grudzień 2022 r.
Andrzej Kobryń

1

Ogólne zasady trasowania dróg

Proces projektowania dróg, z uwagi na jego interdyscyplinarny charakter, wymaga zaangażowania specjalistów z różnych dyscyplin, takich jak: inżynieria lądowa i transport, urbanistyka, inżynieria środowiska i ekonomia. Lokalizacja i ukształtowanie projektowanej trasy drogowej powinny spełniać określone warunki, wśród których najważniejszymi są:

• dostosowanie do istniejącego i planowanego zagospodarowania terenu,

• powiązanie z istniejącą i planowaną siecią drogową,

• dostosowanie do topografii terenu i warunków geotechnicznych,

• dostosowanie do uwarunkowań środowiskowych i społeczno-kulturowych obszaru.

Wśród najbardziej istotnych cech procesu projektowania trasy drogowej można wymienić:

• etapową realizację procesu projektowego,

• iteracyjne dochodzenie do określenia przebiegu trasy,

• dopasowanie trasy do krajobrazu oraz istniejącej i planowanej zabudowy,

• kształtowanie trasy z uwzględnieniem zasad dynamiki ruchu (obszary pozamiejskie),

• kształtowanie trasy pod kątem zachowania optycznej płynności jej przebiegu i zachowania stabilnych prędkości ruchu pojazdów,

• spójność projektu i jego realizacji,

• interdyscyplinarność wchodzących w grę problemów.

Schematyczną ilustrację przygotowania projektu inwestycji drogowej oraz związanych z tym zadań i problemów przedstawia rys. 1.1.

Trasa drogowa jest obiektem przestrzennym, co szczególnie uwidacznia się w terenach górzystych lub w terenach o urozmaiconej rzeźbie (rys. 1.2). Proces kształtowania przebiegu osi projektowanej drogi określa się mianem trasowania. Trasowanie dróg jest przedmiotem zainteresowania specjalistów z zakresu drogownictwa, jak też geodezji inżynieryjnej, o czym świadczą takie prace, jak: [Brockenbrough, 2009; Fwa, 2006; Hennecke i in., 1995; Kukiełka i Szydło, 1986;

Rys. 1.1. Schemat procesu przygotowania projektu inwestycji drogowej

Lamm i in., 1999; Lipiński, 1993; Möser i in., 2002; Müller, 1988; Pietzsch i Wolf, 2000; Przewłocki, 2000; Stypułkowski, 1984; Weise i in., 1997, Wolhuter, 2015]. Trasowanie odnosi się do osi drogi, która z reguły odpowiada środkowi jezdni lub środkowi pasa dzielącego w przypadku dróg dwujezdniowych. Jeśli poszczególne jezdnie dróg dwujezdniowych są trasowane osobno, proces trasowania dotyczy linii odniesienia przyporządkowanych do środka każdej jezdni. Oś drogi jest przy tym krzywą przestrzenną, której rzut na płaszczyznę poziomą jest osią drogi w planie (trasą), a rozwinięcie rzutu na płaszczyznę pionową – osią drogi w przekroju podłużnym (niweletą). Wynikiem trasowania jest więc określenie przebiegu osi drogi w planie sytuacyjnym i w przekroju podłużnym. Oprócz powyższych dwóch składowych, trasowanie obejmuje też kształtowanie przekrojów poprzecznych. Poszczególne składowe trasowania zdefiniowano w tabeli 1.1.

Rys. 1.2. Przykład trasy drogowej w terenie górzystym

Tabela 1.1. Składowe trasowania dróg i ich objaśnienie

Składowa trasowania

Efekt trasowania

Objaśnienie

Kształtowanie przebiegu osi drogi w planie sytuacyjnym

Trasa

Rzut przestrzennej osi trasy na płaszczyznę poziomą

Kształtowanie przebiegu osi drogi w przekroju podłużnym

Niweleta

Rozwinięcie pionowego przebiegu trasy na płaszczyznę pionową

Kształtowanie drogi w przekroju poprzecznym względem osi

Przekroje poprzeczne

Przekroje prostopadłe względem osi drogi

Z uwagi na tematykę niniejszego opracowania, które skupia się głównie na zagadnieniach związanych z geometrycznym kształtowaniem osi trasy w planie i w przekroju podłużnym, kwestie dotyczące kształtowania przekrojów poprzecznych trasy drogowej zostaną potraktowane w dalszych rozważaniach w sposób marginalny.

Oś drogi w planie sytuacyjnym i przekroju podłużnym może składać się z odcinków prostoliniowych i różnych elementów krzywoliniowych, a trasowanie przebiegu trasy w przekroju podłużnym może wymagać wzniesienia odpowiednich obiektów inżynierskich, na przykład w postaci wiaduktów (rys. 1.3). Ustalenie przebiegu trasy drogowej w planie i w przekroju poprzecznym oraz skoordynowanie tych dwóch elementów w jedną, spójną kompozycję przestrzenną, która powinna być odpowiednio wpisana w otaczający teren, należy do najtrudniejszych zadań w projektowaniu nowych dróg. Ostateczny przebieg trasy drogowej zależy bowiem od wielu czynników, w tym od zagospodarowania przestrzennego terenu oraz jego ukształtowania pionowego.

Rys. 1.3. Przykład fragmentu trasy drogowej złożonej z odcinków prostoliniowych i krzywoliniowych

Zagospodarowanie przestrzenne jest głównym czynnikiem determinującym przebieg trasy w terenach silnie zurbanizowanych i uprzemysłowionych. Równie istotną rolę w procesie trasowania odgrywa pionowe ukształtowanie terenu, które wpływa na pochylenia podłużne trasy oraz wielkość robót ziemnych, jak też determinuje możliwości uzyskania określonego przebiegu trasy drogowej w planie sytuacyjnym.

W tradycyjnym podejściu oś drogi w planie składa się z odcinków prostych i elementów krzywoliniowych. Odcinki proste stanowią najkrótsze połączenie dwóch dowolnych punktów, jednak w praktyce muszą być stosowane łącznie z elementami krzywoliniowymi, gdyż tylko w ten sposób można uzyskać odpowiednie dopasowanie trasy do ograniczeń terenowych w przypadku obszarów intensywnie zurbanizowanych lub uprzemysłowionych (rys. 1.4), jak też ograniczeń w postaci bardzo urozmaiconej rzeźby terenu.

Potencjalnie trasa prostoliniowa wchodzi w grę jedynie w terenie równinnym, przy jednoczesnym braku wspomnianych ograniczeń, jednak taki przebieg trasy ma szereg wad, gdyż jest nieciekawy pod względem estetycznym, monotonny i męczący, jak też zachęcający kierowców do jazdy z nadmierną prędkością [Stypułkowski, 1984].

Rys. 1.4. Przebieg trasy drogowej w warunkach ograniczeń terenowych (źródło: www.dlr.de)

Z tego powodu w trasowaniu dróg niezbędne jest stosowanie elementów krzywoliniowych. Najbardziej rozpowszechnionym elementem krzywoliniowym jest łuk kołowy, który służy do zaokrąglenia załamania trasy między dwoma przecinającymi się kierunkami prostoliniowymi. W przypadku mniejszych promieni łuków lub w celu złagodzenia przejścia z prostej w łuk kołowy, co jest istotne w przypadku dużych prędkości ruchu pojazdów, stosowanie jedynie prostych i łuków kołowych może być niewystarczające. Dlatego trzecim, powszechnie używanym elementem geometrycznym w trasowaniu dróg są tzw. krzywe przejściowe.

Jako krzywe przejściowe należy przy tym rozumieć elementy krzywoliniowe, umożliwiające stopniowy wzrost krzywizny od zera w punkcie początkowym do określonej wartości maksymalnej w punkcie końcowym. Stosowanie krzywych przejściowych w trasowaniu dróg jest uzasadnione potrzebą stopniowego wprowadzenia siły dośrodkowej, działającej na pojazd poruszający się po łuku (zostanie to objaśnione w rozdziale 2), jak też potrzebą uzyskania optycznej płynności trasy. Oprócz łuków kołowych i krzywych przejściowych, do kształtowania osi drogi w planie mogą być używane również inne krzywe [Kukiełka i Szydło, 1986; Weise i in., 1997]. Wymienione wyżej elementy geometryczne mogą być stosowane w różnych kombinacjach wzajemnych połączeń.

Alternatywą dla tradycyjnego podejścia do określania przebiegu osi drogi w planie jest tzw. trasowanie polinomialne, zaproponowane po raz pierwsze w pracy [Calogero, 1969]. W tym przypadku oś drogi jest całkowicie krzywoliniowa, a do jej kształtowania używa się wielomianowych funkcji sklejanych (tzw. splajnów). Panuje opinia, że całkowicie krzywoliniowy przebieg umożliwia uzyskanie lepszego dopasowania trasy do różnego rodzaju ograniczeń terenowych. Uważa się też, że taka trasa jest mniej monotonna i przyczynia się do zwiększenia bezpieczeństwa ruchu, gdyż sprzyja utrzymaniu koncentracji kierowców na wysokim poziomie. Warto nadmienić, że możliwość trasowania polinomialnego znalazła odbicie we włoskich normach dotyczących projektowania dróg [MIT, 2001], które zezwalają na stosowanie krzywych wielomianowych do trasowania drogi.

Podstawowymi elementami niwelety są z reguły odcinki proste oraz łuki pionowe, wśród których wyróżnia się łuki wypukłe oraz łuki wklęsłe, będące z reguły łukami parabolicznymi. Do projektowania łuków pionowych mogą być też używane różne krzywe o płynnej zmianie krzywizny [Kukiełka i Szydło, 1986]. Łuki pionowe są niezbędne do uzyskania płynnego przebiegu niwelety i służą do wyokrąglania załamań niwelety między dwoma kolejnymi odcinkami prostoliniowymi. Podobnie jak w przypadku trasy w planie, alternatywą dla niwelety złożonej z poligonu stycznych i pionowych łuków wyokrąglających może być niweleta całkowicie krzywoliniowa, utworzona przez wielomianowe krzywe sklejane. Również w tym przypadku prekursorskie propozycje dotyczące takiego podejścia do trasowania zostały przedstawione w pracy [Calogero, 1969].

1.1. Układy geometryczne stosowane w trasowaniu dróg

Jak wspomniano wcześniej, trasa drogowa stanowi strukturę przestrzenną, której ostateczna forma wynika z nałożenia na siebie trzech składowych: poziomego przebiegu osi trasy, niwelety oraz przekrojów poprzecznych.

Generalnie opracowanie dowolnego projektu drogowego odbywa się w kilku etapach. Wraz z każdym etapem wizja trasy drogowej staje się coraz bardziej konkretna, a odzwierciedlające ją plany – coraz bardziej szczegółowe. Opracowanie projektu trasy drogowej z uwzględnieniem różnorodnych relacji między zachowaniem kierowców podczas jazdy, zasadami trasowania i problemami dotyczącymi środowiska wymaga interaktywnego podejścia na poszczególnych etapach projektowania. Ponadto – co jest istotne – zazwyczaj nie jest możliwe uzyskanie rozwiązania idealnego, a różne, potencjalne warianty trasy (rys. 1.5) muszą zostać porównane ze sobą w świetle przyjętego zestawu kryteriów.

Rozpatrzenie i porównanie kliku wariantów trasy w odniesieniu do lokalizacji i realizacji inwestycji drogowej jest wymagane w Polsce zgodnie z obowiązującymi przepisami. Wykonuje się to z zastosowaniem odpowiednich metod analiz wielokryterialnych, które są uznanym narzędziem, powszechnie stosowanym w rozwiązywaniu różnorakich problemów decyzyjnych (np. [Dytczak, 2010; Kobryń, 2014c; Trzaskalik, 2014; Żak, 2005]). Wybór wariantu w przypadku inwestycji drogowych powinien uwzględniać różne punkty widzenia, w tym funkcjonalny, techniczny, ekonomiczny, środowiskowy i społeczny. Ich odbicie stanowi spójny zbiór kryteriów oceny potencjalnych wariantów, spośród których – po wstępnej analizie i ewentualnym odrzuceniu wariantów niespełniających podstawowych celów – jest wybierany wariant najkorzystniejszy.

Rys. 1.5. Wariantowanie przebiegu trasy drogowej na przykładzie drogi S19 (źródło: www.podlasie24.pl)

Zgodnie z [MI, 2020] kryteria służące do porównania wchodzących w grę wariantów projektu drogowego można podzielić na następujące grupy:

• transportowo-ruchowe,

• środowiskowe,

• ekonomiczne,

• przestrzenno-społeczne.

W każdej grupie kryteriów można zdefiniować właściwy zestaw kryteriów szczegółowych (wraz z przypisaniem im odpowiedniej istotności), które – zależnie od uwarunkowań danego problemu decyzyjnego – mogą zostać użyte w całości lub w części w procesie porównania wariantów trasy.

W grupie kryteriów transportowo-ruchowych w opracowaniu [MI, 2020] wymienia się następujące aspekty: długość drogi, liczba powiązań z innymi istniejącymi drogami, liczba i długość obiektów inżynierskich (mosty, tunele), prognozy ruchu wyrażone w pojazdach na dobę, praca przewozowa wyrażona liczbą pojazdów na kilometr na dobę, koszty czasu podróży, stopień obsługi obszarów mieszkalnych (dostępność) oraz bezpieczeństwo ruchu drogowego. Z kolei grupa potencjalnych kryteriów środowiskowych może obejmować: długość przecięcia terenów cennych przyrodniczo, obszar siedlisk przyrodniczych, które mogą ulec degradacji, przecięcia szlaków migracji dzikich zwierząt, prognozę emisji szkodliwych substancji przez ruch drogowy, koszty zanieczyszczenia powietrza, ryzyko wystąpienia poważnej awarii mającej wpływ na obszary chronione, oraz liczbę mieszkańców narażonych na hałas przekraczający wartości dopuszczalne w okresie dziennym i nocnym. Wśród kryteriów ekonomicznych opracowanie [MI, 2020] wymienia: koszty budowy drogi, koszty wykupu gruntów, koszty wykupu obiektów i odszkodowań, koszty bieżącego utrzymania w ciągu roku (odśnieżanie, monitoring, bieżąca konserwacja), koszty transportu w obszarze analizy, koszty kompensacji przyrodniczej, wskaźnik korzyści do kosztów oraz wewnętrzną stopę zwrotu. Natomiast potencjalnymi kryteriami w grupie kryteriów przestrzenno-społecznych są: liczba domów do wyburzenia, liczba zabudowań w strefie negatywnego oddziaływania drogi (np. do 50, 100 m), kolizje inwestycji z istniejącymi planami zagospodarowania przestrzennego, powierzchnia gruntów do wywłaszczenia oraz długość wymaganych ekranów akustycznych. Zgodnie z [MI, 2020] prawidłowo przeprowadzona analiza wielokryterialna powinna doprowadzić do wyboru wariantu optymalnego, którego budowa i eksploatacja przyniesie największe korzyści ekonomiczno- -społeczne oraz spowoduje jak najmniejsze straty środowiskowe.

W odniesieniu do metodyki projektowania trasy drogowej, generalnie należy zwrócić uwagę na występowanie w tym procesie następujących etapów roboczych:

• przygotowanie tzw. przestrzeni planistycznej, precyzyjne ujęcie danych przestrzennych w zakresie topografii terenu, zidentyfikowanie wszystkich punktów ograniczających lub wymuszających określony przebieg trasy i ich opracowanie;

• wybór prędkości projektowej vp na podstawie wytycznych i z uwzględnieniem topografii terenu lub ilości punktów ograniczających;

• wariantowe opracowanie niwelety w celu odpowiedzi na pytanie, czy możliwe jest zachowanie dopuszczalnych pochyleń podłużnych oraz uzyskanie właściwej koordynacji przestrzennej elementów trasy w planie i w profilu podłużnym;

• iteracyjna modyfikacja przebiegu osi w planie sytuacyjnym i przekroju podłużnym z uwzględnieniem następujących kryteriów:

− optyczna płynność trasy,

− dobre dopasowanie do pionowego ukształtowania terenu (unikanie zbyt dużych wysokich nasypów i głębokich wykopów),

− zrównoważone wartości promieni łuków (względnie podobne wartości),

− małe nachylenia niwelety i duże promienie łuków pionowych,

•  sprawdzanie możliwości zachowania zakładanej prędkości projektowej,

•  określenie ostatecznych parametrów elementów geometrycznych w planie sytuacyjnym i profilu podłużnym.

Kształtowanie poziomego i pionowego przebiegu osi trasy jest realizowane z użyciem odpowiednich elementów geometrycznych, różniących się między sobą kształtem, który jest ściśle związany z rozkładem krzywizny. Krzywizna toru jest przy tym rozumiana jako odwrotność promienia i w ścisłym ujęciu matematycznym może być dodatnia lub ujemna, co wynika z rys. 1.6 i znaku przyrostu kąta τ. Uogólniając, krzywiznę można wyrazić jako:

(1.1)

przy czym kąt τ jest kątem zwrotu stycznej do toru ruchu, natomiast dτ jest elementarną zmianą tego kąta opowiadającą elementarnej zmianie dl długości toru.

Rys. 1.6. Interpretacja krzywizny toru krzywoliniowego

Jako elementy geometryczne w tradycyjnym podejściu do trasowania dróg stosowane są: prosta, łuk kołowy oraz krzywa przejściowa. Najbardziej rozpowszechnioną krzywą przejściową jest klotoida (zwana też krzywą spiralną), której krzywizna rośnie proporcjonalnie do długości łuku, licząc od określonego punktu początkowego o współrzędnych (0; 0). Jako krzywe przejściowe mogą być też stosowane parabole (parabola kwadratowa, parabola sześcienna, parabola 4 stopnia) i inne krzywe o odpowiednim opisie matematycznym.

Powyższe uwagi ogólne na temat elementów geometrycznych stosowanych w trasowaniu dróg znajdują odbicie w odpowiednich przepisach i wytycznych projektowania, które obowiązywały lub obowiązują w różnych krajach. Jako przykład można tu wymienić następujące regulacje:

• AASHTO (2001) – Stany Zjednoczone,

• DoT (1996) – Wielka Brytania,

• FGSV (2012) – Niemcy,

• MIT (2001) – Włochy,

• MTiGM (2016) – Polska.

Można dodać, że w powyższych przepisach, oprócz określonych zasad projektowania dróg, zawarto też dopuszczalne lub pożądane wartości różnych parametrów projektowych dróg. Oczywiście wartości te nie są stanowią jednolitego zbioru, co jest przede wszystkim wynikiem odmiennej klasyfikacji dróg w poszczególnych krajach. Ponadto istotne jest też, że przepisy są co jakiś czas aktualizowane, a ich aktualizacja nie jest wynikiem zmiany spojrzenia na kwestie związane z zasadami trasowania, lecz idzie w parze z modyfikacją klasyfikacji różnych typów dróg. Przykładem takich modyfikacji mogą być niemieckie wytyczne „Richtlinien für Anlage von Landstraßen, (RAL)” [FGSV, 2012], które zastąpiły wcześniejsze wytyczne „Richtlinien für Anlage von Straßen (RAS). Teil: Linienführung (RAS-L)” [FGSV, 1995].

Z kolei w Polsce od ponad 20 lat obowiązują przepisy zawarte w Rozporządzeniu Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać drogi publiczne i ich usytuowanie [MTiGM, 2016], które kilkakrotnie było poddawane niewielkim modyfikacjom. Można również wspomnieć o normatywach i wytycznych, jakie na przestrzeni kilkudziesięciu lat pojawiły się w Polsce. Najpierw był to normatyw techniczny projektowania dróg samochodowych [CZDP, 1960], a później wytyczne projektowania dróg (WPD-1, WPD-2, WPD-3) [GDDP, 1995a, 1995b, 1995c]. Ostatnio, w nawiązaniu do art. 17 ust. 3 ustawy z dnia 21 marca 1985 r. o drogach publicznych (Dz. U. 1985 Nr 14 poz. 60 z późn.zm.), Ministerstwo Infrastruktury publikuje lub jest w trakcie przygotowania tzw. wytycznych rekomendowanych dotyczących dróg (seria WR-D), które mają obejmować m.in. wytyczne dotyczące projektowania odcinków dróg zamiejskich (WR-D-22, m.in. w odniesieniu do wymagań podstawowych i kształtowania geometrycznego), oraz wytyczne techniczne projektowania ulic (WR-D-24, m.in. w odniesieniu do planowania i wymagań podstawowych, jak też kształtowania geometrycznego). Szczegółowe informacje na ten temat można znaleźć na stronie: https://www.gov.pl/web/infrastruktura/wr-d. Biorąc pod uwagę wspomnianą zmienność wytycznych, w niniejszym opracowaniu zaniechano przytaczania jakichkolwiek szczegółowych wartości różnych parametrów technicznych dróg w Polsce lub innych krajach, natomiast skoncentrowano się na obszernym przedstawieniu zasad trasowania dróg wraz z prezentacją różnych rozwiązań krzywych przejściowych.

1.1.1. Podstawowe elementy geometryczne

a) Prosta

Prosta ma promień krzywizny r = ∞, co oznacza, że krzywizna k = 1/r jest równa zero, a wykres krzywizny prostej pokrywa się z osią odciętych (rys. 1.7). Prosta jako geometryczny element projektowy trasy w planie może być korzystna w następujących sytuacjach:

• w przypadku odpowiadających im obszarów krajobrazowych (płaskie lub szerokie doliny),

• w okolicy węzłów drogowych,

• w celu uzyskania wymaganych odległości wyprzedzania na drogach dwupasmowych,

• jeśli przebieg trasy wynika z przebiegających obok linii kolejowych, kanałów granic.

Jednak długie odcinki proste ze stałym nachyleniem podłużnym mają tę wadę, że:

• utrudniają oszacowanie odległości i prędkości innych uczestników ruchu,

• mogą być męczące dla kierowców,

• w terenie pagórkowatym utrudniają dopasowanie trasy do cech krajobrazowych.

Z tego powodu maksymalna długość linii prostej o stałym nachyleniu podłużnym powinna być ograniczona i nie powinna przekraczać określonej krotności prędkości projektowej wynikającej z właściwych wytycznych. Należy też unikać odcinków prostych między łukami skierowanymi w tym samym kierunku. Jeśli nie jest to możliwe, minimalna długość wstawki prostej między takimi łukami powinna być odpowiednio większa od określonej, wynikającej z wytycznych krotności prędkości projektowej.

Rys. 1.7. Wykres krzywizny prostej

b) Łuk kołowy

Łuk kołowy jest elementem geometrycznym, którego krzywizna ma stałą wartość k = 1/R na całej jego długości. Wykres krzywizny łuku kołowego jest zatem równoległy do osi odciętych (rys. 1.8). Jeśli uwzględni się kierunek jazdy po krzywoliniowym fragmencie trasy, można zdefiniować łuk skierowany w prawo lub łuk skierowany w lewo (rys. 1.9), które w ścisłym sensie matematycznym charakteryzują się przeciwnym znakiem krzywizny.

Rys. 1.8. Wykres krzywizny łuku kołowego

Rys. 1.9. Łuk kołowy skierowany w prawo oraz łuk skierowany w lewo

Przez wybór większych promieni łuku kołowego, na drogach wyższych klas możliwe jest osiągnięcie następujących celów:

• krótkie długości trasy,

• wystarczająca odległość widoczności na wyprzedzanie,

• zapewnienie stabilnego stylu jazdy.

Z drugiej strony, promienie łuków kołowych powinny być duże tylko na tyle, aby:

• ich wielkość i kolejność umożliwiała harmonijne wkomponowanie trasy w strukturę krajobrazu,

• została zachowana harmonia z elementami przekroju podłużnego, uwarunkowanymi ukształtowaniem terenu,

• można było oczekiwać zrównoważonej zależności między prędkością projektową a prędkością miarodajną.

Należy wyjaśnić, co rozumie się jako prędkość projektową (vp) i jako prędkość miarodajną vm. Zgodnie z [MTiGM, 1999] jako prędkość projektową rozumie się parametr techniczno-ekonomiczny, któremu przyporządkowane są określone, graniczne wartości elementów drogi, proporcje między nimi oraz zakres wyposażenia drogi. Istotne jest przy tym, że prędkość projektowa nie jest związana z prędkością dopuszczalną, o której mowa w przepisach o ruchu drogowym. Prędkość projektowa zapewnia bezpieczną jazdę pojedynczemu pojazdowi w normalnych warunkach. Z kolei zgodnie z polskimi przepisami jako prędkość miarodajną (vm) rozumie się parametr odwzorowujący prędkość samochodów osobowych w ruchu swobodnym na drodze, służący do ustalania wartości elementów drogi, które ze względu na bezpieczeństwo ruchu powinny być dostosowane do tej prędkości [MTiGM, 2016]. Prędkość miarodajna powinna być przy tym co najmniej równa prędkości projektowej drogi i nie większa od niej o więcej niż 20 km/h. W tym miejscu można dodać, że ustalanie elementów drogi pod kątem bezpieczeństwa może przebiegać w poszczególnych krajach na odmiennych zasadach. Przykładowo, wartością odniesienia do dynamicznego wymiarowania pasa ruchu w planowaniu dróg pod kątem bezpieczeństwa w Niemczech jest tzw. prędkość v₈₅ [FGSV, 1995, 2012]. Prędkość v₈₅ odzwierciedla dominujący poziom prędkości, której nie przekracza 85% pojazdów na mokrej nawierzchni.

Minimalne promienie łuków kołowych są określane w zależności od prędkości projektowej. W przypadku dróg dwujezdniowych (np. autostrad) ewentualne przeszkody w zakresie widoczności w środkowym pasie ruchu mogą jednak wymagać stosowania większych promieni. Powinno się też stosować zrównoważone relacje między wartościami promieni kolejnych łuków kołowych o tym samym zwrocie, jak i zwrotach przeciwnych, co jest wymagane ze względu na bezpieczeństwo ruchu. Ponadto wymagane jest, aby w przypadku długiego łuku kołowego przejazd przez łuk kołowy z prędkością projektową trwał przez czas wynikający z właściwych wytycznych.

c) Krzywa przejściowa

Krzywa przejściowa jest istotnym elementem bezpieczeństwa ruchu, a jej stosowanie może podyktowane potrzebą zapewnienia łagodnej zmiany warunków ruchu, poprawienia estetyki trasy oraz zapewnienia płynności ruchu. Krzywą przejściową stosuje się, jeśli między dwoma sąsiednimi elementami trasy występuje skokowa zmiana krzywizny (np. na przejściu z prostej w łuk kołowy). Można dodać, że stosowanie krzywych przejściowych na określonych drogach jest wymagane przez odpowiednie przepisy lub wytyczne. Wstawka w postaci krzywej przejściowej, której krzywizna rośnie od zera w punkcie początkowym (na styku z prostą) do wartości maksymalnej równej 1/R (na styku z łukiem kołowym), pozwala na stopniowe wprowadzenie działania siły dośrodkowej na pojazd poruszający się po łuku. Potrzeba stosowania krzywych przejściowych w trasowaniu dróg jest dostrzegana od dawna, o czym świadczą na przykład następujące opracowania: [Barnett, 1958; Behm, 1957; Bloss, 1936; Elfimov, 1948; Jurina, 1957; Kasper i in., 1968; Klein, 1937; Lipiński, 1993; Lewinowski i Trylski, 1984].

W tradycyjnym ujęciu krzywa przejściowa ma spełniać następujące zadania:

• płynna zmiana przyspieszenia odśrodkowego występującego podczas ruchu po torze krzywoliniowym,

• przejściowy odcinek trasy służący do wprowadzenia przechyłki na łuku,

• zapewnienie płynnego przebiegu osi trasy, a tym samym – umożliwienie zachowania stałej prędkości,

• uzyskanie optycznej płynności trasy.

Jako krzywą przejściową można stosować różne krzywe, które mają odpowiedni opis matematyczny zapewniający płynną zmianę krzywizny od zera do wartości 1/R. Możliwe rozwiązania krzywych przejściowych zostaną przedstawione w dalszej części niniejszego opracowania.

W najprostszym i najpowszechniej stosowanym przypadku wykres krzywizny w obrębie krzywej przejściowej może mieć charakter liniowy (rys. 1.10). Krzywą przejściową o liniowym wykresie krzywizny jest tzw. klotoida.

Rys. 1.10. Wykres krzywizny krzywej przejściowej (na przykładzie klotoidy)

Klotoida, której szczegółowy opis znajduje się w podrozdziale 2.3, ma następujące właściwości:

• Zmiana krzywizny jest stała.

• Iloczyn długości łuku l oraz promienia r jest stały i równy A² = r ∙ l (wartość A jest tzw. parametrem klotoidy).

• Przyrost krzywizny jest proporcjonalny do długości łuku klotoidy.

• Parametr A klotoidy służy jako współczynnik powiększenia krzywej.

1.1.2. Kombinacje elementów podstawowych

a) Łuk koszowy

Tzw. łuk koszowy (rys. 1.11) tworzą łuki kołowe, które są tak samo skierowane w sensie znaku ich krzywizny (zob. rys. 1.8), mają różne promienie R₁ i R₂ oraz stykają się w punkcie Q, w którym mają wspólną styczną. W literaturze zwraca się uwagę na to, że taka forma krzywoliniowego fragmentu trasy generalnie powinna być stosowana jedynie w wyjątkowych przypadkach [Müller, 1988; Weise i in., 1997; Pietzsch i Wolf, 2000; Möser i in., 2002]. Dotyczy to na przykład sytuacji, gdy – ze względu na warunki terenowe – nie można zastosować krzywej przejściowej. Ponadto, zgodnie z [FGSV, 2012], sekwencja kolejnych łuków kołowych w obrębie łuku koszowego nie powinna obejmować więcej niż 3 elementy. Należy dodać, że stosowanie łuków koszowych jest też obwarowane pewnymi ograniczeniami. Na przykład niekiedy jako ryzykowne uznaje się krzywe koszowe na drogach o dużych prędkościach i dlatego projektowanie takich krzywych o minimalnych parametrach należy wyeliminować.

Z kolei zgodnie z [FGSV, 2012] wymagane jest, aby – podobnie jak w przypadku łuku kołowego – każdy element łuku koszowego miał długość przynajmniej taką, jak odcinek trasy możliwy do przejechania w ciągu 2 sekund z prędkością projektową vP.

Rys. 1.11. Schemat i wykres krzywizny łuku koszowego

b) Układ geometryczny: prosta – krzywa przejściowa – łuk kołowy

Najbardziej rozpowszechnionym układem geometrycznym w trasowaniu dróg jest sekwencja elementów w postaci: prosta – krzywa przejściowa – łuk kołowy. W przypadku, gdy krzywą przejściową jest klotoida, wykres krzywizny w obrębie takiego układu jest przedstawiony na rys. 1.12.

W tego typu układzie geometrycznym może być użyta również inna krzywa przejściowa. W takim przypadku, stosownie do równania i właściwości geometrycznych tej krzywej, odpowiedniej zmianie ulegnie fragment wykresu krzywizny między prostą a łukiem kołowym.

Rys. 1.12. Schemat i wykres krzywizny układu geometrycznego: prosta – klotoida – łuk kołowy

c) Krzywa esowa

W ogólnym przypadku krzywa esowa składa się z dwóch odwrotnie skierowanych krzywych przejściowych, które stykają się ze sobą w punkcie zerowym tj. o zerowej wartości krzywizny) i są zakrzywione w przeciwnych kierunkach (rys. 1.13). W ten sposób uzyskuje się ciągłe przejście krzywoliniowe między dwoma odwrotnymi łukami kołowymi (tj. o przeciwnej krzywiźnie w sensie jej znaku), a punkt styku tych krzywych przejściowych jest punktem przegięcia, w którym następuje zmiana kierunku ruchu. Wprawdzie możliwe jest połączenie dwóch odwrotnych łuków kołowych odcinkiem prostej (rys. 1.14), czyli zastosowanie odpowiednika łuku

Rys. 1.13. Schemat i wykres krzywizny krzywej esowej

koszowego, jednak krzywa esowa lepiej odpowiada dynamicznym warunkom ruchu, jak też jest korzystnym rozwiązaniem ze względów estetycznych [Lipiński, 1993]. W szczególnym przypadku krzywa esowa może też składać się z dwóch odwrotnych łuków kołowych, bez wstawki w postaci odwrotnie skierowanych krzywych przejściowych. Krzywa esowa może być układem o charakterze symetrycznym (jednakowe parametry obydwu łuków), jak też układem asymetrycznym, co zależy od warunków terenowych, jakie mogą mieć wpływ na wartości promieni R₁ i R₂ łączonych łuków kołowych.

d) Krzywa owalna

Krzywa owalna jest układem geometrycznym złożonym z dwóch łuków kołowych o jednakowym zwrocie i różnym położeniu punktów środkowych oraz z odcinka krzywej przejściowej (rys. 1.15). Z uwagi na różne wartości promieni R₁ i R₂ łączonych łuków kołowych, w takim układzie geometrycznym znajdzie zastosowanie inny odcinek krzywej przejściowej niż w przypadkach wymienionych wcześniej. Nie będzie to odcinek od punktu początkowego o zerowej krzywiźnie do punktu o określonej krzywiźnie maksymalnej, lecz fragment łuku krzywej przejściowej między dwoma punktami opisanymi wartościami krzywizny równymi k = 1/R₁ i k = 1/R₂.

Rys. 1.14. Schemat i wykres krzywizny dwóch odwrotnych łuków kołowych z wstawką prostej

Rys. 1.15. Schemat i wykres krzywizny krzywej owalnej

Krzywa owalna stanowi uogólnienie układu geometrycznego w postaci łuku koszowego złożonego z dwóch łuków kołowych. Jednak, aby uzyskać płynność zmian krzywizny lub wyeliminować efekt niebezpiecznego załamania trasy (szczególnie przy dużych prędkościach), w przypadku krzywej owalnej łuki kołowe są łączone odcinkiem krzywej przejściowej. Krzywe owalne mogą znaleźć zastosowanie w trasowaniu dróg, jeśli – ze względu na ukształtowanie terenu lub różne ograniczenia związane z zabudową lub zagospodarowaniem terenu – nie da się zrealizować przejścia krzywoliniowego z użyciem jednego łuku kołowego z krzywymi przejściowymi.

Układ geometryczny w postaci krzywej owalnej można zastosować, jeśli dwa okręgi odpowiadające łączonym łukom kołowym mają różne promienie, a okrąg o mniejszym promieniu leży wewnątrz okręgu o większym promieniu [Lipiński, 1993]. W przypadku, gdy dwa okręgi o promieniach R₁ i R₂ leżą obok siebie (rys. 1.16) lub przecinają się (rys. 1.17), można je połączyć, stosując trzeci okrąg pomocniczy o promieniu R₃, który obejmuje dwa okręgi o promieniach R₁ i R₂. Połączenie okręgu o promieniu R₃ z okręgiem o promieniu R₁ lub okręgiem o promieniu R₂ można następnie zrealizować w taki sam sposób jak połączenie okręgów o promieniach R₁ i R₂. Zostanie to przedstawione w podrozdziale 3.4.

Dwa przecinające się okręgi mogą być połączone za pomocą trzeciego okręgu nie tylko z użyciem krzywych przejściowych, które wybiegają na zewnątrz tych okręgów (rys. 1.16 i rys. 1.17), lecz także klotoidami wybiegającymi do wnętrza ([Kasper i in., 1968]). Przedstawia to rys. 1.18. W takim przypadku obiera się okrąg pomocniczy o promieniu R₃, mniejszym od promieni R₁ i R₂, mieszczący się wewnątrz okręgów o promieniach R₁ i R₂, a połączenie okręgów o promieniach R₁ i R₂ sprowadza się do dwukrotnego rozwiązania ogólnego przypadku, czyli do połączenia okręgu o promieniu R₃ z okręgiem o promieniu R₁, jak też połączenia okręgu o promieniu R₃ z okręgiem o promieniu R₂.

Rys. 1.16. Przejście krzywoliniowe między dwoma łukami kołowymi leżącymi obok siebie

Rys. 1.17. Przejście krzywoliniowe między dwoma przecinającymi się łukami kołowymi

Szczególnym przypadkiem połączenia dwóch przecinających się okręgów jest połączenie prostej o promieniu R₁ = ∞ z okręgiem o promieniu R₂, przecinanym przez tę prostą (rys. 1.19). Można to uzyskać z użyciem pomocniczego okręgu o promieniu R₃, rozwiązując dwa zadania:

• klasyczny układ geometryczny w postaci prosta – krzywa przejściowa – łuk kołowy (dla prostej o promieniu R₁ = ∞ i pomocniczego łuku kołowego o promieniu R₃),

• standardowe rozwiązanie krzywej owalnej (dla połączenia pomocniczego łuku kołowego o promieniu R₃ z łukiem kołowym o promieniu R₂).

Rys. 1.18. Alternatywny sposób połączenia dwóch przecinających się łuków kołowych

Rys. 1.19. Przejście krzywoliniowe między prostą i okręgiem przecinanym przez tę prostą

e) Wierzchołkowa krzywa przejściowa

Wierzchołkowa krzywa przejściowa jest układem geometrycznym złożonym z dwóch gałęzi krzywych przejściowych, mających w punkcie styku wspólną styczną i jednakowy promień krzywizny RS = R₁ = R₂. O dopuszczalnej prędkości ruchu na takim przejściu krzywoliniowym decyduje promień Rmin = RS. Takie rozwiązanie jest alternatywą dla przejścia krzywoliniowego złożonego z łuku kołowego z dwoma łukami krzywej przejściowej, łączącymi łuk kołowy z prostoliniowymi odcinkami trasy. Należy dodać, że układ geometryczny w postaci wierzchołkowej krzywej przejściowej może być złożony z symetrycznych lub asymetrycznych gałęzi krzywej przejściowej.

W przypadku gdy rolę krzywej przejściowej pełni klotoida, tego typu układ geometryczny jest określany w literaturze polskiej mianem biklotoidy, przy czym wyznaczanie takiego układu jest znacznie łatwiejsze niż łuku kołowego z dwiema krzywymi przejściowymi (dwiema klotoidami) (np. [Lipiński, 1993]). Wykres krzywizny biklotoidy przedstawiono na rys. 1.20.

Niekiedy spotyka się opinie, że stosowanie wierzchołkowej krzywej przejściowej może powodować nagły ruch kierownicy w kierunku przeciwnym w momencie, gdy pojazd znajduje się w punkcie wierzchołkowym S, a zatem wierzchołkowa krzywa przejściowa powinna być stosowana tylko w wyjątkowych przypadkach. Wydaje się to jednak być bardzo dyskusyjne, jeśli wziąć pod uwagę, że wierzchołkowa krzywa przejściowa charakteryzuje się płynną zmianą krzywizny na całej jej długości. Tego typu opinie stają się szczególnie nieracjonalne w przypadku większych promieni łuków. Inny argument formułowany przeciw stosowaniu wierzchołkowych krzywych przejściowych dotyczy utrudnionych możliwości odpowiedniego kształtowania tzw. ramp przechyłkowych, w obrębie których – w tradycyjnym podejściu do kształtowania przekroju poprzecznego trasy – powinna następować zmiana przekroju dwustronnego na prostej w przekrój jednostronny na łuku (kwestiom kształtowania przekroju poprzecznego jest poświęcony podrozdział 1.4).

Rys. 1.20. Schemat i wykres krzywizny biklotoidy

f) Koszowa krzywa przejściowa

Koszowa krzywa przejściowa była proponowana jako tzw. krzywa hamowania [Lorenz, 1971]. Argumentem przemawiającym na rzecz użycia takiego rozwiązania geometrycznego było założenie, że przy wjeździe pojazdu z prostej na łuk o małym promieniu i ostrym kącie zwrotu wymagane jest stopniowe zmniejszenie prędkości. Taka ewentualność wchodzi w grę z reguły w przypadku węzłów drogowych, przy zjeździe z drogi szybkiego ruchu w łącznicę prawoskrętną. W pracach [Blaschke, 1958, 1959] zwrócono uwagę na to, że w razie niewłaściwego wytrasowania tych fragmentów dróg rzeczywisty tor ruchu pojazdów nie będzie pokrywać się z trasą projektowaną i w rezultacie duże powierzchnie wybudowanej drogi nie będą wykorzystywane. Spełnieniu takiego założenia miało sprzyjać zastosowanie nietypowego przejścia krzywoliniowego w postaci krzywej hamowania. Jedną z możliwości jest zastosowanie dwóch gałęzi krzywej przejściowej, przy czym jedna służyłaby do zmiany krzywizny z wartości zerowej na prostej do wartości 1/R₁, druga zaś – do zmiany krzywizny od wartości 1/R₁ do wartości 1/R₂ na łuku kołowym. W przypadku, gdy krzywą przejściową jest klotoida (czyli krzywa mająca liniowy przyrost krzywizny w obrębie łuku), wykres krzywizny takiego układu geometrycznego ma postać przedstawioną na rys. 1.21.

Rys. 1.21. Schemat i wykres krzywizny klotoidy koszowej

Zbiorcze zestawienie układów geometrycznych trasy, które przedstawiono w niniejszym podrozdziale, zawiera tabela 1.2.

Tabela 1.2. Kombinacje geometrycznych elementów trasy w planie sytuacyjnym

Ilustracja graficzna

Sekwencja elementów

Nazwa

Zastosowanie

− prosta

− łuk kołowy

łuk kołowy bez krzywej przejściowej

ograniczone

− prosta

− krzywa przejściowa

− łuk kołowy

łuk kołowy z krzywą przejściową

powszechne

− prosta

− krzywa przejściowa

− łuk kołowy

− krzywa przejściowa

− prosta

łuk kołowy z krzywymi przejściowymi

powszechne

− prosta

− krzywa przejściowa

− krzywa przejściowa

− prosta

wierzchołkowa krzywa przejściowa

ograniczone

− prosta

− łuk kołowy

− łuk kołowy

(zgodny zwrot łuków)

łuk koszowy

bardzo ograniczone

− prosta

− krzywa przejściowa

− łuk kołowy

− krzywa przejściowa

− krzywa przejściowa

− łuk kołowy

− krzywa przejściowa

− prosta

(przeciwny zwrot sekwencji łuków)

krzywa esowa

powszechne

− łuk kołowy

− fragment krzywej przejściowej

− łuk kołowy

(zgodny zwrot łuków)

krzywa owalna

powszechne

− krzywa przejściowa

− krzywa przejściowa

(zgodny zwrot łuków)

koszowa

krzywa przejściowa

bardzo ograniczone