Projekt okładki: Barbara Niewiadomska

Ilustracja na okładce: iStock/ ncognet0

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Joanna Forysiak

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.: Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023r. (Wydanie I)

Warszawa 2023

ISBN: 978-83-01-22675-6

Wydawnictwo Naukowe PWN SA
02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2
tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88
e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Od autora

Maszyna kilkakrotnie zamrugała rubinowym okiem. Szuflada otworzyła się z trzaskiem, jakby chciała zawołać: kto chętny na karuzelę? Po chwili, porwawszy cienki srebrny krążek, rozpoczęła wraz z nim rytualny taniec. Wentylator westchnął głośno, po czym piksele na ekranie rozżarzyły się wszystkimi odcieniami szarości. Niemłody niewysoki człowiek w opadających na nos okularach pochyliwszy się nad monitorem zaczął uważnie studiować czarno-biały obraz. Potem obrócił się, poprawił biały kitel i pozbawionym emocji głosem rzucił tylko jedno fachowe słowo, jednocześnie zdając się lekceważyć jego znaczenie: cartilago.

Gdy opuszczałem gabinet ortopedy, uderzyła mnie myśl o niedoskonałości ludzkiego organizmu. Stan mojego kolana pozostawiał wówczas dużo do życzenia. Jego sprawność określiłbym w tamtym momencie na ok. 70%. Uświadomiłem sobie wtedy, że mimo uchybień w działaniu nadal spełnia ono swoje funkcje w stopniu pozwalającym mi na samodzielne i w miarę swobodne poruszanie się. Siedząc w samochodzie przez dobre kilkanaście minut rejestrowałem przepływające przez mój mózg spostrzeżenia na temat tego, jak bardzo niedokładna potrafi być natura. Był to impuls, który pchnął mnie do głębszych i bardziej systematycznych przemyśleń o przybliżeniach, jakich pełno jest w naszym życiu. Często jesteśmy ich nieświadomi albo się do nich przyzwyczailiśmy. Nierzadko nam przeszkadzają, ale zwykle nie możemy ich wyeliminować. Zdarza się również, że są pożyteczne, ale w dążeniu do ideału raczej nie zdajemy sobie z tego sprawy. Tak czy inaczej, są immanentną częścią rzeczywistości, w której żyjemy, i chcąc nie chcąc musimy zaakceptować ich obecność. Dlatego warto je bliżej poznać.

Książka ta nie opisuje historii ani przybliżeń, ani pojęć bliskoznacznych wymienionych poniżej we Wprowadzeniu. Nie zawiera również głębokiego filozoficznego czy matematycznego omówienia tych idei (w sensie wyprowadzania wzorów lub przeprowadzania dowodów). Moim zamiarem była prezentacja przybliżeń przybliżeń w różnych, arbitralnie wybranych dziedzinach ludzkiego życia, przedstawienie ich własności oraz ukazanie ich wpływu na świat i człowieka (ich rola i znaczenie, przede wszystkim na poziomie materii, ale także psychiki i ducha, są olbrzymie).

Rozważając to zagadnienie, nie roszczę sobie prawa do obiektywnego osądu rzeczywistości, staram się raczej zaprezentować osobiste rozumienie Wszechświata, choć mój subiektywizm w wielu przypadkach współgra z punktem widzenia reprezentowanym przez wielu uczonych. Duża część treści zawartej w niniejszej pracy stanowi więc wiedzę, co do której prawdziwości panuje dość powszechna zgoda wśród naukowców. Niemniej wszystkich Czytelników, którzy patrzą w inny sposób na pewne problemy rozpatrywane w niniejszej książce, proszę o uwzględnienie faktu, że oddaję do ich rąk osobiste refleksje i przemyślenia oprawione w popularnonaukową formę, a nie pracę stricte naukową.

Podziękowania

Niniejsza książka nie uzyskałaby ostatecznej postaci, gdyby nie pomoc wielu osób. Wnieśli oni swój wkład w różny sposób. Za inspirację, cenne spostrzeżenia, krótkie rozmowy i długie dyskusje oraz wszelkie inne wskazówki pragnę podziękować osobom wymienionym w kolejności alfabetycznej nazwisk, są to: Arkadiusz Błaut (Uniwersytet Wrocławski), Klaus Böhler (Carstens & Partner, Monachium), ś.p. Tadeusz Ciurla (Uniwersytet Wrocławski), Andrzej Domaradzki (look4IT, Wrocław), Andrzej Drzewiński (Uniwersytet Zielonogórski), Bogusław Górka (Uniwersytet Gdański), Petr Heinzel (Univerzita Karlova, Praga), Michał Heller (Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych, Kraków), Maciej Jaroszewski (Politechnika Wrocławska), Maciej Mikołajewski (Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń), Zygmunt Mazur (Uniwersytet Wrocławski), ś.p. Bohdan Paczyński (Princeton University), Andrzej Pigulski (Uniwersytet Wrocławski), ks. Józef Polak (Jezuicki Ośrodek Milenijny, Chicago), ś.p. Kazimierz Schilling (Olsztyńskie Planetarium i Obserwatorium Astronomiczne), Franz Schunck (University of Sussex), Aleksander Wolszczan (Pennsylvania State University), ś.p. Andrzej Woszczyk (Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń), ś.p. Józef Życiński (Uniwersytet Papieski Jana Pawła II, Kraków).

Osobne wyrazy podziękowania kieruję do Edwina Wierszelisa i Mariusza Krisłatego, którzy wspomagali mnie w redagowaniu treści przez krytyczne uwagi dotyczące formy, stylu i języka używanego w tej książce. Jestem również bardzo wdzięczny mojej żonie Elżbiecie Osarczuk za spojrzenie na treść „komputeropisu” z punktu widzenia humanisty. Na koniec pragnę zaznaczyć, że jeżeli mimo wszystkich korekt pozostały w książce jakiegokolwiek rodzaju błędy, odpowiedzialność za nie biorę wyłącznie na siebie.

Jelcz-Laskowice–Luksemburg–Wrocław maj 2022

Wprowadzenie

– Panie Spock, czy dosięgniemy tych dwóch strażników? Jakie są nasze szanse na wydostanie się stąd?

– Trudno dokładnie określić, Kapitanie. Powiedziałbym, że w przybliżeniu 7824,7 do 1.

– Trudno dokładnie określić? 7824 do 1?

– 7824,7 do 1.

– To jest bardzo dobre przybliżenie.

– Starałem się być dokładny.

Star Trek, The Original Series, odc. Errand of Mercy

(tłumaczenie autora)

Przybliżenie. Także niedokładność, nieprecyzyjność, niedoskonałość, niepewność. Również błąd, odchylenie, ograniczenie. Ale też wada, usterka czy ułomność. Pojęcia te nie są abstrakcjami w tym sensie, że funkcjonują na co dzień w realnym świecie i świat ten konstytuują. Dlaczego istnieją? Jakie mają własności? Gdzie się znajdują? Czy można je wyrażać ilościowo? Jakie skutki powodują? Czy są pożyteczne, czy szkodliwe?

Chyba każdy z nas już jako dziecko miał w ręku linijkę i ołówek. Do czego można je wykorzystać? Na przykład do narysowania domku z kominem za pomocą zestawu odpowiednio dobranych odcinków. W tym przypadku ołówek jest przedmiotem głównym, a linijka przedmiotem pomocniczym. Można jednak odwrócić role. Linijka stanie się ważniejsza, gdy za jej pomocą zechcemy zmierzyć ołówek. Załóżmy, że po przyłożeniu linijki do ołówka mamy sytuację taką, jaką przedstawia rysunek 1. Jak długi jest zatem ten „zminiaturyzowany” ołówek? 3 cm i 8 mm czy 3 cm i 9 mm? Gdyby koniec ołówka znajdował się bliżej kreski oznaczającej cyfrę 8, to powiedzielibyśmy, że 3,8 cm, gdyby zaś znajdował się bliżej dziewiątki, uznalibyśmy, iż 3,9 cm. Co jednak począć, gdy wydaje nam się, że koniec ołówka znajduje się pośrodku przedziału ograniczonego cyframi 8 i 9? Nie możemy podać długości ołówka jako 3,85 cm, ponieważ nie ma ku temu żadnych metrologicznych podstaw. Przyrząd pomiarowy, jakim jest linijka, ma narysowane kreski centymetrowe i milimetrowe. Oznacza to, że jego dokładność pomiarowa wynosi 1 mm, ponieważ taka jest odległość między dwiema sąsiednimi kreskami (wskazującymi milimetry). Nie da się więc podać wyniku jako „na oko 3 cm i 8,5 mm”. Musimy się zdecydować na wybór którejś z dwóch najbliższych kresek.

Rysunek 1. | Pomiar długości

Spójrzmy teraz na tę samą sytuację naukowo. Mamy ołówek, czyli obiekt pomiaru, oraz linijkę, czyli przyrząd pomiarowy wyskalowany względem jakiegoś wzorca długości. Przykładając linijkę do ołówka i odczytując jego długość, dokonujemy aktu pomiaru. Jest to pomiar bezpośredni, ponieważ możemy odczytać jego wartość wprost za pomocą przyrządu. Nie musimy wyznaczać długości ołówka na podstawie rezultatów bezpośrednich pomiarów innych wielkości fizycznych, które z długością wiąże jakaś zależność funkcyjna. Ponieważ koniec ołówka znajduje się między 3 cm i 8 mm a 3 cm i 9 mm, a jako wartość zmierzoną przyjęliśmy 3,8 cm, wynik pomiaru nie odzwierciedla w sposób ścisły prawdziwej długości ołówka, tylko jej wartość przybliżoną. Popełniliśmy więc błąd, ale był on nie do uniknięcia. Możemy go jedynie zminimalizować, stosując jakąś pozwalającą na to metodę. Dzięki temu wynik pomiaru będzie bliższy prawdziwej wartości mierzonego obiektu, ale poziom ufności wyniku pomiaru nigdy nie osiągnie wartości 100% (więcej informacji na temat błędów pomiarów wielkości fizycznych znajduje się w Dodatkach).

Opracowanie wyników pomiarów dostarcza dodatkowych informacji związanych z pomiarem czy też serią pomiarów. Umożliwia ilościowe wyznaczenie błędów, odchylenia standardowego, jak również wspomnianej już ufności wyniku pomiaru. Stosowane w tym celu metody mogą się ograniczać do uzyskania podstawowych informacji na temat wyników pomiarów lub być rozbudowane do postaci wyrafinowanej analizy statystycznej bazującej na pojęciu prawdopodobieństwa. Tak czy inaczej, prawdziwej długości ołówka nie poznamy nigdy, zawsze będzie to wartość przybliżona i obarczona błędem. Na szczęście do pomiaru zarówno długości ołówka, jak i wielu innych obiektów posiadamy na tyle precyzyjne przyrządy i na tyle zaawansowane metody redukcji błędów, że potrafimy estymować prawdziwą wartość danego obiektu z zadowalającą nas dokładnością, która umożliwia i ułatwia codzienne funkcjonowanie ludzkiego świata.

Błędy wspomniane powyżej zalicza się do kategorii błędów statystycznych. Pojawiają się one przy pomiarze, a w pełni uwidaczniają podczas statystycznej analizy wyników pomiarów lub danych. Stanowią podzbiór szerszego zbioru błędów logicznych, które są związane z procesem logicznego rozumowania. Logika jest uniwersalnym sposobem wyboru postępowania, dokonywanego na co dzień przez każdego z nas (np. podczas opracowywania wyników pomiarów, ale też w trakcie zakupów czy mycia samochodu)[1]. Oczywiście zdarza się, że jako ludzie czasami postępujemy nielogicznie czy też – jako to się mówi – wbrew logice, ale raczej są to wyjątkowe sytuacje, a nie reguła. Prawie każda decyzja, jaką podejmujemy, bez względu na jej wartość moralną, jest – przynajmniej z naszego osobistego punktu widzenia – logiczna, a często nawet obiektywnie logiczna. Niemniej, pomijając sytuacje, w których świadomie podejmujemy decyzje nielogiczne, do procesu logicznego rozumowania mogą się wkraść błędy, czyli różnego rodzaju pomyłki w rozumowaniu czy wnioskowaniu, przez co schemat wnioskowania przestaje być niezawodny. Do nieprawdziwych lub wręcz fałszywych wniosków mogą się przyczynić następujące rodzaje błędów[2].

• Błędy wieloznaczności

Są popełniane wtedy, gdy pojęcie, którego używamy, jest wieloznaczne, czyli ma więcej niż jedno znaczenie. Na przykład sformułowanie „kaleczyć język” może oznaczać niepoprawne mówienie, wysławianie się, ale może także mieć znaczenie dosłowne, czyli przekłuwanie języka (ang. piercing). Oprócz wieloznacznych wyrazów można również używać wieloznacznych zdań. Tego typu konstrukcja logiczna była używana przez wyrocznię delficką, która ponoć nie popełniała pomyłek. Zdarzyło się, że Krezus, ostatni król Lidii (kraju na zachodzie Azji Mniejszej, na terenie dzisiejszej Turcji), zapytał ją o rezultat swojej wyprawy na Persję. W odpowiedzi usłyszał, że jeśli zaatakuje Persów, to zniszczy wielkie państwo. Jak później pokazała historia, wielkie państwo faktycznie legło w gruzach, tyle że była to Lidia. Cóż, trudno mieć do wyroczni pretensje, wszakże przepowiednia, dzięki swej dwuznaczności, była prawdziwa.

• Błędy kontekstualne

Są popełniane wtedy, gdy kontekst może sugerować, że wypowiedź ma określone znaczenie, podczas gdy w rzeczywistości żadnego znaczenia nie ma lub ma inne. Takie błędy często występują po wyrwaniu jakiegoś sformułowania z kontekstu, ale również mogą być rezultatem niewłaściwego przejaskrawienia słów obecnych w zdaniu.

• Błędy przeciwko osobie

Są popełniane wtedy, gdy ktoś dowodzi swoich racji w sposób skierowany przeciwko adwersarzowi, tzn. przeciwko osobie, a nie wypowiedziom danego człowieka. Tego typu uchybienia są często popełniane, zazwyczaj świadomie, przez polityków.

• Błędy argumentowania z autorytetu

Są popełniane wtedy, gdy ktoś dowodzi prawdziwości danego twierdzenia, nie powołując się na racjonalne argumenty, lecz wyłącznie na autorytet konkretnej osoby. Na przykład ktoś mówi, że w sklepach w Warszawie jest drożyzna, ale – mieszkając w innym mieście – nie sprawdził tego, a twierdzi tak dlatego, że takie subiektywne zdanie o cenach ma poważany przez niego polityk robiący zakupy w stolicy.

• Błędy wynikające z odwoływania się do uczuć

Są popełniane wtedy, gdy ktoś odwołuje się do uczuć i emocji. Na przykład adwokat może udowadniać, że jego klient nie popełnił przestępstwa, ponieważ jest kochającym mężem i ojcem czworga dzieci. W ten sposób próbuje „wziąć sąd i przysięgłych na litość”, nie zważając na fakt, że sytuacja rodzinna oskarżonego nie ma nic wspólnego z jego winą.

• Błędy wynikające z niewiedzy

Są popełniane wtedy, gdy ktoś uważa, że dane twierdzenie jest prawdziwe, ponieważ nie istnieją żadne obalające je argumenty. Jeżeli np. ktoś uważa, że duchów nie ma, ponieważ nie ma żadnego dowodu przeciwko ich egzystencji, to nie jest jeszcze dowód tego, iż duchy istnieją. Należy podać jakiś pozytywny argument za istnieniem duchów, aby takie twierdzenie próbować udowodnić.

• Błędy rozumowania kołowego

Są popełniane wtedy, gdy zakłada się to, czego należy dowieść. Ktoś twierdzi, że podróże w czasie są niemożliwe, ale na pytanie dlaczego, odpowiada, że nie spotkano jeszcze żadnego człowieka z przyszłości. Natomiast na pytanie, skąd wie, że nie istnieją podróżnicy w czasie, którzy być może cofają się do naszych czasów, ale ukrywają w jakiś sposób przed nami, odpowiada: – Podróżnicy w czasie nie mogą nas odwiedzać, ponieważ nie są możliwe podróże w czasie.

• Błędy kompozycji

Są popełniane wtedy, gdy zakłada się, że to, co jest prawdziwe dla pewnej części, jest również prawdziwe dla całości. Jeśli ktoś twierdzi, że Jan Iksiński jest polskim lekarzem i tankuje paliwo na stacji „Zenit”, tak więc wszyscy lekarze tankują paliwo na stacji „Zenit”, takie uogólnienie nie jest prawdziwe. Fałszem będzie również twierdzenie następujące: Jan Iksiński jest polskim lekarzem i tankuje paliwo na stacji „Zenit”, tak więc wszyscy Polacy tankują paliwo na stacji „Zenit”.

• Błędy podziału

Stanowią one odwrotność błędów kompozycji i są popełniane wtedy, gdy zakłada się, że to, co jest prawdziwe dla całości, jest również prawdziwe dla pewnej części. Fałszywe np. jest następujące rozumowanie: Polacy są narodem ochrzczonym, Jan Nowak jest Polakiem, wiec Jan Nowak jest ochrzczony. Błąd wynika stąd, że założenie, iż Polacy są postrzegani jako naród chrześcijański, nie jest prawdziwe dla każdego obywatela narodowości polskiej.

• Błędy nieistotnej tezy

Są popełniane wtedy, gdy ktoś ma na celu dowiedzenie pewnej tezy, a zamiast tego dowodzi czegoś innego. Ktoś stara się dowieść, że zawodnik austriacki Stefan Kraft jest lepszym skoczkiem narciarskim od zawodnika niemieckiego Karla Geigera, a dochodzi do wniosku, iż austriacka drużyna skoczków jest lepsza od niemieckiej – czyli do konkluzji nieistotnej z punktu widzenia tezy, której chciał dowieść.

• Błędy braku wynikania

Są popełniane wtedy, gdy ktoś na podstawie jakiegoś założenia formułuje wniosek, który wcale z niego nie wynika. Biorąc pod rozwagę przykład z poprzedniego punktu, można stwierdzić, że z założenia, iż reprezentanci Austrii lepiej skaczą na nartach niż reprezentanci Niemiec, wcale nie wynika, że Stefan Kraft jest lepszym zawodnikiem niż Karl Geiger.

• Błędy niesklasyfikowane

Są to błędy innych rodzajów niż przedstawione powyżej.

Przybliżenia i błędy są ze sobą powiązane. Jakiekolwiek błędy, które dają się opisać ilościowo, powodują, że wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem – są to błędy pomiarowe. Dla wszystkich pozostałych rodzajów błędów kwestia przybliżeń wygląda nieco inaczej. Co prawda, o ile w przypadku błędów językowych (ortograficznych, wymowy, akcentu itp.) stosunkowo łatwo mówić o komunikacji w sposób przybliżony (szczególnie jeśli jest to wymiana informacji między osobami słabo znającymi język, którym w danej chwili się porozumiewają), o tyle w przypadku błędów związanych z podejmowaniem niewłaściwych decyzji (niewłaściwych z punktu widzenia osoby podejmującej decyzję) trudno używać wyrazu „przybliżenie”. Mówi się raczej o krótko- lub długofalowych skutkach decyzji.

Pojęcia wymienione na początku Wprowadzenia nie są synonimami, ale stanowią zbiór określeń bliskoznacznych. Poszczególne są od siebie mniej lub bardziej odległe, niemniej wszystkie sprowadzają się do wspólnego mianownika, który można określić jako brak doskonałości. Czy doskonałość jest jedynie ideałem, pojęciem abstrakcyjnym, nieosiągalnym bytem? Trudno ją odnaleźć w materialnym świecie, praktycznie w każdym realnym fizycznie obiekcie można odkryć jakąś rysę. Matematyka, nauka mogąca teoretycznie obejść się bez czynnika materialnego (choć nie zawsze, np. matematyka komputerowa), również nie spełnia kryteriów „nieskazitelności” (co zostanie pokazane w rozdziale Królowa nie bez skazy). Mogłoby się, co prawda, wydawać, że pięć i pięć zawsze daje dziesięć, a jednak okazuje się, iż w pewnych okolicznościach ten truizm przestaje obowiązywać. Filozofia, sztuka, wiara, jakakolwiek inna dziedzina działalności ludzkiej? Wszędzie można się dopatrzeć potknięć ludzkiego umysłu. Dla osób wierzących jedynie bóg jest ideałem, ale też tylko wtedy, gdy przypisze mu się taką cechę. Wszak ludzie wierzą w różnych bogów i nie zawsze są to byty charakteryzujące się brakiem niedoskonałości. Z punktu widzenia niektórych ludzi we Wszechświecie nie ma więc nikogo ani niczego doskonałego (dla chrześcijan i przedstawicieli niektórych innych religii i wyznań (żywym) nośnikiem idei doskonałości jest Bóg – dlatego też tutaj piszę ten rzeczownik wielką literą). Czy Wszechświat albo Wieloświat (o ile istnieje) jest sam w sobie idealny? A jeśli nie, to czy to dobrze, czy źle? I czy idealny Wszechświat może w ogóle istnieć?

Niniejsza książka nie jest adresowana do żadnej konkretnej grupy wiekowej ani społecznej. Jest kierowana przede wszystkim do tych osób, które nie zawsze zadowala domyślny sposób postrzegania rzeczywistości i które cenią refleksyjne spojrzenie na świat. Nie mam tu jednak na myśli głębokiej filozoficznej analizy otoczenia, lecz próbę oderwania się od oczywistości i spojrzenia na nią w nieco inny sposób, nie zawsze zgodny ze zdrowym rozsądkiem i „zwykłą” logiką. Uświadomienie sobie działania pewnych mechanizmów natury, które w natłoku codzienności nie są dostrzegane, to cenne doświadczenie wzbogacające istotę człowieka. Lepsza znajomość rzeczywistości zazwyczaj stanowi tarczę ochronną przeciwko negatywnym wpływom różnych pseudo- czy paranauk. Dzięki temu można także odróżnić prawdziwych specjalistów od tych, którzy, robiąc badania na czyjeś zlecenie, często tak manipulują wynikami, aby pasowały do z góry zamówionych wniosków, swoiście interpretując, a czasem nawet ignorując fakty. Jak twierdzi profesor Michał Heller (ur. 1936), polski ksiądz katolicki, teolog, filozof, matematyk, fizyk, kosmolog, walka z faktami jest pierwszym przejawem głupoty.

Układ niniejszej pracy jest wyznaczony następująco. Na początku (rozdział I) omawiam kwestię przybliżeń w nauce, która w powszechnym mniemaniu jest najbliższa doskonałości, czyli w matematyce. Potem przechodzę do fizyki klasycznej w wersji „dokładnej” (rozdział II) oraz statystycznej (rozdział III) i tam poszukuję niedoskonałości. Następne części to spojrzenie na „wady” trzech naukowych rewolucji, czyli teorii względności (rozdział IV), mechaniki kwantowej (rozdział V) oraz teorii chaosu (rozdział VI). Rozdział VII jest formą dygresji, ponieważ dokonuję w nim porównań między przedstawionymi wcześniej rodzajami mechanik i poświęcam sporo miejsca na zapoznanie Czytelnika z kwestiami przewidywalności i determinizmu w fizyce. Badanie nieprecyzyjności świata kontynuuję w rozdziale VIII, tym razem analizując nauki inne niż ścisłe. Najbardziej niesamowite hipotezy (w skali całego Wszechświata) dotyczące ułudy postrzeganej rzeczywistości opisuję w rozdziale IX. Na koniec (rozdział X) zagłębiam się nieco w spór między teorią a praktyką, rozpatrując „usterki” każdej z nich. Dodatki stanowią matematyczny suplement do omawianych wcześniej zagadnień.

Przypisy

[1] W filmach z serii Star Trek istnieje humanoidalna rasa Wolkanów, którzy przy podejmowaniu decyzji kierują się wyłącznie racjonalnym i logicznym myśleniem (ang. pure logic).

[2] Spis błędów zaczerpnąłem z książki Philisophy made simple (Popkin i in. 1993), niemniej omawiam je częściowo we własny sposób.