© Copyright by Copernicus Center Press, 2020

Copyright © 2018 by Jim Holt
All rights reserved

Tytuł oryginalny
When Einstein Walked with Gödel. Excursions to the Edge of Thought

Adiustacja i korekta
Mirosław Ruszkiewicz

Projekt okładki
Michał Duława

Grafika na okładce
for.SPL/EastNews

Skład
MELES-DESIGN

ISBN 978-83-7886-496-7

Wydanie I

Kraków 2020

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel. (+48) 12 448 14 12, 500 839 467
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Pamięci Boba Silversa

Przedmowa

Eseje te zostały napisane w ciągu ostatnich 20 lat. Wybrałem je z myślą o trzech kwestiach.

Po pierwsze, chodzi o głębię, siłę i czyste piękno idei, które przekazują. Teoria względności Einsteina (zarówno szczególna, jak i ogólna), mechanika kwantowa, teoria grup, teoria nieskończenie wielkiego i nieskończenie małego, teoria obliczalności Turinga i „problem decyzyjny”, twierdzenia Gödla o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności, liczby pierwsze i hipoteza dzeta Riemanna, teoria kategorii, topologia, wyższe wymiary, fraktale, regresja statystyczna i „krzywa dzwonowa”, teoria prawdy – to jedne z najbardziej ekscytujących (i pouczających) osiągnięć intelektualnych, jakie napotkałem w swym życiu. Wszystkie te zagadnienia zostaną wyjaśnione w niniejszych esejach. Moim ideałem dialogu jest pogawędka towarzyska: przekazanie wszystkich najważniejszych informacji dotyczących głębokiej idei w żywy i zabawny sposób zainteresowanemu przyjacielowi dzięki wyłuskaniu samego sedna danej koncepcji (na przykład za pomocą kilku szybkich pociągnięć ołówkiem na serwetce). Celem takiego podejścia jest zarówno oświecenie nowicjusza, jak i nowatorska interpretacja, która zainteresuje też eksperta. A co najważniejsze – nigdy nie znudzi.

Drugą sprawą, którą wziąłem pod uwagę, jest czynnik ludzki. Wszystkie opisane pomysły pochodzą od naszych przodków z krwi i kości, którzy wiedli niezwykle ciekawe żywoty. Często składał się na nie element absurdu. Twórca współczesnej statystyki (i jednocześnie pomysłodawca określenia „natura czy wychowanie”), sir Francis Galton, był wiktoriańskim zarozumialcem, który przeżył komiczne przygody w afrykańskim buszu. Główną rolę w historii „twierdzenia o czterech barwach” odegrał zaś nietuzinkowo ekstrawagancki matematyk i klasycysta Percy Heawood – zwany też przez przyjaciół „Kiciusiem” Heawoodem z powodu kocich wąsów.

Częściej jednak życie przyjmowało tragiczny obrót. Twórca teorii grup, Évariste Galois, zginął w pojedynku, zanim miał okazję świętować swoje 21. urodziny. Najbardziej rewolucyjny matematyk ostatniego półwiecza, Alexander Grothendieck, zakończył burzliwy żywot w Pirenejach jako cierpiący na urojenia pustelnik. Twórca teorii nieskończoności, Georg Cantor, był kabalistycznym mistykiem, który zmarł w przytułku dla obłąkanych. Adę Lovelace, kultową boginię cyberfeminizmu (i imienniczkę języka programowania używanego przez Departament Obrony Stanów Zjednoczonych), nękały nerwowe kryzysy spowodowane obsesją na punkcie odpokutowania za kazirodcze ekscesy jej ojca, Lorda Byrona. Wielcy rosyjscy mistrzowie nieskończoności, Dmitrij Jegorow i Pawieł Fłorienski, zostali potępieni za swój antymaterialistyczny spirytualizm i zamordowani w stalinowskim gułagu. Kurt Gödel, największy ze wszystkich współczesnych logików, zagłodził się na śmierć z powodu paranoicznego przekonania, że istnieje powszechny spisek mający na celu otrucie go. David Foster Wallace (którego próby zmierzenia się z tematem nieskończoności opisuję w tej książce) powiesił się. A Alan Turing – który wymyślił komputer, rozwiązał największy problem logiczny swoich czasów i uratował niezliczoną liczbę istnień ludzkich dzięki złamaniu nazistowskiego kodu Enigmy – odebrał sobie życie z powodów, które do dziś pozostają zagadkowe, zjadając naszpikowane cyjankiem jabłko.

Trzeci powód, dla którego zebrałem te eseje w jeden tom, jest natury filozoficznej. Pomysły, które zostały w nich przedstawione, mają zasadnicze znaczenie dla naszej najbardziej ogólnej koncepcji świata (metafizyki), naszego sposobu osiągania i uzasadniania wiedzy (epistemologii), a nawet tego, w jaki sposób prowadzimy nasze życie (etyki).

Zacznijmy od metafizyki. Koncepcja nieskończenie małego – wielkości infinitezymalnej – rodzi pytanie, czy rzeczywistość bardziej przypomina beczkę melasy (jest ciągła) czy stertę piasku (jest nieciągła). Teoria względności Einsteina albo podważa nasze rozumienie czasu, albo – jeśli wziąć pod uwagę genialne rozumowanie Gödla – całkowicie je znosi. Kwantowe splątanie kwestionuje realność przestrzeni, co pozwala nam rozważać możliwość, że żyjemy w „holistycznym” wszechświecie. Teoria obliczalności Turinga zmusza nas do przemyślenia sposobu, w jaki umysł i świadomość powstają z materii.

Następnie pojawia się również kwesta epistemologii. Większość wielkich matematyków uważa, że ma wgląd do odwiecznego królestwa abstrakcyjnych form wykraczającego poza zwykły świat, w którym przyszło nam żyć. W jaki sposób wchodzą oni w interakcję z tym rzekomym „platonicznym” światem, aby uzyskać wiedzę matematyczną? Albo być może jest tak, że zasadniczo znajdują się w błędzie – że matematyka, mimo całej swojej mocy i użyteczności, ostatecznie sprowadza się do zwykłej tautologii, niczym stwierdzenie „Brązowa krowa to krowa”? Aby jaskrawiej uwidocznić tę kwestię, podchodzę do niej w nowatorski sposób, rozważając to, co powszechnie uznaje się za największy nierozwiązany problem w matematyce: hipotezę dzeta Riemanna.

Fizycy także chętnie akceptują romantyczny obraz swojego sposobu dochodzenia do prawdy. Kiedy nie mają twardych dowodów eksperymentalnych bądź obserwacyjnych na poparcie formułowanych tez, opierają się na intuicji estetycznej – na tym, co laureat Nagrody Nobla Steven Weinberg bez ogródek nazywa „poczuciem piękna” właściwym fizykom. Równanie „piękno = prawda” dobrze im służyło przez większą część ubiegłego stulecia. Ale – o co pytam w eseju Wojny teorii strun – czy aby ostatnio nie prowadzi ich ono na manowce?

Wreszcie etyka. Eseje te dotykają sposobu życia w różnych wariantach. Programy eugeniczne w Europie i Stanach Zjednoczonych zapoczątkowane przez teoretyczne spekulacje sir Francisa Galtona bezlitośnie ilustrują, jak nauka może wypaczyć etykę. Trwająca transformacja właściwych nam nawyków wywołana obecnością komputerów w naszym życiu powinna nas skłonić do gruntownego rozważenia natury szczęścia i twórczego spełnienia (tak jak to czynię w eseju Mądrzej, szczęśliwiej, wydajniej). A z kolei wszechobecność cierpienia w świecie powinna nas zmusić do zastanowienia się, jakie są ewentualne ograniczenia wymagań stawianych nam przez moralność (jak to opisałem w felietonie O świętości moralnej).

Ostatni esej tego tomu, Powiedz coś, rozpoczyna się od dokonanej przez Harry’ego Frankfurta szczegółowej analizy słynnej charakterystyki patologicznego łgarza, który nie jest wrogi prawdzie, lecz pozostaje obojętny na nią. Następnie rozszerza ten obraz, rozważając, jak filozofowie traktowali – być może błędnie? – prawdę jako „zgodność” między językiem a światem. W nieco ludyczny sposób szkic ten łączy dziedziny metafizyki, epistemologii i etyki, nadając tomowi harmonię, która, mam taką nadzieję, nie jest jedynie pozorna.

I abym nie został oskarżony o niekonsekwencję, pozwólcie mi wyrazić (nieco na wyrost?) przekonanie, że „zasada kopernikańska”, „twierdzenia Gödla o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności”, „zasada nieoznaczoności Heisenberga”, „paradoks Newcomba” i „paradoks Monty’ego Halla” są wyjątkami od prawa eponimii Stiglera (zobacz s. 398).

J.H.

Nowy Jork, 2017 rok

Część pierwsza

Poruszający obraz wieczności

1. Kiedy Einstein przechadzał się z Gödlem

W  1933 roku, mając już za sobą dokonanie wielkich odkryć naukowych, Albert Einstein przybył do Ameryki. Ostatnie 22 lata życia spędził w Princeton w stanie New Jersey, gdzie został zatrudniony jako najznakomitsza postać wśród naukowców pracujących w Instytucie Studiów Zaawansowanych. Einstein był całkiem zadowolony ze swojego nowego otoczenia, podchodząc na spokojnie do właściwej temu gronu pretensjonalności. Jak zauważył, „Princeton jest cudownym miejscem na Ziemi, a jednocześnie niezwykle zabawnym, ceremonialnym zaściankiem zamieszkiwanym przez drobnych szczudłonogich półbogów”. Jego rozkład dnia rozpoczynał się od spokojnego spaceru z domu przy Mercer Street 112 do gabinetu w instytucie. Był wówczas jednym z najsłynniejszych oraz – ze względu na swój charakterystyczny wygląd, na który składała się burza rozczochranych włosów i luźne spodnie podtrzymywane szelkami – najlepiej rozpoznawalnych ludzi na świecie.

Dziesięć lat po przyjeździe do Princeton zyskał sobie towarzysza spacerów, znacznie młodszego mężczyznę, który na tle wymiętego Einsteina wyróżniał się jako elegancka postać w białym lnianym garniturze i dopasowanym kapeluszu. Obaj panowie prowadzili ożywioną dyskusję po niemiecku podczas porannej przechadzki do instytutu i ponownie wieczorem w drodze do domu. Wielu mieszkańców miasta prawdopodobnie nie potrafiło rozpoznać mężczyzny w garniturze, natomiast Einstein traktował go jak równego sobie, kogoś, kto, podobnie jak on sam, samodzielnie zapoczątkował rewolucję pojęciową. O ile Einstein swoją teorią względności wywrócił do góry nogami nasze codzienne wyobrażenia o świecie fizycznym, o tyle ów młodszy jegomość, Kurt Gödel, wywarł podobnie wywrotowy wpływ na nasze rozumienie abstrakcyjnego świata matematyki.

Gödel, często nazywany największym logikiem od czasów Arystotelesa, okazał się dziwnym i ostatecznie tragicznym człowiekiem. Podczas gdy Einstein był towarzyski i radosny, Gödel miał poważną, samotniczą i pesymistyczną osobowość. Einstein, namiętny skrzypek amator, uwielbiał Beethovena i Mozarta. Gust Gödla podążał w nieco innym kierunku: jego ulubionym filmem była produkcja Walta Disneya Królewna Śnieżka i siedmiu krasnoludków, a kiedy jego żona postawiła różowego flaminga na podwórku przed ich domem, uznał, że jest on furchtbar herzig – „niezwykle uroczy”. Einstein bez umiaru zaspokajał swój apetyt ciężką niemiecką kuchnią; Gödel utrzymywał się na wyniszczającej diecie, która w głównej mierze składała się z masła, zupek dla dzieci i środków przeczyszczających. Chociaż prywatne życie Einsteina nie było pozbawione komplikacji, na zewnątrz emanował wesołością i czuł się dobrze w otaczającym go świecie. Gödel natomiast wykazywał tendencję do popadania w paranoję. Wierzył w duchy; miał chorobliwy lęk przed zatruciem gazami z lodówki; odmawiał wyjścia na zewnątrz, kiedy niektórzy wybitni matematycy pojawiali się w mieście, najwyraźniej z obawy, że mogą próbować go zamordować. Jak każdy paranoik, jako naczelną zasadę traktował stwierdzenie: „Każdy chaos jest tylko błędnym wrażeniem”.

Chociaż inni członkowie instytutu uważali mrocznego logika za osobę niedostępną i wprawiającą w zakłopotanie, Einstein opowiadał, że przychodził do swojego gabinetu „tylko po to, by dostąpić zaszczytu wracania do domu z Kurtem Gödlem”. Wydaje się, że po części spowodowane to było faktem, iż Gödel nie czuł się przytłoczony reputacją Einsteina i nie wahał się rzucać wyzwań jego pomysłom. Jak zauważył inny członek instytutu, fizyk Freeman Dyson: „Gödel był (...) jedynym z naszych kolegów, który spacerował i rozmawiał z Einsteinem jak równy z równym”. Lecz nawet jeśli Einstein i Gödel zdawali się przebywać na wyższym poziomie niż reszta ludzkości, prawdą było również, że stali się, według słów Einsteina, „eksponatami muzealnymi”. Einstein nigdy nie zaakceptował teorii kwantowej Nielsa Bohra i Wernera Heisenberga. Gödel uważał, że matematyczne abstrakcje były tak samo realne jak stoły i krzesła, który to pogląd filozofowie uznawali za naiwny do granic śmieszności. Zarówno Gödel, jak i Einstein twierdzili, że świat jest niezależny od naszych umysłów, ale racjonalnie zorganizowany i otwarty na ludzkie zrozumienie. Zjednoczeni wspólnym poczuciem intelektualnej izolacji, znaleźli pocieszenie we własnym towarzystwie. „Nie chcieli rozmawiać z nikim innym – powiedział pewien członek instytutu. – Mieli ochotę gawędzić tylko ze sobą”.

Ludzie zastanawiali się, o czym dyskutują te dwa wybitne umysły. Polityka była przypuszczalnie jednym z tematów. (Einstein, który popierał Adlaia Stevensona, zirytował się, gdy Gödel postanowił głosować na Dwighta D. Eisenhowera w 1952 roku). Fizyka bez wątpienia była kolejnym. Gödel dobrze orientował się w tej kwestii; podzielał nieufność Einsteina do teorii kwantowej, ale był jednocześnie sceptyczny wobec ambicji starszego fizyka, by zastąpić ją „zunifikowaną teorią pola”, która ujęłaby wszystkie znane siły w deterministyczne ramy. Obaj żywo interesowali się problemami, które, według słów Einsteina, miały „prawdziwe znaczenie”, sprawami dotyczącymi najbardziej podstawowych elementów rzeczywistości. Gödla szczególnie ciekawiła natura czasu, która, jak powiedział jednemu ze swych przyjaciół, stanowiła prawdziwe zagadnienie filozoficzne. Zastanawiał się, w jaki sposób owo „tajemnicze i pozornie wewnętrznie sprzeczne zjawisko może stanowić podstawę istnienia świata i naszej własnej egzystencji”. Akurat była to kwestia, w której Einstein mógł wykazać się pewną wiedzą.

Kilkadziesiąt lat wcześniej, w 1905 roku, Einstein udowodnił, że czas, tak jak rozumieli go naukowcy i laicy, to fikcja. A było to zaledwie jedno z osiągnięć, jakie poczynił owego roku. Wszystko zaczęło się od tego, że dwudziestopięcioletni Einstein został zatrudniony jako inspektor w biurze patentowym w szwajcarskim Bernie. Wcześniej nie udało mu się uzyskać doktoratu z fizyki, więc tymczasowo zrezygnował z kontynuowania kariery naukowej, mówiąc przyjacielowi, że „cała ta zabawa stała się nudna”. Niedawno przeczytał książkę Henriego Poincaré, francuskiego matematyka o znakomitej reputacji, w której opisane zostały trzy podstawowe nierozwiązane problemy w nauce. Pierwszy dotyczył „efektu fotoelektrycznego”: w jaki sposób światło ultrafioletowe wybija elektrony z powierzchni metalu? Drugi odnosił się do „ruchów Browna”: dlaczego cząsteczki pyłku zawieszone w wodzie poruszają się zygzakiem w losowy sposób? Trzeci nawiązywał do „eteru światłonośnego” mającego wypełniać całą przestrzeń i służącego jako ośrodek, w którym fale świetlne poruszają się w taki sam sposób, w jaki fale dźwiękowe rozchodzą się w powietrzu lub fale oceanu po wodzie: dlaczego eksperymenty nie wykryły ruchu Ziemi względem owego eteru?

Każdy z tych problemów potencjalnie mógł ujawnić to, co Einstein uważał za prostotę natury leżącą u samych jej podstaw. Nieznany początkujący urzędnik, pracujący samodzielnie, poza środowiskiem naukowym, niebawem zdołał znaleźć wyjaśnienia dla wszystkich trzech zagadek. Jego rozwiązania zostały przedstawione w czterech publikacjach, napisanych w marcu, kwietniu, maju i czerwcu 1905 roku. W swoim marcowym artykule na temat efektu fotoelektrycznego Einstein doszedł do wniosku, że światło ma postać dyskretnych cząstek, które później nazwano fotonami. W swych kwietniowych i majowych pracach ustalił raz na zawsze prawdziwą naturę atomów, podając teoretyczne oszacowanie ich wielkości i pokazując, jak zderzenia tych podstawowych cegiełek materii powodowały ruchy Browna. W czerwcowym tekście dotyczącym problemu eteru zaprezentował własną teorię względności. Następnie, jako swego rodzaju dodatek, opublikował we wrześniu trzystronicowy artykulik zawierający najsłynniejsze równanie wszech czasów: E = mc².

Wszystkie te publikacje zawierały w sobie odrobinę magii i burzyły niektóre głęboko zakorzenione w społeczności fizyków przekonania. Jednak pod względem tematyki i oryginalności sformułowanych w nim wniosków czerwcowy artykuł Einsteina wyróżniał się z nich najbardziej. Na 30 zwięzłych stronach całkowicie od nowa zapisał prawa fizyki. Rozpoczął od dwóch bezwzględnych zasad. Po pierwsze, prawa fizyki są absolutne: te same prawa muszą obowiązywać dla wszystkich obserwatorów. Po drugie, prędkość światła jest absolutna; jej wartość również jest taka sama dla wszystkich obserwatorów. Wprowadzenie drugiego założenia, choć mniej oczywiste, opierało się na tej samej logice. Ponieważ światło jest falą elektromagnetyczną (był to fakt znany od XIX wieku), jego prędkość wynika z praw elektromagnetyzmu; prawa te powinny być takie same dla wszystkich obserwatorów; dlatego też każdy powinien obserwować światło poruszające się z taką samą prędkością, niezależnie od układu odniesienia. Mimo to przyjęcie przez Einsteina zasady niezmienniczości prędkości światła było śmiałym posunięciem, gdyż jej konsekwencje wydawały się wręcz absurdalne.

Załóżmy – w celu lepszej ilustracji tego problemu – że prędkość światła wynosi 100 kilometrów na godzinę. Przypuśćmy teraz, że stoję na poboczu drogi i obserwuję wiązkę światła przemieszczającą się z tą prędkością. Następnie widzę, jak jedziecie za nią swoim samochodem z prędkością 60 kilometrów na godzinę. Dla mnie wiązka światła porusza się szybciej od was o 40 kilometrów na godzinę. Ale wy, z wnętrza samochodu, musicie obserwować promień światła uciekający z prędkością 100 kilometrów na godzinę, tak jak gdybyście stali nieruchomo: tego właśnie wymaga zasada niezmienniczości prędkości światła. A co się stanie, jeśli wciśniecie gaz do dechy i przyspieszycie do 99 kilometrów na godzinę? Teraz widzę, że promień światła porusza się szybciej od was zaledwie o jeden kilometr na godzinę. Jednak dla was jadących w samochodzie promień nadal pędzi z prędkością 100 kilometrów na godzinę, pomimo wzrostu prędkości waszego pojazdu. Jak to możliwe? Prędkość równa się oczywiście odległości podzielonej przez czas. Okazuje się, że im szybciej mkniecie samochodem, tym krótsza będzie wasza linijka i tym wolniej będzie chodzić wasz zegar w stosunku do mojego; jest to jedyny sposób, w jaki możemy nadal zgadzać się co do mierzonej wartości prędkości światła. (Gdybym wyciągnął lornetkę i spojrzał na wasz gnający samochód, zobaczyłbym, że jego długość się zmniejszy, a wy będziecie poruszać się w nim w zwolnionym tempie). Tak więc Einstein postanowił w odpowiedni sposób przekształcić prawa fizyki. Aby uczynić te zasady absolutnymi, musiał założyć względność przestrzeni i czasu.

Najbardziej oszałamiającym z tych wniosków było zrezygnowanie z pojęcia absolutnego czasu. Isaac Newton uważał, że czas jest obiektywny, uniwersalny i transcendentny w odniesieniu do wszystkich zjawisk naturalnych; „Przepływ czasu absolutnego nie podlega żadnym zmianom” – oświadczył na samym początku swoich Principiów. Einstein zdał sobie jednak sprawę, że nasza koncepcja czasu jest czymś, co odziedziczyliśmy z naszego doświadczenia płynącego z rytmicznych zjawisk: bicia serca, obrotów i obiegów planet, tykania zegarów. Opinie na temat czasu zawsze sprowadzają się do sądów na temat jednoczesności. „Jeśli na przykład mówię: «Ten pociąg przyjeżdża tutaj o godzinie 7.00», mam na myśli coś takiego: «Pozycja małej wskazówki mojego zegarka na godzinie 7 i przyjazd pociągu są wydarzeniami jednoczesnymi»” – napisał Einstein w czerwcowym artykule. Jeśli zdarzenia, o których mowa, znajdują się w pewnej odległości od siebie, oceny jednoczesności mogą być dokonywane tylko przez wysyłanie sygnałów świetlnych tam i z powrotem. Opierając się na swoich dwóch podstawowych zasadach, Einstein udowodnił, że to, czy obserwator uzna dwa wydarzenia za zachodzące „w tym samym czasie”, zależy od stanu jego ruchu. Innymi słowy, nie ma uniwersalnego teraz. Ponieważ różni obserwatorzy dzielą perspektywę czasową na „przeszłość”, „teraźniejszość” i „przyszłość” w odmienny sposób, wydaje się z tego wynikać, że wszystkie momenty współistnieją z równą realnością.

Wnioski Einsteina były rezultatem czystego rozumowania, wynikającego z najprostszych założeń dotyczących podstawowej struktury przyrody. W ciągu ponad stu lat, odkąd je wyprowadził, zostały ściśle potwierdzone w każdym kolejnym eksperymencie. Jednak jego pracę dotyczącą teorii względności z czerwca 1905 roku odrzucono, kiedy przedstawił ją jako rozprawę doktorską. (Następnie przedłożył swoją kwietniową publikację na temat wielkości atomów, która według niego w mniejszym stopniu mogła zaskoczyć egzaminatorów; zaakceptowano ją jednak dopiero po dodaniu jednego zdania, aby osiągnąć minimalną dopuszczalną długość tekstu). Einstein otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 1921 roku za swoją pracę nad efektem fotoelektrycznym. Szwedzka Akademia zabroniła mu odnosić się do teorii względności w swej mowie dziękczynnej. Tak się złożyło, że Einstein nie mógł uczestniczyć w ceremonii w Sztokholmie. Wygłosił wykład noblowski w Göteborgu, podczas którego król Gustaw V siedział w pierwszym rzędzie. Monarcha chciał się dowiedzieć czegoś o teorii względności, więc Einstein wyświadczył mu tę grzeczność.

*

W 1906 roku, rok po annus mirabilis Einsteina, w mieście Brno (znajdującym się obecnie w Czechach) urodził się Kurt Gödel. Kurt był zarówno dzieckiem ciekawskim – rodzice i brat nadali mu przydomek der Herr Warum („Pan Dlaczego”) – jak i nerwowym. Już w wieku pięciu lat najprawdopodobniej cierpiał na łagodną nerwicę lękową. Mając osiem lat, przeszedł przerażający atak gorączki reumatycznej, po którym do końca życia żywił przekonanie, że jego serce zostało nieodwracalnie uszkodzone.

Gödel wstąpił na Uniwersytet Wiedeński w 1924 roku. Zamierzał studiować fizykę, ale wkrótce uwiodło go piękno matematyki, a zwłaszcza przekonanie, że abstrakcje, takie jak liczby i okręgi, istnieją w sposób doskonały i ponadczasowy niezależnie od ludzkiego umysłu. Doktryna ta, zwana platonizmem, gdyż wywodzi się z teorii idei Platona, zawsze była popularna wśród matematyków. Jednak w światku filozoficznym Wiednia lat dwudziestych uznawano ją za wyjątkowo staroświecką. Wśród wielu ruchów intelektualnych, które rozkwitły w bogatej kawiarnianej kulturze miasta, jednym z najbardziej znanych było Koło Wiedeńskie, będące grupą myślicieli połączonych przekonaniem, że filozofia musi zostać oczyszczona z metafizyki i przekształcona tak, aby mogła zyskać rangę nauki. Pod wpływem Ludwiga Wittgensteina, niechętnie pełniącego funkcję guru tego towarzystwa, członkowie Koła Wiedeńskiego uważali matematykę za zabawę symbolami, przypominającą bardziej skomplikowaną wersję szachów. Utrzymywali, że twierdzenie takie jak „2 + 2 = 4” było prawdziwe nie dlatego, że poprawnie opisywało pewien abstrakcyjny świat liczb, ale że można je było wyprowadzić z określonego systemu logicznego zgodnie z pewnymi regułami.

Gödel został wprowadzony do Koła Wiedeńskiego przez jednego ze swych profesorów, lecz nie zdradzał się z własnymi platońskimi poglądami. Będąc jednocześnie osobą rygorystyczną i niechętną kontrowersjom, nie lubił się spierać o swoje przekonania, chyba że znalazł niepodważalny sposób, by wykazać, że są one słuszne. Ale jak można wykazać, że matematyki nie da się sprowadzić do sztuczek logicznych? Strategia Gödla – polegająca na nadzwyczajnej pomysłowości i, według słów filozof Rebekki Goldstein, emanująca „porażającym pięknem” – miała użyć logiki przeciwko niej samej. Wychodząc od logicznego systemu matematyki, uznawanego za pozbawiony sprzeczności, wymyślił pomysłowy schemat, który pozwolił na to, aby zawarte w nim wzory uzyskały pewnego rodzaju dwuznaczność. Wzór, który mówi coś o liczbach, może również w tym schemacie być interpretowany jako informacja o innych wzorach oraz o tym, w jaki sposób są one logicznie powiązane ze sobą. W istocie, jak pokazał Gödel, można nawet sformułować wzór liczbowy, który powie nam coś o sobie samym. Skrupulatnie budując ten aparat matematycznego samoodniesienia, Gödel wpadł na zdumiewający pomysł: stworzył wzór, który rzekomo mówiąc coś o liczbach, przekazuje nam także informację: „Nie można mnie udowodnić”. Na pierwszy rzut oka przypomina to paradoks przysłowiowego Kreteńczyka, który ogłasza: „Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami”. Ale samoreferencyjny wzór Gödla odnosi się do swojej dowodliwości, a nie prawdziwości. Czy może być fałszywe zdanie: „Nie można mnie udowodnić”? Nie, ponieważ gdyby takie było, oznaczałoby to, że można je udowodnić, co czyniłoby je wyrażeniem prawdziwym. Tak więc stwierdzenie, że nie można go udowodnić, musi być prawdą. Jednak prawdziwość tego twierdzenia jest widoczna tylko spoza danego systemu logicznego. W ramach owego systemu nie można go udowodnić ani obalić. System ten jest zatem niekompletny, gdyż istnieje co najmniej jedno prawdziwe twierdzenie o liczbach (to, które mówi: „Nie można mnie udowodnić”), którego nie można w nim udowodnić. Wniosek mówiący o tym, że żaden system logiczny nie może uchwycić wszystkich prawd matematyki, jest znany jako twierdzenie o niezupełności. Gödel udowodnił też, że żaden system logiczny w matematyce nie może, za pomocą własnego aparatu, wykazać, iż jest pozbawiony niespójności, który to wynik nazywany jest twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności.

Wittgenstein stwierdził swego czasu, że „w logice nie może być niespodzianek”. Tymczasem twierdzenia Gödla o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności okazały się takimi właśnie niespodziankami. Prawdę mówiąc, gdy ten początkujący logik przedstawił je na konferencji w niemieckim mieście Królewiec w 1930 roku, prawie nikt nie był w stanie ich zrozumieć. Co to niby miało znaczyć, że twierdzenie matematyczne jest prawdziwe, skoro nie można było tego udowodnić? Sam pomysł wydawał się absurdalny. Zaskoczył on nawet uchodzącego niegdyś za wielkiego logika Bertranda Russella; przypuszczalnie znajdował się on pod wpływem błędnego wniosku, że Gödel wykrył niespójność w matematyce. „Czy mamy myśleć, że 2 + 2 to nie 4, ale 4,001?” – zaniepokojony Russell zadał to pytanie dziesiątki lat później, dodając, że „cieszy się, iż nie zajmuje się już logiką matematyczną”. Gdy znaczenie twierdzeń Gödla zaczęło docierać do matematyków, towarzyszyły im określenia takie jak „klęska”, „katastrofa” i „koszmar”. Do tej pory niczym dogmat traktowano fakt, iż uzbrojeni w logikę matematycy mogą w zasadzie rozwiązać dowolną zagadkę – że w matematyce, jak to głosiła słynna maksyma, nie istniało ignorabimus. Twierdzenia Gödla zdawały się obracać wniwecz ów ideał pełnej wiedzy.

Jednak Gödel widział to zupełnie inaczej. Uważał, że udowodnił, iż matematyka posiada solidną realność, która wykracza poza jakikolwiek system logiki. Ale logika, o czym był przekonany, nie jest jedyną drogą do poznania tej realności; jesteśmy także obdarzeni czymś w rodzaju pozazmysłowej percepcji, którą nazwał „intuicją matematyczną”. To właśnie ta właściwość intuicji pozwala nam na przykład dostrzec, że stwierdzenie „Nie można mnie udowodnić” musi być prawdziwe, nawet jeśli opiera się dowodowi w ramach systemu, w którym funkcjonuje. Niektórzy myśliciele (jak przykładowo fizyk Roger Penrose) podeszli do tego tematu szerzej, utrzymując, że twierdzenia Gödla o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności niosą ze sobą głębokie implikacje dla natury ludzkiego umysłu. Uważa się, że nasze siły mentalne muszą przewyższać moce jakiegokolwiek komputera, ponieważ komputer jest jedynie systemem logicznym działającym na sprzęcie, a nasze umysły mogą dotrzeć do prawd, które znajdują się poza zasięgiem jakiegokolwiek systemu logicznego.

Gödel miał 24 lata, gdy udowodnił swoje twierdzenia o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności (był nieco młodszy od Einsteina, kiedy ten stworzył szczególną teorię względności). W tym czasie, ku sporej dezaprobacie surowych luterańskich rodziców, zabiegał o względy starszej katolickiej rozwódki o imieniu Adele, która na dodatek była zatrudniona jako tancerka w wiedeńskim klubie nocnym „Der Nachtfalter” (Ćma). Wraz z dojściem Hitlera do władzy w Niemczech sytuacja polityczna w Austrii stawała się coraz bardziej chaotyczna, chociaż zdaje się, że nie interesowało to Gödla w najmniejszym stopniu. W 1936 roku Koło Wiedeńskie rozpadło się, gdy jego założyciel został zamordowany przez obłąkanego studenta. Dwa lata później doszło do Anschlussu. Gödel stanął w końcu twarzą w twarz z niebezpieczeństwami owych czasów, kiedy grupa nazistowskich młodzieńców potraktowała go brutalnie i strąciła mu okulary, po czym wycofała się pod parasolowymi ciosami Adele. Postanowił wyjechać do Princeton, gdzie zaproponowano mu stanowisko w Instytucie Studiów Zaawansowanych. Po wybuchu wojny uznał jednak przekroczenie Atlantyku za zbyt ryzykowne. Tak więc świeżo upieczone małżeństwo udało się w długą drogę w przeciwnym kierunku, przemierzając Rosję, Pacyfik i Stany Zjednoczone, aż wreszcie dotarło do Princeton na początku 1940 roku. W instytucie Gödel otrzymał gabinet niemal bezpośrednio nad pokojem Einsteina. Przez resztę swojego życia rzadko opuszczał to miasto, które ostatecznie uznał za „dziesięć razy bardziej przyjemne” niż jego dawny ukochany Wiedeń.

Chociaż Gödel był wciąż mało znaną postacią na świecie, zyskał boski status wśród specjalistów. „Trudno to sobie wyobrazić, ale K. Goedel wymieniony był razem ze wszystkimi innymi nazwiskami w jaskrawo pomarańczowej książce telefonicznej mieszkańców Princeton – pisze w swojej intelektualnej biografii Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel (Niezupełność: dowód i paradoks Kurta Gödla) (2005) Rebecca Goldstein, która pojawiła się na początku lat siedemdziesiątych na Uniwersytecie Princeton jako absolwentka filozofii. – Przypominało to sytuację, w której otwieramy lokalną książkę telefoniczną i znajdujemy w niej nazwiska B. Spinoza bądź I. Newton”. Dalej opowiada: „Kiedyś spotkałam filozofa Richarda Rorty’ego, stojącego w lekkim oszołomieniu w sklepie ogólnospożywczym. Powiedział mi ściszonym tonem, że właśnie widział Gödla w alejce z mrożonkami”.

Wielki logik był tak naiwny i niedopasowany do otaczającej rzeczywistości, że Einstein czuł się w obowiązku pomagać mu w praktycznych aspektach życia. Jedna z najsłynniejszych historii dotyczy powojennej decyzji Gödla o przyjęciu amerykańskiego obywatelstwa. Z wielką powagą podszedł do tej kwestii, przygotowując się do egzaminu poprzez szczegółowe studiowanie konstytucji Stanów Zjednoczonych. W wyznaczonym dniu Einstein towarzyszył mu w drodze do sądu w Trenton i musiał interweniować, aby uspokoić Gödla, gdy wzburzony logik zaczął wyjaśniać sędziemu, w którym miejscu konstytucja Stanów Zjednoczonych zawiera lukę, mogącą pozwolić na wprowadzenie dyktatury[1].

Mniej więcej w tym samym czasie, gdy Gödel zgłębiał konstytucję, bacznie przyglądał się również teorii względności Einsteina. Kluczowa zasada teorii względności mówi, że prawa fizyki powinny być takie same dla wszystkich obserwatorów. Kiedy Einstein po raz pierwszy sformułował tę zasadę w swojej rewolucyjnej pracy z 1905 roku, ograniczył „wszystkich obserwatorów” do poruszających się jednostajnie względem siebie – to znaczy w linii prostej i ze stałą prędkością. Ale wkrótce zdał sobie sprawę, że to ograniczenie było narzucone arbitralnie. Jeśli prawa fizyki miały zapewnić prawdziwie obiektywny opis przyrody, powinny obowiązywać dla obserwatorów poruszających się w dowolny sposób względem siebie – obracających się, przyspieszających, wykonujących ruch spiralny i tak dalej. Tak Einstein dokonał przejścia od swojej „szczególnej” teorii względności z 1905 roku do „ogólnej” teorii, której równania opracował w ciągu następnej dekady i opublikował w 1916 roku. Potęga tych równań wynikała stąd, że pozwalały wyjaśnić grawitację – siłę, która odpowiada za ogólny kształt kosmosu.

Kilkadziesiąt lat później Gödel, przechadzając się z Einsteinem, miał możliwość zapoznania się z subtelnościami teorii względności od samego mistrza. Einstein wykazał, że upływ czasu zależy od ruchu i grawitacji, a podział wydarzeń na „przeszłość” i „przyszłość” jest względny. Gödel patrzył na tę kwestię bardziej radykalnie: uważał, że czas, jak go intuicyjnie rozumiano, w ogóle nie istniał. Jak zawsze nie zadowalał się jedynie słownym argumentem. Filozofowie, począwszy od Parmenidesa w czasach starożytnych, przez Immanuela Kanta w XVIII wieku, aż po J.M.E. McTaggarta na początku XX wieku, przedstawiali tego rodzaju nieprzekonujące uzasadnienia. Gödel pragnął znaleźć dowód, który miałby ścisłość i pewność, jaką daje matematyka. I znalazł to, czego szukał, w teorii względności. Podarował swój argument Einsteinowi podczas jego 70. urodzin w 1949 roku razem z akwafortą. (Żona Gödla zrobiła Einsteinowi sweter na drutach, ale postanowiła go nie wręczać).

To, co odkrył Gödel, było modelem niewyobrażalnego dotąd wszechświata. Równania ogólnej teorii względności da się rozwiązać na wiele różnych sposobów. Każde rozwiązanie jest w istocie modelem tego, jak może wyglądać wszechświat. Einstein, który opierając się na filozoficznych podstawach, wierzył, że wszechświat jest wieczny i niezmienny, majstrował przy swoich wzorach, tak aby otrzymać z nich taki właśnie model – starania te nazwie później „moją największą pomyłką”[2]. Inny fizyk (a jednocześnie jezuicki kapłan) znalazł rozwiązanie odpowiadające rozszerzającemu się wszechświatowi powstałemu w pewnym momencie w skończonej przeszłości. Ponieważ to rozwiązanie, które stało się znane jako model Wielkiego Wybuchu, było zgodne z obserwacjami astronomów, wydawało się, że jest to model opisujący rzeczywisty kosmos.

Ale Gödel otrzymał trzeci rodzaj rozwiązania równań Einsteina, w którym wszechświat nie rozszerzał się, lecz obracał. (Siła odśrodkowa wynikająca z obrotu powstrzymywała wszystkie obiekty przed spadnięciem na siebie pod wpływem siły grawitacji). Obserwator w tym wszechświecie widziałby, jak wszystkie galaktyki powoli obracają się wokół niego; zdawałby sobie sprawę, że to wszechświat wiruje, a nie on sam, bo nie odczuwałby zawrotów głowy. Gödel pokazał, że to, co sprawia, iż wirujący wszechświat jest naprawdę dziwny, to sposób, w jaki jego geometria miesza ze sobą przestrzeń i czas. Odbywając wystarczająco długą podróż tam i z powrotem w statku kosmicznym, mieszkaniec wszechświata Gödla mógłby wrócić do dowolnego punktu w swojej przeszłości.

Einstein nie był ani trochę zadowolony z faktu, że jego równania pozwalają na pojawienie się sytuacji niczym z Alicji w Krainie Czarów – takich jak przestrzenne trajektorie, które zapętlały się w tył w czasie; tak naprawdę przyznał, że jest „wstrząśnięty” wszechświatem Gödla. Innych fizyków zdumiewało to, że podróże w czasie, wcześniej znane jedynie z literatury fantastycznonaukowej, najwyraźniej okazują się zgodne z prawami fizyki. (Potem dopiero zaczęli się martwić tym, co by się stało, gdyby jakaś osoba cofnęła się do momentu przed swoimi narodzinami i zabiła własnego dziadka). Sam Gödel zinterpretował tę sytuację zupełnie inaczej. Stwierdził, że jeśli możliwe są podróże w czasie, to niemożliwe jest istnienie samego czasu. Przeszłość, do której można ponownie wrócić, tak naprawdę nie minęła. A fakt, że nasz wszechświat się rozszerza, a nie obraca, nie ma tu znaczenia. Czas, podobnie jak Bóg, jest albo niezbędny, albo zupełnie niepotrzebny; jeśli znika w jednym z możliwych wszechświatów, sens jego istnienia zostaje podważony w każdym możliwym wszechświecie, również w naszym.

Osobliwy kosmologiczny podarunek od Gödla Einstein otrzymał w dość ponurym okresie swojego życia. Prowadzone przez niego poszukiwania zunifikowanej teorii fizyki okazały się bezowocne, a jego sprzeciw wobec teorii kwantowej odsunął go na margines głównego nurtu fizyki. Życie rodzinne nie dostarczało mu wielkiej pociechy. Jego dwa małżeństwa okazały się porażkami; córka urodzona w pozamałżeńskim związku najwyraźniej zniknęła z kart historii; jeśli zaś chodzi o jego dwóch synów, to jeden był schizofrenikiem, drugi natomiast całkowicie zerwał z nim kontakty. Krąg przyjaciół Einsteina zawęził się do Gödla i kilku innych osób. Jedną z nich była belgijska królowa Elżbieta, której w marcu 1955 roku zwierzył się, że „przesadny szacunek, jakim darzy się moją pracę zawodową, wprawia mnie w wielkie zakłopotanie. Czuję się zmuszony myśleć o sobie jako o mimowolnym oszuście”. Zmarł miesiąc później, w wieku 76 lat. Kiedy Gödel wraz z innym znajomym udał się do gabinetu Einsteina w instytucie, aby zrobić porządek w jego papierach, znalazł tablicę pokrytą prowadzącymi donikąd równaniami.

Po śmierci Einsteina Gödel jeszcze bardziej wycofał się z życia. Wolał prowadzić wszystkie rozmowy przez telefon, nawet jeśli jego rozmówca znajdował się kilka metrów od niego. Kiedy szczególnie chciał kogoś uniknąć, umawiał się na spotkanie w określonym czasie i miejscu, a następnie upewniał się, że znajduje się wystarczająco daleko. Zaszczyty, jakimi świat chciał go obdarzyć, sprawiły, że stał się podejrzliwy. Pojawił się co prawda na Harvardzie w 1953 roku, aby odebrać przyznany mu doktorat honoris causa, gdzie jego twierdzenia o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności okrzyknięto najważniejszym matematycznym odkryciem ostatniego stulecia, ale później skarżył się, że został „niezasłużenie wepchnięty w najbardziej wojownicze towarzystwo” Johna Fostera Dullesa[3], drugiego laureata tego wyróżnienia. Kiedy w 1974 roku otrzymał Narodowy Medal Nauki, odmówił udania się do Waszyngtonu na spotkanie z Geraldem Fordem w Białym Domu, mimo że zaoferowano wysłanie samochodu z kierowcą dla niego i jego żony. Miewał halucynacje i opowiadał ponuro o pewnych siłach działających na świecie, które „bezpośrednio niszczą dobro”. Obawiając się spisku, mającego na celu otrucie go, uparcie odmawiał jedzenia. Ostatecznie, wyglądając (według słów jego przyjaciela) niczym „żywy trup”, został zabrany do szpitala Princeton. Tam, dwa tygodnie później, 14 stycznia 1978 roku, zagłodził się na śmierć. Według aktu zgonu przyczyną śmierci było „niedożywienie i wycieńczenie” spowodowane „zaburzeniami osobowości”.

Pewien stopień jałowości naznaczył ostatnie lata życia zarówno Gödla, jak i Einsteina. Jednak to, co mogło okazać się najbardziej daremne, to ich niezmącona wiara w nierealność czasu. Pokusa była zrozumiała. Jeśli czas istnieje tylko w naszych umysłach, być może możemy mieć nadzieję na ucieczkę w ponadczasową wieczność. Wówczas moglibyśmy powiedzieć, podobnie jak William Blake: „Widzę przede mną przeszłość, teraźniejszość i przyszłość / istniejące razem jednocześnie”. W przypadku Gödla mógł nim kierować dziecięcy strach przed nieodwracalnie uszkodzonym sercem, który przyciągnął go do idei ponadczasowego wszechświata. Pod koniec życia wyznał pewnemu powiernikowi, że długo czekał na objawienie, które pozwoli mu zobaczyć świat w nowym świetle, co jednak nigdy nie nastąpiło.

Einstein też nie był w stanie całkowicie zerwać z czasem. „Dla tych z nas, którzy wierzą w fizykę – napisał do wdowy po niedawno zmarłym przyjacielu – ów podział na przeszłość, teraźniejszość i przyszłość jest jedynie iluzją, choć dość nieustępliwą”. Kiedy kilka tygodni później nadeszła jego kolej, powiedział: „Czas odejść”.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Przypisy

[1] Więcej informacji na temat tego incydentu można znaleźć w eseju Gödel zgłębia konstytucję USA w tym tomie.

[2] Najnowsze odkrycia w kosmologii zdają się sugerować, że największą pomyłką Einsteina było uznanie tych usiłowań za największą pomyłkę (przyp. tłum.).

[3] John Foster Dulles – amerykański polityk, sekretarz stanu, zdecydowany antykomunista. Był jednym z propagatorów doktryny zmasowanego odwetu w przypadku ataku ze strony ZSRR (przyp. tłum.).