© Copyright by Michał Heller & Copernicus Center Press, 2017

Adiustacja i korekta: ARTUR FIGARSKI

Projekt okładki: MARIUSZ BANACHOWICZ

Grafika na okładce: © posteriori/Shutterstock

Skład: MELES-DESIGN

ISBN 978-83-7886-298-7

Wydanie pierwsze

Kraków 2017

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel./fax (+48 12) 430 63 00
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://en.ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Wprowadzenie

Od przed-Euklidesem do po-Einsteinie

Książka, którą właśnie przekazuję do rąk czytelnika, miała być kontynuacją Boga i geometrii (CCPress, 2015) i w pewnym sensie nią jest – ale tylko w pewnym sensie. Od czasów Newtona (tamta książka kończyła się na Newtonie) historia geometrii nabrała przyspieszenia i potem można ją śledzić już tylko bardzo wybiórczo. Zmienił się także charakter jej oddziaływań z resztą kultury. W okresie przednewtonowskim nauka była dla ludzkości rodzajem luksusu. Uprawiały ją nieliczne jednostki. Polityczne dzieje świata toczyły się swoją drogą, z rzadka tylko zwracając uwagę na to, co działo się na „intelektualnych marginesach”. Jeżeli jakiś władca zaprzątał sobie głowę „naukowymi nowinkami”, to raczej, by dodać sobie splendoru, niż by odnieść z tego rzeczywistą korzyść. Ale nauki, zwłaszcza takie jak geometria, coraz głębiej zapuszczały korzenie w kulturalną glebę Europy i stopniowo coraz bardziej ją przetwarzały.

Naturalnym środowiskiem matematyki od początku była filozofia. Od kiedy ludzie nauczyli się liczyć przedmioty i dostrzegać proste związki geometryczne, nie mogli nie stawiać sobie pytania: dlaczego to działa? Nawet jeżeli na to pytanie nie było prostej odpowiedzi, to wkrótce fakt, że „to działa”, urósł do rangi wzorca pewności dla wszystkich innych dociekań. Przynajmniej od czasów Platona geometria, która wówczas reprezentowała praktycznie całą matematykę, wkomponowała się w sieć powiązań z filozofią i pod wieloma względami stała się jej siłą napędową. A ponieważ teologia tamtych czasów prawie nie odróżniała się od filozofii, i ona wpisywała się w sieć oddziaływań z geometrią, a także sama czerpała z niej sporo sił żywotnych. Tym bardziej, że pewność matematyczna często sprawiała wrażenie dotykania Absolutu. To uzasadniało tytuł Bóg i geometria.

Matematyczna pewność od samego początku miała jeszcze inne pole działania, w którym mogła przejawiać swoją skuteczność – otaczający nas świat: od mierzenia pól i prostych transakcji handlowych, przez różne zastosowania militarne, aż do wyjaśniania astronomicznych regularności. W miarę zbliżania się do nowożytności ten obszar zastosowań matematyki wzmacniał się i nabierał mocy, aż wreszcie, na przełomie XVI i XVII wieku, rozrósł się tak bardzo, że zastąpił filozofię i teologię w roli naturalnego środowiska matematyki. Zapotrzebowania ze strony fizyki stały się głównym motywem dokonań matematycznych. W przypadku filozofii i teologii poprzedniego okresu chodziło głównie o inspiracje – szły one zresztą w obydwu kierunkach: obie strony czerpały z nich jednakowo obficie. Związek między matematyką a fizyką sięgnął znacznie głębiej: świat fizyczny działał dokładnie tak, jak mu kazały równania matematyczne. Trzeba przyznać, że w tym nowym środowisku matematyka czuła się wyjątkowo dobrze. Jej rozwój dokonywał się w niespotykanym dotychczas tempie. I to nie tylko w tych dziedzinach, które znajdowały bezpośrednie zastosowania w fizyce czy w innych naukach przyrodniczych (gdyż i inne nauki coraz częściej brały przykład z fizyki w korzystaniu z metod matematycznych).

W czasach nowożytnych związki matematyki z filozofią i teologią nawet nie tyle uległy osłabieniu, ile raczej zmieniły się jakościowo. Proces ten następował stopniowo, ale bardzo wyraźnie. Myśliciele francuskiego Oświecenia, znani przecież ze swojego antyreligijnego nastawienia, nadal chętnie odwoływali się do matematyki jako przejawu Boskiego Rozumu, choć Rozum ten w niewielkim stopniu przypominał chrześcijańskiego Boga. Jeszcze w XIX stuleciu wielu (być może nawet większość) matematyków, i to największego kalibru, traktowało matematykę jako punkt wyjścia medytacji o charakterze religijnym. I dziś nie brak takich przypadków, choć obecnie naukowcy bardziej starannie oddzielają swoje religijne poglądy od naukowych dokonań.

Stosunki między filozofią i matematyką także uległy zmianie. Dawne problemy oczywiście pozostały, bo kwestii filozoficznych nie rozwiązuje się i po prostu nie odstawia na bok. Można je najwyżej na jakiś czas usunąć z pola zainteresowania. To zrozumiałe, że wraz z rozwojem nauki powstają nowe zagadnienia filozoficzne, które bardziej niż dawne przykuwają uwagę. Nic dziwnego, że w czasach nowożytnych na pierwsze miejsce wysunęły się zagadnienia powstałe na styku matematyki i fizyki. Geometria nadal pozostawała wyniosłą arystokratką wśród nauk matematycznych, ale coraz chętniej podejmowała się różnych zleceń o charakterze służebnym w stosunku do innych działów nauk ścisłych. I właśnie w obszarze zastosowań jeden z dawnych, chciałoby się powiedzieć klasycznych, problemów filozoficznych nie tylko nie stracił na znaczeniu, ale wręcz ujawnił się z większą natarczywością. Chodzi o problem skuteczności: dlaczego to działa? Nie ulegało najmniejszej wątpliwości, że niezwykła skuteczność fizyki była następstwem jej uzależnienia się od metod matematycznych. Oczywiście, odwoływanie się do wyników eksperymentów było drugim istotnym czynnikiem postępu, ale skuteczność metod matematycznych polegała właśnie na tym, że wyniki eksperymentów doskonale wpasowywały się w te miejsca struktur matematycznych, które pozostawały otwarte na „parametry z zewnątrz”. Co więcej, zaprojektowanie bardziej zaawansowanego eksperymentu wymaga takiego skonstruowania zestawu pomiarowego, by jego „wewnętrzna logika” była zgodna z jego matematycznym odpowiednikiem[1].

To niezwykłe oddziaływanie geometrii i fizyki samo w sobie stanowiło problem filozoficzny i oczywiście dotyczyło całej matematyki, a w każdym razie tych jej części, które znajdowały zastosowanie do fizyki. W geometrii pojawiło się jeszcze dodatkowe zapętlenie. Nikt przecież nie wątpił w to, że geometria jest nauką o przestrzeni, a przynajmniej od czasów Kartezjusza nie można również było żywić wątpliwości co do tego, że przestrzeń jest także przedmiotem badania fizyki. W miarę ustalania się coraz klarowniejszej świadomości metodologicznej, sytuacja ta wydawała się coraz bardziej niepokojąca. Wszak matematyka nie powinna mieć nic wspólnego z doświadczeniem, a fizyka, przeciwnie, jest nauką jak najbardziej eksperymentalną. Czyżby geometria była „bytem hybrydowym” – częściowo matematycznym, a częściowo fizycznym? Dopóki sądzono, że istnieje tylko jedna geometria – Euklidesowa – można się było zgodzić z taką nieco dwuznaczną sytuacją. Kant nawet uzasadniał, że nie może być inaczej. Ale gdy w dziewiętnastym wieku, dzięki pracom Bolyaia i Łobaczewskiego, pojawiły się geometrie nieeuklidesowe i zasadne stało się pytanie, której z nich podlega przestrzeń Wszechświata, problem nabrał niepokojących wymiarów. Jedna przestrzeń a wiele geometrii? Jeden Wszechświat a wiele przestrzeni? Matematyk tej miary, co Gauss, nie zawahał się stwierdzić, że zapewne zrozumie ten problem dopiero w życiu wiecznym.

Jeszcze przed odejściem Gaussa do wieczności, Bernhard Riemann spojrzał na zagadnienie „innych geometrii” zupełnie od innej strony. Choć inspiracje Riemanna były również filozoficzne, postawił on problem w sposób matematyczny i tak ogólny, że dotychczas znane geometrie stały się w nim jedynie szczególnymi przypadkami. A fakt, że Riemann, powodowany okolicznościami raczej przypadkowymi, jedynie zakreślił problematykę, otworzył szerokie horyzonty. Jego kontynuatorzy mogli podchodzić do problemu z różnych stron, nieskrępowani autorytetem swego poprzednika. W ten sposób zawiązał się prawdziwie „interdyscyplinarny węzeł”. Dominowała w nim składowa matematyczna. Oczywiście ważne w nim było włókno geometryczne, ale tak ściśle wplatało się ono w zwoje innych działów matematyki, że coraz trudniej było nakreślić linie graniczne między nimi. W tych ciasnych splotach coraz bardziej dojmująco dawał się odczuwać brak przejrzystych reguł metodologicznych. Przynajmniej tak to odbieramy, patrząc wstecz z dzisiejszej perspektywy. Reguły metodologiczne, którymi dziś dysponujemy i które wydają się nam niemal oczywiste, właśnie wtedy się wykluwały. Nie w analizach metodologów, lecz w trakcie prac matematyków i fizyków (zresztą często matematykiem i fizykiem był ten sam uczony). Ażeby rozwiązać problem, trzeba go dobrze postawić. Niekiedy może to być długi proces, wykraczający poza życiorys jednego człowieka. Ale nawet jeżeli problem rozwiązuje się błyskiem intuicji, to w znalezionym rozwiązaniu i tak zawarte jest jego „dobre postawienie”. Właśnie wtedy potrzebna jest analiza ex post, aby to „dobre postawienie” odtworzyć i zrozumieć, czyli sformułować odpowiednie reguły metodologiczne.

Im bliżej końca dziewiętnastego stulecia, tym ciaśniej wątki pochodzące z fizyki wplatały się w ten „interdyscyplinarny węzeł”. Badania w dziedzinie fizyki pozornie toczyły się swoim torem: generowały własne problemy, wypracowywały własne reguły metodologiczne. Ale im bardziej się rozwijały, tym bardziej wchłaniały w siebie postęp matematyczny. Nowe metody geometryczne nie tylko stanowiły nowe narzędzia, lecz drążyły problemy fizyczne od wewnątrz, czyli przystosowywały je stopniowo do nowych rozwiązań. Kropla drąży powoli, ale wreszcie tama pęka. Przełom nastąpił, gdy Einstein zastosował nowe metody geometryczne do nowej teorii grawitacji. Geometria zespoliła się z fizyką.

Zespolenie to zaczęło wydajnie pracować. Najpierw efekty empiryczne były nieliczne, ale spektakularne. Obserwacyjne potwierdzenie ugięcia promieni świetlnych w polu grawitacyjnym Słońca, stwierdzone podczas zaćmienia 29 maja 1919 roku, z dnia na dzień przyniosło Einsteinowi sławę międzynarodowego gwiazdora nauki. Ogromny napływ potwierdzeń empirycznych, już po śmierci Einsteina, zarówno w astronomii, kosmologii, jak i fizyce laboratoryjnej, nie tylko miał ogromne znaczenie dla samej fizyki, lecz również dostarczył filozofom nauki obfitego materiału do analiz wzajemnych oddziaływań fizyki i geometrii. Zresztą sam Einstein, spoglądając analitycznym okiem na własne dokonania, doskonale zrozumiał, w jaki sposób „czysta geometria” (jako część matematyki) staje się fizycznym modelem (częścią fizycznej teorii). Pomogły mu w tym filozoficzne rozważania Poincarégo i Helmholtza, ale decydującym był fakt, że to właśnie w jego rękach „czysta geometria” przeobraziła się w fizyczny model pola grawitacyjnego. On po prostu wiedział, „jak to się robi”. Filozofom nauki pozostało już tylko dopracować szczegóły.

W ten sposób „interdyscyplinarny węzeł” został rozplątany. Pozostaje do rozpatrzenia jeszcze tylko jedno pytanie: dlaczego teologia wyplątała się z tego „interdyscyplinarnego węzła” i – w przeciwieństwie do tego, co działo się w dawniejszych stuleciach – wycofała się z areny naukowych zmagań? Lub może została do tego zmuszona? Poprzedni tom mógł zostać zatytułowany Bóg i geometria. Taki tytuł w pełni się uzasadniał. Teologicznych wątków wcale nie trzeba było „śledzić” w rozwoju geometrii. Leżały one na wierzchu. Ale nie były to wątki powierzchowne, jedynie sztucznie dołączane do geometrycznych traktatów. Przeciwnie – głębokie prądy płynęły w obu kierunkach: od teologii do geometrii, podsuwając inspiracje i twórcze motywy, ale i z geometrii do teologii, dostarczając wzorców racjonalności i źródeł do kontemplacji. Dla obecnego tomu trzeba było wymyśleć inny tytuł. Tamten mógłby się jeszcze odnosić do pierwszych dwu rozdziałów, ale potem traciłby już swoją aktualność. Oczywiście, ogólne zeświecczenie kultury, począwszy od francuskiego Oświecenia, zrobiło tu swoje, ale proces był znacznie bardziej skomplikowany. Gdybym chciał skomponować książkę z fragmentów, jakie ówcześni matematycy poświęcali w swoich pracach odniesieniom do Boga i innego rodzaju refleksjom teologicznym, mógłby się z tego zrobić pokaźnych rozmiarów tom. Ale i tak byłaby to książka zupełnie odmiennego typu niż Bóg i geometria. Rzecz w tym, że całkiem niezależnie od osobistych poglądów poszczególnych autorów, związki między matematyką a teologią wyraźnie się rozluźniły. Wprawdzie historia nie odnotowała jakichś szczególnych konfliktów między tymi dziedzinami, jak to miało miejsce w astronomii (sprawa Galileusza) czy biologii (sprawa Darwina), ale wyraźnie dał się zauważyć brak twórczego iskrzenia pomiędzy nimi. Głównym powodem był wzrost metodologicznej samoświadomości matematyki (w tym także geometrii). Intensywne gromadzenie wyników i wzrost technicznego zaawansowania coraz bardziej uświadamiał matematykom, że rozumowania wewnątrz czystej matematyki stanowią „obieg zamknięty”, który w żadnym miejscu nie powinien być przerwany, by stwarzać „wejście” na jakieś zewnętrzne wpływy. Tu jednak znowu pojawił się problem zastosowań do fizyki (problem fizycznej przestrzeni). Bo czy obieg ten nie musiał się gdzieś otworzyć na kontakt z „zewnętrznym światem”? Z czasem gdy i ta trudność się wyjaśni, samowystarczalność geometrii zostanie ostatecznie ustalona. Teologia znajdzie się na zewnątrz jej samozwartego świata.

Proces ten był oczywiście stopniowy. Leibniz (od którego ten tom się zaczyna) był w równym stopniu teologiem, co i matematykiem, a jego matematyka ściśle wkomponowywała się w jego teologię. Ale już u jego następców teologiczne komentarze, nadal liczne, mają coraz bardziej deklaratywny charakter, a z czasem pojawią się autorzy, którzy także nie będą stronić od deklaratywnych komentarzy, ale już o charakterze sceptycznym lub ateistycznym. Jeżeli tego rodzaju komentarze nie są wymuszone metodologiczną koniecznością, lecz stanowią wynik osobistych poglądów autora, to znaczy, że w naukowym tekście stanowią tylko swoisty ozdobnik. A ozdobniki zwykle podlegają różnym modom. Z czasem moda każe w ogóle unikać takich ozdobników (nie bez znaczenia będzie też rozpowszechnienie się poglądów pozytywistycznych, a potem neopozytywistycznych). Obecnie publikacje matematyczne są prawie w stu procentach wyjałowione z tego typu naleciałości. Zostały one wygnane do publikacji popularnych i popularnonaukowych.

Wszystko to nie znaczy, że matematyka (a geometria w szczególności) jest wyjałowiona z problemów filozoficznych i teologicznych. Sama matematyka jest problemem zarówno filozoficznym, jak i teologicznym. Ale żeby ją w tej roli dostrzec, trzeba na nią spojrzeć z poziomu „meta”. Zresztą samo rozwiązanie problemu zastosowań geometrii do fizyki (przestrzeń geometryczna a przestrzeń fizyczna) wymagało rozróżnienia na geometrię i jej fizyczny model, czyli zastosowania, przynajmniej domyślnie, koncepcji poziomu i metapoziomu. Pod adresem matematyki można sformułować – także z poziomu „meta” – cały szereg pytań o charakterze filozoficznym. Pytaniami tymi żyje odrębna dyscyplina, zwana filozofią matematyki. Zależnie od rodzaju tych pytań, istnieją różne odmiany filozofii matematyki: od metamatematyki[2] (która swoimi metodami bardziej przypomina matematykę niż filozofię), poprzez filozofie matematyki typu analitycznego, aż do różnego rodzaju metafizyk matematyki.

Również teologii nie można zakazać, by stawiała pytania pod adresem matematyki z własnej perspektywy i kierując się własnymi metodami. A nawet byłoby to wielce pożyteczne z punktu widzenia jej interesów w nawiązywaniu dialogu z współczesnością. Istnieje wiele artykułów i różnych publikacji, komentujących rozmaite naukowe koncepcje z teologicznej perspektywy, ale – o ile mi wiadomo – nie istnieje żadna, metodologicznie zorganizowana dyscyplina, zasługująca na miano teologii matematyki. Mogłaby się ona stać częścią już istniejącego projektu teologii nauki[3].

Jednym z ważnych zadań teologii nauki winno być zrozumienie metodologicznego faktu „samozwartości” naukowych teorii, to znaczy tego, że łańcuch naukowych wyjaśnień powinien zawsze pozostawać wewnątrz naukowej teorii, w żadnym miejscu nie odwołując się do „wyjaśnień zewnętrznych” (w tym także teologicznych). Z teologicznego punktu widzenia odpowiadałoby to zasadzie stwierdzającej, że „Bóg nie zostawia śladów we Wszechświecie, ponieważ cały Wszechświat jest jego śladem”. Zasada ta dobrze wpisuje się w aktualny dziś nurt teologii chrześcijańskiej, zwany teologią nieinterwencjonistyczną.

Nauka jest działalnością człowieka, a w głębokim tle wszystkich działań człowieka – o ile tylko towarzyszy im minimum intelektualnej refleksji – zawsze kryją się wielkie tematy filozofii i teologii.

*

Pozostaje jeszcze rzucić okiem na całościową kompozycję tego tomu.

Rozdziały 1 i 2 stanowią „gładkie przejście” od Boga i geometrii do obecnych rozważań. Tamta książka kończyła się na Newtonie; ta rozpoczyna się od refleksji nad dziedzictwem Newtona. Rozdział 1 na zasadzie konkurencji. Chociaż Leibniz proponował konkurencyjną w stosunku do Newtona interpretację filozoficzną, kładł jednak podwaliny pod tę samą fizykę klasyczną. Rozdział 2 omawia dziedzictwo Newtona na zasadzie kontynuacji i rozwijania. Newton był skłonny sądzić, że w zasadzie zakończył już budowę gmachu mechaniki klasycznej. Nie doceniał własnego osiągnięcia. Zbudował podstawy, ale krył się w nich ogromny potencjał dalszego rozwoju. Dzieło Newtona podjął Euler i wskazał drogę kolejnych dokonań.

W rozdziale 3 zawiązuje się filozoficzny wątek dramatu rozgrywającego się wokół geometrii. Sukcesy Newtonowskiej fizyki były tak wielkie, że domagały się filozoficznego uzasadnienia. Dostarczył go Immanuel Kant. Z jego systemu wynikało – przynajmniej tak to zrozumiało wielu wpływowych myślicieli – że geometria może być tylko jedna – Euklidesowa. Ale oto właśnie od wieków dyskutowany problem piątego postulatu dojrzał do rozwiązania i trzej matematycy niezależnie od siebie: Gauss (rozdział 4), Bolyai (rozdział 5) i Łobaczewski (rozdział 6) odkryli geometrie nieeuklidesowe. Wszyscy trzej zmagali się z pytaniem, jak to możliwe, że przestrzeń jest tylko jedna (fizyczna przestrzeń Wszechświata), a geometrii wiele. Trzeba było przezwyciężyć nie tylko własne wyobrażenia, lecz również opór narosłych tradycji.

Opory najskuteczniej pokonuje się za pomocą konkretnych osiągnięć naukowych. Znaczenie habilitacyjnego wykładu Riemanna nie polega na jego filozoficznych inspiracjach, lecz na jego matematycznej innowacyjności. Dlatego rozdział 7 stanowi zwrot w scenariuszu naszego dramatu. Następcy Riemanna wywodzili się z różnych inspiracji i działali w różnych miejscach: Grassmann w Szczecinie (rozdział 8), Clifford w Cambridge (rozdział 9), Klein w Erlangen (rozdział 10). Wszyscy oni, i jeszcze kilku innych, w jakimś sensie kontynuowali program Riemanna, ale czynili to w znacznej mierze „na własną rękę”, co tworzyło różne punkty widzenia i wzbogacało problematykę nowymi technikami. Jeżeli problem „jedności przestrzeni i wielości geometrii” nie zawsze wypływał na powierzchnię, to przynajmniej pozostawał w tle i niepokoił.

Wraz z rozdziałem 11 akcja naszego dramatu stopniowo wkracza w fazę rozwiązania. W pracach Poincarégo dotyczących geometrii wątki filozoficzne na pewno nie pozostawały jedynie w tle. Poprawnie zidentyfikował on metodologiczny status geometrii jako nauki matematycznej, ale jego filozoficzny konwencjonalizm zaciemnił mu ostrość spojrzenia na rolę geometrii w zastosowaniach fizycznych.

Po stworzeniu szczególnej teorii względności, Einstein nie miał czasu na zagłębianie się w filozoficzne rozważania – intensywnie poszukiwał nowej teorii grawitacji. Dzięki pracom Minkowskiego wiedział, że będzie ona geometryczną teorią czasoprzestrzeni. Ale dopiero znalezienie równań, określających związek geometrii z polem grawitacyjnym, będzie zwieńczeniem drogi i przypieczętowaniem rozwiązania. Gdy ogólna teoria względności zostanie stworzona, równania pola grawitacyjnego poprawnie napisane i kilka ważnych rozwiązań znalezionych, Einstein będzie mógł przeanalizować swoją drogę i wyraźnie określić stosunek między geometrią i jej fizycznymi modelami. W rozdziale 12 przyglądamy się drodze Einsteina, a w rozdziale 13 pochylamy się razem z nim nad jego dokonaniami i próbujemy sformułować odpowiedź na główne pytanie tej książki.

W nauce znalezienie odpowiedzi nigdy nie jest zamknięciem problemu, lecz raczej uruchomieniem nowych pytań i ujawnieniem nowych trudności. W Zakończeniu bardzo już szkicowymi liniami kreślę dalsze, poeinsteinowskie losy wzajemnych oddziaływań geometrii i fizyki. Są one bardzo intensywne i przeobrażają zarówno geometrię, jak i fizykę.

A filozoficzne i teologiczne przesłanie całej tej długiej (ale niezakończonej) historii – od przed-Euklidesem do po-Einsteinie – jest wyraźnie czytelne: badając Wszechświat, stawiamy czoła Wielkiej Racjonalności.

Tarnów, 9 listopada 2016 roku

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Przypisy

[1] Właściwie nie dotyczy to tylko „bardziej zaawansowanych” eksperymentów. Najprostszy pomiar długości za pomocą linijki, też musi się „wpasowywać” w odpowiednią strukturę matematyczną. Jest ona jednak na tyle prosta, że na ogół stosujemy ją instynktownie. Co więcej, jest ona do tego stopnia prosta, że trzeba było przenikliwego wzroku, by ją dostrzec. Wyraźnie sformułowana struktura metryczna przestrzeni w historii geometrii pojawiła się stosunkowo późno.

[2] Rozumianej jako dyscyplina badająca matematykę metodami matematycznymi.

[3] Por.: Teologia nauki, red. J. Mączka, P. Urbańczyk, CCPress, Kraków 2015.