Spis treści

Karta redakcyjna

Przedmowa do trzeciego wydania

Przedmowa do drugiego wydania

WSTĘP

Królewska droga ludzkiej myśli

ANANKE

1. Mityczny dyskurs o przyrodzie

2. Czynnik porządku

SZTUKA LICZENIA I SZTUKA WIDZENIA

1. Dwie strategie w matematyce

2. Matematyka babilońska

3. Dar Nilu

4. Sztuka rozumowania

CZY ASTRONOM MUSI PATRZEĆ W NIEBO?

1. Platońska reforma edukacji

2. Pitagorejskie inspiracje

3. Świat idei i kosmologia

4. Platońska fizyka mikroświata

SIEDMIU WALCZĄCYCH PRZECIW TEBOM

1. Gniew Arystotelesa

2. Matematyka a fizyka

3. Natura matematyki

JAK POLICZYĆ ZIARNKA PIASKU?

1. Liczba większa od każdej innej

2. Metoda Archimedesa

3. Trzy tradycje

4. Dziedzictwo Archimedesa

OD RÓWNI POCHYŁEJ DO SUPERSYMETRII

1. Próba oceny

2. Sukces metody

3. Pierwszy akt dramatu

CZY STRZAŁA DOLECI DO CELU?

1. Dialektyka ruchu

2. Achilles i żółw po dwudziestu czterech stuleciach

3. Jak modeluje się świat?

4. Paradoksy i przemijalność

5. Historia problemów

SPOCZYNEK CZY RUCH JEDNOSTAJNY?

1. Filozoficzne tło mechaniki Arystotelesa

2. Zasady dynamiki Arystotelesa

3. Zasada bezwładności

4. Dynamiczne standardy

5. Dziecinne krajobrazy

NIESPOKOJNA RZEKA

1. Dwa nurty

2. Metoda Eudoksosa

3. Od liczenia palców do twierdzenia Lagrange’a

4. Między zerem a nieskończonością

5. Szerokość form

6. Pewien etap królewskiej drogi

ODRZUCONY OBRAZ

1. Metodą kontrastu

2. Model

3. Architektura Modelu

4. Zasada doskonałości

5. Extra muros

6. Wizje i modele

7. Prawda i metafizyka

POPRZEDNICY GALILEUSZA

1. Od łuku do armaty

2. Spadanie kamienia i ewolucja pojęć

3. Czy warto naśladować Archimedesa?

BECZKI DO WINA I ASTRONOMIA

1. Geny i nowożytna fizyka

2. Geometria beczek

3. Elipsy na niebie

4. Nowa astronomia i nowa metoda

KSIĘGA PRZYRODY I JEJ JĘZYK

1. Czy Kopernik był relatywistą?

2. W ogniu polemik

3. Jak spada kamień? – największe odkrycie w dziejach ludzkości

4. Mechanika i Wszechświat

5. Spór o Galileusza

GEOMETRIA I FILOZOFIA

1. Francuz w Londynie

2. Matematyk i filozof

3. Wyłom w racjonalności

CZAS – ZMIENNA NIEZALEŻNA

1. Liczba czy kontinuum?

2. Czas jak linia

3. Nieskończenie małe

4. Fluenty i fluksje

AMBICJE I MATEMATYKA

1. Przez dyplomację do matematyki

2. Różniczki i małe żyjątka

3. Newton i Leibniz

4. Osiągnięcia i znaki zapytania

CZYTAJĄC PRINCIPIA

1. Ukrywane narzędzie

2. Pojęcia i sytuacje problemowe

3. „Ilość materii”

4. Prawa ruchu

5. Rzut oka na całość

DYSKUSJE WOKÓŁ PODSTAW

1. Angielscy krytycy Newtona

2. Na Kontynencie

3. Hoene-Wroński i Lacroix

BUDOWA PODSTAW

1. Od Zenona z Elei do Bernarda Bolzano

2. Bolzano

3. Cauchy

4. Weierstrass

5. Dedekind i Cantor

6. Kilka uwag o rozwoju matematyki

POCHODNA

1. Zapowiedź

2. Funkcja

3. Zmienna niezależna

4. Definicja

5. Zdziwienie

PRĘDKOŚĆ CHWILOWA

1. Modele świata

2. Prawa i teorie

3. Czas – zmienna niezależna

4. Uchwycić przemijanie

5. Rozwiązanie paradoksów Zenona

WSZECHŚWIAT MATEMATYCZNY

1. Przełom w dziejach kultury

2. Najważniejsza zasada fizyki

3. Nieciekawe zwycięstwa matematyzacji świata

4. Idea pola

5. Rewolucja relatywistyczna

6. Rewolucja kwantowa

7. Matematyzacja chaosu

8. Ostateczna matematyzacja wszystkiego

9. Granice matematyzacji

10. Pole racjonalności

POSŁOWIE

Jeszcze jeden sposób na przemijającą chwilę

1. Od Euklidesa do syntetycznej geometrii różniczkowej

2. Teoria kategorii

3. Nowa geometria

4. Toposy i logika

5. Pytanie i odpowiedź

Przypisy

© Copyright by Michał Heller & Copernicus Center Press, 2020

Projekt okładki
Olgierd Chmielewski

Skład
Artur Figarski

ISBN 978-83-7886-549-0

Wydanie trzecie uzupełnione (pierwsze w tej edycji)

Kraków 2020

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel. (+48) 12 448 14 12, 500 839 467
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Przedmowa do trzeciego wydania

Historia nauki jest jak życie – nie przemija, lecz narasta. Tylko boczne odrostki rozwoju wiotczeją i giną bezpotomnie. Główny pień pnie się ku górze. Czasem pewnie i prosto, czasem jakby z większym wysiłkiem, pokonując rozmaite opory. Ślady tego procesu zapisują się w kolejnych słojach. Historia nauki tym jednak różni się od historii drzewa, że aby uzyskać dostęp do słojów, trzeba drzewo przeciąć i tym samym zakończyć historię jego wzrastania; dostęp do narastania nauki nie wymaga takich śmiercionośnych zabiegów – przeciwnie: wgląd do słojów, lepsze zrozumienie osiągnięć, może przyspieszyć proces wzrostu.

Ponieważ książka, którą po raz kolejny – już trzeci – przekazuję Czytelnikowi, dotyczy bardzo istotnych wątków historii nauki, zachowuje ona swoją aktualność, mimo upływu lat. Ale żeby zachowała także swoją młodość, trzeba uważniej przyjrzeć się, jak wokół dotychczasowych słojów formuje się następny słój. Bo nauka się nie starzeje, lecz jest coraz dłużej młoda. Dlatego to wydanie zostało wzbogacone o „Posłowie”, które opowiada o najnowszym słoju rozwoju nauki. Pamiętamy paradoks Zenona: strzała nie może dolecieć do celu, ponieważ w każdym momencie spoczywa, czyli ma prędkość zero, a suma zer nie może dać nic innego, jak tylko zero. Rozwiązanie tego paradoksu – o tym jest cała książka – stanowi rachunek różniczkowy i całkowy. Pojęcia granicy i pochodnej pozwalają strzale osiągnąć cel. Ale czy Zenon, gdyby znał współczesną analizę matematyczną, nie upierałby się jednak przy swoim? Zapewne nie, bo był człowiekiem rozumnym, lecz czy nie pozostałby w nim cień zawodu: takie proste (i oczywiste!) rozumowanie i nic z tego? Gdyby wszakże Zenon poznał najnowszy słój ewolucji matematyki – syntetyczną geometrię różniczkową, uczucie satysfakcji z pewnością zagościłoby z powrotem w jego sercu.

Niech więc teraz Zenon wysili trochę bardziej swoją wyobraźnię. W każdym momencie prędkość strzały jest zerem i równocześnie nie jest zerem (gdyż strzała jednak opuszcza miejsce, w którym właśnie spoczywała). Współczesny matematyk nazwie taką wielkość „nieskończenie małą” (infinitezymalą) i potrafi podać reguły, jak nią operować, by uzyskiwać konsystentne wyniki. Istnienie tego typu wielkości dało początek nowemu działowi matematyki – syntetycznej geometrii różniczkowej. W jej ujęciu nie potrzeba pojęcia granicy, wystarczy „dodawać” nieskończenie małe.

Nie znaczy to jednak, że cała dotychczasowa analiza matematyczna zostaje przekreślona i zastąpiona syntetyczną geometrią różniczkową. Historia nauki nie przemija, lecz narasta. Sądzę, że rachunek różniczkowy i całkowy nigdy nie utraci swojej roli, jaką odgrywa w matematyce i fizyce. Syntetyczna geometria różniczkowa nie jest jego konkurentką, lecz czymś w rodzaju dopełnienia – spojrzeniem na to samo od innej strony i umieszczeniem w innym środowisku.

To środowisko stworzyło nowy słój, który już nieco wcześniej narósł wokół współczesnej matematyki. Mam na myśli matematyczną teorię kategorii. To w jej otoczeniu pojęciowym narodziła się syntetyczna geometria różniczkowa. Teoria kategorii, choć jest z nami zaledwie od osiemdziesięciu lat, już zmieniła oblicze matematyki i jeszcze wielu innych rzeczy można się po niej spodziewać. Sięga ona bowiem bardzo podstawowych pojęć (nie wyłączając samej logiki rozumowań), a wiadomo, że mała zmiana w podstawach może owocować dużymi zmianami w dalszej konstrukcji. Syntetyczna geometria różniczkowa jest tego dowodem.

Co więcej, teoria kategorii ma wielki „potencjał filozoficzny”, zapowiada bowiem nowy sposób myślenia. Wydaje się, że w naukach ścisłych i w tych wersjach filozofii, które nie boją się ścisłości, stoimy u progu przemian.

„Posłowie” dopisane do obecnego wydania jest tylko zapowiedzią następnego słoja w ewolucji nauki. Jeżeli ta książka doczeka się kiedyś kolejnego wydania, ciekaw jestem, o jakich dalszych dokonaniach będzie musiał poinformować Czytelnika jej przyszły redaktor.

Tarnów, 5 sierpnia 2020 roku

Przedmowa do drugiego wydania

Dziś książki żyją krótko. Techniczna łatwość ich produkowania powoduje, że napływ nowych książek wypiera z rynku książki jeszcze całkiem świeże. Często po prostu nie ma dla nich miejsca w księgarniach na wystawowych stołach. Książka dzisiejsza wypycha książkę wczorajszą najpierw do księgarń tanich książek (które wcale nie są takie tanie), a potem już tylko na internetowe witryny. Często, gdy po kilku latach ktoś rozpaczliwie klika po różnych stronach Internetu w poszukiwaniu jakiejś pozycji, otrzymuje odpowiedź, że jest już wyczerpana. Takie mniej więcej były losy mojej książki Uchwycić przemijanie (Znak, 1997) – „przeminęła z rynku” jak wiele innych. Dlatego gdy książka ta ukazuje się dziś powtórnie po z górą dziesięciu latach, dla wielu – zwłaszcza młodszych – czytelników jest jak nowa. A ponieważ jest to książka w znacznej mierze odwołująca się do historii nauki, wymagała stosunkowo niewielu zabiegów renowacyjnych, by uwiarygodnić swoją drugą młodość. Zabiegi te sprowadzały się do usunięcia kilku błędów, uzupełnienia literatury w przypisach i nielicznych wstawek uwzględniających pewne nowe aspekty poruszanych zagadnień.

Ale dlaczego tę książkę w ogóle warto odmładzać? Przede wszystkim dlatego, że jej zasadniczy trzon nie wymagał odmładzania. Nie ze względu na jego literackie walory, lecz ze względu na treść, jaką przekazuje. Dotyczy ona bowiem nie tyle analizy najważniejszych pojęć nauki (ruch, czas, przestrzeń...), ile raczej metody, przy pomocy której zostały one wypracowane i która nadal stanowi najpotężniejszą siłę napędową nauki.

Półki księgarskie uginają się pod stosami książek, a witryny internetowe prześcigają się w zachwalaniu pozycji poddających analizie różne czynniki odpowiedzialne za cywilizacyjny i duchowy profil naszych czasów. Niech książka, którą ponownie oddaję do rąk Czytelników, dołączy do tych nielicznych, mających odwagę sięgać do subtelnych włókien naszej kultury, które najgłębiej – i dlatego z powierzchni mało widocznie – kształtują oblicze czasów, w jakich żyjemy.

październik 2009 roku

WSTĘP
Królewska droga ludzkiej myśli

Jednym z najbardziej osobistych doświadczeń człowieka jest doświadczenie zanurzenia w strumień czasu. Jest ono tak głęboko zrośnięte z naszym istnieniem, że zwracamy na nie uwagę tylko wtedy, gdy nasze istnienie jest zagrożone (mówimy wówczas o doświadczeniu przemijania), lub gdy istnienie przeżywamy tak intensywnie, że nie chcielibyśmy z niego utracić ani odrobiny (wówczas mówimy o pragnieniu zatrzymania chwili). Bywa także czasami, że zwracamy uwagę na doświadczenie przemijania niejako dla eksperymentu. Wtedy na przykład, gdy zastanawiamy się nad tym, co to jest czas, dlaczego nie można go cofnąć i skąd wiem, że ja sprzed minuty i ja teraźniejszy to ta sama osoba. Co to znaczy „teraźniejszy”? Przeszłość to ogromny obszar, który już był, przyszłość to nieskończone pole możliwości, a chwila teraźniejsza jest punktem, nicością, odgradzającą przeszłość od przyszłości, ale równocześnie jest ona czymś najbardziej rzeczywistym – rzeczywistym, bo jedynym, co naprawdę istnieje. Przeszłości już nie ma, przyszłości jeszcze nie ma, jedynie teraźniejszość JEST.

Nic więc dziwnego, że motyw czasu stał się jednym z głównych wątków filozofii. Powraca on w najrozmaitszych rozważaniach filozoficznych w wielu wersjach i odmianach: od humanizujących i moralizujących refleksji aż do najbardziej „twardych” analiz logicznych. Doświadczenie czasu przenosimy na świat zewnętrzny i w jakiś spontaniczny sposób jesteśmy skłonni sądzić, że „rzeczy materialne” także uczestniczą w nieustannym procesie płynięcia czasu. Dopiero całkiem niedawno niektórzy myśliciele zaczęli wątpić w to, czy „uczasowienie” jest atrybutem nierozerwalnie związanym z „materialnym istnieniem”. W każdym razie jest faktem historycznym, że nowożytne nauki empiryczne były uwikłane w problem czasu od momentu swojego powstania. Pierwszym działem nowożytnej fizyki stała się mechanika, czyli nauka o ruchu, a ruch też jest – podobnie jak czas – „wielkością płynącą” i albo służy do mierzenia czasu, albo sam jest odmierzany czasem. To niemal tautologiczne powiązanie czasu i ruchu stanowi jeden z najtrudniejszych paradoksów przemijania. W fizyce doświadczalnej czas mierzymy za pomocą różnego rodzaju ruchów: od ruchów ciał niebieskich i mechanicznego wahadła aż do subtelnych drgań atomów kwarcu. W fizyce teoretycznej w ten sposób wybieramy „parametr t”, aby prawa fizyki wyglądały najprościej (i najeleganciej), gdy się tego parametru użyje jako zmiennej niezależnej w równaniach różniczkowych wyrażających te prawa (a więc, w pewnym sensie, to prawa fizyki wyznaczają płynięcie czasu).

Fizycy-teoretycy na ogół bardziej wierzą swoim matematycznym modelom niż codziennej intuicji i dlatego problematykę czasu coraz bardziej zdecydowanie uważają za swoją domenę badawczą. A więc przede wszystkim: czy czas obejmuje jednakowo całą rzeczywistość i wszędzie płynie tak samo? Pozytywna odpowiedź na to pytanie stanowiła milczące założenie mechaniki Newtona. Najważniejszym argumentem na rzecz tego założenia (o ile założenia, zwłaszcza milczące, potrzebują argumentów) było to, że nie widać żadnych argumentów, żeby miało być inaczej. Ale teoria względności przytoczyła takie argumenty (a doświadczenie je potwierdziło) i po stosunkowo krótkim okresie dyskusji fizycy zrozumieli, że miara czasu zależy od układu odniesienia: w różnych układach odniesienia czas „płynie” różnie.

Kolejne, jeszcze bardziej rewolucyjne pytanie: czy czas w ogóle istnieje? Już termodynamika klasyczna zdawała się uzależniać płynięcie czasu od wzrostu entropii. A więc „uczasowienie” nie byłoby jakąś fundamentalną, ontologiczną własnością świata, lecz stanowiłoby konsekwencję jednego z wielu praw przyrody. Dalszy krok w kierunku „odczasowienia” świata uczyniła geometryczna interpretacja teorii względności. Czas jest jednym z czterech wymiarów geometrycznego tworu zwanego czasoprzestrzenią. Prawda, że jest to wymiar szczególny, nawet z czysto matematycznego punktu widzenia różni się on od pozostałych wymiarów przestrzennych, ale nie ulega wątpliwości, że czasoprzestrzeń można interpretować statycznie: nic w niej nie płynie, ona po prostu jest, a ruchy to tylko krzywe w czasoprzestrzeni – mechanika sprowadza się do geometrii krzywych.

Stawiając pytanie „czy czas w ogóle istnieje?”, fizycy mają na myśli poziom podstawowy – powiedzmy, ten poziom, na którym istotne są kwantowe efekty grawitacji. W to, że czas istnieje na poziomie makroskopowym (czy jako coś płynącego, czy jako wymiar czasoprzestrzeni), trudno wątpić, ale rzecz w tym, że może być tak, iż czas makroskopowy jest tylko wielkością pochodną, czymś wtórnym, podobnie jak ciepło będące tylko wynikiem ruchu wielu cząstek. Analogia z ciepłem może być bardziej trafna, niż się to wydaje na pierwszy rzut oka. Jeżeli prawo wzrostu entropii (prawo termodynamiki, a więc nauki o cieple) istotnie warunkuje kierunkowe upływanie czasu, a jest ono w swojej istocie statystyczne (a więc obowiązuje jedynie odpowiednio duże masy statystyczne), to na poziomie indywidualnych cząstek nie ma płynięcia czasu. Pojedyncza cząstka nie może doświadczać przemijania, podobnie jak nie może być ciepła lub zimna. Takie spekulacje pojawiały się na marginesach termodynamiki już ponad wiek temu. Współczesna fizyka idzie znacznie dalej. Wprawdzie ciągle jeszcze nie mamy ostatecznej teorii fizycznej (która byłaby równocześnie kwantową teorią grawitacji), ale rozmaite przymiarki do niej i robocze modele sugerują, że poziom fundamentalny istotnie jest bezczasowy, a czas wyłania się dopiero na wyższych poziomach jako pewnego rodzaju uśrednienie bardziej podstawowych kwantowych korelacji.

To tylko bardzo ogólnikowa próbka tego, co współczesna fizyka miałaby do powiedzenia na temat czasu. Trudno byłoby dziś wyobrazić sobie filozofa, który mógłby odpowiedzialnie filozofować na temat czasu bez odwoływania się do współczesnej fizyki. A może jest tak, że filozof w ogóle już nie ma nic do zrobienia na tej działce? Takie podejrzenie nasunęło się wielu myślicielom po powstaniu szczególnej teorii względności. Rozpętała ona istną burzę dyskusji na temat czasu. Szczególna teoria względności była na tyle łatwa, że wielu ludzi bez zaawansowanego przygotowania matematycznego mogło ją zrozumieć, ale na tyle trudna, że wielu z nich zrozumiało ją źle. Standardowym argumentem filozofów, broniących autonomii swojej dyscypliny przeciw zaborczości fizyki, było twierdzenie, że fizyka nie jest w stanie przy pomocy swoich metod uchwycić przemijającej chwili, a co za tym idzie, jakiejkolwiek, prawdziwej zmiany (w szczególności ruchu). Chcąc badać zmianę, trzeba uchwycić przemijającą chwilę, zatrzymać czas, zamrozić go niejako, a tym samym zniszczyć zmianę, którą chce się poddać analizie. Spostrzegł to już Zenon z Elei, formułując swoje słynne antynomie ruchu: strzała nie doleci do celu, szybkonogi Achilles nie przegoni żółwia – w każdym razie jeżeli na serio traktuje się matematyczny opis ruchu: suma spoczynków nie może dać nic innego, jak tylko spoczynek.

Najbardziej znanym zwolennikiem takich poglądów był Henri Bergson. I nie przypadkiem. Kluczowe twierdzenie filozofii Bergsona głosiło, że rzeczywistość jest pełnym dynamiki stawaniem się, łańcuchem nieustannej zmiany, napędzanej przez élan vital (życiową energię). Nauki empiryczne, z fizyką na czele, fałszują rzeczywistość, ponieważ nie mogąc uchwycić przemijania, uprzestrzenniają (spacjalizują) czas, zamrażają ruch i w konsekwencji nie są w stanie dostrzec życiowej energii, najistotniejszego czynnika rzeczywistości.

W filozoficznych dyskusjach niekiedy bywa tak, że jakiś powierzchowny argument, odpowiednio często powtarzany w rozmaitych stopniach rozrzedzenia, urasta do rangi rozstrzygającej racji. Częstość, z jaką ciągle jeszcze słyszy się różne wersje rozumowania Bergsona, świadczy, że mamy tu do czynienia z takim właśnie zjawiskiem. Celem niniejszej książki jest dogłębne i wyczerpujące rozpatrzenie jednego tylko zarzutu pod adresem fizyki, zarzutu będącego częścią rozumowania Bergsona i wielu innych filozofów powtarzających za Bergsonem lub myślących podobnie jak on. Idzie mianowicie o zarzut, wedle którego fizyka za pomocą swoich metod nie jest w stanie uchwycić przemijającej chwili i w konsekwencji nie jest w stanie analizować ruchu (i w ogóle zmiany) bez sztucznego zamrażania go. Podkreślam z naciskiem – pragnę rozpatrzeć tylko ten zarzut. Pomijam całą resztę filozofii Bergsona. W szczególności nie chcę twierdzić, że fizyka przejęła całą problematykę czasu, nie pozostawiając w tej materii niczego zawodowym filozofom. Na warsztat swoich rozważań biorę tylko tę jedną kwestię: czy fizyka swoimi metodami jest w stanie dokonać analizy przepływającej chwili, ruchu i zmiany? Pragnę, jak wspomniałem, tę kwestię zbadać dogłębnie i wyczerpująco. Chcę sięgnąć do źródeł problemu, rozpatrzeć pierwsze próby zmagania się z nim, prześledzić, jak stopniowo krystalizowały się metody, które ostatecznie doprowadziły do rozstrzygnięcia. Chcę także przyjrzeć się samemu rozstrzygnięciu: jego wstępnej fazie, nowym trudnościom, w które się uwikłało, i ostatecznemu ich wyjaśnieniu. I wreszcie perspektywom, jakie się otworzyły, dzięki temu procesowi.

A więc moje analizy będą typu historycznego. Z jednym ważnym zastrzeżeniem: nie piszę dzieła z historii nauki. Historię traktuję wyłącznie jako laboratorium, w którym najlepiej można podpatrzeć funkcjonowanie nauki i jej metod. Nie interesuje mnie docieranie do oryginalnych źródeł, ustalanie wzajemnych zależności pomiędzy autorami, badanie ich uwarunkowań kulturowych i społecznych etc. Oczywiście staram się korzystać z jak najlepszych opracowań, ale historię nauki traktuję jako narzędzie; chcę dzięki niej dotrzeć do sedna funkcjonowania naukowej metody. Ponieważ jednak historia nauki jest bardzo ciekawa, pozwalam sobie niekiedy na nie całkiem konieczną wycieczkę w głąb jakiejś historycznej odnogi. Mam nadzieję, że Czytelnik nie weźmie mi za złe tego rodzaju urozmaiceń zasadniczego wątku.

Jest rzeczą zrozumiałą, że moim drugim narzędziem, obok historii, jest filozofia nauki. Tylko połączenie tych dwu strategii: historycznej i metodologicznej, jest w stanie doprowadzić do zamierzonego celu. Gdyby ktoś koniecznie chciał wiedzieć, czy w przeprowadzanych analizach byłem bardziej filozofem nauki, który do swoich celów wykorzystywał historię nauki, czy bardziej historykiem nauki, który obficie korzystał z osiągnięć filozofii nauki, by w gąszczu faktów i zdarzeń wprowadzić trochę metodologicznego porządku, musiałbym przyznać, że raczej byłem filozofem nauki traktującym historię jako narzędzie niż odwrotnie.

Ale oprócz tych dwu wzajemnie wspomagających się partnerów (historii i filozofii nauki) jest jeszcze partner trzeci – nauka dzisiejsza. Mam na myśli przede wszystkim matematykę i fizykę naszych czasów, gdyż właśnie te dwie współczesne naukowe dyscypliny dostarczają mi punktu widzenia, z którego perspektywy można ogarnąć dzieje całego problemu i znaleźć jego rozwiązanie. Niekiedy historycy nauki usiłują wyzwolić się z „perspektywy naszych czasów”, by jak najbardziej autentycznie zrekonstruować przeszłość. Przedsięwzięcie takie nie może się udać. Nie potrafimy wyzwolić się ze współczesnych nam kategorii myślenia. Historii dzielącej nas od jakiejś epoki nie da się po prostu unicestwić. Nasze obecne kategorie myślenia są zbudowane z warstw naniesionych przez historię. Stąd też – zgodnie z tendencją panującą dziś wśród historyków – niemożność wyzwolenia się z przeszłości jest raczej szansą, z której należy korzystać, niż przeszkodą, której i tak nie da się pokonać. Każde pokolenie musi historię pisać od nowa nie tylko dlatego, że lepsze zrozumienie swojej historii pozwala lepiej zrozumieć własną współczesność, ale również dlatego, że wyposażeni w osiągnięcia (i porażki) współczesności lepiej potrafimy zrozumieć przeszłość. W tym sensie w historii możliwy jest postęp. Ten ostatni argument pozostaje tym bardziej słuszny w odniesieniu do historii matematyki i historii fizyki. W obydwu tych dyscyplinach mamy do czynienia ze znacznie lepszymi kryteriami postępu niż w jakichkolwiek innych dziedzinach i osądzanie historii z punktu widzenia dzisiejszych osiągnięć daje tym lepsze wyniki. A jeżeli historię nauki traktuje się jako narzędzie do rozwiązywania filozoficznych zagadnień związanych z nauką – jak to ma miejsce w tej książce – to uznanie współczesnego stanu nauki za miejsce uprzywilejowanej perspektywy staje się po prostu częścią obranej strategii badawczej.

Centralny problem niniejszej książki „czy da się matematycznie modelować proces ruchu i zmiany tak, by uchwycić moment płynięcia?” jest częścią obszerniejszego zagadnienia, które niekiedy nazywa się problemem matematyczności świata lub matematyczności przyrody. Matematyczne modelowanie przyrody jest faktem, którego – wobec sukcesów zmatematyzowanych nauk empirycznych – nie sposób kwestionować. Idzie tu raczej o to, po pierwsze, dlaczego świat daje się „matematyzować” i, po drugie, jakie są granice matematyzowalności świata. Pierwsze z tych pytań nie jest głównym przedmiotem tej książki. Można je uznać za jedno z najważniejszych pytań (lub wręcz za najważniejsze pytanie) filozofii przyrody, ale do dziś nie istnieje na nie zadowalająca odpowiedź. Pytanie to pojawia się niejako w tle moich analiz. Historia interesującego mnie zagadnienia dostarczy bardzo przekonywających dowodów tego, że jest to niezwykle głębokie pytanie, które, choć pozostaje bez odpowiedzi, skierowuje myśl do poznawczo doniosłych treści. Natomiast drugie z zasygnalizowanych pytań (pytanie o granice matematyzowalności) dotyka samego sedna głównego tematu niniejszej książki. Bo to właśnie niemożność zmatematyzowania „płynięcia czasu i ruchu” była najczęściej przytaczanym „dowodem” na istnienie granic matematyzowalności świata. W niniejszej książce pokażę – mam nadzieję, przekonywająco – iż jeśli granice matematyzowalności świata istnieją, to nie wyznacza ich niemożność zmatematyzowania „płynięcia czasu i ruchu”. Co więcej, matematyczny zabieg modelowania ruchu i zmiany „chwyta” proces „przepływania” z taką ostrością i precyzją, do jakiej nie jest zdolna intuicja poznawcza oparta na naszej świadomości.

Problem zracjonalizowania, a potem zmatematyzowania, ruchu i zmiany sięga głębokiej starożytności. Jeżeli spór Heraklita z Parmenidesem uznać za pierwszy spór filozoficzny, to właśnie od tego problemu rozpoczęły się dzieje europejskiej filozofii. Ale we współczesnych dyskusjach początki interesującego nas zagadnienia, a w każdym razie jego wyraźnego sformułowania w języku matematycznym (choć ubranym w postać dydaktycznych paraboli), najczęściej wiąże się z paradoksami Zenona z Elei. Wydawać by się mogło, że od czasu wynalezienia pochodnej i całki dyskusje na temat paradoksów Zenona powinny się zakończyć. Tak jednak nie jest. I faktu tego nie można przypisywać jedynie niechęci wielu filozofów do uczenia się matematyki. Czy matematyka w ogóle może rozwiązać problem czasu i ruchu? Przecież zarówno czas, jak i ruch należą do fizycznego świata, a matematyka jako nauka formalna nie jest w stanie niczego powiedzieć o świecie. Argumentacja całkowicie poprawna, ale zatrzymująca się w pół drogi. Rozwiązanie, jakie proponuję w tej książce, jest trywialne: Rachunek różniczkowy i całkowy dostarcza tylko formalnych narzędzi do analizy problemu „płynięcia”. Narzędzia te są wykorzystywane w procesie matematycznego modelowania zjawisk fizycznych, wypracowanym przez nowożytną fizykę. Rozwiązanie to dziś wydaje się trywialne, ale zarówno matematyczne narzędzia formalne, jak i sam proces fizycznego modelowania są dalekie od trywialności, a proces stopniowego dochodzenia do tej metody jest jednym z najbardziej niezwykłych włókien historii ludzkiej myśli.

Włókno to, w zastosowaniu do zagadnienia „płynięcia”, ma wyraźnie dwa odgałęzienia: jedno to ciąg dokonań, które w efekcie doprowadziły do rachunku różniczkowego i całkowego; drugie to ciąg badań z dziedziny fizyki ruchu, czyli mechaniki. Odnogi te ostatecznie spotkały się w dziele Newtona i stworzyły pierwszą teorię nowożytnej fizyki, a wraz z nią powołały do życia metodę matematycznego modelowania przyrody. Ale na Newtonie proces ten się nie skończył. Nowa metoda zawierała w sobie wiele trudnych do przewidzenia możliwości. Uległo jej nie tylko – beznadziejne, zdawałoby się – zadanie zmatematyzowania ruchu i zmiany; przeobraziła ona, i ciągle przeobraża, całe nasze widzenie i rozumienie świata.

I jeszcze jedno zagadnienie, które celowo zostało pominięte w tej książce, a które powinno zostać tutaj przynajmniej zasygnalizowane. Ruch strzały, zdążającej do celu, składa się z nieskończenie małych punktochwil, które, sumując się, powodują, że strzała pokonuje kolejne odcinki drogi i osiąga cel. Tak przynajmniej sugeruje nam intuicja i wygląda na to, że wielu myślicieli nie uzna paradoksów Zenona za rozwiązane, dopóki ta intuicja nie zostanie zaspokojona. Otóż stało się to w zasadzie możliwe po stworzeniu przez Abrahama Robinsona tzw. analizy niestandardowej, rozwijanej potem przez wielu jego następców. W analizie niestandardowej liczby nieskończenie małe (zresztą również i liczby nieskończenie wielkie), zwane także liczbami niestandardowymi, zostały zdefiniowane w sposób ścisły i wolny od paradoksów. Niektórzy myśliciele utrzymują, że dopiero analiza niestandardowa rozwiązuje paradoksy Zenona[1]. Co o tym sądzić? Przede wszystkim, ani analiza standardowa, ani analiza niestandardowa, jako działy matematyki, a więc nauki czysto formalnej, nie są w stanie rozwiązać żadnych paradoksów odnoszących się do czegokolwiek poza matematycznym formalizmem. Jak już powiedziałem wyżej, chcąc rozwiązać paradoksy ruchu i zmiany, musimy odwołać się do matematycznego zabiegu modelowania stosowanego w fizyce. W książce tej dowodzę, że matematyczne modele ruchu i zmiany oparte na analizie standardowej całkowicie likwidują paradoksy Zenona. Potwierdzeniem tego jest codzienna praktyka fizyków i inżynierów-mechaników, którzy w sposób wolny od jakichkolwiek logicznych anomalii „manipulują” ruchem i zmianą przy pomocy modeli fizycznych, wykorzystujących tradycyjny (standardowy) rachunek różniczkowy i całkowy.

Inna sprawa, że jest rzeczą możliwą (a nawet dość częstą), by dane zjawisko fizyczne miało więcej niż jeden model matematyczny. Wszystko wskazuje na to, że właśnie ma to miejsce w interesującej nas sytuacji, a mianowicie, że zjawisko ruchu można modelować za pomocą standardowego rachunku różniczkowego i całkowego i, inaczej, za pomocą niestandardowego rachunku różniczkowego i całkowego. Z tym, że ten drugi sposób dotychczas nie znalazł poważniejszego zastosowania w fizyce. Być może, że ten drugi, niestandardowy sposób bardziej zaspokoi (czy uspokoi) intuicje niektórych filozofów. Ale w niczym nie zmienia to faktu, że model standardowy jest logicznie bez zarzutu, że całkowicie likwiduje paradoksy Zenona z Elei.

Książka, którą oddaję do rąk Czytelników, jest poświęcona wyłącznie standardowej drodze współczesnej fizyki. Czytając tę książkę, warto nie zapominać o tym, że standardowa droga fizyki jest równocześnie królewską drogą ludzkiej myśli.

lipiec 1995

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Przypisy

[1] Na przykład W.I. McLaughlin, Rozwikłanie paradoksów Zenona, „Świat Nauki”, styczeń 1955, s. 60–65. Słusznie profesorowie Jan Mostowski i Aleksander Strasburger wystąpili przeciwko takiemu twierdzeniu, por. „Świat Nauki”, kwiecień 1955, s. 5.