Projekt okładki: MARIUSZ BANACHOWICZ

Projekt typograficzny: MIROSŁAW KRZYSZKOWSKI

Skład: MELES-DESIGN

© Michał Heller & Copernicus Center Press, 2014

ISBN 978-83-7886-074-7

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel./fax (+48 12) 430 63 00
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://en.ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Przedmowa do trzeciego wydania

Z niejakim zaskoczeniem, ale nie bez pewnej satysfakcji, przyjmuję do wiadomości fakt, że ta niewielka książka – skrypt właściwie – doczekała się już trzeciego wydania. Myślę, że przynajmniej częściowym uzasadnieniem tego faktu jest jej półpopularny charakter. Na rynku księgarskim istnieje całkiem spora liczba książek popularnonaukowych z różnych dziedzin wiedzy, w tym także z fizyki, a w szczególności z mechaniki kwantowej i różnych jej „pochodnych” oraz zastosowań. Nie brak również podręczników akademickich oraz specjalistycznych monografii (zwłaszcza przekładów dzieł zagranicznych). Wydawcy jednak zdecydowanie za mało myślą o bardziej ambitnych czytelnikach, którzy dysponując kulturą ścisłego myślenia, pragną poszerzyć swoje wiadomości o dziedziny, jakie nie staną się ich specjalnościami, a są dla nich interesujące z różnych względów. Pewien zasób odpowiedzialnych wiadomości z mechaniki kwantowej powinien należeć do kanonu współczesnego inteligenta. Pragnę zwrócić uwagę na tytuł tej książki: Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów. O tym, że trudno sobie wyobrazić współczesnego filozofa, który miałby jedynie mdłe wyobrażenie o mechanice kwantowej, pisałem już w przedmowie do pierwszego wydania; tu chciałbym powiedzieć coś więcej. Każdy inteligentny człowiek musi być trochę filozofem, jeśli nie chce ograniczać swojej inteligencji do ciasnych ram własnej specjalności (ale wtedy jest raczej wykwalifikowanym pracownikiem niż inteligentem). Właśnie Im, Czytelnikom-Filozofom to trzecie wydanie dedykuję.

Tekst tego wydania istotnie nie różni się od wydania poprzedniego. Poprawiłem tylko szereg drobnych błędów, pomyłek drukarskich i niekonsekwencji. Za wskazanie wielu z nich wyrażam podziękowanie Panu Profesorowi dr. hab. Tadeuszowi Staniszowi. Dziękuję Panu Jackowi Włodarczykowi, prezesowi Wydawnictwa Copernicus Center Press za inicjatywę przygotowania tego wydania i zespołowi Wydawnictwa, w szczególności Panu Arturowi Figarskiemu, za skuteczną współpracę.

Styczeń 2014

Przedmowa do drugiego wydania

Wedle popularnego powiedzenia, więcej wiedzy prowadzi do większej pokory. Z ludźmi bywa różnie, ale zauważyłem, że powiedzenie to sprawdza się w świecie książek – określenia: „wstęp”, „wprowadzenie”, „elementy”, pojawiają się na okładkach bardzo grubych i wcale nie elementarnych woluminów. Ale tym razem do tytułu pierwszego wydania Mechaniki kwantowej dla filozofów zdecydowałem się dodać wyraz Elementy nie dlatego, żeby drugie wydanie było istotnie bogatsze od poprzedniego, lecz po to, by naprawdę podkreślić elementarny charakter tej książeczki. W obecnym wydaniu usunąłem kilka usterek (za zwrócenie mi na nie uwagi dziękuję Panu Profesorowi Zbigniewowi Jacynie-Onyszkiewiczowi) oraz dodałem wykłady o splątaniu, dekoherencji i w ogólności o efektach nielokalnych. Bez tych uzupełnień nawet wprowadzenie do mechaniki kwantowej byłoby dziś nie do pomyślenia. Uzupełniłem także „Uwagi bibliograficzne” o kilka pozycji.

W tym elementarnym podręczniku starałem się programowo unikać odniesień do zawiłej, choć ważnej, problematyki dotyczącej interpretacji mechaniki kwantowej. Oczywiście dla przyszłych filozofów, do których ten podręcznik jest adresowany, problematyka ta powinna być szczególnie interesująca, ale moim zamiarem było zaproponować Czytelnikowi minimum wiedzy o mechanice kwantowej, niezbędne do tego, ażeby mógł potem odpowiedzialnie podjąć ryzyko dyskutowania na temat interpretacji tej pięknej teorii fizycznej.

Kończąc tę przedmowę, pragnę gorąco podziękować redaktorowi drugiego wydania tej książki, Robertowi Januszowi SJ, który dość „zgrzebne” pierwsze wydanie przekształcił w nowoczesny podręcznik. W szczególności od niego pochodzą noty marginesowe i idea dołączenia „Repetytorium” po każdym wykładzie. On także sporządził „Indeks osób” oraz bardzo szczegółowy „Indeks rzeczy”. Dziękuję, Robercie!

Czerwiec 2007

Przedmowa do pierwszego wydania

Oddaję do rąk Czytelnika nieco tylko uporządkowane notatki z wykładu monograficznego, jaki prowadziłem na Wydziale Filozoficznym Papieskiej Akademii Teologicznej w Krakowie w roku akademickim 1994/5. Wykład przeznaczony był dla studentów filozofii, którzy w zasadzie (poza nielicznymi wyjątkami) nie mieli żadnej styczności z fizyką i matematyką po ukończeniu szkoły średniej, przeszli natomiast kurs ścisłego myślenia, zwłaszcza dzięki studiom logiki wymaganym na wydziale filozoficznym. I tylko ścisłe myślenie jest wymagane jako warunek wstępny do przeczytania ze zrozumieniem tych notatek. Zakładam jedynie znajomość matematyki i fizyki mniej więcej na poziomie szkoły średniej. Reszta znajduje się w tekście. Wstawki „drobnym drukiem”, przeznaczone dla bardziej dociekliwych, podają definicje pewnych pojęć matematycznych pojawiających się w wykładzie, ale pojęcia te są zawsze w wykładzie omówione i – zwłaszcza w pierwszym czytaniu – ich ścisłe definicje można pominąć.

Wykłady są skoncentrowane na pojęciowych podstawach mechaniki kwantowej, ale w zmatematyzowanych teoriach współczesnej fizyki pojęcia nabierają właściwych znaczeń dopiero wtedy, gdy są wkomponowane w odpowiednie struktury matematyczne. Stąd też ujawnianie tych struktur i ich analiza były głównym celem wykładu. W ten sposób zorganizowany materiał wykładowy stał się dobrą okazją, by – w zakończeniu – uczynić kilka uwag na często dyskutowany przez filozofów temat „matematyczności przyrody”.

Wrzesień 1995

Wprowadzenie

Mechanika kwantowa we współczesnej fizyce zajmuje wyróżnioną pozycję. I to z wielu względów:

Po pierwsze, istnieją poważne powody, by sądzić, że prawa mechaniki kwantowej rządzą jeśli nie najgłębszą warstwą fizycznej rzeczywistości, to w każdym razie warstwą najgłębszą, jaką obecnie znamy. Wprawdzie nie sądzimy dziś, by całą fizykę dało się zredukować do praw fizyki kwantowej (lub jakiejkolwiek przyszłej „teorii fundamentalnej”), poszczególne „poziomy” odznaczają się bowiem znaczną autonomią, ale autonomia ta stanowi wynik działania praw nieliniowych (związanych także ze zjawiskiem deterministycznego chaosu) działających przy wyłanianiu się (emergencji) poziomu wyższego z poziomu bardziej podstawowego. Mimo więc tego, że trudno byłoby dziś bronić sztywnego redukcjonizmu, ostatecznie, nie tylko fizyka makroskopowa, ale także fizyka Kosmosu wywodzi się ze świata kwantów.

Po drugie, mechanika kwantowa, obok teorii względności, stanowiła trzon wielkiej rewolucji, jaka dokonała się w pierwszych dziesiątkach lat naszego stulecia. Rewolucja ta nie tylko zmieniła oblicze fizyki, lecz również dokonała przewrotu w naszym rozumieniu matematyczno-empirycznej metody badania świata, a także wywiera dalekosiężny wpływ na całą filozofię i kulturę naszego wieku.

Po trzecie, mechanika kwantowa ma swoją kontynuację we współczesnych teoriach (które w istocie są mechaniką kwantową dla nieskończonej liczby stopni swobody). Konstrukcja tych teorii nie jest jeszcze w pełni zakończona, ale ich niekwestionowane sukcesy wymownie świadczą o tym, że staną się one ważnym elementem w naszym rozumieniu świata.

Po czwarte, jednym z najdonioślejszych (i zarazem jednym z najtrudniejszych) zagadnień współczesnej fizyki teoretycznej jest problem połączenia metod ogólnej teorii względności z metodami mechaniki kwantowej. Wynikiem tego zjednoczenia winna być kwantowa teoria grawitacji, która – jak się sądzi – otworzy drogę do ostatecznej unifikacji całej fizyki, tzn. do stworzenia maksymalnie symetrycznej teorii, która modelowałaby oddziaływania „najbardziej fundamentalne”; kolejne łamania „fundamentalnej symetrii” prowadziłyby do znanych obecnie oddziaływań i teorii je wyjaśniających.

Po piąte, mechanika kwantowa (znowu obok ogólnej teorii względności) należy do najpiękniejszych teorii współczesnej fizyki. Jest to niemal powszechne zdanie fizyków-teoretyków i tych wszystkich (np. matematyków), którzy mieli okazję zetknąć się bliżej z tą teorią i przyjrzeć się z bliska jej funkcjonowaniu. Piękno mechaniki kwantowej sprowadza się nie tyle do piękna matematycznych struktur, jakie się w niej stosuje (jest wiele bardzo pięknych matematycznych teorii), ile raczej do niezwykłego oddziaływania tych struktur z sytuacjami doświadczalnymi. Dzięki tego rodzaju oddziaływaniu można było nie tylko uczynić zrozumiałymi te wyniki doświadczalne, które nie znajdowały wytłumaczenia na podstawie dotychczasowych teorii, lecz także zaprojektować nowe eksperymenty i w ten sposób dokonać penetracji świata atomowego i subatomowego, który dla naszego poznania zmysłowego pozostaje obszarem zamkniętym.

Po szóste, można śmiało zaryzykować twierdzenie, że kwantowo-relatywistyczna rewolucja nie została jeszcze zakończona, a jej skutki nie zostały jeszcze ani w pełni zrozumiane, ani należycie docenione. Zrozumienie roli kwantowo-relatywistycznej rewolucji jest nie tylko zadaniem dla fizyków, ale (może przede wszystkim) dla filozofów i tych wszystkich, którzy interesują się intelektualnym obliczem naszych czasów.

Zapewne można by wymienić jeszcze więcej powodów, które przemawiają za przyznaniem mechanice kwantowej szczególnej roli w naszym myślowym wysiłku zrozumienia rzeczywistości. Poprzestańmy jednak na tych kilku, które zupełnie wystarczająco motywują naszą intencję poświęcenia nieco trudu celem zrozumienia tej pięknej i tak ważnej teorii współczesnej fizyki.

Jest rzeczą nieco paradoksalną, że teoria, która spełnia tak doniosłą rolę we współczesnej fizyce, jest tak mało rozumiana przez samych fizyków (nie mówiąc o innych outsiderach). Stwierdzenie to należy jednak właściwie pojmować. Nie znaczy ono, że fizycy mają trudności w posługiwaniu się tą teorią (podobnie jak trudności ma uczeń w posługiwaniu się teorią rozwiązywania równań kwadratowych, ponieważ jej dobrze nie zrozumiał). Właśnie na tym polegają trudności fizyków, że pomimo tego, iż mechanika kwantowa w ich rękach funkcjonuje znakomicie, nie wiedzą oni jednoznacznie, jak tę teorię należy interpretować. Wielość istniejących interpretacji mechaniki kwantowej i gorące dyskusje pomiędzy ich zwolennikami wymownie świadczą o stopniu interpretacyjnych trudności. Jest rzeczą ważną, by od samego początku dobrze zrozumieć, o co toczy się gra. By to osiągnąć, należy zdać sobie sprawę z roli matematyki w konstrukcji fizycznych teorii. Poświęćmy zatem chwilę uwagi temu zagadnieniu.

Często mówi się, że matematyka jest językiem fizyki: struktury matematyczne dobrze opisują świat. Moim zdaniem, jest to powiedzenie bardzo mylące. Owszem, matematyka jest także językiem fizyki, ale jest również czymś więcej. Opisując jakąś rzecz przy pomocy języka, opowiadamy o tej rzeczy, ujmujemy w słowa to, co widzimy lub czego doświadczamy, ale nasze słowa nie mają wpływu na opisywaną rzecz. Gdy stosujemy matematykę do badania świata, sprawa przedstawia się w sposób znacznie bardziej złożony i znacznie bardziej bogaty. Przede wszystkim matematyka jest „tworzywem”, z którego budujemy modele fizycznej rzeczywistości. Modele te od początku są matematyczne. Zwykle „rzeczywistość fizyczną” mamy daną w wynikach stosunkowo niewielkiej liczby doświadczeń. Zwłaszcza w dziedzinie atomowej i subatomowej wyniki te są zaledwie wierzchołkami góry lodowej, a właściwa struktura badanego świata ukrywa się głęboko pod powierzchnią dostępną dla naszych zmysłów. Struktury matematyczne, z których zbudowane są modele fizyczne, bardzo często dziwnie „dopasowują się” do ukrytej dla nas struktury świata. Fakt ten możemy poznać po tym, że z tego rodzaju struktur matematycznych jesteśmy w stanie wydedukować wnioski, które potem można sprawdzić doświadczalnie. Jeżeli eksperyment je potwierdzi, to mamy prawo wnosić, że matematyczna struktura modelu jest jakoś podobna do struktury badanego aspektu świata. Prawie cała praca fizyka-teoretyka polega na wyciąganiu wniosków o strukturze świata na podstawie badania struktur matematycznych wykorzystywanych w fizycznych modelach.

Stosunek matematyki do świata jest bardziej podobny do stosunku partytury do utworu muzycznego niż do stosunku języka do opisywanego przedmiotu. Nuty, przy pomocy których jest zapisana partytura, są tworzywem muzyki, ale nuty nie są muzyką. Muzykę komponuje się przy pomocy nut, ale utwór muzyczny jest nieskończenie bogatszy od zapisu nutowego. Wykonanie utworu i jego brzmienie zależą od bardzo wielu nieprzewidywalnych okoliczności, takich jak: napięcie struny w instrumencie, drgnięcie mięśni artysty, stopień wilgotności powietrza, wiele psychicznych predyspozycji wykonawców itp. Tego rodzaju analogii pomiędzy partyturą i muzyką z jednej strony, a strukturami matematycznymi i strukturą świata z drugiej strony można by mnożyć prawie bez końca. Ma to zastosowanie do wszystkich działów fizyki.

Także w fizyce klasycznej, która – zdawałoby się – dotyczy dziedziny zjawisk dobrze kontrolowanych przez nasze zmysłowe poznanie, struktury matematyczne pełnią rolę ujawniania tych aspektów klasycznego świata, które są przezroczyste dla naszych zmysłów. Liczby rzeczywiste są bardzo elementarną strukturą matematyczną. Gdy stosujemy tę strukturę ujęcie ilościowe do świata i przekonujemy się, na przykład, że temperatura wody ma 83o Celsjusza, dowiadujemy się o świecie czegoś, czego nie mogłyby nam powiedzieć nasze zmysły. Są one bowiem w stanie jedynie z grubsza poinformować nas o „stopniu gorącości wody”. Lub bardziej wyrafinowany przykład: bez pomocy matematyki nie wiedzielibyśmy tak podstawowej rzeczy jak to, że ruchy ciał materialnych są realizacją zasady ekstremum działania.

Porównanie z muzyką jest szczególnie pouczające w zastosowaniu do mechaniki kwantowej. Wyobraźmy sobie jakąś rozumną istotę z innej galaktyki, która studiuje (dawno już wymarłą) naszą cywilizację. Nasz „brat w rozumie” znalazł kawałek partytury, ale nie wie, co to jest i do czego to służy. Ale zna on matematykę i po długich i żmudnych badaniach będzie w stanie odcyfrować pewne prawidłowości. Z pewnością odkryje on w nieznanym zapisie pewną harmonię: w długościach taktów, we wzajemnych stosunkach czegoś, co wyrażają różnego rodzaju znaki, w logice całości zapisu. Nie jest jednak wcale pewnym, że owa istota będzie w stanie dojść do wniosku, iż prawidłowości te należy odnieść do dźwięków. Zwłaszcza gdyby sama nie posiadała zmysłu słuchu. W takiej sytuacji naturalną tej istocie mogłaby się wydać hipoteza, że cały zapis jest reprezentacją jakiejś abstrakcyjnej, myślowej struktury – pewnej koncepcji logicznej lub matematycznej. Z czasem taka istota – zwłaszcza gdyby dysponowała wieloma takimi partyturami – mogłaby stworzyć obszerną „teorię partytur”, nie mając pojęcia o ich „dźwiękowym tworzywie”.

W bardzo podobnej sytuacji znajduje się fizyk badający świat kwantów. Odpowiednikiem partytury jest dla niego matematyczna struktura mechaniki kwantowej, ujawniająca własności świata niedostępnego naszemu poznaniu zmysłowemu. Reszta jest teoretyczną rekonstrukcją. I my również nie wiemy, co jest tworzywem świata kwantów (mówiąc naiwnie, z czego są zbudowane cząstki elementarne), choć stosunkowo dużo wiemy na temat jego struktury. Podobnie jak tamta istota z innej galaktyki, jesteśmy skłonni przypisywać kwantowemu światu jedynie czysto formalne (strukturalne) własności. Tu ma swoje źródło wiele interpretacyjnych trudności.

Ale tu również pojawia się metoda radzenia sobie z tymi trudnościami. Trzeba po prostu bardzo ściśle trzymać się struktur matematycznych; interpretacja teorii winna być „egzegezą” jej matematycznej metoda struktury. Ponieważ nie mamy innego wyjścia, musimy struktury matematyczne traktować dosłownie. Być może, one jedynie przybliżają kwantową rzeczywistość ale, nie dysponując żadną inną drogą dostępu do tej rzeczywistości, musimy zgodzić się z tym, że wszystko, co wiemy o jej strukturze, wiemy na podstawie badania struktur matematycznych.

Obowiązywać tu musi zasada interpretacyjnej oszczędności: należy zakładać oszczędność to i tylko to, czego domaga się interpretowana struktura matematyczna. Zakładanie czegokolwiek więcej jest narzucaniem strukturze matematycznej tego, co się w niej nie mieści, a teorii fizycznej tego, co wprawdzie może być z nią zgodne, ale czego sama teoria absolutnie nie wymaga. Wiele istniejących interpretacji mechaniki kwantowej łamie tę zasadę, starając się wymusić na tej teorii mikroskopowego świata funkcjonowanie zgodne z naszymi oczekiwaniami, tzn. funkcjonowanie wzorowane na zachowaniu się obiektów makroskopowych.

Zaproponowana tu metoda interpretacji teorii fizycznych („egzegeza struktur matematycznych”) suponuje pewnego rodzaju „strukturalne widzenie świata”, jednakże nie w sensie jakiejś szczególnej ontologii świata, lecz tylko w takiej mierze, w jakiej wymaga tego poważne traktowanie matematycznych struktur fizycznych teorii. Ta metoda interpretacyjna jest również, w pewnym sensie, podobna do tzw. ontologii w sensie Quine’a, czyli do postulowania istnienia tylko takich bytów, które zakłada struktura składniowa wypowiadanych zdań[1].

*

Celem niniejszej serii wykładów nie jest „wprowadzanie” Słuchacza do mechaniki kwantowej, ani tym bardziej jej popularyzowanie. Książek, które mają takie cele, jest bardzo dużo; słuchaczy zainteresowanych wstępnym zapoznaniem się z mechaniką kwantową odsyłam do tego rodzaju literatury. Nie będę również uzasadniać słuszności mechaniki kwantowej. Mój cel jest inny: zakładam, że mechanika kwantowa jest słuszna i chcę ją zrozumieć i zrozumienie to – w możliwie prosty sposób – przekazać Słuchaczowi. Będę przy tym stosować metodę, którą pokrótce wyżej przedstawiłem. A więc nie będę uzasadniać, dlaczego w mechanice kwantowej wykorzystuje się takie a nie inne struktury matematyczne; będę po prostu struktury te poddawać egzegezie.

Jak wspomniałem, postaram się to uczynić w sposób możliwie prosty. Nie zakładam więc u Słuchacza pogłębionej znajomości mechaniki kwantowej (choć przeczytanie jakiejś książki popularnonaukowej na jej temat byłoby pożądane). W zasadzie wszystkie potrzebne informacje o mechanice kwantowej zostaną w trakcie wykładów podane, choć niekiedy w formie mocno skondensowanej. Dlatego też Słuchacz będzie musiał wymagać od siebie znacznej koncentracji uwagi. Niniejsze notatki z wykładów pozwolą mu powrócić kilkakrotnie do trudniejszych partii. Bardziej dociekliwi Słuchacze w notatkach tych znajdą akapity wyróżnione „drobnym drukiem”, zawierające definicje ważniejszych pojęć matematycznych i krótkie uwagi ich dotyczące. Słuchaczowi gorąco rekomenduje się przyswojenie sobie materiału zawartego w tych akapitach, ale nie stanowi on integralnej części wykładu; zasadniczy tok wykładów powinien być zrozumiały bez uwzględnienia tych partii. Przy pierwszym czytaniu nawet zaleca się ich pominięcie.

Wrzesień 1994

Wykład 1

Stany obiektów kwantowych

Pojęcie stanu jest znane z języka potocznego. Jestem w stanie zdenerwowania. Przechodzę ze stanu euforii do stanu depresji. Wyrażenia takie jak powyższe zakładają, że istnieje obiekt (ja), który w różnych chwilach może znajdować się w rozmaitych sytuacjach, zwanych stanami.

W mechanice klasycznej to dość mgliste określenie stanu zostało uściślone i podniesione do rangi pojęcia technicznego. Mówimy, że znamy stan punktu materialnego w chwili t, jeżeli znamy jego położenie w chwili t i jego prędkość – w tej samej chwili t. Zbiór wszystkich stanów punktu materialnego nazywamy jego przestrzenią fazową.

W mechanice kwantowej pojęcie stanu odgrywa kluczową rolę, ale jest nieco „trudniejsze” od swojego klasycznego odpowiednika. Najczęściej w podręcznikach przez stan obiektu kwantowego (elektronu, atomu, fotonu,...) rozumie się maksymalną informację, jaką fizyka pozwala uzyskać o tym obiekcie (w danej chwili czasu). To niewiele mówiące określenie nabiera precyzyjnego znaczenia dopiero wtedy, gdy weźmie się pod uwagę fakt, że stan obiektu kwantowego w danej chwili jest reprezentowany przez promień przestrzeń (kierunek) w przestrzeni Hilberta[2], która odgrywa rolę przestrzeni fazowej w mechanice kwantowej. Stany obiektów kwantowych – w przeciwieństwie do stanów obiektów makroskopowych – nie są wielkościami obserwowalnymi (mierzalnymi). Jedyny dostęp poznawczy do nich mamy za pośrednictwem struktury matematycznej, którą w tym wypadku jest przestrzeń Hilberta. Dlatego też mówienie o stanach kwantowych bez odwoływania się do tej struktury może mieć co najwyżej charakter dydaktyczny. Z tego powodu dokładniejsze zrozumienie natury stanów kwantowych będzie możliwe dopiero po zapoznaniu się z przestrzenią Hilberta.

Jeszcze tylko jedna uwaga. Na razie będziemy mówić o stanach jednego obiektu kwantowego (np. elektronu). Gdy rozważa się układ złożony z kilku obiektów, powstają dodatkowe komplikacje. Cząstki wchodzące w skład układu (np. elektrony w atomie) tracą swoją indywidualność, ich indywidualny opis matematyczny jest pozbawiony sensu. Cząstki takie należy traktować jako nakładania się (superpozycję) ich wszystkich możliwych rozkładów na siebie. Ta uwaga również stanie się jasna dopiero po zapoznaniu się z matematyczną strukturą mechaniki kwantowej.

Repetytorium

Pytania kontrolne:

1. Co to jest stan punktu materialnego w mechanice klasycznej?

2. Czym różnią się stany kwantowe od stanów makroskopowych?

3. Jaką rolę w mechanice kwantowej pełni przestrzeń Hilberta?

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Przypisy

[1] Obszerniej na ten temat pisałem w: Quine i Gödel: Jeszcze o ontologicznych interpretacjach fizycznych teorii, w: Filozofia i wszechświat, Universitas, Kraków 2006, s. 161–170 oraz w: Structural Interpretations of Physical Theories, „Acta Cosmologica” 1994, 20 (1), s. 41–50.

[2] D. Hilbert (1862–1943) – matematyk niemiecki, autor Grundlagen der Geometrie.