Tytuł oryginału

SEVENTEEN EQUATIONS

THAT CHANGED THE WORLD

Copyright © Joat Enterprises, 2012

First published in Great Britain in 2012

by PROFILE BOOKS LTD

All rights reserved

Projekt okładki

© Profile 2012

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Bronisława Dziedzic-Wesołowska

ISBN 978-83-7961-547-6

Warszawa 2013

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Aby uniknąć zbyt częstego powtarzania słów „jest równe”, wprowadzę, jak to mam w zwyczaju czynić w swoich pracach, oznaczenie zbudowane z dwóch linii równoległych jednej długości: , trudno byłoby bowiem znaleźć cokolwiek bardziej sobie równego niźli owe linie.

Robert Recorde, The Whetstone of Witte, 1557

Dlaczego właśnie równania?

Równania to siła życiowa matematyki, nauk ścisłych i technologii. Bez nich świat, jaki dziś znamy, nie mógłby zaistnieć. Mimo swojej przydatności równania „cieszą się” opinią nieprzystępnych i trudnych – wydawcy Krótkiej historii czasu ostrzegli jej autora, Stephena Hawkinga, że każde wprowadzone w tekście zmniejszy przypuszczalnie sprzedaż książki o połowę. Ostatecznie jednak zignorowali własne słowa, bo w książce pojawił się wzór E = mc2. Gdyby wierzyć zapewnieniom wydawców, usunięcie tego równania zapewniłoby sprzedaż dodatkowych 10 milionów egzemplarzy książki. W tej dyspucie zdecydowanie staję po stronie Hawkinga. Równania są zbyt istotne, by ukrywać je przed ludźmi, choć oczywiście wydawcom też nie sposób odmówić racji – wzory matematyczne sprawiają oficjalne, wręcz odpychające wrażenie, a że trudno się je czyta w tekście, ich nadmiar potrafi odstraszyć od lektury nawet tych, którzy darzą je cieplejszymi uczuciami.

Mnie się poszczęściło i mam doskonałą wymówkę, by wprowadzać do książki kolejne wzory. Ostatecznie jest ona poświęcona równaniom, więc nie sposób ich unikać. Przecież nie da się napisać dzieła o alpinizmie, unikając słowa „góra”. Postaram się przekonać czytelników, że równania odgrywają istotną rolę w kształtowaniu świata, jaki znamy – bez nich nie istniałyby mapy ani nawigacja satelitarna, bez nich nie odkrylibyśmy ani Ameryki, ani Jowisza na nocnym niebie. Na szczęście nie trzeba być specjalistą, by docenić piękno i poezję zaklęte w poprawnym i znaczącym coś równaniu.

W matematyce pojawiają się dwa rodzaje równań, pozornie bardzo do siebie podobne. Do pierwszej grupy zaliczamy zależności łączące różnego rodzaju wielkości matematyczne – takie równania wymagają dowiedzenia ich poprawności. Drugą grupę tworzą równania zawierające informacje o nieznanej wielkości – tego rodzaju równania rozwiązuje się, by wyznaczyć z nich tę wielkość. Podział nie jest do końca wyraźny, ponieważ wiele równań zalicza się do obydwu grup naraz, ale daje on pewien pogląd na naturę wzorów. W dalszych rozważaniach spotkamy się z równaniami zaliczającymi się do obydwu tych kategorii.

Równania czysto matematyczne należą zazwyczaj do pierwszej ze wspomnianych grup – opisują skryte głęboko piękne struktury i ukazują regularność matematyki. Zależności te obowiązują, gdy przyjmiemy prawdziwość pewnych założeń dotyczących struktury logicznej matematyki. Twierdzenie Pitagorasa, będące geometrycznym wyrażeniem pewnego równania, jest przykładem tego, o czym mówię. Przy założeniu poprawności podstaw geometrii euklidesowej twierdzenie Pitagorasa jest zawsze prawdziwe.

Równania matematyki stosowanej oraz wzory fizyczne zaliczają się zazwyczaj do drugiej ze wspomnianych kategorii. Za ich pomocą opisujemy rzeczywistość, wyrażamy uniwersalne prawa Wszechświata, które jednak mogłyby równie dobrze przyjmować zupełnie inną postać. Dobrym przykładem równania tego rodzaju jest sformułowane przez Newtona prawo powszechnego ciążenia opisujące siłę przyciągania pojawiającą się między dwoma ciałami o pewnych masach. Rozwiązanie go pozwala wyznaczyć orbitę planety poruszającej się wokół gwiazdy czy też trajektorię lotu sondy kosmicznej. Prawo powszechnego ciążenia nie jest natomiast teorią w rozumieniu matematyki – jego prawdziwość potwierdza się wynikami obserwacji, a to oznacza, że równanie opisujące prawo grawitacji mogłoby mieć zupełnie inną postać. Okazuje się zresztą, że ma inną postać – wzory ogólnej teorii względności Einsteina lepiej pokrywają się z niektórymi obserwacjami, nie przecząc jednak wynikom płynącym z prawa grawitacji Newtona w zakresie jego obowiązywania.

Wzory nieraz wpływały na losy całej ludzkości, kryje się w nich bowiem prawdziwa moc pozwalająca ujawniać najgłębiej skrywane tajemnice natury. Historie dynastii, wojen i klęsk naturalnych pojawiają się na kartach licznych książek historycznych, lecz rzadko kiedy porusza się w nich tematy związane z nauką, która miała przecież niebagatelny wpływ na kształt dziejów. To zdecydowanie niesprawiedliwe. Za czasów rządów królowej Wiktorii w Instytucie Królewskim w Londynie odbył się przeprowadzony przez Michaela Faradaya pokaz dowodzący istnienia zależności między oddziaływaniem elektrycznym i magnetycznym. Rzekomo obecny w czasie prezentacji premier William Gladstone zapytał uczonego, czy z tego odkrycia wynikają jakiekolwiek zastosowania praktyczne. Faraday miał na to jakoby (brak tu jakichkolwiek dowodów, ale to nie powód, by niszczyć piękną anegdotę) odpowiedzieć: „Oczywiście, ekscelencjo. Pewnego dnia nałoży pan na nie podatki”. Jeśli Faraday rzeczywiście stwierdził coś takiego, istotnie wygłosił proroczą przepowiednię, James Clerk Maxwell bowiem przekuł wyniki pierwszych obserwacji oraz empiryczne prawa opisujące elektryczność i magnetyzm w układ równań tworzących podstawę teorii oddziaływań elektromagnetycznych. To dzięki niej udało się skonstruować radio, radar i telewizor.

Moc równania, choć ogromna, jest jednocześnie bardzo prosta. Równanie pozwala stwierdzić, że obliczenia znajdujące się po jego dwóch stronach dają taki sam wynik. Kluczowym czynnikiem równania jest oczywiście znak równości, czyli =. Pochodzenie większości symboli matematycznych albo ginie w pomroce dziejów, albo w niektórych wypadkach jest nam znane, gdyż pewne oznaczenia zostały wprowadzone tak niedawno, że można nawet wskazać ich twórców. Znak równości jest pod tym względem szczególny, gdyż choć po raz pierwszy zastosowano go przeszło 450 lat temu, wiemy doskonale, kto wprowadził ów symbol do języka matematyki. Oznaczenie to zawdzięczamy Robertowi Recorde’owi, który użył go w wydanej w 1557 roku książce The Whetstone of Witte. Posłużył się symbolem dwóch równoległych linii (sam użył archaicznego angielskiego terminu gemowe oznaczającego „bliźniacze”), by uniknąć w ten sposób żmudnego powtarzania frazy „jest równe”. Wybór uzasadniał argumentem, że próżno szukać „czegokolwiek bardziej sobie równego”. Trzeba przyznać, że zdecydował się na wyjątkowo trafne oznaczenie – stosujemy je nieprzerwanie od 450 lat.

Potęga równań kryje się w wywodzącym się z filozofii problemie odnajdowania odpowiedniości pomiędzy opisem matematycznym, dziełem wielu nieprzeciętnych umysłów, a otaczającym nas światem. Równania to modele tego, co obserwujemy na świecie. Gdy nauczysz się widzieć ich wartość i odczytywać skryte w nich informacje, odkryjesz mechanizm funkcjonowania świata. W praktyce stosuje się także inne metody. Wiele osób woli posługiwać się słowami zamiast symboli; pamiętajmy, że język także daje moc władania nad otoczeniem. Jednak doświadczenie nauczyło nas, że słowa są zbyt mało precyzyjne, by stać się narzędziami nauki i technologii; język jest zbyt ograniczony, by pozwolił nam zgłębić strukturę świata. Znaczenie słów gubi się na poziomie interpretacji i ludzkich domysłów, dlatego sam język nie wystarczy, by dokładnie pojąć mechanizmy rządzące światem.

Natomiast równania radzą sobie z tym doskonale. Od tysięcy lat mają istotny wpływ na rozwój cywilizacji. Całe wieki to one pociągały za sznurki na scenie relacji społecznych. Oczywiście, kryły się za kulisami, pozostawały niewidoczne, ale zawsze były, zawsze kształtowały nasze losy, czy ludzkość była tego świadoma czy nie. Oto historia rozwoju ludzkości opowiedziana w siedemnastu równaniach.

Rozdział 1. W obie strony jednakowe spodnie Pitagorasowe

Twierdzenie Pitagorasa

Co z niego wynika?

Określa związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym.

Dlaczego jest ono tak ważne?

Dlatego że stanowi połączenie między geometrią a algebrą, dzięki czemu możemy obliczać odległości między punktami, znając ich współrzędne. Dało także podwaliny pod utworzenie trygonometrii.

Co dzięki temu osiągnęliśmy?

Bez twierdzenia Pitagorasa nie rozwinęłyby się miernictwo ani nawigacja, a z bardziej współczesnych odkryć ogólna teoria względności, czyli najlepsze narzędzie opisu przestrzeni, czasu i grawitacji, jakim dziś dysponujemy.

Uczeń poproszony o podanie imienia najsłynniejszego matematyka – o ile w ogóle będzie jakieś znał – przywoła zapewne Pitagorasa, jeśli zaś nie jego, to przypuszczalnie Archimedesa. Nawet znamienity Newton musiałby się zadowolić w takim rankingu trzecią pozycją, ustępując miejsca na podium dwóm znakomitościom świata starożytnego. Archimedes miał prawdziwie wielki umysł, Pitagoras zapewne nie, ale i tak należy mu się większe uznanie, niż dziś skonni bylibyśmy mu przyznać – nie tyle za osiągnięcia, ile za to, czemu dał początek.

Pitagoras urodził się na jednej z greckich wysp Morza Egejskiego, Samos, około 570 roku p.n.e. Był filozofem i geometrą. Nieliczne informacje dotyczące jego życia, jakie przetrwały do naszych czasów, pochodzą z pism znacznie późniejszych, ich wartość historyczna jest więc praktycznie żadna, ale można z dużym prawdopodobieństwem przyjąć, że najważniejsze z podawanych wydarzeń rzeczywiście są prawdziwe. Około roku 530 p.n.e. przeniósł się do Krotony, greckiej kolonii położonej na terenie dzisiejszych Włoch. Tam założył słynną szkołę pitagorejską, grupę zrzeszającą ludzi o określonych poglądach filozoficzno-religijnych. Pitagorejczycy wierzyli, że o kształcie świata decydują liczby. Dziś Pitagorasa kojarzymy przede wszystkim z twierdzeniem jego imienia. Jego treść jest znana od przeszło dwóch tysięcy lat i na stałe weszła już do kultury masowej. W nakręconym w 1958 roku filmie Merry Andrew odtwórca tytułowej roli, Danny Kaye, śpiewał piosenkę zaczynającą się słowami:

Kwadrat przeciwprostokątnej

w trójkącie prostokątnym

jest równy

sumie kwadratów

boków przylegających do kąta prostego.

Piosenka była pełna dwuznaczności oraz nawiązań do odkryć wielkich naukowców – Einsteina, Newtona czy braci Wright – które sprawnie powiązano ze słynnym twierdzeniem matematycznym. Dwaj pierwsi oznajmiali wreszcie „Eureka!”, ale to sprowadza nas już do Archimedesa, któremu historycznie przypisuje się ów okrzyk. Jak się zapewne domyślacie, wierność historii nie była głównym zmartwieniem twórców tekstu, ale produkcje hollywoodzkie przyzwyczaiły nas do tego. Wyprzedzę teraz nieco fakty – otóż z rozdziału 13 dowiecie się, że autor tekstu (Johnny Mercer) jeśli chodzi o Einsteina, nie odbiegł nadto od rzeczywistości.

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się w książkach1, kreskówkach, na koszulkach polo; w Grecji wydano nawet znaczek pocztowy z ilustracją słynnej reguły (można go zobaczyć na rys. 1).

Rysunek 1. Grecki znaczek przedstawiający graficzny dowód twierdzenia Pitagorasa.

Pomimo całego hałasu, jaki powstał wokół wspomnianej reguły, w rzeczywistości nie mamy pojęcia, czy Pitagoras rzeczywiście udowodnił twierdzenie nazwane jego imieniem. Nie jesteśmy nawet w stanie stwierdzić, czy to on je sformułował; równie dobrze mogło zrodzić się ono w głowie któregoś z jego uczniów lub gdzieś w Sumerze czy Babilonie. To właśnie Pitagorasowi jednak przypadła chwała odkrywcy lub chociaż uczonego, który wykazał prawdziwość spostrzeżenia, i tak już zostało. Niezależnie od tego, kto je sformułował, twierdzenie to miało ogromny wpływ na historię człowieka. Można powiedzieć, że otworzyło ono nas na świat.

Grecy nie zapisywali twierdzenia Pitagorasa w postaci równania, jakie znamy dziś ze szkoły – ta forma pojawiła się później, gdy algebra osiągnęła już odpowiedni poziom. W starożytności teorię tę wyrażano słownie oraz geometrycznie. Najstaranniej przedstawił ją na piśmie Euklides z Aleksandrii; to najstarszy znany nam przekaz pisany zawierający wspomniane twierdzenie. Euklides jest uważany za pierwszego współczesnego matematyka, a to za sprawą słynnych Elementów geometrii, najbardziej znaczącego podręcznika do matematyki. Uczony wprowadził do geometrii logikę, wyrażając założenia wprost, w sposób jasny i prosty, a następnie dowodząc wszystkich przedstawionych w podręczniku teorii. W ten sposób, wychodząc z założeń dotyczących najprostszych tworów geometrycznych – punktu, prostej i okręgu – dowiódł istnienia pięciu brył foremnych.

Jednym z największych osiągnięć Euklidesa jest niewątpliwie fakt, że dziś twierdzenie Pitagorasa jest znane jako twierdzenie 47 z pierwszej księgi Elementów geometrii. W jednym z popularniejszych przekładów dokonanych przez sir Thomasa Heatha czytamy: „w trójkącie prostokątnym kwadrat przylegający do boku znajdującego się naprzeciw kąta prostego jest równy kwadratom przylegającym do boków znajdujących się przy kącie prostym”.

Czyli żadnych spodni, żadnej przeciwprostokątnej, żadnego jawnego wspomnienia sumy czy dodawania, jedynie wspomnienie naprzeciwległości. A przecież takie sformułowanie twierdzenia Pitagorasa nie pozostawia wątpliwości, że chodzi o równanie – zawiera bowiem wiele znaczące słowa jest równy.

Wyższa matematyka wymagała od Greków odejścia od zapisu liczbowego na rzecz wyrażania problemów logicznych za pomocą prostych i powierzchni, dlatego też Pitagoras i jego następcy formułowali twierdzenie tak, by opisywało równość odpowiednich płaszczyzn. „Powierzchnia kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku trójkąta prostokątnego jest sumą powierzchni kwadratów utworzonych na jego pozostałych dwóch bokach”. Najdłuższy bok to oczywiście przeciwprostokątna, czyli odcinek leżący naprzeciwko kąta prostego, co widać na ilustracji znajdującej się po lewej stronie rysunku 2.

Z czasem twierdzenie Pitagorasa zyskało formę równania algebraicznego, w której jest używane od niemal dwóch tysięcy lat:

a2 + b2 = c2,

gdzie c jest długością przeciwprostokątnej, a i b zaś to długości pozostałych dwóch boków. Umieszczona w indeksie górnym dwójka oznacza, że dana wartość jest „podnoszona do kwadratu”. W algebrze rozumiemy przez to pojęcie pomnożenie liczby przez samą siebie, natomiast powierzchnię dowolnego kwadratu oblicza się właśnie, podnosząc do kwadratu długość jego boku. Zatem równanie Pitagorasa, jak pozwolę sobie je nazwać, wyraża dokładnie to samo co podana przez Euklidesa formuła. Jedyne, z czego zrezygnowaliśmy, to obciążenie psychiczne związane z rozważaniami nad pojmowaniem idei liczb i powierzchni przez starożytnych Greków.

Równanie Pitagorasa znalazło wiele praktycznych zastosowań. Przede wszystkim wykorzystujemy je do obliczania długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości pozostałych dwóch boków. Załóżmy przykładowo, że a = 3 i b = 4. Wtedy, na mocy twierdzenia Pitagorasa, c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Zatem c = 5. To słynny trójkąt o bokach 3–4–5 pojawiający się w każdym podręczniku szkolnym, a zarazem najprostsza z pitagorejskich trójek – trzy liczby całkowite spełniające równanie Pitagorasa. Następny w kolejności jest (pomijam tu skalowane wersje pierwszego zestawu liczb, na przykład 6–8–10) zestaw 5–12–13. Takich układów można znaleźć nieskończenie wiele, a Grecy wiedzieli, w jaki sposób je konstruować. Zagadnienie budowania trójek pitagorejskich z liczb całkowitych nadal stanowi istotny i rozwijany problem teorii liczb – nawet w ostatnim dziesięcioleciu odkrywano nowe cechy tych układów.

Oczywiście nie musisz ograniczać się do wyznaczania wartości c przy danych a i b. Możesz rozwiązać równanie Pitagorasa, by wyznaczyć z niego a przy znanych b i c. Dzięki niemu znajdziesz także rozwiązania bardziej złożonych problemów, o czym przekonasz się już za chwilę.

Rysunek 2. Z lewej: Linie pomocnicze potrzebne do przeprowadzenia dowodu prawdziwości twierdzenia Pitagorasa w sposób przedstawiony przez Euklidesa. Pośrodku i z prawej: Inny dowód prawdziwości twierdzenia. Zewnętrzne kwadraty mają identyczne powierzchnie, również powierzchnie zaznaczonych ciemniejszym kolorem trójkątów są sobie równe. Oznacza to, że przechylony nieco biały kwadrat ma taką samą powierzchnię jak suma powierzchni dwóch mniejszych białych kwadratów.

Skąd wiemy, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe? Dowód przeprowadzony przez Euklidesa jest skomplikowany. Wymaga wprowadzenia do schematu pięciu dodatkowych linii, co widać na rysunku 2 (z lewej), i odwołania się do kilku udowodnionych wcześniej twierdzeń. W czasach wiktoriańskich chłopcy (w tamtym okresie jedynie nieliczne dziewczęta kształciły się z geometrii) określali ten rysunek prześmiewczo mianem spodni Pitagorasowych. Bardziej bezpośredni i znacznie łatwiejszy do zrozumienia, choć nie tak elegancki dowód sprowadza się do wykorzystania czterech identycznych trójkątów, za pomocą których rozwiązuje się pewną układankę matematyczną (rysunek 2, z prawej). Rysunek przykuwa uwagę, ale zrozumienie istoty tego dowodu wymaga pewnego zastanowienia. Rodzi się na przykład pytanie, skąd wiemy, że przechylona jasna figura na środkowej ilustracji to rzeczywiście kwadrat.

Okazuje się, że istnieją dość mocne dowody świadczące, iż twierdzenie Pitagorasa było znane ludzkości wiele lat przed narodzinami uczonego. Na glinianej tabliczce z Babilonii2 znajdującej się w British Museum zapisano pismem klinowym zadanie i jego rozwiązanie, które można by odczytać następująco:

Skoro 4 to długość, a 5 to przekątna, ile wynosi szerokość?

4 razy 4 to 16.

5 razy 5 to 25.

Odejmij 16 od 25, a otrzymasz 9.

Jaka liczba, pomnożona przez siebie samą, da 9?

3 razy 3 to 9.

Oznacza to, że szerokość wynosi 3.

Wynika stąd, że Babilończycy znali trójkąt 3–4–5 już tysiąc lat przed Pitagorasem.

Na innej tabliczce babilońskiej – YBC 7289 przechowywanej na Uniwersytecie Yale, którą przedstawia rysunek 3 (z lewej) – znajduje się szkic kwadratu o boku 30, którego przekątna jest opisana dwoma zestawami liczb: 1, 24, 51, 10 oraz 42, 25, 35. Babilończycy posługiwali się systemem zapisu liczb o podstawie 60, zatem pierwszy układ liczb należy rozumieć jako 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603, co w systemie dziesiętnym odpowiada wartości 1,4142129. Wiemy zaś, że pierwiastek kwadratowy z liczby 2 wynosi 1,4142135. Drugi zestaw liczb odpowiada trzydziestokrotnej wielokrotności tej wartości. Oznacza to, że Babilończycy znali wzór pozwalający wyznaczyć długość przekątnej kwadratu jako iloczyn długości boku i pierwiastka kwadratowego z 2. Ponieważ

to zależność wyryta na tabliczce jest po prostu pochodną twierdzenia Pitagorasa.

Rysunek 3. Z lewej: YBC 7289. Z prawej: Plimpton 322.

Jeszcze bardziej niezwykła, choć znacznie mniej przejrzysta jest tabliczka znana jako Plimpton 322 znajdująca się w kolekcji George’a Arthura Plimptona na Uniwersytecie Columbia, przedstawiona na rysunku 3 (z prawej). Tabliczka zawiera liczby zapisane w czterech kolumnach i piętnastu wierszach. W ostatniej kolumnie znajdują się po prostu numery wierszy od 1 do 15. W 1945 roku historycy nauki Otto Neugebauer i Abraham Sachs3 doszli do wniosku, że kwadrat wartości podanej w trzeciej kolumnie (nazwijmy go c) pomniejszony o kwadrat wartości zawartej w drugiej kolumnie (dajmy na to b) daje wartość będącą kwadratem pewnej liczby (na przykład a). Schemat ten jest przekształceniem wzoru a2 + b2 = c2, co mogłoby sugerować, że tabliczka zawiera spis trójek pitagorejskich. W takim wypadku należałoby jednak poprawić cztery oczywiste błędy. Niestety nie można stwierdzić na pewno, czy Plimpton 322 ma cokolwiek wspólnego z trójkami pitagorejskimi, a nawet jeśli tak jest, nie da się wykluczyć, że tabliczka nie jest po prostu spisem boków trójkątów, dla których łatwo było wyznaczyć pola powierzchni. Tego rodzaju narzędzie można było z powodzeniem wykorzystywać do przybliżania wyników dla innych trójkątów czy wręcz innych kształtów, może nawet do wykonywania pomiarów odległości na ziemi.

W tamtych czasach istniała jeszcze jedna cywilizacja słynąca z równie podniosłych odkryć – egipska. Pewne poszlaki wskazują na to, że Pitagoras mógł w młodości odwiedzić Egipt. Niektórzy badacze utrzymują, że w czasie tej podróży zetknął się ze słynnym dziś twierdzeniem i jedynie przedstawił je Grekom. Udało się wprawdzie znaleźć dowody potwierdzające tę teorię, lecz są one bardzo nieliczne i wymagają specjalistycznej wiedzy. Często słyszy się – szczególnie w kontekście rozważań nad technologią budowy piramid – że Egipcjanie wyznaczali kąty proste, konstruując trójkąt o bokach 3–4–5. Miało to polegać na odwzorowaniu układu boków za pomocą sznurka z dwunastoma węzłami wyznaczającymi równe odległości. Słyszy się też, że archeolodzy odnaleźli tak przygotowane sznurki. Wystarczy jednak zastanowić się chwilę, by dojść do wniosku, że żadne z przytoczonych tu stwierdzeń nie ma sensu. Opisana metoda wyznaczania kątów prostych nie dawałaby wystarczająco dokładnych rezultatów. Pamiętajmy, że sznurek jest rozciągliwy, a wyznaczenie równych odcinków za pomocą węzełków – niemal niemożliwe. Piramidy z Gizy są zbudowane z dokładnością znacznie przewyższającą wyniki, jakie można by osiągnąć, stosując tak prymitywne narzędzie. Znacznie bardziej praktycznym rozwiązaniem byłoby posłużenie się narzędziem przypominającym kątownik ciesielski – dodam, że archeolodzy odnaleźli pozostałości po tego typu przedmiotach. Badacze zgłębiający zagadnienia związane z matematyką starożytnego Egiptu nie znaleźli dowodów na stosowanie sznurków do wyznaczania odległości w trójkącie prostokątnym o bokach 3–4–5, nie odkryto też żadnych pozostałości po narzędziu tego rodzaju. Zatem, choć pomysł jest niewątpliwie uroczy, można z niemal stuprocentową pewnością uznać go za wymysł.

Gdyby Pitagoras znalazł się jakimś cudem w naszym świecie, byłby zdumiony. W jego czasach wiedza medyczna była w powijakach, źródło światła stanowiły świece i pochodnie, a najszybszą formą przekazywania wiadomości było wysłanie konnego posłańca. Znany świat zamykał się w obszarze Europy, Azji i Afryki – nie słyszano o Amerykach, Australii, Arktyce czy Antarktyce. Wiele kultur przyjmowało, że świat jest płaski: miał mieć kształt dysku czy kwadratu wyznaczonego czterema punktami głównymi. Mimo odkryć poczynionych przez starożytnych Greków ten ostatni pogląd zakorzenił się silnie w czasach średniowiecza, czego dowodem są mapy orbis terrae, jak ta przedstawiona na rysunku 4.

Kto pierwszy zdał sobie sprawę, że Ziemia jest okrągła? Jeśli wierzyć Diogenesowi Laertiosowi, greckiemu biografowi z III wieku n.e., człowiekiem tym był Pitagoras. W swoich Żywotach i poglądach słynnych filozofów, dziele zawierającym zbiór myśli filozoficznych i biografii ich twórców, będącym obecnie jednym z najważniejszych źródeł historycznych poświęconych prywatnemu życiu filozofów starożytnej Grecji, znajdujemy uwagę: „Choć Teofrast przypisuje to twierdzenie Parmenidesowi, a Zenon Hezjodowi, to właśnie Pitagoras pierwszy zasugerował, że Ziemia jest kulą”. Grecy bardzo często łączyli wielkie odkrycia ze słynnymi filozofami z przeszłości niezależnie od tego, kto rzeczywiście ich dokonał, zatem cytaty tego rodzaju nie mają wielkiej wartości dowodowej, ale jednocześnie nie sposób zaprzeczyć, że od V wieku p.n.e. wszyscy liczący się greccy filozofowie i matematycy przyjmowali kulistość Ziemi. O ile możemy to stwierdzić, pogląd ten ukształtował się właśnie w czasach Pitagorasa, niewykluczone więc, że zrodził się właśnie w jego szkole. Oczywiście równie dobrze mogła być to wiedza powszechna w tamtym okresie, wniosek wypływający w sposób bezdyskusyjny z obserwacji okrągłego cienia, jaki rzuca Ziemia na powierzchnię Księżyca w czasie zaćmienia, czy też wyciągany na podstawie analogii do kształtu naszego satelity.

Rysunek 4. Mapa świata wykonana około 1100 roku przez marokańskiego kartografa al-Idrisiego dla króla Sycylii Rogera.

Mimo tak rewolucyjnych wniosków dotyczących kształtu Ziemi nawet dla Greków nasza planeta stanowiła środek Wszechświata, wokół którego poruszały się wszystkie ciała niebieskie. Jedyną metodą prowadzenia nawigacji była nawigacja zliczeniowa – obserwowanie gwiazd i śledzenie linii brzegowej. Równanie Pitagorasa zrewolucjonizowało żeglugę. Można powiedzieć, że wprowadziło ludzkość na drogę, która wiodła ostatecznie do zrozumienia geografii i poznania miejsca naszej planety w Układzie Słonecznym. Dzięki niemu wykonaliśmy pierwszy znaczący krok w kierunku rozwinięcia kartografii, nawigacji i miernictwa. Wreszcie to właśnie twierdzenie Pitagorasa dało podstawy do powiązania geometrii z algebrą. Bezpośrednio z niego wypłynęły odkrycia, które ostatecznie doprowadziły do stworzenia ogólnej teorii względności i dały podstawy współczesnej kosmologii, o czym przeczytasz więcej w rozdziale 13. Równanie Pitagorasa otworzyło ludzkości drogę do nowych odkryć – dosłownie i w przenośni. Pozwoliło nam poznać kształt świata i określić nasze miejsce we Wszechświecie.

Trójkąty prostokątne są szczególnym przypadkiem i wydaje się, że skoro w życiu częściej spotyka się inne ich rodzaje, twierdzenie Pitagorasa powinno mieć ograniczone zastosowania. Nic bardziej mylnego, gdyż każdy trójkąt da się podzielić na dwa trójkąty prostokątne, co widać na rysunku 6, a każdy wielokąt da się podzielić na trójkąty. Oznacza to, że trójkąt prostokątny stanowi klucz pozwalający zbudować zależność między samym kształtem figury geometrycznej a długościami jej boków. Spostrzeżenie to doprowadziło do rozwoju nowej gałęzi matematyki – trygonometrii – zajmującej się badaniem zależności między miarami kątów i boków w trójkątach.

Trygonometria opiera się na zależnościach definiowanych w trójkącie prostokątnym. Najbardziej znanym jej fragmentem są definicje trzech funkcji – sinus, cosinus i tangens. Ich nazwy wywodzą się z dialektów arabskich, a historia budowania tych funkcji oraz liczne próby poprzedzające wprowadzenie dzisiejszych definicji wyznaczają skomplikowany szlak, jaki musieliśmy przebyć, by osiągnąć dzisiejszy stan wiedzy. Nie będę tu jednak wnikać w szczegóły i skupię się na znanych nam wzorach. Jeden z kątów trójkąta prostokątnego jest oczywiście prosty, natomiast miary dwóch pozostałych są dowolne, ograniczone jedynie warunkiem, że w sumie muszą wynosić one 90°. Dla każdego z kątów trójkąta prostokątnego można podać trzy funkcje, czyli wzory pozwalające wyznaczyć wartości powiązane z miarą kąta. Rysunek 5 przedstawia trójkąt o kącie A i bokach oznaczonych tradycyjnie a, b i c. Dla kąta A można zdefiniować wspomniane trzy funkcje – sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tg):

sinA = a/c, cosA = b/c, tgA = a/b.

Wyznaczone w ten sposób wartości zależą wyłącznie od wartości kąta A, ponieważ wszystkie trójkąty prostokątne o danym kącie A różnią się jedynie skalą.

Rysunek 5. Podstawą trygonometrii jest określenie związków liczbowych w trójkącie prostokątnym.

Dzięki temu można stworzyć tabelę wartości funkcji sin, cos i tg dla kątów z pewnego zakresu, aby następnie korzystać z nich podczas wyznaczania długości boków i miar kątów w dowolnym trójkącie prostokątnym. Typowym przykładem zastosowania trygonometrii, znanym już od czasów starożytnych, jest wyznaczanie wysokości kolumny na podstawie pomiarów dokonywanych wyłącznie na ziemi. Załóżmy, że z odległości 100 metrów czubek kolumny widać pod kątem 22°. Jeśli zaznaczony na rysunku 5 kąt A = 22°, to wysokość kolumny będzie odpowiadać długości boku a. Z definicji funkcji tangens otrzymujemy:

tg(22°) = a/100,

zatem

a = 100·tg(22°).

Ponieważ tangens kąta 22° wynosi z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku 0,404, wysokość kolumny a = 40,4 m.

Rysunek 6. Podział dowolnego trójkąta na dwa trójkąty prostokątne.

Dysponując definicjami funkcji trygonometrycznych, zdołamy bez trudu zapisać równanie Pitagorasa dla dowolnego trójkąta, czyli takiego, w którym nie ma kąta prostego. Rysunek 6 przedstawia trójkąt o bokach a, b i c oraz kącie C. Poprowadzenie prostej prostopadłej do podstawy trójkąta, wychodzącej z leżącego naprzeciw niej wierzchołka, podzieli go na dwa trójkąty prostokątne w sposób zaprezentowany na rysunku. Po dwukrotnym wykorzystaniu twierdzenia Pitagorasa i przeprowadzeniu pewnych przekształceń algebraicznych4 można zapisać:

a2 + b2 − 2ab cos C = c2.

Podane równanie różni się od równania Pitagorasa czynnikiem 2abcos C. Wzór ten, znany jako twierdzenie cosinusów, pełni tę samą funkcję dla dowolnego trójkąta co wzór Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego – pozwala powiązać długość boku c z długościami boków a i b, z tym że w takim wypadku musimy znać też miarę kąta C.

Twierdzenie cosinusów jest jednym z filarów trygonometrii. Znając długości dwóch boków trójkąta oraz kąt między nimi, możemy obliczyć długość trzeciego boku. Miary pozostałych dwóch kątów wyznacza się z równań opisujących zależności między kątami w każdym trójkącie. Wszystkie je można sprowadzić do opisu odpowiednich trójkątów prostokątnych.

Skoro dysponujemy już równaniami trygonometrycznymi i odpowiednimi metodami pomiarowymi, możemy zebrać dane, na podstawie których da się wykonać mapę. Pomysł nie jest wcale nowy. Techniki wykonywania pomiarów i obliczeń stosowane w starożytnym świecie zostały opisane na pochodzącym z 1650 roku p.n.e. tak zwanym papirusie matematycznym Rhinda. Grecki filozof Tales wykorzystał geometrię trójkątów, by około 600 roku p.n.e. oszacować wysokość piramid w Gizie. Heron z Aleksandrii opisał ponownie tę metodę w 50 roku n.e. Mniej więcej w 240 roku p.n.e. grecki matematyk Eratostenes wyznaczył obwód Ziemi, wykorzystując pomiar kąta, pod jakim w południe widziano Słońce w dwóch różnych miejscach – w Aleksandrii i Syene (dzisiejszym Asuanie) w Egipcie. Arabscy uczeni zachowali wiedzę o tych metodach, co więcej, rozwinęli ją, dzięki czemu mogli przeprowadzić szereg pomiarów astronomicznych, między innymi wyznaczyć ponownie promień Ziemi.

Początek nowożytnego miernictwa to rok 1533, kiedy to holenderski kartograf Gemma Frisius wyjaśnił w Libellus de locorum describendorum ratione („Broszura poświęcona zagadnieniom opisu miejsc”), w jaki sposób wykorzystać trygonometrię do dokładnego odwzorowywania kształtu terenu. Praca ta bardzo szybko zyskała dużą popularność w całej Europie i wkrótce wieści o niej dotarły do duńskiego uczonego i szlachcica Tychona Brahego. W 1579 roku Brahe wykonał na jej podstawie pomiary i w efekcie także mapę Hven, wyspy, na której położone było jego obserwatorium. W roku 1615 holenderski matematyk Willebrord Snellius (Snel van Royen) miał już przygotowaną ulepszoną wersję metody opracowanej przez Tychona Brahego. Przetrwała ona w niemal niezmienionej formie do naszych czasów – to triangulacja. Mierzony obszar pokrywa się siatką trójkątów. Dokonując bardzo dokładnego pomiaru początkowej długości i wyznaczając starannie miary kątów, można określić położenie wierzchołków trójkąta i na tej podstawie obliczyć zależności opisujące odległości. Snellius wyznaczył odległość dzielącą dwa holenderskie miasta, Alkmaar i Bergen op Zoom, stosując sieć 33 trójkątów. Wybrał właśnie te dwie miejscowości, ponieważ były one położone na tej samej długości geograficznej w odległości dokładnie jednego stopnia od siebie. Znając dzielącą je odległość, Snellius mógł wyznaczyć promień Ziemi. Wyniki przeprowadzonych z dokładnością do 4% pomiarów opublikował w wydanej w 1617 roku pracy Eratosthenes Batavus („Holenderski Eratostenes”). Warto też wspomnieć, że zmodyfikował nieco równania trygonometryczne w sposób, który pozwolił oddać kulisty kształt Ziemi, co stało się ważnym krokiem w kierunku uzyskania metod skutecznej nawigacji.

Triangulacja jest metodą pośredniego wyznaczania odległości na podstawie zmierzonych wcześniej kątów. Podczas przeprowadzania pomiarów wyznaczonego obszaru, na przykład przed podzieleniem ziemi na działki budowlane czy rolnicze, znacznie łatwiej określa się kąty pomiędzy poszczególnymi punktami, niż mierzy odległości między nimi. Triangulacja pozwala wyznaczyć kilka odległości na podstawie pomiarów wielu kątów. Początkiem pomiaru jest wyznaczenie linii łączącej dwa punkty – to tak zwana linia bazowa – i bardzo dokładne określenie jej długości na podstawie bezpośredniego pomiaru. Następnie wybiera się z otoczenia wyróżniający się punkt, widoczny z obu końców linii bazowej, i mierzy kąty, pod jakimi jest on z nich widoczny. W ten sposób uzyskujemy trójkąt skonstruowany na jednym znanym nam boku i dwóch kątach, do których ten bok przylega – to wystarczy, by określić kształt i rozmiar trójkąta. Długości pozostałych dwóch boków i miarę trzeciego kąta wyznacza się na podstawie funkcji trygonometrycznych.

W ten sposób uzyskujemy dwie kolejne linie bazowe, czyli wyznaczone właśnie boki trójkąta. Następnie wykonujemy pomiary z wierzchołków trójkąta dla położonych dalej punktów charakterystycznych ukształtowania terenu. Tak tworzy się siatka trójkątów pokrywająca cały interesujący nas obszar. W każdym z trójkątów określa się kąty, pod jakimi widać z ich obszaru wszystkie istotne elementy terenu – wieże kościelne, skrzyżowania i tak dalej. Wspomniane wcześniej wzory trygonometryczne pozwalają wyznaczyć dokładne położenia tych obiektów. Wreszcie przeprowadza się sprawdzenie dokładności pomiaru, czyli mierzy się bezpośrednio jeden z boków któregoś z trójkątów.

Pod koniec XVIII wieku triangulacja była już powszechnie stosowaną metodą pomiarową. W 1783 roku Ordnance Survey, agenda rządowa zajmująca się sporządzaniem map, rozpoczęło trwające siedemdziesiąt lat pomiary powierzchni Wielkiej Brytanii. Z kolei w 1801 roku zainicjowało Wielki Pomiar Trygonometryczny, projekt, którego celem było sporządzenie map Indii, w tym także Himalajów, i wyznaczenie wysokości Mount Everestu. W XXI wieku pomiary na tak wielką skalę przeprowadza się na podstawie zdjęć satelitarnych i danych dostarczanych przez system globalnego namierzania GPS; bezpośrednia triangulacja stała się przeżytkiem, ale sama teoria nadal nam służy, dane zbierane przez urządzenia elektroniczne są bowiem analizowane i przekształcane za pomocą tych samych wzorów, z jakich korzystano dawniej.

Twierdzenie Pitagorasa dało także początek geometrii analitycznej. Geometria analityczna pozwala opisywać figury i bryły za pomocą zestawów liczb podawanych w określonym układzie odniesienia. Tak zwany układ współrzędnych tworzą linie zwane osiami, z naniesioną na nie podziałką. Najbardziej znany jest układ kartezjański na płaszczyźnie, nazwany tak na cześć francuskiego matematyka i filozofa René Descartes’a (Kartezjusza), jednego z pionierów geometrii analitycznej, choć nie pierwszego zajmującego się tą dziedziną. Układ kartezjański komponuje się następująco. Narysuj dwie linie – poziomą oznaczoną symbolem x oraz pionową opisaną jako y. Będą to osie układu współrzędnych. Punkt ich przecięcia nazywamy początkiem układu. Na każdej z osi zaznacz teraz odcinki odpowiadające odległości od początku układu w sposób przypominający oznaczenia na linijce – wartości dodatnie znajdą się po prawej stronie początku układu oraz w górę od niego, wartości ujemne trafią na lewą stronę poziomej osi i na dół osi pionowej. W tak przygotowanej przestrzeni położenie każdego punktu można opisać parą liczb x i y, tak zwanymi współrzędnymi, co przedstawia schematycznie rysunek 7. Para liczb (x, y) jednoznacznie określa położenie punktu.

Rysunek 7. Dwie osie i współrzędne punktu.

Wprowadzenie układu współrzędnych pozwoliło wielkim matematykom siedemnastowiecznej Europy zrozumieć, że linia lub krzywa poprowadzona na płaszczyźnie stanowi zestaw rozwiązań (x, y) określonego równania zmiennych x i y. Przykładowo równanie y = x opisuje ukośną linię wznoszącą się z lewego dolnego obszaru układu do prawego górnego. Punkt (x, y) znajdzie się na takiej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy y = x. Bardziej ogólna forma tego wzoru, równanie liniowe, ax + by = c, gdzie a, b i c to odpowiednie stałe, opisuje dowolną linię prostą.

A jakim równaniem opisany jest okrąg? W tym miejscu na scenę wkracza równanie Pitagorasa. Wynika z niego, że odległość r od punktu (x, y) jest opisana wzorem:

r2 = x2 + y2,

co można przekształcić do postaci pozwalającej wyznaczyć wartość r:

Ponieważ wszystkie punkty leżące w odległości r od początku układu współrzędnych tworzą okrąg o promieniu r, podany powyżej wzór opisuje taką właśnie figurę geometryczną. W bardziej ogólnej postaci, czyli dla okręgu o środku w punkcie (a, b), równanie okręgu przedstawia się następująco:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2.

To samo równanie opisuje jednocześnie odległość r między punktami (a, b) oraz (x, y). Zatem twierdzenie Pitagorasa pozwoliło sformułować dwa bardzo istotne wzory: równanie okręgu i wzór określający odległość punktu od układu współrzędnych.

Choć twierdzenie Pitagorasa jest istotne samo w sobie, jego uogólnienia miały dla nauki znaczenie nie mniejsze niż ono samo. Skupię się teraz na jednym tylko wątku rozwinięć twierdzenia Pitagorasa, z którego wynikają założenia dotyczące teorii względności. Do tego tematu wrócę jeszcze w rozdziale 13.

Dowód słuszności twierdzenia Pitagorasa przeprowadzony w Elementach geometrii wiąże je ściśle z założeniami geometrii euklidesowej. Dawniej przymiotnik ten nie był potrzebny, sama „geometria” wystarczała w zupełności, zakładano bowiem, że każda przestrzeń fizyczna jest w rzeczywistości przestrzenią euklidesową. Było to założenie oczywiste dla wszystkich i, jak większość oczywistości, okazało się całkowicie błędne.

Euklides wywodził wszystkie twierdzenia z niewielkiej grupy przyjętych z góry definicji, tak zwanych aksjomatów, oraz powszechnie znanych faktów. Sformułował w ten sposób eleganckie, intuicyjne i spójne podstawy geometrii. Z jednym wyjątkiem, którym okazał się piąty aksjomat mówiący, że „jeśli prosta padająca na dwie proste utworzy z nimi kąty jednostronne wewnętrzne o sumie mniejszej niż suma dwóch kątów prostych, to dwie przecinane proste, przedłużone w nieskończoność, przetną się po tej stronie, po której znajdują się kąty o sumie mniejszej od łącznej miary dwóch kątów prostych”. Opis ten jest bardzo rozbudowany, dlatego warto rzucić okiem na rysunek 8, który zdecydowanie ułatwi zrozumienie przedstawionej tu idei.

Rysunek 8. Równoległość według aksjomatu Euklidesa.

Przeszło tysiąc lat zajęło matematykom poprawienie tego, co uważali za wadę pracy Euklidesa. Nie szukali ani niczego prostszego, ani niczego bardziej intuicyjnego, co doprowadziłoby do takiego wniosku, choć w kilku wypadkach udało się znaleźć owe rozwiązania. Nadrzędnym celem było jednak usunięcie dziwacznego stwierdzenia z grupy aksjomatów przez przeprowadzenie jego dowodu. Dopiero po kilkuset latach matematycy zrozumieli w końcu, że istnieją także inne, nieeuklidesowe geometrie, co sugerowało, iż taki dowód po prostu nie może istnieć. Nowe geometrie były równie spójne logicznie co geometria Euklidesa i we wszystkich obowiązywały podane przez starożytnego myśliciela aksjomaty, z wyjątkiem oczywiście aksjomatu o równoległości. Zinterpretowano je jako geometrie geodetyk – najkrótszych linii – na powierzchniach zakrzywionych przedstawionych na rysunku 9.

Rysunek 9. Zakrzywienie powierzchni. Z lewej: krzywizna zerowa; pośrodku: krzywizna dodatnia; z prawej: krzywizna ujemna.

Powierzchnia euklidesowa jest płaska, co jest tożsame ze stwierdzeniem, że ma zerową krzywiznę. Krzywizna sfery jest w każdym miejscu taka sama i zawsze dodatnia – w każdym punkcie przypomina kopułę. (W charakterze ciekawostki technicznej dodam, że koła wielkie przecinają się w dwóch punktach, a nie w jednym, jak wymagałby tego aksjomat Euklidesa, zatem w geometrii sferycznej definiuje się dodatkowo punkty antypodyczne na sferze i stwierdza, że są one identyczne. Pojęcie powierzchni zastąpiono pojęciem płaszczyzny rzutowej, a całą geometrię nazwano eliptyczną). Istnieje także powierzchnia o ujemnej krzywiźnie, która w pobliżu każdego ze swoich punktów przypomina siodło. Nazywamy ją powierzchnią hiperboliczną. Zilustrowanie takiej powierzchni nie jest wcale trudne. Najłatwiej wyobrazić ją sobie jako wnętrze okrągłego dysku, w którym „prosta” jest zdefiniowana jako łuk przecinający krawędź dysku w dwóch miejscach pod kątami prostymi (rysunek 10).

Rysunek 10. Dyskowy model powierzchni hiperbolicznej. Trzy linie przechodzące przez punkt P nie przecinają się z linią L.

Mogłoby się wydawać, że tworzenie przestrzeni nieeuklidesowych jest możliwe wyłącznie w dwóch wymiarach, natomiast nie może zachodzić w trzech. Ostatecznie można podejrzewać, że o ile powierzchnię dwuwymiarową jakoś wypchniemy w trzeci wymiar, o tyle podobnej operacji nie da się przeprowadzić dla przestrzeni, ponieważ nie ma w niej dodatkowego wymiaru, w którym można by zdefiniować zakrzywienie. Oczywiście takie rozumowanie jest raczej naiwne. Dobrym modelem trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej jest wnętrze sfery, w którym linie są odwzorowane jako łuki okręgów przechodzące przez powierzchnię sfery pod kątem prostym. Geometria ta jest trójwymiarowa, spełnia wszystkie aksjomaty geometrii euklidesowej z wyjątkiem piątego i w pewnym sensie pozwala zdefiniować trójwymiarową przestrzeń zakrzywioną, choć zakrzywienie nie pojawia się wokół czegoś ani nie polega na wypchnięciu przestrzeni w nowym kierunku.

Przestrzeń po prostu jest zakrzywiona.

Gdy tylko odkryto istnienie nowych geometrii, zainteresowanie naukowców skupiło się na wypływających stąd konsekwencjach, ale paradoksalnie nie dla matematyki, lecz dla fizyki. Zaczęto zadawać sobie pytanie: skoro przestrzeń nie musi być euklidesowa, jaka zatem jest? Naukowcy szybko uświadomili sobie, że tak naprawdę nie mają pojęcia. W 1813 roku Gauss przeprowadził pomiar kątów trójkąta tworzonego przez trzy góry – Brocken, Hohehagen i Inselberg. Wówczas wiadomo już było, że w trójkącie wyznaczonym w zakrzywionej przestrzeni suma kątów jest różna od wartości 180°. Wynik pomiarów był o 15 sekund kątowych większy od wartości 180°, co sugerowałoby – o ile uzyskane wartości były poprawne – że przestrzeń (przynajmniej w tym miejscu) ma krzywiznę dodatnią. Niestety do wykonania dokładniejszych pomiarów należałoby wyznaczyć znacznie większy trójkąt. Ostatecznie pomiary Gaussa uznano za niewystarczające, by na ich podstawie wnioskować cokolwiek – przestrzeń nie musiała być euklidesowa, ale równie dobrze mogła być.

Moje wcześniejsze stwierdzenie, że trójwymiarowa przestrzeń hiperboliczna jest „po prostu zakrzywiona”, ma sens jedynie w nowym, wywodzącym się z prac Gaussa rozumieniu krzywizny. Wiemy, że sfera ma dodatnią krzywiznę, a przestrzeń hiperboliczna jest zakrzywiona ujemnie, ale przecież nigdzie nie jest powiedziane, że promień krzywizny musi mieć stałą wartość. Przestrzeń może być w pewnych miejscach zakrzywiona w większym stopniu niż w innych, a nawet więcej – w niektórych obszarach może mieć krzywiznę dodatnią, w innych zaś ujemną. Promień krzywizny może zmieniać się w sposób ciągły. Jeśli rozważymy powierzchnię wyglądającą jak psia kość, to w obszarach odpowiadających zgrubieniom na końcach przestrzeń będzie mieć krzywiznę dodatnią, natomiast w obszarze łączącym zgrubienia będzie ona ujemna.

Gauss szukał wzoru opisującego krzywiznę powierzchni w dowolnym punkcie. Gdy go wreszcie sformułował i wydał w książce pod tytułem Disquisitiones generales circa superficies curva („Ogólne rozważania na temat powierzchni zakrzywionych”), która ukazała się w 1828 roku, nazwał go „niezwykłym twierdzeniem”. Co było w nim tak zadziwiającego? Podstawę rozważań Gaussa stanowiło raczej naiwne spojrzenie na krzywiznę, którą definiował jako powierzchnię osadzoną w przestrzeni trójwymiarowej. Dla tak zdefiniowanej obliczał promień krzywizny. Ostatecznie jednak otrzymał wynik stwierdzający jasno, że przestrzeń, w której umieszczał powierzchnię, nie miała żadnego wpływu na zakrzywienie. Ten czynnik w ogóle nie pojawiał się we wzorze. Gauss zapisał: „wzór […] samoczynnie przekształca się w niezwykłe twierdzenie – jeśli zakrzywiona powierzchnia rozwija się na dowolnej innej powierzchni, to miara krzywizny w dowolnym punkcie pozostanie niezmieniona”. Mówiąc o „rozwijaniu się na powierzchni”, Gauss miał na myśli „owinięcie” czegoś powierzchnią.

Weź zwykłą, płaską kartkę papieru o zerowej krzywiźnie. Owiń nią butelkę. Jeśli butelka ma kształt walca, kartka będzie do niej przylegać idealnie – nie zmarszczy się nigdzie, nie rozciągnie ani nie przerwie. Na oko wydaje się zakrzywiona, ale to trywialny rodzaj krzywizny, ponieważ w żaden sposób nie zmienia geometrii kartki, wpływa jedynie na ułożenie jej punktów w otaczającej ją przestrzeni. Narysuj na płaskiej kartce trójkąt prostokątny, zmierz długości jego boków, sprawdź, czy spełnione jest dla niego twierdzenie Pitagorasa. Teraz zawiń rysunek wokół butelki. Długości boków zmierzone teraz na papierze się nie zmienią. Twierdzenie Pitagorasa nadal obowiązuje.

Sprawa przedstawia się zupełnie inaczej w wypadku powierzchni kuli, której krzywizna jest, przypominam, niezerowa. Nie dasz rady owinąć kuli kartką papieru, tak by przylegała idealnie do kuli – musisz ją zgnieść w pewnych miejscach, nieco naciągnąć, być może nawet rozerwać. Geometria sferyczna jest z natury rzeczy zupełnie odmienna od geometrii płaszczyzny. Posłużę się przykładem – równik Ziemi oraz południki zerowy i 90° tworzą na półkuli północnej trójkąt równoboczny o trzech równych kątach (o ile przyjmie się, że Ziemia ma kształt idealnej kuli). W geometrii sferycznej twierdzenie Pitagorasa jest nieprawdziwe.

Krzywiznę należącą do wewnętrznej geometrii powierzchni nazywamy dziś krzywizną Gaussa. Gauss wyjaśnił nawet, dlaczego wprowadzenie tego pojęcia jest tak ważne. Posłużył się w tym celu bardzo obrazową analogią, która do dziś nie straciła na aktualności. Wyobraź sobie mrówkę poruszającą się po powierzchni. W jaki sposób miałaby ona stwierdzić, że powierzchnia jest zakrzywiona? Nie zdoła oderwać się od kartki, by zobaczyć, że ta zagina się wokół butelki, ale gdyby znała wzór Gaussa i dokonała odpowiednich pomiarów na powierzchni, zdołałaby określić promień jej krzywizny. Nasze próby określenia krzywizny przestrzeni świata przypominają starania mrówki żyjącej na kartce papieru. Nie możemy wznieść się ponad naszą przestrzeń, nim jednak przystąpimy do pomiarów, które wykonała mrówka, musimy poznać wzór opisujący zakrzywienie przestrzeni trójwymiarowej. Gauss nie potrafił go podać, ale jeden z jego uczniów odważnie stwierdził, że umie go wskazać.

Uczniem tym był Georg Bernhard Riemann. Przygotowywał się wtedy do obrony pracy habilitacyjnej, stanowiącej następny stopień rozwoju kariery naukowej po doktoracie. W tamtych czasach uzyskanie habilitacji pozwalało wykładowcom niemieckich uniwersytetów pobierać opłaty od słuchaczy ich wykładów. Obrona pracy habilitacyjnej zachowała niezmienioną postać – polega ona na wygłoszeniu publicznego wykładu, w którym prezentuje się wyniki prowadzonych badań. Wykład ten oraz następująca po nim dyskusja są właśnie egzaminem przyszłego doktora habilitowanego. Kandydat przedstawia kilka tematów, na które mógłby się wypowiedzieć, a jego promotor – w wypadku Riemanna był to Gauss – wybiera jeden z nich. Riemann, człowiek obdarzony niewątpliwą intuicją matematyczną, podał kilka typowych tematów, które znał od podszewki, ale w przypływie czy to natchnienia, czy w zaaferowaniu umieścił też na liście pozycję „O hipotezach leżących u podstaw geometrii”. Gauss, od dawna interesujący się tymi zagadnieniami, natychmiast wyznaczył ten temat na obronę pracy habilitacyjnej Riemanna.

Młody naukowiec od razu pożałował wybrania zagadnienia tak wymagającego. Szczerze nienawidził wystąpień publicznych, nie opracował też jeszcze szczegółów wyprowadzenia matematycznego swoich rozważań. W chwili ustalania tematu obrony dysponował jedynie mglistymi, choć niewątpliwie błyskotliwymi przemyśleniami dotyczącymi przestrzeni zakrzywionych. Rozważania te prowadził dla dowolnej liczby wymiarów. Riemann starał się przenieść niezwykłe twierdzenie Gaussa, prawdziwe dla zaledwie dwóch wymiarów, w przestrzeń nieskończenie wymiarową. Rozwój wypadków zmusił go do szybkiego działania, gdyż termin wygłoszenia wykładu zbliżał się wielkimi krokami. Presja, pod jaką pracował, doprowadziła go na skraj załamania nerwowego, a praca polegająca na asystowaniu współpracownikowi Gaussa, Wilhelmowi Weberowi, podczas jego eksperymentów z elektrycznością w niczym Riemannowi nie pomagała. A może jednak… Prowadząc badania nad zależnościami łączącymi siły elektryczne i magnetyczne, Riemann doszedł do wniosku, że mógłby powiązać ze sobą pojęcia siły i krzywizny. Takie założenie, które w rzeczywistości było wynikiem, pozwoliło mu przeprowadzić wsteczną analizę matematyki sił i zdefiniować za jej pomocą krzywiznę. Tego właśnie potrzebował, by obronić pracę habilitacyjną.

Wykład habilitacyjny odbył się w 1854 roku i, co raczej nie dziwi, spotkał się z ciepłym przyjęciem. Riemann zaczął od zdefiniowania pojęcia rozmaitości, którą to nazwę wywiódł od niemieckiego słowa oznaczającego „różnorodność”, uzasadniając, że zmienne tworzące rozmaitość mogą przyjmować wiele odmiennych wartości. W ujęciu formalnym rozmaitością nazywamy ściśle zdefiniowany układ wielu współrzędnych oraz wzór pozwalający określić odległość między sąsiadującymi punktami; wzór ten nazywamy dziś metryką Riemanna. Mniej formalnie rozmaitość to wielowymiarowa przestrzeń w całej okazałości. Punktem kulminacyjnym wykładu Riemanna było przedstawienie wzoru uogólniającego niezwykłe twierdzenie Gaussa – równanie przedstawiało krzywiznę rozmaitości wyłącznie w zależności od jej metryki. W taki oto sposób nasza opowieść zatoczyła koło niczym wąż Uroboros połykający swój ogon, jak się bowiem okazuje, metryka wyraźnie przywołuje na myśl skojarzenia ze wzorem Pitagorasa.

Załóżmy przykładowo, że mamy do czynienia z rozmaitością trójwymiarową. Niech punkt będzie opisany współrzędnymi (x, y, z), a jego sąsiad będzie mieć współrzędne (x + dx, y + dy, z + dz). Symbolem „d” oznacza się w matematyce „niewielki fragment”. W przestrzeni euklidesowej, czyli o zerowej krzywiźnie, odległość ds między tymi punktami będzie opisana wzorem:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2,

czyli po prostu wzorem Pitagorasa dla dwóch bardzo blisko położonych punktów. W przestrzeni zakrzywionej o promieniu krzywizny zmieniającym się w sposób ciągły odległość ta, metryka, opisana jest następująco:

ds2 = X dx2 + Y dy2 + Z dz2 + 2U dxdy + 2V dxdz + 2W dydz.

Pojawiające się we wzorze wielkości X, Y, Z, U, V i W mogą zależeć od zmiennych x, y i z. Równanie to na pierwszy rzut oka przytłacza, ale i w nim odnajdziemy pewne podobieństwo do wzoru Pitagorasa – sumę kwadratów (oraz podobne pod względem charakteru czynniki będące iloczynami dwóch wielkości, na przykład dxdy) uzupełnioną o kilka dodatków. Niektóre czynniki metryki są mnożone przez 2, ponieważ całość można zapisać w postaci macierzy 3 × 3, w której pewne elementy występują dwukrotnie:

Wielkości X, Y i Z pojawiają się w niej tylko raz, natomiast każdy z parametrów U, V i W znajduje się w dwóch miejscach macierzy. Macierz jest symetryczna względem przekątnej, co w ujęciu geometrii różniczkowej czyni z niej tensor symetryczny. Riemannowskie uogólnienie niezwykłego twierdzenia Gaussa jest równaniem opisującym krzywiznę rozmaitości w dowolnym punkcie wyrażonym za pomocą wspomnianego tensora. W przypadku szczególnym, opisanym właśnie twierdzeniem Pitagorasa, krzywizna rozmaitości wynosi zero. Oznacza to, że wykazując spełnienie równania Pitagorasa, dowodzimy braku zakrzywienia przestrzeni.

Rozwinięcie Riemanna, wywodzące się przecież ze wzoru zaproponowanego przez Gaussa, zależy wyłącznie od metryki rozmaitości. Mrówka uwięziona na rozmaitości mogłaby zbadać jej metrykę, mierząc boki niewielkich trójkątów i obliczając krzywiznę. Pamiętaj, że krzywizna jest nierozerwalnie związana z rozmaitością i nie zależy w żaden sposób od przestrzeni, w jakiej znajduje się rozmaitość. Co więcej, sama metryka zawiera definicję geometrii, rozważania na temat przestrzeni, w której znajduje się rozmaitość, nie są więc w ogóle konieczne. Oznacza to, że stawianie sobie pytań o kształt otaczającego nas – ludzkie mrówki – niezmierzonego i tajemniczego Wszechświata ma sens. Możemy nawet liczyć na znalezienie odpowiedzi na podstawie obserwacji niewymagających od nas wykraczania poza granice Wszechświata. To bardzo pocieszające, ponieważ opuszczenie naszej przestrzeni jest niemożliwe.

Riemann zdołał sformułować swój wzór, definiując geometrię przestrzeni za pomocą sił. Pięćdziesiąt lat później Einstein odwrócił ideę tego rozwiązania i wykorzystał geometrię przestrzeni do określenia siły grawitacji. Wyniki jego przemyśleń znamy dziś pod nazwą ogólnej teorii względności. Teoria ta dała podstawy, by zastanawiać się nad kształtem Wszechświata – do tematu tego wrócę jeszcze w rozdziale 13. Wypadki potoczyły się doprawdy niezwykle. Sformułowane przeszło trzy i pół tysiąca lat temu twierdzenie Pitagorasa pozwalało obliczyć powierzchnię pola uprawnego. Po rozszerzeniu go do postaci opisującej trójkąty bez kątów prostych i trójkąty kreślone na sferze dało nam narzędzie do kreślenia map i obliczenia wymiarów planety, na której żyjemy, a niezwykłe jego uogólnienie stwarza nadzieję na zbadanie kształtu Wszechświata. Wielkie pomysły rodzą się z prostych myśli.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ WERSJI

1 Tytuł tego rozdziału pochodzi właśnie z jednej z takich książek, Tajemnica zielonej pieczęci autorstwa H. Ożogowskiej (przyp. tłum.).

2 Wspominanej bez podania źródeł na stronie http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html.

3 A. Sachs, A. Goetze i O. Neugebauer, Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Society, New Haven 1945.

4 Aby ułatwić zrozumienie przekształceń algebraicznych, na rysunku 60 przedstawiamy figurę geometryczną uzupełnioną o dokładniejszy opis.

Rysunek 60. Podział trójkąta na dwa trójkąty prostokątne.

Odcinek prostopadły do boku b dzieli go na dwie części. Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że długość jednej części to a cos C, zatem druga musi być równa b − a cos C. Oznaczmy wysokość prostopadłego odcinka przez h, zatem z twierdzenia Pitagorasa:

a2 = h2 + (a cos C)2

c2 = h2 + (b − a cos C)2.

Stąd:

a2 = h2 + a2 cos2 C

c2 = h2 + (b − a cos C)2 = h2 + b2 − 2ab cos C + a2 cos2 C.

Po odjęciu pierwszego równania od drugiego z układu znikają niechciany czynnik h2 oraz iloczyn a2 cos2 C. Otrzymujemy więc zależność: c2 − a2 = b2 − 2ab cos C, co łatwo przekształcić do podanego na początku wzoru.