Tytuł oryginału

THE THEORETICAL MINIMUM

WHAT YOU NEED TO KNOW TO START DOING PHYSICS

Copyright © 2013 by Leonard Susskind

and George Hrabovsky

All rights reserved

Projekt okładki

Zbigniew Larwa

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Michał Załuska

ISBN 978-83-7961-982-5

Warszawa 2015

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Naszym żonom,

które zdecydowały się z nami wytrzymać,

i studentom uczęszczającym na kursy profesora Susskinda

w ramach programu kontynuacji studiów

Przedmowa

Wyjaśnianie fizyki zawsze sprawiało mi przyjemność. Chodzi tu o coś znacznie więcej niż uczenie: o sposób myślenia. Nawet kiedy siedzę przy biurku i zajmuję się pracą naukową, w mojej głowie wciąż odbywa się dialog. Zastanawianie się, jak coś komuś wyjaśnić, jest niemal zawsze doskonałą metodą na to, by samemu to zrozumieć.

Mniej więcej dziesięć lat temu zapytano mnie, czy zgodziłbym się poprowadzić kurs dla osób spoza uczelni. Tak się składa, że w okolicy Uniwersytetu Stanforda mieszka sporo ludzi, którzy kiedyś chcieli studiować fizykę, ale okoliczności życiowe sprawiły, że im się to nie udało. Teraz pracowali w rozmaitych zawodach, ale wciąż pamiętali dawne zauroczenie prawami rządzącymi Wszechświatem. Po kilku czy kilkunastu latach chcieli wrócić do fizyki, przynajmniej na poziomie hobby.

Niestety, trudno im znaleźć odpowiednie kursy. Stanford i inne uniwersytety nie pozwalają – zgodnie z obowiązującymi regułami – na to, by w prowadzonych tam zajęciach uczestniczyły osoby z zewnątrz, a wielu zainteresowanych fizyką nie może realistycznie planować powrotu na zwykłe, dzienne studia. Nie mogłem przestać o tym myśleć. Powinien być jakiś sposób na to, by umożliwić takim ludziom kontakty z aktywnymi naukowcami i przez to rozwijać ich zainteresowania, ale wydawało się, że nikt o tym nigdy nie pomyślał.

Wówczas dowiedziałem się o prowadzonym przez Stanford programie kontynuacji studiów, który polega na organizowaniu wykładów dla okolicznych mieszkańców formalnie niezwiązanych z uczelnią. Pomyślałem, że może on idealnie posłużyć moim planom znalezienia słuchaczy, którym mógłbym wyjaśnić fizykę i którzy byliby tym zainteresowani. Poza tym spodziewałem się, że prowadzenie wykładów z fizyki współczesnej sprawiłoby mi sporą frajdę. Przynajmniej przez pół semestru.

Okazało się, że faktycznie sprawia mi to frajdę, a przy tym przynosi satysfakcję, często dużo większą niż zwykłe uczenie studentów czy doktorantów. Ci słuchacze przychodzili na zajęcia tylko z jednego powodu: nie po to, by zdobyć potrzebne punkty, dostać papierek świadczący o ukończeniu studiów czy sprawdzić się na egzaminie, ale by czegoś się nauczyć i zaspokoić swoją ciekawość. Ich bogate i zróżnicowane doświadczenie życiowe powodowało też, że nie bali się zadawać pytań. Zajęcia miały więc w sobie energię i dynamikę, których często brakuje zwykłym kursom uniwersyteckim. Postanowiłem więc zrobić to jeszcze raz. I jeszcze raz.

Po kilku takich cyklach stało się jasne, że słuchaczy nie do końca satysfakcjonowały wykłady prowadzone na poziomie popularnonaukowym. Chcieli czegoś więcej niż to, co mogli znaleźć w „Scientific American”. Większość miała jakieś podstawy, znała trochę fizykę, pamiętała elementy rachunku różniczkowego i całkowego, posiadała jakieś doświadczenie w rozwiązywaniu formalnych problemów. Moi słuchacze byli gotowi na próbę nauczenia się autentycznej fizyki – z równaniami. Chcąc zaspokoić te oczekiwania, zorganizowaliśmy cykl wykładów, który stawiał sobie za zadanie doprowadzenie wiedzy uczestników do poziomu odpowiadającego obecnie prowadzonym badaniom dotyczącym fizyki i kosmologii.

Tak się szczęśliwie złożyło, że ktoś (nie ja) wpadł na świetny pomysł, by sfilmować te zajęcia. Można je znaleźć w Internecie – i wygląda na to, że cieszą się olbrzymią popularnością. Stanford to nie jedyne miejsce, gdzie można znaleźć spragnionych fizyki słuchaczy. Dostaję tysiące e-maili z całego świata. Jedno z powtarzających się w nich pytań brzmi: Czy przygotuje pan kiedyś książkę na podstawie tych wykładów? Teoretyczne minimum jest moją odpowiedzią.

Określenie „teoretyczne minimum” nie zostało wymyślone przeze mnie. Pochodzi ono od wielkiego rosyjskiego fizyka Lwa Landaua. W Związku Radzieckim „TM” oznaczało wszystko to, co musiał wiedzieć student, jeśli chciał pracować z samym Landauem. Był on bardzo wymagający: jego teoretyczne minimum obejmowało w zasadzie wszystko, co wiedział, a to oczywiście pozostawało poza zasięgiem innych ludzi.

Ja używam tego określenia w innym sensie. „Teoretyczne minimum” oznacza dla mnie to, co trzeba wiedzieć, by przejść na kolejny poziom. Nie opasłe, encyklopedyczne tomy, które tłumaczą wszystko, ale cienkie książeczki wyjaśniające to, co ważne. Książki są dość dokładnym odbiciem internetowych wykładów, które można znaleźć w sieci.

Zapraszam więc do lektury Teoretycznego minimum – mechaniki klasycznej. Powodzenia!

Leonard Susskind

Kalifornia, lipiec 2012 roku

Zacząłem uczyć się samodzielnie matematyki i fizyki, kiedy miałem jedenaście lat. Od tamtej pory minęło czterdzieści lat, podczas których wiele się wydarzyło – należę do ludzi, którzy często podejmują decyzje, że pora zająć się czymś innym. Tak czy inaczej, zdążyłem się wiele dowiedzieć z nauk ścisłych. Chociaż zarabiam na życie między innymi prowadzeniem badań naukowych, nigdy nie usiłowałem uzyskać formalnego stopnia naukowego.

Ta książka zaczęła się dla mnie od e-maila. Po obejrzeniu wykładów, na których podstawie powstało Teoretyczne minimum, napisałem do Leonarda Susskinda z pytaniem, czy nie myślał o przekształceniu ich w podręcznik. Sprawy potoczyły się dalej i dziś macie przed sobą konsekwencje tamtego e-maila.

Nie udało się nam zmieścić w tej książce wszystkiego, co początkowo zamierzaliśmy, inaczej nie byłaby ona Teoretycznym minimum mechaniki klasycznej, ale wielką, grubą księgą mechaniki. Do takich zadań przeznaczony jest Internet, wykorzystujący szerokopasmowe łącza, by udostępnić wszystko, co nie zmieściło się gdzie indziej! Dodatkowe materiały, czyli odpowiedzi do umieszczonych w tekście zadań, niektóre dowody i to, na co zabrakło miejsca w wersji książkowej, możecie znaleźć na stronie www.madscitech.org/tm.

Mam nadzieję, że lektura tej książki sprawi wam równie wiele przyjemności jak nam jej pisanie.

George Hrabovsky

Madison, Wisconsin, lipiec 2012 roku

Wykład 1.

Natura fizyki klasycznej

Gdzieś w krainie Steinbecka dwóch zmęczonych mężczyzn siada na skraju drogi. Lenny przeczesuje palcami brodę i mówi:

– George, opowiedz mi o prawach fizyki.

George na chwilę spuszcza wzrok, ale zaraz spogląda na Lenny’ego znad okularów.

– Dobrze, Lenny. Ale tylko niezbędne minimum.

Czym jest fizyka klasyczna?

Wyrażenie fizyka klasyczna odnosi się do fizyki przed pojawieniem się mechaniki kwantowej. Fizyka klasyczna zawiera równania Newtona opisujące ruch cząstek, teorię pól elektromagnetycznych Maxwella–Faradaya oraz ogólną teorię względności Einsteina, ale tak naprawdę jest czymś więcej niż zestaw teorii opisujących konkretne zjawiska. Jest raczej zbiorem zasad i reguł – ukrytą logiką – rządzących wszystkimi zjawiskami, w których nie odgrywa roli kwantowa nieoznaczoność. Te ogólne zasady określa się nazwą mechaniki klasycznej.

Zadaniem mechaniki klasycznej jest przewidywanie przyszłości. Wielki osiemnastowieczny fizyk Pierre-Simon Laplace wyjaśnił to w słynnych słowach:

Możemy postrzegać obecny stan Wszechświata jako skutek jego przeszłości i przyczynę jego przyszłości. Umysł, który w pewnym momencie znałby wszystkie siły powodujące ruch w przyrodzie oraz położenie wszystkich składających się na nią elementów, jeśli byłby też wystarczająco pojemny, by poddać te dane analizie, mógłby zawrzeć w pojedynczym wzorze ruch największych ciał i najdrobniejszych atomów we Wszechświecie; dla takiego umysłu nie istniałaby niepewność, a przyszłość, podobnie jak przeszłość, nie kryłaby żadnych tajemnic.

W fizyce klasycznej, jeśli wiesz wszystko o danym układzie w pewnej chwili oraz znasz równania rządzące tym, jak ten układ się zmienia, możesz przewidzieć przyszłość. To właśnie mamy na myśli, kiedy mówimy, że klasyczne prawa fizyki są deterministyczne. Jeśli możemy powtórzyć to zdanie, zamieniając miejscami przyszłość i przeszłość, to te same równania opisują całkowicie przeszłość. Taki układ nazwiemy odwracalnym.

Proste układy dynamiczne i przestrzeń stanów

Każdy zbiór obiektów – cząstek, pól, fal lub dowolnych innych – nazywamy układem. Układ, który jest bądź całym wszechświatem, bądź jest tak odizolowany od wszystkiego poza nim, że zachowuje się, jakby nic innego istniało, określa się jako układ zamknięty.

Ćwiczenie 1. Ponieważ pojęcie układu zamkniętego jest niezwykle ważne w fizyce teoretycznej, zastanów się, co dokładnie oznacza oraz czy układy zamknięte faktycznie mogą istnieć. Jakie założenia milcząco przyjmujemy, mówiąc o układzie zamkniętym? Czym jest układ otwarty?

Aby zrozumieć, co znaczą pojęcia deterministyczny i odwracalny, posłużymy się najpierw pewnymi szczególnie łatwymi do wyobrażenia sobie układami zamkniętymi. Będą dużo prostsze niż struktury, które zazwyczaj są przedmiotem badań w fizyce, ale obowiązują w nich zasady będące uproszczonymi wersjami praw mechaniki klasycznej. Zaczniemy od przykładu tak prostego, że wręcz banalnego. Wyobraź sobie abstrakcyjny obiekt, który może się znajdować tylko w jednym stanie. Możemy myśleć o nim jak o przyklejonej do stołu monecie, na której zawsze widnieje orzeł. W języku fizyki zbiór wszystkich stanów przyjmowanych przez układ nazywa się przestrzenią stanów. Przestrzeń stanów nie jest zwykłą przestrzenią, lecz matematycznym zbiorem, którego elementy reprezentują możliwe stany układu. W naszym przykładzie przestrzeń stanów składa się z jednego punktu – orła (lub po prostu O) – ponieważ układ może znajdować się tylko w jednym stanie. Przewidywanie przyszłości tego układu jest bardzo proste: nic nigdy się nie zmienia, wynikiem każdego odczytu jest zawsze O.

Następny przykładowy układ ma przestrzeń stanów składającą się z dwóch punktów; mamy więc do czynienia z jednym abstrakcyjnym obiektem i dwoma możliwymi stanami. Wyobraź sobie monetę, na której może widnieć orzeł lub reszka (O lub R). Przyjrzyj się ilustracji 1.

Ilustracja 1. Przestrzeń dwóch stanów

W mechanice klasycznej zakładamy, że układ ewoluuje w sposób gładki, bez skoków czy zakłóceń. Takie zachowanie nazywamy ciągłym. Przejścia między Orłem a Reszką oczywiście nie mogą być ciągłe i następują w postaci dyskretnych skoków. Przypuśćmy więc, że czas występuje w dyskretnych krokach reprezentowanych przez liczby całkowite. Świat, który ewoluuje w sposób dyskretny, możemy nazwać stroboskopowym.

Układ, który zmienia się w czasie, nazywamy układem dynamicznym. Układ dynamiczny składa się z czegoś więcej niż przestrzeń stanów, gdyż jest z nim związane prawo ruchu lub prawo rządzące dynamiką. Prawo rządzące dynamiką to zasada określająca na podstawie aktualnego stanu stan następny.

Przykładowe i bardzo proste prawo rządzące dynamiką mówi, że niezależnie od tego, jaki stan przyjmuje układ w danym momencie, następny stan będzie taki sam. W naszym przykładzie otrzymujemy więc dwa możliwe przebiegi zdarzeń: O O O O O O… i R R R R R R…

Inne prawo może mówić, że niezależnie tego, jaki jest stan bieżący, następny będzie miał drugą możliwą wartość.

Możemy narysować diagramy opisujące te dwa prawa.

Ilustracja 2 pokazuje działanie pierwszego prawa, w którym strzałka rozpoczynająca się w O zmierza do O, a strzałka rozpoczynająca się w R trafia do R. Przewidywanie przyszłości jest łatwe: jeśli zaczniemy w O, układ pozostanie w O; jeśli zaczniemy w R, pozostanie w R.

Ilustracja 2. Prawo rządzące dynamiką układu o dwóch stanach

Diagram dla drugiego prawa jest pokazany na ilustracji 3, na której strzałka prowadzi z O do R i z R do O. Wciąż można przewidzieć przyszłość. Na przykład jeśli rozpoczniesz od O, przebieg zdarzeń będzie wyglądał następująco: O R O R O R O R O R… A jeśli rozpoczniesz od R, w taki sposób: R O R O R O R O R…

Ilustracja 3. Kolejne prawo rządzące dynamiką układu o dwóch stanach

Te prawa możemy nawet zapisać w postaci równań. Zmienne opisujące układy nazywamy ich stopniami swobody. Nasza moneta ma jeden stopień swobody, który możemy oznaczyć grecką literą σ, sigma. Sigma może przyjmować tylko dwie wartości: σ = 1 i σ = –1, odpowiadające kolejno O i R. Aby śledzić zmiany czasu, również skorzystamy z symbolu. Kiedy będziemy rozważali ciągłą ewolucję w czasie, oznaczymy go jako t. W rozważanym teraz przykładzie mamy do czynienia z ewolucją dyskretną, co oznaczymy przez n. Stan w czasie n opisuje symbol σ(n) – wartość σ w chwili n.

Rozpiszmy równania ewolucji dwóch powyższych praw. Pierwsze określa, że nie zachodzi żadna zmiana, co w postaci równania wygląda następująco:

Innymi słowy, niezależnie od tego, jaką wartość przyjmuje σ w kroku n, będzie ona miała taką samą wartość w kroku następnym.

Drugie równanie ma następującą postać:

co wskazuje, że z każdym kolejnym krokiem stan zmienia się na przeciwny.

Ponieważ w każdym wypadku zachowanie układu jest całkowicie zdeterminowane przez stan początkowy, takie prawa są deterministyczne. Wszystkie podstawowe prawa mechaniki klasycznej są deterministyczne.

Aby nieco skomplikować nasze rozważania, uogólnijmy układ, zwiększając liczbę jego stanów. Zamiast monety możemy użyć kostki do gry z sześcioma ściankami, co oznacza, że mamy sześć możliwych stanów (spójrz na ilustrację 4).

W takim razie istnieje wiele różnych możliwych praw, które nie tak łatwo opisać za pomocą słów czy nawet równań. Najprostszym sposobem jest wykorzystanie diagramów takich jak na ilustracji 5. Ilustracja 5 pokazuje, że mając dany stan numeryczny kostki w chwili n, zwiększamy go o jeden w następnym kroku czasowym n + 1. Ta zasada działa do chwili, w której docieramy do 6. Wówczas diagram nakazuje nam powrót do 1 i powtórzenie formuły. Taką bez końca powtarzaną formułę nazywamy cyklem. Na przykład jeśli zaczniemy od 3, przebieg zdarzeń będzie taki: 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2… Tę formułę nazwiemy Prawem Rządzącym Dynamiką 1.

Ilustracja 4. Układ o sześciu stanach

Ilustracja 5. Prawo Rządzące Dynamiką 1

Na ilustracji 6 widzimy kolejne prawo, Prawo Rządzące Dynamiką 2. Wygląda ono na bardziej zagmatwane od poprzedniego, ale jest z nim logicznie równoważne – w obu wypadkach układ bez końca krąży po sześciu możliwych stanach. Jeśli odpowiednio zmienimy oznaczenia stanów, Prawo 2 stanie się identyczne z Prawem 1.

Nie wszystkie prawa są logicznie równoważne. Przyjrzyj się na przykład temu przedstawionemu na ilustracji 7. Prawo Rządzące Dynamiką 3 ma dwa cykle. Jeśli rozpoczniesz w jednym, nie możesz dostać się do drugiego. A jednak to prawo też jest całkowicie deterministyczne. Gdziekolwiek rozpoczniesz, przyszłość jest określona. Na przykład jeśli zaczniesz od 2, przebieg zdarzeń będzie następujący: 2, 6, 1, 2, 6, 1… i nigdy nie znajdziesz się w 5. Jeśli natomiast zaczniesz od 5, przebieg będzie taki: 5, 3, 4, 5, 3, 4… i nigdy nie znajdziesz się w 6.

Ilustracja 6. Prawo Rządzące Dynamiką 2

Ilustracja 7. Prawo Rządzące Dynamiką 3

Ilustracja 8 przedstawia Prawo Rządzące Dynamiką 4 z trzema cyklami.

Ilustracja 8. Prawo Rządzące Dynamiką 4

Wypisanie wszystkich możliwych praw rządzących dynamiką układu o sześciu stanach zajęłoby bardzo dużo czasu.

Ćwiczenie 2. Czy potrafisz zaproponować ogólny sposób sklasyfikowania możliwych praw dla układu o sześciu stanach?

Niedopuszczalne zasady: Prawo Minus Pierwsze

Zgodnie z zasadami fizyki klasycznej nie wszystkie prawa są dopuszczalne. Nie wystarczy, by prawo rządzące dynamiką było deterministyczne; musi ono być jeszcze odwracalne.

Znaczenie pojęcia odwracalne – w kontekście fizyki – można opisać na kilka sposobów. Najbardziej zwięzłym opisem jest powiedzenie, że jeśli zmienimy kierunki wszystkich strzałek, to powstałe w wyniku tej operacji prawo jest również deterministyczne. Można też stwierdzić, że prawa są deterministyczne nie tylko w przyszłość, ale i w przeszłość. Przypomnij sobie słowa Laplace’a: „(…) dla takiego umysłu nie istniałaby niepewność, a przyszłość, podobnie jak przeszłość, nie kryłaby żadnych tajemnic”. A czy można mówić o prawach deterministycznych w przyszłość, ale pozbawionych tej własności, gdy patrzymy w przeszłość? Innymi słowy, czy możemy sformułować prawa nieodwracalne? Okazuje się, że tak. Spójrz na ilustrację 9.

Ilustracja 9: Układ nieodwracalny

Prawo przedstawione na ilustracji 9 pokazuje, dokąd przejść dalej, niezależnie od tego, gdzie się w danej chwili znajdujemy. Jeśli jesteś w 1, przechodzisz do 2; jeśli w 2, przechodzisz do 3; a jeśli w 3, przechodzisz do 2. Nie ma żadnej niejednoznaczności w stosunku do przyszłości. Zupełnie inaczej wygląda to w odniesieniu do przeszłości. Przypuśćmy, że znajdujesz się w 2. Gdzie byłeś wcześniej? Mogłeś być w 3 lub w 1. Diagram po prostu nie daje takiej informacji. A poza tym – co z punktu widzenia odwracalności jest jeszcze gorsze – nie istnieje stan, który prowadzi do 1, czyli 1 nie ma przeszłości. Prawo na ilustracji 9 jest nieodwracalne i pokazuje ten rodzaj sytuacji, na który nie zezwalają zasady fizyki klasycznej.

Zauważ, że jeśli odwrócisz strzałki na ilustracji 9, tak jak pokazano na ilustracji 10, odpowiadające temu prawo nie zawiera pełnej informacji, dokąd iść w przyszłości.

Ilustracja 10. Układ niedeterministyczny

Istnieje bardzo prosta zasada, dzięki której można rozpoznać, który diagram przedstawia prawo deterministyczne i odwracalne. Jeśli każdy stan ma dokładnie jedną strzałkę prowadzącą do niego i dokładnie jedną strzałkę wychodzącą z niego, to mamy do czynienia z dozwolonym, deterministycznym i odwracalnym prawem. Zapamiętaj to w ten sposób: Musi istnieć jedna strzałka mówiąca, dokąd zmierzasz, i jedna strzałka określająca, skąd przyszedłeś.

Zasada, zgodnie z którą prawa rządzące ruchem muszą być deterministyczne i odwracalne, ma tak nadrzędną pozycję w fizyce klasycznej, że podczas nauki tego przedmiotu czasami zapominamy o tym, by ją przedstawić. Nie ma ona nawet żadnej nazwy. Moglibyśmy nazwać ją pierwszym prawem, ale niestety istnieją już dwa prawa wykorzystujące to miano: pierwsze prawo dynamiki Newtona i pierwsza zasada termodynamiki. Jest też zerowa zasada termodynamiki, musimy więc cofnąć się do minus pierwszego prawa, aby wyrazić pierwszeństwo dla niewątpliwie najbardziej podstawowej zasady spośród wszystkich praw fizycznych – prawa zachowania informacji. Zachowanie informacji to nic innego jak zasada, że każdy stan ma po jednej strzałce do niego wchodzącej i z niego wychodzącej. Dzięki niej zawsze umiemy odtworzyć to, w którym miejscu rozpoczęliśmy.

Układy dynamiczne z nieskończoną liczbą stanów

Jak dotąd wszystkie prezentowane tu przykłady miały przestrzeń stanów o skończonej ich liczbie. Nie ma żadnego powodu, dla którego nie można by utworzyć układu dynamicznego z nieskończoną liczbą stanów. Wyobraź sobie na przykład linię z nieskończoną ilością dyskretnych punktów – przypominającą tory kolejowe, wzdłuż których w obu kierunkach znajduje się nieskończenie wiele stacji. Przypuśćmy, że pewnego rodzaju znacznik może przeskakiwać z jednego punktu na drugi zgodnie z pewną regułą. Aby opisać taki układ, możemy oznaczyć punkty na linii liczbami całkowitymi, tak jak wcześniej oznaczyliśmy dyskretne chwile. Ponieważ dla oznaczenia tych dyskretnych punktów czasowych wykorzystaliśmy już symbol n, dla punktów na linii użyjmy wielkiej litery N. Opis przebiegu znacznika podawałaby wtedy funkcja N(n), która określałaby jego miejsce na linii, N, w dowolnym czasie, n. Krótki wycinek takiej przestrzeni stanów jest pokazany na ilustracji 11.

Ilustracja 11. Przestrzeń stanów układu nieskończonego

Przykładowe bardzo proste prawo rządzące ruchem takiego układu polega na przesunięciu znacznika o jedno miejsce w stronę dodatnią przy każdym kroku czasowym i jest przedstawione na ilustracji 12.

Ilustracja 12. Prawo rządzące ruchem nieskończonego układu

Takie prawo jest dozwolone, ponieważ każdy stan ma dokładnie jedną strzałkę do niego wchodzącą i jedną z niego wychodzącą. Możemy je łatwo przedstawić w postaci następującego równania:

1

Wypiszemy kilka innych możliwych, choć nie zawsze dozwolonych praw:

2

N (n + 1) = N (n) –1

3

N (n + 1) = N (n) +2

4

N (n + 1) = N (n2)

5

N (n + 1) = (–1) N (n) N (n)

Ćwiczenie 3. Wskaż, które spośród praw opisanych równaniami od (2) do (5) są dozwolone.

Równanie (1) opisuje sytuację, w której – niezależnie od punktu startowego – dociera się w końcu do każdego punktu, poruszając się albo w przyszłość, albo w przeszłość. Mówimy, że jest to jeden nieskończony cykl. Natomiast w sytuacji przedstawionej przez równanie (3) jeśli rozpoczniesz od nieparzystej wartości N, nigdy nie dotrzesz do wartości parzystych, i vice versa. Dlatego mówimy, że istnieją dwa nieskończone cykle.

Możemy również dodać do układu zasadniczo inne stany i w ten sposób utworzyć kolejne cykle. Zostało to pokazane na ilustracji 13.

Ilustracja 13. Rozbicie nieskończonego układu stanów na dwa cykle, skończony i nieskończony

Jeśli rozpoczniemy od liczby, będziemy przemieszczać się po górnej linii zupełnie tak jak na ilustracji 12. Natomiast jeśli rozpoczniemy od litery A lub B, będziemy krążyć między nimi. Mamy więc do czynienia z mieszaną sytuacją: w pewnych stanach krążymy w cyklu, a z innych przemieszczamy się do nieskończoności.

Cykle i prawa zachowania

Gdy przestrzeń stanów jest podzielona na kilka cykli, układ pozostaje w tym cyklu, w którym rozpoczął ewolucję. Każdy cykl ma swoje prawo rządzące ruchem, ale wszystkie one są częścią tej samej przestrzeni stanów, ponieważ opisują ten sam układ dynamiczny. Rozważmy układ z trzema cyklami. Każdy ze stanów 1 i 2 należy do własnego cyklu, a 3 i 4 należą do cyklu trzeciego (popatrz na ilustrację 14).

Ilustracja 14. Rozbicie przestrzeni stanów na cykle

Jeśli prawo rządzące ruchem dzieli przestrzeń stanów na oddzielne cykle, to w każdym momencie wiadomo, w którym cyklu nastąpiło rozpoczęcie ruchów. Taką wiedzę nazywamy prawem zachowania; mówi ono, że pewne wielkości są przez cały czas niezmienne. Aby nadać prawu zachowania charakter ilościowy, przyporządkujemy każdemu cyklowi wartość liczbową oznaczaną przez Q. W przykładzie z ilustracji 15 trzy cykle są odpowiednio oznaczone przez Q = +1, Q = –1 i Q = 0. Niezależnie od tego, którą z tych wartości przyjmie Q, pozostanie ona zawsze taka sama, ponieważ prawo rządzące ruchem nie zezwala na skoki między cyklami. Innymi słowy, Q jest zachowane.

Ilustracja 15. Przyporządkowanie cyklom konkretnych wartości zachowywanej wielkości.

W dalszych częściach tej książki zajmiemy się problemem ciągłego ruchu, w którym zarówno czas, jak i przestrzeń stanów są ciągłe. Wszystkie cechy, które rozważaliśmy w odniesieniu do prostych układów dyskretnych, mają swoje odpowiedniki w wypadku układów bardziej realistycznych, ale będziemy mogli poruszyć ten temat dopiero za kilka rozdziałów.

Granice dokładności

Laplace był chyba nazbyt optymistyczny w kwestii tego, jak przewidywalny jest świat, nawet w ramach fizyki klasycznej. Z pewnością zgodziłby się, że przewidywanie przyszłości wymaga dokładnej wiedzy o prawach rządzących ruchem w świecie, a także ogromnej mocy obliczeniowej – tego, co sam nazwał „umysłem wystarczająco pojemnym, by poddać te dane analizie”. Nie docenił jednak znaczenia innego czynnika: zdolności ustalenia z niemal idealną precyzją warunków początkowych. Wyobraź sobie kostkę z milionem ścianek, z których każda jest oznaczona symbolem przypominającym zwykłe cyfry, ale z takimi drobnymi różnicami, że tworzą milion osobnych i rozróżnialnych znaków. Jeśli ktoś znałby właściwe prawo rządzące ruchem i był w stanie rozpoznać początkowe oznaczenie, mógłby przewidzieć przyszłość ruchu kostki. Jeśli jednak ów pojemny umysł Laplace’a miałby choćby niewielki problem ze wzrokiem, tak że nie mógłby odróżnić podobnych do siebie oznaczeń, jego zdolności przewidywania zostałyby ograniczone.

W prawdziwym świecie sytuacja wygląda jeszcze gorzej; przestrzeń stanów nie tylko ma ogromną liczbę punktów, jest też w ciągły sposób nieskończona. Innymi słowy, jest indeksowana przez zbiór liczb rzeczywistych, takich jak na przykład współrzędne cząstek. Liczby rzeczywiste są zbiorem tak gęstym, że każda z nich znajduje się dowolnie blisko nieskończonej ilości swoich sąsiadów. Zdolność rozróżniania sąsiednich wartości tych liczb nazywamy „rozdzielczością” eksperymentu. Dla dowolnego rzeczywistego obserwatora zdolność ta jest ograniczona. Nie możemy więc ustalić warunków początkowych z nieskończoną dokładnością. W większości wypadków drobne różnice w warunkach początkowych – stanie początkowym – prowadzą do dużych różnic w wynikach. To zjawisko nazywamy chaosem. Jeśli układ jest chaotyczny (jak większość układów), to znaczy, że niezależnie od tego jak dobra jest rozdzielczość, czas, w ramach którego przyszłość układu jest przewidywalna, jest ograniczony. Nie da się uzyskać idealnej przewidywalności, gdyż rozdzielczość jest zawsze ograniczona.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

Przedmowa

Wykład 1. Natura fizyki klasycznej

Czym jest fizyka klasyczna?

Proste układy dynamiczne i przestrzeń stanów

Niedopuszczalne zasady: Prawo Minus Pierwsze

Układy dynamiczne z nieskończoną liczbą stanów

Cykle i prawa zachowania

Granice dokładności

Interludium 1. Przestrzenie, trygonometria i wektory

Współrzędne

Trygonometria

Wektory

Wykład 2. Ruch

Interludium matematyczne: rachunek różniczkowy

Ruch cząstek

Przykłady ruchu cząstek

Interludium 2. Rachunek całkowy

Rachunek całkowy

Całkowanie przez części

Wykład 3. Dynamika

Prawo ruchu Arystotelesa

Masa, przyspieszenie i siła

Interludium o jednostkach

Kilka prostych przykładów rozwiązywania równań Newtona

Interludium 3. Pochodne cząstkowe

Pochodne cząstkowe

Punkty krytyczne i funkcje minimalizujące

Punkty krytyczne funkcji wielu zmiennych

Wykład 4. Układy zawierające więcej niż jedną cząstkę

Układy cząstek

Przestrzeń stanów układu cząstek

Pęd i przestrzeń fazowa

Akcja, reakcja i zasada zachowania pędu

Wykład 5. Energia

Siły i energia potencjalna

Więcej niż jeden wymiar

Wykład 6. Zasada najmniejszego działania

Przejście do mechaniki zaawansowanej

Działanie i lagranżjan

Wyprowadzenie równania Eulera–Lagrange’a

Więcej cząstek i więcej wymiarów

Korzyści z zasady najmniejszego działania

Uogólnione współrzędne i pędy

Współrzędne cykliczne

Wykład 7. Symetrie i zasady zachowania

Wiadomości wstępne

Przykłady symetrii

Ogólniejsze symetrie

Konsekwencje istnienia symetrii

Z powrotem do przykładów

Wykład 8. Mechanika hamiltonowska i niezmienniczość na przesunięcia w czasie

Symetria względem przesunięć w czasie

Zasada zachowania energii

Przestrzeń fazowa i równania Hamiltona

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Wyprowadzenie równań Hamiltona

Wykład 9. Przepływy w przestrzeni fazowej i twierdzenie Gibbsa–Liouville’a

Ciecz w przestrzeni fazowej

Szybkie przypomnienie

Przepływ i dywergencja

Twierdzenie Liouville’a

Nawiasy Poissona

Wykład 10. Nawiasy Poissona, moment pędu i symetrie

Aksjomatyczne sformułowanie mechaniki

Moment pędu

Matematyczne interludium – symbol Leviego-Civity

Z powrotem do momentu pędu

Rotory i precesja

Symetria i zasady zachowania

Wykład 11. Siły elektryczne i magnetyczne

Pola wektorowe

Interludium matematyczne – nabla

Pola magnetyczne

Siła działająca na naładowaną cząstkę

Lagranżjan

Równania ruchu

Hamiltonian

Ruch w jednorodnym polu magnetycznym

Niezmienniczość ze względu na cechowanie

Do zobaczenia!

Dodatek 1. Siły centralne i orbity planet

Centralna siła grawitacyjna

Grawitacyjna energia potencjalna

Ziemia porusza się w płaszczyźnie

Współrzędne biegunowe

Równania ruchu

Wykresy efektywnej energii potencjalnej

Prawa Keplera