Tytuł oryginału

COWS IN THE MAZE

and other mathematical explorations

Copyright © Joat Enterprises 2010

Projekt okładki

© Spike Gerrell

Przedruki rysunków za zgodą:

© Andrew Davidhazy,

© Science Museum/SSPL,

© „Nature” oraz Jonathan Callan,

© Sloan Digital Sky Survey,

© NASA,

© Dr Schaffer and Mr Stern Dance Ensemble

Redakcja

Małgorzata Denys

Korekta

Mariola Będkowska

ISBN 978-83-7961-644-2

Warszawa 2011

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

ul. Rzymowskiego 28

02-697 Warszawa

www.proszynski.pl

Wstęp

Krowy powracają.

Jeśli temat jest dla ciebie nowy albo poprzednio nie uważałeś, kilka słów wyjaśnienia. Krowy w labiryncie to trzeci zbiór moich felietonów „Mathematical Recreations” (Matematyczne rekreacje), ukazujących się w „Scientific American” i we francuskim wydaniu pisma „Pour La Science”, opublikowany przez Oxford University Press. Wersja francuska zazwyczaj zawiera własne specjalne materiały, więc przez pewien czas pisałem sześć felietonów rocznie do wydania amerykańskiego i sześć do francuskiego. Poza tym powstały jeszcze dwa wcześniejsze zbiory, opublikowane przez innych wydawców.

A prawda, krowy.

Kiedy przygotowywaliśmy pierwszy zbiór dla Oxford University Press, Histerie matematyczne, wydawcy postanowili, że aby książka sprawiała wrażenie jeszcze bardziej przystępnej, przy każdym rozdziale zamieszczą zabawny rysunek. W przebłysku geniuszu zaprosili do współpracy rysownika Spike’a Gerrella. Jeden z rozdziałów dotyczył „liczenia bydła na Słońcu”, piekielnie skomplikowanej łamigłówki, której rozwiązanie ma 206 545 cyfr i zostało odkryte w 1880 roku. Istnieją powody, by przypuszczać, że być może w zamyśle twórcy tej zagadki, Archimedesa, nie miała ona być aż tak szatańska… ale z Archimedesem nigdy nic nie wiadomo.

W każdym razie Spike uczepił się tego prostego krowiego motywu, bo krowy wychodzą mu nader nadobne. Na okładce znalazła się jedna przeskakująca Księżyc i trzy w przepaskach na oczach – a właściwie w kapturach. Jeśli spojrzymy na grzbiet książki, zobaczymy jeszcze jedną krowę, spoglądającą na nas zza rogu.

Następny zbiór, How to Cut a Cake, był strefą wolną od krów, chociaż Spike narysował koniki szachowe, splątanego kota – splątanego kablem telefonicznym, bez związku ze Schrödingerem i kwantami – oraz skonsternowanego królika. Okazja do wynagrodzenia krowom tej niesprawiedliwości nadarzyła się, kiedy zdecydowaliśmy o przygotowaniu kolejnego zbioru, a jednym z tematów, jakie mogliśmy w nim wykorzystać, były „Krowy w labiryncie”. Przy okazji zaoszczędziło nam to trudu wymyślania tytułu.

Może wydaje ci się, że matematyka to dość poważna sprawa, a stadu krów gnającemu przez labirynt i obserwowanemu przez ekipę inżynierów, którzy albo ten labirynt budują, albo go rozbierają, brakuje właściwego ciężaru gatunkowego. Jednak, jak często powtarzam, „poważne” nie musi być równoważne z „podniosłym”. Matematyka to faktycznie poważna rzecz: nasza cywilizacja nie mogłaby bez niej funkcjonować – co zapewne dla wielu stanowi nowość, ale można to z łatwością udowodnić każdemu zainteresowanemu. Matematyka jest poważna do tego stopnia, że wszyscy musimy zacząć traktować ją z nieco większym luzem i przestać się tak strasznie spinać z powodu miejsc po przecinku, ułamków i równoległoboków (czy nadal uczą tego w szkole?), bo przesłaniają nam one wielki sekret, sprawiający, że ten przedmiot staje się znacznie strawniejszy.

Mianowicie: matematyka to niezła zabawa.

Nawet poważne kwestie są fajne, w pewien specyficzny – poważny – sposób. Mało co może przebić to niesamowite uczucie, kiedy w głowie zapala się nam żaróweczka i nagle zaczynamy rozumieć mechanizm rządzący danym matematycznym problemem. Badania naukowe w dziedzinie matematyki – stanowiące znaczną część mojej pracy, kiedy nie piszę książek – składają się w 99 procentach z walenia głową w metaforyczny mur, a w jednym procencie z nagłego uświadomienia sobie, dlaczego wszystko jest zupełnie oczywiste, a my byliśmy niewiarygodnie głupi. Błysk! Zapala się żaróweczka, a my wyzbywamy się przekonania o własnej tępocie, skoro 99,99 procent gatunku ludzkiego nie zrozumiałoby tego zadania, a co dopiero rozwiązania, a przecież matematyka zawsze wydaje się łatwa, kiedy już się ją zrozumie.

O tym, że zostałem matematykiem, zdecydowała między innymi comiesięczna rubryka matematyczna w „Scientific American”, wówczas zatytułowana „Mathematical Games” (Gry matematyczne) i prowadzona przez niezrównanego Martina Gardnera. Nie był matematykiem, ale nazywanie go tylko dziennikarzem byłoby sporym niedopowiedzeniem. To publicysta, którego zainteresowania obejmują łamigłówki, sztuczki magiczne, filozofie oraz demaskowanie idiotyzmów pseudonauki. Jego felietony z cyklu „Mathematical Games” sprawdzały się właśnie dlatego, że nie był matematykiem, ale miał niezwykłe instynktowne wyczucie tego, co interesujące, ciekawe i istotne. Nie dam rady mu dorównać i nigdy nie próbowałem. Właśnie Gardner pokazał mi, że matematyka jest dziedziną znacznie szerszą i bogatszą niż to, czego uczyli mnie w szkole.

Na lekcje matematyki nie narzekam. Miałem paru znakomitych nauczycieli, a jeden z nich – nazywał się Gordon Radford – poświęcał większość wolnego czasu na uczenie mnie i kilku kolegów tego samego, czego dowiadywałem się od Gardnera: że matematyka to coś zdecydowanie więcej, niż wynikałoby z podręczników. Szkoła nauczyła mnie techniki, ale Gardner zaraził mnie pasją. Kathleen Ollerenshaw – wybitna brytyjska nauczycielka tego przedmiotu, uhonorowana szlacheckim tytułem dame – wspomina zdarzenie ze swoich szkolnych lat, kiedy wymsknęło się jej, że chciałaby odkryć w matematyce coś nowego. Któryś z jej kolegów się z nią nie zgodził: po co się fatygować, skoro na świecie i tak już jest za dużo matmy? Ja trzymam z dame Kathleen. Jak pokazuje jeden z rozdziałów, udało jej się spełnić ambicję z młodości, mimo że związała się zawodowo z oświatą i samorządem. Miała wtedy 82 lata, a działo się to dziesięć lat temu.

Krowy w labiryncie można czytać w dowolnej kolejności: każdy rozdział stanowi odrębną całość i możesz ominąć wszystko, co ci się nie podoba. (To jeszcze jeden wielki matematyczny sekret, który miałem szczęście poznać w młodym wieku: nie koncentruj się obsesyjnie na trudnych szczegółach, jedź dalej. Często wtedy doznasz olśnienia, a jeśli nie, zawsze możesz wrócić i spróbować jeszcze raz). Wyjątkiem jest sekwencja trzech rozdziałów (pierwotnie były to dwa felietony, ale jeden miał gigantyczne rozmiary, więc podzieliłem go na dwie części) o matematyce podróży w czasie.

Znajdziesz tu różnorodne tematy – to nie podręcznik, ale celebracja radości z matematycznych badań i odkryć. Niektóre rozdziały mają formę opowieści, inne stanowią proste opisy. Musiałem zrezygnować z pisania felietonów w formie opowieści, kiedy w amerykańskim czasopiśmie zmniejszono miejsce przeznaczone na nie z trzech stron do dwóch. Francuzi dalej pozwalali mi realizować moje narracyjne zapędy co drugi miesiąc, kiedy matematyczna rubryka nie pojawiała się w wydaniu amerykańskim, aż Amerykanie zgodzili się, żebym pisał felieton do każdego numeru. Abstrahując od krów, wymagający czytelnik znajdzie na tych stronach najróżniejsze dziedziny prawdziwej matematyki: teorię liczb, geometrię, topologię, rachunek prawdopodobieństwa, kombinatorykę… a także zagadnienia z kilku obszarów matematyki stosowanej, między innymi mechaniki płynów, fizyki matematycznej i poruszania się zwierząt.

Felietony bardzo skorzystały na ożywionej korespondencji z czytelnikami, którzy w końcu stali się źródłem mniej więcej połowy pomysłów na tematy przedstawiane w mojej rubryce. Zaczęliśmy zamieszczać kącik z odpowiedziami na ich pytania i uwagi, a teraz uwzględniłem ich sugestie w większości rozdziałów. Starałem się zachować ducha oryginałów, jednocześnie je uaktualniając i usuwając z nich wszelkie błędy lub niejasności, jakie znalazłem. Wprowadziłem także nowość, odzwierciedlającą rosnącą wagę Internetu: odsyłacze do ciekawych stron WWW.

Jestem wdzięczny mojej redaktorce, Lathcie Menon, oraz wszystkim innym pracownikom Oxford University Press, którzy dali się przekonać i zgodzili się na moje dalsze harce z krowami Spike’a. Dziękuję też Spike’owi za ozdobioną przedstawicielkami rogacizny okładkę, Philippe’owi Boulangerowi za to, że to dzięki niemu wszystko się zaczęło, gdy wpuścił mnie na łamy „Pour La Science”, oraz pismu „Scientific American” za to, że pomogło mi spełnić marzenie z dzieciństwa.

Ian Stewart

Coventry, wrzesień 2009

Rozdział 1

Dyskretny urok kostek

Kostki do gry… wydają się takie proste, zwykłe sześciany z liczbami na ściankach. Starożytni używali ich do gier hazardowych, a także do odgadywania woli bogów. O kostkach w ujęciu matematycznym zaczęto rozprawiać stosunkowo niedawno, kiedy zrozumiano, że przypadkiem rządzą pewne prawidłowości. Jeśli się wie, jak ich szukać.

Kostka jest jednym z najstarszych znanych przedmiotów wykorzystywanych w grach hazardowych. Historyk rzymski Herodot twierdził, że kości wprowadzili do użytku Lidyjczycy w czasach króla Atysa, ale Sofokles się z nim nie zgadzał, przypisując ich wynalezienie Grekowi o imieniu Palamedes, który miał tego rzekomo dokonać podczas oblężenia Troi. Może wydawać się prawdopodobne, że kości wymyślono, aby zająć czymś znudzonych wojowników, czekających na kapitulację Trojan, ale jednak tę zasługę trzeba przypisać komu innemu. Kości znaleziono w chińskich ruinach z około 600 roku p.n.e. Archeolodzy odkryli sześcienne kostki, właściwie takie same jak dzisiejsze, w egipskich grobowcach pochodzących z 2000 roku p.n.e. Inne znaleziska sięgają 6000 roku p.n.e. Najwyraźniej jest to jeden z tych podstawowych przedmiotów, które powstały niezależnie w wielu różnych kulturach. Jednak nie zawsze kości przybierały formę sześcianu. Kostek w najrozmaitszych kształtach i z licznymi dziwnymi znakami używali Indianie z Ameryki Północnej, kultury południowoamerykańskie, takie jak Aztekowie i Majowie, Polinezyjczycy, Eskimosi oraz wiele plemion afrykańskich. Tworzono je z różnorodnych materiałów, od zębów bobra do porcelany. W popularnej grze fabularnej „Dungeons and Dragons” (Lochy i smoki) rzuca się kostkami w kształcie regularnych brył.

Taka prosta rzecz, a jej możliwości są niemal nieskończone.

Aby ten rozdział nie rozrósł się w całą książkę, skupię się wyłącznie na standardowych kostkach współczesnych. Mają one, oczywiście, kształt sześcienny i zazwyczaj zaokrąglone krawędzie i rogi. Kluczową charakterystyczną cechą kości do gry są znajdujące się na każdej ściance oczka w liczbie 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Suma oczek na przeciwległych bokach wynosi 7, a więc ścianki parują się następująco: 1 i 6, 2 i 5, 3 i 4. W zależności od rotacji sześcianu istnieją dokładnie dwa możliwe sposoby rozmieszczenia oczek przy zachowaniu tej własności (rys. 1.), a jeden stanowi lustrzane odbicie drugiego. Obecnie właściwie wszystkie kostki produkcji zachodniej wyglądają tak jak na rysunku 1a: ścianki 1, 2, 3 obracają się wokół swojego wspólnego wierzchołka w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Podobno w Japonii kostek tego typu używa się we wszystkich grach z wyjątkiem madżonga, w którym stosuje się będące ich lustrzanym odbiciem kostki z rysunku 1b. Orientalne kości mają znacznie większe oczko oznaczające jedynkę, a czasami oczka mogą być nie czarne, lecz czerwone, w zależności od kultury.

Rysunek 1. Dwa różne sposoby oznakowania ścianek kostek do gry.

Często rzuca się dwiema kostkami, a fundamentalną kwestią jest tutaj prawdopodobieństwo otrzymania danej sumy oczek. Aby je obliczyć – przy założeniu, że kości są „uczciwe”, czyli dla każdej ścianki prawdopodobieństwo znalezienia się na górze wynosi 1/6 – sprawdzamy, na ile sposobów można uzyskać dany wynik. Następnie dzielimy tę liczbę przez 36, sumę wszystkich par, uwzględniając, która kostka jest która. Możemy sobie wyobrazić, że jedna kostka ma kolor czerwony, a druga – niebieski. Zatem wynik, powiedzmy, 12, można otrzymać tylko w jeden sposób: czerwona kostka = 6, niebieska kostka = 6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia 12 wynosi więc 1/36. Natomiast sumę 11 oczek można uzyskać na dwa sposoby: czerwona kostka = 6, niebieska = 5 lub czerwona = 5, niebieska = 6. Prawdopodobieństwo dla jedenastki wynosi zatem 2/36 = 1/18.

Może się to wydawać oczywiste, ale kości są zazwyczaj nie do odróżnienia, a malowanie ich – nieco sztuczne. Nawet tak wybitny myśliciel, jak wielki matematyk i filozof Gottfried Leibniz, sądził, że prawdopodobieństwo wyrzucenia 12 i 11 musi być takie samo. Twierdził, że istnieje tylko jeden sposób wyrzucenia 11: jedna kostka = 6, druga = 5. Z tą linią rozumowania wiąże się jednak parę problemów. Być może najistotniejszy z nich to ten, że kompletnie nie zgadza się ona z doświadczeniem: podczas eksperymentów 11 wychodzi mniej więcej dwa razy częściej niż 12. Poza tym takie rozumowanie prowadzi do budzącego wątpliwości wniosku, że prawdopodobieństwo wyrzucenia dwiema kostkami jakiejkolwiek sumy wynosi mniej niż 1. Albo, jeśli taka interpretacja ci się nie podoba, sugeruje, że prawdopodobieństwo wyrzucenia 12 jest większe niż 1/36.

Rysunek 2 przedstawia prawdopodobieństwo dla wszystkich wyników rzutu dwiema kostkami, od 2 do 12. Jedną z gier, w których intuicyjne wyczucie tego prawdopodobieństwa ma kluczowe znaczenie, jest craps (po polsku zwana zwykle grą w kości), pochodząca z lat dziewięćdziesiątych XIX wieku. Gracz rzucający (nazywany strzelcem) stawia pewną kwotę pieniędzy. Pozostali robią zakłady o dowolnej wysokości. Jeśli ich suma jest niższa niż stawka rzucającego, zmniejsza on postawioną kwotę, aby wyrównać ją z tą sumą. Następnie rzuca kośćmi. Wynik 7 lub 11 w pierwszym rzucie (zwany natural) oznacza natychmiastową wygraną; jeśli wypadnie 2 (snake eyes – oczy węża), 3 lub 12 (craps), strzelec przegrywa. Inny jego początkowy wynik, czyli 4, 5, 6, 8, 9 lub 10, staje się jego „punktem”. Gracz rzuca dalej, usiłując ponownie uzyskać ten punkt, zanim wypadnie 7 (craps out). Jeśli mu się uda, wygrywa całą pulę pieniędzy; jeśli nie – przegrywa.

Rysunek 2. Prawdopodobieństwo otrzymania poszczególnych sum oczek przy rzucie dwiema kostkami.

Na podstawie rysunku 2 oraz kilku innych rozważań można obliczyć, że szanse rzucającego na wygraną wynoszą 244/495, czyli około 49,3%. To trochę mniej niż pół na pół. Zawodowi szulerzy potrafią przekształcić tę drobną niedogodność w przewagę dwiema metodami. Jedna polega na przyjmowaniu lub rezygnowaniu z różnych „zakładów pobocznych” z innymi graczami, do czego wykorzystują lepszą znajomość rozkładu prawdopodobieństwa. Druga – na oszukiwaniu, poprzez wprowadzenie do gry, za pomocą zręcznej sztuczki, sfałszowanych kości.

Można je fałszować na kilka sposobów. Czasem ścina się lekko ścianki, tak aby rogi nie tworzyły kąta prostego; można też kostki obciążyć. Dzięki obu tym technikom niektóre wyniki stają się bardziej prawdopodobne niż inne. Drastyczniejsza metoda polega na zastąpieniu standardowych kości specjalnie spreparowanymi (po angielsku zwanymi tops). Można się spotkać z kilkoma rodzajami takich fałszywek. Na przykład kostka może mieć tylko trzy różne zestawy oczek – na przeciwległych ściankach znajdą się wtedy identyczne liczby. Na rysunku 3 przedstawiono przykład takiej kości, mającej jedynie pola 1, 3 i 5. Ponieważ każdy gracz w danej chwili widzi najwyżej trzy ścianki naraz, a pola z taką samą liczbą oczek nie stykają się ze sobą, na pierwszy rzut oka wszystko wydaje się w porządku. Nie da się jednak zapewnić, by ścianki obracały się wokół wszystkich wierzchołków we „właściwej” kolejności. Jeśli wokół jednego wierzchołka rotacja następuje w kolejności 1–3–5, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to wokół sąsiedniego kostka będzie wirować w porządku 1–3–5, ale w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, jak pokazuje rysunek 3.

Rysunek 3. Sfałszowana kostka typu tops – jak oszukiwać.

Takie fałszywe kości można wykorzystywać w grze craps do kilku celów. Przy posługiwaniu się dwiema kostkami z polami 1, 3, 5, na przykład, nigdy nie wypadnie 7, a więc rzucającemu nie grozi wyeliminowanie z gry. Parą złożoną z kostki 1–3–5 i kostki 2–4–6 nie da się wyrzucić sumy parzystej, więc gracz nie zdobędzie punktu o wartości 4, 6, 8 ani 10. Z kości typu tops należy korzystać rzadko, jeśli ich obecność ma pozostać niezauważona – nawet najbardziej naiwni gracze zaczną się w końcu zastanawiać, dlaczego ciągle wyrzucają nieparzyste sumy. Sfałszowane kostki zwykle podmienia się więc szybko, wprowadzając je do gry na chwilę, żeby jedynie odrobinę zwiększyć szanse na pożądany wynik. Istnieją także kości z tylko dwoma jednakowymi polami. Natychmiastowe rozpoznawanie rozkładu oczek na kostce stanowi dla zawodowych szulerów umiejętność niezbędną, bo pomaga im wykryć fałszywki.

Kości wykorzystuje się w wielu sztuczkach iluzjonistycznych. Często triki te opierają się na regule mówiącej, że suma oczek na przeciwległych ściankach wynosi 7. Martin Gardner opisuje jedną z takich sztuczek w swojej książce Mathematical Magic Show. Magik prosi jednego z widzów, do którego odwraca się tyłem, żeby rzucił trzema standardowymi kostkami i zsumował oczka na górnych ściankach. Następnie każe swojej ofierze podnieść jedną z kostek i dodać do tej sumy liczbę oczek ze spodniej ścianki. Na koniec ofiara rzuca jeszcze raz tą samą kością i dodaje oczka ze ścianki, która wypadnie na górze, do poprzedniej sumy. Teraz magik się odwraca i od razu podaje wynik – chociaż nie ma pojęcia, którą kostkę widz wybrał.

Na czym polega ta sztuczka? Załóżmy, że po pierwszym rzucie na kostkach wypadają liczby a, b i c, a wybrana zostaje kostka a. Początkowa suma to a + b + c. Do tego widz dodaje 7 – a, więc otrzymuje b + c + 7. Następnie jeszcze raz rzuca kostką a, wypada liczba d, a końcowy wynik wynosi d + b + c + 7. Magik patrzy teraz na trzy kostki, z sumą oczek d + b + c, a więc musi tylko szybko tę sumę obliczyć i dodać do niej 7.

Henry Ernest Dudeney, znakomity angielski specjalista od łamigłówek logicznych, opisuje w swojej książce Amusements in Mathematics sztuczkę innego rodzaju. Magik także prosi o rzucenie trzema kostkami, odwróciwszy się plecami do widza. Tym razem każe ofierze pomnożyć liczbę oczek na pierwszej kostce przez 2 i dodać 5; następnie pomnożyć wynik przez 5 i dodać wartość z drugiej kostki; po czym pomnożyć rezultat przez 10 i dodać wartość z trzeciej kostki. Po usłyszeniu wyniku magik od razu podaje liczbę oczek na każdej kostce. A cały wynik, oczywiście, to teraz 10(5(2a + 5) + b) + c, czyli 100a + 10b + c + 250. Iluzjonista odejmuje więc 250, a trzy cyfry liczby, którą otrzyma, odpowiadają oczkom na kostkach.

Gry z użyciem kości nie muszą zawierać żadnych elementów losowych. W jednej z takich gier pierwszy gracz wybiera liczbę docelową, na przykład 40. Drugi kładzie na stole jedną kostkę jakąś wybraną ścianką do góry – powiedzmy tą z trzema oczkami. Od tej wartości rozpoczyna się naliczanie sumy bieżącej. Drugi gracz przewraca teraz kostkę o ćwierć obrotu – co tutaj da 1, 2, 5 lub 6 oczek. Wartość, która znajdzie się na górze, dodaje się do sumy bieżącej. Jeśli na przykład drugi gracz przekręci kostkę tak, by pokazała 2, suma ta wyniesie 3 + 2 = 5. Gracze kolejno przewracają kostkę o ćwierć obrotu w dowolną stronę, a suma bieżąca rośnie. Ten, kto pierwszy przekroczy wyznaczoną liczbę docelową, przegrywa.

Istnieje systematyczna metoda analizy takich gier, omówiona szczegółowo w mojej książce Another Fine Math You’ve Got Me Into. Rzecz polega na podzieleniu pozycji w grze na dwie kategorie, „wygrywające” i „przegrywające”, i analizowaniu od końca, w oparciu o następujące dwie zasady:

• Jeśli jakikolwiek ruch z obecnej pozycji prowadzi do pozycji wygrywającej (dla przeciwnika), to obecna pozycja należy do przegrywających.

• Jeśli jakiś ruch z obecnej pozycji prowadzi do pozycji przegrywającej (dla przeciwnika), to obecna pozycja zalicza się do wygrywających.

Na przykład jeśli suma bieżąca wynosi 39, a kostka leży zwrócona do góry polem z jednym oczkiem, to kolejny gracz nie ma wyboru, musi przekroczyć 40, więc jest to pozycja wygrywająca. Żeby faktycznie wygrać, trzeba wykonać odpowiedni ruch.

Najlepiej obliczyć różnicę między sumą bieżącą a wyznaczoną liczbą docelową – w ten sposób otrzymamy „cel faktyczny” obowiązujący od danego etapu. W powyższym przykładzie wynosi on 40 – 39 = 1, a każdy ruch drugiego gracza musi oznaczać przekroczenie tej wartości. Jeśli natomiast na górnym polu są 2 oczka, kiedy celem faktycznym jest 1, to nasz przeciwnik może przewrócić kostkę tak, by na górze znalazło się 1 oczko, i wygrać.

Poniższa tabela przedstawia status różnych stanów gry dla celów faktycznych o wartości od 0 do 25. Po lewej stronie wierszy pokazano stan gry – liczbę oczek na górnej ściance kostki; każda kolumna odpowiada danemu celowi faktycznemu, a w poszczególnych polach albo figuruje „P” oznaczające pozycję przegrywającą, albo ruch wygrywający. Zwróć uwagę, że stan 1 i 6 są de facto takie same, gdyż prowadzą do tych samych czterech możliwych ruchów: 2, 3, 4, 5. To samo dotyczy stanów 2–5 i 3–4. Dlatego tabela ma tylko trzy wiersze.

Zamieściłem tu te tabele, żeby uwypuklić pewną istotną właściwość gry: kolumny 17–25 są takie same jak kolumny 8–16. Ta prawidłowość, kiedy już zacznie zachodzić, musi powtarzać się w nieskończoność, więc kolumny 26–34, 35–43, 44–52 itd. także będą identyczne jak 8–16. A to dlatego, że każdy ruch zmniejsza cel faktyczny najwyżej o 6, więc wartości w danej kolumnie zależą tylko od tych znajdujących się w sześciu kolumnach po jej lewej stronie. Zatem kiedy w bloku sześciu (lub więcej) kolejnych kolumn powtarzają się wartości z poprzedniego bloku, ta prawidłowość będzie zachodzić stale.

Takich powtórzeń należy się spodziewać we wszystkich grach tego rodzaju, ponieważ istnieje tylko pewna skończona liczba możliwych kolumn. Mamy jednak szczęście, że ten powtarzający się blok pojawia się tak wcześnie i jest taki krótki. Podsuwa nam przepis na kompletną i bynajmniej nie intuicyjną zwycięską strategię. Wystarczy odejmować od wybranej liczby docelowej 9, aż po raz pierwszy otrzymamy liczbę z przedziału 0–16. A potem zaglądamy do odpowiedniej kolumny i sprawdzamy, czy to pozycja wygrywająca, czy przegrywająca – jeśli wygrywająca, wykonujemy jeden z zalecanych ruchów.

Przyjmijmy na przykład, że liczba docelowa wynosi 1000. Odejmując wiele razy po 9, dochodzimy do 19, co nadal przewyższa 16, więc docieramy w końcu do 10 i tu się zatrzymujemy. Z kolumny 10 wynika, że zawsze możemy wykonać ruch prowadzący do zwycięstwa. Przy stanie gry 1–6 przewracamy kostkę tak, by na górze znalazło się 5 oczek; przy stanie 2–5 przekręcamy kostkę na 1 oczko; a przy stanie 3–4 – albo na 1 oczko, albo na 5 oczek. Jeśli będziemy tę procedurę powtarzać, w końcu musimy wygrać.

Jeśli masz pecha i zaczynasz z pozycji przegrywającej, trzeba mieć nadzieję, że twój przeciwnik nie zna tej strategii. Zrób dowolny ruch, poczekaj, aż rywal wykona swój, i powtórz obliczenia. Wkrótce powinieneś dojść do pozycji wygrywającej (chyba że zdarzy się jakiś cud), a potem będziesz całkowicie kontrolować grę. Przy umiarkowanie heroicznym wysiłku można nauczyć się na pamięć całej tabelki. Możesz ułatwić sobie zadanie i zapamiętać tylko jeden wygrywający ruch dla każdego stanu gry, zamiast całej listy. Okazuje się, że jeśli zabierzesz się do tego inteligentnie, możesz pominąć wszystkie kolumny po 11., redukując materiał do zapamiętania do ilości mniej więcej możliwej do ogarnięcia.

Inne „kościane” łamigłówki dotyczą kostek zmodyfikowanych, z niestandardową numeracją. Na przykład: jak oznakować dwie kostki, używając tylko liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5 lub 6, tak aby wszystkie wyrzucane sumy oczek od 1 do 12 były jednakowo prawdopodobne? (Rozwiązanie znajdziesz na końcu rozdziału). Być może najbardziej sprzecznym z intuicją zjawiskiem związanym z kośćmi są tzw. kostki nieprzechodnie. Weźmy trzy kostki, A, B i C, ponumerowane w następujący sposób:

A:   3   3   4   4   8   8

B:   1   1   5   5   9   9

C:   2   2   6   6   7   7

Na dłuższą metę B wygrywa z A. Prawdopodobieństwo, że kostką B wyrzucimy wyższą wartość niż kostką A, wynosi 5/9. Także C pokonuje B z prawdopodobieństwem 5/9. Zatem oczywiście C wygrywa z A, prawda? Nie, A pokonuje C w 5 rzutach na 9. Poniższe tabele uzasadniają te twierdzenia: przedstawiają zwycięzcę w każdej parze. Na przykład: jeśli B gra z C, spójrz na drugą tabelę. Na kostce B wypada 5, a na C – 6, a więc C wygrywa. Zatem w kolumnie 5, wierszu 6 wpisano C.

W pierwszej tabeli mamy pięć B i cztery A, więc B pokonuje A z prawdopodobieństwem 5/9, tak jak twierdziłem. W drugiej pięć razy pojawia się C i cztery razy B, zatem prawdopodobieństwo, że C wygra z B, wynosi 5/9. W trzeciej natomiast znajdziemy pięć A i cztery C, więc A zwycięża z C z prawdopodobieństwem 5/9.

Z takim zestawem kostek można zbić fortunę! Pozwól przeciwnikowi wybrać jedną z nich; następnie sam weź tę, która z tamtą wygrywa (na dłuższą metę, z prawdopodobieństwem większym niż 50%). Powtórz całą operację. Zwyciężysz w 55,55% wszystkich gier. Ale to twój rywal ma swobodę wyboru „najlepszej” kostki!

Przyda się tu jednak słówko ostrzeżenia: nie polegaj zbytnio na teorii prawdopodobieństwa, o ile nie określisz bardzo precyzyjnie reguł gry. W swojej cudownej książeczce The Broken Dice Ivar Ekeland przytacza historię o dwóch nordyckich królach, którzy grali w kości, aby zdecydować o losach pewnej spornej wyspy. Król Szwecji wyrzucił dwie szóstki. Napuszył się, twierdząc, że jest to wynik nie do pobicia, więc król Norwegii Olaf może się już poddać. Olaf wymamrotał coś, z czego wynikało, że on także może wyrzucić dwie szóstki, i cisnął kości na stół. Na jednej wypadło sześć oczek; druga pękła na dwa kawałki, jeden z jedynką, drugi z szóstką. W sumie 13! Co pokazuje, że to, co jest możliwe, zależy od tego, jaki model problemu przyjmiemy.

Jeśli ta opowieść jest prawdziwa, król Olaf miał niesłychane szczęście. Paru cyników uważa, że ustawił ten cały przekręt.

Uwagi

Wielu czytelników nadesłało własne wariacje na temat zestawu trzech nieprzechodnich kostek z felietonu z listopada 1997 roku. Moje kości miały następujące pola (każde występuje dwa razy): A: (3,4,8); B: (1,5,9); C: (2,6,7). Wtedy B wygrywa z A, C z B i A z C – zawsze z prawdopodobieństwem 5/9. George Trepal z Gehring na Florydzie zauważył, że te liczby w odpowiednim zestawieniu tworzą kolumny kwadratu magicznego – tablicy liczb, w której wiersze, kolumny i przekątne dają taką samą sumę. W tym przypadku kwadrat ten wygląda następująco:

Co więcej, widać tu ciekawą „dwoistość”: jeśli na ściankach kostek umieści się liczby oczek z wierszy tego kwadratu zamiast z kolumn – A: (8,1,6); B: (3,5,7); C: (4,9,2) – i tu także każde pole pojawia się dwukrotnie, jeśli wolimy sześciościenną kostkę od niekonwencjonalnej trzyściennej, ponownie otrzymamy nieprzechodni zestaw kości, w którym A wygrywa z B, B z C, a C z A z prawdopodobieństwem 5/9.

Co ciekawe, w przypadku takiego kwadratu magicznego

wyniki będą inne. W wierszach A pokonuje B i B pokonuje C z prawdopodobieństwem 6/9, a C zwycięża A z prawdopodobieństwem 5/9. W kolumnach B wygrywa z A, C z B i A z C z prawdopodobieństwem 5/9.

W najlepszym zestawie Trepala – z najmniejszymi liczbami oczek – schemat wygranych to 6/9, 6/9, 5/9, a kostki wyglądają następująco: A: (1,4,4); B: (3,3,3); C: (2,2,5). Zalman Usiskin z Uniwersytetu Chicagowskiego postawił nasuwające się samo pytanie, na które odpowiedział: czy można uzyskać przewagę większą niż 5/9? A dokładniej, jeśli mamy trzy nieprzechodnie, sześciościenne, fałszowane kości, jakie jest największe możliwe prawdopodobieństwo p, dla którego wszystkie trzy pary zapewniają wygraną z prawdopodobieństwem co najmniej p? Mówiąc o „fałszowanych kościach”, mam tu na myśli to, że wszystkie ścianki nie muszą wypadać z równym prawdopodobieństwem. W odpowiedzi pojawia się słynna liczba, zwana złotą:

Załóżmy, że:

A wyrzuca 4 oczka z prawdopodobieństwem ф – 1, zaś 1 oczko z prawdopodobieństwem 2 – ф;

B zawsze wyrzuca 3 oczka;

C wyrzuca 2 oczka z prawdopodobieństwem ф – 1, zaś 5 oczek z prawdopodobieństwem 2 – ф.

Wtedy A wygrywa z B, B z C, a C z A, zawsze z prawdopodobieństwem ф – 1, czyli w przybliżeniu 0,618. To zdecydowanie większa wartość od 5/9 = 0,555 i największa możliwa do uzyskania przewaga.

Fałszowane kości można zastąpić kostkami uczciwymi o bardzo wielu ściankach i otrzymać podobne rezultaty. Za pomocą dwudziestościanu foremnego możemy uzyskać prawdopodobieństwo 16/25 = 0,64 w następujący sposób:

A ma na 12 ściankach 4 oczka, a na 8 – 1 oczko;

B ma 3 oczka na wszystkich 20 ściankach;

C ma 2 oczka na 12 ściankach, na 8 – 5 oczek.

Odpowiedź

Dwie kostki, dla których wszystkie sumy wyrzuconych oczek od 1 do 12 są równie prawdopodobne: jedna musi mieć ścianki 1, 2, 3, 4, 5, 6, a druga 0, 0, 0, 6, 6, 6.

Strony internetowe

Informacje ogólne:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dice

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

Kostki nieprzechodnie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nontransitive_dice

Historia:

http://hometown.aol.com/dicetalk/polymor2.htm

Fałszowane kości:

http://homepage.ntlworld.com/dice-play/

Rozdział 2

W poszukiwaniu wielokątnej prywatności

Niektóre z najtrudniejszych matematycznych zagadek mają swoje źródło w codziennym życiu. Kto by pomyślał, że prosta czynność stawiania płotów może wiązać się z problemami, których do tej pory nikt nie był w stanie rozwiązać?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 3

Zwycięskie połączenia

Niektóre matematyczne gry są naprawdę matematyczne. Nie ma na to lepszego przykładu niż gra hex. Polega na takim rozstawieniu pionków na planszy o wzorze plastra miodu, by połączyć dwie przeciwległe krawędzie. Proste? Heksowi poświęcono całą książkę.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 4

Mistrzowie skoków

Matematycy na całym świecie nie przestają łamać sobie głów nad liczbami pierwszymi. Wszystko wskazuje na to, że najczęstszą różnicą między kolejnymi liczbami pierwszymi jest 6 – z pewnością sprawdza się to w przedziale do mniej więcej biliona. Biorąc pod uwagę tę olbrzymią ilość dowodów „z doświadczenia”, czy mamy prawo wywnioskować, że 6 zawsze jest najczęstszą różnicą kolejnych liczb pierwszych, bez względu na to, jak dużą wartość będą one przyjmować?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 5

Spacery z czworonogami

Rodzaje chodu zwierząt mogą być różne, a wiele z nich odznacza się symetrią. Zaczynamy rozumieć dlaczego. Wszystko sprowadza się do układów sieci komórek nerwowych, kontrolujących poruszanie się zwierząt. Wyjaśnią nam to Tarzan i Jane.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 6

Parkietaż z węzłów

Parkietaże złożone z „kafelków” kwadratowych, prostokątnych, sześciokątnych oraz krzywizn – matematyków oczarowały ich wzory, zadziwiła wszechstronność i zaskoczyła pozorna prostota związanych z nimi pytań, które w istocie okazują się niezwykle trudne. Ale czy przyszły ci kiedyś do głowy kafelki węzłowe?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 7

Podróż do przyszłości, część I: w pułapce czasu

Odkąd H.G. Wells nieco ponad sto lat temu napisał Wehikuł czasu, podróże w czasie stały się dyżurnym tematem w fantastyce naukowej. Od kilkudziesięciu lat temat ten przewija się także w fizyce relatywistycznej. Pomimo wielu paradoksów prawa fizyki w obecnym rozumieniu nie wykluczają podróżowania w czasie. Witamy w Hawkrose & Penking Heavy Engineering.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 8

Podróż do przyszłości, część II: czarne dziury, białe dziury i tunele czasoprzestrzenne

W poprzednim odcinku:

Podróżnik w czasie przybył do zakładów Hawkrose & Penking Heavy Engineering. Jego wehikuł został poważnie uszkodzony, a z powodu wyginięcia słoni naprawa jest niemożliwa. Mimo to firma Hawkrose & Penking może będzie potrafiła mu pomóc. Przybysz dowiedział się o szczególnej teorii względności, w której prędkość światła jest stała.

Ciąg dalszy…

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 9

Podróż do przyszłości, część III: powrót do przeszłości, z odsetkami…

W poprzednim odcinku:

W teorii względności „wehikuł czasu” oznacza tyle, co „zamknięta krzywa czasopodobna”. Znane nam prawa fizyki nie wykluczają istnienia czegoś takiego. Firma Hawkrose & Penking potrafi połączyć czarną i białą dziurę w tunel czasoprzestrzenny. Ale to transmisja materii, a nie podróż w czasie. Prawda?

Ciąg dalszy…

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 10

Zakręcony stożek

Mogłoby się wydawać, że geometria stożków to temat stary jak świat. Wcale nie. Sklej ze sobą dwa stożki podstawami. Przekrój powstałą bryłę na pół wzdłuż. Jeśli stożki mają odpowiedni kształt, otrzymasz kwadrat. Przekręć jedną połowę o kąt prosty i sklej obie części z powrotem. Tak powstaje sferostożek, fascynująca matematyczna zabawka.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 11

Jaki kształt ma łza?

Nasze zmysły czasem nas zwodzą, a to właśnie jeden z takich przypadków. Jaki kształt ma łza? Pewnie się nie zdziwisz, słysząc, że nie jest to kształt łezki. Ale może poczujesz się zaskoczony tym, jak diabelnie skomplikowana okazuje się odpowiedź na to pytanie.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 12

Błąd przesłuchującego

Coraz częściej matematyka ma kontakt z wymiarem sprawiedliwości. Nie, nie zdelegalizowano równań kwadratowych – przykro mi! Za sprawą materiału dowodowego DNA na sale sądowe trafiła teoria prawdopodobieństwa, otwierając tym samym przysłowiową puszkę Pandory. Co więc robią sądy? Próbują wyrzucić matematykę z powrotem.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 13

Krowy w labiryncie

No, nareszcie doszliśmy do krów! Ale żeby je znaleźć, trzeba przejść labirynt. Nie taki zwykły, z żywopłotami, ślepymi zaułkami itp., tylko labirynt logiczny. Potrzebne ci będą dwa ołówki, a twoja droga będzie zależeć od tego, który z nich wybierzesz. Na zachętę na końcu czeka na ciebie krowa.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 14

Problem konika szachowego na prostokątnej planszy

To zagadka licząca sobie co najmniej 1200 lat: jak poruszać się skoczkiem po szachownicy, aby tylko raz stanąć na każdym polu. Mimo że łamały sobie nad nią głowy kolejne pokolenia matematyków, w dalszym ciągu nie rozumiemy wielu związanych z nią kwestii. Nawet prostokątne szachownice nadal skrywają parę tajemnic. Ale na niektóre z najważniejszych pytań znaleziono ostatnio odpowiedzi.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 15

Kocia kołyska – wyzwanie rachunkowe

Potrzebujesz tylko pętli ze sznurka i pomocy przyjaciela, kiedy dwie ręce już nie wystarczą. „Kocia kołyska” to zaledwie jedna z całego mnóstwa figur ze sznurka, spotykanych w wielu kulturach. Ale co to ma wspólnego z matematyką?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 16

Szklane butelki Kleina

Topologia to geometria gumy, ale większość matematyków woli tradycyjne narzędzia w postaci tablicy i kredy – jeśli akurat nie używa superkomputera. Alan Bennett wybrał inne podejście. Lubi robić różne rzeczy ze szkła. Udowadnia nawet w ten sposób twierdzenia.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 17

Cementujące związki

Często wydaje się, że sztuka i nauka znajdują się na przeciwległych biegunach, ale co pewien czas jakiemuś artyście udaje się zawrzeć istotne idee naukowe w obrazie, tańcu lub rzeźbie. Podstawą dla dziwnych, księżycowych pejzaży Jonathana Callana są fizyczne właściwości cementu. Ale do matematyki stąd niedaleko.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 18

W plątaninie węzłów

Topologiczne ujęcie węzłów pomija bardziej praktyczne aspekty, takie jak grubość sznurka czy istnienie tarcia. Ich uwzględnienie daje początek nowej teorii, opartej na wiązaniu węzłów na prawdziwych linach.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 19

Najdoskonalsze kwadraty magiczne

Kombinatoryka to sztuka liczenia elementów bez ich wymieniania – zazwyczaj dlatego, że takie listy byłyby za duże, żeby zmieścić się w obecnym wszechświecie. Jednym z najważniejszych otwartych problemów w matematyce rekreacyjnej jest liczenie kwadratów magicznych danej wielkości. Znamy już rozwiązanie dla ważnej klasy takich kwadratów.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 20

To się nie da!

Odkrywcy trzysiecznej kąta i kwadratury koła zwykle się denerwują, kiedy matematycy odsyłają ich prace, mówiąc, że (a) są błędne oraz (b) nie, nie przeczytali ich, żeby znaleźć błąd. Faktycznie, jest to denerwujące. Ale także zupełnie uczciwe i całkowicie logiczne. W matematyce można przeprowadzić dowód negatywny.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 21

Taniec z dwunastościanami

Sposobów na wykorzystanie matematyki, a także na jej nauczanie, jest wiele. Ale takie podejście nie przyszło mi do głowy, dopóki nie opowiedzieli mi o nim jego twórcy. W przeciwieństwie do większości matematycznych rekreacji, ta ma charakter towarzyski. Czasem potrzeba do niej aż dziesięciu osób. Chodzi o taniec.

Dostępne w pełnej wersji

Bibliografia

Dostępne w pełnej wersji