Spis treści

Karta redakcyjna

Motto

Druga szuflada od góry...

Osobliwe obliczenia. Część I. 

Rok do góry nogami

Lichy los Lilavati

Szesnaście zapałek

Połykanie słoni

Koło magiczne

Dodgem

Magia cyfrowa

Sekrety liczydła

Skarb Rudobrodego

Heksafleksagony

Kto wynalazł znak równości?

Gwiazdy i wycinanki

Nad liczbami Babilonu

Sześciokąty magiczne

Problem syrakuzański (Collatza-Ulama)

Dylemat jubilera

O czym nie wiedział Seamus

Dlaczego kromka zawsze spada masłem do dołu

Paradoks kota z kromką posmarowaną masłem

Pies Lincolna

Kostki Chudyniego

Elastyczny wielościan

Ale co z harmoniami?

Hipoteza miecha

Cyfrowe sześciany

Nic, co by silnie przemawiało do matematyka

Jak obliczyć pole powierzchni strusiego jaja?

Od słowa do słowa

Duże liczby

Tonący matematyk

Matematyczni piraci

Twierdzenie o zaczesaniu sfery

Kubki i kanty

Tajne szyfry

Kiedy 2 + 2 = 0

Tajne szyfry, które można ujawnić publicznie

Magia kalendarzowa

Matematyczne koty

Reguła jedenastu

Mnożenie cyfrowe

Powszechnie wiadomo

Zagadka o marynowanych cebulkach

Zgadnij, jaka to karta

A teraz cała talia

Halloween = Boże Narodzenie

Egipskie ułamki

Zachłanny algorytm

Jak przesunąć stół

Prostokątura kwadratu

Newton w ujęciu Byrona

Krzyżyk wskazuje miejsce

Co to jest antymateria?

Jak zajrzeć do wnętrza

Matematyków rozmyślania nad matematyką

Owce Wittgensteina

Krzywa wieża z pizzy

Słynne babeczki z cukierni Pitagoras

Ramka karo

Przelewki

Rogata sfera Alexandra

Święta zasada maty

Doskonale zasobne, niekompletnie zaprzyjaźnione

Ćwiczenia w strzelaniu do tarczy

To tylko taka faza

Techniki dowodowe

Po namyśle

Jak Dudeney załatwił Loyda

Naciąganie mediów

Rezonans orbitalny

Osobliwe obliczenia. Część II

Co jest większe?

Niekończące się sumy

Najbardziej szokujący dowód

Colorado Smith i Słoneczna Świątynia

Dlaczego nie mogę dodawać ułamków tak, jak je mnożę?

Ciąg Fareya

Wspólna pula zasobów

Samopowtarzające się wielokąty

Media na torusie

Hipoteza Catalana

Skąd się wziął symbol pierwiastka kwadratowego?

Twierdzenie o kanapce z szynką

Krykiet na planecie Grumpius

Człowiek, który kochał tylko liczby

Brakujący kawałek

Drugi kokos

Paradoksalny Zenon

Pięć hiszpańskich dolarów

Pi z nieba

Dziwny przypadek psa

Matematyka jest trudna

Dziwny fakt dotyczący egipskich ułamków

Twierdzenie o czterech kolorach

Wąż wiecznych ciemności

Jakie są szanse?

Krótka historia matematyki

Najkrótszy żart matematyczny

Szwindel z globalnym ociepleniem

Jakie to karty?

Ile to jest 0,999...?

Duchy wielkości, które odeszły

Niezły zarobek

Zagadka dla Leonarda

Liczby kongruentne

Przytomny inaczej

O czasie

Czy unikam kangurów?

Butelka Kleina

Księgowanie cyfr

Mnożenie za pomocą linijek

Dopóki patrzę na wschód słońca

Matematyczne koty raz jeszcze

Kwadrat magiczny liczb pierwszych z ramką

Twierdzenie Greena-Tao

Inwersor Peaucelliera

Lepsze przybliżenie π

Tylko dla maniaków różniczek i całek

Posąg Pallas Ateny

Osobliwe obliczenia. Część III

Uzupełnij kwadrat

Ciąg „patrz i mów”

Niematematyków rozmyślania o matematyce

Hipoteza Eulera

Milionowa cyfra

Pirackie ścieżki

Pociągi, które mijają się na bocznicy

Proszę wyrażać się jasno

Ciągi, kwadraty i sumy cyfr

Lista przebojów Hilberta

Sztuczka z zapałkami

Który szpital zamknąć?

Jak wywrócić sferę na lewą stronę

Krojenie tortu

Skąd się wziął symbol liczby pi?

Sala luster

Obóz grecki i trojański

Przesuwanie monet

Nie do pobicia?

Zagadka Euklidesa

Paradoks wykształconej małpy

Małpy przeciwko ewolucji

Uniwersalny list z referencjami

Węże i żmije

Potężna krzyżówka liczbowa

Magiczne chusteczki

Symetria – przewodnik blefiarza

Cyfrowy wiek raz jeszcze

Nieskończone liczby pierwsze

Stulecie w ułamkach

I wszystko jasne...

Życie, rekurencja i cała reszta

Fałszywe, niesformułowane, nieudowodnione

Dowód, że 2 + 2 = 4

Krojenie pączka

Liczba kontaktowa

Wstający bączek

Kiedy węzeł nie jest zawęźlony?

Skąd się wziął symbol silni

Juniper Green

Metadowcip matematyczny

Poza czwarty wymiar

Warkocz Slade’a

Jak unikać sąsiadów?

Śmiały krok w karierze

Toczące się koło nie nabiera prędkości

Gdzie umieścić punkty?

Szachy we Flatlandii

Nieskończona loteria

Statki, które się mijają...

Największa liczba to 42

Przyszła historia matematyki

Specjalny składzik sprytnych rozwiązań  stymulujących suplementów profesora Stewarta

Przypisy

Tytuł oryginału: PROFESSOR STEWART’S HOARD OF MATHEMATICAL TREASURES

Opieka redakcyjna: KATARZYNA KRZYŻAN-PEREK

Konsultacja matematyczna: STEFAN TURNAU

Redakcja: ALEKSANDRA SZCZEPAN

Korekta: ETELKA KAMOCKI, EWA KOCHANOWICZ, BARBARA TURNAU

Projekt okładki i stron tytułowych ROBERT KLEEMANN

Redaktor techniczny: ROBERT GĘBUŚ

Copyright © Joat Enterprises 2009, 2010
All rights reserved
© Copyright for the Polish translation by Agnieszka Sobolewska, 2012
© Copyright for this edition by Wydawnictwo Literackie, 2012

Wydanie drugie

ISBN 978-83-08-07721-4

Wydawnictwo Literackie Sp. z o.o., 2021
ul. Długa 1, 31-147 Kraków
bezpłatna linia telefoniczna: 800 42 10 40
księgarnia internetowa: www.wydawnictwoliterackie.pl
e-mail: ksiegarnia@wydawnictwoliterackie.pl
fax: (+48 12) 430 00 96
tel. (+48 12) 619 27 70

Konwersja: eLitera s.c.

Druga szuflada od góry...

Kiedy miałem czternaście lat, zacząłem zbierać matematyczne ciekawostki. Robię to już od niemal pół wieku, a moja kolekcja dawno przestała się mieścić w jednym zeszycie. Kiedy więc wydawca zaproponował opracowanie wyboru matematycznych rozmaitości, materiału mi nie brakowało. W efekcie powstał Gabinet matematycznych zagadek.

Książka ukazała się w 2008 roku, a wraz ze zbliżającym się Bożym Narodzeniem pokonała prawo grawitacji. A może zaczęła przestrzegać prawa lewitacji. W każdym razie w drugi dzień świąt wskoczyła na 16. miejsce znanej krajowej listy bestsellerów, a pod koniec stycznia wspięła się na miejsce 6. Matematyczny poradnik znalazł się w towarzystwie książek Stephenie Meyer, Baracka Obamy, Jamiego Olivera i Paula McKenny.

Było to oczywiście zupełnie niemożliwe: wszyscy wiedzą, że nie ma aż tylu ludzi interesujących się matematyką. Albo moi krewni kupowali mnóstwo egzemplarzy, albo trzeba by zrewidować tę mądrość ludową. A potem dostałem e-mail od wydawcy z pytaniem, czy są jakieś perspektywy na kontynuację, i pomyślałem sobie: „Mój nagle słynny gabinet nadal pęka w szwach od smakowitych kąsków, więc czemu nie?”. Druga część Gabinetu matematycznych zagadek wyszła z mroków szuflad na jasne światło dnia.

Gabinet. Część II to właśnie to, czego wam trzeba, by umilić sobie czas na bezludnej wyspie. Tak jak w przypadku poprzedniej książki możecie zacząć w dowolnym miejscu. Właściwie można by je obie połączyć i nadal rozpocząć lekturę, gdzie się chce. Sposoby czytania, jak stwierdziłem wcześniej i co z całą stanowczością podtrzymuję, powinny być różnorodne. Nie muszą trzymać się żadnego ustalonego, logicznego porządku. Wręcz nie powinny, chociażby dlatego, że takiego porządku nie ma. Jeśli chcę umieścić zagadkę wymyśloną ponoć przez Euklidesa między historyjką o skandynawskich królach grających o pewną wyspę w kości a obliczeniem prawdopodobieństwa, że małpy wystukają losowo na maszynie wszystkie dzieła Szekspira, to dlaczego by nie?

Żyjemy w świecie, w którym coraz trudniej znaleźć czas na systematyczne analizowanie długich i skomplikowanych wywodów. To jednak nadal najlepszy sposób na to, by pozostać dobrze poinformowanym – i wcale go nie kwestionuję. Sam nawet próbuję go stosować, o ile świat mi pozwala. Kiedy jednak taka naukowa metoda nie skutkuje, istnieje alternatywa, w przypadku której wystarczy zaledwie parę minut „z doskoku”. Najwyraźniej wielu z was przypadła ona do gustu, stąd więc odsłona druga. Jak powiedział pewien dziennikarz radiowy o Gabinecie matematycznych zagadek (życzliwie, jak sądzę): „To chyba idealna książka do czytania w toalecie”. Chociaż Avril i ja staramy się jednak nie zostawiać tam książek, bo nie chcemy o pierwszej w nocy wyciągać z łazienki gościa, który nie może się oderwać od Wojny i pokoju. I nie chcemy ryzykować, że sami tam utkniemy.

Dziennikarz miał jednak rację. Gabinet. Część II, tak jak jego poprzednik, to idealna książka do pociągu, samolotu czy na plażę. Albo do przeglądania w drugi dzień świąt Bożego Narodzenia, w sam raz jako przerywnik między meczem a serialem.

Gabinet ma być zabawą, nie pracą. To nie egzamin, nie znajdziecie tu okienek do zaznaczania odpowiedzi. Nie musicie się przygotowywać. Po prostu zabierzcie się do lektury.

Niektóre problemy w naturalny sposób układają się w spójne sekwencje, więc umieściłem je obok siebie, a przedstawione wcześniej zagadnienia czasem rzucają światło na te późniejsze. Jeśli więc natkniecie się na terminy, które nie są wyjaśnione, to prawdopodobnie omówiłem je wcześniej. Chyba że uznałem, iż nie wymagają wyjaśnienia, albo o nich zapomniałem. Przerzućcie szybko poprzednie strony, szukając oświecenia. Jeśli będziecie mieć szczęście, może je nawet znajdziecie.

Strona z mojego pierwszego zeszytu matematycznych ciekawostek.

Kiedy grzebałem w moim archiwum, wybierając nowe materiały do Gabinetu, podzieliłem – na własny użytek – jego zawartość według różnych kategorii: zagadki, gry, modne słówka, humoreski, najczęściej zadawane pytania, anegdoty, wyliczanki, niesamowitości, faktoidy (niesprawdzone informacje spopularyzowane przez media), żarty, ciekawostki, paradoksy, folklor, tajemnice itd. Zagadki zostały pogrupowane w podkategorie (tradycyjne, logiczne, geometryczne, liczbowe itd.), a wiele kategorii częściowo pokryło się ze sobą. Myślałem o tym, żeby dołączyć do haseł symbole pokazujące, co jest czym, ale byłoby ich za dużo. Parę wskazówek może się jednak przydać.

Zagadki można łatwo odróżnić od większości innych haseł, bo na końcu mają odnośnik do rozwiązania: „Odpowiedź na stronie...”. Niektóre są trudniejsze od pozostałych, ale żadna nie jest szczególnie skomplikowana. Odpowiedź warto przeczytać, nawet – czy raczej zwłaszcza – jeśli nie bierzecie się z problemem za bary. Bardziej jednak docenicie rozwiązanie, jeśli najpierw spróbujecie je samodzielnie znaleźć, nieważne, jak szybko się poddacie. Niektóre zagadki są wplecione w dłuższe opowieści; nie znaczy to, że są one trudniejsze, a jedynie że lubię opowiadać historie.

Prawie wszystkie zagadnienia okażą się przystępne dla każdego, kto zajmował się trochę matematyką w szkole i nadal się nią interesuje. Najczęściej zadawane pytania dotyczą właśnie rzeczy, których uczyliśmy się na lekcjach. Dlaczego ułamki zwykłe dodajemy inaczej, niż je mnożymy? Jaką wartość ma ułamek okresowy 0,(9)? Ludzie często zadają takie pytania, a ta książka wydała mi się dobrą okazją, by wyjaśnić, co za nimi stoi. To zaś nie zawsze okazuje się tym, czego można by się spodziewać, a w jednym przypadku – nie tym, czego ja się spodziewałem, kiedy zaczynałem pisać na ten temat, a traf chciał, że dostałem e-mail, dzięki któremu zmieniłem zdanie.

Szkolna matematyka stanowi jednak tylko drobną cząstkę znacznie większego przedsięwzięcia, obejmującego swym zasięgiem tysiąclecia kultury człowieka oraz całą planetę. Matematyka ma podstawowe znaczenie właściwie dla wszystkiego, co wpływa na nasze życie – od telefonów komórkowych i medycyny po przeciwdziałanie zmianom klimatycznym – i rozwija się szybciej niż kiedykolwiek wcześniej. Ale zwykle odbywa się to za kulisami, więc łatwo założyć, że nie dzieje się wcale. Dlatego teraz poświęciłem nieco więcej miejsca dziwnym lub niezwykłym zastosowaniom matematyki, zarówno w życiu codziennym, jak i w najnowszej nauce. Nieco mniej natomiast – wielkim problemom czystej matematyki, głównie dlatego, że w Gabinecie omówiłem kilka tych naprawdę smakowitych.

Znajdziecie tu bardzo różne zagadnienia, od obliczania pola powierzchni strusiego jaja po problem zagadkowej przewagi materii nad antymaterią tuż po Wielkim Wybuchu. Wyjaśnię także kilka kwestii historycznych, jak cyfry babilońskie, liczydło i egipskie ułamki. Historia matematyki liczy sobie co najmniej 5000 lat, a odkrycia dokonane w dalekiej przeszłości są do dziś istotne, bo rozwój tej dziedziny opiera się na jej dawnych sukcesach.

Niektóre hasła są dłuższe od pozostałych – to minieseje na ważne tematy, o których mogliście usłyszeć w wiadomościach, jak czwarty wymiar, symetria czy wywracanie sfery na drugą stronę. Te zagadnienia nie tyle wykraczają poza szkolną matematykę, ile idą w zupełnie innym kierunku. W matematyce kryje się znacznie więcej, niż większości z nas się wydaje. Wyjaśniam także parę kwestii technicznych w uwagach, które znajdziecie wśród odpowiedzi. Uznałem, że są to sprawy, o których trzeba napisać i które jednocześnie czytelnik może łatwo pominąć. W odpowiednich miejscach zamieściłem odnośniki do Gabinetu.

Czasem możecie się natknąć na skomplikowanie wyglądający wzór – chociaż większość z nich została zepchnięta do uwag na końcu książki. Jeśli nie cierpicie wzorów, pomińcie te fragmenty. Zamieściłem je tu po to, by pokazać wam, jak wyglądają, a nie dlatego, że będziecie musieli zaliczyć test. Niektórzy z nas lubią wzory – mogą one być bardzo ładne, chociaż przyznam, że potrzeba czasu, aby się w nich rozsmakować. Nie chciałem wymigiwać się od podawania kluczowych szczegółów; coś takiego strasznie mnie irytuje, jak te programy telewizyjne, w których trują o tym, jak fascynujące jest jakieś odkrycie, ale w końcu nie mówią, na czym ono właściwie polega.

Mimo dość przypadkowego układu tematycznego drugiej części Gabinetu prawdopodobnie najlepiej czytać go w najprostszy sposób: zacząć od pierwszej strony i przesuwać się w kierunku ostatniej. W ten sposób nie ryzykujecie, że przeczytacie tę samą stronę sześć razy, pomijając coś znacznie ciekawszego. Nie powinniście jednak się krępować i od razu przechodzić do następnego hasła, kiedy tylko poczujecie, że pomyłkowo zawędrowaliście do niewłaściwej szuflady.

Nie jest to jedyna możliwa metoda lektury. Przez znaczną część swojego życia zawodowego czytałem książki matematyczne, zaczynając od końca i wertując strony do początku, aż znalazłem coś, co wyglądało interesująco. Następnie cofałem się jeszcze bliżej początku, aż znalazłem wyjaśnienie specjalistycznych terminów, podstawowych dla zrozumienia danego zagadnienia, a potem czytałem już w normalnym kierunku, od przodu do tyłu, żeby się dowiedzieć, o co tak naprawdę chodzi.

Mnie to odpowiada. Wy możecie woleć bardziej konwencjonalne podejście.

Ian Stewart

Coventry, kwiecień 2009

Osobliwe obliczenia. Część I

Weź kalkulator i wykonaj działania:

(8 × 8) + 13

(8 × 88) + 13

(8 × 888) + 13

(8 × 8888) + 13

(8 × 88888) + 13

(8 × 888888) + 13

(8 × 8888888) + 13

(8 × 88888888) + 13

[ Sprawdź odpowiedź ]

Rok do góry nogami

Niektóre cyfry do góry nogami wyglądają (prawie) tak samo: 0, I, 8. Dwie inne mają taką właściwość, że jedna po odwróceniu zmienia się w drugą: 6, 9. Pozostałe, czyli 2, 3, 4, 5, 7, wcale nie wyglądają jak cyfry, kiedy się je postawi na głowie. (No owszem, można zapisać 7 z zawijasem i wtedy po odwróceniu będzie wyglądać jak 2, ale proszę tego nie robić). Rok I69I po odwróceniu do góry nogami odczytamy tak samo – nadal jako rok I69I.

Który rok z już minionych był ostatnim mającym taką właściwość?

Który rok w przyszłości będzie następnym mającym taką właściwość?

[ Sprawdź odpowiedź ]

Lichy los Lilavati

Jednym z wielkich matematyków starożytnych Indii był Bhaskara, „Nauczyciel”, który urodził się w 1114 roku. Właściwie był astronomem: w jego kulturze matematyka stanowiła przede wszystkim narzędzie astronomii, nie była odrębną dyscypliną. Do najsłynniejszych dzieł Bhaskary należy Lilavati. Wiąże się z nim taka oto historia.

Lilavati

Według Fyziego, nadwornego poety władcy Mogołów Akbara, Lilavati była córką Bhaskary. Była to panna na wydaniu, więc Bhaskara postawił jej horoskop, żeby ustalić najbardziej pomyślną datę ślubu. (Jeszcze w epoce renesansu wielu matematyków zarabiało na życie, sporządzając horoskopy). Bhaskara, który najwyraźniej był też trochę showmanem, wpadł, jak mniemał, na znakomity pomysł, jak dodać swej prognozie dramatyzmu. Wywiercił otwór w czarce, którą włożył do misy z wodą – naczynie miało zatonąć, kiedy nadejdzie właściwy moment.

Niestety, niecierpliwa Lilavati wciąż pochylała się nad misą w nadziei, że czarka zatonie. Z jej sukni odczepiła się perła, wpadła do czarki i zablokowała otwór. Naczynie więc nie zatonęło, a biedna Lilavati nigdy nie wyszła za mąż.

Żeby pocieszyć córkę, Bhaskara napisał dla niej podręcznik matematyki.

No dzięki, tato.

Szesnaście zapałek

Z szesnastu zapałek ułożono pięć identycznych kwadratów.

Przekładając dokładnie dwie zapałki, zmniejsz liczbę kwadratów do czterech. Trzeba wykorzystać wszystkie zapałki, a każda powinna stanowić część jednego z kwadratów. Wszystkie kwadraty muszą być tej samej wielkości.

Pięć kwadratów ułożonych z szesnastu zapałek.

[ Sprawdź odpowiedź ]

Połykanie słoni

Słonie zawsze noszą różowe spodnie.

Każde stworzenie jedzące miód potrafi grać na kobzie.

Wszystko, co łatwo połknąć, je miód.

Żadne stworzenie noszące różowe spodnie nie potrafi grać na kobzie.

Zatem:

Słonie łatwo połknąć.

Czy ta dedukcja jest prawidłowa, czy nie?

[ Sprawdź odpowiedź ]

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki