Albert Einstein
Istota teorii względności

Tytuł oryginału
The Meaning of Relativity

ISBN

Copyright © 1922, 1945, 1950, 1953 by Princeton University Press
Copyright © 1956 by the Estate of Albert Einstein
Copyright renewed © 1984 by the Hebrew University of Jerusalem
Introduction © 2005 by Brian Greene
Copyright © for the Polish translation by Zysk i S-ka Wydawnictwo s.j., Poznań 2021

Redaktor prowadzący
Dariusz Wojtczak

Konsultacja naukowa
dr Tomasz Lanczewski

Adiustacja tekstu
Zofia Domańska

Projekt graficzny okładki
Urszula Gireń

Wydanie I w tej edycji

Zysk i S-ka Wydawnictwo
ul. Wielka 10, 61-774 Poznań
tel. 61 853 27 51, 61 853 27 67
dział handlowy, tel./faks 61 855 06 90
sklep@zysk.com.pl
www.zysk.com.pl

Wszelkie prawa zastrzeżone. Niniejszy plik jest objęty ochroną prawa autorskiego i zabezpieczony znakiem wodnym (watermark).

Uzyskany dostęp upoważnia wyłącznie do prywatnego użytku. Rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci bez zgody właściciela praw jest zabronione.

Konwersję do wersji elektronicznej wykonano w Zysk i S-ka Wydawnictwo.

WSTĘP Brian Greene

W ciągu jednej dekady Albert Einstein odkrył szczególną, a następnie ogólną teorię względności, tym samym usuwając w cień koncepcje przestrzeni i czasu, które nasz gatunek uznawał za słuszne od tysięcy lat. Mimo to wielu z nas, przynajmniej intuicyjnie, nadal pozostaje wiernym tym obalonym koncepcjom. Traktujemy przestrzeń jako nieruchomą scenę, na której rozgrywają się wydarzenia w kosmosie. Wyobrażamy sobie, że czas jest mierzony przez uniwersalny zegar, tykający w identyczny sposób tutaj na Ziemi, na Marsie, w Galaktyce Andromedy i w każdym innym miejscu, bez względu na zróżnicowanie środowisk i kontekstów fizycznych. Dla większości z nas niezmienna wieczność przestrzeni i czasu jest jedną z najbardziej podstawowych cech istnienia. Lecz tego rodzaju przekonania należą do wizji przedeinsteinowskiej, która jest nie tylko teoretycznie nie do utrzymania, ale też – jak potwierdzają liczne eksperymenty – ewidentnie błędna.

Zawodowemu fizykowi łatwo przyzwyczaić się do teorii względności. Chociaż jej równania były kiedyś zaskakującymi stwierdzeniami sformułowanymi w języku matematyki, obecnie fizycy umieścili teorię względności w matematycznych podstawach fizyki fundamentalnej. W tym schemacie prawidłowo sformułowane równania matematyczne w pełni uwzględniają teorię względności, dzięki czemu opanowując kilka reguł matematycznych, można osiągnąć techniczną biegłość w śledzeniu odkryć Einsteina. Niemniej, choć teoria względności została matematycznie uporządkowana, ogromna większość fizyków z pewnością powiedziałaby, że nadal „nie czuje teorii względności”. Ja sam na przykład doskonale wiem, jak łatwo ześlizgnąć się w dobrze znane tory myślenia newtonowskiego, w którym przestrzeń i czas są błędnie traktowane jako oddzielne, niezależne i niezmienne byty. Ale mogę również zapewnić o niesłabnącym poczuciu podziwu, jakiego doświadczam za każdym razem, gdy zwracam uwagę na szczegóły ukryte w matematyce przystosowanej do opisu relatywistycznego i staję w obliczu prawdziwego znaczenia teorii względności. Przestrzeń i czas tworzą arenę rzeczywistości. Epokowa zmiana na tej arenie spowodowana przez teorię względności to nic innego jak przewrót w naszej podstawowej koncepcji rzeczywistości.

Cóż więc mówi ta teoria?

W 1905 roku w niemieckim czasopiśmie „Annalen der Physik” Einstein opublikował artykuł pod skromnym tytułem O elektrodynamice ciał w ruchu, opisujący to, co obecnie nazywamy szczególną teorią względności. Praca ta wyrosła z intelektualnych zmagań, w które był zaangażowany od szesnastego roku życia. Dotyczyły one matematycznego opisu ruchu światła, sformułowanego przez Jamesa Clerka Maxwella w latach sześćdziesiątych XIX wieku. Krótko mówiąc, w przeciwieństwie do tego, czego można by się spodziewać na podstawie równań Newtona (a także zdroworozsądkowego myślenia), równania Maxwella (odpowiednio zinterpretowane) pokazały, że niezależnie od tego, czy poruszamy się w kierunku nadbiegającego promienia świetlnego, czy w przeciwną stronę, prędkość zbliżania się wiązki będzie dokładnie taka sama, jakbyśmy stali w miejscu – ani trochę większa, ani mniejsza. Nad tą wyraźną stałością prędkości światła łamały sobie głowę najtęższe umysły naukowe końca XIX i początku XX wieku, bo chociaż wyłoniła się ona z równań i została potwierdzona przez coraz dokładniejsze pomiary doświadczalne, wydawała się po prostu nie mieć sensu. Jak prędkość światła może nie być większa, jeśli biegniemy w kierunku zbliżającej się wiązki światła? Jak prędkość światła może nie być mniejsza, jeśli przed nią uciekamy? To właśnie w tym miejscu Einstein dokonał epokowej zmiany. Prędkość jest miarą przebytej odległości podzielonej przez czas trwania ruchu, a więc jest ściśle związana z pojęciami przestrzeni i czasu. Einstein uważał zaś, że przestrzeń i czas – w przeciwieństwie do intuicyjnie oczywistego opisu Newtona – nie są stałe i niezmienne. Okazują się płynne i plastyczne. Twierdził, że przestrzeń i czas dostosowują się do siebie w taki sposób, by zawsze utrzymać stałą wartość prędkości światła – niezależnie od ruchu źródła światła lub obserwatora.

W praktyce oznacza to, że jeśli zmierzymy długość obiektu – samochodu, samolotu, czegokolwiek innego – będącego w ruchu, uzyskany wynik będzie mniejszy, niż gdyby obiekt był nieruchomy. A jeśli będziemy obserwować zegar w ruchu, przekonamy się, że tempo jego tykania jest mniejsze niż identycznego zegara, który pozostaje nieruchomy. Z grubsza rzecz biorąc, w przypadku ciała w ruchu odstępy przestrzenne kurczą się, a czas zwalnia. Te niezwykłe cechy przestrzeni i czasu pozostawały w ukryciu do 1905 roku, bo choć efekty te są rzeczywiste, okazują się niezauważalnie małe, z wyjątkiem sytuacji, gdy prędkość zbliża się do prędkości światła. Potrzeba było geniuszu Einsteina, aby wyjść poza codzienne spostrzeżenia i ujawnić prawdziwy charakter przestrzeni i czasu.

Odkrycie ogólnej teorii względności wyrosło na glebie szczególnej teorii względności, ale zajęło Einsteinowi dodatkowe dziesięć lat. Po raz kolejny głównym bodźcem dla niego był rażący konflikt, który dostrzegł, gdy uważnie przyjrzał się wcześniejszym wnioskom Newtona. W tym przypadku największym problemem była siła grawitacji, a zwłaszcza to, jak szybko może ona wywierać wpływ. Zgodnie ze szczególną teorią względności nic – żaden obiekt, sygnał czy informacja – nie może podróżować z jednego punktu we Wszechświecie do drugiego z prędkością większą niż prędkość światła. Tymczasem Einstein zdawał sobie sprawę, że według uniwersalnego prawa powszechnego ciążenia Newtona masywne ciało, takie jak Słońce, przyciąga grawitacyjnie inne obdarzone masą ciała, takie jak planety, w sposób natychmiastowy. Według Newtona gdyby Słońce zmieniło swoją masę lub położenie, od razu zauważylibyśmy tę zmianę, ponieważ przyciąganie grawitacyjne Słońca wywierane na Ziemię natychmiast uległoby zmianie. A natychmiastowa zmiana to taka, która znacznie przekracza ograniczenie prędkości wyznaczone przez światło. Motywacja Einsteina do poszukiwania nowej teorii grawitacji nie wynikała zatem z konfliktu między równaniami Newtona a danymi eksperymentalnymi, ale z konfliktu między Newtonowskim opisem grawitacji a szczególną teorią względności. Dla teoretyka, jakim był Einstein, teoretyczna niespójność może być równie ważna jak rozbieżność wynikająca z obserwacji eksperymentalnych.

Na rozwiązanie tego konfliktu trzeba było trochę poczekać. W 1912 roku, po około pięciu latach rozmyślań, Einstein napisał do swego przyjaciela Arnolda Sommerfelda, że „w porównaniu ze zrozumieniem grawitacji szczególna teoria względności była zaledwie dziecinną zabawą”. Mimo to Einstein zdecydowanie trzymał się sprawdzonego wcześniej sposobu rozumowania. Jego podejście polegało na zrozumieniu mechanizmu działania grawitacji – w jaki sposób Słońce, oddalone o jakieś 150 milionów kilometrów, wpływa na ruch Ziemi? Nigdy nie styka się ono z naszą planetą, więc jak to się dzieje, że siła, którą powszechnie nazywamy grawitacją, jest przekazywana na tak ogromne odległości w praktycznie pustej przestrzeni? Jest to zagadka, z której Newton zdawał sobie sprawę, zauważając w swoich Principiach, że nie był w stanie wymyślić sposobów przenoszenia wpływu grawitacyjnego – i że pozostawia ten problem „rozwadze czytelnika”. Wielu czytelników bez wątpienia zignorowało to zalecenie i kontynuowało lekturę, lecz Einstein do nich nie należał. Był gotów podjąć to dwustuletnie wyzwanie w nadziei, że jeśli zrozumie, jak naprawdę działa grawitacja, to będzie mógł rozstrzygnąć konflikt między opisem grawitacji przez Newtona a ograniczeniem prędkości określonym przez szczególną teorię względności.

Nadzieja Einsteina okazała się uzasadniona. W 1915 roku przedstawił on ogólną teorię względności, w której określił samą strukturę czasoprzestrzeni jako ośrodek przenoszący siłę grawitacji. Einstein twierdził, że tak samo jak duży kamień leżący na trampolinie powoduje zakrzywienie materiału – i w ten sposób wpływa na ruch kulki toczącej się po powierzchni trampoliny – duże ciało astrofizyczne (Słońce, Ziemia, gwiazda neutronowa) zawieszone w czasoprzestrzeni powoduje zakrzywienie struktury kosmosu – i w ten sposób wpływa na ruch innych ciał poruszających się w pobliżu. Gdy Ziemia krąży wokół Słońca, zgodnie z ogólną teorią względności toczy się wzdłuż zagłębienia w zakrzywionej czasoprzestrzeni wywołanego obecnością Słońca.

Była to oszałamiająca propozycja. Za pomocą szczególnej teorii względności Einstein wykazał, że kosmiczne rusztowanie nie może zostać rozebrane na sztywne, powszechnie akceptowane elementy przestrzeni i czasu. Korzystając z ogólnej teorii względności, twierdził teraz, że kształt kosmicznego rusztowania reaguje na obecność materii lub energii – a z kolei kształt czasoprzestrzeni wpływa na to, jak poruszają się inne obiekty. Według Einsteina przestrzeń i czas są uczestnikami ewolucji Wszechświata.

Propozycja, która tak radykalnie kwestionuje wcześniejsze koncepcje, wymaga silnego wsparcia eksperymentalnego. Dzięki swej podstawowej formule matematycznej, która wiele zawdzięcza rozważaniom Bernharda Reimanna, ogólna teoria względności szczegółowo przewiduje, w jaki sposób obiekty poruszają się pod wpływem siły grawitacji (czyli jak krzywizna czasoprzestrzeni wpływa na ruch obiektów). Kiedy te przewidywania oraz teorię grawitacji Newtona porówna się z obserwacjami doświadczalnymi, wnioski Einsteina zawsze wydają się przynajmniej trochę dokładniejsze, potwierdzając prawo do zastąpienia teorii Newtona, jakie rości sobie ogólna teoria względności. I co najważniejsze, kiedy Einstein obliczył prędkość, z jaką odkształcenia i krzywizny przemieszczają się w przestrzeni – czyli prędkość grawitacji w jej nowej formule – odpowiedź, którą otrzymał, była w pełni satysfakcjonująca. W przeciwieństwie do teorii Newtona, w której grawitacja rzekomo wywiera siłę natychmiast na dowolną odległość, w ogólnej teorii względności siła ciążenia przemieszcza się dokładnie z prędkością światła, w pełnej zgodności z główną zasadą szczególnej teorii względności, że nic nie może się poruszać szybciej od prędkości światła.

Einstein opublikował ogólną teorię względności w 1916 roku, prawdopodobnie najważniejszym roku dla naszego rozumienia przestrzeni i czasu. W ramach ogólnej teorii względności szczególna teoria względności odgrywała rolę przypadku szczególnego – przypadku, w którym rozważa się przestrzeń i czas przy braku tła rozkładu materii i energii, czyli przestrzeń i czas przy braku grawitacji. Einstein odkrył, że dodanie grawitacji wprowadza w czasoprzestrzeń zupełnie nieoczekiwaną płynność i elastyczność.

* * *

W ciągu stulecia od odkrycia teorii względności lepiej zrozumieliśmy przełomowe idee Einsteina i w większym stopniu doceniliśmy płynące z nich wnioski dla zrozumienia kosmosu. Oto pięć najważniejszych spostrzeżeń.

 Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

NOTKA DO PIĄTEGO WYDANIA

W obecnym wydaniu całkowicie przejrzałem swoje „Uogólnienie teorii grawitacji”, zmieniając przy tym tytuł na „Teoria pola niesymetrycznego”. Współpracując z moją asystentką, Panią B. Kaufman, udało mi się uprościć zarówno rachunki, jak i postać równań pola. Cała teoria staje się przez to – bez zmiany treści – bardziej przejrzysta.

A. E.

grudzień 1954

 Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE PRZEDRELATYWISTYCZNEJ

Teoria względności jest ściśle związana z nauką o przestrzeni i czasie. Dlatego zacznę od krótkiego omówienia naszych wyobrażeń o przestrzeni i czasie, zdając sobie sprawę z tego, że dotykam w ten sposób przedmiotu spornego. Zadaniem wszystkich nauk, zarówno przyrodniczych, jak i psychologii, jest porządkowanie naszych przeżyć i układanie ich w pewną logiczną całość. W jaki sposób zwykłe pojęcia przestrzeni i czasu są związane z charakterem naszych wrażeń?

Przeżycia człowieka pojawiają się w postaci ciągu zdarzeń; w ciągu tym pojedyncze zdarzenia, utrwalane w pamięci, przedstawiają się jako uporządkowane według kryterium „wcześniej” lub „później”, kryterium, którego nie można już dalej analizować. Dla danej jednostki istnieje zatem jej własny, subiektywny czas. Jako taki nie jest on mierzalny. Rzeczywiście, mogę przyporządkować zdarzeniom liczby w ten sposób, że im zdarzenie późniejsze, tym liczba większa; jednak poza tym odpowiedniość ta może być zupełnie dowolna. Mogę ją określić za pomocą zegara, porównując kolejność zdarzeń związanych z zegarem z uporządkowaniem danego ciągu zdarzeń. Przez zegar rozumiem układ wytwarzający ciąg zdarzeń, które mogą być przeliczane, mający jeszcze inne właściwości, o których będzie mowa w dalszym ciągu.

Posługując się mową, poszczególni ludzie mogą, do pewnego stopnia, porównywać swoje przeżycia. Przy tym okazuje się, że niektóre wrażenia zmysłowe różnych ludzi odpowiadają sobie, podczas gdy pomiędzy innymi wrażeniami takiej odpowiedniości nie można ustalić. Przyzwyczailiśmy się uważać za rzeczywiste te spośród wrażeń zmysłowych, które są wspólne dla różnych ludzi i które są zatem w pewnym stopniu nieosobowe. Takimi wrażeniami zmysłowymi zajmują się nauki przyrodnicze, a przede wszystkim fizyka, najbardziej podstawowa wśród tych nauk. Pojęcie ciała fizycznego, w szczególności ciała sztywnego, jest względnie niezmiennym zespołem takich wrażeń zmysłowych. W tym znaczeniu zegar jest także ciałem lub układem o tej dodatkowej właściwości, że ciąg zdarzeń odmierzanych przezeń składa się z elementów, które można uważać za jednakowe.

Nasze pojęcia i układy pojęć mają rację bytu tylko o tyle, o ile opisują zespoły naszych wrażeń. Jestem przekonany, że filozofowie wywarli szkodliwy wpływ na rozwój myśli naukowej, przenosząc niektóre podstawowe pojęcia z dziedziny doświadczenia, gdzie znajdują się one pod naszą kontrolą, na nietykalne wyżyny aprioryzmu. Nawet jeśli się okaże, że świata idei nie można wydedukować z wrażeń na drodze czysto logicznej, że jest on w pewnym sensie tworem umysłu ludzkiego, bez którego nie ma nauki, to mimo wszystko świat idei będzie zawsze równie mało niezależny od naszych doświadczeń – jak odzież od kształtu ludzkiego ciała. W szczególności jest to prawdziwe w odniesieniu do pojęć czasu i przestrzeni, które fizycy pod wpływem faktów musieli zdjąć z Olimpu rzeczy a priori, uściślić je i przystosować do obecnych potrzeb.

Przechodzimy teraz do przedstawienia poglądów na przestrzeń. Ważne jest tutaj zwrócenie bacznej uwagi na stosunek doświadczenia do naszych pojęć. Wydaje mi się, że Poincaré jasno przedstawił to zagadnienie w książce La Science et l’Hypothèse (Nauka i hipoteza). Wśród wszystkich zmian, jakie można zauważyć w stanie ciała sztywnego, prostotą wyróżniają się te, które dają się usunąć przez odpowiednie przesunięcie ciała; Poincaré nazywa je zmianami położenia. Dzięki prostym zmianom położenia możemy zetknąć ze sobą dwa ciała. Twierdzenia o przystawaniu, podstawowe w geometrii, związane są z prawami rządzącymi takimi zmianami położenia. Do zrozumienia pojęcia przestrzeni istotne wydają się następujące uwagi. Możemy tworzyć nowe ciała, przykładając ciała B, C… do A; mówimy wtedy, że przedłużamy ciało A. Przedłużając odpowiednio ciało A, możemy je połączyć z dowolnym innym ciałem X. Zbiór wszystkich przedłużeń A będziemy nazywali przestrzenią ciała A. Prawdziwe jest zatem twierdzenie, że wszystkie ciała znajdują się w „przestrzeni (dowolnie obranego) ciała A”. W ten sposób nie możemy mówić o przestrzeni w ogóle (abstrakcyjnej), ale tylko o „przestrzeni należącej do ciała A”. Skorupa ziemska, odgrywająca dominującą rolę w naszym codziennym doświadczeniu przy określaniu względnych odległości między ciałami, doprowadziła do powstania abstrakcyjnego pojęcia przestrzeni, które nie daje się jednak utrzymać. Ażeby uwolnić się od tego poważnego błędu, będziemy mówili tylko o „ciałach odniesienia” lub o „przestrzeni odniesienia”. Dopiero ogólna teoria względności będzie wymagała, jak to później zobaczymy, uściślenia tych pojęć.

Nie będę wchodził w szczegóły właściwości przestrzeni odniesienia, które prowadzą do rozpatrywania punktów jako elementów przestrzeni, a przestrzeni – jako kontinuum. Nie pokuszę się również o dalsze analizowanie właściwości przestrzeni, usprawiedliwiających wprowadzenie pojęcia ciągłego szeregu punktów, czyli krzywej. Jeżeli te pojęcia i ich związek z ciałami sztywnymi przyjmiemy za znane, to łatwo będzie powiedzieć, co rozumiemy przez trójwymiarowość przestrzeni: każdemu punktowi można tak przyporządkować trzy liczby x1, x2, x3 (współrzędne), że to przyporządkowanie jest wzajemnie jednoznaczne, a liczby x1, x2 i x3 zmieniają się w sposób ciągły, gdy punkt przebiega dowolną krzywą (tj. ciągły szereg punktów).

W fizyce przedrelatywistycznej zakładano, że prawa opisujące budowę ciał doskonale sztywnych są zgodne z geometrią euklidesową. Znaczenie tego zdania można wytłumaczyć następująco: para punktów ciała sztywnego tworzy odcinek. Odcinek spoczywający w przestrzeni odniesienia może być zorientowany na wiele różnych sposobów. Jeżeli teraz w przestrzeni można wprowadzić układ współrzędnych x1, x2, x3 taki, że suma kwadratów

(1)

różnic współrzędnych końców odcinka nie zależy od położenia tego odcinka, to mówimy, że przestrzeń odniesienia jest euklidesowa, a współrzędne – kartezjańskie1. Wystarczy oczywiście założyć, że zachodzi to w granicy dla nieskończenie małego odcinka. Założenie powyższe zawiera jeszcze momenty ogólniejsze, na które, wobec ich podstawowego znaczenia, musimy zwrócić uwagę. Przyjmuje się tu, po pierwsze, że ciało doskonale sztywne można dowolnie przesuwać. Po drugie, zakłada się, że zachowanie się ciał doskonale sztywnych podczas obrotów nie zależy od substancji, z której są zbudowane, ani od zmian położenia w tym sensie, że dwa odcinki przystające w pewnym miejscu i w pewnej chwili będą przystawały zawsze i wszędzie. Oba te założenia o podstawowym znaczeniu dla geometrii, a szczególnie dla pomiarów fizycznych, wynikają oczywiście z doświadczenia; w ogólnej teorii względności ich ważność ogranicza się tylko do ciał i obszarów bardzo małych w stosunku do odległości astronomicznych.

Wielkość s nazywamy długością odcinka. Do jej jednoznacznego określenia należy dowolnie ustalić długość pewnego odcinka, np. możemy ją przyjąć za równą 1 (jednostka długości). Teraz można wyznaczyć długości wszystkich innych odcinków. Jeżeli założymy, że współrzędne xν zależą liniowo od parametru λ:

,

to otrzymamy (zmieniając λ) krzywą, która ma wszystkie właściwości prostej w geometrii euklidesowej. W szczególności widać, że odkładając wzdłuż prostej n razy odcinek o długości s, otrzymamy odcinek o długości ns. Wynika stąd, że długość oznacza wynik pomiaru wykonywanego wzdłuż prostej za pomocą jednostkowego pręta pomiarowego. Jak zobaczymy dalej, długość, w równym stopniu jak pojęcie prostej, nie zależy od układu współrzędnych.

Przechodzimy teraz do rozważań, które odgrywają podobną rolę w szczególnej i w ogólnej teorii względności. Zadajemy pytanie: Czy oprócz współrzędnych kartezjańskich, których używaliśmy, istnieją jeszcze inne, równoważne układy współrzędnych? Odcinek ma znaczenie fizyczne, niezależne od wyboru współrzędnych; podobnie powierzchnia kuli, będąca miejscem geometrycznym końców odcinków o jednakowej długości, odkładanych z dowolnego punktu przestrzeni odniesienia. Jeżeli xν oraz (ν przebiega liczby naturalne od 1 do 3) są współrzędnymi kartezjańskimi w przestrzeni odniesienia, to równania powierzchni kuli w tych układach będą miały postać:

const, (2)

const. (2a)

Jaka powinna być zależność między i xν , ażeby równania (2) i (2a) były równoważne? Rozpatrując zmienne jako funkcje zmiennych xν , możemy, na mocy wzoru Taylora, zapisać dla małych :

Podstawiając (2a) do tego równania i porównując z (1), widzimy, że muszą być liniowymi funkcjami zmiennych xν. Jeżeli zatem przyjmiemy

(3)

lub

, (3a)

to równoważność równań (2) i (2a) będzie można zapisać w postaci:

(λ nie zależy od ). (2b)

Wynika stąd, że λ musi być stałą. Jeżeli przyjmiemy, że λ = 1, to (2b) i (3a) prowadzą do warunków:

, (4)

gdzie lub , zależnie od tego, czy , czy też . Związki (4) zwane są warunkami ortogonalności, a przekształcenia (3) spełniające (4) – liniowymi przekształceniami ortogonalnymi. Jeżeli zażądamy, ażeby było równe kwadratowi długości w każdym układzie współrzędnych, i jeżeli będziemy mierzyli zawsze za pomocą tej samej jednostki długości, to λ musi być równe 1. Liniowe transformacje ortogonalne są zatem jedynymi przekształceniami pozwalającymi na przejście od jednego kartezjańskiego układu współrzędnych w przestrzeni odniesienia do drugiego takiego układu. Widzimy, że przekształcenia takie przeprowadzają równanie prostej w równanie prostej. Mnożąc obie strony równań (3a) przez i sumując względem wskaźnika ν, możemy rozwiązać te równania względem :

(5)

 Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

1 Związek ten powinien zachodzić przy dowolnym wyborze początku układu i kierunku (określonego stosunkami ) odcinka.