6 Równania wielomianowe

Innymi słowy, równanie wielomianowe to nic innego jak suma jednomianów przyrównana do 0. Równanie wielomianowe czasem bardzo trudno jest obliczyć i trzeba użyć do niego wielu metod. W tym miejscu chciałabym wymienić kilka metod rozwiązywania równań wielomianowych m z czego pierwsze 3 obowiązują uczniów po gimnazjum, natomiast ostatnia uczniów po podstawówce:

 wyciąganie czynnika przed nawias

 metoda grupowania

 dzielenie wielomianów

Zacznijmy po kolei omawiać metody. Przyłóż się do tego tematu bo dotychczas zadanie z równania wielomianowego było zawsze jako jedno z zadań otwartych na maturze !

6.1 Metoda wy łą czania czynnika przed nawias Metodę wyłączania czynnika przed nawias wykorzystujemy, gdy mamy do czynienia z wielomianem, w którym każdy element ma x. Wówczas możemy go wyłączyć przed nawias i przedstawić wielomian jako iloczyn dwóch elementów: wyłączonego x i nawiasu. Wtedy każdy z elementów możemy przyrównać do 0 tworząc dwa osobne równania. Pokażę to na przykładzie.

+2 + = 0

Jak widzimy możemy tutaj wyłączyć x przed nawias. Otrzymamy wówczas:

( +2 +1) =0

Mnożenie dwóch elementów jest równe 0 wtedy i tylko wtedy kiedy któryś z elementów przez które mnożymy jest zerem, czyli:

= 0 +2 +1 = 0

W przypadku pierwszego równania mamy jasność, drugie musimy rozwiązać korzystając z delty.

=2 −4⋅1⋅1 = 4−4 = 0

Mamy zatem jedno rozwiązanie:

= 2⋅1 −2 =− 2 =−1

Nasze równanie wielomianowe ma zatem 2 rozwiązania: x=0 oraz x=-1. Spróbujmy na jeszcze jednym przykładzie:

+5 +6 =0

W tym przypadku możemy wyłączyć wyższą potęgę x przed nawias, bo możemy wyłączyć aż .

( +5 +6) =0

Otrzymujemy zatem dwa osobne równania:

= 0 +5 +6 = 0

Zacznijmy od pierwszego równania :

= 0 \

=0

Drugie równanie ponownie wymaga obliczenia delty: +5 +6 = 0

Δ=5 −4⋅1⋅6 = 25−24 = 1

√Δ =1

Mamy tu zatem 2 rozwiązania:

= 2⋅1 =− 2 =−2

= −5 2⋅1 − 1 =− 62 =−3

Nasze równanie ma zatem aż trzy rozwiązania: x=0, x=-2, x=-3.

6.2 Metoda grupowania

Metoda grupowania jest troszkę trudniejsza, lecz po zrozumieniu jej zasad działa bardzo intuicyjnie. Na maturze podstawowej korzystamy z niej kiedy mamy parzystą ilość elementów w sumie i nie możemy nic wyłączyć przed nawias. Aby rozwiązać równanie metodą grupowania należy podzielić naszą sumę na 2 części i z każdej z nich wyciągnąć maksymalnie dużo przed nawias tak, aby w nawiasach zostało to samo. Najlepiej wytłumaczyć daną metodę na przykładzie: Zadanie ( matura maj 2010, zadanie 27):

−7 −4 + 28 =0

Dzielimy nasze równanie na 2 grupy:

Wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias z grupy pierwszej oraz drugiej:

( −7) −4( −7) =0

Zauważmy, że z drugiej grupy przed nawias wyciągamy -4, zatem aby iloczyn był dodatni i wynosił 28, musimy w nawiasie mieć liczbę ujemną ponieważ tylko −⋅−= +. Jak widzimy teraz w nawiasach występuje dokładnie to samo. Spróbujemy zatem wyciągnąć nasz nawias przed nawias.

Zauważmy, że jak wyciągniemy x-7 z pierwszego elementu to pozostanie nam , natomiast jak wyciągniemy to z drugiego elementu zostanie -4 Otrzymujemy zatem:

( −7)( −4) =0

Dzielimy równanie na 2 osobne (podobna sytuacja jak w metodzie wyciągania przed nawias):

− 7 = 0 −4 = 0

Z pierwszego równania wychodzi nam, że x=7. Z drugiego równania: −4 = 0

=4

Musimy się zastanowić co podniesione do kwadratu da nam 4, zatem = 2 = −2.

Nasze równanie ma zatem 3 rozwiązania: x=7, x=-2 oraz x=2 . Zróbmy jeszcze jeden przykład. Zanim opanujecie tą metodę trzeba będzie zrobić wiele przykładów. Pamiętajcie, że jeżeli w nawiasach nie pojawia wam się to samo, to coś jest źle ;)

Zadanie (matura sierpie ń 2010, zadanie 27). Rozwiąż równanie:

−3 +2 −6 = 0

Możemy zastanawiać się, czy cokolwiek podniesione do kwadratu da nam -2, ale to równanie sprzeczne! Nigdy nie otrzymamy liczby ujemnej w wyniku potęgi parzystego stopnia !

Zatem tutaj nasze równanie ma tyko jedno rozwiązanie: x=3. Tu w tym miejscu umieścimy równania wielomianowe dla osób, które są po gimnazjum. Oczywiście obowiązują również one osoby po podstawówce, z tym, że niestety, te drugie osoby mają trochę więcej materiału na podstawie.

6.3 ZADANIA: RÓWNANIA WIELOMIANOWE Zadanie 1. (matura czerwiec 2015, zadanie 27). Rozwiąż równanie:

( −2 +3) =0

Zadanie 2. (matura maj 2016, zadanie 28). Rozwiąż równanie:

(4− )( +2 −15) =0

Zadanie 3. (matura sierpie ń 2017, zadanie 27). Rozwiąż równanie:

( −6)( 3 +2) =0

Zadanie 4. (matura próbna grudzie ń 2014, zadanie 3).

Rozwiązaniami równania:

( −8)( −5)(2 + 1) =0

są liczby:

. −8; −5; 1 . −1; 5; 8 . − 12 ; 2; 5 . − 12 ; 2; 8

Zadanie 5.

Rozwiąż równanie:

( −5 +6)( −1)( +3) =0

Zadanie 6.

Rozwiąż równanie:

( −8)( −4)( −8) =0

Zadanie 7. (matura maj 2019, zadanie 26) Rozwiąż równanie:

−5 −9 +45 = 0

Zadanie 8. (matura czerwiec 2020, zadanie 27). Rozwiąż równanie:

( −1)( −2 ) =0

6.4 Rozwi ą zania

Zadanie 1.

( −2 +3) =0

Rozpatrujemy 2 osobne równania:

= 0

−2 +3 = 0

W pierwszym mamy jasność, zabieramy się za drugie: −2 +3 = 0

Δ=(−2) −4⋅1⋅3 = 4−12 = −8

Δ<0

Brak rozwiązań z równania kwadratowego, zatem jedynym rozwiązaniem jest x=0.

Zadanie 2.

Ponownie rozpatrujemy 2 przypadki:

4 − = 0

+2 −15 = 0

Z pierwszego:

4− = 0

− = −4 \⋅ (−1)

=4

Z drugiego:

+2 −15 = 0

Δ=2 −4⋅1⋅(−15) =4+60=64

√Δ =8

= −2 2⋅1 + 8 = 62 =3

= −2 2⋅1 − 8 =− 10 2 =−5

Mamy zatem 3 rozwiązania:

Odpowiedź: x=4, x=3 oraz x=-5 .

Zadanie 3.

Rozpatrujemy 2 równania:

− 6 = 0 3 + 2 = 0

Pierwsze równanie:

=6

Co podniesione do kwadratu da nam 6?

=√6 = −√6

Drugie równanie:

3 + 2 = 0

3 = −2 \: 3

Odpowiedź: =√ , = −√ , = −

Zadanie 4.

Rozpatrujemy 3 równania:

−8 = 0

=8

=2

−5=0

=5

2 + 1 = 0

2 = −1 \: 2

=− 12

Odpowiedź: C.

Zadanie 5.

− 5 + 6 = 0 − 1 = 0 + 3 = 0

1) −5 +6 = 0

Δ=(−5) −4⋅1⋅6=25−24=1

√Δ =1

= −(−5) 2⋅1 −1 = 5−1 2 = 42 =2

= −(−5) 2⋅1 +1 = 5+1 2 = 62 =3

2) −1=0

=1

3) +3=0

=−3

Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=3, x=1 oraz x=-3. Zadanie 6.

Rozpatrujemy trzy równania:

1) −8=0

2) −4 = 0

3) −8 = 0

1. −8=0

=8

2. −4 = 0

=4

=2 =−2

3. −8 = 0

=8

=2

Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=-2. Zadanie 7.

Łączymy po 2 elementy i z nich wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias:

( −5) −9( −5) =0

Wyciągamy (x-5) przed całość otrzymując:

( −5)( −9) =0

Teraz rozpatrujemy 2 równania:

1) −5=0→ =5

2) −9 = 0 → =9

=3 =−3

Odpowiedź: Mamy 3 rozwiązania: x=5, x=3 i x=-3. Zadanie 8.

Rozpatrujemy dwa przypadki:

1) −1 = 0

=1

= 1 = −1

2) −2 = 0

Wyciągamy x przed nawias lub rozwiązujemy deltą. Ja wyłączę x przed nawias.

( −2) =0

Zatem:

=0 −2=0

Naszymi rozwiązaniami są zatem:

Odpowiedź: x=1, x=-1, x=0, x=2.

6.5 Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów wygl ą da bardzo podobnie jak dzielenie pisemne liczb. do otrzymania reszty lub te ż do braku

Jeżeli już wcześniej miałeś „pod górkę” z dzieleniem pisemnym przedstawię tutaj jeszcze jedną alternatywną metodę dzielenia wielomianów, czyli schemat Hornera. Jest on wyjątkowo korzystny dla osób z dysleksją lub dysgrafią. Zacznijmy jednak od dzielenia pisemnego.

6.6 Dzielenie pisemne wielomianów

W przypadku dzielenia pisemnego liczb schemat wyglądał następująco:

Rysunek 6.1 Schemat dzielenia pisemnego

Dzielenie pisemne liczb na egzaminie maturalnym nie ma żadnego sensu, gdyż możemy mieć na nim kalkulator, natomiast identyczny schemat wykorzystamy w dzieleniu wielomianów. Spróbujemy wytłumaczyć to na przykładzie dzielenia wielomianu: − − − przez wielomian − .

Rysunek 6.2 Schemat dzielenia pisemnego

Rysunek 6.3 Schemat dzielenia pisemnego

Rysunek 6.4 Schemat dzielenia pisemnego

W tym przypadku nie wyszła nam żadna reszta z dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że :

( −3 −3 −35): ( −5) = +2 +7

Dla pewności możemy zrobić sprawdzenie mnożąc nasz wynik z dzielenia przez dzielnik, czyli:

( −5)( +2 +7) = +2 +7 −5 − 10 − 35 = −3 −3 −35

Wyszedł nam dokładnie ten sam wielomian, którego dzieliliśmy, zatem rozwiązanie jest poprawne.

Spróbujmy inny przykład zrobić. Tym razem podzielimy wielomian: ( ) = + + − przez wielomian : + .

Rysunek 6.5 Schemat dzielenia pisemnego

Rysunek 6.6 Schemat dzielenia pisemnego

Rysunek 6.7 Schemat dzielenia pisemnego

Możemy zatem powiedzieć, że wielomian w(x) dzielony przez dwumian (x+4) daje resztę 4. Skoro dzielenie dało nam resztę, to oznacza, podobnie jak w liczbach, że wielomian niestety nie jest podzielny przez (x+4). Wielomian w(x) możemy zapisać jako:

+7 +7 −16 = ( −4)( +3 −5) +4

Oprócz mnożenia wyniku, który nam powstał i dzielnika, musimy pamiętać o reszcie która pozostała. Zaznaczona została ona w naszym wielomianie na żółto.

6.7 Pierwiastek ca ł kowity wielomianu

W przypadku wielomianów, których dzielnik wyrazu wolnego wielomianu. Liczba b ę dzie wielomianem, gdy

Weźmy przykład: wielomian: ( ) = − + − . Szukamy dzielników wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku -1. Pamiętajmy, że interesują nas dzielniki całkowite, więc uwzględniamy zarówno dzielniki ujemne jak i dodatnie. Oznaczymy je jako p. Jedynym dzielnikiem -1 jest 1 i -1 zatem ∈ 1 .

Sprawdźmy zatem, czy wielomian od -1 lub 1 jest równy 0. (−1) = (−1) −3∗(−1) +3⋅(−1) −1 = −1−3∗1−3−1

= −1−3−3−1 = −8 ≠ 0

Sprawdzamy zatem nasz drugi możliwy pierwiastek, czyli 1. (1) =1 −3⋅1 +3⋅1−1 = 1−3+3−1 = 0

Zatem możemy powiedzieć, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu a co za tym idzie, nasz wielomian W(x) będzie podzielny przez x-a, gdzie a jest pierwiastkiem wielomianu, czyli x-1. Wykonujemy dzielenie pisemne.

Wynikiem dzielenia jest kolejny wielomian, tutaj akurat trójmian kwadratowy. Aby obliczyć jego pierwiastki liczymy deltę.

6.7.1.1.1.1 =(−2) −4⋅1⋅1= 4−4 =0

Mamy zatem jeden pierwiastek:

= 2 =1

Nasz wielomian ma zatem 1 pierwiastek: x=1.

Weźmy inny przykład wielomianu i spróbujmy znaleźć jego pierwiastek. ( ) =2 +4 −3 −3

∈ 1. 3

(1) =2∗1 +4∗1 −3−3 = 2+4−3−3 = 0 Ponownie dzielnikiem wielomianu okazuje się x=1, zatem nasz wielomian musi być podzielny przez x-1. Wykonujemy dzielenie jak w poprzednich tematach i otrzymujemy trójmian kwadratowy. Liczymy zatem deltę, miejsca zerowe i koniec zadania. Spróbuj dokończyć je sam.

6.8 Równania wymierne

Równania wymierne to równania, w których w mianowniku występuje x. Przykładami równań wymiernych mogą być: − = lub = itd. Zaczynając obliczać rozwiązanie takiego równania, należy zacząć od wyznaczenia dziedziny, czyli wyznaczenia dla jakich x równanie ma sens. Pewnie wiele razy słyszeliście wierszyk, którego na potrzeby szkoły i tej książki lekko ocenzuruje:

Pami ę taj kolego, nigdy nie dziel przez Kreska ułamkowa to inaczej znak dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że to co jest w mianowniku odpowiada temu, przez co dzielimy. Zatem zawsze chcąc obliczać równanie wymierne zaczynamy od ustalenia dziedziny czyli napisania ≠ 0. Takie równanie, mimo że

znak = jest przekreślony liczymy dokładnie tak samo jak każde inne, czyli doprowadzamy do postaci ≠⋯ . Przeanalizujmy ten krok na jakimś przykładzie. Załóżmy, że mamy równanie:

−3 =3

+2

Wiemy, że nasz mianownik nie może się równać 0, zatem otrzymujemy: +2≠0

Przerzucamy 2 na drugą stronę ze zmienionym znakiem i otrzymujemy: ≠−2.

Zatem można powiedzieć, że naszą dziedziną jest dowolny x oprócz x=-2. Możemy też zapisać ∈ \ −2 .

Najszybszą metodą rozwiązywania równań wymiernych jest tzw. metoda „na krzyż”. Załóżmy, że mamy rozwiązać równanie podane powyżej. Wówczas warto zapisać je sobie w nieco inny sposób tzn.: = . Mnożąc dane równanie na krzyż otrzymamy :

( −3) ⋅1 = ( +2) ⋅3

Wykonujemy działania i wyliczamy x.

−3=3 +6

−3 =6+3

−2 = 9 \: (−2)

=− lub jak kto woli = −4,5.

Rozwiązanie jest zgodne z dziedziną, ponieważ z niej wynika, że x nie mógł być równy tylko -2, zatem to koniec naszego równania. Zadanie ( matura sierpie ń 2012, zadanie 11).

Równanie ( )( ) =0 ma

A. Dokładnie jedno rozwiązanie

B. Dokładnie dwa rozwiązania

C. Dokładnie trzy rozwiązania

D. Dokładnie cztery rozwiązania

Tradycyjnie zaczynamy od dziedziny:

( −3)( +2) ≠0

− 3 ≠ 0 + 2 ≠ 0

≠ 3 ≠ −2

Zatem naszą dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem x =3 i x=-2, możemy to zapisać jako ∈ \ 3,−2 . Przechodzimy do naszego równania:

( +3)( −2) =0 \⋅( −3)( +2)

( −3)( +2)

( +3)( −2) =0

+3=0 −2=0

= −3 = 2

Mamy zatem 2 rozwiązania i oba są zgodne z dziedziną funkcji. Odpowiedź: B.

6.9 ZADANIA: RÓWNANIA WYMIERNE

Zadanie 1. (matura sierpie ń 2014, zadanie 6). Rozwiązaniem równania : = jest liczba:

. −11 . 2 . 11 . 11

Zadanie 2. ( matura maj 2015, zadanie 7) Rozwiązaniem równania: = jest liczba :

. = 0 . = 12 5 . = 2 . = 2511

Zadanie 3. ( matura maj 2015, zadanie 7). Równanie: = −

A. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=1

B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=0

C. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=-1

D. Ma dokładnie dwa rozwiązania x=0, x=1

Zadanie 4.

Rozwiązaniem równania: = , ≠ , jest liczba należąca do

przedziału :

. (−∞, −2) . < −2, −1) . < −1,0) . (0, ∞)

Zadanie 5. (matura sierpie ń 2015, zadanie 26). Rozwiąż równanie = , gdzie ≠ ≠ .

6.10 SPRAWD Ź SI Ę ! ZESKANUJ KOD I ZRÓB QUIZZ!

6.11 Rozwi ą zania

Zadanie 1.

−5 = 1

7− 3

3( −5) =1(7− )

3 − 15 = 7 −

4 = 22\: 4

= 22 4

= 11 2

Odpowiedź: B.

Zadanie 2.

2 − 4 = 4

3− 3

3(2 − 4) =4(3− )

6 − 12 = 12 − 4

6 + 4 = 12 + 12

10 = 24

= 2410

= 12 5

Odpowiedź: B.

Zadanie 3.

+1 = −1

D: +1≠0 ,

≠−1

−1=( +1)( −1)

−1= −1

−1− +1 = 0

− + = 0

(− + 1) =0

= 0 − + 1 = 0

=1

Z dziedziny wynikało, że ≠− zatem oba rozwiązania które nam wyszły są poprawne.

Odpowiedź: D

Zadanie 4.

: ≠ 0

−7 =5 \⋅

−7=5

−5 =7

−4 = 7\: (−4)

=− 74 =−1 34

Odpowiedź: B .

Zadanie 5.

≠ 0 2 − 4 ≠ 0

2 ≠ 4

≠2

: ∈ \ 0,2

Mnożymy równanie na krzyż:

(2 − 4)(2 − 4) = ⋅

4 −8 −8 +16 =

Przerzucamy na jedną stronę i przyrównujemy do 0. 3 − 16 + 16 = 0

Δ=(−16) − 4 ⋅ 3 ⋅ 16 = 256 − 192 = 64

√Δ =8

= 16 2⋅3 − 8 = 86 = 43

= 16 6+ 8 = 24 6 =4