Edgar Enderson

Wprowadzenie do logiki: od podstaw po metafizykę, epistemologię, filozofię języka, matematyki i nauki

Projektant okładki Pixabay https://pixabay.com/pl/vectors/głęboka-myśl-umysł-pytanie-pytający-1296377/

© Edgar Enderson, 2023

© Pixabay https://pixabay.com/pl/vectors/głęboka-myśl-umysł-pytanie-pytający-1296377/, projekt okładki, 2023

Wprowadzenie do logiki to kompleksowa książka, która prezentuje podstawowe pojęcia i definicje z dziedziny logiki oraz metafizyki. Autor opowie o rachunku zdań, rachunku predykatów pierwszego rzędu i różnych systemach formalnych. Przybliża logikę filozoficzną, logiczną analizę języka i semantykę modalną. Książka zawiera rozdziały o logice nieklasycznej i koncepcji bytu. Wnioskowaniu indukcyjnym, naturze dowodu i udowodnienia to kolejne interesujące tematy, których nie brakuje w tej książce.

ISBN 978-83-8351-013-2

Książka powstała w inteligentnym systemie wydawniczym Ridero

Edgar Enderson

18.04.2023r.

Definicje i podstawowe pojęcia

Wniosek

Wniosek (ang. inference) jest podstawowym pojęciem w logice, oznaczającym proces dedukcyjny, w którym z pewnych założeń (premisy) wyprowadzane są nowe informacje (wnioski). Wniosek polega na uzyskaniu nowych informacji z już istniejących, wykorzystując reguły wnioskowania.

W logice formalnej wnioskowanie opiera się na regułach logicznych, a proces ten nazywany jest dedukcją. W dedukcji z założeń wynika wniosek, który jest prawdziwy, gdy założenia są prawdziwe. W logice formalnej wnioskowanie odbywa się zawsze na podstawie pewnych reguł, np. zasady modus ponens, która mówi, że jeśli założenia są prawdziwe, to wniosek z nich wynikający też jest prawdziwy.

Wniosek jest ważnym pojęciem w różnych dziedzinach nauki, w tym w matematyce, filozofii, informatyce, lingwistyce czy sztucznej inteligencji. Proces wnioskowania jest jednym z kluczowych elementów algorytmów sztucznej inteligencji, w tym uczenia maszynowego i systemów ekspertowych[1].

[1] Irving M. Copi, Carl Cohen, Wstęp do logiki, 1953r.

Syllogizm

Syllogizm jest podstawowym pojęciem w logice i odnosi się do argumentu opartego na dwóch premisach i wniosku. W syllogizmie obie premisy są wykorzystane, aby osiągnąć wniosek, który jest zasadniczo logiczną konsekwencją premis.

Syllogizm składa się z trzech części:

Pierwsza premisa

— wyraża ogólną prawidłowość, np. „wszyscy ludzie są śmiertelni”

Druga premisa

— odnosi się do konkretnej sytuacji, np. „Sokrates jest człowiekiem”

Wniosek

— wynika z powiązania między pierwszą i drugą premisą, np. „więc Sokrates jest śmiertelny”.

Syllogizmy można sklasyfikować na różne sposoby, ale najbardziej znana klasyfikacja została stworzona przez Arystotelesa. Arystoteles rozróżnił cztery rodzaje syllogizmów, które różniły się od siebie rodzajami i ilością używanych terminów:

Sylogizmy katagoryczne

— odnoszące się do kategorii, np. „wszyscy ludzie są śmiertelni”.

Sylogizmy dysjunkcyjne

— zawierające alternatywę, np. „albo Sokrates jest człowiekiem, albo jest bogiem”.

Sylogizmy hipotetyczne

— oparte na założeniach, np. „jeśli Sokrates jest człowiekiem, to jest śmiertelny”.

Sylogizmy dialektyczne

— oparte na rozważeniach przeciwstawnych, np. „Sokrates jest mądry, ale nie jest nieskończenie mądry”.

Podsumowanie

Syllogizmy są często wykorzystywane w logice, filozofii i matematyce jako narzędzie do analizy i wnioskowania. Są one również używane w języku naturalnym, chociaż często są skracane i niejasne.

Konsekwencja

Konsekwencja jest jednym z podstawowych pojęć w logice. Odnosi się ona do związku między dwoma zdaniami, z których jedno wynika z drugiego. Innymi słowy, zdanie A jest konsekwencją zdania B, jeśli A musi być prawdziwe, jeśli B jest prawdziwe.

Formalnie, konsekwencja jest zdefiniowana jako relacja między zbiorami zdaniowymi. Jeśli zbiór zdaniowy A jest konsekwencją zbioru zdaniowego B, to każde zdanie, które jest prawdziwe w zbiorze B, musi być również prawdziwe w zbiorze A. Zbiór A jest wtedy nazywany zbiorem konsekwencji B.

Konsekwencja jest podstawowym pojęciem w wielu dziedzinach logiki, takich jak logika formalna, logika matematyczna i logika filozoficzna. W logice formalnej, konsekwencja jest często definiowana w ramach systemu aksjomatycznego, który określa zbiór reguł logicznych, które umożliwiają wyprowadzanie konsekwencji z pewnego zbioru założeń. W logice matematycznej, konsekwencja jest zwykle stosowana do dowodzenia twierdzeń matematycznych. Natomiast w logice filozoficznej, konsekwencja jest używana do badania poprawności argumentów i wnioskowań[1].

[1] Graham Priest, Wprowadzenie do logiki nieklasycznej, 2001r.

Wyprowadzenie

Wyprowadzenie (ang. inference) to podstawowe pojęcie w logice, które odnosi się do procesu wnioskowania, czyli do wyciągania nowych informacji na podstawie już posiadanych.

Wyprowadzenie składa się z dwóch etapów:

premissy (założenia) oraz konkluzji (wniosku).

Założenia to stwierdzenia, które przyjmujemy jako prawdziwe, a na ich podstawie wnioskujemy o prawdziwości innych stwierdzeń, które stanowią konkluzję.

Przykładem prostego wyprowadzenia może być:

Premissa 1: Wszyscy ludzie są śmiertelni.

Premissa 2: Jan jest człowiekiem.

Konkluzja: Jan jest śmiertelny.

Wyprowadzenie może być poprawne lub niepoprawne, w zależności od tego, czy konkluzja wynika z założeń. Istnieją różne metody wyprowadzania wniosków, np. dedukcja, czy indukcja, które są stosowane w różnych dziedzinach, m.in. w matematyce, filozofii, czy informatyce.

Logika formalna

Logika formalna jest podstawowym pojęciem w logice, ponieważ odnosi się do systematycznego podejścia do badania argumentów i wnioskowania, które opiera się na precyzyjnych regułach i symbolach matematycznych.

Logika formalna skupia się na badaniu formy argumentów i struktury języka, którymi się posługujemy, nie zaś na treści samego argumentu czy problemu. W tym celu wykorzystuje abstrakcyjne symbole i reguły, które pozwalają na analizę logiczną dowolnego rodzaju wypowiedzi[1].

Podstawowymi elementami logiki formalnej są:

język formalny, czyli zbiór symboli i reguł, które służą do reprezentowania wypowiedzi,

systemy formalne, czyli formalne modele, które opisują reguły wnioskowania,

dowody formalne, czyli sekwencje zdań zbudowane zgodnie z regułami systemu formalnego, które pozwalają na stwierdzenie poprawności, lub niepoprawności danego argumentu.

Dzięki logice formalnej możliwe jest przeprowadzenie precyzyjnej analizy argumentów i wnioskowań, a także budowa systemów formalnych, które pozwalają na automatyczne przetwarzanie wypowiedzi i wnioskowanie na ich podstawie. Logika formalna jest również podstawą dla wielu dziedzin nauki, takich jak informatyka, matematyka czy filozofia.

[1] Alfred Tarski, Elementy logiki formalnej, 1936r.

Logika materialna

Logika materialna jest jednym z podstawowych pojęć w logice i odnosi się do koncepcji logiki opartej na zasadach i regułach prawdziwości zdania, a nie na formalnych manipulacjach symbolami.

W logice materialnej kluczową rolę odgrywa pojęcie zdania, które jest uznawane za podstawowy element logiki. Zdanie to jest wyrażeniem, które można uznać za prawdziwe lub fałszywe, a jego wartość logiczna jest określona przez to, czy jest to fakt rzeczywisty. Logika materialna zajmuje się badaniem zasad, według których można określać, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe.

W logice materialnej stosuje się pojęcie konsekwencji logicznej, które odnosi się do relacji między jednym zdaniem, a innym zdaniem. Mówimy, że zdanie B jest konsekwencją logiczną zdania A, gdy zdanie A jest prawdziwe, zdanie B także jest prawdziwe. Zatem logika materialna bada, jakie są reguły konsekwencji logicznej, czyli jakie zdania wynikają z innych zdań na podstawie logiki samej w sobie, a nie na podstawie reguł rachunku logicznego.

W logice materialnej, jako że skupia się na analizie zdań i ich konsekwencji logicznych, występują różne pojęcia takie jak negacja, alternatywa, koniunkcja, implikacja, bądź równoważność logiczna, które pozwalają na precyzyjne określanie zasad logicznych. Logika materialna jest jednym z podstawowych nurtów logiki, który pozwala na analizę języka naturalnego i stosowanie go w praktycznych zastosowaniach, takich jak matematyka, informatyka, a także w naukach społecznych[1].

[1] Patrick J. Hurley, A Concise Introduction to Logic, 2017r.

Reguły wnioskowania

Reguły wnioskowania to podstawowe pojęcie w logice, które służy do uzyskiwania nowych informacji z już istniejących. W logice formalnej, reguły wnioskowania są precyzyjnie zdefiniowane i muszą być zawsze zachowane w celu uzyskania poprawnych wniosków.

Podstawowe reguły wnioskowania w logice to:

Modus Ponens

— jeśli A jest prawdziwe, a z A wynika B, to B jest również prawdziwe.

Przykład: Jeśli jest wiosna (A), to kwitną drzewa (B). Jest wiosna (A), więc kwitną drzewa (B).

Modus Tollens

— jeśli z A wynika B, a B nie jest prawdziwe, to A nie jest prawdziwe.

Przykład: Jeśli jest wiosna (A), to kwitną drzewa (B). Kwitnące drzewa (nie-B), więc nie jest wiosna (nie-A).

Silogizm

— jeśli A wynika z B, a B wynika z C, to A wynika z C.

Przykład: Wszyscy ludzie (A) są śmiertelni (B). Socrates (C) jest człowiekiem (A), więc Socrates (C) jest śmiertelny (B).

Rozszerzenie implikacji

— jeśli A wynika z B, to A wynika z dowolnego zdania, które zawiera B jako część.

Przykład: Jeśli jest wiosna (A), to kwitną drzewa (B). Jeśli jest wiosna (A) i pada deszcz (C), to kwitną drzewa (B) i mokną trawniki (D).

Podsumowanie

Reguły wnioskowania są kluczowe dla logiki, ponieważ pozwalają na uzyskiwanie nowych informacji z już istniejących. Dzięki temu logika może pomóc w rozumowaniu, formułowaniu hipotez i weryfikowaniu faktów.

Prawo przeciwieństwa

W logice, pojęcie „prawo przeciwieństwa” odnosi się do twierdzenia, że jeśli dana propozycja jest prawdziwa, to jej przeciwieństwo musi być fałszywe. Innymi słowy, jeśli zdanie A jest prawdziwe, to zdanie nie-A musi być fałszywe.

Przykładowo, jeśli przyjmiemy, że zdanie „Słońce wschodzi na wschodzie” jest prawdziwe, to jego przeciwieństwo „Słońce wschodzi na zachodzie” musi być fałszywe.

[1] Peter G. Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, 2005r.

[1] Timothy Williamson, Modal Logic as Metaphysics, 2013r.

[1] Jarosława Grygorski, Wprowadzenie do logiki nieklasycznej, 2011r.

[1] Leszek Nowak, Metafilozofia, 2001r.

[1] Andrzeja Bronkowski, Racjonalizm. Krytyka i obrona, 2001r.

[1] prof. Jacek Brzozowski, Poznanie a rzeczywistość. Studium z
epistemologii empirycznej, 2011r.

[1] Leszek Nowak, Krytyka metafizyki, 2006r.

[1] Leszek Kołakowski, Tajemnica istnienia. O problemie
uniwersaliów, 1957r.

[1] Jan Woleński, Ontologia matematyki, 2000r.

[1] Marek Poręba, Pozytywizm logiczny: historia i krytyka, 2001r.

Koniec darmowego fragmentu książki.

Zachęcamy do zakupu pełnej wersji.