Michelle Enderson

Chaos w Matematyce: Wprowadzenie, Przykłady, Zastosowania

Projektant okładki Freepik https://pl.freepik.com/darmowe-zdjecie/swiecaca-wielokolorowa-spirala-pobudza-wyobraznie-w-przestrzeni-generowanej-przez-sztuczna-inteligencje_43156857.htm#query=Chaos&position=22&from_view=search&track=sph&uuid=25fe2ea6-85a1-4711-b1b6-3a75c2a28c51

© Michelle Enderson, 2023

© Freepik https://pl.freepik.com/darmowe-zdjecie/swiecaca-wielokolorowa-spirala-pobudza-wyobraznie-w-przestrzeni-generowanej-przez-sztuczna-inteligencje_43156857.htm#query=Chaos&position=22&from_view=search&track=sph&uuid=25fe2ea6-85a1-4711-b1b6-3a75c2a28c51, projekt okładki, 2023

Autor omawia podstawy matematyczne, ukazując, jak nieporządek może kryć się w deterministycznych strukturach. Przedstawia różnorodne systemy chaotyczne, używając przykładów z różnych dziedzin nauki. Książka nie ogranicza się jedynie do abstrakcyjnych koncepcji, lecz pokazuje, jak teoria chaosu znajduje praktyczne zastosowanie, w meteorologii, ekonomii i biologii. Książka prezentuje techniki modelowania chaosu, umożliwiając czytelnikowi zgłębienie zagadnień związanych z dynamicznymi systemami.

ISBN 978-83-8351-972-2

Książka powstała w inteligentnym systemie wydawniczym Ridero

Michelle Enderson

29.11.2023r.

Podstawy Matematyczne

Równania różniczkowe i iteracje

Równania różniczkowe to równania, które zawierają pochodne funkcji nieznanej w zależności od jednej lub więcej zmiennych. Iteracje są jedną z metod rozwiązania równań różniczkowych numerycznie.

Iteracyjne metody numeryczne są szeroko stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych, zwłaszcza w przypadkach, gdy nie istnieje analityczne rozwiązanie lub jest ono trudne do uzyskania. Iteracje polegają na przybliżonym rozwiązaniu równań poprzez wielokrotne zastosowanie pewnego algorytmu.

Oto opis iteracyjnego procesu rozwiązywania równań różniczkowych:

Dyskretyzacja czasu lub przestrzeni

Dyskretyzacja czasu lub przestrzeni to kluczowy krok w numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych, które opisują zmiany w czasie lub przestrzeni. Równania różniczkowe są narzędziem matematycznym używanym do modelowania wielu zjawisk fizycznych i inżynieryjnych, takich jak ruch planet, przewodzenie cieplne, czy dynamika płynów. Aby zastosować iteracyjne metody numeryczne, takie jak metoda Eulera czy Rungego-Kutty, konieczne jest ograniczenie dziedziny czasu lub przestrzeni do skończonego zbioru kroków[1].

Dyskretyzacja czasu oznacza podział ciągłego czasu na dyskretne interwały czasowe. W przypadku równań różniczkowych opisujących zmiany w czasie, często stosuje się równomierne kroki czasowe. Przykładowo, jeśli mamy równanie różniczkowe opisujące dynamikę pewnego procesu, możemy przyjąć, że czas t będzie przyjmować wartości postaci

t = t0+n*dt, gdzie t0 to początkowy czas, a dt to krok czasowy.

Podobnie, dyskretyzacja przestrzeni polega na podziale przestrzeni na skończoną liczbę punktów. Jeśli równanie różniczkowe zależy od zmiennej przestrzennej, to przestrzeń ta zostanie podzielona na dyskretne punkty, co tworzy siatkę przestrzenną. Przykładowo, dla jednowymiarowego przypadku przestrzeni, możemy przyjąć, że zmienna przestrzenna x będzie przyjmować wartości postaci x = x0+m*dx, gdzie x0 to początkowa wartość zmiennej przestrzennej, a dx to krok przestrzenny.

Dyskretyzacja umożliwia sprowadzenie problemu do postaci, w której można zastosować metody numeryczne, takie jak metoda Eulera czy Rungego-Kutty. Te metody iteracyjne pozwalają na przybliżone rozwiązanie równań różniczkowych, obliczając wartości funkcji w kolejnych punktach czasowych lub przestrzennych.

W praktyce, odpowiedni wybór kroku czasowego czy przestrzennego jest kluczowy. Zbyt duży krok może prowadzić do utraty dokładności, podczas gdy zbyt mały może skutkować długim czasem obliczeń. Optymalny wybór zależy od konkretnego problemu i wymaga zrównoważenia między dokładnością a wydajnością obliczeniową[2].

Podsumowując, dyskretyzacja czasu i przestrzeni jest niezbędnym etapem w numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych, umożliwiającym zastosowanie iteracyjnych metod numerycznych do modelowania i analizy zmian w czasie i przestrzeni w różnych dziedzinach nauki i inżynierii.

Przybliżenie pochodnych

Pochodne w równaniach różniczkowych są przybliżane na podstawie ograniczonej liczby punktów w dyskretnym zbiorze. Dla przykładu, pochodne czasowe mogą być przybliżane stosując różnice skończone.

Pochodne w równaniach różniczkowych odgrywają kluczową rolę w matematyce, fizyce, informatyce i wielu innych dziedzinach nauki. Są one używane do opisu zmiany jednej wielkości względem innej oraz do modelowania dynamicznych procesów. Przybliżenie pochodnych jest niezbędne w sytuacjach, gdy funkcje są zbyt skomplikowane, aby można było je dokładnie zdefiniować lub obliczyć.

Jednym z powszechnie stosowanych metod przybliżania pochodnych jest różniczkowanie skończone. Różniczki skończone pozwalają na estymację pochodnej funkcji w konkretnym punkcie, wykorzystując wartości funkcji w okolicznych punktach. Istnieją różne rodzaje różniczek skończonych, takie jak różnice centralne, różnice do przodu i różnice do tyłu.

Różnice centralne są jedną z najczęściej używanych form przybliżania pochodnych. Dla danej funkcji f(x), pochodną pierwszego rzędu można przybliżyć za pomocą następującego wzoru:

f’(x)≈ (f(x+h) — f(x — h) )/2h

gdzie h to mała wartość przyrostu. Wartość h musi być dostatecznie mała, aby przybliżenie było dokładne, ale jednocześnie wystarczająco duża, aby uniknąć problemów numerycznych.

Różnice do przodu i do tyłu to inne podejścia do przybliżania pochodnych. W przypadku różnic do przodu, pochodną estymuje się za pomocą wzoru:

f’(x)≈ (f(x+h) — f(x ) )/h

Natomiast dla różnic do tyłu:

f’(x)≈ (f(x+h) — f(x — h ) )/h

Przybliżenia te są szczególnie przydatne w kontekście numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych, gdzie konieczne jest przekształcenie problemu różniczkowego na problem algebraiczny, który może być rozwiązany numerycznie.

Należy jednak pamiętać, że przybliżenia te mają swoje ograniczenia. Duże wartości h mogą prowadzić do utraty dokładności, zwłaszcza w obszarach funkcji o dużych zmianach. Ponadto, różnice skończone nie zawsze dają dokładne wyniki dla funkcji nieliniowych.

W praktyce, wybór metody i wartości h wymaga ostrożnej analizy, uwzględniającej charakterystykę badanej funkcji. Dla bardziej skomplikowanych zastosowań istnieją także zaawansowane metody, takie jak różnicowanie automatyczne, które wykorzystują zaawansowane algorytmy do obliczania pochodnych z dużą precyzją.

Iteracyjne aktualizacje

Iteracyjne aktualizacje są powszechnie stosowaną techniką w wielu dziedzinach nauki i inżynierii, gdzie konieczne jest zbliżanie się do dokładnego rozwiązania matematycznego lub numerycznego. Ta metoda znajduje zastosowanie w rozmaitych dziedzinach, takich jak matematyka, fizyka, informatyka, inżynieria, ekonomia i wiele innych. Idea polega na wielokrotnym powtarzaniu określonych kroków, aby poprawić jakość lub dokładność wyników. Początkowe wartości są wprowadzane do równań lub algorytmów, a następnie iteracyjnie aktualizowane na podstawie wyników uzyskanych w poprzednich krokach. Proces ten jest powtarzany, aż uzyskane wyniki zbliżą się do oczekiwanego rozwiązania lub spełnią ustalone kryteria zbieżności. Istnieje wiele przykładów iteracyjnych metod rozwiązywania problemów, takich jak metoda Jacobiego, metoda Gaussa-Seidela czy metoda gradientu prostego. Jednym z kluczowych zastosowań iteracyjnych aktualizacji jest rozwiązywanie układów równań nieliniowych. W tym przypadku, jeżeli tradycyjne metody analityczne są niewystarczające lub zbyt złożone, iteracyjne podejście może dostarczyć numeryczne przybliżone rozwiązanie. Algorytmy iteracyjne są często wykorzystywane w przypadkach, gdzie brak jest rozwiązania analitycznego lub jego znalezienie jest trudne lub niemożliwe. W kontekście informatyki i programowania, iteracyjne aktualizacje są powszechnie stosowane w algorytmach optymalizacyjnych, uczeniu maszynowym czy algorytmach ewolucyjnych. Na przykład, algorytmy gradientowe, używane w procesie uczenia maszynowego, iteracyjnie aktualizują wagi modelu, minimalizując funkcję straty i dostosowując model do danych treningowych. W inżynierii strukturalnej iteracyjne metody są stosowane do rozwiązania skomplikowanych problemów mechanicznych, takich jak analiza naprężeń czy projektowanie konstrukcji. W przypadku dużych układów dynamicznych, takich jak modele numeryczne zachowań rzeczywistych struktur, iteracje są nieodzowne do uzyskania stabilnych i dokładnych wyników. Iteracyjne aktualizacje są również powszechnie stosowane w dziedzinie finansów. Wycena instrumentów finansowych, zarządzanie ryzykiem czy optymalizacja portfela to tylko kilka przykładów, gdzie iteracyjne metody są kluczowe do uzyskania dokładnych wyników. Podsumowując, iteracyjne aktualizacje są wszechobecne w wielu dziedzinach nauki i inżynierii, stanowiąc potężne narzędzie do rozwiązywania skomplikowanych problemów matematycznych, numerycznych czy optymalizacyjnych. Ich elastyczność i skuteczność sprawiają, że są nieodłącznym elementem wielu zaawansowanych technologii i dziedzin badawczych.

Warunki zatrzymania

Proces iteracyjny kontynuowany jest do momentu osiągnięcia warunków zatrzymania. Warunki te mogą obejmować maksymalną liczbę iteracji, osiągnięcie określonej dokładności lub spełnienie pewnych warunków jakościowych.

Proces iteracyjny w kontekście algorytmów, metod numerycznych czy systemów optymalizacyjnych, często wymaga określenia warunków zatrzymania, które determinują, kiedy algorytm powinien zakończyć swoje działanie. Osiągnięcie tych warunków jest kluczowe dla efektywnego i kontrolowanego postępu w rozwiązywaniu problemów. Warunki zatrzymania pełnią istotną rolę w zapewnieniu optymalnej wydajności, minimalizacji zużycia zasobów oraz uzyskiwaniu satysfakcjonujących rezultatów.

Jednym z powszechnych warunków zatrzymania jest określenie maksymalnej liczby iteracji. Ograniczenie ilości kroków, jakie algorytm może podjąć, może wynikać z praktycznych ograniczeń czasowych lub zasobowych. Ograniczenie to zapobiega nieskończonemu cyklowi iteracji, co może wystąpić w przypadku problemów niestabilnych lub złego dobrania parametrów.

Kolejnym warunkiem zatrzymania może być osiągnięcie określonej dokładności. W zależności od charakteru problemu, może to oznaczać minimalizację błędu numerycznego, uzyskanie wyniku zgodnego z pewnymi normami branżowymi lub zbliżenie się do rozwiązania w wystarczający sposób. Precyzyjne określenie dokładności jest kluczowe dla problemów, gdzie nawet niewielkie błędy mogą prowadzić do istotnych konsekwencji[3].

Warunki zatrzymania mogą również obejmować aspekty jakościowe, takie jak spełnienie określonych warunków jakościowych wyników. Przykładowo, w przypadku optymalizacji, można zażądać, aby znalezione rozwiązanie spełniało pewne kryteria, takie jak minimalna lub maksymalna wartość funkcji celu. To podejście pozwala na kontrolowanie nie tylko ilości iteracji, ale także jakości uzyskanych wyników.

W niektórych przypadkach warunki zatrzymania są również dynamicznie dostosowywane w trakcie procesu iteracyjnego. Na przykład, jeśli algorytm zbliża się do rozwiązania, można zaostrzyć kryteria dokładności, aby uzyskać jeszcze lepsze wyniki. To elastyczne podejście pozwala na efektywne dostosowanie działania algorytmu do specyfiki danego problemu.

Podsumowując, warunki zatrzymania odgrywają kluczową rolę w iteracyjnych procesach obliczeniowych. Określenie maksymalnej liczby iteracji, wymaganego poziomu dokładności czy kryteriów jakości pozwala na kontrolowanie postępu, optymalne wykorzystanie zasobów i osiąganie satysfakcjonujących wyników. W praktyce, dobrze zdefiniowane warunki zatrzymania są istotnym elementem projektowania efektywnych i stabilnych algorytmów.

Istnieje wiele konkretnych algorytmów iteracyjnych stosowanych do różnych rodzajów równań różniczkowych, takie jak metoda Eulera, metoda Rungego-Kutty, czy metoda Adamsa-Bashfortha. Każda z tych metod ma swoje własne zalety i ograniczenia, a ich wybór zależy od konkretnego problemu, który jest rozważany.

[1] Anna Nowak, Metody dyskretyzacji w analizie przestrzennej, 2015r.

[2] Anna Nowak, Metody dyskretyzacji w analizie przestrzennej, 2015r.

[3] Anna Nowak, Metody dyskretyzacji w analizie przestrzennej, 2015r.

Mapy chaotyczne

Termin „mapy chaotyczne” odnosi się do pojęcia z zakresu matematyki i dynamiki nieliniowej, zwłaszcza w kontekście teorii chaosu. Mapy chaotyczne to odwzorowania, które wykazują chaotyczne zachowanie, co oznacza, że są bardzo wrażliwe na warunki początkowe. Małe zmiany w warunkach początkowych prowadzą do znacznych zmian w długoterminowym zachowaniu systemu.

Jednym z najbardziej znanych przykładów mapy chaotycznej jest tzw. Mapa logistyczna. Mapa logistyczna jest matematycznym modelem populacji, który opisuje dynamikę rozwoju populacji w zależności od pewnych parametrów. Jest to jednowymiarowe odwzorowanie nieliniowe, które opisuje zmiany w czasie w danej populacji.

Ogólna postać mapy logistycznej to:

xn+1= r*xn*(1−xn)

gdzie:

xn to stan populacji w chwili n,

xn+1 to stan populacji w chwili n+1,

r to parametr, który wpływa na dynamikę systemu.

Mapa logistyczna może wykazywać chaotyczne zachowanie dla niektórych wartości parametru r. Dla innych wartości r system może przejść przez okresowe cykle lub osiągnąć stabilność[1].

Badanie map chaotycznych ma znaczenie zarówno w matematyce, jak i w naukach przyrodniczych, ponieważ wiele zjawisk w przyrodzie wykazuje chaotyczne właściwości. Zastosowania map chaotycznych można znaleźć m.in. w teorii sterowania, kryptografii, meteorologii, ekonomii i innych dziedzinach.

[1] Mitchell Waldrop, Chaos: Tworzenie porządku, 1992r.

Pojęcie atraktorów

W matematyce pojęcie atraktora odnosi się do pewnej struktury w przestrzeni fazowej dynamicznego systemu. Atraktor jest podzbiorem tej przestrzeni, do którego dążą trajektorie systemu w czasie, niezależnie od początkowych warunków. Innymi słowy, atraktor jest obszarem, w którym system dynamiczny osiąga stabilność i w którym trajektorie dążą do ustalonego punktu lub krzywej. Istnieje kilka rodzajów atraktorów, z których najważniejsze to:

Punkt stały (atraktor punktowy)

Punkt stały, zwany również atraktorem punktowym, jest jednym z rodzajów atraktorów w teorii układów dynamicznych. Atraktor punktowy charakteryzuje się tym, że trajektoria systemu dynamicznego zbiega do jednego konkretnego punktu w przestrzeni fazowej, który jest nazywany punktem stałym. Jest to punkt, w którym wszystkie trajektorie układu zbiegają, tworząc stabilną równowagę. W teorii chaosu i dynamiki nieliniowej pojęcie atraktora punktowego ma zastosowanie w opisie ewolucji układów dynamicznych, takich jak równania różniczkowe. Jeżeli układ dynamiczny ma punkt stały, to oznacza, że dla pewnych warunków początkowych trajektoria układu zbiega do tego punktu w miarę upływu czasu. Istnieje więc naturalna tendencja systemu do osiągania tej stabilnej konfiguracji. Atraktory punktowe mają znaczenie w różnych dziedzinach nauki, takich jak fizyka, biologia, ekonomia czy informatyka. Przykłady obejmują układy mechaniczne, modele populacji, oscylatory elektryczne czy algorytmy ewolucyjne. W przypadku układów dynamicznych opisanych równaniami różniczkowymi, punkt stały jest rozwiązaniem tych równań, w którym pochodne wszystkich zmiennych ze względu na czas są równe zeru. Istnieją różne rodzaje punktów stałych, takie jak punkt stały asymptotycznie stabilny, który przyciąga trajektorie sąsiednich punktów początkowych, i punkt stały niestabilny, do którego trajektorie zbiegają jedynie dla pewnych warunków początkowych[1]. Analiza punktów stałych i ich atraktorów pozwala zrozumieć zachowanie układów dynamicznych w dłuższej perspektywie czasowej. W praktyce, badanie punktów stałych i atraktorów punktowych pozwala na prognozowanie długoterminowego zachowania układów dynamicznych, co ma zastosowanie w modelowaniu i analizie różnych procesów w środowisku naukowym i technicznym. Dlatego też, zrozumienie koncepcji punktu stałego jest kluczowe dla lepszego zrozumienia skomplikowanych dynamik układów występujących w przyrodzie i technologii.

Cykl zamknięty (atraktor cykliczny)

Cykl zamknięty, znany również jako atraktor cykliczny, to interesujący aspekt w teorii chaosu i dynamiki nieliniowej. W kontekście systemów dynamicznych, takich jak równania różniczkowe opisujące ewolucję stanu systemu w czasie, cykl zamknięty odnosi się do trajektorii, która tworzy zamkniętą pętlę w przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa jest abstrakcyjnym matematycznym obszarem, w którym każdy punkt reprezentuje jednoznaczny stan systemu.

Cykl zamknięty manifestuje się przez oscylacje systemu wokół pewnego obszaru przestrzeni fazowej. Te oscylacje prowadzą do powtarzającego się wzoru, tworząc zamkniętą trajektorię. Atrakcyjność cyklu zamkniętego wynika z tego, że system po pewnym czasie powraca do określonego punktu w przestrzeni fazowej, tworząc stabilną pętlę. To zachowanie jest odmienne od chaotycznych trajektorii, które są znane z nieliniowych systemów dynamicznych.

Ważnym pojęciem związanym z cyklem zamkniętym jest atraktor. Atraktor to obszar w przestrzeni fazowej, do którego dąży trajektoria systemu w miarę upływu czasu. Atraktory mogą przyjmować różne formy, takie jak punkt (atraktor punktowy), linia (atraktor liniowy), płaszczyzna (atraktor płaski) czy też zamknięta pętla, czyli cykl zamknięty.

Cykle zamknięte są istotne w wielu dziedzinach nauki, takich jak biologia, fizyka, ekonomia czy inżynieria. Przykłady można znaleźć w oscylacjach biologicznych, gdzie okresowe zmiany w populacjach organizmów tworzą cykle zamknięte, lub w układach elektronicznych, gdzie drgania harmoniczne w obwodach mogą prowadzić do powstawania cykli zamkniętych.

Matematycznie cykl zamknięty może być opisany przez równania różniczkowe, które precyzyjnie definiują ewolucję systemu w czasie. Te równania różniczkowe są często nieliniowe, co sprawia, że analiza matematyczna wymaga zaawansowanych narzędzi. Jednak zrozumienie cykli zamkniętych ma zastosowanie nie tylko w matematyce, ale również w praktyce, gdzie może być wykorzystane do prognozowania, sterowania i modelowania różnych procesów[2].

Podsumowując, cykl zamknięty, jako atraktor cykliczny, stanowi istotny element teorii chaosu i dynamiki nieliniowej. Jego występowanie w różnych dziedzinach nauki przyczynia się do lepszego zrozumienia i przewidywania skomplikowanych zachowań systemów dynamicznych.

Atraktor chaotyczny

Atraktor chaotyczny jest jednym z interesujących i złożonych zagadnień w dziedzinie teorii chaosu i dynamiki nieliniowej. Jest to matematyczny obiekt opisujący trajektorie systemu dynamicznego, które wykazują skomplikowane, nieregularne ruchy. Pojęcie to ma znaczenie w kontekście systemów dynamicznych, w których zmiany w czasie są opisane przez równania różniczkowe. Trajektorie na atraktorze chaotycznym są często trudne do przewidzenia, gdyż nawet niewielkie zmiany warunków początkowych mogą prowadzić do zupełnie odmiennych wyników. To właśnie cecha wrażliwości na warunki początkowe sprawia, że systemy chaotyczne są trudne do przewidzenia na dłuższą metę. Przykładem systemu chaotycznego może być układ dynamiczny złożony z wielu wzajemnie oddziałujących elementów, takich jak równania Lorenza czy układ logistyczny. Równania Lorenza opisują trójwymiarowy model konwekcji atmosferycznej, a ich rozwiązania prowadzą do powstania charakterystycznej „motylkowej” trajektorii na atraktorze. Aby zrozumieć istotę atraktora chaotycznego, warto spojrzeć na koncepcję przyciągania. W tradycyjnych systemach dynamicznych, trajektorie zbliżają się do ustalonych punktów, które nazywamy atraktorami. W przypadku atraktorów chaotycznych, trajektorie mogą być skomplikowanymi krzywymi, niekoniecznie zbiegającymi do punktów, ale tworzącymi pewne struktury geometryczne. Atraktory chaotyczne mają istotne zastosowania w wielu dziedzinach nauki i technologii. Na przykład, są używane do modelowania zjawisk takich jak turbulencje w płynach, oscylacje elektryczne w układach dynamicznych, czy nawet prognozowania pogody. Pomimo pozornej losowości trajektorii, atraktory chaotyczne posiadają pewne regularności, które mogą być analizowane za pomocą narzędzi matematycznych[3]. W zastosowaniach praktycznych, zrozumienie atraktorów chaotycznych może być kluczowe dla doskonalenia predykcji w systemach, w których istnieje element chaosu. Jednakże, ze względu na ich złożoność, modelowanie i analiza atraktorów chaotycznych wymagają zaawansowanych narzędzi matematycznych i komputerowych. Podsumowując, atraktory chaotyczne są istotnym aspektem w dziedzinie chaosu i dynamiki nieliniowej. Ich skomplikowane trajektorie i wrażliwość na warunki początkowe sprawiają, że stanowią wyzwanie zarówno dla matematyków, jak i dla naukowców zajmujących się różnymi dziedzinami, gdzie chaos może występować.

Atraktor Strange’a (dziwny)

Atraktor Strange’a to jedno ze zjawisk w matematyce i teorii chaosu. Nazwę zawdzięcza amerykańskiemu fizykowi Davidowi Ruelle’owi, który w 1971 roku użył tego terminu, aby opisać pewne fraktalne struktury w przestrzeni fazowej układu dynamicznego. Atraktory tego typu mają zdolność generowania trajektorii, które wydają się chaotyczne, ale jednocześnie wykazują pewną formę samo-podobieństwa.

[1] Piotr Garbaczewski, Wprowadzenie do dynamiki chaosu, 2001r.

[2] Piotr Garbaczewski, Wprowadzenie do dynamiki chaosu, 2001r.

[3] Piotr Garbaczewski, Wprowadzenie do dynamiki chaosu, 2001r.

[4] Piotr Garbaczewski, Wprowadzenie do dynamiki chaosu, 2001r.

[1] Florian Szałapak, Chaos. Dynamika układów deterministycznych
Nieliniowych, 2007r.

[1] Florian Szałapak, Chaos. Dynamika układów deterministycznych
Nieliniowych, 2007r.

[1] Florian Szałapak, Chaos. Dynamika układów deterministycznych
Nieliniowych, 2007r.

[1] Florian Szałapak, Chaos. Dynamika układów deterministycznych
Nieliniowych, 2007r.

[1] Zygmunt Bauman, Chaotyczność i porządek, 1991r.

[1] Andy Andrews, Efekt motyla: jakie znaczenie ma w Twoim życiu, 2009r.

[1] David Hand, Zasada nieprawdopodobieństwa, 2015r.

[2] David Hand, Zasada nieprawdopodobieństwa, 2015r.

[1] Andy Andrews, Efekt motyla: jakie znaczenie ma w Twoim życiu, 2009r.

[1] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[2] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[1] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[2] Jan Swafford, Chaos: Tworzenie porządku, 1989r.

[1] Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o.o. Informatyka 2. Zakres rozszerzony. Podręcznik dla szkół ponadpodstawowych, 2020r.

[2] Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o.o. Informatyka 2. Zakres rozszerzony. Podręcznik dla szkół ponadpodstawowych, 2020r.

[1] Jan Trąbka, Odwieczny chaos a tworzenie się świata, 2000r.

[2] Jan Trąbka, Odwieczny chaos a tworzenie się świata, 2000r.

[1] Jan Trąbka, Odwieczny chaos a tworzenie się świata, 2000r.

[1] Jan Trąbka, Odwieczny chaos a tworzenie się świata, 2000r.

[1] Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o.o. Informatyka 2. Zakres rozszerzony. Podręcznik dla szkół ponadpodstawowych, 2020r.

[1] Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o.o. Informatyka 2. Zakres rozszerzony. Podręcznik dla szkół ponadpodstawowych, 2020r.

[1] Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o.o. Informatyka 2. Zakres rozszerzony. Podręcznik dla szkół ponadpodstawowych, 2020r.

[1] Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o.o. Informatyka 2. Zakres rozszerzony. Podręcznik dla szkół ponadpodstawowych, 2020r.

Koniec darmowego fragmentu książki.

Zachęcamy do zakupu pełnej wersji.